Baye's theorem Questions in Hindi

(A) दिया गया है कि $A, B, C$ परस्पर अपवर्जी और निशेष घटनाएं हैं,इसलिए $P(A) + P(B) + P(C) = 1$ है।
$P(A) = 0.30$ और $P(B) = 0.50$ दिया गया है,अतः $P(C) = 1 - (0.30 + 0.50) = 0.20$ प्राप्त होता है।
सशर्त प्रायिकताएं $P(E \mid A) = 0.6$,$P(E \mid B) = 0.3$,और $P(E \mid C) = 0.1$ हैं।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(C \mid E)$ इस प्रकार है:
$P(C \mid E) = \frac{P(C) P(E \mid C)}{P(A) P(E \mid A) + P(B) P(E \mid B) + P(C) P(E \mid C)}$
मान रखने पर:
$P(C \mid E) = \frac{0.20 \times 0.1}{(0.30 \times 0.6) + (0.50 \times 0.3) + (0.20 \times 0.1)}$
$P(C \mid E) = \frac{0.02}{0.18 + 0.15 + 0.02} = \frac{0.02}{0.35} = \frac{2}{35}$.

(A) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि हुकुम का पत्ता निकाला जाता है,और $E_2$ वह घटना है कि हुकुम का पत्ता नहीं निकाला जाता है। तब $P(E_1) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ और $P(E_2) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
मान लीजिए $S$ वह घटना है कि एक ही रंग की दो गेंदें निकाली जाती हैं।
थैली $A$ के लिए ($6$ हरे,$8$ लाल,कुल $14$): $P(S|E_1) = \frac{{}^6C_2 + {}^8C_2}{{}^{14}C_2} = \frac{15 + 28}{91} = \frac{43}{91}$।
थैली $B$ के लिए ($9$ हरे,$5$ लाल,कुल $14$): $P(S|E_2) = \frac{{}^9C_2 + {}^5C_2}{{}^{14}C_2} = \frac{36 + 10}{91} = \frac{46}{91}$।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि गेंदें एक ही रंग की हैं तो उनके थैली $A$ से निकाले जाने की प्रायिकता:
$P(E_1|S) = \frac{P(E_1)P(S|E_1)}{P(E_1)P(S|E_1) + P(E_2)P(S|E_2)}$
$P(E_1|S) = \frac{\frac{1}{4} \times \frac{43}{91}}{\frac{1}{4} \times \frac{43}{91} + \frac{3}{4} \times \frac{46}{91}} = \frac{43}{43 + 3 \times 46} = \frac{43}{43 + 138} = \frac{43}{181}$।

(A) मान लीजिए $G$ वह घटना है कि चुनी गई गेंद हरी है। मान लीजिए $A, B, C$ क्रमशः बक्से $A, B, C$ को चुनने की घटनाएँ हैं।
बक्से चुनने की प्रायिकताएँ हैं:
$P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{6}$
प्रत्येक बक्से से हरी गेंद चुनने की सशर्त प्रायिकताएँ हैं:
$P(G|A) = \frac{2}{1+2+3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$P(G|B) = \frac{3}{2+3+1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$P(G|C) = \frac{1}{3+1+2} = \frac{1}{6}$
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,हरी गेंद चुनने की प्रायिकता $P(G)$ है:
$P(G) = P(A)P(G|A) + P(B)P(G|B) + P(C)P(G|C)$
$P(G) = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}) + (\frac{1}{6} \times \frac{1}{6})$
$P(G) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{36} = \frac{6+6+1}{36} = \frac{13}{36}$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,इसकी प्रायिकता कि हरी गेंद बक्सा $C$ से चुनी गई थी,$P(C|G)$ है:
$P(C|G) = \frac{P(C)P(G|C)}{P(G)}$
$P(C|G) = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{1}{6}}{\frac{13}{36}} = \frac{\frac{1}{36}}{\frac{13}{36}} = \frac{1}{13}$

(D) मान लीजिए $E$ वह घटना है कि व्यक्ति बताता है कि पासे पर $6$ आता है।
मान लीजिए $S$ वह घटना है कि पासे पर वास्तव में $6$ आता है,और $S^c$ वह घटना है कि पासे पर $6$ नहीं आता है।
$P(S) = \frac{1}{6}$ और $P(S^c) = \frac{5}{6}$ है।
मान लीजिए $T$ वह घटना है कि व्यक्ति सच बोलता है। $P(T) = \frac{3}{5}$ और $P(T^c) = \frac{2}{5}$ है।
$P(E|S)$ वह प्रायिकता है कि वह $6$ बताता है जबकि वास्तव में $6$ है,जो $P(T) = \frac{3}{5}$ है।
$P(E|S^c)$ वह प्रायिकता है कि वह $6$ बताता है जबकि वास्तव में $6$ नहीं है,जो $P(T^c) = \frac{2}{5}$ है।
बेयस प्रमेय के अनुसार,$P(S|E) = \frac{P(S)P(E|S)}{P(S)P(E|S) + P(S^c)P(E|S^c)}$।
$P(S|E) = \frac{(\frac{1}{6} \times \frac{3}{5})}{(\frac{1}{6} \times \frac{3}{5}) + (\frac{5}{6} \times \frac{2}{5})} = \frac{\frac{3}{30}}{\frac{3}{30} + \frac{10}{30}} = \frac{3}{13}$।

(A) मान लीजिए $W$ सफेद कंचों को और $B$ काले कंचों को दर्शाता है। थैली $P$ में $5W$ और $3B$ हैं। चार कंचे थैली $Q$ में स्थानांतरित किए जाते हैं।
मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि $1W$ और $3B$ स्थानांतरित किए गए हैं।
मान लीजिए $E_2$ वह घटना है कि $2W$ और $2B$ स्थानांतरित किए गए हैं।
मान लीजिए $E_3$ वह घटना है कि $3W$ और $1B$ स्थानांतरित किए गए हैं।
मान लीजिए $E_4$ वह घटना है कि $4W$ और $0B$ स्थानांतरित किए गए हैं।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि थैली $Q$ से एक काला कंचा निकाला जाता है।
$8$ में से $4$ कंचे चुनने के कुल तरीके $^8C_4 = 70$ हैं।
$P(E_1) = \frac{^5C_1 \times ^3C_3}{70} = \frac{5 \times 1}{70} = \frac{5}{70}$
$P(E_2) = \frac{^5C_2 \times ^3C_2}{70} = \frac{10 \times 3}{70} = \frac{30}{70}$
$P(E_3) = \frac{^5C_3 \times ^3C_1}{70} = \frac{10 \times 3}{70} = \frac{30}{70}$
$P(E_4) = \frac{^5C_4 \times ^3C_0}{70} = \frac{5 \times 1}{70} = \frac{5}{70}$
$Q$ से काला कंचा निकालने की सशर्त प्रायिकताएँ हैं:
$P(A|E_1) = \frac{3}{4}, P(A|E_2) = \frac{2}{4}, P(A|E_3) = \frac{1}{4}, P(A|E_4) = 0$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करके,हम $P(E_1|A)$ ज्ञात करते हैं:
$P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{\sum_{i=1}^4 P(E_i)P(A|E_i)}$
$P(E_1|A) = \frac{\frac{5}{70} \times \frac{3}{4}}{\frac{5}{70} \times \frac{3}{4} + \frac{30}{70} \times \frac{2}{4} + \frac{30}{70} \times \frac{1}{4} + \frac{5}{70} \times 0}$
$P(E_1|A) = \frac{15}{15 + 60 + 30 + 0} = \frac{15}{105} = \frac{1}{7}$.

