Kirchhoff's Law and Whitestone Bridge Circuit solving Questions in Hindi

(A) माना जंक्शन $A$ पर विभव $V_A = 3 \text{ V}$ है और जंक्शन $C$ पर विभव $V_C = 0 \text{ V}$ है।
माना जंक्शन $B$ पर विभव $V_B$ है।
जंक्शन $B$ पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
$\frac{V_B - V_A}{6} + \frac{V_B - V_C}{12} + \frac{V_B - V_C}{12} = 0$
$\frac{V_B - 3}{6} + \frac{V_B}{12} + \frac{V_B}{12} = 0$
$12$ से गुणा करने पर:
$2(V_B - 3) + V_B + V_B = 0$
$2V_B - 6 + 2V_B = 0$
$4V_B = 6 \implies V_B = 1.5 \text{ V}$.
$A$ और $B$ के बीच $6 \Omega$ के प्रतिरोधक से होकर बहने वाली धारा $I = \frac{V_A - V_B}{6} = \frac{3 - 1.5}{6} = \frac{1.5}{6} = 0.25 \text{ A}$ है।

(C) माना जंक्शन $P$ पर विभव $V$ है। जंक्शन $P$ पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर,जंक्शन में प्रवेश करने वाली धाराओं का योग जंक्शन से बाहर निकलने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है:
$I = I_1 + I_2$
$\frac{24 - V}{3} = \frac{V - 10}{2} + \frac{V - 9}{1}$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $6$ से गुणा करने पर:
$2(24 - V) = 3(V - 10) + 6(V - 9)$
$48 - 2V = 3V - 30 + 6V - 54$
$48 - 2V = 9V - 84$
$132 = 11V$
$V = 12 \,V$
अब,$P$ पर विभव का उपयोग करके धारा $I$ की गणना करने पर:
$I = \frac{24 - V}{3} = \frac{24 - 12}{3} = \frac{12}{3} = 4 \,A$

(D) किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार, किसी जंक्शन में प्रवेश करने वाली धाराओं का योग उससे बाहर निकलने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
जंक्शन $A$ पर:
$i_1 = 3 \text{ A} + 2 \text{ A} = 5 \text{ A}$
जंक्शन $B$ पर:
धारा $i_1$ जंक्शन में प्रवेश करती है और $2 \text{ A}$ बाहर निकलती है। मान लीजिए $i_2$ जंक्शन $C$ की ओर बहने वाली धारा है।
$i_1 = 2 \text{ A} + i_2$
$5 \text{ A} = 2 \text{ A} + i_2 \implies i_2 = 3 \text{ A}$
जंक्शन $C$ पर:
धाराएं $i_2$ और $1 \text{ A}$ जंक्शन में प्रवेश करती हैं और $i$ बाहर निकलती है।
$i = i_2 + 1 \text{ A}$
$i = 3 \text{ A} + 1 \text{ A} = 4 \text{ A}$

(D) दिया गया है कि विद्युत धारा $I = 1 \text{ A}$,$A$ से $C$ की ओर प्रवाहित हो रही है। बिंदु $B$ पर विभव $V_B = 0 \text{ V}$ है।
भाग $AB$ के लिए,विभवांतर $V_A - V_B = I \times R_{AB} = 1 \text{ A} \times 1.5 \text{ } \Omega = 1.5 \text{ V}$ है।
चूंकि $V_B = 0 \text{ V}$ है,इसलिए $V_A = 1.5 \text{ V}$ होगा।
भाग $BC$ के लिए,$B$ से $C$ तक किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ का उपयोग करने पर:
$V_B - I \times R_{BC} + E = V_C$
यहाँ,$V_B = 0 \text{ V}$,$I = 1 \text{ A}$,$R_{BC} = 2.5 \text{ } \Omega$ और बैटरी $E = 2 \text{ V}$ है।
$0 - (1 \times 2.5) + 2 = V_C$
$V_C = -2.5 + 2 = -0.5 \text{ V}$.
अतः,$V_A = 1.5 \text{ V}$ और $V_C = -0.5 \text{ V}$ है।

