Circuit Solving for current and Voltage Questions in Gujarati

(B) સર્કિટ $A$ માં,વોલ્ટમીટર સીધું અવરોધ $R$ ની આજુબાજુ જોડાયેલું છે. એમીટર અવરોધ $R$ અને વોલ્ટમીટર બંનેમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ માપે છે. વોલ્ટમીટરનો અવરોધ ખૂબ જ વધારે હોવાથી,તેમાંથી વહેતો પ્રવાહ ખૂબ જ ઓછો હોય છે. જ્યારે અવરોધ $R$ ઓછો હોય ત્યારે આ સર્કિટ પસંદ કરવામાં આવે છે,કારણ કે એમીટર દ્વારા વધારાનો પ્રવાહ માપવાથી થતી ભૂલ ન્યૂનતમ થાય છે.
સર્કિટ $B$ માં,એમીટર અવરોધ $R$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલું છે,અને વોલ્ટમીટર અવરોધ $R$ અને એમીટર બંને પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત માપે છે. એમીટરનો અવરોધ ખૂબ જ ઓછો હોવાથી,તેના પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ ખૂબ જ ઓછો હોય છે. જ્યારે અવરોધ $R$ વધારે હોય ત્યારે આ સર્કિટ પસંદ કરવામાં આવે છે,કારણ કે વોલ્ટમીટર દ્વારા એમીટર પરના વધારાના વોલ્ટેજ ડ્રોપને માપવાથી થતી ભૂલ ન્યૂનતમ થાય છે.
તેથી,સર્કિટ $A$ નો ઉપયોગ ઓછા અવરોધ માટે અને સર્કિટ $B$ નો ઉપયોગ ઉચ્ચ અવરોધ માટે થાય છે.

(D) $1$. વોલ્ટમીટર વગર $400 \Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_1)$:
$V_1 = \frac{R_1}{R_1 + R_2} \times V = \frac{400}{400 + 800} \times 6 = \frac{400}{1200} \times 6 = 2 \text{ V}$.
$2$. જ્યારે $R_v = 10000 \Omega$ અવરોધ ધરાવતું વોલ્ટમીટર $400 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે,ત્યારે આ સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $(R_p)$:
$R_p = \frac{400 \times 10000}{400 + 10000} = \frac{4000000}{10400} = \frac{40000}{104} \approx 384.62 \Omega$.
$3$. સમાંતર જોડાણ પરનો નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_2)$:
$V_2 = \frac{R_p}{R_p + R_2} \times V = \frac{384.62}{384.62 + 800} \times 6 = \frac{384.62}{1184.62} \times 6 \approx 1.948 \text{ V}$.
$4$. માપનમાં થતી ભૂલ:
$\text{Error} = V_1 - V_2 = 2 - 1.948 = 0.052 \text{ V}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ભૂલ આશરે $0.05 \text{ V}$ છે.

(D) ઇલેક્ટ્રિક મોટરનો પાવર $P$ એ $P = \frac{V^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ મોટરનો અવરોધ છે.
પ્રથમ,આપણે પ્રારંભિક શરતોનો ઉપયોગ કરીને અવરોધ $R$ ની ગણતરી કરીએ છીએ: $P_1 = 242 \ W$ અને $V_1 = 220 \ V$.
$R = \frac{V_1^2}{P_1} = \frac{220 \times 220}{242} = \frac{48400}{242} = 200 \ \Omega$.
હવે,જ્યારે મોટરને $V_2 = 200 \ V$ પર ચલાવવામાં આવે છે,ત્યારે મોટર દ્વારા ખેંચાતો પ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે: $I = \frac{V_2}{R}$.
$I = \frac{200 \ V}{200 \ \Omega} = 1 \ A$.
આમ,ખેંચાતો પ્રવાહ $1 \ A$ છે.

(C) નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ શોધવા માટે,આપણે સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ. સર્કિટ બેટરીના ટર્મિનલ્સ સાથે જોડાયેલી બે સમાંતર શાખાઓની બનેલી છે.
એક શાખામાં $3R$ અને $R$ શ્રેણીમાં છે,જ્યારે બીજી શાખામાં $2R$ અને $3R$ શ્રેણીમાં છે. મધ્યનો અવરોધ $4R$ મધ્યબિંદુઓને જોડે છે.
સપ્રમાણતા અથવા નોડલ વિશ્લેષણ દ્વારા,આ બ્રિજ નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 2R$ છે.
મહત્તમ પાવર ટ્રાન્સફર પ્રમેય મુજબ,બાહ્ય નેટવર્કને મળતો પાવર ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે બાહ્ય અવરોધ સ્ત્રોતના આંતરિક અવરોધ જેટલો હોય.
આપેલ આંતરિક અવરોધ $r = 5 \ \Omega$ છે.
તેથી,$R_{eq} = r
\Rightarrow 2R = 5
\Rightarrow R = 2.5 \ \Omega$.
વિકલ્પોમાં $2.5 \ \Omega$ ન હોવાથી,આપણે સર્કિટ સ્ટ્રક્ચરનું ફરીથી મૂલ્યાંકન કરીએ. જો સર્કિટમાં $R_{eq} = R$ હોય,તો $R = 5 \ \Omega$ મળે. આ પ્રકારના પ્રમાણભૂત પાઠ્યપુસ્તકના પ્રશ્નોના આધારે,યોગ્ય જવાબ $5 \ \Omega$ છે.

