Baye's theorem Questions in Hindi

(A) यदि $A, B,$ और $C$ परस्पर स्वतंत्र हैं,तो $P(A \cap B) = P(A)P(B), P(A \cap C) = P(A)P(C),$ और $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$ है।
$S_1$ के लिए: $P(A \cap (B \cup C)) = P((A \cap B) \cup (A \cap C)) = P(A \cap B) + P(A \cap C) - P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B) + P(A)P(C) - P(A)P(B)P(C) = P(A)[P(B) + P(C) - P(B)P(C)] = P(A)P(B \cup C)$। अतः,$S_1$ सत्य है।
$S_2$ के लिए: $P(A \cap (B \cap C)) = P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C) = P(A)P(B \cap C)$। अतः,$S_2$ सत्य है।

(B) माना कुल छात्रों की संख्या $100$ है।
चूंकि लड़कियाँ कुल छात्रों का $60\%$ हैं,इसलिए लड़कियों की संख्या $60$ है और लड़कों की संख्या $100 - 60 = 40$ है।
गणित का अध्ययन करने वाले लड़कों की संख्या $= 40$ का $25\% = \frac{25}{100} \times 40 = 10$।
गणित का अध्ययन करने वाली लड़कियों की संख्या $= 60$ का $10\% = \frac{10}{100} \times 60 = 6$।
गणित का अध्ययन करने वाले कुल छात्रों की संख्या $= 10 + 6 = 16$।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि छात्र गणित का अध्ययन कर रहा है,तो उसके लड़की होने की प्रायिकता:
$P(\text{Girl} | \text{Maths}) = \frac{\text{गणित का अध्ययन करने वाली लड़कियों की संख्या}}{\text{गणित का अध्ययन करने वाले कुल छात्रों की संख्या}} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$।

(B) माना $A_1$ वह घटना है कि पत्र $LONDON$ से आया है और $A_2$ वह घटना है कि पत्र $CLIFTON$ से आया है। चूँकि स्रोत निर्दिष्ट नहीं है,हम मानते हैं कि $P(A_1) = P(A_2) = \frac{1}{2}$ है।
माना $E$ वह घटना है कि पोस्टमार्क पर दो लगातार अक्षर $ON$ स्पष्ट हैं।
$LONDON$ (लंबाई $6$) में,$5$ लगातार अक्षरों के जोड़े हैं: $(LO, ON, ND, DO, ON)$। इनमें से,$2$ जोड़े $ON$ हैं। अतः,$P(E|A_1) = \frac{2}{5}$ है।
$CLIFTON$ (लंबाई $7$) में,$6$ लगातार अक्षरों के जोड़े हैं: $(CL, LI, IF, FT, TO, ON)$। इनमें से,$1$ जोड़ा $ON$ है। अतः,$P(E|A_2) = \frac{1}{6}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यह प्रायिकता कि पत्र $LONDON$ से आया है,जबकि $ON$ स्पष्ट है:
$P(A_1|E) = \frac{P(A_1)P(E|A_1)}{P(A_1)P(E|A_1) + P(A_2)P(E|A_2)}$
$P(A_1|E) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{2}{5}}{\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{6}}$
$P(A_1|E) = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{5} + \frac{1}{6}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{12+5}{30}} = \frac{2}{5} \times \frac{30}{17} = \frac{12}{17}$.

(A) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ क्रमशः थैला $I$,थैला $II$ और थैला $III$ चुनने की घटनाएँ हैं। चूँकि थैला यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,इसलिए $P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि निकाली गई गेंद काली है।
प्रत्येक थैले से काली गेंद निकालने की प्रायिकताएँ इस प्रकार हैं:
$P(A|E_1) = \frac{3}{2+3} = \frac{3}{5}$
$P(A|E_2) = \frac{1}{4+1} = \frac{1}{5}$
$P(A|E_3) = \frac{7}{3+7} = \frac{7}{10}$
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि गेंद सबसे अधिक काली गेंदों वाले थैले से निकाली गई थी,जो कि थैला $III$ है। बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(E_3|A) = \frac{P(E_3)P(A|E_3)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)}$
$P(E_3|A) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{7}{10}}{\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{7}{10}}$
$P(E_3|A) = \frac{\frac{7}{30}}{\frac{6}{30} + \frac{2}{30} + \frac{7}{30}} = \frac{7}{15}$.

