Baye's theorem Questions in Hindi

(A) मान लीजिए $M$ वह घटना है कि एक पुरुष चुना जाता है और $W$ वह घटना है कि एक महिला चुनी जाती है। मान लीजिए $D$ वह घटना है कि व्यक्ति को बीमारी है और $D^c$ वह घटना है कि व्यक्ति को बीमारी नहीं है। मान लीजिए $T^+$ वह घटना है कि रक्त परीक्षण सकारात्मक है।
दिया गया है:
$P(M) = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}$
$P(W) = \frac{20}{50} = \frac{2}{5}$
$P(D|M) = \frac{1}{2}$,इसलिए $P(D^c|M) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$P(D|W) = \frac{1}{5}$,इसलिए $P(D^c|W) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
परीक्षण $\frac{4}{5}$ संभावना के साथ सही है,इसलिए:
$P(T^+|D) = \frac{4}{5}$ (सत्य सकारात्मक)
$P(T^+|D^c) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ (असत्य सकारात्मक)
हमें $P(M|T^+)$ ज्ञात करना है। बेयस प्रमेय द्वारा:
$P(M|T^+) = \frac{P(M) \cdot P(T^+|M)}{P(T^+)}$
$P(T^+|M) = P(T^+|D)P(D|M) + P(T^+|D^c)P(D^c|M) = (\frac{4}{5} \times \frac{1}{2}) + (\frac{1}{5} \times \frac{1}{2}) = \frac{4}{10} + \frac{1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
$P(T^+|W) = P(T^+|D)P(D|W) + P(T^+|D^c)P(D^c|W) = (\frac{4}{5} \times \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} \times \frac{4}{5}) = \frac{4}{25} + \frac{4}{25} = \frac{8}{25}$
$P(T^+) = P(M)P(T^+|M) + P(W)P(T^+|W) = (\frac{3}{5} \times \frac{1}{2}) + (\frac{2}{5} \times \frac{8}{25}) = \frac{3}{10} + \frac{16}{125} = \frac{75 + 32}{250} = \frac{107}{250}$
$P(M|T^+) = \frac{\frac{3}{5} \times \frac{1}{2}}{\frac{107}{250}} = \frac{3/10}{107/250} = \frac{3}{10} \times \frac{250}{107} = \frac{75}{107}$

(D) मान लीजिए $E$ वह घटना है कि व्यक्ति को बीमारी है,और $E^c$ वह घटना है कि व्यक्ति को बीमारी नहीं है। मान लीजिए $A$ वह घटना है कि परीक्षण का परिणाम सकारात्मक है।
दिया गया है:
$P(E) = \frac{2}{3}$
$P(E^c) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
$P(A|E) = \frac{2}{3}$ (व्यक्ति को बीमारी होने पर परीक्षण सकारात्मक आने की प्रायिकता)
$P(A|E^c) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ (व्यक्ति को बीमारी न होने पर परीक्षण सकारात्मक आने की प्रायिकता)
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,किसी व्यक्ति का परीक्षण सकारात्मक आने की प्रायिकता:
$P(A) = P(E) \times P(A|E) + P(E^c) \times P(A|E^c)$
$P(A) = \left(\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}\right) = \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{5}{9}$
बेयस प्रमेय के अनुसार,परीक्षण सकारात्मक आने पर व्यक्ति को बीमारी होने की प्रायिकता:
$P(E|A) = \frac{P(E) \times P(A|E)}{P(A)}$
$P(E|A) = \frac{\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}}{\frac{5}{9}} = \frac{\frac{4}{9}}{\frac{5}{9}} = \frac{4}{5}$

(D) माना $R$ लाल गेंद निकालने की घटना है। बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(C|R) = \frac{P(C)P(R|C)}{P(A)P(R|A) + P(B)P(R|B) + P(C)P(R|C)}$
दिया गया है $P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{3}$,$P(R|A) = \frac{4}{10}$,$P(R|B) = \frac{5}{10}$,$P(R|C) = \frac{\lambda}{\lambda+4}$ और $P(C|R) = 0.4 = \frac{2}{5}$.
$\frac{2}{5} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{\lambda}{\lambda+4}}{\frac{1}{3}(\frac{4}{10} + \frac{5}{10} + \frac{\lambda}{\lambda+4})} = \frac{\frac{\lambda}{\lambda+4}}{0.9 + \frac{\lambda}{\lambda+4}}$
$0.36 + 0.4 \frac{\lambda}{\lambda+4} = \frac{\lambda}{\lambda+4} \Rightarrow 0.36 = 0.6 \frac{\lambda}{\lambda+4} \Rightarrow \frac{\lambda}{\lambda+4} = 0.6 = \frac{3}{5}$
$5\lambda = 3\lambda + 12 \Rightarrow 2\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 6$.
परवलय $y^2 = 6x$ है। समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $(0,0)$,$(at_1^2, 2at_1)$,और $(at_2^2, 2at_2)$ हैं जहाँ $4a = 6 \Rightarrow a = 1.5$.
$x$-अक्ष के सापेक्ष समरूपता के कारण,$t_1 = t$ और $t_2 = -t$. भुजा की लंबाई $\ell$ के लिए $\ell^2 = (at^2)^2 + (2at)^2 = a^2t^4 + 4a^2t^2$.
साथ ही,भुजा की ढाल $\tan(30^{\circ}) = \frac{2at}{at^2} = \frac{2}{t} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow t = 2\sqrt{3}$.
$\ell^2 = (1.5)^2(2\sqrt{3})^4 + 4(1.5)^2(2\sqrt{3})^2 = 2.25(144) + 9(12) = 324 + 108 = 432$.

(A) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि व्यक्ति धूम्रपान करने वाला है और $E_2$ वह घटना है कि व्यक्ति धूम्रपान नहीं करने वाला है।
दिया गया है $P(E_1) = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ और $P(E_2) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि किसी व्यक्ति को फेफड़ों के कैंसर का निदान किया गया है।
मान लीजिए $p$ धूम्रपान न करने वाले व्यक्ति को फेफड़ों का कैंसर होने की संभावना है। तो धूम्रपान करने वाले व्यक्ति को फेफड़ों का कैंसर होने की संभावना $27p$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,इस बात की संभावना कि व्यक्ति धूम्रपान करने वाला है,यदि उसे फेफड़ों का कैंसर है:
$P(E_1|E) = \frac{P(E_1)P(E|E_1)}{P(E_1)P(E|E_1) + P(E_2)P(E|E_2)}$
$P(E_1|E) = \frac{\frac{1}{4} \times 27p}{\frac{1}{4} \times 27p + \frac{3}{4} \times p} = \frac{27p}{27p + 3p} = \frac{27p}{30p} = \frac{27}{30} = \frac{9}{10}$।
दिया गया है $P(E_1|E) = \frac{k}{10}$,इसलिए $\frac{k}{10} = \frac{9}{10}$,जिसका अर्थ है $k = 9$।