(D) व्हीटस्टोन ब्रिज के संतुलित होने के लिए,भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए: $\frac{R_1}{R_4} = \frac{R_{\text{bulb}}}{R_3}$.
दिया गया है $R_1 = 4 \Omega$,$R_4 = 8 \Omega$,और $R_3 = 12 \Omega$:
$\frac{4}{8} = \frac{R_{\text{bulb}}}{12} \implies R_{\text{bulb}} = \frac{4 \times 12}{8} = 6 \Omega$.
बल्ब के लिए ओम के नियम का उपयोग करने पर,$V = i R_{\text{bulb}} = 6i$.
दिया गया है $V = i(2i + 1)$,दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$6i = i(2i + 1) \implies 6 = 2i + 1 \implies 2i = 5 \implies i = 2.5 \text{ A}$.
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,कुल वोल्टेज $V_b = i(R_1 + R_{\text{bulb}}) = 2.5(4 + 6) = 25 \text{ V}$.

(B) व्हीटस्टोन ब्रिज में,संतुलन की शर्त भुजाओं में प्रतिरोधों के अनुपात द्वारा दी जाती है: $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$,जहाँ $S$ चौथी भुजा का तुल्य प्रतिरोध है।
यह दिया गया है कि चौथी भुजा में दो प्रतिरोध $S_1$ और $S_2$ समानांतर में जुड़े हैं,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $S$ इस प्रकार है:
$S = \frac{S_1 S_2}{S_1 + S_2}$
$S$ के इस मान को संतुलन शर्त के समीकरण में रखने पर:
$\frac{P}{Q} = \frac{R}{\left(\frac{S_1 S_2}{S_1 + S_2}\right)}$
$\frac{P}{Q} = \frac{R(S_1 + S_2)}{S_1 S_2}$

(A) एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,स्थिति $\frac{R_1}{L} = \frac{R_3}{K}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $\frac{R_3}{R_1} = \frac{K}{L}$।
चूंकि ब्रिज संतुलित है,गैल्वेनोमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। अतः,$R_1$ और $R_3$ श्रेणीक्रम में हैं और उनसे समान धारा $I_1$ प्रवाहित हो रही है।
एक प्रतिरोधक द्वारा व्ययित शक्ति $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,$R_3$ द्वारा व्ययित शक्ति $P_3 = I_1^2 R_3$ है और $R_1$ द्वारा व्ययित शक्ति $P_1 = I_1^2 R_1$ है।
शक्तियों का अनुपात $\frac{P_3}{P_1} = \frac{I_1^2 R_3}{I_1^2 R_1} = \frac{R_3}{R_1}$ है।
संतुलित ब्रिज की स्थिति को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{P_3}{P_1} = \frac{K}{L}$ प्राप्त होता है।

(A) व्हीटस्टोन ब्रिज के संतुलित होने के लिए,गैल्वेनोमीटर के सिरों के बीच विभवांतर शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि इसमें से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
दिए गए परिपथ आरेख के अनुसार,प्रतिरोध इस प्रकार व्यवस्थित हैं कि संतुलन की स्थिति में आसन्न भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होता है।
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए शर्त $\frac{R_2}{R_1} = \frac{R_4}{R_3}$ है।
अतः,विकल्प $A$ सही व्यंजक है।

(C) एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होता है: $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$।
दिया गया है,पहले मामले में: $\frac{A}{B} = \frac{100}{D} \quad ... (1)$
जब $A$ और $B$ को आपस में बदल दिया जाता है,तो नया अनुपात $\frac{B}{A} = \frac{121}{D}$ हो जाता है $\quad ... (2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ का गुणा करने पर:
$\left(\frac{A}{B}\right) \times \left(\frac{B}{A}\right) = \left(\frac{100}{D}\right) \times \left(\frac{121}{D}\right)$
$1 = \frac{12100}{D^2}$
$D^2 = 12100$
$D = \sqrt{12100} = 110 \ \Omega$.