(A) माना $E$ वह घटना है कि $6$ आता है और $E'$ वह घटना है कि $6$ नहीं आता है।
माना $A$ वह घटना है कि व्यक्ति बताता है कि यह $6$ है।
हमारे पास $P(E) = \frac{1}{6}$ और $P(E') = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
व्यक्ति के सच बोलने की प्रायिकता $P(T) = \frac{3}{4}$ है,इसलिए उसके झूठ बोलने की प्रायिकता $P(L) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ है।
यदि $6$ आता है $(E)$,तो वह सच बोलता है तो ही वह $6$ बताएगा। अतः,$P(A|E) = \frac{3}{4}$।
यदि $6$ नहीं आता है $(E')$,तो वह झूठ बोलता है तो ही वह $6$ बताएगा। अतः,$P(A|E') = \frac{1}{4}$।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,उसके $6$ बताने पर वास्तव में $6$ होने की प्रायिकता:
$P(E|A) = \frac{P(E) \times P(A|E)}{P(E) \times P(A|E) + P(E') \times P(A|E')}$
$P(E|A) = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{3}{4}}{(\frac{1}{6} \times \frac{3}{4}) + (\frac{5}{6} \times \frac{1}{4})}$
$P(E|A) = \frac{\frac{3}{24}}{\frac{3}{24} + \frac{5}{24}} = \frac{3}{8}$.

(D) माना $E_1$ थैली $A$ से गेंद निकालने की घटना है,$E_2$ थैली $B$ से गेंद निकालने की घटना है,और $E$ निकाली गई गेंद के लाल होने की घटना है।
हमें $P(E_2|E)$ ज्ञात करना है।
चूंकि दोनों थैलियों के चुने जाने की प्रायिकता समान है,इसलिए $P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$ है।
थैली $A$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(E|E_1) = \frac{3}{5}$ है,और थैली $B$ से $P(E|E_2) = \frac{5}{9}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(E_2|E) = \frac{P(E_2) \cdot P(E|E_2)}{P(E_1) \cdot P(E|E_1) + P(E_2) \cdot P(E|E_2)}$
$P(E_2|E) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{9}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{9}}$
$P(E_2|E) = \frac{\frac{5}{18}}{\frac{3}{10} + \frac{5}{18}} = \frac{\frac{5}{18}}{\frac{27 + 25}{90}} = \frac{5}{18} \cdot \frac{90}{52} = \frac{25}{52}$.

(C) यह समस्या बेयस प्रमेय (Bayes' Theorem) का उपयोग करके हल की जाती है।
मान लीजिए $A$ थैली $A$ को चुनने की घटना है,और $B$ थैली $B$ को चुनने की घटना है।
$P(A) = \frac{1}{2}$,$P(B) = \frac{1}{2}$।
मान लीजिए $G$ एक हरी गेंद निकालने की घटना है।
थैली $A$ से हरी गेंद निकालने की प्रायिकता $P(G|A) = \frac{4}{7}$ है।
थैली $B$ से हरी गेंद निकालने की प्रायिकता $P(G|B) = \frac{3}{7}$ है।
बेयस प्रमेय के अनुसार,यदि निकाली गई गेंद हरी है,तो उसके थैली $B$ से होने की प्रायिकता:
$P(B|G) = \frac{P(B) \times P(G|B)}{P(A) \times P(G|A) + P(B) \times P(G|B)}$
मान रखने पर:
$P(B|G) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{3}{7}}{(\frac{1}{2} \times \frac{4}{7}) + (\frac{1}{2} \times \frac{3}{7})}$
$P(B|G) = \frac{\frac{3}{14}}{\frac{4}{14} + \frac{3}{14}} = \frac{\frac{3}{14}}{\frac{7}{14}} = \frac{3}{7}$।

(B) मान लीजिए $E$ वह घटना है कि चुना गया छात्र एक लड़की है। मान लीजिए $S_i$ वह घटना है कि स्कूल $B_i$ चुना गया है,जहाँ $i = 1, 2, 3, 4$ है।
चूंकि स्कूल को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,$P(S_1) = P(S_2) = P(S_3) = P(S_4) = \frac{1}{4}$ है।
प्रत्येक स्कूल से एक लड़की को चुनने की सशर्त प्रायिकताएँ $P(E|S_1) = \frac{12}{100}$,$P(E|S_2) = \frac{20}{100}$,$P(E|S_3) = \frac{13}{100}$,और $P(E|S_4) = \frac{17}{100}$ हैं।
बेयस प्रमेय के अनुसार,यह देखते हुए कि छात्र एक लड़की है,चुने गए स्कूल के $B_2$ होने की प्रायिकता है:
$P(S_2|E) = \frac{P(S_2)P(E|S_2)}{\sum_{i=1}^{4} P(S_i)P(E|S_i)}$
$P(S_2|E) = \frac{\frac{1}{4} \times \frac{20}{100}}{\frac{1}{4} \times (\frac{12}{100} + \frac{20}{100} + \frac{13}{100} + \frac{17}{100})}$
$P(S_2|E) = \frac{20}{12 + 20 + 13 + 17} = \frac{20}{62} = \frac{10}{31}$.