(A) मान लीजिए $E$ वह घटना है कि निकाली गई दो गेंदें काली हैं। मान लीजिए $H_i$ वह परिकल्पना है कि थैले में $i$ काली गेंदें हैं,जहाँ $i \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
यह मानते हुए कि प्रत्येक परिकल्पना समान रूप से संभावित है,$P(H_i) = \frac{1}{5}$ है।
$i$ काली गेंदें होने पर $2$ काली गेंदें निकालने की प्रायिकता $P(E|H_i) = \frac{{}^i C_2}{{}^6 C_2} = \frac{{}^i C_2}{15}$ है।
हमें $P(H_5 \cup H_6 | E) = \frac{P(E|H_5)P(H_5) + P(E|H_6)P(H_6)}{\sum_{i=2}^6 P(E|H_i)P(H_i)}$ ज्ञात करना है।
चूंकि $P(H_i)$ स्थिर है,यह $\frac{{}^5 C_2 + {}^6 C_2}{{}^2 C_2 + {}^3 C_2 + {}^4 C_2 + {}^5 C_2 + {}^6 C_2}$ में सरल हो जाता है।
संयोजनों की गणना करने पर: ${}^2 C_2 = 1, {}^3 C_2 = 3, {}^4 C_2 = 6, {}^5 C_2 = 10, {}^6 C_2 = 15$ है।
योग $= 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35$ है।
अंश $= 10 + 15 = 25$ है।
प्रायिकता $= \frac{25}{35} = \frac{5}{7}$ है।

(C) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ वे घटनाएँ हैं कि बोल्ट क्रमशः मशीन $A, B$ और $C$ द्वारा निर्मित हैं,और $D$ वह घटना है कि बोल्ट दोषपूर्ण है।
दी गई प्रायिकताएँ:
$P(E_1) = 0.20 = \frac{20}{100}$,$P(E_2) = 0.30 = \frac{30}{100}$,$P(E_3) = 0.50 = \frac{50}{100}$
दोषपूर्ण बोल्ट की सशर्त प्रायिकताएँ:
$P(D|E_1) = \frac{3}{100}$,$P(D|E_2) = \frac{4}{100}$,$P(D|E_3) = \frac{2}{100}$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,दोषपूर्ण बोल्ट के मशीन $C$ द्वारा निर्मित होने की प्रायिकता:
$P(E_3|D) = \frac{P(E_3) \times P(D|E_3)}{P(E_1) \times P(D|E_1) + P(E_2) \times P(D|E_2) + P(E_3) \times P(D|E_3)}$
$P(E_3|D) = \frac{\frac{50}{100} \times \frac{2}{100}}{\frac{20}{100} \times \frac{3}{100} + \frac{30}{100} \times \frac{4}{100} + \frac{50}{100} \times \frac{2}{100}}$
$P(E_3|D) = \frac{100}{60 + 120 + 100} = \frac{100}{280} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$

(C) $6$ सफेद और $9$ काली गेंदों (कुल $15$ गेंदें) में से $4$ सफेद गेंदें निकालने की प्रायिकता $P(A) = \frac{{}^6C_4}{{}^{15}C_4} = \frac{15}{1365} = \frac{1}{91}$ है।
$4$ सफेद गेंदें निकालने के बाद,शेष गेंदें $2$ सफेद और $9$ काली (कुल $11$ गेंदें) हैं।
शेष $11$ गेंदों में से $4$ काली गेंदें निकालने की प्रायिकता $P(B|A) = \frac{{}^9C_4}{{}^{11}C_4} = \frac{126}{330} = \frac{21}{55}$ है।
कुल प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{1}{91} \times \frac{21}{55} = \frac{1}{13} \times \frac{3}{55} = \frac{3}{715}$ है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) मान लीजिए $E_1$ थैली $A$ को चुनने की घटना है और $E_2$ थैली $B$ को चुनने की घटना है।
मान लीजिए $E$ सफेद गेंद निकालने की घटना है।
चूंकि थैलियों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,इसलिए $P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$ है।
थैली $A$ से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(E|E_1) = \frac{3}{3+7} = \frac{3}{10}$ है।
थैली $B$ से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(E|E_2) = \frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि निकाली गई गेंद सफेद है तो उसके थैली $A$ से होने की प्रायिकता:
$P(E_1|E) = \frac{P(E_1) \cdot P(E|E_1)}{P(E_1) \cdot P(E|E_1) + P(E_2) \cdot P(E|E_2)}$
$P(E_1|E) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{3}{10}}{\frac{1}{2} \times \frac{3}{10} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{5}}$
$P(E_1|E) = \frac{\frac{3}{20}}{\frac{3}{20} + \frac{3}{10}} = \frac{\frac{3}{20}}{\frac{3+6}{20}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

(B) मान लीजिए $E$ वह घटना है कि $2$ सफेद और $2$ काली गेंदें निकाली जाती हैं। मान लीजिए $H_i$ वह परिकल्पना है कि थैले में $i$ सफेद गेंदें और $(8-i)$ काली गेंदें हैं,जहाँ $i \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ है।
यह मानते हुए कि प्रत्येक संरचना समान रूप से संभावित है,$P(H_i) = \frac{1}{9}$ है।
$H_i$ दिए जाने पर $2$ सफेद और $2$ काली गेंदें निकालने की प्रायिकता $P(E|H_i) = \frac{{}^iC_2 \times {}^{8-i}C_2}{{}^8C_4}$ है।
हमें $P(H_4|E) = \frac{P(E|H_4)P(H_4)}{\sum_{i=0}^8 P(E|H_i)P(H_i)}$ ज्ञात करना है।
चूंकि $P(H_i)$ स्थिर है,$P(H_4|E) = \frac{{}^4C_2 \times {}^4C_2}{\sum_{i=2}^6 {}^iC_2 \times {}^{8-i}C_2}$ होगा।
अंश की गणना: ${}^4C_2 \times {}^4C_2 = 6 \times 6 = 36$ है।
हर की गणना:
$i=2: {}^2C_2 \times {}^6C_2 = 1 \times 15 = 15$
$i=3: {}^3C_2 \times {}^5C_2 = 3 \times 10 = 30$
$i=4: {}^4C_2 \times {}^4C_2 = 6 \times 6 = 36$
$i=5: {}^5C_2 \times {}^3C_2 = 10 \times 3 = 30$
$i=6: {}^6C_2 \times {}^2C_2 = 15 \times 1 = 15$
योग $= 15 + 30 + 36 + 30 + 15 = 126$ है।
$P(H_4|E) = \frac{36}{126} = \frac{2}{7}$।

(B) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ क्रमशः कलश $A, B, C$ चुनने की घटनाएँ हैं। चूँकि कलश यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ है।
मान लीजिए $X$ काली गेंद निकालने की घटना है।
प्रत्येक कलश से काली गेंद निकालने की प्रायिकताएँ हैं:
$P(X|E_1) = \frac{5}{12}$
$P(X|E_2) = \frac{7}{12}$
$P(X|E_3) = \frac{6}{12}$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि गेंद काली है तो उसके कलश $A$ से होने की प्रायिकता है:
$P(E_1|X) = \frac{P(E_1)P(X|E_1)}{P(E_1)P(X|E_1) + P(E_2)P(X|E_2) + P(E_3)P(X|E_3)}$
$P(E_1|X) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{12}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{12} + \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{12} + \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{12}}$
$P(E_1|X) = \frac{5}{5 + 7 + 6} = \frac{5}{18}$.