(B) स्थिर अवस्था में,संधारित्र (capacitor) एक ओपन सर्किट के रूप में कार्य करता है,जिसका अर्थ है कि संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
मान लीजिए कि बाएं लूप में धारा $I$ है। परिपथ एक एकल लूप में सरल हो जाता है जिसमें $2 \ V$ का सेल,$2 \ V$ का सेल,$4 \ \Omega$ का प्रतिरोधक,$2 \ \Omega$ का प्रतिरोधक और $8 \ \Omega$ का प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं।
लूप के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$2 \ V + 2 \ V - I(4 \ \Omega + 2 \ \Omega + 8 \ \Omega) = 0$
$4 \ V = I(14 \ \Omega)$
$I = \frac{4 \ V}{14 \ \Omega} = \frac{2}{7} \ A \approx 0.2857 \ A \approx 0.29 \ A$.
अतः,$2 \ \Omega$ के प्रतिरोधक से होकर बहने वाली धारा लगभग $0.29 \ A$ है।

(A, C) बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध तब अपरिवर्तित रहता है जब दो बिंदुओं के बीच एक प्रतिरोध $R$ जोड़ा जाता है,यदि उन दो बिंदुओं के बीच विभवांतर शून्य हो। यह व्हीटस्टोन ब्रिज की संतुलित स्थिति के बराबर है,जहाँ $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ होता है।
विकल्प $(a)$ के लिए: बिंदुओं $2$ और $6$ को जोड़ने पर $(2r, r)$ और $(4r, 2r)$ प्रतिरोधों की भुजाओं वाला एक ब्रिज बनता है। चूँकि $\frac{2r}{4r} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$,इसलिए ब्रिज संतुलित है।
विकल्प $(b)$ के लिए: बिंदुओं $3$ और $6$ को जोड़ने पर $(3r, r)$ और $(3r, 2r)$ प्रतिरोधों की भुजाओं वाला एक ब्रिज बनता है। चूँकि $\frac{3r}{3r} \neq \frac{r}{2r}$,इसलिए ब्रिज संतुलित नहीं है।
विकल्प $(c)$ के लिए: बिंदुओं $4$ और $7$ को जोड़ने पर $(4r, 2r)$ और $(2r, r)$ प्रतिरोधों की भुजाओं वाला एक ब्रिज बनता है। चूँकि $\frac{4r}{2r} = \frac{2r}{r} = 2$,इसलिए ब्रिज संतुलित है।
विकल्प $(d)$ के लिए: बिंदुओं $4$ और $6$ को जोड़ने पर $(4r, r)$ और $(2r, 2r)$ प्रतिरोधों की भुजाओं वाला एक ब्रिज बनता है। चूँकि $\frac{4r}{2r} \neq \frac{r}{2r}$,इसलिए ब्रिज संतुलित नहीं है।
अतः,विकल्प $(a)$ और $(c)$ के लिए तुल्य प्रतिरोध अपरिवर्तित रहता है।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक प्रतिरोध का मान $R = 1 k\Omega = 1000 \Omega$ है। यह परिपथ एक लैडर नेटवर्क है। मान लीजिए कि सबसे दाईं ओर के ऊर्ध्वाधर प्रतिरोध $X$ में धारा $I_4 = 1 mA$ है। इससे जुड़े क्षैतिज प्रतिरोध में भी $1 mA$ धारा प्रवाहित होगी।
$X$ के ऊपर नोड पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर,$X$ के बाईं ओर के ऊर्ध्वाधर प्रतिरोध में धारा $I_v = 1 mA + 1 mA = 2 mA$ होगी।
बाईं ओर बढ़ते हुए,अगले क्षैतिज प्रतिरोध में धारा $I_h = 1 mA + 2 mA = 3 mA$ होगी।
अगले ऊर्ध्वाधर प्रतिरोध में धारा $I_v = 3 mA + 2 mA = 5 mA$ होगी।
इस प्रक्रिया को जारी रखने पर:
- अगले क्षैतिज प्रतिरोध में धारा: $I_h = 3 mA + 5 mA = 8 mA$।
- अगले ऊर्ध्वाधर प्रतिरोध में धारा: $I_v = 8 mA + 5 mA = 13 mA$।
- पहले क्षैतिज प्रतिरोध में धारा: $I_h = 8 mA + 13 mA = 21 mA$।
- पहले ऊर्ध्वाधर प्रतिरोध में धारा: $I_v = 21 mA + 13 mA = 34 mA$।
$A$ और $B$ के बीच विभवांतर पहले ऊर्ध्वाधर प्रतिरोध पर वोल्टेज है: $V_{AB} = I_{v1} \times R = 34 mA \times 1 k\Omega = 34 V$।