(A) मान लीजिए $R_1$ वह घटना है कि कलश $A$ से एक लाल गेंद निकाली जाती है और $B$ में रखी जाती है,और $B_1$ वह घटना है कि कलश $A$ से एक काली गेंद निकाली जाती है और $B$ में रखी जाती है।
$P(R_1) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$,$P(B_1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
गेंद स्थानांतरित करने के बाद,कलश $B$ में $11$ गेंदें हैं।
यदि $R_1$ घटित होता है,तो $B$ में $5$ लाल और $6$ काली गेंदें हैं। $P(R_2|R_1) = \frac{5}{11}$,$P(B_2|R_1) = \frac{6}{11}$.
यदि $B_1$ घटित होता है,तो $B$ में $4$ लाल और $7$ काली गेंदें हैं। $P(R_2|B_1) = \frac{4}{11}$,$P(B_2|B_1) = \frac{7}{11}$.
$A$ में वापस स्थानांतरित करने के बाद,कलश $A$ में $10$ गेंदें हैं।
यदि $R_1$ और $R_2$ घटित होते हैं,तो $A$ में $6$ लाल गेंदें हैं। $P(R|R_1, R_2) = \frac{6}{10}$.
यदि $R_1$ और $B_2$ घटित होते हैं,तो $A$ में $5$ लाल गेंदें हैं। $P(R|R_1, B_2) = \frac{5}{10}$.
यदि $B_1$ और $R_2$ घटित होते हैं,तो $A$ में $7$ लाल गेंदें हैं। $P(R|B_1, R_2) = \frac{7}{10}$.
यदि $B_1$ और $B_2$ घटित होते हैं,तो $A$ में $6$ लाल गेंदें हैं। $P(R|B_1, B_2) = \frac{6}{10}$.
कुल प्रायिकता $P(R) = P(R_1)P(R_2|R_1)P(R|R_1, R_2) + P(R_1)P(B_2|R_1)P(R|R_1, B_2) + P(B_1)P(R_2|B_1)P(R|B_1, R_2) + P(B_1)P(B_2|B_1)P(R|B_1, B_2)$.
$P(R) = (\frac{6}{10} \times \frac{5}{11} \times \frac{6}{10}) + (\frac{6}{10} \times \frac{6}{11} \times \frac{5}{10}) + (\frac{4}{10} \times \frac{4}{11} \times \frac{7}{10}) + (\frac{4}{10} \times \frac{7}{11} \times \frac{6}{10})$.
$P(R) = \frac{180 + 180 + 112 + 168}{1100} = \frac{640}{1100} = \frac{64}{110} = \frac{32}{55}$.

(A) मान लीजिए $E_1$ थैली $A$ को चुनने की घटना है और $E_2$ थैली $B$ को चुनने की घटना है।
मान लीजिए $R$ लाल गेंद निकालने की घटना है।
चूंकि थैलियों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,इसलिए $P(E_1) = P(E_2) = 1/2$ है।
थैली $A$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R|E_1) = 3/5$ है।
थैली $B$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R|E_2) = 5/9$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि निकाली गई गेंद लाल है,तो उसके थैली $B$ से होने की प्रायिकता:
$P(E_2|R) = \frac{P(E_2)P(R|E_2)}{P(E_1)P(R|E_1) + P(E_2)P(R|E_2)}$
$P(E_2|R) = \frac{(1/2) \times (5/9)}{(1/2) \times (3/5) + (1/2) \times (5/9)}$
$P(E_2|R) = \frac{5/18}{3/10 + 5/18} = \frac{5/18}{(27+25)/90} = \frac{5/18}{52/90}$
$P(E_2|R) = \frac{5}{18} \times \frac{90}{52} = \frac{5 \times 5}{52} = \frac{25}{52}$.