(A) मान लीजिए $E$ वह घटना है कि पासा छह दर्शाता है,और $E^c$ वह घटना है कि पासा छह नहीं दर्शाता है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि व्यक्ति रिपोर्ट करता है कि यह छह है।
हमें दिया गया है:
$P(E) = \frac{1}{6}$
$P(E^c) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
सच बोलने की प्रायिकता $P(T) = \frac{3}{4}$,इसलिए झूठ बोलने की प्रायिकता $P(L) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ है।
यदि पासा छह दर्शाता है,तो व्यक्ति छह की रिपोर्ट तभी करता है जब वह सच बोलता है: $P(A|E) = \frac{3}{4}$।
यदि पासा छह नहीं दर्शाता है,तो व्यक्ति छह की रिपोर्ट तभी करता है जब वह झूठ बोलता है: $P(A|E^c) = \frac{1}{4}$।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यह प्रायिकता कि यह वास्तव में छह है,यह देखते हुए कि उसने छह की रिपोर्ट की है:
$P(E|A) = \frac{P(E) \times P(A|E)}{P(E) \times P(A|E) + P(E^c) \times P(A|E^c)}$
$P(E|A) = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{3}{4}}{\frac{1}{6} \times \frac{3}{4} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{4}}$
$P(E|A) = \frac{\frac{3}{24}}{\frac{3}{24} + \frac{5}{24}} = \frac{3}{8}$।

(C) मान लीजिए $M$ वह घटना है कि कर्मचारी एक पुरुष है और $W$ वह घटना है कि कर्मचारी एक महिला है। मान लीजिए $T$ वह घटना है कि कर्मचारी एक तकनीकी सहायक है।
दिया गया है:
$P(M) = 0.70$
$P(W) = 1 - 0.70 = 0.30$
$P(T|M) = 0.30$
$P(T|W) = 0.15$
हमें $P(M|T)$ ज्ञात करना है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(M|T) = \frac{P(M) \times P(T|M)}{P(M) \times P(T|M) + P(W) \times P(T|W)}$
$P(M|T) = \frac{0.70 \times 0.30}{(0.70 \times 0.30) + (0.30 \times 0.15)}$
$P(M|T) = \frac{0.21}{0.21 + 0.045}$
$P(M|T) = \frac{0.21}{0.255}$
$P(M|T) = \frac{210}{255} = \frac{14}{17}$

(A) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ वे घटनाएँ हैं कि बल्ब क्रमशः $A, B, C$ इकाइयों द्वारा उत्पादित होता है। मान लीजिए $D$ वह घटना है कि बल्ब दोषपूर्ण है।
दी गई प्रायिकताएँ हैं:
$P(E_1) = 0.25, P(E_2) = 0.35, P(E_3) = 0.40$
$P(D|E_1) = 0.05, P(D|E_2) = 0.04, P(D|E_3) = 0.02$
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,बल्ब के दोषपूर्ण होने की प्रायिकता है:
$P(D) = P(E_1)P(D|E_1) + P(E_2)P(D|E_2) + P(E_3)P(D|E_3)$
$P(D) = (0.25 \times 0.05) + (0.35 \times 0.04) + (0.40 \times 0.02)$
$P(D) = 0.0125 + 0.0140 + 0.0080 = 0.0345$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,दोषपूर्ण बल्ब के इकाई $B$ द्वारा उत्पादित होने की प्रायिकता है:
$P(E_2|D) = \frac{P(E_2)P(D|E_2)}{P(D)}$
$P(E_2|D) = \frac{0.35 \times 0.04}{0.0345} = \frac{0.0140}{0.0345} = \frac{140}{345}$
अंश और हर को $5$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P(E_2|D) = \frac{28}{69}$

(A) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ क्रमशः परिवारों $F_1, F_2, F_3$ को चुनने की घटनाएँ हैं। चूँकि परिवार को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ है।
मान लीजिए $G$ वह घटना है कि चुना गया बच्चा एक लड़की है।
प्रत्येक परिवार से एक लड़की को चुनने की प्रायिकताएँ हैं:
$P(G|E_1) = \frac{1}{3}$
$P(G|E_2) = \frac{2}{3}$
$P(G|E_3) = \frac{1}{2}$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,लड़की के $F_2$ से होने की प्रायिकता $P(E_2|G) = \frac{P(E_2)P(G|E_2)}{P(E_1)P(G|E_1) + P(E_2)P(G|E_2) + P(E_3)P(G|E_3)}$ है।
मान रखने पर: $P(E_2|G) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}}{\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{6}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{2+4+3}{18}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{9}{18}} = \frac{2}{9} \times 2 = \frac{4}{9}$.

(C) मान लीजिए $E_i$ वह घटना है कि थैली में $i$ लाल गेंदें हैं,जहाँ $i \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ है।
चूँकि प्रत्येक स्थिति के लिए समान अवसर हैं,इसलिए $P(E_i) = \frac{1}{6}$ होगा।
मान लीजिए $R$ वह घटना है कि निकाली गई गेंद लाल है।
यदि $i$ लाल गेंदें हैं,तो लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R|E_i) = \frac{i}{5}$ है।
ध्यान दें कि $P(R|E_0) = 0$ है।
बेयस प्रमेय के अनुसार,निकाली गई गेंद के लाल होने पर थैली में केवल $1$ लाल गेंद होने की प्रायिकता है:
$P(E_1|R) = \frac{P(R|E_1)P(E_1)}{\sum_{i=0}^{5} P(R|E_i)P(E_i)}$
$P(E_1|R) = \frac{(\frac{1}{5})(\frac{1}{6})}{(\frac{0}{5})(\frac{1}{6}) + (\frac{1}{5})(\frac{1}{6}) + (\frac{2}{5})(\frac{1}{6}) + (\frac{3}{5})(\frac{1}{6}) + (\frac{4}{5})(\frac{1}{6}) + (\frac{5}{5})(\frac{1}{6})}$
$P(E_1|R) = \frac{1}{0+1+2+3+4+5} = \frac{1}{15}$.

(C) मान लीजिए $D$ वह घटना है कि वस्तु खराब है और $ND$ वह घटना है कि वस्तु खराब नहीं है।
दिया गया है $P(D) = 0.3$,इसलिए $P(ND) = 1 - 0.3 = 0.7$।
मान लीजिए $R_D$ वह घटना है कि उपकरण वस्तु को खराब बताता है और $R_{ND}$ वह घटना है कि उपकरण वस्तु को खराब नहीं बताता है।
उपकरण $80\%$ समय सटीक है,इसलिए $P(R_D|D) = 0.8$ और $P(R_{ND}|ND) = 0.8$।
परिणामस्वरूप,$P(R_{ND}|D) = 1 - 0.8 = 0.2$ और $P(R_D|ND) = 1 - 0.8 = 0.2$।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि वस्तु खराब है यदि उपकरण उसे खराब नहीं बताता है,यानी $P(D|R_{ND})$।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(D|R_{ND}) = \frac{P(R_{ND}|D) \times P(D)}{P(R_{ND}|D) \times P(D) + P(R_{ND}|ND) \times P(ND)}$
$P(D|R_{ND}) = \frac{0.2 \times 0.3}{(0.2 \times 0.3) + (0.8 \times 0.7)}$
$P(D|R_{ND}) = \frac{0.06}{0.06 + 0.56} = \frac{0.06}{0.62} = \frac{6}{62} = \frac{3}{31}$।

(D) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ क्रमशः सेक्शन $A, B$ और $C$ को चुनने की घटनाएँ हैं। मान लीजिए $G$ एक लड़की को चुनने की घटना है।
सेक्शन चुनने की दी गई प्रायिकताएँ $P(E_1) = 0.2, P(E_2) = 0.3, P(E_3) = 0.5$ हैं।
प्रत्येक सेक्शन से एक लड़की को चुनने की सशर्त प्रायिकताएँ हैं:
$P(G|E_1) = \frac{20}{20+30} = \frac{20}{50} = 0.4$
$P(G|E_2) = \frac{40}{40+20} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$
$P(G|E_3) = \frac{10}{10+30} = \frac{10}{40} = 0.25$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,लड़की के सेक्शन $A$ से होने की प्रायिकता $P(E_1|G) = \frac{P(E_1)P(G|E_1)}{P(E_1)P(G|E_1) + P(E_2)P(G|E_2) + P(E_3)P(G|E_3)}$ है।
$P(E_1|G) = \frac{0.2 \times 0.4}{(0.2 \times 0.4) + (0.3 \times \frac{2}{3}) + (0.5 \times 0.25)}$
$P(E_1|G) = \frac{0.08}{0.08 + 0.2 + 0.125} = \frac{0.08}{0.405} = \frac{80}{405} = \frac{16}{81}$.

