Mix Examples-Dual Nature of Radiation and matter Questions in Hindi

(C) सापेक्ष रैखिक संवेग $p$ का सूत्र $p = \frac{m_0 v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ है,जहाँ $m_0$ विराम द्रव्यमान है,$v$ वेग है और $c$ प्रकाश की गति है।
जब वेग $v$ को दोगुना करके $2v$ किया जाता है,तो नया संवेग $p'$ इस प्रकार होगा: $p' = \frac{m_0 (2v)}{\sqrt{1 - (2v)^2/c^2}} = \frac{2 m_0 v}{\sqrt{1 - 4v^2/c^2}}$।
$p'$ की तुलना मूल संवेग $p$ से करने पर,हम देखते हैं कि हर (denominator) $\sqrt{1 - 4v^2/c^2}$,$\sqrt{1 - v^2/c^2}$ से छोटा है।
चूंकि हर का मान घटता है,इसलिए संवेग का मान $2$ से अधिक के गुणक से बढ़ जाता है। अतः,रैखिक संवेग दोगुने से अधिक होगा।

(C) विशिष्ट सापेक्षता के सिद्धांत के अनुसार, समय विस्तार का सूत्र $T = \frac{T_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ है, जहाँ $T$ पृथ्वी पर देखा गया समय है, $T_0$ अंतरिक्ष यान पर उचित समय है, $v$ अंतरिक्ष यान का वेग है और $c$ प्रकाश की गति $(3 \times 10^8 \ m/s)$ है。
दिया गया है $T_0 = 1 \ \text{दिन}$ और $T = 2 \ \text{दिन}$, तो:
$2 = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}$
$1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{4} = 0.25$
$\frac{v^2}{c^2} = 1 - 0.25 = 0.75$
$v = c \sqrt{0.75} = 3 \times 10^8 \times 0.866 = 2.598 \times 10^8 \ m/s \approx 2.6 \times 10^8 \ m/s$.

(C) उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों (कैथोड किरणों) की गतिज ऊर्जा $(KE)$ प्रकाश-विद्युत समीकरण द्वारा दी जाती है: $KE_{max} = h\nu - \Phi$, जहाँ $h\nu$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\Phi$ पदार्थ का कार्य फलन है।
त्वरक विभव $V$ द्वारा उत्पन्न कैथोड किरणों के संदर्भ में, प्राप्त गतिज ऊर्जा $KE = eV$ होती है।
इस प्रकार, गतिज ऊर्जा त्वरक वोल्टेज (या आपतित ऊर्जा) और कैथोड पदार्थ के कार्य फलन दोनों पर निर्भर करती है।

(D) विकिरण की द्वैत प्रकृति का अर्थ है कि यह तरंग और कण दोनों के गुणों को प्रदर्शित करता है।
$1$. $Photoelectric \, effect$ (प्रकाश वैद्युत प्रभाव) विकिरण की कण प्रकृति को प्रदर्शित करता है,जहाँ प्रकाश फोटॉन नामक ऊर्जा के छोटे पैकेटों के रूप में व्यवहार करता है।
$2$. $Diffraction$ (विवर्तन) एक ऐसी घटना है जो विकिरण की तरंग प्रकृति को प्रदर्शित करती है,क्योंकि इसमें तरंगें बाधाओं के चारों ओर मुड़ जाती हैं।
अतः,$Photoelectric \, effect$ और $Diffraction$ का संयोजन विकिरण की द्वैत प्रकृति की पुष्टि करता है।

(D) प्रकाश की कण प्रकृति को प्रकाश-विद्युत प्रभाव (photoelectric effect) द्वारा प्रदर्शित किया जाता है,जहाँ प्रकाश फोटॉन की एक धारा के रूप में व्यवहार करता है। इलेक्ट्रॉनों की तरंग प्रकृति को इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोपी द्वारा प्रदर्शित किया जाता है,जहाँ उच्च रिज़ॉल्यूशन प्राप्त करने के लिए इलेक्ट्रॉन बीम एक विशिष्ट तरंगदैर्ध्य (डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य) वाली तरंग के रूप में व्यवहार करती है। इस प्रकार,इन घटनाओं द्वारा दोनों प्रकृतियाँ प्रदर्शित होती हैं।

(D) फोटो सेल (या फोटोइलेक्ट्रिक सेल) ऐसे उपकरण हैं जो प्रकाश ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित करते हैं।
इनका उपयोग सिनेमा फिल्म से ध्वनि के पुनरुत्पादन के लिए व्यापक रूप से किया जाता है,जहाँ फिल्म पर साउंड ट्रैक से गुजरने वाला प्रकाश विद्युत संकेतों में परिवर्तित हो जाता है।
इनका उपयोग स्ट्रीट लाइट की स्वचालित स्विचिंग के लिए भी किया जाता है,जहाँ परिवेश के प्रकाश की तीव्रता सर्किट को नियंत्रित करती है।
इसलिए,विकल्प $b$ और $c$ दोनों फोटो सेल के सही अनुप्रयोग हैं।

(B) तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 2475 \ \mathring{A}$ के संगत फोटॉन की ऊर्जा $E_1 = \frac{12375}{2475} = 5 \ eV$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = 6000 \ \mathring{A}$ के संगत फोटॉन की ऊर्जा $E_2 = \frac{12375}{6000} = 2.06 \ eV$ है।
चूंकि $E_2 < W_0$ $(4.8 \ eV)$ और $E_1 > W_0$ है,इसलिए फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन केवल $\lambda_1$ के साथ ही संभव है।
उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K = E_1 - W_0 = 5 - 4.8 = 0.2 \ eV$ है।
$K$ को जूल में बदलने पर: $K = 0.2 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 3.2 \times 10^{-20} \ J$।
चुंबकीय क्षेत्र में वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $r = \frac{\sqrt{2 \times 9 \times 10^{-31} \times 3.2 \times 10^{-20}}}{1.6 \times 10^{-19} \times 3 \times 10^{-5}}$।
$r = \frac{\sqrt{57.6 \times 10^{-51}}}{4.8 \times 10^{-24}} = \frac{7.59 \times 10^{-25}}{4.8 \times 10^{-24}} \approx 0.05 \ m = 5 \ cm$।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ दो क्रमागत दीप्त या अदीप्त फ्रिंजों के बीच की दूरी है,जो $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
चित्र से,केंद्रीय दीप्त फ्रिंज और पहली अदीप्त फ्रिंज के बीच की दूरी $y = 1.0\ mm$ है। चूंकि एक दीप्त और अगली अदीप्त फ्रिंज के बीच की दूरी $\frac{\beta}{2}$ होती है,इसलिए $y = \frac{\beta}{2}$,जिसका अर्थ है $\beta = 2y = 2.0\ mm = 2.0 \times 10^{-3}\ m$।
फ्रिंज चौड़ाई के सूत्र का उपयोग करने पर: $\lambda = \frac{\beta d}{D} = \frac{2.0 \times 10^{-3} \times 0.24 \times 10^{-3}}{1.2} = 4 \times 10^{-7}\ m = 4000\ \mathring{A}$।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{12400}{\lambda(\mathring{A})} \approx \frac{12400}{4000} = 3.1\ eV$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$E = W_0 + eV_0$,जहाँ $W_0 = 2.2\ eV$ कार्य फलन है।
$eV_0 = E - W_0 = 3.1\ eV - 2.2\ eV = 0.9\ eV$।
अतः,निरोधी विभव $V_0 = 0.9\ V$ होगा।