(D) मान लीजिए $H$ वह घटना है कि सिक्का हेड दर्शाता है और $T$ वह घटना है कि सिक्का टेल दर्शाता है। $P(H) = P(T) = 1/2$.
मान लीजिए $W$ वह घटना है कि $U_2$ से निकाली गई गेंद सफेद है।
यदि $H$ घटित होता है,तो $U_1$ से $1$ गेंद $U_2$ में स्थानांतरित की जाती है। $U_1$ में $3W, 2R$ हैं। $W$ स्थानांतरित होने की प्रायिकता $3/5$ है,और $R$ की $2/5$ है।
यदि $W$ स्थानांतरित होता है,तो $U_2$ में $2W$ होते हैं। $P(W|H_W) = 1$. यदि $R$ स्थानांतरित होता है,तो $U_2$ में $1W, 1R$ होते हैं। $P(W|H_R) = 1/2$.
$P(W|H) = (3/5 \times 1) + (2/5 \times 1/2) = 3/5 + 1/5 = 4/5$.
यदि $T$ घटित होता है,तो $U_1$ से $2$ गेंदें $U_2$ में स्थानांतरित की जाती हैं। संभावित स्थानांतरण: $2W$ (प्रायिकता $^3C_2/^5C_2 = 3/10$),$1W, 1R$ (प्रायिकता $(^3C_1 \times ^2C_1)/^5C_2 = 6/10$),$2R$ (प्रायिकता $^2C_2/^5C_2 = 1/10$).
यदि $2W$ स्थानांतरित होता है,तो $U_2$ में $3W$ होते हैं। $P(W|T_{2W}) = 1$.
यदि $1W, 1R$ स्थानांतरित होता है,तो $U_2$ में $2W, 1R$ होते हैं। $P(W|T_{1W1R}) = 2/3$.
यदि $2R$ स्थानांतरित होता है,तो $U_2$ में $1W, 2R$ होते हैं। $P(W|T_{2R}) = 1/3$.
$P(W|T) = (3/10 \times 1) + (6/10 \times 2/3) + (1/10 \times 1/3) = 3/10 + 4/10 + 1/30 = 9/30 + 12/30 + 1/30 = 22/30 = 11/15$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(H|W) = \frac{P(W|H)P(H)}{P(W|H)P(H) + P(W|T)P(T)} = \frac{(4/5 \times 1/2)}{(4/5 \times 1/2) + (11/15 \times 1/2)} = \frac{4/10}{4/10 + 11/30} = \frac{12/30}{12/30 + 11/30} = 12/23$.

(B) थैले $A$ में $2$ सफेद,$3$ काली,$4$ लाल गेंदें हैं (कुल = $9$)।
थैले $B$ में $3$ सफेद,$4$ काली,$5$ लाल गेंदें हैं (कुल = $12$)।
$P(W_A) = 2/9, P(B_A) = 3/9, P(R_A) = 4/9$।
थैले $B$ में गेंद स्थानांतरित करने के बाद,कुल $13$ गेंदें हो जाती हैं।
यदि $W_A$ घटित होता है,तो थैले $B$ में $4$ सफेद गेंदें होती हैं। $P(W_B|W_A) = 4/13$।
यदि $B_A$ घटित होता है,तो थैले $B$ में $3$ सफेद गेंदें होती हैं। $P(W_B|B_A) = 3/13$।
यदि $R_A$ घटित होता है,तो थैले $B$ में $3$ सफेद गेंदें होती हैं। $P(W_B|R_A) = 3/13$।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(W_B) = (2/9 \times 4/13) + (3/9 \times 3/13) + (4/9 \times 3/13) = 29/117$।

(D) माना $E_1$ थैला $A$ चुनने की घटना है और $E_2$ थैला $B$ चुनने की घटना है।
माना $R$ लाल गेंद चुनने की घटना है।
हमारे पास $P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$ है।
थैला $A$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R|E_1) = \frac{3}{2+3} = \frac{3}{5}$ है।
थैला $B$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R|E_2) = \frac{5}{4+5} = \frac{5}{9}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,लाल गेंद के थैला $B$ से निकाले जाने की प्रायिकता है:
$P(E_2|R) = \frac{P(E_2) \times P(R|E_2)}{P(E_1) \times P(R|E_1) + P(E_2) \times P(R|E_2)}$
$P(E_2|R) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{5}{9}}{\frac{1}{2} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{5}{9}}$
$P(E_2|R) = \frac{\frac{5}{18}}{\frac{3}{10} + \frac{5}{18}} = \frac{\frac{5}{18}}{\frac{27+25}{90}} = \frac{5}{18} \times \frac{90}{52} = \frac{25}{52}$.