(B) मान लीजिए $T$ वह घटना है कि छात्र टीवी देखता है और $B$ वह घटना है कि छात्र किताब पढ़ता है। मान लीजिए $S$ वह घटना है कि छात्र सो जाता है।
दी गई प्रायिकताएँ हैं:
$P(T) = \frac{4}{5}$
$P(B) = 1 - P(T) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$
$P(S|T) = \frac{3}{4}$
$P(S|B) = \frac{1}{4}$
हमें $P(T|S)$ ज्ञात करना है,यानी उसके सोए होने पर उसके टीवी देखने की प्रायिकता।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(T|S) = \frac{P(T) \times P(S|T)}{P(T) \times P(S|T) + P(B) \times P(S|B)}$
$P(T|S) = \frac{(\frac{4}{5}) \times (\frac{3}{4})}{(\frac{4}{5}) \times (\frac{3}{4}) + (\frac{1}{5}) \times (\frac{1}{4})}$
$P(T|S) = \frac{\frac{12}{20}}{\frac{12}{20} + \frac{1}{20}}$
$P(T|S) = \frac{\frac{12}{20}}{\frac{13}{20}} = \frac{12}{13}$

(C) मान लीजिए $C$,$B$,और $T$ वे घटनाएँ हैं जिनमें व्यक्ति क्रमशः कार,बस और ट्रेन से यात्रा करता है। मान लीजिए $L$ वह घटना है जिसमें व्यक्ति कॉलेज देर से पहुँचता है,और $L'$ वह घटना है जिसमें व्यक्ति कॉलेज समय पर पहुँचता है।
दी गई प्रायिकताएँ: $P(C) = \frac{1}{5}$,$P(B) = \frac{2}{5}$,$P(T) = \frac{3}{5}$।
देर से पहुँचने की प्रायिकताएँ: $P(L|C) = \frac{2}{7}$,$P(L|B) = \frac{4}{7}$,$P(L|T) = \frac{1}{7}$।
समय पर पहुँचने की प्रायिकताएँ: $P(L'|C) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$,$P(L'|B) = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$,$P(L'|T) = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि वह समय पर पहुँचता है तो उसके कार से यात्रा करने की प्रायिकता है:
$P(C|L') = \frac{P(L'|C)P(C)}{P(L'|C)P(C) + P(L'|B)P(B) + P(L'|T)P(T)}$
$P(C|L') = \frac{(\frac{5}{7} \times \frac{1}{5})}{(\frac{5}{7} \times \frac{1}{5}) + (\frac{3}{7} \times \frac{2}{5}) + (\frac{6}{7} \times \frac{3}{5})}$
$P(C|L') = \frac{\frac{5}{35}}{\frac{5}{35} + \frac{6}{35} + \frac{18}{35}} = \frac{5}{5 + 6 + 18} = \frac{5}{29}$.

(A) मान लीजिए $B_1$ पहले समूह से थैला चुनने की घटना है और $B_2$ दूसरे समूह से थैला चुनने की घटना है।
कुल थैले = $2 + 4 = 6$.
$P(B_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ और $P(B_2) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि निकाली गई गेंद काली है।
पहले समूह के लिए,काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B|B_1) = \frac{5}{3+5} = \frac{5}{8}$ है।
दूसरे समूह के लिए,काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B|B_2) = \frac{4}{6+4} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि गेंद काली है तो उसके पहले थैलों के समूह से होने की प्रायिकता:
$P(B_1|B) = \frac{P(B_1)P(B|B_1)}{P(B_1)P(B|B_1) + P(B_2)P(B|B_2)}$
$P(B_1|B) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{5}{8}}{\frac{1}{3} \times \frac{5}{8} + \frac{2}{3} \times \frac{2}{5}} = \frac{\frac{5}{24}}{\frac{5}{24} + \frac{4}{15}} = \frac{\frac{5}{24}}{\frac{25 + 32}{120}} = \frac{5}{24} \times \frac{120}{57} = \frac{5 \times 5}{57} = \frac{25}{57}$.

(B) माना $K$ वह घटना है कि निकाला गया पत्ता एक राजा है,और $K^c$ वह घटना है कि निकाला गया पत्ता राजा नहीं है। माना $R$ वह घटना है कि व्यक्ति बताता है कि पत्ता एक राजा है।
दिया गया है:
$P(K) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$
$P(K^c) = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$
माना $T$ वह घटना है कि व्यक्ति सच बोलता है। $P(T) = \frac{3}{4}$ और $P(T^c) = \frac{1}{4}$ है।
यदि पत्ता राजा है और व्यक्ति के राजा होने की रिपोर्ट करने की प्रायिकता $P(R|K) = P(T) = \frac{3}{4}$ है।
यदि पत्ता राजा नहीं है और व्यक्ति के राजा होने की रिपोर्ट करने की प्रायिकता $P(R|K^c) = P(T^c) = \frac{1}{4}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,व्यक्ति की रिपोर्ट के आधार पर इसके वास्तव में राजा होने की प्रायिकता:
$P(K|R) = \frac{P(R|K)P(K)}{P(R|K)P(K) + P(R|K^c)P(K^c)}$
$P(K|R) = \frac{(\frac{3}{4} \times \frac{1}{13})}{(\frac{3}{4} \times \frac{1}{13}) + (\frac{1}{4} \times \frac{12}{13})}$
$P(K|R) = \frac{\frac{3}{52}}{\frac{3}{52} + \frac{12}{52}} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

(C) माना $A$ वह घटना है कि हम तीन हरी गेंदें निकालते हैं। माना $E_k$ वह घटना है कि थैली में $k$ हरी गेंदें हैं,जहाँ $k \in \{3, 4, 5, 6\}$ है। यह मानते हुए कि हरी गेंदों की प्रत्येक संख्या समान रूप से संभावित है,$P(E_k) = \frac{1}{4}$ है।
$k$ हरी गेंदें होने पर $3$ हरी गेंदें निकालने की प्रायिकता $P(A|E_k) = \frac{{}^k C_3}{{}^6 C_3}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,$3$ हरी गेंदें निकाले जाने पर $5$ हरी गेंदें होने की प्रायिकता:
$P(E_5|A) = \frac{P(A|E_5)P(E_5)}{\sum_{k=3}^{6} P(A|E_k)P(E_k)}$
चूंकि सभी $k$ के लिए $P(E_k) = \frac{1}{4}$ है,इसलिए यह सरल होकर निम्न प्रकार हो जाता है:
$P(E_5|A) = \frac{{}^5 C_3}{\sum_{k=3}^{6} {}^k C_3} = \frac{10}{1 + 4 + 10 + 20} = \frac{10}{35} = \frac{2}{7}$.

(C) $E_1$: थैली $A$ से एक गेंद निकाली जाती है।
$E_2$: थैली $B$ से एक गेंद निकाली जाती है।
$F$: निकाली गई गेंद लाल है।
दिया गया है:
$P(E_1) = \frac{1}{2}$,$P(E_2) = \frac{1}{2}$.
$P(F|E_1) = \frac{3}{5}$ (थैली $A$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता)।
$P(F|E_2) = \frac{5}{9}$ (थैली $B$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता)।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(E_2|F) = \frac{P(F|E_2) \cdot P(E_2)}{P(F|E_1) \cdot P(E_1) + P(F|E_2) \cdot P(E_2)}$
$P(E_2|F) = \frac{\frac{5}{9} \times \frac{1}{2}}{\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{5}{9} \times \frac{1}{2}}$
$P(E_2|F) = \frac{\frac{5}{9}}{\frac{3}{5} + \frac{5}{9}} = \frac{\frac{5}{9}}{\frac{27 + 25}{45}} = \frac{5}{9} \times \frac{45}{52} = \frac{25}{52}$.