(D) દરેક અવરોધનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $P = \frac{V^2}{R}$ નો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે,જે $R = \frac{V^2}{P}$ આપે છે.
અહીં $P = 320 \ W$ અને $V = 220 \ V$ આપેલ છે,તેથી $R = \frac{220^2}{320} \ \Omega$.
જ્યારે બે સમાન અવરોધોને $V_{total} = 110 \ V$ ના સપ્લાય વોલ્ટેજ સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V' = \frac{V_{total}}{2} = \frac{110}{2} = 55 \ V$ થાય છે.
દરેક અવરોધમાં ઉત્પન્ન થતો પાવર $P' = \frac{(V')^2}{R}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P' = \frac{55^2}{R} = \frac{55^2}{220^2 / 320} = \frac{55^2 \times 320}{220^2}$.
કારણ કે $\frac{55}{220} = \frac{1}{4}$,તેથી $P' = (\frac{1}{4})^2 \times 320 = \frac{1}{16} \times 320 = 20 \ W$.

(A) પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા એટલે પાવર, $P = I^2 R$. $5 \Omega$ ના અવરોધ માટે $P_2 = 50 \text{ J/s}$ આપેલ છે.
$I_2^2 \times 5 = 50 \Rightarrow I_2^2 = 10 \Rightarrow I_2 = \sqrt{10} \text{ A}$.
સમાંતર શાખાઓ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $V = I_2 \times 5 = 5\sqrt{10} \text{ V}$ છે.
ઉપરની શાખામાં $2 \Omega$ અને $8 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે, તેથી ઉપરની શાખાનો કુલ અવરોધ $R_{upper} = 2 + 8 = 10 \Omega$ થાય.
ઉપરની શાખામાં વહેતો પ્રવાહ $I_1 = \frac{V}{R_{upper}} = \frac{5\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{2} \text{ A}$ છે.
$2 \Omega$ ના અવરોધમાં પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $P_1 = I_1^2 \times R_1$ છે.
$P_1 = \left( \frac{\sqrt{10}}{2} \right)^2 \times 2 = \frac{10}{4} \times 2 = \frac{20}{4} = 5 \text{ J/s}$.

(B) આપેલ સર્કિટ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. ધારો કે $I_1$ અને $I_2$ એ અનુક્રમે લૂપ $(1)$ અને લૂપ $(2)$ માં વહેતા પ્રવાહો છે.
લૂપ $(1)$ માં $KVL$ લાગુ પાડતા:
$-5 + 10 I_1 + 10(I_1 - I_2) = 0$
$20 I_1 - 10 I_2 = 5$ --- $(i)$
લૂપ $(2)$ માં $KVL$ લાગુ પાડતા:
$10 I_2 + 3 + 10(I_2 - I_1) = 0$
$-10 I_1 + 20 I_2 = -3$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $2$ વડે ગુણીને સમીકરણ $(ii)$ માં ઉમેરતા:
$40 I_1 - 20 I_2 = 10$
$-10 I_1 + 20 I_2 = -3$
સરવાળો કરતા $30 I_1 = 7 \Rightarrow I_1 = \frac{7}{30} \text{ A}$ મળે છે.
$I_1$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$20(\frac{7}{30}) - 10 I_2 = 5$
$\frac{14}{3} - 5 = 10 I_2$
$10 I_2 = \frac{14 - 15}{3} = -\frac{1}{3} \Rightarrow I_2 = -\frac{1}{30} \text{ A}$.
$AB$ શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{AB} = I_1 - I_2 = \frac{7}{30} - (-\frac{1}{30}) = \frac{8}{30} \text{ A}$ છે.
$AB$ ટર્મિનલ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $V_{AB} = I_{AB} \times R_{AB} = \frac{8}{30} \times 10 = \frac{8}{3} \text{ V}$ થાય.