(B) माना बैटरी से कुल धारा $I$ निकल रही है और दाहिने लूप में बहने वाली धारा $I_1$ है। दाहिने लूप (लूप $BCDEB$) पर किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$2 I_1 + 4 I_1 + 2 I_1 - 8(I - I_1) = 0$
$8 I_1 - 8 I + 8 I_1 = 0$
$16 I_1 = 8 I \Rightarrow I_1 = 0.5 I$.
अब,बाएं लूप (लूप $ABEF$) पर किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$9 - 3 I - 8(I - I_1) - 2 I = 0$
$9 - 5 I - 8(I - 0.5 I) = 0$
$9 - 5 I - 8(0.5 I) = 0$
$9 - 5 I - 4 I = 0$
$9 I = 9 \Rightarrow I = 1 A$.
अतः,$4 \Omega$ के प्रतिरोध से होकर बहने वाली धारा $I_1 = 0.5 \times 1 A = 0.5 A$ है।

(B, D) मान लीजिए बैटरी का वोल्टेज $V = 10 \ V$ है। जब कुंजी $K$ खुली होती है,तो परिपथ एक श्रेणी-समांतर संयोजन होता है। तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = (200 + 300) \parallel (100 + G) = \frac{500(100+G)}{600+G}$ है। गैल्वेनोमीटर शाखा से प्रवाहित धारा $I_{G, open} = \frac{V}{100+G}$ है।
जब कुंजी $K$ बंद होती है,तो परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज बन जाता है। गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित धारा न बदलने का अर्थ है कि ब्रिज संतुलित है,अर्थात $\frac{200}{100} = \frac{300}{G}$।
$G$ के लिए हल करने पर: $G = \frac{300 \times 100}{200} = 150 \ \Omega$। अतः,विकल्प $D$ सही है।
$G = 150 \ \Omega$ के साथ,कुंजी बंद होने पर गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित धारा $I_{G, closed} = \frac{V}{R_{eq}'}$ है। चूंकि ब्रिज संतुलित है,गैल्वेनोमीटर के दोनों सिरों पर विभव समान है,और धारा विभव विभाजक द्वारा निर्धारित होती है: $I_G = \frac{10}{100+150} = \frac{10}{250} = 0.04 \ A = 40 \ mA$। अतः,विकल्प $B$ सही है।
चूंकि ब्रिज संतुलित है,भुजाओं में प्रतिरोधों का अनुपात समान है,इसलिए ऊपरी और निचली शाखाओं में धारा गैल्वेनोमीटर के कनेक्शन से स्वतंत्र है,लेकिन $200 \ \Omega$ से प्रवाहित धारा का $300 \ \Omega$ से प्रवाहित धारा के बराबर होना आवश्यक नहीं है जब तक कि प्रतिरोध समान न हों। यहाँ $200 \ \Omega \neq 300 \ \Omega$,इसलिए विकल्प $C$ गलत है।