(A) थॉमसन स्पेक्ट्रोग्राफ में,विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों में आवेशित कण का विक्षेपण परवलय के समीकरण $y = kx^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ कण के विशिष्ट आवेश $(q/m)$ पर निर्भर करता है।
समान विशिष्ट आवेश $(q/m)$ वाले सभी धनात्मक आयन अपने वेग की परवाह किए बिना एक ही परवलयाकार पथ पर स्थित होते हैं।
चित्र को देखने पर,बिंदु $R$ और $S$ एक ही परवलय वक्र पर स्थित हैं।
इसलिए,$R$ और $S$ का विशिष्ट आवेश समान होना चाहिए।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) सतत स्पेक्ट्रम घनी गैसों या ठोस वस्तुओं से उत्पन्न होते हैं जो गर्मी का विकिरण करते हैं।
वे तरंग दैर्ध्य की एक विस्तृत श्रृंखला पर विकिरण उत्सर्जित करते हैं,इसलिए स्पेक्ट्रम चिकना और निरंतर दिखाई देता है।
ब्लैकबॉडी सतत स्पेक्ट्रम उत्सर्जित करने वाली वस्तु का एक आदर्श उदाहरण है।
कोई भी पिंड जो गर्मी के विकिरण से चमकता है,जैसे कि तापदीप्त प्रकाश बल्ब,इलेक्ट्रिक कुकिंग स्टोव बर्नर,ज्वालाएं आदि,सतत स्पेक्ट्रम में विकिरण उत्सर्जित करते हैं।

(D) एक इलेक्ट्रिक लैंप या लाल गर्म हीटर तापीय विकिरण (incandescence) के कारण प्रकाश उत्सर्जित करते हैं।
ऐसे स्रोतों में,परमाणु एक-दूसरे के बहुत करीब होते हैं और उनके ऊर्जा स्तर एक-दूसरे पर अतिव्याप्त (overlap) हो जाते हैं,जिसके परिणामस्वरूप एक विशिष्ट सीमा के भीतर सभी तरंग दैर्ध्य का उत्सर्जन होता है।
यह एक सतत स्पेक्ट्रम (continuous spectrum) उत्पन्न करता है,जिसमें दृश्य स्पेक्ट्रम के सभी रंग बिना किसी अंतराल के मौजूद होते हैं।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(D) प्रकाश की द्वैत प्रकृति का अर्थ है कि प्रकाश तरंग और कण दोनों के गुण प्रदर्शित करता है।
विवर्तन एक ऐसी घटना है जो प्रकाश की तरंग प्रकृति को दर्शाती है।
प्रकाश-विद्युत प्रभाव एक ऐसी घटना है जो प्रकाश की कण प्रकृति (फोटॉन) को दर्शाती है।
इसलिए,विवर्तन और प्रकाश-विद्युत प्रभाव का संयोजन प्रकाश की द्वैत प्रकृति को प्रदर्शित करता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda_{ph}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda_{ph}$ फोटॉन की तरंगदैर्ध्य है।
अतः,$\lambda_{ph} = \frac{hc}{E}$।
$E$ गतिज ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ होती है।
अब,फोटॉन की तरंगदैर्ध्य और इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य का अनुपात:
$\frac{\lambda_{ph}}{\lambda_e} = \left( \frac{hc}{E} \right) \times \left( \frac{\sqrt{2mE}}{h} \right)$
$= \frac{c}{E} \times \sqrt{2mE} = c \sqrt{\frac{2mE}{E^2}} = c \sqrt{\frac{2m}{E}}$।

(C) फोटोइलेक्ट्रिक धारा $I$ प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या के सीधे आनुपातिक होती है,जो बदले में प्रति सेकंड आपतित फोटॉनों की संख्या के आनुपातिक होती है।
यदि आपतित प्रकाश की शक्ति $P$ स्थिर रखी जाती है,तो $P = n \cdot \frac{hc}{\lambda}$,जहाँ $n$ प्रति सेकंड आपतित फोटॉनों की संख्या है।
इस प्रकार,$n = \frac{P \lambda}{hc}$।
चूंकि $I \propto n$,इसलिए $I \propto \lambda$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव केवल तभी होता है यदि तरंगदैर्ध्य $\lambda$,थ्रेशोल्ड तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ से कम या उसके बराबर हो (अर्थात $\lambda \le \lambda_0$)।
जैसे-जैसे $\lambda$ एक छोटे मान से $\lambda_0$ की ओर बढ़ता है,स्थिर शक्ति $P$ बनाए रखने के लिए आवश्यक फोटॉनों की संख्या $n$ बढ़ती है,और इसलिए फोटोइलेक्ट्रिक धारा $I$,$\lambda = \lambda_0$ तक $\lambda$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है,जिसके बाद धारा शून्य हो जाती है। यह व्यवहार ग्राफ $C$ द्वारा दर्शाया गया है।