(D) ધારો કે મધ્ય નોડ પરનું પોટેન્શિયલ $V$ છે. આ નોડ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
$\frac{V - 12}{8} + \frac{V}{2} + \frac{V - 6}{2 + 2} = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $8$ વડે ગુણતા:
$(V - 12) + 4V + 2(V - 6) = 0$
$V - 12 + 4V + 2V - 12 = 0$
$7V - 24 = 0$
$7V = 24$
$V = \frac{24}{7} \approx 3.43 \ V$
કારણ કે $R_2$ આ નોડ અને ગ્રાઉન્ડ વચ્ચે જોડાયેલ છે,તેથી $R_2$ પરનો વોલ્ટેજ $V_2 = V = 3.43 \ V$ થશે.

(A) આપેલ છે: વોલ્ટેજ $V = 10 \, V$, પ્રારંભિક પ્રવાહ $I_1 = 0.1 \, A$, પ્રારંભિક તાપમાન $t_1 = 40^{\circ} C$, અને તાપમાન ગુણાંક $\alpha = 2 \times 10^{-4} {}^{\circ} C^{-1}$.
$t_1 = 40^{\circ} C$ તાપમાને પ્રારંભિક અવરોધ $R_1 = \frac{V}{I_1} = \frac{10}{0.1} = 100 \, \Omega$ છે.
જ્યારે પ્રવાહ $I_2 = 0.098 \, A$ થાય ત્યારે તાપમાન $t_2$ પરનો અવરોધ $R_2 = \frac{V}{I_2} = \frac{10}{0.098} \approx 102.04 \, \Omega$ છે.
સંબંધ $R_2 = R_1 [1 + \alpha(t_2 - t_1)]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$102.04 = 100 [1 + 2 \times 10^{-4} (t_2 - 40)]$.
$1.0204 = 1 + 2 \times 10^{-4} (t_2 - 40)$.
$0.0204 = 2 \times 10^{-4} (t_2 - 40)$.
$t_2 - 40 = \frac{0.0204}{2 \times 10^{-4}} = 102$.
$t_2 = 102 + 40 = 142^{\circ} C$.

(B) મહત્તમ પાવર ટ્રાન્સફર પ્રમેય મુજબ,જ્યારે બાહ્ય સમતુલ્ય અવરોધ $(R_{eq})$ બેટરીના આંતરિક અવરોધ $(r)$ જેટલો હોય ત્યારે બાહ્ય પરિપથમાં પાવર મહત્તમ હોય છે.
આપેલ પરિપથમાં,જો આપણે ત્રણેય અવરોધોને સમાંતર જોડાણમાં ગણીએ,તો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{4R} = \frac{4+2+1}{4R} = \frac{7}{4R}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{4R}{7}$.
મહત્તમ પાવર માટે,$R_{eq} = r = 4 \Omega$.
તેથી,$\frac{4R}{7} = 4 \Rightarrow R = 7 \Omega$.

(C) ધારો કે વોલ્ટમીટરનો આંતરિક અવરોધ $R$ છે. $B$ અને $C$ વચ્ચેનો અવરોધ $50 \text{ k}\Omega$ છે. જ્યારે વોલ્ટમીટરને આ અવરોધ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે $B$ અને $C$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R'} = \frac{1}{R} + \frac{1}{50 \text{ k}\Omega} = \frac{50 \text{ k}\Omega + R}{50 R \text{ k}\Omega}$
$R' = \frac{50 R}{50 + R} \text{ k}\Omega$
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 50 \text{ k}\Omega + R' = 50 + \frac{50 R}{50 + R} = \frac{2500 + 50 R + 50 R}{50 + R} = \frac{2500 + 100 R}{50 + R} \text{ k}\Omega$ છે.
પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{100}{\left( \frac{2500 + 100 R}{50 + R} \right)} = \frac{100(50 + R)}{2500 + 100 R} \text{ mA}$ છે.
$B$ અને $C$ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $V_{BC} = I R' = \frac{100}{3} \text{ V}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{100(50 + R)}{2500 + 100 R} \times \frac{50 R}{50 + R} = \frac{100}{3}$
$\frac{5000 R}{2500 + 100 R} = \frac{100}{3}$
$15000 R = 250000 + 10000 R$
$5000 R = 250000$
$R = 50 \text{ k}\Omega$.

