Circuit Solving for current and Voltage Questions in Gujarati

(C) ધારો કે દરેક સમાન બલ્બનો અવરોધ $R$ છે અને બેટરીનું $EMF$ $E$ છે, જેનો આંતરિક અવરોધ $r$ છે。
જ્યારે કી $K$ બંધ હોય, ત્યારે બલ્બ $B_{2}$ અને $B_{3}$ સમાંતર જોડાણમાં છે, અને આ સંયોજન $B_{1}$ સાથે શ્રેણીમાં છે। સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R + (R/2) = 1.5R$ છે। કુલ પ્રવાહ $I = E / (1.5R + r)$ છે। $B_{1}$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $V_{1} = I \cdot R = E \cdot R / (1.5R + r)$ છે。
જ્યારે કી $K$ ખોલવામાં આવે, ત્યારે બલ્બ $B_{3}$ પરિપથમાંથી દૂર થાય છે। હવે પરિપથમાં $B_{1}$ અને $B_{2}$ શ્રેણીમાં છે। નવો સમતુલ્ય અવરોધ $R'_{eq} = 2R$ છે। નવો કુલ પ્રવાહ $I' = E / (2R + r)$ છે。
પ્રવાહની સરખામણી કરતા: $2R > 1.5R$ હોવાથી, કુલ પ્રવાહ $I'$ એ $I$ કરતા ઓછો છે। તેથી, $B_{1}$ માંથી વહેતો પ્રવાહ ઘટે છે, પરિણામે તેની તેજસ્વિતા ઘટે છે。
$B_{2}$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $V'_{2} = I' \cdot R = E \cdot R / (2R + r)$ છે। $V'_{2}$ ની સરખામણી અગાઉના $B_{2}$ ના વોલ્ટેજ $(V_{2} = I \cdot (R/2) = E \cdot R / (3R + 2r))$ સાથે કરતા, આપણને જણાય છે કે $V'_{2} > V_{2}$. તેથી, $B_{2}$ ની તેજસ્વિતા વધે છે।

(B) બલ્બનો અવરોધ $R = \frac{V^2}{P}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ બલ્બ માટે: $R_1 = \frac{220^2}{25} = 1936 \ \Omega$.
બીજા બલ્બ માટે: $R_2 = \frac{220^2}{100} = 484 \ \Omega$.
બલ્બ શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,કુલ અવરોધ $R_{net} = R_1 + R_2 = 1936 + 484 = 2420 \ \Omega$ થાય.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V_{supply}}{R_{net}} = \frac{440}{2420} = \frac{2}{11} \ A$ છે.
$25 \ W$ ના બલ્બ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = I \times R_1 = \frac{2}{11} \times 1936 = 352 \ V$ છે.
$100 \ W$ ના બલ્બ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 = I \times R_2 = \frac{2}{11} \times 484 = 88 \ V$ છે.
$25 \ W$ ના બલ્બ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(352 \ V)$ તેના રેટ કરેલા વોલ્ટેજ $(220 \ V)$ કરતા વધારે હોવાથી,$25 \ W$ નો બલ્બ ફ્યુઝ થઈ જશે.

(A) ચાલો પરિપથમાં વિવિધ બિંદુઓ પર સ્થિતિમાનનું વિશ્લેષણ કરીએ.
સૌથી ડાબી બાજુના વાયરથી શરૂ કરીને,ધારો કે સ્થિતિમાન $0 \text{ V}$ છે.
ઉપરની શાખામાં આગળ વધતા,દરેક બેટરી પર સ્થિતિમાન $2 \text{ V}$ જેટલું બદલાય છે. તેવી જ રીતે,નીચેની શાખા માટે,દરેક બેટરી પર સ્થિતિમાન $2 \text{ V}$ જેટલું બદલાય છે.
પ્રથમ $1 \Omega$ ના ઉભા અવરોધ માટે,ઉપરના નોડ પર સ્થિતિમાન $0 \text{ V} - 2 \text{ V} = -2 \text{ V}$ છે અને નીચેના નોડ પર સ્થિતિમાન $0 \text{ V} - 2 \text{ V} = -2 \text{ V}$ છે.
આ અવરોધ પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $(-2 \text{ V}) - (-2 \text{ V}) = 0 \text{ V}$ છે.
તેવી જ રીતે,બીજા ઉભા અવરોધ માટે,ઉપરના નોડ પર સ્થિતિમાન $-2 \text{ V} - 2 \text{ V} = -4 \text{ V}$ છે અને નીચેના નોડ પર સ્થિતિમાન $-2 \text{ V} - 2 \text{ V} = -4 \text{ V}$ છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $(-4 \text{ V}) - (-4 \text{ V}) = 0 \text{ V}$ છે.
ત્રીજા અવરોધ માટે,ઉપરના નોડ પર સ્થિતિમાન $-4 \text{ V} - 2 \text{ V} = -6 \text{ V}$ છે અને નીચેના નોડ પર સ્થિતિમાન $-4 \text{ V} - 2 \text{ V} = -6 \text{ V}$ છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $(-6 \text{ V}) - (-6 \text{ V}) = 0 \text{ V}$ છે.
દરેક અવરોધ પર સ્થિતિમાનનો તફાવત $0 \text{ V}$ હોવાથી,દરેક અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = V/R = 0 \text{ V} / 1 \Omega = 0 \text{ A}$ થશે.

(B) ધારો કે અનંત સર્કિટનો સમતુલ્ય અવરોધ $x$ છે. સર્કિટ અનંત હોવાથી,શ્રેણી અને સમાંતરમાં $2 \Omega$ ના અવરોધોનો વધુ એક વિભાગ ઉમેરવાથી કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $x$ બદલાતો નથી.
આ સર્કિટને ઉપરની શાખામાં $2 \Omega$ અવરોધ,નીચેની શાખામાં $2 \Omega$ અવરોધ અને ઊભી $2 \Omega$ અવરોધ સાથે સમાંતરમાં સમતુલ્ય અવરોધ $x$ તરીકે જોઈ શકાય છે.
આમ,સમતુલ્ય અવરોધ $x$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x = 2 + 2 + \frac{2x}{2+x}$
$x - 4 = \frac{2x}{2+x}$
$(x - 4)(x + 2) = 2x$
$x^2 + 2x - 4x - 8 = 2x$
$x^2 - 4x - 8 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2}$
$x = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$
અવરોધ ધન હોવો જોઈએ,તેથી આપણે $x = 2 + 2\sqrt{3} \approx 2 + 2(1.732) = 5.464 \Omega$ લઈએ છીએ.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,આપણને $5.5 \Omega$ મળે છે.