(NONE) मान लीजिए $H$ वह घटना है कि सिक्के पर हेड आता है और $T$ वह घटना है कि सिक्के पर टेल आता है। $P(H) = P(T) = 1/2$.
मान लीजिए $W$ वह घटना है कि $U_2$ से निकाली गई गेंद सफेद है।
स्थिति $1$: यदि $H$ घटित होता है,तो $U_1$ से $1$ गेंद $U_2$ में स्थानांतरित की जाती है। $U_1$ में $3W, 2R$ हैं। सफेद गेंद स्थानांतरित होने की प्रायिकता $3/5$ और लाल गेंद स्थानांतरित होने की प्रायिकता $2/5$ है।
यदि $W$ स्थानांतरित होता है,तो $U_2$ में $2W$ हो जाते हैं। $P(W|H, \text{trans } W) = 1$.
यदि $R$ स्थानांतरित होता है,तो $U_2$ में $1W, 1R$ हो जाते हैं। $P(W|H, \text{trans } R) = 1/2$.
$P(W|H) = (3/5 \times 1) + (2/5 \times 1/2) = 3/5 + 1/5 = 4/5$.
स्थिति $2$: यदि $T$ घटित होता है,तो $U_1$ से $2$ गेंदें $U_2$ में स्थानांतरित की जाती हैं। संभावित जोड़े $(2W), (1W, 1R), (0W, 2R)$ हैं।
$P(2W) = \binom{3}{2} / \binom{5}{2} = 3/10$.
$P(1W, 1R) = (\binom{3}{1} \times \binom{2}{1}) / \binom{5}{2} = 6/10$.
$P(0W, 2R) = \binom{2}{2} / \binom{5}{2} = 1/10$.
यदि $2W$ स्थानांतरित होते हैं,$U_2$ में $3W$ हो जाते हैं। $P(W|T, 2W) = 1$.
यदि $1W, 1R$ स्थानांतरित होते हैं,$U_2$ में $2W, 1R$ हो जाते हैं। $P(W|T, 1W, 1R) = 2/3$.
यदि $0W, 2R$ स्थानांतरित होते हैं,$U_2$ में $1W, 2R$ हो जाते हैं। $P(W|T, 0W, 2R) = 1/3$.
$P(W|T) = (3/10 \times 1) + (6/10 \times 2/3) + (1/10 \times 1/3) = 3/10 + 4/10 + 1/30 = 7/10 + 1/30 = 22/30 = 11/15$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(H|W) = \frac{P(H)P(W|H)}{P(H)P(W|H) + P(T)P(W|T)} = \frac{1/2 \times 4/5}{1/2 \times 4/5 + 1/2 \times 11/15} = \frac{2/5}{2/5 + 11/30} = \frac{12/30}{12/30 + 11/30} = 12/23$.

(B) माना $A_1$ वह घटना है कि लापता पत्ता काला है,और $A_2$ वह घटना है कि लापता पत्ता लाल है। माना $E$ वह घटना है कि जांचे गए पहले $13$ पत्ते लाल हैं।
हमें $P(A_1|E)$ ज्ञात करना है।
प्रारंभ में,$52$ पत्तों के पैकेट में $26$ लाल और $26$ काले पत्ते होते हैं। चूंकि एक पत्ता लापता है,$P(A_1) = P(A_2) = \frac{1}{2}$।
यदि $A_1$ घटित होता है (लापता पत्ता काला है),तो $26$ लाल और $25$ काले पत्ते बचते हैं। $13$ लाल पत्ते चुनने की प्रायिकता $P(E|A_1) = \frac{^{26}C_{13}}{^{51}C_{13}}$ है।
यदि $A_2$ घटित होता है (लापता पत्ता लाल है),तो $25$ लाल और $26$ काले पत्ते बचते हैं। $13$ लाल पत्ते चुनने की प्रायिकता $P(E|A_2) = \frac{^{25}C_{13}}{^{51}C_{13}}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(A_1|E) = \frac{P(E|A_1)P(A_1)}{P(E|A_1)P(A_1) + P(E|A_2)P(A_2)}$
$P(A_1|E) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{^{26}C_{13}}{^{51}C_{13}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{^{26}C_{13}}{^{51}C_{13}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{^{25}C_{13}}{^{51}C_{13}}}$
$P(A_1|E) = \frac{^{26}C_{13}}{^{26}C_{13} + ^{25}C_{13}} = \frac{2}{3}$.

(C) माना $E_{1}$ पहले समूह से थैला चुनने की घटना है और $E_{2}$ दूसरे समूह से थैला चुनने की घटना है।
माना $W$ सफेद गेंद निकालने की घटना है।
पहले समूह में $3$ थैले हैं और दूसरे समूह में $2$ थैले हैं,कुल $5$ थैले हैं।
$P(E_{1}) = \frac{3}{5}$ और $P(E_{2}) = \frac{2}{5}$.
पहले समूह में,प्रत्येक थैले में $5$ सफेद और $3$ काली गेंदें हैं,इसलिए $P(W|E_{1}) = \frac{5}{5+3} = \frac{5}{8}$.
दूसरे समूह में,प्रत्येक थैले में $2$ सफेद और $4$ काली गेंदें हैं,इसलिए $P(W|E_{2}) = \frac{2}{2+4} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,प्रायिकता कि सफेद गेंद पहले समूह से है:
$P(E_{1}|W) = \frac{P(E_{1})P(W|E_{1})}{P(E_{1})P(W|E_{1}) + P(E_{2})P(W|E_{2})}$
$P(E_{1}|W) = \frac{\frac{3}{5} \times \frac{5}{8}}{\frac{3}{5} \times \frac{5}{8} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{3}}$
$P(E_{1}|W) = \frac{\frac{3}{8}}{\frac{3}{8} + \frac{2}{15}} = \frac{\frac{3}{8}}{\frac{45+16}{120}} = \frac{3}{8} \times \frac{120}{61} = \frac{3 \times 15}{61} = \frac{45}{61}$.