(A) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि मोटरसाइकिल प्लांट $A$ में निर्मित है,और $E_2$ वह घटना है कि यह प्लांट $B$ में निर्मित है। मान लीजिए $S$ वह घटना है कि मोटरसाइकिल मानक गुणवत्ता की है।
दिया गया है:
$P(E_1) = 0.60$
$P(E_2) = 0.40$
$P(S|E_1) = 0.80$
$P(S|E_2) = 0.90$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,प्रायिकता $p$ कि मोटरसाइकिल प्लांट $B$ में निर्मित थी,यदि वह मानक गुणवत्ता की है:
$p = P(E_2|S) = \frac{P(S|E_2)P(E_2)}{P(S|E_1)P(E_1) + P(S|E_2)P(E_2)}$
मान रखने पर:
$p = \frac{0.90 \times 0.40}{(0.80 \times 0.60) + (0.90 \times 0.40)}$
$p = \frac{0.36}{0.48 + 0.36} = \frac{0.36}{0.84} = \frac{36}{84} = \frac{3}{7}$
हमें $126p$ ज्ञात करना है:
$126p = 126 \times \frac{3}{7} = 18 \times 3 = 54$
अतः,मान $54$ है।

(A) मान लीजिए कि $E_1, E_2, E_3$ क्रमशः थैले $X, Y, Z$ चुनने की घटनाएँ हैं। चूँकि थैला यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,इसलिए $P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ है।
मान लीजिए कि $A$ एक-रुपये का सिक्का निकालने की घटना है।
प्रत्येक थैले से एक-रुपये का सिक्का निकालने की प्रायिकता है:
$P(A|E_1) = \frac{5}{5+4} = \frac{5}{9}$
$P(A|E_2) = \frac{4}{4+5} = \frac{4}{9}$
$P(A|E_3) = \frac{3}{3+6} = \frac{3}{9}$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,सिक्के के थैले $Y$ से आने की प्रायिकता है:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{4}{9}}{\frac{1}{3} \times \frac{5}{9} + \frac{1}{3} \times \frac{4}{9} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{9}}$
$P(E_2|A) = \frac{4}{5+4+3} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

(D) बेयस प्रमेय के अनुसार,$P(H_i \mid E) = \frac{P(E \mid H_i) P(H_i)}{P(E)}$ है।
चूंकि $0 < P(E) < 1$,इसलिए $\frac{1}{P(E)} > 1$ होता है।
अतः,$P(H_i \mid E) = P(E \mid H_i) P(H_i) \cdot \frac{1}{P(E)} > P(E \mid H_i) P(H_i)$,यदि $P(E \mid H_i) P(H_i) > 0$ हो।
यदि $P(E \mid H_i) P(H_i) = 0$ है,तो $P(H_i \mid E) = 0$ होगा,और असमिका $0 > 0$ असत्य हो जाती है।
इस प्रकार,$\text{कथन}-1$ सामान्यतः असत्य है।
$\text{कथन}-2$ निशेष घटनाओं का एक मानक गुण है,जो सत्य है।
अतः,$\text{कथन}-1$ असत्य है और $\text{कथन}-2$ सत्य है।

(C) मान लीजिए $T_1$ और $T_2$ वे घटनाएं हैं कि कंप्यूटर क्रमशः प्लांट $T_1$ और $T_2$ में उत्पादित होता है। मान लीजिए $D$ वह घटना है कि कंप्यूटर खराब है।
दिया गया है $P(T_1) = 0.2$,$P(T_2) = 0.8$,और $P(D) = 0.07$।
हमें दिया गया है $P(D | T_1) = 10 P(D | T_2)$। मान लीजिए $P(D | T_2) = p$,तो $P(D | T_1) = 10p$।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए: $P(D) = P(D | T_1)P(T_1) + P(D | T_2)P(T_2)$।
$0.07 = (10p)(0.2) + (p)(0.8) = 2p + 0.8p = 2.8p$।
$p = \frac{0.07}{2.8} = \frac{7}{280} = \frac{1}{40}$।
अतः,$P(D | T_2) = \frac{1}{40}$ और $P(D | T_1) = 10 \times \frac{1}{40} = \frac{1}{4}$।
कंप्यूटर के खराब न होने की प्रायिकता $P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0.07 = 0.93$ है।
हमें $P(T_2 | \bar{D}) = \frac{P(\bar{D} | T_2)P(T_2)}{P(\bar{D})}$ ज्ञात करना है।
$P(\bar{D} | T_2) = 1 - P(D | T_2) = 1 - \frac{1}{40} = \frac{39}{40}$।
$P(T_2 | \bar{D}) = \frac{(\frac{39}{40}) \times 0.8}{0.93} = \frac{0.78}{0.93} = \frac{78}{93}$।

(C) मान लीजिए $G$ वह घटना है कि मूल सिग्नल हरा है और $R$ वह घटना है कि मूल सिग्नल लाल है। दिया गया है $P(G) = \frac{4}{5}$ और $P(R) = \frac{1}{5}$।
मान लीजिए $S_A$ और $S_B$ क्रमशः स्टेशन $A$ और स्टेशन $B$ द्वारा प्राप्त सिग्नल हैं। सही प्राप्ति की प्रायिकता $p = \frac{3}{4}$ और गलत प्राप्ति की प्रायिकता $q = \frac{1}{4}$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि स्टेशन $B$ पर प्राप्त सिग्नल हरा है।
$P(E) = P(E|G)P(G) + P(E|R)P(R)$।
$G$ से शुरू करके $B$ पर हरा सिग्नल प्राप्त करने के लिए:
$1$. $A$ ने $G$ सही ढंग से प्राप्त किया (प्रायिकता $\frac{3}{4}$),$B$ ने $G$ सही ढंग से प्राप्त किया (प्रायिकता $\frac{3}{4}$) $\rightarrow \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$।
$2$. $A$ ने $R$ गलत तरीके से प्राप्त किया (प्रायिकता $\frac{1}{4}$),$B$ ने $G$ गलत तरीके से प्राप्त किया (प्रायिकता $\frac{1}{4}$) $\rightarrow \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$।
अतः,$P(E|G) = \frac{9}{16} + \frac{1}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$।
$R$ से शुरू करके $B$ पर हरा सिग्नल प्राप्त करने के लिए:
$1$. $A$ ने $R$ सही ढंग से प्राप्त किया (प्रायिकता $\frac{3}{4}$),$B$ ने $G$ गलत तरीके से प्राप्त किया (प्रायिकता $\frac{1}{4}$) $\rightarrow \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{16}$।
$2$. $A$ ने $G$ गलत तरीके से प्राप्त किया (प्रायिकता $\frac{1}{4}$),$B$ ने $R$ गलत तरीके से प्राप्त किया (प्रायिकता $\frac{1}{4}$) $\rightarrow \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$।
अतः,$P(E|R) = \frac{3}{16} + \frac{1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(G|E) = \frac{P(E|G)P(G)}{P(E|G)P(G) + P(E|R)P(R)} = \frac{\frac{5}{8} \times \frac{4}{5}}{\frac{5}{8} \times \frac{4}{5} + \frac{1}{4} \times \frac{1}{5}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{20}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{11}{20}} = \frac{20}{23}$।

(A) मान लीजिए $H$ चित आने की घटना है और $T$ पट आने की घटना है। $P(H) = P(T) = \frac{1}{2}$।
$1.$ मान लीजिए $W$ वह घटना है कि $U_2$ से निकाली गई गेंद सफेद है।
यदि $H$ घटित होता है,तो $U_1$ से $1$ गेंद $U_2$ में स्थानांतरित की जाती है। $U_2$ में अब $2$ गेंदें हैं।
$P(W|H) = P(U_1 \text{ \text{से सफेद}}) \times P(U_2 \text{ \text{से सफेद}} | \text{\text{सफेद स्थानांतरित}}) + P(U_1 \text{ \text{से लाल}}) \times P(U_2 \text{ \text{से सफेद}} | \text{\text{लाल स्थानांतरित}})$
$P(W|H) = (\frac{3}{5} \times \frac{2}{2}) + (\frac{2}{5} \times \frac{1}{2}) = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$।
यदि $T$ घटित होता है,तो $U_1$ से $2$ गेंदें $U_2$ में स्थानांतरित की जाती हैं। $U_2$ में अब $3$ गेंदें हैं।
$P(W|T) = P(2W) \times P(W|2W) + P(1W, 1R) \times P(W|1W, 1R) + P(2R) \times P(W|2R)$
$P(W|T) = (\frac{^3C_2}{^5C_2} \times \frac{3}{3}) + (\frac{^3C_1 \times ^2C_1}{^5C_2} \times \frac{2}{3}) + (\frac{^2C_2}{^5C_2} \times \frac{1}{3})$
$P(W|T) = (\frac{3}{10} \times 1) + (\frac{6}{10} \times \frac{2}{3}) + (\frac{1}{10} \times \frac{1}{3}) = \frac{3}{10} + \frac{4}{10} + \frac{1}{30} = \frac{9+12+1}{30} = \frac{22}{30} = \frac{11}{15}$।
$P(W) = P(H)P(W|H) + P(T)P(W|T) = \frac{1}{2}(\frac{4}{5}) + \frac{1}{2}(\frac{11}{15}) = \frac{2}{5} + \frac{11}{30} = \frac{12+11}{30} = \frac{23}{30}$।
$2.$ बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(H|W) = \frac{P(H)P(W|H)}{P(W)} = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{4}{5}}{\frac{23}{30}} = \frac{2/5}{23/30} = \frac{2}{5} \times \frac{30}{23} = \frac{12}{23}$।