(C) मान लीजिए कि निम्नलिखित घटनाएँ हैं:
$E_1$: छात्र उत्तर का अनुमान लगाता है।
$E_2$: छात्र उत्तर की नकल करता है।
$E_3$: छात्र उत्तर जानता है।
$E$: उत्तर सही है।
दी गई प्रायिकताएँ:
$P(E_1) = \frac{1}{3}$,$P(E_2) = \frac{1}{6}$.
चूंकि घटनाएँ निशेष हैं,$P(E_3) = 1 - (P(E_1) + P(E_2)) = 1 - (\frac{1}{3} + \frac{1}{6}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
प्रतिबंधात्मक प्रायिकताएँ:
$P(E|E_1) = \frac{1}{4}$ (क्योंकि $4$ विकल्प हैं)।
$P(E|E_2) = \frac{1}{8}$ (दिया गया है)।
$P(E|E_3) = 1$ (क्योंकि वह उत्तर जानता है)।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि उसने उत्तर सही दिया है तो उसके द्वारा उत्तर जानने की प्रायिकता:
$P(E_3|E) = \frac{P(E|E_3)P(E_3)}{P(E|E_1)P(E_1) + P(E|E_2)P(E_2) + P(E|E_3)P(E_3)}$
$P(E_3|E) = \frac{1 \times \frac{1}{2}}{(\frac{1}{4} \times \frac{1}{3}) + (\frac{1}{8} \times \frac{1}{6}) + (1 \times \frac{1}{2})}$
$P(E_3|E) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{12} + \frac{1}{48} + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{4+1+24}{48}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{29}{48}} = \frac{1}{2} \times \frac{48}{29} = \frac{24}{29}$.

(B) मान लीजिए $S$ वह घटना है कि निकाले गए दो पत्ते हुकुम के हैं। मान लीजिए $M_1$ वह घटना है कि खोया हुआ पत्ता हुकुम का है,और $M_2$ वह घटना है कि खोया हुआ पत्ता हुकुम का नहीं है।
हमें दिया गया है कि $52$ पत्तों की गड्डी में $13$ हुकुम के और $39$ अन्य पत्ते हैं।
$P(M_1) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ और $P(M_2) = \frac{39}{52} = \frac{3}{4}$.
यदि $M_1$ घटित होता है,तो $51$ पत्तों में $12$ हुकुम के पत्ते बचते हैं। $2$ हुकुम के पत्ते निकालने की प्रायिकता $P(S|M_1) = \frac{^{12}C_2}{^{51}C_2} = \frac{66}{1275}$ है।
यदि $M_2$ घटित होता है,तो $51$ पत्तों में $13$ हुकुम के पत्ते बचते हैं। $2$ हुकुम के पत्ते निकालने की प्रायिकता $P(S|M_2) = \frac{^{13}C_2}{^{51}C_2} = \frac{78}{1275}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यह प्रायिकता कि खोया हुआ पत्ता हुकुम का नहीं है,जबकि दो हुकुम के पत्ते निकाले गए हैं:
$P(M_2|S) = \frac{P(M_2)P(S|M_2)}{P(M_1)P(S|M_1) + P(M_2)P(S|M_2)}$
$P(M_2|S) = \frac{\frac{3}{4} \times \frac{78}{1275}}{\frac{1}{4} \times \frac{66}{1275} + \frac{3}{4} \times \frac{78}{1275}} = \frac{3 \times 78}{66 + 3 \times 78} = \frac{234}{66 + 234} = \frac{234}{300} = \frac{39}{50}$.

(B) मान लीजिए $E$ वह घटना है कि चुना गया बल्ब खराब है। मान लीजिए $M_1, M_2, M_3$ वे घटनाएँ हैं कि बल्ब क्रमशः निर्माताओं $M_1, M_2, M_3$ से खरीदा गया है।
दी गई प्रायिकताएँ:
$P(M_1) = 0.25, P(M_2) = 0.45, P(M_3) = 0.30$
$P(E|M_1) = 0.01, P(E|M_2) = 0.01, P(E|M_3) = 0.02$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,खराब बल्ब के $M_3$ से होने की प्रायिकता:
$P(M_3|E) = \frac{P(M_3) \cdot P(E|M_3)}{P(M_1) \cdot P(E|M_1) + P(M_2) \cdot P(E|M_2) + P(M_3) \cdot P(E|M_3)}$
$P(M_3|E) = \frac{0.30 \times 0.02}{(0.25 \times 0.01) + (0.45 \times 0.01) + (0.30 \times 0.02)}$
$P(M_3|E) = \frac{0.006}{0.0025 + 0.0045 + 0.0060} = \frac{0.006}{0.0130} = \frac{6}{13}$

(B) मान लीजिए $F$ वह घटना है कि एक निष्पक्ष सिक्का चुना गया है और $B$ वह घटना है कि एक पक्षपाती सिक्का चुना गया है। मान लीजिए $E$ वह घटना है कि पहली उछाल में हेड और दूसरी उछाल में टेल आता है।
दिया गया है $P(F) = \frac{m}{n}$ और $P(B) = \frac{n-m}{n}$.
निष्पक्ष सिक्के के लिए,$P(H) = \frac{1}{2}$ और $P(T) = \frac{1}{2}$. अतः,$P(E|F) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
पक्षपाती सिक्के के लिए,$P(H) = 2P(T)$. चूँकि $P(H) + P(T) = 1$,इसलिए $3P(T) = 1$,जिससे $P(T) = \frac{1}{3}$ और $P(H) = \frac{2}{3}$. अतः,$P(E|B) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,घटना $E$ के दिए होने पर सिक्के के निष्पक्ष होने की प्रायिकता है:
$P(F|E) = \frac{P(F)P(E|F)}{P(F)P(E|F) + P(B)P(E|B)}$
$P(F|E) = \frac{(\frac{m}{n})(\frac{1}{4})}{(\frac{m}{n})(\frac{1}{4}) + (\frac{n-m}{n})(\frac{2}{9})}$
$P(F|E) = \frac{\frac{m}{4}}{\frac{m}{4} + \frac{2(n-m)}{9}} = \frac{9m}{9m + 8(n-m)} = \frac{9m}{9m + 8n - 8m} = \frac{9m}{8n + m}$.

(B) माना $A$ वह घटना है कि पासे पर एक अभाज्य संख्या आती है।
माना $B$ वह घटना है कि पासे पर अभाज्य संख्या नहीं आती है।
माना $E$ वह घटना है कि व्यक्ति बताता है कि अभाज्य संख्या आई है।
$1$ से $100$ के बीच $25$ अभाज्य संख्याएँ हैं।
अतः,$P(A) = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ और $P(B) = 1 - P(A) = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$ है।
व्यक्ति के सच बोलने की प्रायिकता $P(E|A) = \frac{7}{10}$ है।
व्यक्ति के झूठ बोलने (अभाज्य न होने पर अभाज्य बताने) की प्रायिकता $P(E|B) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि उसने अभाज्य संख्या होने की सूचना दी है,तो उसके वास्तव में अभाज्य होने की प्रायिकता:
$P(A|E) = \frac{P(A) \times P(E|A)}{P(A) \times P(E|A) + P(B) \times P(E|B)}$
$P(A|E) = \frac{\frac{1}{4} \times \frac{7}{10}}{(\frac{1}{4} \times \frac{7}{10}) + (\frac{3}{4} \times \frac{3}{10})}$
$P(A|E) = \frac{\frac{7}{40}}{\frac{7}{40} + \frac{9}{40}} = \frac{7}{16}$.