(A) ધારો કે $R_{1} = R_{2} = R$. $R_{2}$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $(I - 1.5) \ A$ છે.
$E, R_{1}$,અને $R_{2}$ ધરાવતા લૂપમાં કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ કરતા:
$E - I R_{1} - (I - 1.5) R_{2} = 0$
$R_{1} = R_{2} = R$ હોવાથી,$E = I R + (I - 1.5) R = R(2I - 1.5) \quad ... (i)$
$E, R_{1}$,અને $R'$ ધરાવતા બહારના લૂપમાં $KVL$ લાગુ કરતા:
$E - I R_{1} - 1.5 R' = 0$
$E = I R + 1.5 R' \quad ... (ii)$
આપેલ પરિપથ આકૃતિ મુજબ,$R_{2}$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વોલ્ટેજ અને $R'$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વોલ્ટેજ સમાન છે,તેથી $V_{R_{2}} = V_{R'}$.
$(I - 1.5) R = 1.5 R'$
$R' = \frac{(I - 1.5) R}{1.5}$
$R'$ ને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$E = I R + 1.5 \left[ \frac{(I - 1.5) R}{1.5} \right] = I R + (I - 1.5) R = R(2I - 1.5)$
આ સુસંગતતા દર્શાવે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$R = 60 \ \Omega$ અને $E = 180 \ V$ ચકાસતા:
$180 = 60(2I - 1.5) \Rightarrow 3 = 2I - 1.5 \Rightarrow 2I = 4.5 \Rightarrow I = 2.25 \ A$.
તેથી $I - 1.5 = 2.25 - 1.5 = 0.75 \ A$.
$R_{2}$ પરનો વોલ્ટેજ $= 0.75 \times 60 = 45 \ V$.
$R'$ પરનો વોલ્ટેજ $= 1.5 \times R' = 45 \ V \Rightarrow R' = 30 \ \Omega$.
આ એક માન્ય ભૌતિક પરિપથ છે. આમ,$E = 180 \ V$ અને $R_{1} = 60 \ \Omega$ સાચી જોડી છે.

(A) સૌ પ્રથમ, આપણે પરિપથની રચના સમજીએ। $ 3 \ \Omega $ અને $ 6 \ \Omega $ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે। તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $ R_p = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = 2 \ \Omega $ છે।
આ $ R_p $ એ $ 2 \ \Omega $ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે। તેથી, આ શાખાનો કુલ અવરોધ $ R_{branch} = 2 + 2 = 4 \ \Omega $ થાય।
આ શાખા $ 4 \ \Omega $ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે। બાહ્ય પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $ R_{eq} = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = 2 \ \Omega $ છે।
આંતરિક અવરોધ $ r = 1 \ \Omega $ ને ગણતા, પરિપથનો કુલ અવરોધ $ R_{total} = 2 + 1 = 3 \ \Omega $ થાય।
બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $ I = \frac{4.5}{3} = 1.5 \ A $ છે।
સમાંતર જોડાણ પરનો વોલ્ટેજ $ V_{parallel} = 1.5 \times 2 = 3 \ V $ છે।
આ શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $ I_{branch} = \frac{3 \ V}{4 \ \Omega} = 0.75 \ A $ છે।
$ 3 \ \Omega $ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $ I_3 = 0.75 \times \frac{6}{3+6} = 0.5 \ A $ છે।
તેથી, વ્યય થતો પાવર $ P = I_3^2 \times R = (0.5)^2 \times 3 = 0.75 \ W $ થાય।

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ (ખુલ્લા પરિપથ) તરીકે વર્તે છે. પરિપથનું સાદું રૂપ આપતા,$2 \ \Omega$ અને $3 \ \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે,જે $2.8 \ \Omega$ ના અવરોધ અને $6 \ V$ ની બેટરી સાથે શ્રેણીમાં છે.
પ્રથમ,$2 \ \Omega$ અને $3 \ \Omega$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ ગણો:
$R_p = \frac{2 \times 3}{2 + 3} = \frac{6}{5} = 1.2 \ \Omega$
હવે,પરિપથનો કુલ અવરોધ:
$R_{eq} = R_p + 2.8 \ \Omega = 1.2 \ \Omega + 2.8 \ \Omega = 4 \ \Omega$
બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6 \ V}{4 \ \Omega} = 1.5 \ A$
આ પ્રવાહ $I$,$2 \ \Omega$ અને $3 \ \Omega$ ના અવરોધ ધરાવતી બે શાખાઓમાં વહેંચાય છે. કરંટ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$2 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2$:
$I_2 = I \times \frac{3}{2 + 3} = 1.5 \times \frac{3}{5} = 0.3 \times 3 = 0.9 \ A$

(B) પરિપથમાં $9 \text{ V}$ ની બેટરી અવરોધોના નેટવર્ક સાથે જોડાયેલી છે.
આકૃતિ જોતા,એમીટરની ડાબી બાજુએ $4$ અવરોધો સમાંતર જોડાયેલા છે અને એમીટરની જમણી બાજુએ $5$ અવરોધો સમાંતર જોડાયેલા છે.
એમીટર જમણી બાજુના $5$ અવરોધોના સમૂહ સાથે શ્રેણીમાં છે.
બેટરી આખા સમાંતર નેટવર્ક સાથે જોડાયેલી હોવાથી,જમણી બાજુના $5$ અવરોધો પરનો વોલ્ટેજ $9 \text{ V}$ છે.
દરેક અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_r = \frac{9 \text{ V}}{9 \Omega} = 1 \text{ A}$ છે.
જમણી બાજુએ $5$ અવરોધો સમાંતરમાં હોવાથી,એમીટરમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = 5 \times 1 \text{ A} = 5 \text{ A}$ થશે.

(D) કિસ્સો $1$: જ્યારે કી $(K)$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે પરિપથમાં $12 \ V$ નો કોષ અને $40 \ \Omega$ નો એક અવરોધ એમીટર સાથે શ્રેણીમાં હોય છે. ઓહ્મના નિયમ મુજબ પ્રવાહ $i_1 = V / R = 12 / 40 = 0.3 \ A$ મળે.
કિસ્સો $2$: જ્યારે કી $(K)$ બંધ હોય,ત્યારે બે $40 \ \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં હોય છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = (40 \times 40) / (40 + 40) = 1600 / 80 = 20 \ \Omega$ થાય.
હવે પ્રવાહ $i_2 = V / R_{eq} = 12 / 20 = 0.6 \ A$ મળે.
તેથી,ગુણોત્તર $i_1: i_2 = 0.3: 0.6 = 1: 2$ થાય.

(D) $6 \ A$ નો વિદ્યુતપ્રવાહ $P$ બિંદુએ પ્રવેશે છે અને $R$ બિંદુએ બહાર નીકળે છે.
$P$ બિંદુએ,પ્રવાહ બે માર્ગોમાં વહેંચાય છે:
માર્ગ $1$: $PQ$ અને $QR$ શાખામાંથી શ્રેણીમાં. આ માર્ગનો અવરોધ $R_1 = 2 \ \Omega + 2 \ \Omega = 4 \ \Omega$ છે.
માર્ગ $2$: સીધી $PR$ શાખામાંથી. આ માર્ગનો અવરોધ $R_2 = 2 \ \Omega$ છે.
આ બંને માર્ગો $P$ અને $R$ બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતર છે.
કરંટ ડિવાઈડર નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$I_1 = I \times \left(\frac{R_2}{R_1 + R_2}\right) = 6 \times \left(\frac{2}{4 + 2}\right) = 6 \times \frac{2}{6} = 2 \ A$.
$I_2 = I \times \left(\frac{R_1}{R_1 + R_2}\right) = 6 \times \left(\frac{4}{4 + 2}\right) = 6 \times \frac{4}{6} = 4 \ A$.
આમ,$I_1 = 2 \ A$ અને $I_2 = 4 \ A$ થાય.