(A) माना $G$ एक हरी गेंद चुनने की घटना है। थैलों को चुनने की प्रायिकताएँ $P(B_1) = \frac{3}{10}, P(B_2) = \frac{3}{10}, P(B_3) = \frac{4}{10}$ हैं।
प्रत्येक थैले से हरी गेंद चुनने की सप्रतिबंध प्रायिकताएँ:
$P(G|B_1) = \frac{5}{5+5} = \frac{1}{2}$
$P(G|B_2) = \frac{5}{3+5} = \frac{5}{8}$
$P(G|B_3) = \frac{3}{5+3} = \frac{3}{8}$
$(1)$ $P(B_3 \cap G) = P(G|B_3) \times P(B_3) = \frac{3}{8} \times \frac{4}{10} = \frac{3}{20}$. (कथन $1$ सही है)
$(2)$ $P(G) = P(G|B_1)P(B_1) + P(G|B_2)P(B_2) + P(G|B_3)P(B_3) = \frac{3}{20} + \frac{15}{80} + \frac{12}{80} = \frac{39}{80}$. (कथन $2$ सही है)
$(3)$ $P(G|B_3) = \frac{3}{8}$. (कथन $3$ सही है)
$(4)$ $P(B_3|G) = \frac{P(B_3 \cap G)}{P(G)} = \frac{3/20}{39/80} = \frac{4}{13}$. (कथन $4$ सही है)

(A) $1.$ मान लीजिए $R$ लाल गेंद निकलने की घटना है। $P(I) = P(II) = \frac{1}{2}$.
$P(R|I) = \frac{n_1}{n_1+n_2}$ और $P(R|II) = \frac{n_3}{n_3+n_4}$.
बेयस प्रमेय के अनुसार,$P(II|R) = \frac{P(II)P(R|II)}{P(I)P(R|I) + P(II)P(R|II)} = \frac{1}{3}$.
$\frac{\frac{n_3}{n_3+n_4}}{\frac{n_1}{n_1+n_2} + \frac{n_3}{n_3+n_4}} = \frac{1}{3} \implies 2\frac{n_3}{n_3+n_4} = \frac{n_1}{n_1+n_2}$.
विकल्प $(A)$ और $(B)$ इस शर्त को पूरा करते हैं।
$2.$ बॉक्स $I$ से एक गेंद बॉक्स $II$ में स्थानांतरित करने के बाद,बॉक्स $I$ में गेंदों की संख्या $n_1+n_2-1$ हो जाती है।
$P(R_{new}) = \frac{n_1}{n_1+n_2} \cdot \frac{n_1-1}{n_1+n_2-1} + \frac{n_2}{n_1+n_2} \cdot \frac{n_1}{n_1+n_2-1} = \frac{n_1}{n_1+n_2} = \frac{1}{3}$.
अतः,$2n_1 = n_2$. विकल्प $(C)$ और $(D)$ इस शर्त को पूरा करते हैं।

(C) मान लीजिए $K$ वह घटना है कि छात्र उत्तर जानता है और $G$ वह घटना है कि छात्र उत्तर का अनुमान लगाता है।
मान लीजिए $C$ वह घटना है कि छात्र सही उत्तर देता है।
हमें दिया गया है:
$P(C|G) = \frac{1}{2}$
$P(C|K) = 1$ (क्योंकि यदि छात्र उत्तर जानता है तो वह हमेशा सही उत्तर देता है)।
$P(G|C) = \frac{1}{6}$
मान लीजिए $P(K) = x$. तब $P(G) = 1 - x$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(G|C) = \frac{P(C|G)P(G)}{P(C|G)P(G) + P(C|K)P(K)}$
मान रखने पर:
$\frac{1}{6} = \frac{(\frac{1}{2})(1-x)}{(\frac{1}{2})(1-x) + (1)(x)}$
$\frac{1}{6} = \frac{\frac{1-x}{2}}{\frac{1-x+2x}{2}}$
$\frac{1}{6} = \frac{1-x}{1+x}$
$1+x = 6-6x$
$7x = 5$
$x = \frac{5}{7}$
अतः,छात्र द्वारा उत्तर जानने की प्रायिकता $\frac{5}{7}$ है।

(A) माना $B_1$ पहली गेंद के काली होने की घटना है और $B_2$ दूसरी गेंद के काली होने की घटना है। हमें $P(B_1 | B_2)$ ज्ञात करना है।
बेयस प्रमेय के अनुसार,$P(B_1 | B_2) = \frac{P(B_1 \cap B_2)}{P(B_2)}$.
गेंदों की कुल संख्या $4 + 6 = 10$ है।
$P(B_1 \cap B_2) = P(B_1) \times P(B_2 | B_1) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$.
$P(B_2) = P(B_1 \cap B_2) + P(W_1 \cap B_2) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} + \frac{4}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{30}{90} + \frac{24}{90} = \frac{54}{90} = \frac{3}{5}$.
अतः,$P(B_1 | B_2) = \frac{30/90}{54/90} = \frac{30}{54} = \frac{5}{9}$.
यहाँ,$m = 5$ और $n = 9$ है। चूँकि $\operatorname{gcd}(5, 9) = 1$,इसलिए $m + n = 5 + 9 = 14$.

(B) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ क्रमशः थैलियों $B_1, B_2, B_3$ को चुनने की घटनाएँ हैं। चूँकि थैलियाँ यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं,इसलिए $P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि निकाली गई गेंद सफेद है।
प्रत्येक थैली से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकताएँ इस प्रकार हैं:
$P(A|E_1) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$P(A|E_2) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
$P(A|E_3) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि गेंद सफेद है तो उसके थैली $B_2$ से निकाले जाने की प्रायिकता:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{4}{10}}{\frac{1}{3} \times \frac{6}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{4}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{5}{10}}$
$P(E_2|A) = \frac{4}{6 + 4 + 5} = \frac{4}{15}$