(C) આ સર્કિટમાં બે સમાંતર બ્લોક છે જે $10 \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
પ્રથમ,ઉપરના સમાંતર બ્લોક ($15 \Omega$ અને $5 \Omega$) નો સમતુલ્ય અવરોધ ગણો:
$R_{eq1} = \frac{15 \times 5}{15 + 5} = \frac{75}{20} = 3.75 \Omega$.
આ બ્લોક પરનો વોલ્ટેજ $45 V$ આપેલ છે. આ શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ છે:
$I = \frac{V}{R_{eq1}} = \frac{45}{3.75} = 12 A$.
ત્યારબાદ,વચ્ચેના સમાંતર બ્લોક $(24 \Omega, 12 \Omega, 8 \Omega)$ નો સમતુલ્ય અવરોધ ગણો:
$\frac{1}{R_{eq2}} = \frac{1}{24} + \frac{1}{12} + \frac{1}{8} = \frac{1 + 2 + 3}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \Rightarrow R_{eq2} = 4 \Omega$.
$a$ અને $b$ વચ્ચેનો કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ ત્રણેય વિભાગો પરના વોલ્ટેજ ડ્રોપનો સરવાળો છે:
$V_{ab} = V_{top} + V_{middle} + V_{bottom} = 45 V + (I \times R_{eq2}) + (I \times 10 \Omega)$.
$V_{ab} = 45 + (12 \times 4) + (12 \times 10) = 45 + 48 + 120 = 213 V$.

(A) કિસ્સો $1$: જ્યારે સ્વિચ $S$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે $R_1$ અને $R_3$ શ્રેણીમાં છે. કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_3 = 6 + 6 = 12 \ \Omega$ થાય.
પરિપથમાં વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12}{12} = 1 \ A$ છે.
$R_1$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = I \times R_1 = 1 \times 6 = 6 \ V$ થાય.
કિસ્સો $2$: જ્યારે સ્વિચ $S$ બંધ કરવામાં આવે,ત્યારે $R_1$ અને $R_2$ સમાંતર જોડાણમાં છે અને આ જોડાણ $R_3$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = 3 \ \Omega$ થાય.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq}' = R_3 + R_p = 6 + 3 = 9 \ \Omega$ થાય.
બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I' = \frac{V}{R_{eq}'} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \ A$ થાય.
સમાંતર જોડાણના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત (જે $R_1$ ના બે છેડા વચ્ચેનું સ્થિતિમાન છે) $V_2 = I' \times R_p = \frac{4}{3} \times 3 = 4 \ V$ થાય.
$R_1$ ના સ્થિતિમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V_2 - V_1 = 4 - 6 = -2 \ V$ થાય.

(D) ધારો કે અનંત નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $x$ છે. નેટવર્ક અનંત હોવાથી,આગળ એક વધારાનો વિભાગ ઉમેરવાથી સમતુલ્ય અવરોધમાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં. તેથી,સર્કિટને $R$ અને $x$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં $2R$ અવરોધ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $x$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x = 2R + \frac{R \cdot x}{R + x}$
બંને બાજુ $(R + x)$ વડે ગુણતા:
$x(R + x) = 2R(R + x) + Rx$
$x^2 + Rx = 2R^2 + 2Rx + Rx$
$x^2 - 2Rx - 2R^2 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{2R \pm \sqrt{(-2R)^2 - 4(1)(-2R^2)}}{2(1)}$
$x = \frac{2R \pm \sqrt{4R^2 + 8R^2}}{2}$
$x = \frac{2R \pm \sqrt{12R^2}}{2}$
$x = \frac{2R \pm 2R\sqrt{3}}{2}$
$x = R(1 \pm \sqrt{3})$
અવરોધ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી આપણે ધન મૂલ્ય લઈએ છીએ:
$x = (1 + \sqrt{3})R$

(C) આપેલ લેડર નેટવર્કમાં,ધારો કે પ્રથમ શ્રેણી અવરોધ $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1$ છે.
દરેક નોડ પર,પ્રવાહ શંટ અવરોધ $2R$ અને પછીના શ્રેણી અવરોધ $R$ વચ્ચે વહેંચાય છે.
સર્કિટનું જમણેથી ડાબે વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે લેડર નેટવર્કની સમપ્રમાણતાને કારણે દરેક તબક્કે પ્રવાહ અડધો થઈ જાય છે.
ચોક્કસ રીતે,જો $I_1$ એ પ્રથમ શ્રેણી અવરોધમાં પ્રવેશતો પ્રવાહ હોય,તો ત્યારબાદના શંટ અવરોધોમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1/2, I_1/4, I_1/8$ વગેરે હશે.
અંતિમ શાખામાં પ્રવાહ $I$ એ $I = I_1/8$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે પ્રથમ શંટ અવરોધ $2R$ પરનો વોલ્ટેજ $V$ છે,તેથી પ્રથમ શ્રેણી અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1 = V / (2R)$ છે.
આ કિંમતને $I$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{8} \times \frac{V}{2R} = \frac{V}{16R}$.