(D) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
प्लेट $p$ के लिए: $E_p = \frac{1240}{550} \approx 2.25 \ eV$. निरोधी विभव (Stopping potential) $V_p = E_p - \phi_p = 2.25 - 2.0 = 0.25 \ eV$.
प्लेट $q$ के लिए: $E_q = \frac{1240}{450} \approx 2.75 \ eV$. निरोधी विभव $V_q = E_q - \phi_q = 2.75 - 2.5 = 0.25 \ eV$.
प्लेट $r$ के लिए: $E_r = \frac{1240}{350} \approx 3.54 \ eV$. निरोधी विभव $V_r = E_r - \phi_r = 3.54 - 3.0 = 0.54 \ eV$.
चूंकि तीव्रता समान है,इसलिए तीनों प्लेटों के लिए संतृप्ति धारा (Saturation current) $I_s$ समान होगी।
निरोधी विभव की तुलना करने पर: $V_p = V_q = 0.25 \ eV$ और $V_r = 0.54 \ eV$.
इस प्रकार,प्लेट $p$ और $q$ का निरोधी विभव समान होना चाहिए (ऋणात्मक $V$-अक्ष पर समान अंतःखंड),जबकि प्लेट $r$ का निरोधी विभव अधिक परिमाण का होना चाहिए (बाईं ओर अधिक दूर)।
दिए गए ग्राफों को देखने पर,ग्राफ $D$ में $p$ और $q$ ऋणात्मक $V$-अक्ष पर एक ही बिंदु से शुरू होते हैं,और $r$ बाईं ओर अधिक दूर से शुरू होता है,जो हमारी गणना से मेल खाता है।

(D) तरंग-कण द्वैतता के सिद्धांत के अनुसार,प्रकाश तरंग और कण दोनों गुण प्रदर्शित करता है।
कथन $(1)$ सत्य है क्योंकि व्यतिकरण और विवर्तन जैसी घटनाओं को तरंग प्रकृति द्वारा समझाया जाता है,जबकि प्रकाश-विद्युत प्रभाव और कॉम्पटन प्रकीर्णन जैसी घटनाओं को कण प्रकृति द्वारा समझाया जाता है।
कथन $(2)$ भी सत्य है क्योंकि किसी भी एकल प्रयोगात्मक सेटअप में,प्रकाश किए जा रहे मापन की प्रकृति के आधार पर या तो तरंग के रूप में या कण के रूप में व्यवहार करता है। एक ही प्रयोग में दोनों प्रकृतियों का एक साथ अवलोकन करना असंभव है।

(B) प्रकाश-विद्युत प्रभाव में, प्रकाश-विद्युत धारा $(I)$ आपतित प्रकाश की तीव्रता पर निर्भर करती है, बशर्ते आपतित प्रकाश की आवृत्ति देहली आवृत्ति $(\nu > \nu_0)$ से अधिक हो।
देहली आवृत्ति $(\nu_0)$ एक देहली तरंगदैर्ध्य $(\lambda_0 = c / \nu_0)$ के अनुरूप होती है।
यदि आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ देहली तरंगदैर्ध्य $(\lambda_0)$ से अधिक है, तो कोई प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन नहीं होता है, और धारा $(I)$ शून्य होती है।
यदि तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ देहली तरंगदैर्ध्य $(\lambda_0)$ से कम या उसके बराबर है, तो प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन होता है। यह मानते हुए कि तरंगदैर्ध्य बदलते समय आपतित प्रकाश की तीव्रता स्थिर रहती है, प्रकाश-विद्युत धारा $(I)$ सभी $\lambda \le \lambda_0$ के लिए स्थिर रहती है।
इसलिए, प्रकाश-विद्युत धारा $(I)$ बनाम तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ का ग्राफ $\lambda > \lambda_0$ के लिए शून्य धारा और $\lambda \le \lambda_0$ के लिए स्थिर धारा दिखाता है। यह विकल्प $(B)$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$eV_0 = h\nu - \Phi$,जहाँ $V_0$ निरोधी विभव है,$\nu$ आवृत्ति है,$h$ प्लांक नियतांक है,और $\Phi$ कार्य फलन है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $V_0 = (h/e)\nu - (\Phi/e)$ प्राप्त होता है।
देहली आवृत्ति $\nu_0$ वह आवृत्ति है जिस पर निरोधी विभव $V_0$ शून्य होता है,इसलिए $\nu_0 = \Phi/h$,या $\Phi = h\nu_0$।
ग्राफ से,आवृत्ति अक्ष पर अंतःखंड (intercept) देहली आवृत्ति $\nu_0$ को दर्शाता है।
चूंकि सतह $A$ के लिए अंतःखंड सतह $B$ के अंतःखंड के बाईं ओर है,इसलिए हमारे पास $\nu_{0A} < \nu_{0B}$ है।
अतः,कार्य फलन $\Phi_A = h\nu_{0A}$,कार्य फलन $\Phi_B = h\nu_{0B}$ से कम है।

(A) आपतित फोटॉनों की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$\lambda_1 = 550\ nm$ के लिए,$E_1 = \frac{1240}{550} \approx 2.25\ eV$.
$\lambda_2 = 450\ nm$ के लिए,$E_2 = \frac{1240}{450} \approx 2.75\ eV$.
$\lambda_3 = 350\ nm$ के लिए,$E_3 = \frac{1240}{350} \approx 3.54\ eV$.
धातु $r$ $(\phi_r = 3.0\ eV)$ के लिए,केवल $\lambda_3$ उत्सर्जन उत्पन्न करती है $(E_3 > \phi_r)$।
धातु $q$ $(\phi_q = 2.5\ eV)$ के लिए,$\lambda_2$ और $\lambda_3$ उत्सर्जन उत्पन्न करती हैं $(E_2, E_3 > \phi_q)$।
धातु $p$ $(\phi_p = 2.0\ eV)$ के लिए,तीनों $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ उत्सर्जन उत्पन्न करती हैं $(E_1, E_2, E_3 > \phi_p)$।
चूंकि तीव्रता समान है,संतृप्ति धारा $I$ आपतित फोटॉनों की संख्या और उन तरंगदैर्घ्यों की संख्या पर निर्भर करती है जो उत्सर्जन उत्पन्न कर सकती हैं। धातु $p$ तीनों तरंगदैर्घ्यों के लिए उत्सर्जन की अनुमति देती है,जिससे संतृप्ति धारा अधिकतम होती है,जबकि धातु $r$ केवल एक के लिए अनुमति देती है,जिससे धारा न्यूनतम होती है। अतः,$I_p > I_q > I_r$ दर्शाने वाला ग्राफ सही है।