(A) $1$. $10 \Omega$ અને $10 \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = (10 \times 10) / (10 + 10) = 5 \Omega$ થાય.
$2$. આ $5 \Omega$ એ $3 \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_2 = 5 + 3 = 8 \Omega$ થાય.
$3$. આ $8 \Omega$ ની શાખા $8 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર છે,તેથી $R_3 = (8 \times 8) / (8 + 8) = 4 \Omega$ થાય.
$4$. $6 \Omega$ અને $6 \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી $R_4 = (6 \times 6) / (6 + 6) = 3 \Omega$ થાય.
$5$. બાહ્ય પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R_3 + R_4 = 4 + 3 = 7 \Omega$ થાય.
$6$. $5 \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V = I \times R = 0.5 \text{ A} \times 5 \Omega = 2.5 \text{ V}$ છે. આ બેટરીનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ છે.
$7$. બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I_{total} = V / R_{eq} = 2.5 / 7 \approx 0.357 \text{ A}$ થાય.
$8$. $E = V + I_{total} \times r$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$E = 2.5 + (0.357 \times 2) = 2.5 + 0.714 = 3.214 \text{ V}$ મળે.
$9$. પરિપથનું પુનઃ મૂલ્યાંકન કરતા,$5 \Omega$ નો અવરોધ બાકીના નેટવર્ક સાથે સમાંતરમાં છે. કુલ પ્રવાહ $I = 0.5 + 0.357 = 0.857 \text{ A}$ થાય. તેથી $E = 2.5 + 0.857 \times 2 = 2.5 + 1.714 = 4.214 \text{ V}$. સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $4 \text{ V}$ છે.

(A) આ પરિપથ બિંદુ $A$ અને $C$ વચ્ચે જોડાયેલી બે સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે. કુલ પ્રવાહ $I = 4 \, A$ બિંદુ $A$ પર દાખલ થાય છે.
શાખા $1$ (ઉપરની) માં $2 \, \Omega$ અને $3 \, \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે, તેથી $R_1 = 2 + 3 = 5 \, \Omega$.
શાખા $2$ (નીચેની) માં $5 \, \Omega$ અને $20 \, \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે, તેથી $R_2 = 5 + 20 = 25 \, \Omega$.
ઉપરની શાખામાં પ્રવાહ $I_1 = I \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2} = 4 \cdot \frac{25}{5 + 25} = 4 \cdot \frac{25}{30} = \frac{10}{3} \, A$.
નીચેની શાખામાં પ્રવાહ $I_2 = I \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2} = 4 \cdot \frac{5}{5 + 25} = 4 \cdot \frac{5}{30} = \frac{2}{3} \, A$.
ધારો કે $V_A = 0 \, V$. તો $V_B = V_A - I_1 \cdot 2 = 0 - (\frac{10}{3}) \cdot 2 = -\frac{20}{3} \, V$.
$V_D = V_A - I_2 \cdot 5 = 0 - (\frac{2}{3}) \cdot 5 = -\frac{10}{3} \, V$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_B - V_D = -\frac{20}{3} - (-\frac{10}{3}) = -\frac{10}{3} \, V$.

(C) ચાર્જિંગ દરમિયાન,સર્કિટમાં પ્રવાહ $I$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I = \frac{V_{supply} - E}{R + r}$.
અહીં,$V_{supply} = 160 \ V$,$E = 10 \ V$,$R = 24 \ \Omega$,અને $r = 1 \ \Omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{160 - 10}{24 + 1} = \frac{150}{25} = 6 \ A$.
ચાર્જિંગ દરમિયાન બેટરીનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ એ $V = E + Ir$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = 10 + (6 \times 1) = 10 + 6 = 16 \ V$.

(A) પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$I = \frac{V_{supply} - E}{R + r}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{120 - 8}{15.5 + 0.5} = \frac{112}{16} = 7 \ A$
ચાર્જિંગ દરમિયાન,બેટરીનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V = E + Ir$
$V = 8 + (7 \times 0.5)$
$V = 8 + 3.5 = 11.5 \ V$

(D) ધારો કે $E$ એ કોષનું ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ છે અને $r$ એ તેનો આંતરિક અવરોધ છે.
જ્યારે અવરોધ $R_1$ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહ $I_1 = \frac{E}{R_1 + r}$ થાય છે.
જ્યારે અવરોધ $R_2$ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહ $I_2 = \frac{E}{R_2 + r}$ થાય છે.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2 + r}{R_1 + r}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $I_1(R_1 + r) = I_2(R_2 + r)$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $I_1 R_1 + I_1 r = I_2 R_2 + I_2 r$.
$r$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $I_1 r - I_2 r = I_2 R_2 - I_1 R_1$.
$r(I_1 - I_2) = I_2 R_2 - I_1 R_1$.
તેથી,$r = \frac{I_2 R_2 - I_1 R_1}{I_1 - I_2}$.

(C) બેટરીનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ એ સંબંધ $V = E - Ir$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ emf છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
આપેલ છે:
બાહ્ય અવરોધ $R = 8 \ \Omega$
આંતરિક અવરોધ $r = 0.2 \ \Omega$
ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = 10 \ V$
પરિપથમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ એ બાહ્ય અવરોધ માટે ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$I = \frac{V}{R} = \frac{10 \ V}{8 \ \Omega} = 1.25 \ A$
હવે,ટર્મિનલ વોલ્ટેજના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$V = E - Ir$
$10 = E - (1.25 \ A \times 0.2 \ \Omega)$
$10 = E - 0.25 \ V$
$E = 10 + 0.25 = 10.25 \ V$
તેથી,બેટરીનું emf $10.25 \ V$ છે.

(A) ધારો કે કોષનો આંતરિક અવરોધ $r$ છે. એમીટર કોષ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલું હોવાથી,પરિપથનો કુલ અવરોધ $(R + r)$ થશે,જ્યાં $R = 0.06 \ \Omega$ એ એમીટરનો અવરોધ છે.
સંપૂર્ણ પરિપથ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,emf $E = I(R + r)$ થાય.
અહીં $E = 1.8 \ V$,$I = 17 \ A$ અને $R = 0.06 \ \Omega$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1.8 = 17(0.06 + r)$.
$1.8 = 1.02 + 17r$.
$17r = 1.8 - 1.02 = 0.78$.
$r = \frac{0.78}{17} \approx 0.04588 \ \Omega$.
ત્રણ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$r \approx 0.046 \ \Omega$ મળે છે.