(A) मान लीजिए $W_1$ बैग $1$ से सफेद गेंद निकालने की घटना है और $B_1$ बैग $1$ से काली गेंद निकालने की घटना है।
मान लीजिए $W_2$ बैग $2$ से सफेद गेंद निकालने की घटना है।
बैग $1$ में $4$ सफेद और $5$ काली गेंदें हैं (कुल $= 9$)।
बैग $2$ में $n$ सफेद और $3$ काली गेंदें हैं (कुल $= n+3$)।
बैग $1$ से एक गेंद बैग $2$ में स्थानांतरित करने के बाद,बैग $2$ में कुल $n+4$ गेंदें हो जाती हैं।
यदि $W_1$ घटित होता है,तो बैग $2$ में $(n+1)$ सफेद गेंदें होती हैं। $P(W_1) = 4/9$।
यदि $B_1$ घटित होता है,तो बैग $2$ में $n$ सफेद गेंदें होती हैं। $P(B_1) = 5/9$।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(W_2) = P(W_1) \times P(W_2|W_1) + P(B_1) \times P(W_2|B_1)$
$29/45 = (4/9) \times ((n+1)/(n+4)) + (5/9) \times (n/(n+4))$
$29/45 = (4n + 4 + 5n) / (9(n+4))$
$29/45 = (9n + 4) / (9(n+4))$
$29/5 = (9n + 4) / (n+4)$
$29(n+4) = 5(9n + 4)$
$29n + 116 = 45n + 20$
$16n = 96$
$n = 6$

(C) मान लीजिए $B_I, B_{II}, B_{III}$ क्रमशः थैली $I$,थैली $II$ और थैली $III$ चुनने की घटनाएँ हैं। चूँकि थैलियों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,$P(B_I) = P(B_{II}) = P(B_{III}) = \frac{1}{3}$।
मान लीजिए $R$ लाल गेंद निकालने की घटना है और $G$ हरी गेंद निकालने की घटना है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$p = P(B_I | R) = \frac{P(B_I)P(R|B_I)}{P(B_I)P(R|B_I) + P(B_{II})P(R|B_{II}) + P(B_{III})P(R|B_{III})}$
$p = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{3}{10}}{\frac{1}{3} \times \frac{3}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{4}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{5}{10}} = \frac{3}{3+4+5} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$।
इसी प्रकार,हरी गेंद के लिए:
$q = P(B_{III} | G) = \frac{P(B_{III})P(G|B_{III})}{P(B_I)P(G|B_I) + P(B_{II})P(G|B_{II}) + P(B_{III})P(G|B_{III})}$
$q = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{4}{10}}{\frac{1}{3} \times \frac{5}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{4}{10}} = \frac{4}{5+3+4} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$।
अतः,$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{1/4} + \frac{1}{1/3} = 4 + 3 = 7$।

(B) माना $S$ वह घटना है कि खोया हुआ पत्ता हुकुम का है,और $E$ वह घटना है कि शेष $51$ पत्तों में से निकाले गए $n$ पत्ते हुकुम के हैं।
हमें $P(S|E) = \frac{11}{50}$ दिया गया है।
बेयस प्रमेय के अनुसार,$P(S|E) = \frac{P(E|S)P(S)}{P(E|S)P(S) + P(E|S^c)P(S^c)}$.
यदि खोया हुआ पत्ता हुकुम $(S)$ का है,तो $51$ पत्तों में $12$ हुकुम शेष बचेंगे। $P(E|S) = \frac{\binom{12}{n}}{\binom{51}{n}}$.
यदि खोया हुआ पत्ता हुकुम का नहीं $(S^c)$ है,तो $51$ पत्तों में $13$ हुकुम शेष बचेंगे। $P(E|S^c) = \frac{\binom{13}{n}}{\binom{51}{n}}$.
$P(S) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ और $P(S^c) = \frac{39}{52} = \frac{3}{4}$.
मान रखने पर:
$P(S|E) = \frac{\binom{12}{n}}{\binom{12}{n} + 3 \cdot \binom{13}{n}} = \frac{11}{50}$.
$\frac{13-n}{52-n} = \frac{11}{50}$ को हल करने पर,$n = 2$ प्राप्त होता है।

(A) माना $U$ निष्पक्ष सिक्का चुने जाने की घटना है,और $B$ पक्षपाती (दोनों तरफ चित वाले) सिक्के के चुने जाने की घटना है।
माना $H$ चित आने की घटना है।
हमारे पास $P(U) = \frac{19}{20}$ और $P(B) = \frac{1}{20}$ है।
निष्पक्ष सिक्के पर चित आने की प्रायिकता $P(H|U) = \frac{1}{2}$ है।
पक्षपाती सिक्के पर चित आने की प्रायिकता $P(H|B) = 1$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,चित आने पर चुने गए सिक्के के निष्पक्ष होने की प्रायिकता:
$P(U|H) = \frac{P(U)P(H|U)}{P(U)P(H|U) + P(B)P(H|B)}$
$P(U|H) = \frac{\frac{19}{20} \times \frac{1}{2}}{\frac{19}{20} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{20} \times 1} = \frac{\frac{19}{40}}{\frac{19}{40} + \frac{2}{40}} = \frac{19}{21}$.
अतः,$m = 19$ और $n = 21$.
$n^2 - m^2 = 21^2 - 19^2 = 441 - 361 = 80$.

(C) मान लीजिए कि उत्पादित बल्बों की कुल संख्या $100$ है। उत्पादन अनुपात $2:2:1$ है,इसलिए $M_1, M_2$ और $M_3$ द्वारा उत्पादित बल्बों की संख्या क्रमशः $40, 40$ और $20$ है।
कुल बल्बों का $20\%$ दोषपूर्ण है,इसलिए कुल दोषपूर्ण बल्ब $= 20$ हैं।
$M_1$ के लिए,$40$ बल्बों का $15\%$ दोषपूर्ण है,इसलिए $0.15 \times 40 = 6$ बल्ब दोषपूर्ण हैं।
मान लीजिए कि $M_3$ द्वारा उत्पादित दोषपूर्ण बल्बों की संख्या $x$ है। तो $M_2$ द्वारा उत्पादित दोषपूर्ण बल्बों की संख्या $20 - 6 - x = 14 - x$ होगी।
यह दिया गया है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए दोषपूर्ण बल्ब के $M_2$ द्वारा उत्पादित होने की प्रायिकता $\frac{2}{5}$ है,इसलिए:
$P(M_2 | \text{Defective}) = \frac{M_2 \text{ के दोषपूर्ण बल्ब}}{\text{कुल दोषपूर्ण बल्ब}} = \frac{14 - x}{20} = \frac{2}{5}$.
$x$ के लिए हल करने पर:
$14 - x = \frac{2}{5} \times 20 = 8$
$x = 14 - 8 = 6$.
अतः,$M_3$ कुल $20$ में से $6$ दोषपूर्ण बल्बों का उत्पादन करता है।
$M_3$ से चुने गए बल्ब के दोषपूर्ण होने की प्रायिकता $\frac{6}{20} = 0.3$ है।

(B) मान लीजिए $R$ लाल गेंद निकालने की घटना है। हमें प्रत्येक बॉक्स के चयन की प्रायिकता दी गई है: $P(B_1) = \frac{1}{2}$,$P(B_2) = \frac{1}{3}$,$P(B_3) = \frac{1}{6}$।
प्रत्येक बॉक्स से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता है:
$P(R|B_1) = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$
$P(R|B_2) = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$
$P(R|B_3) = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,लाल गेंद निकालने की प्रायिकता है:
$P(R) = P(B_1)P(R|B_1) + P(B_2)P(R|B_2) + P(B_3)P(R|B_3)$
$P(R) = \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} \times \frac{2}{5}\right) + \left(\frac{1}{6} \times \frac{3}{7}\right)$
$P(R) = \frac{1}{6} + \frac{2}{15} + \frac{1}{14} = \frac{35 + 28 + 15}{210} = \frac{78}{210} = \frac{13}{35}$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि गेंद लाल है तो उसके बॉक्स $B_2$ से आने की प्रायिकता है:
$P(B_2|R) = \frac{P(B_2)P(R|B_2)}{P(R)} = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{2}{5}}{\frac{13}{35}} = \frac{2}{15} \times \frac{35}{13} = \frac{2 \times 7}{3 \times 13} = \frac{14}{39}$.