(A) $EM$ विकिरण की क्वांटम प्रकृति उन घटनाओं द्वारा समर्थित है जिनमें प्रकाश ऊर्जा के असतत पैकेटों के रूप में कार्य करता है,जिन्हें फोटॉन कहा जाता है।
$(1)$ प्रकाश विद्युत प्रभाव (Photoelectric effect) यह प्रदर्शित करता है कि प्रकाश $E = h\nu$ ऊर्जा वाले फोटॉन से बना है,जो धातु की सतह से इलेक्ट्रॉनों को बाहर निकालते हैं।
$(2)$ कॉम्पटन प्रभाव (Compton effect) इलेक्ट्रॉनों द्वारा फोटॉन के प्रकीर्णन से संबंधित है,जो यह पुष्टि करता है कि फोटॉन $p = h/\lambda$ संवेग वाले कणों की तरह व्यवहार करते हैं।
$(3)$ डॉप्लर प्रभाव एक तरंग घटना है जो शास्त्रीय तरंगों और क्वांटम कणों दोनों पर लागू होती है।
$(4)$ क्षेत्र प्रभाव (Field effect) अर्धचालक भौतिकी से संबंधित है और यह विशेष रूप से $EM$ विकिरण की क्वांटम प्रकृति का समर्थन नहीं करता है।
इसलिए,प्रकाश विद्युत प्रभाव और कॉम्पटन प्रभाव दोनों $EM$ विकिरण की क्वांटम प्रकृति के लिए प्रमाण प्रदान करते हैं।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
स्थिति $(i)$: इलेक्ट्रॉन विद्युत क्षेत्र के विपरीत दिशा में गति कर रहा है। चूंकि इलेक्ट्रॉन ऋणात्मक रूप से आवेशित होता है,इसलिए यह विद्युत क्षेत्र की दिशा में बल का अनुभव करता है,जो इसके वेग के विपरीत है। यह बल एक मंदक बल के रूप में कार्य करता है,जिससे इलेक्ट्रॉन का वेग $v$ घट जाता है। जैसे-जैसे $v$ घटता है,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ बढ़ती है।
स्थिति $(ii)$: इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति कर रहा है। चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ इलेक्ट्रॉन के वेग के लंबवत कार्य करता है। वेग के लंबवत कार्य करने वाला चुंबकीय बल केवल गति की दिशा बदलता है,वेग का परिमाण $v$ नहीं बदलता है। चूंकि चाल $v$ स्थिर रहती है,इसलिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ समान रहती है।
अतः,स्थिति $(i)$ में तरंगदैर्ध्य बढ़ती है और स्थिति $(ii)$ में यह समान रहती है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $K$ फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने और $K$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$K = \frac{q^2 B^2 r^2}{2m} = \left( \frac{e}{m} \right) \frac{e B^2 r^2}{2}$
दिया गया है: $\frac{e}{m} = 1.7 \times 10^{11} \, C/kg$, $B = \frac{1}{\sqrt{17}} \times 10^{-5} \, T$, $r = 1 \, m$, और $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$:
$K = \frac{1}{2} \times (1.7 \times 10^{11}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times \left( \frac{1}{\sqrt{17}} \times 10^{-5} \right)^2 \times (1)^2$
$K = 0.5 \times 1.7 \times 1.6 \times 10^{-8} \times \frac{1}{17} \times 10^{-10} = 0.8 \times 10^{-19} \, J = 0.5 \, eV$
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करने पर: $E = W_0 + K_{max}$
$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{12375 \, Å \cdot eV}{2475 \, Å} = 5 \, eV$
$W_0 = E - K_{max} = 5 \, eV - 0.5 \, eV = 4.5 \, eV$

(C) फोटोइलेक्ट्रिक धारा $I$ प्रति इकाई समय उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या पर निर्भर करती है,जो आपतित प्रकाश की तीव्रता के समानुपाती होती है,बशर्ते आवृत्ति थ्रेशोल्ड आवृत्ति से अधिक हो। हालाँकि,यदि एनोड वोल्टेज स्थिर है और सभी उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों को इकट्ठा करने के लिए पर्याप्त नहीं है,तो धारा फोटोइलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा पर निर्भर करती है। जैसे-जैसे तरंगदैर्ध्य $\lambda$ घटती है,आपतित फोटॉन की ऊर्जा $(E = hc/\lambda)$ बढ़ती है। इसके परिणामस्वरूप उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा में वृद्धि होती है। उच्च गतिज ऊर्जा के साथ,अधिक संख्या में फोटोइलेक्ट्रॉन विभव अवरोध को पार करने और एनोड तक पहुँचने में सक्षम होते हैं,जिससे प्लेट धारा $I$ बढ़ जाती है। इसलिए,जैसे-जैसे $\lambda$ घटती है,$I$ बढ़ती है। यह संबंध एक वक्र द्वारा दर्शाया गया है जहाँ जैसे-जैसे $\lambda$ बढ़ती है,$I$ घटती है,जो ग्राफ $C$ के अनुरूप है।

(D) प्रकाश-विद्युत प्रभाव (फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव) के अनुसार,एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बढ़ती है,आपतित फोटॉनों की ऊर्जा कम होती जाती है।
प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन केवल तभी होता है जब आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु की सतह के कार्य फलन (work function) $\phi$ के बराबर या उससे अधिक हो।
इसका अर्थ है कि एक अधिकतम तरंगदैर्ध्य मौजूद होती है,जिसे थ्रेशोल्ड तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ कहा जाता है,ताकि सभी $\lambda > \lambda_0$ के लिए,फोटॉनों की ऊर्जा कैथोड से इलेक्ट्रॉनों को बाहर निकालने के लिए अपर्याप्त हो।
परिणामस्वरूप,सभी $\lambda > \lambda_0$ के लिए फोटोकरंट $I$ शून्य होगा।
जैसे-जैसे $\lambda$ एक छोटे मान से $\lambda_0$ की ओर बढ़ता है,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या (और इसलिए करंट $I$) आमतौर पर घटती है या तीव्रता के आधार पर स्थिर रहती है,लेकिन इसे $\lambda = \lambda_0$ पर शून्य होना ही चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से,जो ग्राफ करंट को घटते हुए और अंततः एक विशिष्ट तरंगदैर्ध्य पर शून्य होते हुए दिखाता है,वह विकल्प $(d)$ द्वारा दर्शाया गया है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में $3 \rightarrow 2$ संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा:
$E = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \times \frac{5}{36} \approx 1.889 \ eV$.
चुंबकीय क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{eB}$ है,जहाँ $K$ फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा है।
$K = \frac{r^2 e^2 B^2}{2m}$.
यहाँ $r = 10.0 \ mm = 10^{-2} \ m$,$B = 3 \times 10^{-4} \ T$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,और $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$ है:
$K = \frac{(10^{-2})^2 \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (3 \times 10^{-4})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31}} \approx 0.79 \ eV \approx 0.8 \ eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $E = \Phi + K$,जहाँ $\Phi$ कार्य फलन है।
$\Phi = E - K = 1.889 \ eV - 0.8 \ eV = 1.089 \ eV \approx 1.1 \ eV$.