(A) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि पासा $A$ चुना गया है (सिक्के पर चित आता है) और $E_2$ वह घटना है कि पासा $B$ चुना गया है (सिक्के पर पट आता है)।
मान लीजिए $R$ वह घटना है कि सभी $n$ प्रयासों में लाल फलक आता है।
दिया गया है $P(E_1) = \frac{1}{2}$ और $P(E_2) = \frac{1}{2}$।
पासे $A$ के लिए,एक प्रयास में लाल फलक प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है। अतः,$P(R \mid E_1) = \left(\frac{2}{3}\right)^n$।
पासे $B$ के लिए,एक प्रयास में लाल फलक प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है। अतः,$P(R \mid E_2) = \left(\frac{1}{3}\right)^n$।
बेयस प्रमेय के अनुसार,यह देखते हुए कि $n$ बार लाल रंग आया है,पासा $A$ के उपयोग किए जाने की प्रायिकता है:
$P(E_1 \mid R) = \frac{P(E_1)P(R \mid E_1)}{P(E_1)P(R \mid E_1) + P(E_2)P(R \mid E_2)}$
मान रखने पर:
$\frac{32}{33} = \frac{\frac{1}{2} \times (\frac{2}{3})^n}{\frac{1}{2} \times (\frac{2}{3})^n + \frac{1}{2} \times (\frac{1}{3})^n} = \frac{2^n}{2^n + 1^n} = \frac{2^n}{2^n + 1}$।
$n$ के लिए हल करने पर:
$32(2^n + 1) = 33(2^n) \implies 32 \cdot 2^n + 32 = 33 \cdot 2^n \implies 2^n = 32$।
चूंकि $32 = 2^5$,हमें $n = 5$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $H_1, H_2, H_3$ क्रमशः कार्टन $A, B, C$ चुनने की घटनाएं हैं। चूंकि एक कार्टन यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,इसलिए $P(H_1) = P(H_2) = P(H_3) = \frac{1}{3}$ है।
मान लीजिए $D$ एक दोषपूर्ण खिलौना निकालने की घटना है।
प्रतिबंधात्मक प्रायिकताएं $P(D|H_1) = \frac{1}{3}, P(D|H_2) = \frac{1}{4}, P(D|H_3) = \frac{2}{5}$ हैं।
बेयस प्रमेय के अनुसार,यदि खिलौना दोषपूर्ण है तो उसके कार्टन $B$ से होने की प्रायिकता:
$P(H_2|D) = \frac{P(H_2)P(D|H_2)}{P(H_1)P(D|H_1) + P(H_2)P(D|H_2) + P(H_3)P(D|H_3)}$
$P(H_2|D) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}}{\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{5}}$
$P(H_2|D) = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{9} + \frac{1}{12} + \frac{2}{15}}$
हर के लिए लघुत्तम समापवर्त्य $LCM(9, 12, 15) = 180$ लेने पर:
$P(H_2|D) = \frac{1/12}{(20+15+24)/180} = \frac{1/12}{59/180} = \frac{1}{12} \times \frac{180}{59} = \frac{15}{59}$.

(B) मान लीजिए $E_1$ थैली $A$ के चुने जाने की घटना है और $E_2$ थैली $B$ के चुने जाने की घटना है। मान लीजिए $R$ वह घटना है कि निकाली गई दोनों गेंदें लाल हैं।
दिया गया है $P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$.
थैली $A$ से $2$ लाल गेंदें निकालने की प्रायिकता $P(R|E_1) = \frac{^nC_2}{^{n+2}C_2} = \frac{n(n-1)}{(n+2)(n+1)}$ है।
थैली $B$ से $2$ लाल गेंदें निकालने की प्रायिकता $P(R|E_2) = \frac{^2C_2}{^{n+2}C_2} = \frac{1 \times 2}{(n+2)(n+1)} = \frac{2}{(n+2)(n+1)}$ है।
बेयस प्रमेय के अनुसार,$P(E_1|R) = \frac{P(E_1)P(R|E_1)}{P(E_1)P(R|E_1) + P(E_2)P(R|E_2)} = \frac{6}{7}$.
मान रखने पर:
$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{n(n-1)}{(n+2)(n+1)}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{n(n-1)}{(n+2)(n+1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{(n+2)(n+1)}} = \frac{6}{7}$.
$\frac{n(n-1)}{n(n-1) + 2} = \frac{6}{7}$.
$7(n^2 - n) = 6(n^2 - n + 2)$.
$7n^2 - 7n = 6n^2 - 6n + 12$.
$n^2 - n - 12 = 0$.
$(n-4)(n+3) = 0$.
चूंकि $n > 0$,इसलिए $n = 4$ है।

(A) मान लीजिए $E_1$ बॉक्स $B_1$ चुनने की घटना है और $E_2$ बॉक्स $B_2$ चुनने की घटना है। चूंकि बॉक्स यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,$P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$।
मान लीजिए $R$ वह घटना है कि चुनी गई गेंद लाल है।
$B_1$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R|E_1) = \frac{6}{3+6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ है।
$B_2$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R|E_2) = \frac{n}{n+8}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,लाल गेंद के $B_2$ से होने की प्रायिकता $p$ है:
$p = P(E_2|R) = \frac{P(E_2)P(R|E_2)}{P(E_1)P(R|E_1) + P(E_2)P(R|E_2)}$
$p = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{n}{n+8}}{\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{n}{n+8}} = \frac{\frac{n}{n+8}}{\frac{2}{3} + \frac{n}{n+8}} = \frac{3n}{2(n+8) + 3n} = \frac{3n}{5n+16}$।
चूंकि $n \in N$,$n$ का न्यूनतम मान $1$ है। $n=1$ के लिए,$p = \frac{3(1)}{5(1)+16} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$।
जैसे-जैसे $n \to \infty$,$p = \lim_{n \to \infty} \frac{3n}{5n+16} = \frac{3}{5}$।
अतः,$p$ का परिसर $\frac{1}{7} \leq p < \frac{3}{5}$ है।

(B) माना $E$ वह घटना है कि निकाली गई $4$ गेंदें लाल हैं। माना $A_k$ वह घटना है कि थैली में $k$ लाल गेंदें हैं,जहाँ $k \in \{4, 5, 6\}$। यह मानते हुए कि प्रत्येक स्थिति समान रूप से संभावित है,$P(A_4) = P(A_5) = P(A_6) = \frac{1}{3}$ है।
प्रतिबंधात्मक प्रायिकताएँ इस प्रकार हैं:
$P(E|A_4) = \frac{{}^4C_4}{{}^6C_4} = \frac{1}{15}$
$P(E|A_5) = \frac{{}^5C_4}{{}^6C_4} = \frac{5}{15}$
$P(E|A_6) = \frac{{}^6C_4}{{}^6C_4} = \frac{15}{15} = 1$
बेयस प्रमेय के अनुसार,यदि निकाली गई $4$ गेंदें लाल हैं,तो थैली में ठीक $5$ लाल गेंदें होने की प्रायिकता:
$P(A_5|E) = \frac{P(A_5)P(E|A_5)}{P(A_4)P(E|A_4) + P(A_5)P(E|A_5) + P(A_6)P(E|A_6)}$
$P(A_5|E) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{5}{15}}{\frac{1}{3} \times \frac{1}{15} + \frac{1}{3} \times \frac{5}{15} + \frac{1}{3} \times \frac{15}{15}}$
$P(A_5|E) = \frac{5}{1 + 5 + 15} = \frac{5}{21}$

(A) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि छात्र उत्तर का अनुमान लगाता है और $E_2$ वह घटना है कि छात्र उत्तर जानता है। मान लीजिए $A$ वह घटना है कि छात्र सही उत्तर देता है।
दिया गया है कि छात्र $90 \%$ उत्तर जानता है,इसलिए $P(E_2) = \frac{9}{10}$।
परिणामस्वरूप,छात्र के अनुमान लगाने की प्रायिकता $P(E_1) = 1 - P(E_2) = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$ है।
यदि छात्र उत्तर जानता है,तो सही उत्तर देने की प्रायिकता $P(A \mid E_2) = 1$ है।
यदि छात्र अनुमान लगाता है,तो चूंकि $4$ विकल्प हैं और केवल एक सही है,तो सही उत्तर देने की प्रायिकता $P(A \mid E_1) = \frac{1}{4}$ है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि छात्र ने अनुमान लगाया था,यह देखते हुए कि उसने सही उत्तर दिया है,जो $P(E_1 \mid A)$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(E_1 \mid A) = \frac{P(E_1) \cdot P(A \mid E_1)}{P(E_1) \cdot P(A \mid E_1) + P(E_2) \cdot P(A \mid E_2)}$
$P(E_1 \mid A) = \frac{\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{4}}{(\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{4}) + (\frac{9}{10} \cdot 1)}$
$P(E_1 \mid A) = \frac{\frac{1}{40}}{\frac{1}{40} + \frac{9}{10}} = \frac{\frac{1}{40}}{\frac{1+36}{40}} = \frac{1}{37}$।