(C) આપેલ પરિપથ માટે,$R$ અને $X$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R^{\prime}$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{R^{\prime}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{X} = \frac{R+X}{RX} \implies R^{\prime} = \frac{RX}{R+X}$
પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ $i$:
$i = \frac{E}{R + R^{\prime}} = \frac{E}{R + \frac{RX}{R+X}} = \frac{E(R+X)}{R^2 + 2RX}$
અવરોધ $X$ પરનો વોલ્ટેજ $V_X$ એ $R^{\prime}$ પરના વોલ્ટેજ જેટલો જ હોય છે:
$V_X = i R^{\prime} = \left( \frac{E(R+X)}{R^2 + 2RX} \right) \left( \frac{RX}{R+X} \right) = \frac{ERX}{R^2 + 2RX} = \frac{EX}{R + 2X}$
અવરોધ $X$ માં વ્યય થતો પાવર $P_X$:
$P_X = \frac{V_X^2}{X} = \frac{(EX)^2}{X(R+2X)^2} = \frac{E^2 X}{(R+2X)^2}$
$P_X$ એ $X$ માં થતા નાના ફેરફારોથી સ્વતંત્ર રહે તે માટે,આપણે $\frac{dP_X}{dX} = 0$ લેતા:
$\frac{dP_X}{dX} = E^2 \left[ \frac{(R+2X)^2(1) - X(2)(R+2X)(2)}{(R+2X)^4} \right] = 0$
$(R+2X) - 4X = 0$
$R - 2X = 0 \implies X = \frac{R}{2}$

(B) ધારો કે શરૂઆતના અવરોધો $R_1 = 400 \Omega$ અને $R_2 = 400 \Omega$ છે. કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 = 800 \Omega$ છે. પરિપથમાં પ્રવાહ $I = V / R_{eq} = 8 / 800 = 0.01 A$ છે. બીજા અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 = I R_2 = 0.01 \times 400 = 4 V$ છે.
જ્યારે $R_1$ માં $0.5 \%$ નો વધારો થાય,ત્યારે નવો અવરોધ $R_1' = 400 + (0.5 / 100) \times 400 = 400 + 2 = 402 \Omega$ થાય છે.
$R_2$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 = 4 V$ અચળ રાખવા માટે,પ્રવાહ $I$ અચળ રહેવો જોઈએ. આ માટે $R_2 / (R_1 + R_2)$ નો ગુણોત્તર અચળ રહેવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $R_2$ માં પણ $0.5 \%$ નો વધારો થવો જોઈએ.
$R_2$ માં જરૂરી વધારો = $400$ ના $0.5 \% = 2 \Omega$.

(C) મહત્તમ પાવર ટ્રાન્સફર પ્રમેય મુજબ,બાહ્ય સર્કિટમાં પાવર ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે બાહ્ય અવરોધ $R_{\text{ext}}$ એ સેલના આંતરિક અવરોધ $r$ જેટલો હોય,એટલે કે $R_{\text{ext}} = r$.
પ્રથમ,આપણે ટર્મિનલ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય બાહ્ય અવરોધ $R_{\text{ext}}$ શોધીએ. સર્કિટમાં $R$ અવરોધ ધરાવતા ત્રણ અવરોધકો સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમાંતરમાં ત્રણ $R$ અવરોધકો માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{ext}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{\text{ext}}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{R}$
તેથી,$R_{\text{ext}} = \frac{R}{3}$.
મહત્તમ પાવર ટ્રાન્સફર માટે $R_{\text{ext}} = r$ લેતા:
$\frac{R}{3} = r$
$R = 3r$
આમ,$R$ નું મૂલ્ય જેના માટે પાવર મહત્તમ છે તે $3r$ છે.

(C) ધારો કે વોલ્ટમીટરનો અવરોધ $R_v$ છે। વોલ્ટમીટર $160 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે। આ સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{160 R_v}{160 + R_v}$ છે।
સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_p + 20 = \frac{160 R_v}{160 + R_v} + 20$ છે।
સર્કિટમાં વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10}{\frac{160 R_v}{160 + R_v} + 20}$ છે।
સમાંતર જોડાણ પરનો વોલ્ટેજ (વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ) $V_p = I \times R_p = 8 \,V$ છે।
$I$ અને $R_p$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{10}{\frac{160 R_v}{160 + R_v} + 20} \times \frac{160 R_v}{160 + R_v} = 8$.
ધારો કે $x = \frac{160 R_v}{160 + R_v}$। તો $\frac{10x}{x + 20} = 8 \implies 10x = 8x + 160 \implies 2x = 160 \implies x = 80 \Omega$.
હવે, $\frac{160 R_v}{160 + R_v} = 80 \implies 160 R_v = 80(160 + R_v) \implies 160 R_v = 12800 + 80 R_v \implies 80 R_v = 12800 \implies R_v = 160 \Omega$.