(B) $1$. फ्रैंक-हर्ट्ज़ प्रयोग ने प्रदर्शित किया कि परमाणु केवल विविक्त (discrete) मात्रा में ही ऊर्जा को अवशोषित कर सकते हैं,जो परमाणुओं में विविक्त ऊर्जा स्तरों के अस्तित्व की पुष्टि करता है।
$2$. प्रकाश-विद्युत प्रभाव प्रयोग ने प्रकाश की कण प्रकृति के लिए प्रमाण प्रदान किया,जिससे यह पता चलता है कि प्रकाश फोटॉन नामक क्वांटा से बना है।
$3$. डेविसन-जर्मर प्रयोग ने इलेक्ट्रॉन विवर्तन (diffraction) को प्रदर्शित करके इलेक्ट्रॉन की तरंग प्रकृति की पुष्टि की,जो डी-ब्रोग्ली परिकल्पना का समर्थन करता है।
अतः,सही मिलान $(a)-(ii), (b)-(i), (c)-(iii)$ है।

(C) . हॉलवाक्स और लेनार्ड ने प्रकाश-विद्युत प्रभाव (photoelectric effect) का अवलोकन किया था।
$B$. फ्रैंक-हर्ट्ज़ प्रयोग ने परमाणुओं में ऊर्जा स्तरों के क्वांटाइजेशन के लिए प्रायोगिक प्रमाण प्रदान किए।
$C$. क्लाइस्ट्रॉन वाल्व एक विशेष वैक्यूम ट्यूब है जिसका उपयोग माइक्रोवेव आवृत्तियों के लिए एम्पलीफायर या ऑसिलेटर के रूप में किया जाता है।
$D$. निकोला टेस्ला ट्रांसफॉर्मर सहित आधुनिक अल्टरनेटिंग करंट $(AC)$ विद्युत आपूर्ति प्रणालियों के डिजाइन के लिए प्रसिद्ध हैं।
अतः,सही मिलान $A \to S, B \to R, C \to Q, D \to P$ है।

(A) चालक में धारा $I = n e A v_d$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉन घनत्व है, $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है, $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है, और $v_d$ अपवाह वेग है。
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $I = 10^{20} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.25 \times 1.5$.
$I = 16 \times 0.25 \times 1.5 = 4 \times 1.5 = 6 \ A$.
प्रति सेकंड उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $N_e = I / e = 6 / (1.6 \times 10^{-19}) = 3.75 \times 10^{19} \ \text{इलेक्ट्रॉन/सेकंड}$.
यह दिया गया है कि उत्सर्जित फोटॉनों का $60\%$ इलेक्ट्रॉन उत्सर्जन में परिणत होता है, मान लीजिए $N_p$ प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या है: $0.60 \times N_p = N_e$.
$N_p = N_e / 0.60 = (3.75 \times 10^{19}) / 0.6 = 6.25 \times 10^{19} \ \text{फोटॉन/सेकंड}$.

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K.E_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दी जाती है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
निरोधी विभव $V_0$ अधिकतम गतिज ऊर्जा से $eV_0 = K.E_{max}$ द्वारा संबंधित है। इसलिए,$V_0 = \frac{1}{e}\left[ \frac{hc}{\lambda} - \phi \right]$। अतः,विकल्प $B$ सही है।
$r$ दूरी पर प्रकाश की तीव्रता $I = \frac{P}{4 \pi r^2}$ है। एक फोटॉन की ऊर्जा $E_{photon} = \frac{hc}{\lambda}$ है। प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में फोटॉनों की संख्या $n = \frac{I}{E_{photon}} = \frac{P \lambda}{4 \pi r^2 hc}$ है। $A$ क्षेत्रफल वाली सतह पर प्रति इकाई समय में टकराने वाले फोटॉनों की संख्या $N = n \times A = \frac{P \lambda A}{4 \pi hc r^2}$ है। अतः,विकल्प $C$ सही है।
चूंकि विकल्प $A$,$B$ और $C$ तीनों सही कथन हैं,इसलिए गलत विकल्प $D$ है।

(B) निरोधी विभव $(V_s)$ और आपतित प्रकाश की आवृत्ति $(\nu)$ के बीच का संबंध आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$e V_s = h(\nu - \nu_0)$
जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$h$ प्लांक नियतांक है,और $\nu_0$ देहली आवृत्ति है।
यह समीकरण दर्शाता है कि निरोधी विभव केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति और पदार्थ के कार्य फलन पर निर्भर करता है।
यह आपतित प्रकाश की तीव्रता $(I)$ पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,जैसे-जैसे प्रकाश की तीव्रता बढ़ती है,निरोधी विभव स्थिर रहता है।
यह $I$-अक्ष (x-अक्ष) के समानांतर एक सीधी रेखा के अनुरूप है।
अतः,सही वक्र विकल्प $B$ द्वारा दर्शाया गया है।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि द्रव्यमान $m$ स्थिर है,तरंगदैर्ध्य इलेक्ट्रॉन की चाल $v$ पर निर्भर करती है।
एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में,चुंबकीय बल $F = q(v \times B)$ वेग के लंबवत कार्य करता है। यह बल गति की दिशा को बदलता है लेकिन वेग के परिमाण (चाल) को नहीं बदलता है। अतः,चाल $v$ बनी रहती है और तरंगदैर्ध्य स्थिर रहती है।
एकसमान विद्युत क्षेत्र में,इलेक्ट्रॉन पर विद्युत बल $F = qE$ कार्य करता है। यह बल इलेक्ट्रॉन की गति के सापेक्ष क्षेत्र की दिशा के आधार पर वेग के परिमाण को बदल सकता है।
यदि विद्युत क्षेत्र इलेक्ट्रॉन को त्वरित करता है,तो चाल बढ़ती है और $\lambda$ घटती है। यदि यह इलेक्ट्रॉन को मंदित करता है,तो चाल घटती है और $\lambda$ बढ़ती है।
इसलिए,${\lambda _1}$ और ${\lambda _2}$ के बीच का संबंध इलेक्ट्रॉन के वेग के सापेक्ष विद्युत क्षेत्र की दिशा पर निर्भर करता है।