(C) माना $E$ वह घटना है कि पासे पर $6$ आता है,और $R$ वह घटना है कि आदमी $6$ होने की रिपोर्ट करता है।
$P(E) = \frac{1}{6}$ ($6$ आने की प्रायिकता)
$P(\text{not } E) = \frac{5}{6}$ ($6$ न आने की प्रायिकता)
$P(R|E) = \frac{3}{4}$ ($6$ होने पर $6$ बताने की प्रायिकता)
$P(R|\text{not } E) = \frac{1}{4}$ ($6$ न होने पर $6$ बताने की प्रायिकता)
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,इस बात की प्रायिकता कि वास्तव में $6$ है,यदि वह $6$ बताता है:
$P(E|R) = \frac{P(E) \times P(R|E)}{P(E) \times P(R|E) + P(\text{not } E) \times P(R|\text{not } E)}$
$P(E|R) = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{3}{4}}{\frac{1}{6} \times \frac{3}{4} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{4}}$
$P(E|R) = \frac{\frac{3}{24}}{\frac{3}{24} + \frac{5}{24}} = \frac{3}{8}$

(D) माना $E_1$ थैली $I$ चुनने की घटना है और $E_2$ थैली $II$ चुनने की घटना है। चूँकि थैली यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है,$P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$ है।
माना $G$ एक हरी गेंद निकालने की घटना है।
थैली $I$ से हरी गेंद निकालने की प्रायिकता $P(G|E_1) = \frac{2}{3+2} = \frac{2}{5}$ है।
थैली $II$ से हरी गेंद निकालने की प्रायिकता $P(G|E_2) = \frac{3}{5+3} = \frac{3}{8}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि गेंद हरी है तो उसके थैली $I$ से निकाले जाने की प्रायिकता:
$P(E_1|G) = \frac{P(E_1)P(G|E_1)}{P(E_1)P(G|E_1) + P(E_2)P(G|E_2)}$
$P(E_1|G) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{2}{5}}{\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}}$
$P(E_1|G) = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5} + \frac{3}{16}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{16+15}{80}} = \frac{1}{5} \times \frac{80}{31} = \frac{16}{31}$.

(A) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ वे घटनाएँ हैं कि रोगी को क्रमशः $d_1, d_2, d_3$ बीमारियाँ हैं। चूँकि संभावनाएँ समान हैं,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि परीक्षण सकारात्मक है।
दी गई संभावनाएँ $P(A|E_1) = 0.7$,$P(A|E_2) = 0.5$,और $P(A|E_3) = 0.8$ हैं।
हमें $P(E_2|A)$ ज्ञात करना है।
बेयस प्रमेय के अनुसार,$P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)}$.
मान रखने पर: $P(E_2|A) = \frac{\frac{1}{3} \times 0.5}{\frac{1}{3} \times 0.7 + \frac{1}{3} \times 0.5 + \frac{1}{3} \times 0.8}$.
$P(E_2|A) = \frac{0.5}{0.7 + 0.5 + 0.8} = \frac{0.5}{2.0} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.

(A) मान लीजिए $M$ वह घटना है कि चयनित व्यक्ति पुरुष है,$W$ वह घटना है कि चयनित व्यक्ति महिला है,और $G$ वह घटना है कि चयनित व्यक्ति के बाल सफेद हैं।
चूंकि पुरुषों और महिलाओं की संख्या समान है,इसलिए $P(M) = P(W) = \frac{1}{2}$ है।
पुरुष के बाल सफेद होने की प्रायिकता $P(G|M) = \frac{5}{100}$ है।
महिला के बाल सफेद होने की प्रायिकता $P(G|W) = \frac{0.25}{100} = \frac{1}{400}$ है।
हमें $P(M|G)$ ज्ञात करना है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(M|G) = \frac{P(M) \times P(G|M)}{P(M) \times P(G|M) + P(W) \times P(G|W)}$
$P(M|G) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{5}{100}}{\frac{1}{2} \times \frac{5}{100} + \frac{1}{2} \times \frac{0.25}{100}}$
$P(M|G) = \frac{5}{5 + 0.25} = \frac{5}{5.25} = \frac{500}{525} = \frac{20}{21}$.

(A) चूँकि $E_{1}$ और $E_{2}$ प्रतिदर्श समष्टि $S$ का विभाजन बनाती हैं,इसलिए $P(E_{1}) + P(E_{2}) = 1$ है।
दिया गया है कि $P(E_{1}) = P(E_{2}) = \frac{1}{2}$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(E_{1} | A) + P(E_{2} | A) = 1$ होता है क्योंकि $E_{1}$ और $E_{2}$ निशेष और परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं।
दिया गया है कि $P(E_{2} | A) = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$P(E_{1} | A) = 1 - P(E_{2} | A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।

(B) माना $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ है। इस समुच्चय में $3$ सम संख्याएँ $\{2, 4, 6\}$ और $4$ विषम संख्याएँ $\{1, 3, 5, 7\}$ हैं।
माना $E_1$ सम संख्या चुने जाने की घटना है और $E_2$ विषम संख्या चुने जाने की घटना है।
$P(E_1) = \frac{3}{7}$ और $P(E_2) = \frac{4}{7}$ है।
माना $E$ वह घटना है जिसमें आदमी सम संख्या बताता है।
यदि संख्या सम है,तो वह $\frac{2}{3}$ प्रायिकता के साथ सच बोलता है,इसलिए $P(E \mid E_1) = \frac{2}{3}$ है।
यदि संख्या विषम है,तो वह $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ प्रायिकता के साथ झूठ बोलता है,इसलिए $P(E \mid E_2) = \frac{1}{3}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करके हमें $P(E_1 \mid E)$ ज्ञात करना है:
$P(E_1 \mid E) = \frac{P(E \mid E_1) P(E_1)}{P(E \mid E_1) P(E_1) + P(E \mid E_2) P(E_2)}$
$P(E_1 \mid E) = \frac{(\frac{2}{3})(\frac{3}{7})}{(\frac{2}{3})(\frac{3}{7}) + (\frac{1}{3})(\frac{4}{7})}$
$P(E_1 \mid E) = \frac{\frac{6}{21}}{\frac{6}{21} + \frac{4}{21}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

(C) माना $E_1$ एक असामान्य सिक्का (दोनों तरफ चित वाला) चुनने की घटना है और $E_2$ एक निष्पक्ष सिक्का चुनने की घटना है।
सिक्कों की कुल संख्या $= 2n+1$.
असामान्य सिक्कों की संख्या $= n$,इसलिए $P(E_1) = \frac{n}{2n+1}$.
निष्पक्ष सिक्कों की संख्या $= n+1$,इसलिए $P(E_2) = \frac{n+1}{2n+1}$.
माना $H$ वह घटना है जिसमें उछाल का परिणाम चित है।
असामान्य सिक्के के लिए,$P(H|E_1) = 1$.
निष्पक्ष सिक्के के लिए,$P(H|E_2) = \frac{1}{2}$.
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(H) = P(E_1)P(H|E_1) + P(E_2)P(H|E_2)$
$\frac{31}{42} = \left(\frac{n}{2n+1}\right)(1) + \left(\frac{n+1}{2n+1}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$
$\frac{31}{42} = \frac{2n + n + 1}{2(2n+1)} = \frac{3n+1}{4n+2}$
$31(4n+2) = 42(3n+1)$
$124n + 62 = 126n + 42$
$2n = 20$
$n = 10$.