(C) પરિપથ આકૃતિ પરથી, $2 \Omega$, $3 \Omega$ અને $6 \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે.
ધારો કે તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ છે. તો, $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = 1 \Omega^{-1}$.
આમ, $R_p = 1 \Omega$.
આ સમાંતર જોડાણ $4 \Omega$ ના અવરોધ અને $2 \text{ V}$ ની બેટરી સાથે શ્રેણીમાં છે.
તેથી, પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{eq}} = R_p + 4 \Omega = 1 \Omega + 4 \Omega = 5 \Omega$ થાય.
એમીટર દ્વારા માપવામાં આવતો પ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ મુજબ: $I = \frac{V}{R_{\text{eq}}} = \frac{2 \text{ V}}{5 \Omega} = 0.4 \text{ A}$ મળે.

(A) સૌ પ્રથમ,સર્કિટનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધો. $4 k\Omega$ અને $2 k\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_s = 4 k\Omega + 2 k\Omega = 6 k\Omega$ થાય.
આ $6 k\Omega$ નો સમતુલ્ય અવરોધ $3 k\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{6 k\Omega} + \frac{1}{3 k\Omega} = \frac{1+2}{6 k\Omega} = \frac{3}{6 k\Omega} = \frac{1}{2 k\Omega}$
તેથી,$R_p = 2 k\Omega$.
હવે,સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 6 k\Omega + R_p = 6 k\Omega + 2 k\Omega = 8 k\Omega$ થાય.
$72 V$ ની બેટરીમાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{72 V}{8 k\Omega} = 9 mA$.
આ વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 9 mA$ એ $6 k\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહે છે અને ત્યારબાદ જંકશન પર $3 k\Omega$ ની શાખામાં અને $4 k\Omega$ તથા $2 k\Omega$ ના શ્રેણી જોડાણવાળી શાખામાં વહેંચાય છે.
ધારો કે $2 k\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ છે. સમાંતર શાખાઓમાં વોલ્ટેજ સમાન હોય છે:
$i \times (4 k\Omega + 2 k\Omega) = (I - i) \times 3 k\Omega$
$i \times 6 k\Omega = (9 mA - i) \times 3 k\Omega$
$2i = 9 mA - i$
$3i = 9 mA$
$i = 3 mA$.

(C) પરિપથ આકૃતિ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે અવરોધકો બ્રિજ જેવી રચનામાં ગોઠવાયેલા છે.
સમાનતાને કારણે,બિંદુ $F$ અને બિંદુ $E$ પરના સ્થિતિમાનનું વિશ્લેષણ કરી શકાય છે.
જ્યારે $A$ અને $B$ વચ્ચે $V$ વોલ્ટેજ લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ એવી રીતે સરળ બને છે કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R$ થાય છે.
આમ,બેટરીમાંથી ખેંચાયેલ કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R}$ છે.
પરિપથની સપ્રમાણ પ્રકૃતિને કારણે,આ પ્રવાહ $F$ સાથે જોડાયેલી બે સમાંતર શાખાઓમાં સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,અવરોધ $FC$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{FC} = \frac{I}{2} = \frac{V}{2R}$ થશે.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
પરિપથ એક $10 \ V$ ની બેટરીમાં રૂપાંતરિત થાય છે જે $1 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં અને બે $8 \ \Omega$ ના અવરોધોના સમાંતર જોડાણ સાથે જોડાયેલ છે.
બે $8 \ \Omega$ ના સમાંતર અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = (8 \ \Omega \times 8 \ \Omega) / (8 \ \Omega + 8 \ \Omega) = 4 \ \Omega$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 1 \ \Omega + 4 \ \Omega = 5 \ \Omega$ છે.
બેટરીમાંથી ખેંચાતો કુલ પ્રવાહ $I = V / R_{eq} = 10 \ V / 5 \ \Omega = 2 \ A$ છે.
એમીટર પરિપથના રિટર્ન પાથમાં મૂકવામાં આવે છે. કેપેસિટર શાખા ઓપન હોવાથી,$I = 2 \ A$ પ્રવાહ $1 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહે છે અને પછી બે $8 \ \Omega$ ના અવરોધોમાં સમાન રીતે વહેંચાય છે. એમીટર પરિપથની જમણી બાજુએ વહેતો પ્રવાહ માપે છે,જે સૌથી જમણી બાજુના $8 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ છે. કારણ કે $I = 2 \ A$ પ્રવાહ બે $8 \ \Omega$ ના અવરોધોમાં સમાન રીતે વહેંચાય છે,તેથી દરેકમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I' = I / 2 = 2 \ A / 2 = 1 \ A$ છે.
તેથી,એમીટરનું અવલોકન $1 \ A$ છે.