(C) बिंदु स्रोत से प्रकाश की तीव्रता $I$ व्युत्क्रम वर्ग नियम का पालन करती है,$I \propto \frac{1}{r^2}$।
जब दूरी $r$ को दोगुना किया जाता है ($0.1\, m$ से $0.2\, m$),तो तीव्रता मूल मान की $\frac{1}{4}$ हो जाती है।
संतृप्ति धारा आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे आनुपातिक होती है। इसलिए,नई संतृप्ति धारा $\frac{24\, mA}{4} = 6\, mA$ होगी।
कट-ऑफ वोल्टेज (स्टॉपिंग पोटेंशियल) केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति और पदार्थ के कार्य फलन (work function) पर निर्भर करता है,तीव्रता पर नहीं। चूंकि स्रोत वही है,इसलिए आवृत्ति अपरिवर्तित रहती है,अतः कट-ऑफ वोल्टेज $0.8\, V$ ही रहेगा।

(B) फोटॉन के लिए,ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda_{\text{photon}}}$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $\lambda_{\text{photon}} = \frac{hc}{E}$ है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\text{electron}} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों तरंगदैर्ध्यों का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_{\text{photon}}}{\lambda_{\text{electron}}} = \frac{hc/E}{h/\sqrt{2mE}} = \frac{hc}{E} \cdot \frac{\sqrt{2mE}}{h} = c \sqrt{2m} \cdot \frac{\sqrt{E}}{E} = c \sqrt{2m} \cdot \frac{1}{\sqrt{E}}$।
अतः,$\frac{\lambda_{\text{photon}}}{\lambda_{\text{electron}}} \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$।

(A) विद्युत चुम्बकीय $(EM)$ विकिरण की क्वांटम प्रकृति का अर्थ है कि विकिरण ऊर्जा के छोटे पैकेटों से बना है जिन्हें फोटॉन कहा जाता है,जहाँ प्रत्येक फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है।
$1$. प्रकाश-विद्युत प्रभाव में जब प्रकाश (फोटॉन) किसी पदार्थ पर गिरता है तो इलेक्ट्रॉनों का उत्सर्जन होता है,जिसे केवल प्रकाश की कण (क्वांटम) प्रकृति द्वारा ही समझाया जा सकता है।
$2$. कॉम्पटन प्रभाव में इलेक्ट्रॉनों द्वारा एक्स-रे का प्रकीर्णन होता है,जो फोटॉन के कण-समान संवेग को प्रदर्शित करता है,जो $EM$ विकिरण की क्वांटम प्रकृति का समर्थन करता है।
$3$. डॉप्लर प्रभाव और क्षेत्र प्रभाव ऐसी घटनाएं हैं जिन्हें विकिरण की तरंग प्रकृति द्वारा समझाया जा सकता है और इनके लिए विशेष रूप से क्वांटम (कण) परिकल्पना की आवश्यकता नहीं होती है।
अतः,प्रकाश-विद्युत प्रभाव और कॉम्पटन प्रभाव दोनों $EM$ विकिरणों की क्वांटम प्रकृति का समर्थन करते हैं।

(A) इलेक्ट्रॉन की डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e = \frac{h}{p_e} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $\lambda_e = 1\,\mathring{A}$,इसलिए इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $E = \frac{h^2}{2m\lambda_e^2}$ होगी।
संबंध $E = \frac{150}{\lambda_e^2} \text{ eV}$ (जहाँ $\lambda_e$ का मान $\mathring{A}$ में है) का उपयोग करने पर,हमें $E = 150 \text{ eV}$ प्राप्त होता है।
चूंकि फोटॉन की ऊर्जा इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा के बराबर है,इसलिए $E_{ph} = 150 \text{ eV}$।
फोटॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda_{ph} = \frac{hc}{E_{ph}}$ द्वारा प्राप्त होती है।
$hc \approx 12400 \text{ eV}\cdot\mathring{A}$ का उपयोग करने पर,$\lambda_{ph} = \frac{12400}{150} \mathring{A} \approx 82.67 \mathring{A}$ प्राप्त होता है।

(D) सापेक्षता के सिद्धांत के अनुसार,किसी कण का द्रव्यमान उसकी गति $v$ के साथ $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ के रूप में बढ़ता है।
हालाँकि,किसी कण का विद्युत आवेश एक अपरिवर्तनीय राशि है और यह उसकी गति के साथ नहीं बदलता है।
इसलिए,कथन गलत है क्योंकि आवेश स्थिर रहता है,जबकि कारण सही है क्योंकि यह सापेक्ष द्रव्यमान परिवर्तन का सटीक वर्णन करता है।

(D) प्रकाश-विद्युत प्रभाव प्रकाश की कण प्रकृति को प्रदर्शित करता है,न कि तरंग प्रकृति को। अतः,कथन गलत है।
प्रति सेकंड उत्सर्जित होने वाले प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की संख्या आपतित प्रकाश की तीव्रता के समानुपाती होती है,न कि उसकी आवृत्ति के। अतः,कारण भी गलत है।
चूंकि कथन और कारण दोनों गलत हैं,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(A) धनात्मक किरणों का विशिष्ट आवेश $\frac{e}{m}$ आवेश और द्रव्यमान के अनुपात के रूप में परिभाषित होता है। सापेक्षता के सिद्धांत के अनुसार,$v$ वेग से गतिमान कण का द्रव्यमान $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m_0$ विराम द्रव्यमान है और $c$ प्रकाश की गति है।
चूंकि द्रव्यमान $m$ गति $v$ पर निर्भर करता है,इसलिए विशिष्ट आवेश $\frac{e}{m}$ भी गति के साथ बदलता है।
अतः,धनात्मक किरणों का विशिष्ट आवेश स्थिर नहीं होता है क्योंकि आयनों का द्रव्यमान गति के साथ बदलता है।
इस प्रकार,कथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण,कथन की सही व्याख्या है।