(B) माना $E_1$ वह घटना है कि छात्र उत्तर जानता है और $E_2$ वह घटना है कि छात्र उत्तर का अनुमान लगाता है।
दिया गया है $P(E_1) = 9/10$,इसलिए $P(E_2) = 1 - 9/10 = 1/10$।
माना $E$ वह घटना है कि उत्तर सही है।
यदि छात्र उत्तर जानता है,तो सही उत्तर देने की प्रायिकता $P(E|E_1) = 1$ है।
यदि छात्र अनुमान लगाता है,तो $4$ विकल्पों में से $1$ सही होने के कारण,सही उत्तर देने की प्रायिकता $P(E|E_2) = 1/4$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि उत्तर सही है तो छात्र द्वारा अनुमान लगाने की प्रायिकता $P(E_2|E) = \frac{P(E|E_2)P(E_2)}{P(E|E_1)P(E_1) + P(E|E_2)P(E_2)}$ है।
मान रखने पर:
$P(E_2|E) = \frac{(1/4) \times (1/10)}{(1) \times (9/10) + (1/4) \times (1/10)} = \frac{1/40}{9/10 + 1/40} = \frac{1/40}{36/40 + 1/40} = \frac{1/40}{37/40} = \frac{1}{37}$।

(B) मान लीजिए कि थैली में सफेद गेंदों की संभावित संरचनाएं $E_1$ ($4$ सफेद),$E_2$ ($3$ सफेद,$1$ अन्य),और $E_3$ ($2$ सफेद,$2$ अन्य) हैं। यह मानते हुए कि प्रत्येक संरचना समान रूप से संभावित है,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि निकाली गई दो गेंदें सफेद हैं।
$P(E|E_1) = \frac{^4C_2}{^4C_2} = 1$
$P(E|E_2) = \frac{^3C_2}{^4C_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$P(E|E_3) = \frac{^2C_2}{^4C_2} = \frac{1}{6}$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(E_1|E) = \frac{P(E_1)P(E|E_1)}{P(E_1)P(E|E_1) + P(E_2)P(E|E_2) + P(E_3)P(E|E_3)}$
$P(E_1|E) = \frac{\frac{1}{3} \times 1}{\frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{6}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

(D) माना $E_1$ संख्या $5$ प्राप्त करने की घटना है और $E_2$ संख्या $5$ न प्राप्त करने की घटना है। माना $A$ वह घटना है कि लड़का बताता है कि संख्या $5$ है।
दिया गया है: $P(E_1) = \frac{1}{6}$,$P(E_2) = \frac{5}{6}$.
लड़का $\frac{3}{5}$ प्रायिकता के साथ सच बोलता है,इसलिए वह $\frac{2}{5}$ प्रायिकता के साथ झूठ बोलता है।
$P(A|E_1) = \frac{3}{5}$
$P(A|E_2) = \frac{2}{5}$
बेयस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$P(E_1|A) = \frac{P(E_1) \cdot P(A|E_1)}{P(E_1) \cdot P(A|E_1) + P(E_2) \cdot P(A|E_2)} = \frac{3}{13}$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(D) पात्र में गेंदों की कुल संख्या = $7 + 5 + 3 = 15$ है।
यह दिया गया है कि पहली निकाली गई गेंद लाल है और दूसरी निकाली गई गेंद सफेद है,इसलिए इन दो गेंदों को पात्र से हटा दिया जाता है।
पात्र में बची हुई गेंदों की संख्या = $15 - 2 = 13$ है।
बची हुई गेंदों में शामिल हैं:
लाल गेंदें = $7 - 1 = 6$
सफेद गेंदें = $5 - 1 = 4$
काली गेंदें = $3$
कुल बची हुई गेंदें = $6 + 4 + 3 = 13$
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि तीसरी निकाली गई गेंद लाल नहीं है।
लाल न होने वाली गेंदों की संख्या = $4 \text{ (सफेद)} + 3 \text{ (काली)} = 7$ है।
अतः,तीसरी गेंद के लाल न होने की प्रायिकता = $\frac{\text{लाल न होने वाली गेंदों की संख्या}}{\text{कुल बची हुई गेंदें}} = \frac{7}{13}$।

(C) दिया गया है कि $P(B) = 0.4$ और $P(A \cap \bar{B}) = 0.5$.
हम जानते हैं कि $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})$.
मान लीजिए $P(A \cap B) = x$. तो $P(A) = x + 0.5$.
साथ ही,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = (x + 0.5) + 0.4 - x = 0.9$.
अब,पद $P\left(\frac{B}{A \cup \bar{B}}\right)$ पर विचार करें।
परिभाषा के अनुसार,$P\left(\frac{B}{A \cup \bar{B}}\right) = \frac{P(B \cap (A \cup \bar{B}))}{P(A \cup \bar{B})}$.
चूंकि $B \cap (A \cup \bar{B}) = (B \cap A) \cup (B \cap \bar{B}) = (B \cap A) \cup \emptyset = A \cap B$,इसलिए $P(B \cap (A \cup \bar{B})) = P(A \cap B) = x$.
साथ ही,$P(A \cup \bar{B}) = P(A) + P(\bar{B}) - P(A \cap \bar{B}) = (x + 0.5) + (1 - 0.4) - 0.5 = x + 0.6$.
इन मानों को दिए गए समीकरण में रखने पर: $0.9 + \frac{x}{x + 0.6} = 1.15$.
$\frac{x}{x + 0.6} = 1.15 - 0.9 = 0.25 = \frac{1}{4}$.
$4x = x + 0.6 \implies 3x = 0.6 \implies x = 0.2$.
अतः,$P(A) = x + 0.5 = 0.2 + 0.5 = 0.7$.

(A) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ क्रमशः पात्रों $A, B, C$ को चुनने की घटनाएं हैं। चूंकि पात्र समान हैं,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$।
मान लीजिए $F$ लाल गेंद निकालने की घटना है।
प्रत्येक पात्र से लाल गेंद निकालने की प्रायिकताएं हैं:
$P(F|E_1) = \frac{2}{5}$
$P(F|E_2) = \frac{3}{5}$
$P(F|E_3) = \frac{1}{5}$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि निकाली गई गेंद लाल है तो उसके पात्र $C$ से होने की प्रायिकता:
$P(E_3|F) = \frac{P(F|E_3) \cdot P(E_3)}{P(F|E_1) \cdot P(E_1) + P(F|E_2) \cdot P(E_2) + P(F|E_3) \cdot P(E_3)}$
$P(E_3|F) = \frac{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} + \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}}$
$P(E_3|F) = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{2}{15} + \frac{3}{15} + \frac{1}{15}} = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{6}{15}} = \frac{1}{6}$।

(C) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि व्यक्ति बीमारी से पीड़ित है और $E_2$ वह घटना है कि व्यक्ति बीमारी से पीड़ित नहीं है। मान लीजिए $A$ वह घटना है कि नैदानिक परीक्षण सकारात्मक है।
दिया गया है:
$P(E_1) = 0.5 \% = 0.005$
$P(E_2) = 99.5 \% = 0.995$
$P(A|E_1) = 0.95$
$P(A|E_2) = 0.10$
हमें $P(E_1|A)$ ज्ञात करना है। बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(E_1|A) = \frac{P(E_1) \times P(A|E_1)}{P(E_1) \times P(A|E_1) + P(E_2) \times P(A|E_2)}$
$P(E_1|A) = \frac{0.005 \times 0.95}{(0.005 \times 0.95) + (0.995 \times 0.10)}$
$P(E_1|A) = \frac{0.00475}{0.00475 + 0.0995}$
$P(E_1|A) = \frac{0.00475}{0.10425} = \frac{475}{10425} \approx 0.0455$