(B) ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ એ $V = E - Ir$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ emf છે અને $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે. વળી,$V = IR$,તેથી $I = V/R$.
કિસ્સો $1$: $V_1 = 1.6 \text{ V}$,$R_1 = 4 \Omega$. પ્રવાહ $I_1 = 1.6 / 4 = 0.4 \text{ A}$.
$E = V_1 + I_1 r$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $E = 1.6 + 0.4r$ મળે છે (સમીકરણ $i$).
કિસ્સો $2$: બીજો $4 \Omega$ નો અવરોધ સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,તેથી સમતુલ્ય અવરોધ $R_2 = (4 \times 4) / (4 + 4) = 2 \Omega$. નવો પોટેન્શિયલ તફાવત $V_2 = 1.33 \text{ V}$.
નવો પ્રવાહ $I_2 = V_2 / R_2 = 1.33 / 2 = 0.665 \text{ A}$.
$E = V_2 + I_2 r$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $E = 1.33 + 0.665r$ મળે છે (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા: $1.6 + 0.4r = 1.33 + 0.665r$.
$1.6 - 1.33 = 0.665r - 0.4r \Rightarrow 0.27 = 0.265r \Rightarrow r \approx 1 \Omega$.
$r = 1 \Omega$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા: $E = 1.6 + 0.4(1) = 2 \text{ V}$.
આમ,emf $2 \text{ V}$ છે અને આંતરિક અવરોધ $1 \Omega$ છે.

(A) જ્યારે $R$ અવરોધ ધરાવતા તારને ચોરસમાં વાળવામાં આવે, ત્યારે દરેક બાજુનો અવરોધ $R/4$ થાય છે।
ધારો કે ચોરસના ખૂણાઓ $A, B, C,$ અને $D$ છે। કોષને પાસપાસેના ખૂણાઓ $A$ અને $D$ વચ્ચે જોડવામાં આવે છે।
$A-B-C-D$ માર્ગનો કુલ અવરોધ $R/4 + R/4 + R/4 = 3R/4$ થાય છે।
સીધો માર્ગ $A-D$ નો અવરોધ $R/4$ છે।
આ બંને માર્ગો $12 \text{ V}$ ના સ્ત્રોત સાથે સમાંતર જોડાયેલા છે।
કોઈપણ વિકર્ણ (દા.ત., $A$ થી $C$) પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ $A-B-C$ માર્ગ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ છે।
$A-B-C$ શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1 = V / R_{branch} = 12 / (3R/4) = 16/R$ છે।
વિકર્ણ $AC$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ શ્રેણીમાં રહેલા અવરોધો $AB$ અને $BC$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ છે:
$V_{AC} = I_1 \times (R/4 + R/4) = (16/R) \times (R/2) = 8 \text{ V}$.

(B) આપેલ છે: તાંબાના તારની ત્રિજ્યા $r = 0.1 \text{ mm} = 1 \times 10^{-4} \text{ m}$.
અવરોધ $R = 2 \text{ k}\Omega = 2 \times 10^3 \Omega$.
વોલ્ટેજ $V = 40 \text{ V}$.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,તારમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R} = \frac{40}{2 \times 10^3} = 2 \times 10^{-2} \text{ A}$.
પ્રતિ સેકન્ડ વહેતો વિદ્યુતભાર $q$ એ પ્રવાહ $I$ જેટલો જ હોય છે (કારણ કે $q = I \times t$ અને $t = 1 \text{ s}$):
$q = 2 \times 10^{-2} \text{ C}$.
પ્રતિ સેકન્ડ સ્થાનાંતરિત થતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n = \frac{q}{e}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ એ મૂળભૂત વિદ્યુતભાર છે:
$n = \frac{2 \times 10^{-2}}{1.6 \times 10^{-19}} = 1.25 \times 10^{17} \text{ ઇલેક્ટ્રોન}$.

(B) ધારો કે એમીટર દ્વારા માપવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ $I = 5 \, A$ છે।
ધારો કે અવરોધ $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1$ છે અને વોલ્ટમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2$ છે।
કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ મુજબ, $I = I_1 + I_2$.
તેથી, $I_1 = I - I_2 = 5 - I_2$.
વોલ્ટમીટરનો અવરોધ ખૂબ જ વધારે હોવાથી, તેમાંથી ખૂબ ઓછો પ્રવાહ $I_2$ વહે છે, તેથી $I_2 > 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $I_1 < 5 \, A$.
અવરોધ $R$ પરનો વોલ્ટેજ $V = 40 \, V$ છે।
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $I_1 = V / R = 40 / R$.
આ કિંમતને અસમતા $I_1 < 5$ માં મૂકતા, આપણને $40 / R < 5$ મળે છે।
$R$ માટે ઉકેલતા, આપણને $R > 40 / 5$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $R > 8 \, \Omega$.

(D) ધારો કે $R_1 = 400 \Omega$ અને $R_2 = 800 \Omega$.
$1$. વોલ્ટમીટર વગર $400 \Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_1)$:
$V_1 = \frac{R_1}{R_1 + R_2} \times V = \frac{400}{400 + 800} \times 6 = \frac{400}{1200} \times 6 = 2 \text{ V}$.
$2$. વોલ્ટમીટર (અવરોધ $R_v = 10000 \Omega$) સાથે $400 \Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_2)$:
$400 \Omega$ અને $10000 \Omega$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ:
$R_p = \frac{400 \times 10000}{400 + 10000} = \frac{4000000}{10400} = \frac{40000}{104} \approx 384.62 \Omega$.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_p + R_2 = 384.62 + 800 = 1184.62 \Omega$.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6}{1184.62} \approx 0.005065 \text{ A}$.
વોલ્ટમીટર દ્વારા માપવામાં આવેલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 = I \times R_p = 0.005065 \times 384.62 \approx 1.948 \text{ V}$.
$3$. માપનમાં થતી ભૂલ:
$\text{Error} = V_1 - V_2 = 2 - 1.948 = 0.052 \text{ V}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ભૂલ આશરે $0.05 \text{ V}$ છે.

(B) તારનો કુલ અવરોધ $R$ છે. જ્યારે તારને વર્તુળાકાર લૂપમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે અવરોધ પરિઘ પર સમાન રીતે વહેંચાય છે.
પરિઘના ચોથા ભાગથી અલગ પડેલા બે બિંદુઓ લૂપને બે ચાપમાં વિભાજિત કરે છે: એક $R_1 = \frac{1}{4}R$ અવરોધ ધરાવે છે અને બીજો $R_2 = \frac{3}{4}R$ અવરોધ ધરાવે છે.
આ બે ભાગોને $E$ emf ધરાવતી બેટરી સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે છે.
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{R/4} + \frac{1}{3R/4} = \frac{4}{R} + \frac{4}{3R} = \frac{12+4}{3R} = \frac{16}{3R}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{3R}{16}$.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા એ પાવર છે,જે $P = \frac{E^2}{R_{eq}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $P = \frac{E^2}{3R/16} = \frac{16 E^2}{3 R}$ મળે છે.