(C) मान लीजिए $E$ वह घटना है कि कार मानक गुणवत्ता की है। मान लीजिए $A_{1}$ वह घटना है कि कार प्लांट $X$ में निर्मित है,और $A_{2}$ वह घटना है कि कार प्लांट $Y$ में निर्मित है।
दी गई प्रायिकताएं हैं:
$P(A_{1}) = \frac{70}{100} = \frac{7}{10}$
$P(A_{2}) = \frac{30}{100} = \frac{3}{10}$
$P(E|A_{1}) = \frac{80}{100} = \frac{8}{10}$
$P(E|A_{2}) = \frac{90}{100} = \frac{9}{10}$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि कार मानक गुणवत्ता की है तो उसके प्लांट $X$ से आने की प्रायिकता है:
$P(A_{1}|E) = \frac{P(A_{1}) \times P(E|A_{1})}{P(A_{1}) \times P(E|A_{1}) + P(A_{2}) \times P(E|A_{2})}$
$P(A_{1}|E) = \frac{\frac{7}{10} \times \frac{8}{10}}{\frac{7}{10} \times \frac{8}{10} + \frac{3}{10} \times \frac{9}{10}}$
$P(A_{1}|E) = \frac{56/100}{56/100 + 27/100} = \frac{56}{56 + 27} = \frac{56}{83}$
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{56}{83}$ है।

(D) माना $A$ वह घटना है कि मीरा मंदिर $A$ जाती है और $B$ वह घटना है कि वह मंदिर $B$ जाती है। माना $F$ वह घटना है कि वह अपने मित्र से मिलती है।
दिया गया है:
$P(A) = \frac{2}{5}$
$P(B) = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$
$P(F|A) = \frac{1}{3}$
$P(F|B) = \frac{2}{7}$
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि वह अपने मित्र से मंदिर $B$ पर मिली,जो $P(B|F)$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(B|F) = \frac{P(B) \times P(F|B)}{P(A) \times P(F|A) + P(B) \times P(F|B)}$
$P(B|F) = \frac{\frac{3}{5} \times \frac{2}{7}}{(\frac{2}{5} \times \frac{1}{3}) + (\frac{3}{5} \times \frac{2}{7})}$
$P(B|F) = \frac{\frac{6}{35}}{\frac{2}{15} + \frac{6}{35}}$
हर के लिए सामान्य हर ज्ञात करने पर: $15 = 3 \times 5$ और $35 = 7 \times 5$,इसलिए ल.स.प. $105$ है।
$P(B|F) = \frac{\frac{6}{35}}{\frac{14}{105} + \frac{18}{105}} = \frac{\frac{18}{105}}{\frac{14+18}{105}} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}$

(D) माना पुरुषों की संख्या $m$ और महिलाओं की संख्या $w$ है। दिया गया है $m + w = 8$।
परिवार से $2$ पुरुष और $2$ महिलाओं को चुनने की प्रायिकता $P(E) = \frac{\binom{m}{2} \binom{w}{2}}{\binom{8}{4}}$ है।
हमें दिया गया है कि यह घटना घटित हुई है। हमें $m = w = 4$ होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
यदि $m = 4$ और $w = 4$ है,तो $2$ पुरुष और $2$ महिलाओं को चुनने की प्रायिकता $P(E|m=4, w=4) = \frac{\binom{4}{2} \binom{4}{2}}{\binom{8}{4}} = \frac{6 \times 6}{70} = \frac{36}{70}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,आवश्यक प्रायिकता $\frac{36}{126} = \frac{2}{7}$ प्राप्त होती है।

(C) माना $A$ दो विषम संख्याएँ प्राप्त करने की घटना है और $B$ सम योग प्राप्त करने की घटना है।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ज्ञात करनी है।
यहाँ $5$ विषम अंक $(1, 3, 5, 7, 9)$ और $4$ सम अंक $(2, 4, 6, 8)$ हैं।
$9$ में से $2$ अंक चुनने के कुल तरीके ${}^9C_2 = 36$ हैं।
योग सम तब होता है जब या तो दोनों अंक विषम हों या दोनों अंक सम हों।
सम योग प्राप्त करने के तरीके $= {}^5C_2 + {}^4C_2 = 10 + 6 = 16$.
दोनों विषम अंक प्राप्त करने के तरीके $= {}^5C_2 = 10$.
अतः,$P(A|B) = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$.

(B) मान लीजिए $B_1, B_2, B_3$ क्रमशः बक्से $B_1, B_2, B_3$ चुनने की घटनाएं हैं। पासा फेंकने पर,$P(B_1) = P(B_2) = P(B_3) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
मान लीजिए $R$ लाल गेंद निकालने की घटना है।
बॉक्स $B_1$ के लिए,कुल गेंदें $= 2+1+2 = 5$,इसलिए $P(R|B_1) = \frac{2}{5}$.
बॉक्स $B_2$ के लिए,कुल गेंदें $= 3+2+4 = 9$,इसलिए $P(R|B_2) = \frac{4}{9}$.
बॉक्स $B_3$ के लिए,कुल गेंदें $= 4+3+2 = 9$,इसलिए $P(R|B_3) = \frac{2}{9}$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,लाल गेंद मिलने पर उसके $B_2$ से होने की प्रायिकता:
$P(B_2|R) = \frac{P(R|B_2)P(B_2)}{P(R|B_1)P(B_1) + P(R|B_2)P(B_2) + P(R|B_3)P(B_3)}$
$P(B_2|R) = \frac{(\frac{4}{9} \times \frac{1}{3})}{(\frac{2}{5} \times \frac{1}{3}) + (\frac{4}{9} \times \frac{1}{3}) + (\frac{2}{9} \times \frac{1}{3})} = \frac{5}{12}$.

(D) माना $E$ वह घटना है कि खिलौना खराब है। माना $A, B, C$ वे घटनाएँ हैं कि खिलौना क्रमशः मशीनों $A, B, C$ द्वारा निर्मित है।
दी गई प्रायिकताएँ:
$P(A) = \frac{30}{100}, P(B) = \frac{40}{100}, P(C) = \frac{30}{100}$
$P(E|A) = \frac{2}{100}, P(E|B) = \frac{3}{100}, P(E|C) = \frac{1}{100}$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,खराब खिलौने के मशीन $B$ द्वारा निर्मित होने की प्रायिकता है:
$P(B|E) = \frac{P(B) \times P(E|B)}{P(A) \times P(E|A) + P(B) \times P(E|B) + P(C) \times P(E|C)}$
$P(B|E) = \frac{\frac{40}{100} \times \frac{3}{100}}{\frac{30}{100} \times \frac{2}{100} + \frac{40}{100} \times \frac{3}{100} + \frac{30}{100} \times \frac{1}{100}}$
$P(B|E) = \frac{120}{60 + 120 + 30} = \frac{120}{210} = \frac{4}{7}$

(B) यह बेयस प्रमेय की समस्या है।
माना $A$ वह घटना है कि तीनों गेंदें अलग-अलग रंगों की हैं।
माना $E_1, E_2, E_3$ वे घटनाएँ हैं कि क्रमशः बक्स $1$,बक्स $2$ और बक्स $3$ चुना गया है।
चूंकि एक बक्स यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ है।
प्रत्येक बक्स से $3$ अलग-अलग रंगों की गेंदें निकालने की प्रायिकता:
$P(A|E_1) = \frac{{}^1C_1 \times {}^2C_1 \times {}^3C_1}{{}^6C_3} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$
$P(A|E_2) = \frac{{}^1C_1 \times {}^1C_1 \times {}^2C_1}{{}^4C_3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$P(A|E_3) = \frac{{}^5C_1 \times {}^4C_1 \times {}^1C_1}{{}^{10}C_3} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$
बेयस प्रमेय के अनुसार,प्रायिकता कि गेंदें बक्स $2$ से आई हैं:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2) \cdot P(A|E_2)}{P(E_1) \cdot P(A|E_1) + P(E_2) \cdot P(A|E_2) + P(E_3) \cdot P(A|E_3)}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{3} \times \frac{3}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{6}} = \frac{15}{29}$