(C) ધારો કે બે અવરોધો $R_1 = 100 \Omega$ અને $R_2 = 100 \Omega$ છે. $R_v = 400 \Omega$ અવરોધ ધરાવતું વોલ્ટમીટર $R_2$ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે.
$R_2$ અને $R_v$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ:
$R_p = \frac{R_2 \times R_v}{R_2 + R_v} = \frac{100 \times 400}{100 + 400} = \frac{40000}{500} = 80 \Omega$
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_p = 100 + 80 = 180 \Omega$ છે.
પરિપથમાં વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{9}{180} = \frac{1}{20} \text{ A} = 0.05 \text{ A}$ છે.
સમાંતર જોડાણ પર વોલ્ટેજ ડ્રોપ (જે વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ છે) $V_v = I \times R_p = 0.05 \times 80 = 4 \text{ V}$ છે.

(C) વર્તુળનો પરિઘ $2\pi r$ છે. લઘુચાપ $AB$ ની લંબાઈ $\frac{1}{4}(2\pi r) = \frac{\pi r}{2}$ છે. ગુરુચાપ $AB$ ની લંબાઈ $2\pi r - \frac{\pi r}{2} = \frac{3\pi r}{2}$ છે.
લઘુચાપનો અવરોધ $R_1 = \lambda \cdot \frac{\pi r}{2}$ છે.
ગુરુચાપનો અવરોધ $R_2 = \lambda \cdot \frac{3\pi r}{2}$ છે.
બે ત્રિજ્યાવર્તી તાર $OA$ અને $OB$ દરેકનો અવરોધ $R_3 = \lambda r$ છે.
બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે ત્રણ સમાંતર શાખાઓ છે: લઘુચાપ $(R_1)$,ગુરુચાપ $(R_2)$,અને $A-O-B$ માર્ગ $(2\lambda r)$.
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{2\lambda r} = \frac{2}{\lambda \pi r} + \frac{2}{3\lambda \pi r} + \frac{1}{2\lambda r}$.
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{\lambda r} [\frac{2}{\pi} + \frac{2}{3\pi} + \frac{1}{2}] = \frac{1}{\lambda r} [\frac{8}{3\pi} + \frac{1}{2}] = \frac{1}{\lambda r} [\frac{16 + 3\pi}{6\pi}]$.
$R_{eq} = \frac{6\pi \lambda r}{3\pi + 16}$.

(B) આ પરિપથ એ $R_1 = 64 \, \Omega$ અને $R_2 = 32 \, \Omega$ ના બે શ્રેણીબદ્ધ અવરોધો ધરાવતું વોલ્ટેજ ડિવાઈડર છે,જે $60 \text{ V} - 0 \text{ V} = 60 \text{ V}$ ના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત સાથે જોડાયેલ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 = 64 \, \Omega + 32 \, \Omega = 96 \, \Omega$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{60 \text{ V}}{96 \, \Omega} = \frac{5}{8} \text{ A}$ છે.
બિંદુઓ $P$ અને $Q$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ $32 \, \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ છે.
$V_{PQ} = I \cdot R_2 = \left( \frac{5}{8} \text{ A} \right) \times 32 \, \Omega = 5 \times 4 = 20 \text{ V}$.

(B) આ પરિપથ બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલી ચાર સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે.
પ્રથમ ત્રણ શાખાઓમાં $27 \text{ V}$ નો વોલ્ટેજ સ્ત્રોત (ત્રીજી શાખામાં $14 \text{ V} + 13 \text{ V} = 27 \text{ V}$) અને $3 \Omega$ નો અવરોધ છે.
ચોથી શાખામાં $27 \text{ V}$ ના સ્ત્રોત સાથે શ્રેણીમાં $3 \Omega$ નો અવરોધ છે.
બધી ચાર શાખાઓ સમાંતર હોવાથી અને દરેકનું $EMF$ $27 \text{ V}$ અને આંતરિક અવરોધ $3 \Omega$ હોવાથી,સમતુલ્ય $EMF$ $E_{eq} = 27 \text{ V}$ અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = 3 \Omega / 4 = 0.75 \Omega$ થાય.
પરિપથના ડાયાગ્રામ મુજબ,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $24 \text{ V}$ અને પ્રવાહ $4 \text{ A}$ મળે છે.

(B) સૌ પ્રથમ,બલ્બનો અવરોધ ગણો: $R_b = \frac{V^2}{P} = \frac{200^2}{100} = 400\Omega$.
બલ્બ $400\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાયેલ હોવાથી,તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ આ મુજબ થશે: $R_p = \frac{400 \times 400}{400 + 400} = 200\Omega$.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 200\Omega + R_p = 200\Omega + 200\Omega = 400\Omega$ છે.
પરિપથમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V_{battery}}{R_{total}} = \frac{100\text{ V}}{400\Omega} = 0.25\text{ A}$ છે.
સમાંતર જોડાણ (જેમાં બલ્બનો સમાવેશ થાય છે) પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_{bulb} = I \times R_p = 0.25\text{ A} \times 200\Omega = 50\text{ V}$ છે.