(D) प्रकाश का कण सिद्धांत (न्यूटन का कणिका सिद्धांत) प्रकाश के परावर्तन और अपवर्तन जैसी घटनाओं को सफलतापूर्वक समझाता है।
बाद में,प्रकाश के तरंग सिद्धांत (हाइगेन्स का सिद्धांत) को व्यतिकरण,विवर्तन और ध्रुवण जैसी घटनाओं को समझाने के लिए विकसित किया गया,जिन्हें कण सिद्धांत नहीं समझा सका।
अंत में,प्रकाश की क्वांटम प्रकृति (कण जैसा व्यवहार) प्रकाश-विद्युत प्रभाव और कॉम्पटन प्रभाव जैसी घटनाओं की व्याख्या करती है।
इसलिए,सूचीबद्ध सभी घटनाओं को प्रकाश के कण या तरंग सिद्धांतों द्वारा समझाया जा सकता है।

(A) न्यूटन के प्रकाश के कणिका सिद्धांत के अनुसार,प्रकाश 'कॉर्पसकल्स' नामक छोटे कणों से बना होता है।
न्यूटन ने माना था कि सघन माध्यम द्वारा कणों पर लगाया गया आकर्षण बल उनके वेग को बढ़ा देता है जब वे माध्यम में प्रवेश करते हैं।
इसलिए,इस सिद्धांत के अनुसार,सघन माध्यम में प्रकाश का वेग विरल माध्यम की तुलना में अधिक होता है।
(नोट: यह भविष्यवाणी बाद में फौकॉल्ट के प्रयोग द्वारा गलत साबित हुई,जिसने दिखाया कि सघन माध्यम में प्रकाश का वेग वास्तव में कम होता है।)

(N/A) क्वार्क्स पर आंशिक आवेश होता है,लेकिन वे प्रबल नाभिकीय बलों द्वारा प्रोटॉन और न्यूट्रॉन के भीतर बंधे होते हैं। उन्हें अलग नहीं किया जा सकता है,इसलिए मिलिकन का प्रयोग,जो मुक्त कणों के आवेश को मापता है,केवल $e$ के पूर्णांक गुणजों का ही पता लगाता है।
$(b)$ विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों में,एक इलेक्ट्रॉन की गति उन समीकरणों द्वारा नियंत्रित होती है जिनमें $e$ और $m$ केवल $e/m$ (विशिष्ट आवेश) के अनुपात के रूप में होते हैं। उदाहरण के लिए,$v = \sqrt{2V(e/m)}$ और $v = Br(e/m)$। इस प्रकार,गतिशीलता इस अनुपात द्वारा निर्धारित होती है।
$(c)$ सामान्य दबाव पर,गैस के अणु सघन होते हैं,जिससे बार-बार टक्कर और आयनों का पुनर्संयोजन होता है,जो उन्हें इलेक्ट्रोड तक पहुँचने से रोकता है। कम दबाव पर,माध्य मुक्त पथ बढ़ जाता है,जिससे आयनों को इलेक्ट्रोड तक पहुँचने और बिजली का संचालन करने की अनुमति मिलती है।
$(d)$ कार्य फलन धातु की सतह से इलेक्ट्रॉन को निकालने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा है। धातु के अंदर के इलेक्ट्रॉन विभिन्न ऊर्जा स्तरों पर होते हैं। जब एक फोटॉन टकराता है,तो इलेक्ट्रॉन बाहर निकलने से पहले टक्करों के माध्यम से ऊर्जा खो सकता है,जिसके परिणामस्वरूप गतिज ऊर्जा का वितरण होता है।
$(e)$ एक कण की निरपेक्ष ऊर्जा एक योगात्मक स्थिरांक तक मनमानी है,जो आवृत्ति $\nu$ (निरपेक्ष ऊर्जा से जुड़ी) को भौतिक रूप से गैर-अद्वितीय बनाती है। हालाँकि,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ संवेग से संबंधित है,जो मापने योग्य है। परिणामस्वरूप,चरण गति $\nu\lambda$ भौतिक रूप से महत्वपूर्ण नहीं है,जबकि समूह गति $v_g = d\nu/d(1/\lambda) = p/m$ कण के वेग का प्रतिनिधित्व करती है।

(N/A) इलेक्ट्रॉन के आकार की ऊपरी सीमा निर्धारित करने का एक शक्तिशाली तरीका उच्च-ऊर्जा इलेक्ट्रॉन प्रकीर्णन (scattering) प्रयोगों का उपयोग करना है। इलेक्ट्रॉनों पर अन्य उच्च-ऊर्जा कणों की बौछार करके या अत्यधिक उच्च ऊर्जा पर नाभिक से इलेक्ट्रॉनों के प्रकीर्णन का अध्ययन करके,भौतिक विज्ञानी इलेक्ट्रॉन की संरचना की जांच कर सकते हैं। यदि इलेक्ट्रॉन का आकार सीमित होता,तो प्रकीर्णन क्रॉस-सेक्शन बहुत उच्च संवेग हस्तांतरण (momentum transfer) पर बिंदु-कण क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स $(QED)$ के पूर्वानुमानों से विचलित हो जाता। वर्तमान में,प्रयोगात्मक परिणाम यह दर्शाते हैं कि इलेक्ट्रॉन लगभग $10^{-18} \ m$ के पैमाने तक एक बिंदु-कण के रूप में व्यवहार करता है।

(B) स्कैनिंग टनलिंग माइक्रोस्कोप $(STM)$ परमाणु स्तर पर सतहों की इमेजिंग के लिए उपयोग किया जाने वाला एक शक्तिशाली उपकरण है।
इसे विशेष रूप से नैनोस्केल पर पदार्थ का अध्ययन करने और उसे हेरफेर करने के लिए डिज़ाइन किया गया है,जो इसे नैनो टेक्नोलॉजी के क्षेत्र में एक मौलिक उपकरण बनाता है।