(B) माना $E_1$ वह घटना है कि $6$ आता है,$P(E_1) = \frac{1}{6}$।
माना $E_2$ वह घटना है कि $6$ नहीं आता है,$P(E_2) = \frac{5}{6}$।
माना $A$ वह घटना है कि व्यक्ति बताता है कि यह $6$ है।
दिया है $P(A|E_1) = \frac{2}{3}$ (सत्य) और $P(A|E_2) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ (झूठ)।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि वह $6$ बताता है तो इसके वास्तव में $6$ होने की प्रायिकता:
$P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)} = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{2}{3}}{\frac{1}{6} \times \frac{2}{3} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{3}} = \frac{2}{2+5} = \frac{2}{7}$।
यदि वह $6$ बताता है तो इसके $6$ न होने की प्रायिकता $P(E_2|A) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$ है।
चूंकि पासा निष्पक्ष है,यदि यह $6$ नहीं है,तो यह अन्य $5$ संख्याओं $(1, 2, 3, 4, 5)$ में से कोई भी हो सकता है।
अतः,यदि वह $6$ बताता है तो इसके वास्तव में $5$ होने की प्रायिकता $\frac{1}{5} \times P(E_2|A) = \frac{1}{5} \times \frac{5}{7} = \frac{1}{7}$ है।

(B) माना $E_1$ वह घटना है कि पासे पर $1$ या $2$ आता है,और $E_2$ वह घटना है कि पासे पर $3, 4, 5,$ या $6$ आता है।
$P(E_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ और $P(E_2) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
माना $B$ वह घटना है कि एक काली गेंद निकाली जाती है।
पहले बक्से में $4$ काली,$2$ सफेद और $6$ लाल गेंदें हैं (कुल $12$)। अतः,$P(B|E_1) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ है।
दूसरे बक्से में $3$ काली और $5$ सफेद गेंदें हैं (कुल $8$)। अतः,$P(B|E_2) = \frac{3}{8}$ है।
बेयस प्रमेय के अनुसार,$P(E_1|B) = \frac{P(E_1)P(B|E_1)}{P(E_1)P(B|E_1) + P(E_2)P(B|E_2)} = \frac{(1/3)(1/3)}{(1/3)(1/3) + (2/3)(3/8)} = \frac{1/9}{13/36} = \frac{4}{13}$ है।
पासे पर $2$ आने की प्रायिकता $P(2|E_1) = \frac{1}{2}$ है।
अतः,यदि गेंद काली है तो पासे पर $2$ आने की प्रायिकता $P(2|B) = P(2|E_1) \times P(E_1|B) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{13} = \frac{2}{13}$ है।

(D) $52$ पत्तों की गड्डी में $26$ काले पत्ते होते हैं। $26$ में से $2$ काले पत्ते चुनने के तरीके $^{26}C_2 = \frac{26 \times 25}{2} = 325$ हैं।
$26$ काले पत्तों में $6$ फेस कार्ड (हुकुम और चिड़ी के राजा,रानी और गुलाम) होते हैं।
$2$ काले पत्ते चुनने के तरीके जिनमें कोई भी फेस कार्ड न हो,$^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ हैं।
$2$ काले पत्ते चुनने के तरीके जिनमें कम से कम एक फेस कार्ड हो,$325 - 190 = 135$ हैं।
अतः अभीष्ट प्रायिकता $\frac{135}{325} = \frac{27}{65}$ है।

(A) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि लिफाफा '$LONDON$' से आया है और $E_2$ वह घटना है कि यह '$CLIFTON$' से आया है। समान प्रायिकता मानते हुए,$P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$ है।
'$LONDON$' ($6$ अक्षर) में,क्रमिक अक्षरों के $5$ जोड़े हैं: '$LO$','$ON$','$ND$','$DO$','$ON$'। '$ON$' जोड़ा $2$ बार आता है। अतः,$P(A|E_1) = \frac{2}{5}$ है।
'$CLIFTON$' ($7$ अक्षर) में,क्रमिक अक्षरों के $6$ जोड़े हैं: '$CL$','$LI$','$IF$','$FT$','$TO$','$ON$'। '$ON$' जोड़ा $1$ बार आता है। अतः,$P(A|E_2) = \frac{1}{6}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,'$ON$' दिखाई देने पर इसके '$LONDON$' से आने की प्रायिकता है:
$P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)}$
$P(E_1|A) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{2}{5}}{\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{6}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{5} + \frac{1}{6}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{12+5}{30}} = \frac{2}{5} \times \frac{30}{17} = \frac{12}{17}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) माना घटनाएँ इस प्रकार हैं:
$E_1$: मशीन $A$ द्वारा उत्पादन
$E_2$: मशीन $B$ द्वारा उत्पादन
$E_3$: मशीन $C$ द्वारा उत्पादन
$E$: चुनी गई वस्तु दोषपूर्ण है।
प्रत्येक मशीन द्वारा उत्पादन की प्रायिकताएँ:
$P(E_1) = \frac{20}{100} = 0.2$
$P(E_2) = \frac{30}{100} = 0.3$
$P(E_3) = \frac{50}{100} = 0.5$
दोषपूर्ण उत्पादों की सशर्त प्रायिकताएँ:
$P(E|E_1) = \frac{5}{100} = 0.05$
$P(E|E_2) = \frac{3}{100} = 0.03$
$P(E|E_3) = \frac{2}{100} = 0.02$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,दोषपूर्ण वस्तु के मशीन $B$ द्वारा उत्पादित होने की प्रायिकता:
$P(E_2|E) = \frac{P(E_2) \cdot P(E|E_2)}{P(E_1) \cdot P(E|E_1) + P(E_2) \cdot P(E|E_2) + P(E_3) \cdot P(E|E_3)}$
$P(E_2|E) = \frac{0.3 \times 0.03}{(0.2 \times 0.05) + (0.3 \times 0.03) + (0.5 \times 0.02)}$
$P(E_2|E) = \frac{0.009}{0.010 + 0.009 + 0.010} = \frac{0.009}{0.029} = \frac{9}{29}$

(B) माना $P(B) = p$. दी गई शर्त के अनुसार,$P(A) = 2P(B) = 2p$. चूंकि $P(A) + P(B) = 1$,इसलिए $2p + p = 1$,जिसका अर्थ है $3p = 1$,अतः $p = \frac{1}{3}$. इस प्रकार,$P(B) = \frac{1}{3}$ और $P(A) = \frac{2}{3}$ है।
बॉक्स $A$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R|A) = \frac{3}{2+3} = \frac{3}{5}$ है।
बॉक्स $B$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R|B) = \frac{4}{3+4} = \frac{4}{7}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,लाल गेंद के बॉक्स $B$ से आने की प्रायिकता:
$P(B|R) = \frac{P(B) \cdot P(R|B)}{P(A) \cdot P(R|A) + P(B) \cdot P(R|B)}$
$P(B|R) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7}}{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7}}$
$P(B|R) = \frac{\frac{4}{21}}{\frac{6}{15} + \frac{4}{21}} = \frac{\frac{4}{21}}{\frac{2}{5} + \frac{4}{21}}$
$P(B|R) = \frac{\frac{4}{21}}{\frac{42 + 20}{105}} = \frac{\frac{4}{21}}{\frac{62}{105}} = \frac{4}{21} \cdot \frac{105}{62} = \frac{4 \cdot 5}{62} = \frac{20}{62} = \frac{10}{31}$.