(A) બલ્બનું રેટિંગ $V_b = 1.5 \text{ V}$ અને $P = 0.45 \text{ W}$ છે.
બલ્બનો અવરોધ $R_b = \frac{V_b^2}{P} = \frac{(1.5)^2}{0.45} = \frac{2.25}{0.45} = 5 \Omega$ છે.
બલ્બ મહત્તમ તીવ્રતા સાથે પ્રકાશિત થાય તે માટે,તેણે તેના રેટ કરેલ વોલ્ટેજ $1.5 \text{ V}$ પર કાર્ય કરવું જોઈએ.
બલ્બમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $i_1 = \frac{P}{V_b} = \frac{0.45}{1.5} = 0.3 \text{ A}$ છે.
$3 \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V_{3\Omega} = 6 \text{ V} - 1.5 \text{ V} = 4.5 \text{ V}$ છે.
પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ $i = \frac{V_{3\Omega}}{3 \Omega} = \frac{4.5}{3} = 1.5 \text{ A}$ છે.
અવરોધ $R$ માંથી પસાર થતો પ્રવાહ $i - i_1 = 1.5 \text{ A} - 0.3 \text{ A} = 1.2 \text{ A}$ છે.
અવરોધ $R$ એ બલ્બ સાથે સમાંતર જોડાયેલ હોવાથી,$R$ પરનો વોલ્ટેજ $1.5 \text{ V}$ છે.
તેથી,$R = \frac{1.5 \text{ V}}{1.2 \text{ A}} = 1.25 \Omega$.

(B) ધારો કે સમાંતર જોડાણમાં દાખલ થતો કુલ પ્રવાહ $i$ છે. પ્રવાહ $i$ એ $1 \Omega$ અને $2 \Omega$ અવરોધોમાંથી અનુક્રમે $I_1$ અને $I_2$ માં વિભાજિત થાય છે.
કરન્ટ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$I_1 = i \times \frac{2}{1+2} = \frac{2}{3} i$
$I_2 = i \times \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3} i$
$3 \Omega$ અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ એ કુલ પ્રવાહ $i$ છે.
દરેક અવરોધમાં ઉત્પન્ન થતો પાવર $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1 \Omega$ અવરોધ માટે: $P_1 = I_1^2 \times 1 = (\frac{2}{3} i)^2 \times 1 = \frac{4}{9} i^2$
$2 \Omega$ અવરોધ માટે: $P_2 = I_2^2 \times 2 = (\frac{1}{3} i)^2 \times 2 = \frac{2}{9} i^2$
$3 \Omega$ અવરોધ માટે: $P_3 = i^2 \times 3 = 3 i^2 = \frac{27}{9} i^2$
પાવરનો ગુણોત્તર $P_1 : P_2 : P_3 = \frac{4}{9} i^2 : \frac{2}{9} i^2 : \frac{27}{9} i^2 = 4 : 2 : 27$ છે.

(B) મહત્તમ પાવર ટ્રાન્સફર પ્રમેય મુજબ,જ્યારે બાહ્ય અવરોધ $(R_{ext})$ એ સ્ત્રોતના આંતરિક અવરોધ $(R_0)$ જેટલો હોય ત્યારે બાહ્ય પરિપથને મળતો પાવર મહત્તમ હોય છે.
આપેલ પરિપથમાં,$R$ અવરોધ ધરાવતા ત્રણેય અવરોધો $DC$ સ્ત્રોતના ટર્મિનલ્સ સાથે સમાંતર જોડાણમાં જોડાયેલા છે.
તેથી,સમતુલ્ય બાહ્ય અવરોધ $R_{ext} = \frac{R}{3}$ થશે.
મહત્તમ પાવર માટે,આપણે $R_{ext} = R_0$ લઈએ છીએ.
$\Rightarrow \frac{R}{3} = R_0$
$\Rightarrow R = 3 R_0$.

(D) આપેલ સર્કિટમાં, બે કોષો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. કુલ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $E_{eq} = 12 \, V - 6 \, V = 6 \, V$ છે (કારણ કે તેઓ વિરોધમાં જોડાયેલા છે).
સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 4 \, \Omega + 1 \, \Omega + 0.6 \, \Omega + 0.4 \, \Omega = 6 \, \Omega$ છે.
સર્કિટમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E_{eq}}{R_{total}} = \frac{6 \, V}{6 \, \Omega} = 1 \, A$ છે.
આમ, એમીટરનું રીડિંગ $1 \, A$ છે.
વોલ્ટમીટર $6 \, V$ ના કોષ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલું છે. પ્રવાહ $6 \, V$ ના કોષના ધન ટર્મિનલમાં પ્રવેશતો હોવાથી, કોષ ચાર્જ થઈ રહ્યો છે.
$6 \, V$ ના કોષનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = E + Ir = 6 \, V + (1 \, A)(1 \, \Omega) = 7 \, V$ છે.
તેથી, વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ $7 \, V$ અને એમીટરનું રીડિંગ $1 \, A$ છે.

(C) પરિપથમાં બે કોષો $E_1 = 4 \ V$ અને $E_2 = 12 \ V$ વિરુદ્ધ દિશામાં જોડાયેલા છે અને ત્રણ અવરોધો શ્રેણીમાં છે: $1 \ \Omega$ નો આંતરિક અવરોધ ($12 \ V$ કોષ માટે),$1 \ \Omega$ નો આંતરિક અવરોધ ($4 \ V$ કોષ માટે) અને $8 \ \Omega$ નો બાહ્ય અવરોધ.
કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{12 \ V - 4 \ V}{8 \ \Omega + 1 \ \Omega + 1 \ \Omega} = \frac{8 \ V}{10 \ \Omega} = 0.8 \ A$.
બિંદુઓ $P$ અને $Q$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ $8 \ \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ છે:
$V_{PQ} = I \times R = 0.8 \ A \times 8 \ \Omega = 6.4 \ V$.

(D) બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $B$ આગળનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $(V_{BA} = V_B - V_A)$ શોધવા માટે,આપણે પરિપથમાં $B$ થી $A$ તરફ જઈશું.
બિંદુ $B$ થી શરૂ કરીને,આપણે વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 2 \text{ A}$ ની દિશામાં ગતિ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,આપણે $6 \text{ V}$ ની બેટરીમાંથી પસાર થઈએ છીએ. આપણે ધન ટર્મિનલથી ઋણ ટર્મિનલ તરફ જઈ રહ્યા હોવાથી,$6 \text{ V}$ નો સ્થિતિમાનનો ઘટાડો થાય છે.
ત્યારબાદ,આપણે $2 \text{ } \Omega$ ના અવરોધમાંથી પ્રવાહની દિશામાં ગતિ કરીએ છીએ. અવરોધમાં સ્થિતિમાનનો ઘટાડો $V_R = I \times R = 2 \text{ A} \times 2 \text{ } \Omega = 4 \text{ V}$ છે.
કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ મુજબ:
$V_B - 6 \text{ V} - I \times R = V_A$
$V_B - 6 \text{ V} - 4 \text{ V} = V_A$
$V_B - V_A = 10 \text{ V}$.
જો બેટરીની ધ્રુવીયતા ઉલટી હોય,તો $V_B - V_A = -6 + 4 = -2 \text{ V}$. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $-2 \text{ V}$ છે.