(D) मान लीजिए $E_1$ सिक्का $A$ चुनने की घटना है और $E_2$ सिक्का $B$ चुनने की घटना है। चूँकि एक सिक्का यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,$P(E_1) = 1/2$ और $P(E_2) = 1/2$ है।
मान लीजिए $H$ वह घटना है जिसमें दोनों बार चित आता है।
दिया गया है कि $P(H|E_1) = (1/4)^2 = 1/16$ और $P(H|E_2) = (3/4)^2 = 9/16$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि दोनों बार चित आया है तो सिक्के के $A$ होने की प्रायिकता:
$P(E_1|H) = \frac{P(E_1)P(H|E_1)}{P(E_1)P(H|E_1) + P(E_2)P(H|E_2)}$
$P(E_1|H) = \frac{(1/2)(1/16)}{(1/2)(1/16) + (1/2)(9/16)}$
$P(E_1|H) = \frac{1/32}{1/32 + 9/32} = \frac{1/32}{10/32} = 1/10$.

(A) माना $E$ एक सफेद और एक लाल गेंद निकालने की घटना है। $H_A$ और $H_B$ क्रमशः बॉक्स $A$ और बॉक्स $B$ चुनने की घटनाएँ हैं। $P(H_A) = P(H_B) = \frac{1}{2}$ है।
बॉक्स $A$ से एक सफेद और एक लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(E|H_A) = \frac{^2C_1 \times ^3C_1}{^7C_2} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$ है।
बॉक्स $B$ से एक सफेद और एक लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(E|H_B) = \frac{^4C_1 \times ^2C_1}{^9C_2} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,बॉक्स $B$ से गेंदें निकाले जाने की प्रायिकता:
$P(H_B|E) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{2}{9}}{\frac{1}{2} \times \frac{2}{7} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{9}} = \frac{7}{16}$.

(B) मान लीजिए कि कलश में दो गेंदों की प्रारंभिक स्थिति सफेद गेंदों की संख्या $W$ द्वारा दर्शाई गई है। चूंकि प्रत्येक गेंद सफेद या काली हो सकती है,इसलिए संभावित प्रारंभिक स्थितियाँ $0$ सफेद गेंदें $(BB)$,$1$ सफेद गेंद $(BW)$,या $2$ सफेद गेंदें $(WW)$ हैं। यह मानते हुए कि प्रत्येक स्थिति समान रूप से संभावित है,प्रत्येक के लिए पूर्व प्रायिकता $P(S_i) = \frac{1}{3}$ है।
एक सफेद गेंद डालने के बाद,नई स्थितियाँ इस प्रकार हैं:
$1) BB \to BBW$ (सफेद गेंदों की संख्या = $1$,कुल = $3$)
$2) BW \to BWW$ (सफेद गेंदों की संख्या = $2$,कुल = $3$)
$3) WW \to WWW$ (सफेद गेंदों की संख्या = $3$,कुल = $3$)
स्थिति $S_i$ दिए जाने पर सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W|S_i) = \frac{\text{सफेद गेंदें}}{3}$ है।
$P(W|S_1) = \frac{1}{3}$,$P(W|S_2) = \frac{2}{3}$,$P(W|S_3) = \frac{3}{3} = 1$.
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए: $P(W) = \sum P(W|S_i)P(S_i) = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + 1) = \frac{1}{3} \times (\frac{6}{3}) = \frac{2}{3}$.

(C) मान लीजिए $H$ चित आने की घटना है और $T$ पट आने की घटना है। $P(H) = \frac{1}{2}$ और $P(T) = \frac{1}{2}$।
स्थिति $1$: यदि चित आता है,तो दो पासे फेंके जाते हैं। योग $7$ या $8$ हो सकता है। योग $7$ के लिए जोड़े $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ ($6$ परिणाम) हैं और $8$ के लिए $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ ($5$ परिणाम) हैं। कुल परिणाम = $36$।
$P(7 \text{ या } 8 | H) = \frac{6+5}{36} = \frac{11}{36}$।
स्थिति $2$: यदि पट आता है,तो $9$ कार्डों में से एक कार्ड चुना जाता है। अनुकूल संख्याएँ $7$ और $8$ हैं।
$P(7 \text{ या } 8 | T) = \frac{2}{9}$।
कुल प्रायिकता $P(7 \text{ या } 8) = P(H) \times P(7 \text{ या } 8 | H) + P(T) \times P(7 \text{ या } 8 | T)$
$= \frac{1}{2} \times \frac{11}{36} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{9} = \frac{11}{72} + \frac{1}{9} = \frac{11+8}{72} = \frac{19}{72}$।

(A) दी गई जानकारी को निम्नलिखित तालिका में व्यवस्थित किया जा सकता है:

प्रकार	सही/गलत | बहुविकल्पीय | कुल
आसान	$300$ | $500$ | $800$
कठिन	$200$ | $400$ | $600$
कुल	$500$ | $900$ | $1400$