(B) मान लीजिए $U_1$ और $U_2$ क्रमशः थैली $I$ और थैली $II$ के चयन की घटनाएँ हैं।
चूंकि थैलियों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,इसलिए $P(U_1) = P(U_2) = \frac{1}{2}$ है।
मान लीजिए $R$ लाल गेंद निकालने की घटना है।
थैली $I$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R|U_1) = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$ है।
थैली $II$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R|U_2) = \frac{5}{5+6} = \frac{5}{11}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि गेंद लाल है तो उसके थैली $II$ से निकाले जाने की प्रायिकता:
$P(U_2|R) = \frac{P(U_2) \times P(R|U_2)}{P(U_1) \times P(R|U_1) + P(U_2) \times P(R|U_2)}$.
मान रखने पर:
$P(U_2|R) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{5}{11}}{\frac{1}{2} \times \frac{3}{7} + \frac{1}{2} \times \frac{5}{11}} = \frac{\frac{5}{22}}{\frac{3}{14} + \frac{5}{22}} = \frac{\frac{5}{22}}{\frac{33+35}{154}} = \frac{5}{22} \times \frac{154}{68} = \frac{5 \times 7}{68} = \frac{35}{68}$.

(C) मान लीजिए $M$ वह घटना है कि व्यक्ति एक पुरुष है और $W$ वह घटना है कि व्यक्ति एक महिला है। चूंकि जनसंख्या पुरुषों और महिलाओं में विभाजित है,हम मानते हैं कि $P(M) = \frac{1}{2}$ और $P(W) = \frac{1}{2}$ है।
मान लीजिए $C$ वह घटना है कि व्यक्ति रंगहीन है।
दिया गया है: $P(C|M) = \frac{1}{20}$ और $P(C|W) = \frac{1}{10}$ है।
हमें उस व्यक्ति के पुरुष होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,यह जानते हुए कि वह रंगहीन है,यानी $P(M|C)$।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(M|C) = \frac{P(M) \cdot P(C|M)}{P(M) \cdot P(C|M) + P(W) \cdot P(C|W)}$
$P(M|C) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{20}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10}}$
$P(M|C) = \frac{\frac{1}{40}}{\frac{1}{40} + \frac{1}{20}} = \frac{\frac{1}{40}}{\frac{1+2}{40}} = \frac{1}{3}$.

(A) माना $E_1$ वह घटना है कि छात्र उत्तर का अनुमान लगाता है,$E_2$ वह घटना है कि छात्र उत्तर जानता है,और $E_3$ वह घटना है कि वह उत्तर की नकल करता है। माना $A$ वह घटना है कि उत्तर सही है।
दिया गया है कि,
$P(E_1) = \frac{1}{3}, P(E_3) = \frac{1}{12}$.
चूंकि घटनाएं निशेष हैं,$P(E_2) = 1 - P(E_1) - P(E_3) = 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{12-4-1}{12} = \frac{7}{12}$.
यदि वह अनुमान लगाता है तो उत्तर सही होने की प्रायिकता $P(A|E_1) = \frac{1}{4}$ है (क्योंकि $4$ विकल्प हैं)।
यदि वह उत्तर जानता है तो उत्तर सही होने की प्रायिकता $P(A|E_2) = 1$ है।
यदि वह नकल करता है तो उत्तर सही होने की प्रायिकता $P(A|E_3) = \frac{1}{6}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि उसने सही उत्तर दिया है तो उसके द्वारा उत्तर जानने की प्रायिकता:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{7}{12} \times 1}{(\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}) + (\frac{7}{12} \times 1) + (\frac{1}{12} \times \frac{1}{6})}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{7}{12}}{\frac{1}{12} + \frac{7}{12} + \frac{1}{72}} = \frac{\frac{7}{12}}{\frac{6 + 42 + 1}{72}} = \frac{7}{12} \times \frac{72}{49} = \frac{6}{7}$.

(D) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि कमजोर छात्र उत्तर जानता है,और $E_2$ वह घटना है कि कमजोर छात्र उत्तर का अनुमान लगाता है। मान लीजिए $A$ वह घटना है कि कमजोर छात्र सही उत्तर प्राप्त करता है।
हमें दिया गया है कि छात्र $20 \%$ उत्तर जानता है,इसलिए $P(E_1) = 0.20$। अनुमान लगाने की संभावना $P(E_2) = 1 - 0.20 = 0.80$ है।
यदि छात्र उत्तर जानता है,तो सही उत्तर प्राप्त करने की संभावना $P(A|E_1) = 1$ है।
चूंकि $4$ विकल्प हैं और केवल एक ही सही है,इसलिए सही उत्तर का अनुमान लगाने की संभावना $P(A|E_2) = \frac{1}{4} = 0.25$ है।
हमें वह संभावना ज्ञात करनी है कि छात्र ने अनुमान लगाया था,यह देखते हुए कि उसने सही उत्तर प्राप्त किया है,जो $P(E_2|A)$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2) \cdot P(A|E_2)}{P(E_1) \cdot P(A|E_1) + P(E_2) \cdot P(A|E_2)}$
$P(E_2|A) = \frac{0.80 \times 0.25}{(0.20 \times 1) + (0.80 \times 0.25)}$
$P(E_2|A) = \frac{0.20}{0.20 + 0.20} = \frac{0.20}{0.40} = 0.5$.

(A) माना $E_1$ थैली $P$ को चुनने की घटना है और $E_2$ थैली $Q$ को चुनने की घटना है।
चूंकि थैलियों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,इसलिए $P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$ है।
माना $A$ लाल गेंद निकालने की घटना है।
थैली $P$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(A|E_1) = \frac{5}{3+5} = \frac{5}{8}$ है।
थैली $Q$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(A|E_2) = \frac{6}{4+6} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि गेंद लाल है तो उसके थैली $Q$ से होने की प्रायिकता $P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)}$ है।
मान रखने पर:
$P(E_2|A) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{6}{10}}{\frac{1}{2} \times \frac{5}{8} + \frac{1}{2} \times \frac{6}{10}} = \frac{\frac{6}{10}}{\frac{5}{8} + \frac{6}{10}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{25+24}{40}} = \frac{3}{5} \times \frac{40}{49} = \frac{24}{49}$.

(A) मान लीजिए $E_1$ और $E_2$ वे घटनाएं हैं कि चुना गया छात्र क्रमशः महिला और पुरुष है। मान लीजिए $A$ वह घटना है कि चुना गया छात्र $1.8 \ m$ से अधिक लंबा है।
दिया गया है:
$P(E_1) = 60/100 = 0.6$
$P(E_2) = 40/100 = 0.4$
$P(A|E_1) = 1/100 = 0.01$
$P(A|E_2) = 4/100 = 0.04$
बेयस प्रमेय के अनुसार,यदि छात्र $1.8 \ m$ से अधिक लंबा है,तो उसके महिला होने की प्रायिकता है:
$P(E_1|A) = \frac{P(E_1) \cdot P(A|E_1)}{P(E_1) \cdot P(A|E_1) + P(E_2) \cdot P(A|E_2)}$
$P(E_1|A) = \frac{0.6 \times 0.01}{(0.6 \times 0.01) + (0.4 \times 0.04)}$
$P(E_1|A) = \frac{0.006}{0.006 + 0.016} = \frac{0.006}{0.022} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$

(D) मान लीजिए कि $A$,$B$,और $C$ के परीक्षा पास करने की प्रायिकताएं क्रमशः $P(T_A) = k$,$P(T_B) = 2k$,और $P(T_C) = 3k$ हैं,जो $1:2:3$ के अनुपात पर आधारित हैं।
मान लीजिए $I$ वह घटना है कि कोई व्यक्ति साक्षात्कार को सफलतापूर्वक पार करता है। सशर्त प्रायिकताएं $P(I|T_A) = 0.8$,$P(I|T_B) = 0.7$,और $P(I|T_C) = 0.6$ हैं।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि $A$ चुना जाता है,यह देखते हुए कि उनमें से एक का चयन किया गया है। इसकी गणना बेयस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है:
$P(A|I) = \frac{P(T_A) \times P(I|T_A)}{P(T_A) \times P(I|T_A) + P(T_B) \times P(I|T_B) + P(T_C) \times P(I|T_C)}$
$P(A|I) = \frac{k \times 0.8}{k \times 0.8 + 2k \times 0.7 + 3k \times 0.6}$
$P(A|I) = \frac{0.8k}{0.8k + 1.4k + 1.8k} = \frac{0.8k}{4.0k} = \frac{0.8}{4} = \frac{1}{5}$.