(B) माना कि बाईं और दाईं शाखाओं में धाराएँ क्रमशः $I_1$ और $I_2$ हैं। बीच वाली शाखा में धारा $I = I_1 + I_2$ है।
बाएँ लूप के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$2 - 2I_1 - 2I = 0 \implies 2 - 2I_1 - 2(I_1 + I_2) = 0 \implies 2 - 4I_1 - 2I_2 = 0 \implies 2I_1 + I_2 = 1$ ---$(i)$
दाएँ लूप के लिए $KVL$ लागू करने पर:
$-2 - 2I_2 - 2I = 0 \implies -2 - 2I_2 - 2(I_1 + I_2) = 0 \implies -2 - 2I_1 - 4I_2 = 0 \implies I_1 + 2I_2 = -1$ ---(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को हल करने पर:
$(i)$ से,$I_2 = 1 - 2I_1$. इसे (ii) में रखने पर:
$I_1 + 2(1 - 2I_1) = -1$
$I_1 + 2 - 4I_1 = -1$
$-3I_1 = -3 \implies I_1 = 1 A$
अतः $I_2 = 1 - 2(1) = -1 A$.
बीच वाली शाखा में धारा $I = I_1 + I_2 = 1 + (-1) = 0 A$ होगी।

(D) व्हीटस्टोन ब्रिज की संतुलित स्थिति के अनुसार,विपरीत भुजाओं में प्रतिरोधों का अनुपात समान होता है: $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$।
प्रथम स्थिति में:
$\frac{P}{Q} = \frac{5}{S} \quad \dots(i)$
दूसरी स्थिति में,$R$ को बढ़ाकर $7 \Omega$ कर दिया जाता है और $S$ को $3 \Omega$ बढ़ा दिया जाता है (अर्थात $S + 3 \Omega$):
$\frac{P}{Q} = \frac{7}{S + 3} \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{5}{S} = \frac{7}{S + 3}$
$5(S + 3) = 7S$
$5S + 15 = 7S$
$2S = 15$
$S = 7.5 \Omega$
अतः,$S$ का प्रारंभिक मान $7.5 \Omega$ है।

(D) एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,आसन्न भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए,अर्थात $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$।
मान लीजिए कि चार भुजाएँ $P = 10 \Omega$,$Q = 10 \Omega$,$R = 10 \Omega$ और $S = 30 \Omega$ हैं।
ब्रिज को संतुलित करने के लिए,चौथी भुजा में प्रभावी प्रतिरोध $S'$ ऐसा होना चाहिए कि $\frac{10}{10} = \frac{10}{S'}$,जिससे $S' = 10 \Omega$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि $30 \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर में $x$ प्रतिरोध जोड़ा जाता है ताकि समतुल्य प्रतिरोध $10 \Omega$ हो जाए।
समानांतर संयोजन के लिए सूत्र $\frac{1}{S'} = \frac{1}{30} + \frac{1}{x}$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{10} = \frac{1}{30} + \frac{1}{x}$।
$\frac{1}{x} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{3-1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$।
अतः,$x = 15 \Omega$।

(C) मान लीजिए कुल वोल्टेज $V = 40 \text{ V}$ है।
शुरू में,सभी प्रतिरोध $R$ हैं। ब्रिज संतुलित है,इसलिए $V_a = V_b = V/2 = 20 \text{ V}$ है।
गर्म करने के बाद,$R_3$ का मान $R' = R + 0.1R = 1.1R$ हो जाता है।
अब ब्रिज दो समानांतर शाखाओं से बना है: एक $(R_1 + R_2)$ के साथ और दूसरी $(R_3 + R_4)$ के साथ।
हालाँकि,नोड $a$ और $b$ इन शाखाओं के मध्य बिंदु हैं।
नोड $a$ पर वोल्टेज ($R_1$ और $R_2$ के बीच): $V_a = V \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} = 40 \times \frac{R}{R + R} = 20 \text{ V}$।
नोड $b$ पर वोल्टेज ($R_3$ और $R_4$ के बीच): $V_b = V \times \frac{R_4}{R_3 + R_4} = 40 \times \frac{R}{1.1R + R} = 40 \times \frac{R}{2.1R} = \frac{40}{2.1} \approx 19.0476 \text{ V}$।
विभवांतर $V_a - V_b = 20 - 19.0476 = 0.9524 \text{ V}$ है।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.95 \text{ V}$ प्राप्त होता है।