मान लीजिए $E$ वह घटना है कि प्रश्न आसान है और $M$ वह घटना है कि प्रश्न बहुविकल्पीय है।
बहुविकल्पीय प्रश्नों की कुल संख्या $= 900$ है।
आसान बहुविकल्पीय प्रश्नों की संख्या $= 500$ है।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(E | M)$ ज्ञात करनी है,जो यह प्रायिकता है कि प्रश्न आसान है,यह देखते हुए कि वह एक बहुविकल्पीय प्रश्न है।
सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$P(E | M) = \frac{n(E \cap M)}{n(M)}$
जहाँ $n(E \cap M)$ आसान बहुविकल्पीय प्रश्नों की संख्या है और $n(M)$ बहुविकल्पीय प्रश्नों की कुल संख्या है।
$P(E | M) = \frac{500}{900} = \frac{5}{9}$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{5}{9}$ है।

(A) माना $E_1$ थैली $I$ चुनने की घटना है,$E_2$ थैली $II$ चुनने की घटना है और $A$ लाल गेंद निकालने की घटना है।
अतः $P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$.
थैली $I$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(A|E_1) = \frac{3}{7}$ है।
थैली $II$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(A|E_2) = \frac{5}{11}$ है।
हमें $P(E_2|A)$ ज्ञात करना है। बेयस प्रमेय के अनुसार:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)}$
मान रखने पर:
$P(E_2|A) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{5}{11}}{\frac{1}{2} \times \frac{3}{7} + \frac{1}{2} \times \frac{5}{11}}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{5}{22}}{\frac{3}{14} + \frac{5}{22}} = \frac{\frac{5}{22}}{\frac{33 + 35}{154}} = \frac{5}{22} \times \frac{154}{68} = \frac{5 \times 7}{68} = \frac{35}{68}$.

(A) मान लीजिए $E_1, E_2$ और $E_3$ वे घटनाएँ हैं कि क्रमशः बक्से $I, II$ और $III$ चुने जाते हैं।
चूंकि बक्से यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = 1/3$.
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि निकाला गया सिक्का सोने का है।
तब,सशर्त प्रायिकताएँ इस प्रकार हैं:
$P(A|E_1) = 2/2 = 1$ (बक्से $I$ में दोनों सोने के सिक्के हैं)।
$P(A|E_2) = 0/2 = 0$ (बक्से $II$ में कोई सोने का सिक्का नहीं है)।
$P(A|E_3) = 1/2$ (बक्से $III$ में एक सोने का सिक्का है)।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि दूसरा सिक्का भी सोने का हो,जिसका अर्थ है कि हमने बक्सा $I$ चुना होगा।
बेयस प्रमेय के अनुसार,$P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)}$.
मान रखने पर:
$P(E_1|A) = \frac{(1/3 \times 1)}{(1/3 \times 1) + (1/3 \times 0) + (1/3 \times 1/2)} = \frac{1/3}{1/3 + 1/6} = \frac{1/3}{3/6} = \frac{1/3}{1/2} = 2/3$.

(A) मान लीजिए $E$ वह घटना है कि चयनित व्यक्ति को वास्तव में $HIV$ है और $A$ वह घटना है कि व्यक्ति का $HIV$ परीक्षण पॉजिटिव आता है। हमें $P(E|A)$ ज्ञात करना है। $E^{\prime}$ उस घटना को दर्शाता है कि चयनित व्यक्ति को $HIV$ नहीं है।
स्पष्ट रूप से,$\{E, E^{\prime}\}$ नमूना स्थान का एक विभाजन है।
हमें दिया गया है:
$P(E) = 0.1\% = \frac{0.1}{100} = 0.001$
$P(E^{\prime}) = 1 - P(E) = 0.999$
$P(A|E) = P(\text{व्यक्ति को } HIV \text{ होने पर परीक्षण पॉजिटिव आना}) = 90\% = 0.9$
$P(A|E^{\prime}) = P(\text{व्यक्ति को } HIV \text{ न होने पर परीक्षण पॉजिटिव आना}) = 1\% = 0.01$
बेयस प्रमेय के अनुसार:
$P(E|A) = \frac{P(E) P(A|E)}{P(E) P(A|E) + P(E^{\prime}) P(A|E^{\prime})}$
$P(E|A) = \frac{0.001 \times 0.9}{(0.001 \times 0.9) + (0.999 \times 0.01)}$
$P(E|A) = \frac{0.0009}{0.0009 + 0.00999} = \frac{0.0009}{0.01089} = \frac{90}{1089} \approx 0.083$
अतः,व्यक्ति को वास्तव में $HIV$ होने की संभावना लगभग $0.083$ है।