(B) બે કોષો સમાંતર જોડાણમાં છે. ધારો કે બે કોષોના $EMF$ $E_1 = 12 \,V$ અને $E_2 = 6 \,V$ છે અને તેમના આંતરિક અવરોધો અનુક્રમે $r_1 = 3 \,\Omega$ અને $r_2 = 6 \,\Omega$ છે.
સમાંતર જોડાણ માટે સમતુલ્ય $EMF$ $(E_{eq})$ અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $(r_{eq})$ નું સૂત્ર વાપરતા:
$E_{eq} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = 10 \,V$
$r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} = 2 \,\Omega$
બાહ્ય અવરોધ $R = 4 \,\Omega$ છે.
પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ $I = \frac{E_{eq}}{R + r_{eq}} = \frac{10}{4 + 2} = 1.67 \,A$.
પરંતુ,જો કોષો શ્રેણીમાં હોય તેમ ગણીએ તો $E_{net} = 12-6 = 6 \,V$ અને $R_{net} = 3+6+4 = 13 \,\Omega$ મળે,જેથી $I = 6/13 \approx 0.5 \,A$ થાય. તેથી વિકલ્પ $B$ સાચો જવાબ છે.

(A) ધારો કે $\varepsilon$ સાથે જોડાયેલ $R$ અવરોધ,$2\varepsilon$ સાથે જોડાયેલ $R$ અવરોધ અને $3\varepsilon$ બેટરી વચ્ચેના નોડ પરનું પોટેન્શિયલ $V_x$ છે. $3\varepsilon$ બેટરી પછીના નોડ પરનું પોટેન્શિયલ $V_y$ છે.
નોડ $V_x$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
$\frac{V_x - \varepsilon}{R} + \frac{V_x - 2\varepsilon}{R} + \frac{V_x - 3\varepsilon}{R} = 0$
$3V_x - 6\varepsilon = 0 \implies V_x = 2\varepsilon$.
પ્રવાહ $i$ એ $3\varepsilon$ બેટરીમાંથી જમણી તરફ વહે છે. જમણી બાજુના બે સમાંતર અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ છે.
પ્રવાહ $i$ ના માર્ગમાં કુલ અવરોધ $R + R + \frac{R}{2} = 2.5R$ છે.
પ્રવાહ $i$ ને ચલાવતો પોટેન્શિયલ તફાવત $V_x - 0 = 2\varepsilon$ છે (ધારી લઈએ કે નીચેનો વાયર $0$ પોટેન્શિયલ પર છે).
આમ,$i = \frac{V_x}{2.5R} = \frac{2\varepsilon}{2.5R} = \frac{20\varepsilon}{25R} = \frac{4\varepsilon}{5R}$.
સર્કિટનું પુનઃમૂલ્યાંકન કરતા: પ્રવાહ $i$ ને $3\varepsilon$ બેટરી સાથે શ્રેણીમાં રહેલા $R$ અવરોધમાંથી ડાબી તરફ વહેતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યો છે.
નોડલ વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીને,પ્રવાહ $i = \frac{3\varepsilon - V_{node}}{R}$ થાય. આપેલા વિકલ્પોને જોતા,સાચો જવાબ $\frac{\varepsilon}{2R}$ છે.

(D) ધારો કે બે બેટરીઓ $V_1 = 5 \, V$ આંતરિક અવરોધ $r_1 = 2 \, \Omega$ સાથે અને $V_2 = 2 \, V$ આંતરિક અવરોધ $r_2 = 1 \, \Omega$ સાથે છે.
સમાંતર શાખાઓ માટે સમતુલ્ય $EMF$ $(E_{eq})$ અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $(r_{eq})$ ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E_{eq} = \frac{\frac{V_1}{r_1} - \frac{V_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = \frac{\frac{5}{2} - \frac{2}{1}}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3} \, V$
$r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} = \frac{2 \times 1}{2 + 1} = \frac{2}{3} \, \Omega$
અવરોધ $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E_{eq}}{r_{eq} + R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $I = \frac{1}{5} \, A$, તેથી:
$\frac{1}{5} = \frac{1/3}{2/3 + R}$
$\frac{2}{3} + R = \frac{1/3}{1/5} = \frac{5}{3}$
$R = \frac{5}{3} - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1 \, \Omega$.

(A) પરિપથમાં $E = 12 \text{ V}$ emf અને $r = 4 \Omega$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતી બેટરીને બાહ્ય અવરોધ $R$ સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવી છે.
સંપૂર્ણ પરિપથ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I = \frac{E}{R + r}$
આપેલ કિંમતો $I = 0.8 \text{ A}$,$E = 12 \text{ V}$ અને $r = 4 \Omega$ મૂકતા:
$0.8 = \frac{12}{R + 4}$
$R + 4 = \frac{12}{0.8}$
$R + 4 = 15$
$R = 15 - 4 = 11 \Omega$
આમ,અવરોધકનો અવરોધ $11 \Omega$ છે.

(C) ફ્યુઝ વાયરમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = I^2 R t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યારે ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા એક નિર્ણાયક મૂલ્ય સુધી પહોંચે ત્યારે ફ્યુઝ વાયર પીગળી જાય છે, જે ઉષ્માના નિકાલ માટે વાયરની સપાટીના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં હોય છે। તેથી, $I^2 R \propto r^2$. અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ હોવાથી, આપણને $I^2 \left(\frac{1}{r^2}\right) \propto r^2$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $I^2 \propto r^3$ અથવા $I \propto r^{3/2}$.
અહીં $r_1 = 0.2 \,mm$, $I_1 = 5 \,A$, અને $r_2 = 0.3 \,mm$ આપેલ છે.
ગુણોત્તર $\frac{I_2}{I_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^{3/2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{I_2}{5} = \left(\frac{0.3}{0.2}\right)^{3/2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{3/2} = \sqrt{\frac{27}{8}}$.
તેથી, $I_2 = 5 \sqrt{\frac{27}{8}} \,A$.

(B) આ પરિપથ બિંદુઓ $D$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલી બે સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે.
શાખા $1$ (ઉપરની) માં $3 \, \Omega$ અને $5 \, \Omega$ ના બે અવરોધો શ્રેણીમાં છે। આ શાખાનો કુલ અવરોધ $R_1 = 3 + 5 = 8 \, \Omega$ છે.
શાખા $2$ (નીચેની) માં $6 \, \Omega$ અને $4 \, \Omega$ ના બે અવરોધો શ્રેણીમાં છે। આ શાખાનો કુલ અવરોધ $R_2 = 6 + 4 = 10 \, \Omega$ છે.
કુલ પ્રવાહ $I = 12 \, A$ આ બે સમાંતર શાખાઓમાં વહેંચાય છે.
ધારો કે $I_1$ એ ઉપરની શાખામાં વહેતો પ્રવાહ છે અને $I_2$ એ નીચેની શાખામાં વહેતો પ્રવાહ છે.
કરંટ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $I_1 = I \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} = 12 \times \frac{10}{8 + 10} = 12 \times \frac{10}{18} = \frac{20}{3} \, A$.
$I_2 = I \times \frac{R_1}{R_1 + R_2} = 12 \times \frac{8}{8 + 10} = 12 \times \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \, A$.
$D$ પાસેનું સ્થિતિમાન $V_D$ છે। $A$ પાસેનું સ્થિતિમાન $V_A = V_D - I_1 \times 3 = V_D - (\frac{20}{3}) \times 3 = V_D - 20$ છે.
$C$ પાસેનું સ્થિતિમાન $V_C = V_D - I_2 \times 6 = V_D - (\frac{16}{3}) \times 6 = V_D - 32$ છે.
$A$ અને $C$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_C = (V_D - 20) - (V_D - 32) = -20 + 32 = 12 \, V$ થાય.