(N/A) प्रकाश की प्रकृति (कण या तरंग) कोई अंतर्निहित गुण नहीं है,बल्कि यह इसे देखने के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रयोगात्मक सेटअप पर निर्भर करती है।
$1$. तरंग प्रकृति: नेत्र लेंस द्वारा प्रकाश को इकट्ठा करने और केंद्रित करने की क्रियाविधि को प्रकाश के तरंग चित्र का उपयोग करके सबसे अच्छी तरह समझाया गया है,क्योंकि इसमें अपवर्तन और व्यतिकरण जैसी घटनाएं शामिल हैं।
$2$. कण प्रकृति: रेटिना पर शंकु (cone) और छड़ (rod) कोशिकाओं द्वारा प्रकाश का अवशोषण प्रकाश के फोटॉन (कण) चित्र की मांग करता है,जहां प्रकाश जैविक संकेतों को ट्रिगर करने के लिए ऊर्जा के अलग-अलग पैकेट के रूप में कार्य करता है।

(A) परमाणुओं और अणुओं के द्रव्यमान को मापने के लिए उपयोग किए जाने वाले उपकरण को $Mass \ spectrometer$ (द्रव्यमान स्पेक्ट्रोमीटर) कहा जाता है। मास स्पेक्ट्रोमीटर रासायनिक प्रजातियों को आयनित करके और आयनों को उनके द्रव्यमान-से-आवेश अनुपात $(m/z)$ के आधार पर छांटकर कार्य करता है।

(B) $E$ ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य $\lambda_e = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ द्वारा दी जाती है।
$E$ ऊर्जा वाले फोटॉन की तरंगदैर्घ्य $\lambda_p = \frac{hc}{E}$ द्वारा दी जाती है।
इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्घ्य और फोटॉन की तरंगदैर्घ्य का अनुपात $\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \times \frac{E}{hc}$ है।
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{1}{c} \frac{E}{\sqrt{2mE}} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2m}} = \frac{1}{c} \left(\frac{E}{2m}\right)^{1/2}$ प्राप्त होता है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में $3 \rightarrow 2$ संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $E = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \times \frac{5}{36} \approx 1.89 \, eV$ है।
फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ में उनके वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $r = \frac{mv}{qB}$ है,जहाँ $p = mv = qBr$ है।
अतः,$K.E. = \frac{p^2}{2m} = \frac{(qBr)^2}{2m}$.
दिया गया है $q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$B = 5 \times 10^{-4} \, T$,और $r = 7 \times 10^{-3} \, m$:
$p = (1.6 \times 10^{-19}) \times (7 \times 10^{-3}) \times (5 \times 10^{-4}) = 5.6 \times 10^{-25} \, kg \cdot m/s$.
$K.E. = \frac{(5.6 \times 10^{-25})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31}} = \frac{31.36 \times 10^{-50}}{18.2 \times 10^{-31}} \approx 1.723 \times 10^{-19} \, J$.
$eV$ में परिवर्तित करने पर: $K.E. = \frac{1.723 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 1.077 \, eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए: $\Phi = E_{photon} - K.E._{max} = 1.89 \, eV - 1.077 \, eV = 0.813 \, eV \approx 0.82 \, eV$.

(C) दिया गया है कि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य समान हैं: $\lambda_e = \lambda_{ph}$.
चूंकि $\lambda = \frac{h}{p}$,इसलिए $p_e = p_{ph}$ होगा।
इलेक्ट्रॉन का संवेग $p_e = \sqrt{2mK_e}$ है और फोटॉन का संवेग $p_{ph} = \frac{E_{ph}}{c}$ है।
संवेगों की तुलना करने पर: $\sqrt{2mK_e} = \frac{E_{ph}}{c}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2mK_e = \frac{E_{ph}^2}{c^2}$.
इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K_e)$ और फोटॉन की ऊर्जा $(E_{ph})$ के अनुपात के लिए:
$\frac{K_e}{E_{ph}} = \frac{E_{ph}}{2mc^2}$.
चूंकि $E_{ph} = p_{ph}c$ और $p_{ph} = p_e = mv$,इसलिए $E_{ph} = (mv)c$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{K_e}{E_{ph}} = \frac{mvc}{2mc^2} = \frac{v}{2c}$.

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए: $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
दिया गया है: $hc = 20 \times 10^{-26} \, J \cdot m$,$\lambda = 500 \times 10^{-9} \, m$,और $\phi = 1.25 \, eV = 1.25 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 2 \times 10^{-19} \, J$.
$K_{\max} = \frac{20 \times 10^{-26}}{500 \times 10^{-9}} - 2 \times 10^{-19} = 4 \times 10^{-19} - 2 \times 10^{-19} = 2 \times 10^{-19} \, J$.
चुंबकीय क्षेत्र में वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{2 m_e K_{\max}}}{eB}$ होती है।
$B$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $B = \frac{\sqrt{2 m_e K_{\max}}}{er}$.
मान रखने पर: $B = \frac{\sqrt{2 \times 9 \times 10^{-31} \times 2 \times 10^{-19}}}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.3} = \frac{\sqrt{36 \times 10^{-50}}}{0.48 \times 10^{-19}} = \frac{6 \times 10^{-25}}{0.48 \times 10^{-19}} = 12.5 \times 10^{-6} \, T = 125 \times 10^{-7} \, T$.
अतः,$B$ का मान $125 \times 10^{-7} \, T$ है।

(D) प्रणाली की कोणीय गति $\omega = 600 \,rev/s = 600 \times 2\pi \,rad/s = 1200\pi \,rad/s$ है।
परमाणु को दूसरी स्लिट से गुजरने के लिए,दूसरी डिस्क को उस समय $t$ में $\pi$ रेडियन के विषम गुणज (अर्थात $\pi, 3\pi, 5\pi, \dots$) में घूमना चाहिए,जो परमाणु को $L = 0.5 \,m$ की दूरी तय करने में लगता है।
लिया गया समय $t = L/v$ है।
डिस्क द्वारा घुमाया गया कोण $\theta = \omega t = \omega (L/v)$ है।
स्लिट्स के संरेखित होने के लिए,$\theta = (2n-1)\pi$ जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
अतः,$\omega (L/v) = (2n-1)\pi$।
$v = \frac{\omega L}{(2n-1)\pi} = \frac{1200\pi \times 0.5}{(2n-1)\pi} = \frac{600}{2n-1}$।
$n=1$ के लिए,$v_1 = 600/1 = 600 \,m/s$।
$n=2$ के लिए,$v_2 = 600/3 = 200 \,m/s$।
इस प्रकार,दो सबसे बड़ी गति $600 \,m/s$ और $200 \,m/s$ हैं।