(C) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ वे घटनाएँ हैं कि रेफ्रिजरेटर क्रमशः कंपनियों $C_1, C_2, C_3$ से है। मान लीजिए $D$ वह घटना है कि रेफ्रिजरेटर खराब है।
दी गई प्रायिकताएँ हैं:
$P(E_1) = 0.25, P(E_2) = 0.35, P(E_3) = 0.40$
$P(D|E_1) = 0.03, P(D|E_2) = 0.02, P(D|E_3) = 0.01$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,खराब रेफ्रिजरेटर के $C_2$ से होने की प्रायिकता है:
$P(E_2|D) = \frac{P(E_2) \cdot P(D|E_2)}{P(E_1) \cdot P(D|E_1) + P(E_2) \cdot P(D|E_2) + P(E_3) \cdot P(D|E_3)}$
$P(E_2|D) = \frac{0.35 \times 0.02}{(0.25 \times 0.03) + (0.35 \times 0.02) + (0.40 \times 0.01)}$
$P(E_2|D) = \frac{0.0070}{0.0075 + 0.0070 + 0.0040} = \frac{0.0070}{0.0185}$
$P(E_2|D) = \frac{70}{185} = \frac{14}{37}$

(D) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3, E_4$ क्रमशः बक्से $A, B, C, D$ चुनने की घटनाएं हैं। मान लीजिए $F$ वह घटना है कि चुना गया फ्यूज दोषपूर्ण है।
$P(E_1) = \frac{5000}{11000} = \frac{5}{11}, P(E_2) = \frac{3000}{11000} = \frac{3}{11}, P(E_3) = \frac{2000}{11000} = \frac{2}{11}, P(E_4) = \frac{1000}{11000} = \frac{1}{11}$.
दोषपूर्ण फ्यूज चुनने की सशर्त प्रायिकताएं हैं:
$P(F|E_1) = \frac{3}{100}, P(F|E_2) = \frac{2}{100}, P(F|E_3) = \frac{1}{100}, P(F|E_4) = \frac{0.5}{100} = \frac{1}{200}$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,इस बात की प्रायिकता कि दोषपूर्ण फ्यूज बॉक्स $D$ से आया है,$P(E_4|F) = \frac{P(E_4)P(F|E_4)}{\sum_{i=1}^{4} P(E_i)P(F|E_i)}$ है।
$P(E_4|F) = \frac{\frac{1}{11} \times \frac{1}{200}}{\frac{5}{11} \times \frac{3}{100} + \frac{3}{11} \times \frac{2}{100} + \frac{2}{11} \times \frac{1}{100} + \frac{1}{11} \times \frac{1}{200}}$.
$P(E_4|F) = \frac{\frac{1}{2200}}{\frac{15}{1100} + \frac{6}{1100} + \frac{2}{1100} + \frac{1}{2200}} = \frac{\frac{1}{2200}}{\frac{30+12+4+1}{2200}} = \frac{1}{47}$.

(C) माना $E_1$ वह घटना है कि छात्र बिना अनुमान लगाए उत्तर देता है,और $E_2$ वह घटना है कि छात्र अनुमान लगाकर उत्तर देता है। दिया गया है $P(E_2) = 3/7$,इसलिए $P(E_1) = 1 - 3/7 = 4/7$.
माना $A$ वह घटना है कि कम से कम $3$ प्रश्नों के सही उत्तर दिए गए हैं।
$E_1$ के लिए (बिना अनुमान लगाए),सफलता की प्रायिकता $p = 2/3$ है। द्विपद वितरण $B(4, 2/3)$ का उपयोग करते हुए:
$P(A|E_1) = \binom{4}{3} (2/3)^3 (1/3)^1 + \binom{4}{4} (2/3)^4 = 4 \cdot (8/27) \cdot (1/3) + 16/81 = 32/81 + 16/81 = 48/81 = 16/27$.
$E_2$ के लिए (अनुमान लगाकर),सफलता की प्रायिकता $p = 1/2$ है। द्विपद वितरण $B(4, 1/2)$ का उपयोग करते हुए:
$P(A|E_2) = \binom{4}{3} (1/2)^4 + \binom{4}{4} (1/2)^4 = 5/16$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,हमें $P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)}$ ज्ञात करना है।
$P(E_1|A) = \frac{(4/7) \cdot (16/27)}{(4/7) \cdot (16/27) + (3/7) \cdot (5/16)} = \frac{64/189}{64/189 + 15/112} = \frac{1024}{1429}$.

(A) मान लीजिए $E_1$,$E_2$ और $E_3$ वे घटनाएं हैं कि चयनित परीक्षार्थी क्रमशः स्नातक,स्नातकोत्तर और डॉक्टरेट धारक है।
कुल परीक्षार्थी = $5000 + 2000 + 1000 = 8000$.
$P(E_1) = \frac{5000}{8000} = \frac{5}{8}$,$P(E_2) = \frac{2000}{8000} = \frac{1}{4}$,$P(E_3) = \frac{1000}{8000} = \frac{1}{8}$.
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि परीक्षार्थी परीक्षा उत्तीर्ण करता है।
$P(A|E_1) = \frac{2}{3}$,$P(A|E_2) = \frac{3}{4}$,$P(A|E_3) = \frac{4}{5}$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि परीक्षार्थी उत्तीर्ण हुआ है तो उसके स्नातकोत्तर होने की प्रायिकता:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2) \times P(A|E_2)}{P(E_1) \times P(A|E_1) + P(E_2) \times P(A|E_2) + P(E_3) \times P(A|E_3)}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{2}{8} \times \frac{3}{4}}{\frac{5}{8} \times \frac{2}{3} + \frac{2}{8} \times \frac{3}{4} + \frac{1}{8} \times \frac{4}{5}}$
$P(E_2|A) = \frac{45}{169}$.

(A) कुल सिक्कों की संख्या $= 2n+1$.
दोनों तरफ चित वाले सिक्कों की संख्या $= n$.
निष्पक्ष सिक्कों की संख्या $= n+1$.
मान लीजिए $H$ वह घटना है कि सिक्का उछालने पर चित आता है।
दोनों तरफ चित वाला सिक्का चुनने की प्रायिकता $\frac{n}{2n+1}$ है,और ऐसे सिक्के के लिए $P(H) = 1$ है।
निष्पक्ष सिक्का चुनने की प्रायिकता $\frac{n+1}{2n+1}$ है,और ऐसे सिक्के के लिए $P(H) = \frac{1}{2}$ है।
संपूर्ण प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(H) = \left(\frac{n}{2n+1}\right) \times 1 + \left(\frac{n+1}{2n+1}\right) \times \frac{1}{2} = \frac{31}{42}$
$\frac{2n + n + 1}{2(2n+1)} = \frac{31}{42}$
$\frac{3n+1}{4n+2} = \frac{31}{42}$
$42(3n+1) = 31(4n+2)$
$126n + 42 = 124n + 62$
$2n = 20$
$n = 10$