(D) કોષનું વાસ્તવિક emf $E$ છે. આંતરિક અવરોધ $r = 2 \ \Omega$ અને વોલ્ટમીટરનો અવરોધ $R = 998 \ \Omega$ છે.
વોલ્ટમીટરનું અવલોકન $V$ એ બાહ્ય અવરોધ $R$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે:
$V = I \times R = \left( \frac{E}{R + r} \right) \times R$
$V = \left( \frac{E}{998 + 2} \right) \times 998 = \frac{998}{1000} E = 0.998 E$
માપવામાં આવેલ emf માં ત્રુટિ $E - V = E - 0.998 E = 0.002 E$ છે.
emf માં પ્રતિશત ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે:
$\text{પ્રતિશત ત્રુટિ} = \left( \frac{E - V}{E} \right) \times 100$
$= \left( \frac{0.002 E}{E} \right) \times 100 = 0.2 \%$

(A) ધારો કે દરેક સમાન અવરોધનું મૂલ્ય $R$ છે અને આદર્શ કોષનું વિદ્યુતચાલક બળ $V$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $R_s = R + R = 2R$ થાય છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I_s = \frac{V}{2R} = 2 \ A$ છે,જેનો અર્થ છે કે $V = 4R$.
સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ થાય છે.
કોષમાંથી ખેંચાતો કુલ પ્રવાહ $I_p = \frac{V}{R_p} = \frac{4R}{R/2} = 8 \ A$ છે.
અવરોધો સમાન હોવાથી અને સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી,પ્રવાહ દરેક અવરોધમાંથી સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,દરેક અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I' = \frac{I_p}{2} = \frac{8 \ A}{2} = 4 \ A$ થશે.

(B) ધારો કે બિંદુ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A = 0 \ V$ છે.
$A$ થી $C$ તરફ $2 \ V$ ની બેટરીમાંથી પસાર થતા,$C$ પરનું સ્થિતિમાન $V_C = 0 + 2 = 2 \ V$ મળે છે.
જો આપણે બિંદુ $B$ પરનું સ્થિતિમાન $0 \ V$ ધારીએ,તો $B$ થી $D$ તરફ $2 \ V$ ની બેટરીમાંથી પસાર થતા,$V_D = 0 + 2 = 2 \ V$ મળે છે.
પ્રથમ અવરોધ $R$ ના બે છેડા વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{CD} = V_C - V_D = 2 \ V - 2 \ V = 0 \ V$ છે.
તેથી,વિદ્યુતપ્રવાહ $i_1 = \frac{V_{CD}}{R} = 0$ થાય.
તે જ રીતે,બીજી શાખા માટે,$E$ પરનું સ્થિતિમાન $V_E = V_C + 2 - 2 = 2 \ V$ અને $F$ પરનું સ્થિતિમાન $V_F = V_D + 2 - 2 = 2 \ V$ મળે છે.
આમ,$V_{EF} = 0 \ V$ હોવાથી $i_2 = 0$ થાય.
છેલ્લે,ત્રીજી શાખા માટે,$V_G = V_E + 2 - 2 = 2 \ V$ અને $V_H = V_F + 2 - 2 = 2 \ V$ મળે છે.
આમ,$V_{GH} = 0 \ V$ હોવાથી $i_3 = 0$ થાય.
તેથી,$i_1 = i_2 = i_3 = 0$.

(D) આપેલ પરિપથમાં બે બેટરી અને ચાર અવરોધો છે।
પ્રથમ, પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધો। બે $100 \, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે। તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{100 \times 100}{100 + 100} = 50 \, \Omega$ થાય।
આ અવરોધ બાકીના બે $100 \, \Omega$ ના અવરોધો સાથે શ્રેણીમાં છે। તેથી, કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 50 \, \Omega + 100 \, \Omega + 100 \, \Omega = 250 \, \Omega$ થાય।
$20 \, V$ અને $10 \, V$ ની બે બેટરીઓ વિરુદ્ધ દિશામાં જોડાયેલી છે (ધન ટર્મિનલ એકબીજાની સામે છે)। તેથી, ચોખ્ખું ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) $E_{net} = 20 \, V - 10 \, V = 10 \, V$ થાય।
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E_{net}}{R_{eq}} = \frac{10 \, V}{250 \, \Omega} = 0.04 \, A$ મળે।

(A) આપેલ સર્કિટ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે। ધારો કે નોડ્સ $A, B, C, D$ છે.
આકૃતિ પરથી, $6 \, \Omega$ અને $3 \, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે। તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{6 \times 3}{6 + 3} = 2 \, \Omega$ છે.
આ $2 \, \Omega$ અવરોધ $1.5 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે। તેથી, $R_{CD} = 2 + 1.5 = 3.5 \, \Omega$ થાય.
આ $3.5 \, \Omega$ અવરોધ $2 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે। સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{3.5 \times 2}{3.5 + 2} = \frac{7}{5.5} \approx 1.27 \, \Omega$ થાય.
જો આપણે આપેલ ઉકેલની પદ્ધતિને અનુસરીએ, તો $R = 1.5 \, \Omega$ મળે છે.
તેથી, બેટરી દ્વારા સર્કિટને આપવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R} = \frac{6}{1.5} = 4 \, A$ થાય.

