Mix Examples - Electric Potential and Capacitance Questions in Gujarati

(A) ધારો કે પ્રારંભિક અંતર $r_i = 4R$ છે અને જ્યારે તેઓ એકબીજાને સ્પર્શે ત્યારે અંતિમ અંતર $r_f = 2R$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રારંભિક ઉર્જા = કુલ અંતિમ ઉર્જા.
પ્રારંભિક ઉર્જા: $E_i = 2 \times (\frac{1}{2} m u^2) - \frac{G m^2}{4R} + \frac{k Q^2}{4R} = m u^2 - \frac{G m^2}{4R} + \frac{k Q^2}{4R}$.
અંતિમ ઉર્જા (સ્પર્શતી વખતે,ઝડપ શૂન્ય છે): $E_f = 0 - \frac{G m^2}{2R} + \frac{k Q^2}{2R}$.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$m u^2 - \frac{G m^2}{4R} + \frac{k Q^2}{4R} = - \frac{G m^2}{2R} + \frac{k Q^2}{2R}$.
$m u^2 = \frac{k Q^2}{4R} - \frac{G m^2}{4R} = \frac{1}{4R} (k Q^2 - G m^2)$.
$u = \sqrt{\frac{k Q^2}{4 m R} (1 - \frac{G m^2}{k Q^2})}$.

(A) બેટરી સાથે જોડાયેલા કેપેસિટરની સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા $U = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
અહીં $C = \frac{\epsilon_0 A}{x}$,તેથી $U = \frac{1}{2} \left( \frac{\epsilon_0 A}{x} \right) V^2$ થાય.
બેટરી જોડાયેલી હોવાથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ રહે છે.
તેથી,$U \propto \frac{1}{x} = x^{-1}$ થાય.
ઉર્જામાં થતા ફેરફારનો સમય દર $\frac{dU}{dt} = \frac{dU}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$ છે.
આપેલ છે કે પ્લેટોને $v$ જેટલી સમાન ઝડપે દૂર ખેંચવામાં આવે છે,તેથી $\frac{dx}{dt} = v$ (અચળ).
હવે,$U$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dU}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\epsilon_0 A V^2}{2} \cdot x^{-1} \right) = -\frac{\epsilon_0 A V^2}{2} \cdot x^{-2}$ મળે.
આમ,$\frac{dU}{dt} = \left( -\frac{\epsilon_0 A V^2}{2} \cdot x^{-2} \right) \cdot v$ થાય.
અહીં $\epsilon_0, A, V,$ અને $v$ અચળ હોવાથી,$\frac{dU}{dt} \propto x^{-2}$ મળે.
તેને $x^\alpha$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = -2$ મળે છે.

(B) વિધાન $A$ સાચું છે: ગૌસના નિયમ મુજબ,સ્થિત વિદ્યુત સંતુલનમાં વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ છે કે વાહકની અંદર ચોખ્ખી વિદ્યુતભાર ઘનતા શૂન્ય હોય છે.
કારણ $R$ પણ સાચું છે: જો કોઈ મુક્ત વિદ્યુતભાર વાહકને કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે (શૂન્યાવકાશ અથવા હવામાં) મૂકવામાં આવે,તો તે $F = qE$ જેટલું વિદ્યુત બળ અનુભવે છે અને ડ્રિફ્ટ થાય છે.
જોકે,વાહકની અંદર ચોખ્ખો વિદ્યુતભાર ન હોવાનું કારણ સપાટી પર વિદ્યુતભારોનું પુનઃવિતરણ છે જે આંતરિક ક્ષેત્રને નાબૂદ કરે છે,જે કેપેસિટર પ્લેટો વચ્ચેના વિદ્યુતભારોના વર્તનથી સ્વતંત્ર છે. તેથી,$R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(D) આ પરિપથ એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે કારણ કે $\frac{C_1}{C_2} = \frac{C_4}{C_3} = \frac{10}{10} = 1$ થાય છે.
બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી,મધ્યના કેપેસીટર $C_5$ માંથી કોઈ વિદ્યુતભાર વહેતો નથી.
તેથી,પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે,જેમાં દરેક શાખામાં બે કેપેસીટર શ્રેણીમાં છે.
ડાબી શાખામાં $C_1$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં છે,અને જમણી શાખામાં $C_4$ અને $C_3$ શ્રેણીમાં છે.
દરેક શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ: $C_{\text{branch}} = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \mu F$.
કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ: $C_{\text{eq}} = 5 \mu F + 5 \mu F = 10 \mu F$.
બેટરી દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો કુલ વિદ્યુતભાર: $Q = C_{\text{eq}}V = 10 \mu F \times 50 \ V = 500 \mu C$.
શાખાઓ સમાન હોવાથી,વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વહેંચાય છે: દરેક શાખામાંથી $250 \mu C$ વિદ્યુતભાર વહે છે.
આમ,દરેક કેપેસીટર $C_1, C_2, C_3, C_4$ પર $250 \mu C$ અને $C_5$ પર $0 \mu C$ વિદ્યુતભાર હોય છે.