(B) बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ की सममिति या नोडल विश्लेषण का उपयोग कर सकते हैं। मान लीजिए कि $A$ और $B$ के बीच $1 \text{ V}$ का विभवांतर लगाया गया है।
मान लीजिए कि $A$ पर प्रवेश करने वाली कुल धारा $i$ है। इस परिपथ को एक ब्रिज परिपथ के रूप में पहचान कर सरल बनाया जा सकता है।
किरचॉफ के नियमों का उपयोग करके या सममिति को पहचान कर,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$R_{eq} = \frac{21}{5} \Omega$.
इसे दिए गए व्यंजक $\frac{x}{5} \Omega$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x}{5} = \frac{21}{5}$
अतः,$x = 21$.

(B) दिया गया परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज विन्यास का प्रतिनिधित्व करता है जहाँ गैल्वेनोमीटर बिंदु $P$ पर शून्य विक्षेप दिखाता है।
इसका अर्थ है कि ब्रिज संतुलित है।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_{AP}}{R_{PB}}$
यहाँ $R_1 = 6 \ \Omega$ और $R_2 = 4 \ \Omega$ दिए गए हैं।
मान लीजिए कि तार $AB$ की कुल लंबाई $L = 50 \text{ cm}$ है।
मान लीजिए $\ell_{AP} = x$ और $\ell_{PB} = 50 - x$ है।
चूंकि तार का प्रतिरोध उसकी लंबाई के समानुपाती होता है $(R = \rho \frac{\ell}{A})$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\frac{6}{4} = \frac{x}{50 - x}$
$\frac{3}{2} = \frac{x}{50 - x}$
$3(50 - x) = 2x$
$150 - 3x = 2x$
$5x = 150$
$x = 30 \text{ cm}$
अतः,लंबाई $AP = 30 \text{ cm}$ है।

(B) यह परिपथ एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज है क्योंकि भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ है।
इसलिए,मध्य के $1 \ \Omega$ प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
ऊपरी शाखा का तुल्य प्रतिरोध $1 + 2 = 3 \ \Omega$ है।
निचली शाखा का तुल्य प्रतिरोध $2 + 4 = 6 \ \Omega$ है।
समांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_{AB} = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2 \ \Omega$ है।
आंतरिक प्रतिरोध $r = 1 \ \Omega$ सहित परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{AB} + r = 2 + 1 = 3 \ \Omega$ है।
बैटरी से ली गई कुल धारा $i = \frac{V}{R_{total}} = \frac{9}{3} = 3 \text{ A}$ है।
बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच उत्पन्न ऊष्मा $H = i^2 R_{AB} t$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $t = 60 \text{ s}$ है।
$H = (3)^2 \times 2 \times 60 = 9 \times 2 \times 60 = 1080 \text{ J}$.