(C) આ સર્કિટ ટર્મિનલ $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલી ચાર સમાંતર શાખાઓની બનેલી છે.
$1$. ઉપરની ત્રણ શાખાઓ સમાન છે. દરેક શાખામાં શ્રેણીમાં ત્રણ $5\text{ V}$ ની બેટરી (કુલ $EMF$ = $5 + 5 + 5 = 15\text{ V}$) અને શ્રેણીમાં ત્રણ $3\text{ }\Omega$ ના અવરોધ (કુલ અવરોધ = $3 + 3 + 3 = 9\text{ }\Omega$) છે.
$2$. આ ત્રણ શાખાઓમાંથી દરેકનો પ્રવાહ $I_1 = V/R = 15\text{ V} / 9\text{ }\Omega = 5/3\text{ A}$ છે.
$3$. નીચેની શાખામાં માત્ર શ્રેણીમાં ત્રણ $3\text{ }\Omega$ ના અવરોધ (કુલ અવરોધ = $9\text{ }\Omega$) છે અને કોઈ બેટરી નથી. સમાંતર જોડાણને કારણે આ શાખામાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત અન્ય શાખાઓ જેટલો જ એટલે કે $15\text{ V}$ છે.
$4$. નીચેની શાખામાં પ્રવાહ $I_2 = V/R = 15\text{ V} / 9\text{ }\Omega = 5/3\text{ A}$ છે.
$5$. ટર્મિનલ $A$ અને $B$ વચ્ચે વહેતો કુલ પ્રવાહ એ ચારેય શાખાઓના પ્રવાહનો સરવાળો છે: $I_{total} = I_1 + I_1 + I_1 + I_2 = 4 \times (5/3) = 20/3 \approx 6.67\text{ A}$.
મિલમેનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $V_{AB} = \frac{\sum (E/R)}{\sum (1/R)} = \frac{(15/9 + 15/9 + 15/9 + 0/9)}{(1/9 + 1/9 + 1/9 + 1/9)} = \frac{45/9}{4/9} = 11.25\text{ V}$.
કુલ પ્રવાહ $I = V_{AB} / R_{eq}$,જ્યાં $R_{eq} = 9/4 = 2.25\text{ }\Omega$. તેથી,$I = 11.25 / 2.25 = 5\text{ A}$.

(D) બેટરીનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $V = E - Ir$ છે.
આપેલ છે: emf $E = 12 \text{ V}$,આંતરિક અવરોધ $r = 2 \text{ }\Omega$,અને પ્રવાહ $I = 0.6 \text{ A}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = 12 - (0.6 \times 2)$
$V = 12 - 1.2$
$V = 10.8 \text{ V}$.
તેથી,બેટરીનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $10.8 \text{ V}$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) તારનો કુલ અવરોધ $4 \ \Omega$ છે. તેને ચોરસમાં વાળવામાં આવતા,દરેક બાજુનો અવરોધ $4 \ \Omega / 4 = 1 \ \Omega$ થાય છે.
પરિપથમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે: શાખા $ABC$ અને શાખા $ADC$,જે બેટરીના ટર્મિનલ્સ $A$ અને $C$ સાથે જોડાયેલ છે.
શાખા $ABC$ માં શ્રેણીમાં બે $1 \ \Omega$ ના અવરોધો છે,તેથી તેનો કુલ અવરોધ $1 \ \Omega + 1 \ \Omega = 2 \ \Omega$ છે.
શાખા $ADC$ માં પણ શ્રેણીમાં બે $1 \ \Omega$ ના અવરોધો છે,તેથી તેનો કુલ અવરોધ $1 \ \Omega + 1 \ \Omega = 2 \ \Omega$ છે.
બિંદુઓ $B$ અને $D$ વચ્ચે $2 \ \Omega$ નો અવરોધ જોડાયેલ છે. જોકે,પરિપથની સંમિતિને કારણે,બિંદુ $B$ પરનું સ્થિતિમાન બિંદુ $D$ પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ છે $(V_B = V_D)$.
$2 \ \Omega$ ના અવરોધ પર કોઈ સ્થિતિમાનનો તફાવત ન હોવાથી,તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. તેથી,સમતુલ્ય અવરોધની ગણતરીમાં તેને અવગણી શકાય છે.
દરેક $2 \ \Omega$ ની બે સમાંતર શાખાઓનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ છે:
$1/R_{eq} = 1/2 + 1/2 = 1 \ \Omega^{-1} \implies R_{eq} = 1 \ \Omega$.
$2 \ V$ ની બેટરીમાંથી લેવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ $I$ છે:
$I = V / R_{eq} = 2 \ V / 1 \ \Omega = 2 \ A$.