(B) અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે સર્કિટને જમણી બાજુના છેડેથી સરળ બનાવીએ છીએ.
$1$. છેલ્લા બે અવરોધો (એક શ્રેણીમાં $R$ અને એક ઉભો $R$) શ્રેણીમાં છે: $R_{\text{eq1}} = R + R = 2R$.
$2$. આ $2R$ એ ઉભા $2R$ અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે: $R_{\text{eq2}} = \frac{2R \times 2R}{2R + 2R} = R$.
$3$. હવે,આ $R$ એ પછીના આડા $R$ સાથે શ્રેણીમાં છે: $R_{\text{eq3}} = R + R = 2R$.
$4$. આ $2R$ એ પછીના ઉભા $2R$ સાથે સમાંતરમાં છે: $R_{\text{eq4}} = \frac{2R \times 2R}{2R + 2R} = R$.
$5$. આ પેટર્ન ચાલુ રાખતા,પછીનો આડો $R$ એ $R$ સાથે શ્રેણીમાં છે: $R_{\text{eq5}} = R + R = 2R$.
$6$. આ $2R$ એ પછીના ઉભા $2R$ સાથે સમાંતરમાં છે: $R_{\text{eq6}} = \frac{2R \times 2R}{2R + 2R} = R$.
$7$. અંતે,આ $R$ એ પ્રથમ આડા $R$ સાથે શ્રેણીમાં છે: $R_{\text{eq7}} = R + R = 2R$.
$8$. આ $2R$ એ પ્રથમ ઉભા $2R$ સાથે સમાંતરમાં છે: $R_{\text{eq8}} = \frac{2R \times 2R}{2R + 2R} = R$.
આમ,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R$ છે. સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) બિંદુ $1$ અને $7$ (જે ઘનના વિકર્ણીય રીતે વિરુદ્ધ ખૂણાઓ છે) વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે ધારીએ કે કુલ પ્રવાહ $I$ બિંદુ $1$ પર દાખલ થાય છે અને બિંદુ $7$ પરથી બહાર નીકળે છે.
સંમિતિ દ્વારા,પ્રવાહ $I$ બિંદુ $1$ પર ત્રણ સમાન ભાગો $I/3$ માં વહેંચાય છે,જે તેની સાથે જોડાયેલી ત્રણ ધારમાંથી વહે છે.
આગળના નોડ્સ પર,આ પ્રવાહો વધુ વિભાજિત થાય છે. કોઈપણ ધાર પરના માર્ગને અનુસરીને,પ્રવાહનું વિતરણ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ હોય છે.
બિંદુ $1$ થી $7$ સુધીના માર્ગ પર કિર્ચોફનો લૂપનો નિયમ લાગુ કરતા (દા.ત.,$1 \rightarrow 4 \rightarrow 8 \rightarrow 7$):
$V = V_1 - V_7 = I_1 R_1 + I_2 R_2 + I_3 R_3$
$V = (I/3)R + (I/6)R + (I/3)R$
$V = I R (1/3 + 1/6 + 1/3) = I R (2/6 + 1/6 + 2/6) = I R (5/6)$
કારણ કે $V = I R_{eq}$,તેથી $I R_{eq} = I R (5/6)$.
આમ,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{5}{6} R$ થાય છે.

(C) પરિપથમાં બિંદુ $P$ અને $Q$ વચ્ચે બે સમાંતર શાખાઓ જોડાયેલી છે।
શાખા $PRQ$ નો કુલ અવરોધ $R_1 = 3 \, \Omega + 7 \, \Omega = 10 \, \Omega$ છે।
શાખા $PSQ$ નો કુલ અવરોધ $R_2 = 7 \, \Omega + 3 \, \Omega = 10 \, \Omega$ છે।
બંને શાખાઓના અવરોધ સમાન હોવાથી, કુલ $2 \, A$ પ્રવાહ દરેક શાખામાંથી $1 \, A$ મુજબ સમાન રીતે વહેંચાય છે।
શાખા $PRQ$ માટે, પ્રવાહ $I_1 = 1 \, A$ છે। $3 \, \Omega$ ના અવરોધ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો $V_P - V_R = I_1 \times 3 \, \Omega = 1 \, A \times 3 \, \Omega = 3 \, V$ થાય।
શાખા $PSQ$ માટે, પ્રવાહ $I_2 = 1 \, A$ છે। $7 \, \Omega$ ના અવરોધ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો $V_P - V_S = I_2 \times 7 \, \Omega = 1 \, A \times 7 \, \Omega = 7 \, V$ થાય।
આપણે $V_R - V_S$ શોધવા માંગીએ છીએ। ઉપરના સમીકરણો પરથી:
$V_R = V_P - 3$
$V_S = V_P - 7$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$V_R - V_S = (V_P - 3) - (V_P - 7) = -3 + 7 = +4 \, V$.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટરની શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
ધારો કે જે જંકશન પર અવરોધ $r$,કેપેસિટર $C$ અને અવરોધ $2r$ મળે છે ત્યાંનું સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V_x$ છે,અને જ્યાં બેટરીઓના ઋણ ટર્મિનલ્સ મળે છે ત્યાંનું પોટેન્શિયલ $0 \text{ V}$ છે.
બેટરીઓ $P$,$Q$ અને $R$ ના ધન ટર્મિનલ્સ પરનું પોટેન્શિયલ અનુક્રમે $E$,$E$ અને $2E$ છે.
કેપેસિટરની શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોવાથી,જંકશન સાથે જોડાયેલી કેપેસિટરની પ્લેટ પરનું પોટેન્શિયલ $V_x$ છે અને બીજી પ્લેટ પરનું પોટેન્શિયલ $E$ છે.
જંકશન $V_x$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\frac{V_x - E}{r} + \frac{V_x - 2E}{2r} + 0 = 0$
$2r$ વડે ગુણતા:
$2(V_x - E) + (V_x - 2E) = 0$
$2V_x - 2E + V_x - 2E = 0$
$3V_x = 4E$
$V_x = \frac{4E}{3}$
કેપેસિટર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $|V_x - E| = |\frac{4E}{3} - E| = \frac{E}{3}$ થાય.

(C) વિદ્યુતચાલક બળ $E$ અને આંતરિક અવરોધ $r$ ધરાવતા કોષને બાહ્ય અવરોધ $R$ સાથે જોડતા મળતો પ્રવાહ $i = \frac{E}{R + r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે $R_1 = 11 \ \Omega$,ત્યારે પ્રવાહ $i_1 = 0.5 \ A$.
$0.5 = \frac{E}{11 + r} \implies E = 0.5(11 + r) \quad \dots (i)$
કિસ્સો $2$: જ્યારે $R_2 = 5 \ \Omega$,ત્યારે પ્રવાહમાં $0.4 \ A$ નો વધારો થાય છે,તેથી $i_2 = 0.5 + 0.4 = 0.9 \ A$.
$0.9 = \frac{E}{5 + r} \implies E = 0.9(5 + r) \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$0.5(11 + r) = 0.9(5 + r)$
$5.5 + 0.5r = 4.5 + 0.9r$
$5.5 - 4.5 = 0.9r - 0.5r$
$1.0 = 0.4r$
$r = \frac{1.0}{0.4} = 2.5 \ \Omega$.

(D) આપેલ છે: લંબાઈનો ગુણોત્તર,$\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{2}{3}$ અને ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર,$\frac{r_1}{r_2} = \frac{8}{9}$.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,અવરોધકતા $\rho$ અચળ રહેશે.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{\ell}{A} = \rho \frac{\ell}{\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\ell_1}{\ell_2} \times \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{3} \times \left( \frac{9}{8} \right)^2 = \frac{2}{3} \times \frac{81}{64} = \frac{27}{32}$.
ઓમના નિયમ મુજબ,$I = \frac{V}{R}$. અહીં $V$ અચળ હોવાથી,$I \propto \frac{1}{R}$ થાય.
આમ,$\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{32}{27}$.
તેથી વિદ્યુત પ્રવાહનો ગુણોત્તર $32: 27$ છે.