(D) एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,विपरीत भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होता है।
चित्र से,ब्रिज की भुजाएँ $15 \Omega$,$10 \Omega$,$r \Omega$ और $r \Omega$ तथा $n \Omega$ का समानांतर संयोजन हैं।
मान लीजिए $R_1 = 15 \Omega$,$R_2 = 10 \Omega$,$R_3 = r \Omega$,और $R_4 = \frac{r \cdot n}{r + n} \Omega$ है।
व्हीटस्टोन ब्रिज के संतुलित होने की शर्त $\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4}$ है।
मान रखने पर: $\frac{15}{r} = \frac{10}{\frac{rn}{r+n}}$.
इसे सरल करने पर: $\frac{15}{r} = \frac{10(r+n)}{rn}$.
दोनों तरफ से $r$ को हटाने पर: $15 = \frac{10(r+n)}{n}$.
$15n = 10r + 10n \implies 5n = 10r \implies n = 2r$.
यदि $r = 1.25 \Omega$ लिया जाए,तो $n = 2(1.25) = 2.5 = \frac{5}{2} \Omega$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,विपरीत भुजाओं में प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए,अर्थात $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$.
दी गई आकृति से,प्रतिरोध $P = 2\Omega$,$Q = 2\Omega$,$R = 6\Omega$ हैं और भुजा $S$ में $X$ और $6\Omega$ का प्रतिरोध समानांतर क्रम में है।
भुजा $S$ में समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $S = \frac{X \cdot 6}{X + 6}$ है।
संतुलित ब्रिज की स्थिति लागू करने पर: $\frac{2}{2} = \frac{6}{\left(\frac{6X}{X + 6}\right)}$.
इसे सरल करने पर $1 = \frac{6(X + 6)}{6X}$ प्राप्त होता है।
$1 = \frac{X + 6}{X}$.
चूंकि $CD_{eq} = 2\Omega$ है,इसलिए $\frac{X \cdot 6}{X + 6} = 2$ होगा।
$6X = 2(X + 6)$.
$6X = 2X + 12$.
$4X = 12$,जिससे $X = 3\Omega$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि बाईं ओर के $4 \Omega$ और $2 \Omega$ प्रतिरोधों के बीच जंक्शन पर विभव $V_L$ है और दाईं ओर के जंक्शन पर विभव $V_R$ है। नोड्स पर किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ का उपयोग करके और सर्किट को हल करके,हम धाराओं को प्राप्त करते हैं।
नोडल विश्लेषण लागू करने पर,सर्किट एक ऐसे नेटवर्क में सरल हो जाता है जहाँ धाराएँ शाखाओं में विभवांतर द्वारा निर्धारित होती हैं।
तुल्य प्रतिरोध की गणना करके और ओम के नियम का उपयोग करके,हम पाते हैं कि $I_1 = 1.875 \text{ A}$,$I_2 = 1.875 \text{ A}$,और $I_3 = 2.5 \text{ A}$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(NONE) मान लीजिए कि $3\text{ }\Omega$,$6\text{ }\Omega$ और $4\text{ }\Omega$ प्रतिरोधों के बीच के जंक्शन पर विभव $V$ है। दाईं ओर के जंक्शन पर विभव $0\text{ V}$ मान लें।
$V$ विभव वाले जंक्शन पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
$\frac{V - 2}{3} + \frac{V - 3}{6} + \frac{V - 0}{4} = 0$
हर को हटाने के लिए $12$ से गुणा करने पर:
$4(V - 2) + 2(V - 3) + 3V = 0$
$4V - 8 + 2V - 6 + 3V = 0$
$9V = 14 \implies V = \frac{14}{9}\text{ V}$.
$6\text{ }\Omega$ प्रतिरोध से गुजरने वाली धारा $I = \frac{V - 3}{6} = \frac{\frac{14}{9} - 3}{6} = \frac{\frac{14 - 27}{9}}{6} = \frac{-13}{54}\text{ A}$.
धारा का परिमाण $|I| = \frac{13}{54}\text{ A}$ है।
उत्पन्न ऊष्मा $H = I^2Rt = (\frac{13}{54})^2 \times 6 \times 100 = \frac{169}{2916} \times 600 = \frac{169 \times 600}{2916} = \frac{101400}{2916} \approx 34.77\text{ J}$.
दिया गया है कि $H = \frac{\alpha}{100} = 34.77$,इसलिए $\alpha = 3477$.