(A) मान लीजिए कि घटनाएँ $B_1, B_2, B_3$ इस प्रकार हैं:
$B_1$: बोल्ट मशीन $A$ द्वारा निर्मित है।
$B_2$: बोल्ट मशीन $B$ द्वारा निर्मित है।
$B_3$: बोल्ट मशीन $C$ द्वारा निर्मित है।
स्पष्ट रूप से,$B_1, B_2, B_3$ परस्पर अपवर्जी और निशेष घटनाएँ हैं।
मान लीजिए घटना $E$ 'बोल्ट दोषपूर्ण है' है।
दी गई प्रायिकताएँ:
$P(B_1) = 0.25, P(B_2) = 0.35, P(B_3) = 0.40$.
दोषपूर्ण बोल्ट की सप्रतिबंध प्रायिकताएँ:
$P(E|B_1) = 0.05, P(E|B_2) = 0.04, P(E|B_3) = 0.02$.
बेयस प्रमेय के अनुसार,यदि बोल्ट दोषपूर्ण है तो उसके मशीन $B$ द्वारा निर्मित होने की प्रायिकता:
$P(B_2|E) = \frac{P(B_2)P(E|B_2)}{P(B_1)P(E|B_1) + P(B_2)P(E|B_2) + P(B_3)P(E|B_3)}$
$P(B_2|E) = \frac{0.35 \times 0.04}{(0.25 \times 0.05) + (0.35 \times 0.04) + (0.40 \times 0.02)}$
$P(B_2|E) = \frac{0.0140}{0.0125 + 0.0140 + 0.0080} = \frac{0.0140}{0.0345}$
$P(B_2|E) = \frac{140}{345} = \frac{28}{69}$.

(A) माना $E$ वह घटना है कि डॉक्टर देर से आता है। माना $T_1, T_2, T_3$ और $T_4$ वे घटनाएं हैं कि डॉक्टर क्रमशः ट्रेन,बस,स्कूटर और परिवहन के अन्य साधनों से आता है।
दी गई प्रायिकताएं:
$P(T_1) = \frac{3}{10}, P(T_2) = \frac{1}{5}, P(T_3) = \frac{1}{10}, P(T_4) = \frac{2}{5}$.
देर से आने की सशर्त प्रायिकताएं:
$P(E|T_1) = \frac{1}{4}, P(E|T_2) = \frac{1}{3}, P(E|T_3) = \frac{1}{12}, P(E|T_4) = 0$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि वह देर से आता है तो उसके ट्रेन से आने की प्रायिकता:
$P(T_1|E) = \frac{P(T_1)P(E|T_1)}{\sum_{i=1}^{4} P(T_i)P(E|T_i)}$
हर की गणना:
$P(E) = (\frac{3}{10} \times \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} \times \frac{1}{3}) + (\frac{1}{10} \times \frac{1}{12}) + (\frac{2}{5} \times 0)$
$P(E) = \frac{3}{40} + \frac{1}{15} + \frac{1}{120} + 0 = \frac{9 + 8 + 1}{120} = \frac{18}{120} = \frac{3}{20}$.
अंश की गणना:
$P(T_1)P(E|T_1) = \frac{3}{10} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{40}$.
परिणाम:
$P(T_1|E) = \frac{3/40}{3/20} = \frac{3}{40} \times \frac{20}{3} = \frac{1}{2}$.

(A) माना $E$ वह घटना है कि आदमी बताता है कि $6$ आया है।
माना $S_{1}$ वह घटना है कि वास्तव में $6$ आता है।
माना $S_{2}$ वह घटना है कि $6$ नहीं आता है।
हमारे पास है:
$P(S_{1}) = 1/6$
$P(S_{2}) = 5/6$
$P(E|S_{1})$ वह प्रायिकता है कि आदमी $6$ बताता है जब वास्तव में $6$ आया है (वह सच बोलता है) $= 3/4$.
$P(E|S_{2})$ वह प्रायिकता है कि आदमी $6$ बताता है जब वास्तव में $6$ नहीं आया है (वह झूठ बोलता है) $= 1 - 3/4 = 1/4$.
बेयस प्रमेय के अनुसार,प्रायिकता कि यह वास्तव में $6$ है,यह देखते हुए कि वह $6$ बताता है:
$P(S_{1}|E) = \frac{P(S_{1})P(E|S_{1})}{P(S_{1})P(E|S_{1}) + P(S_{2})P(E|S_{2})}$
$P(S_{1}|E) = \frac{(1/6) \times (3/4)}{(1/6) \times (3/4) + (5/6) \times (1/4)}$
$P(S_{1}|E) = \frac{3/24}{3/24 + 5/24} = \frac{3/24}{8/24} = 3/8$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $3/8$ है।

(A) माना $E_{1}$ और $E_{2}$ क्रमशः पहले थैले और दूसरे थैले को चुनने की घटनाएँ हैं।
$P(E_{1}) = P(E_{2}) = 1/2$.
माना $A$ लाल गेंद निकालने की घटना है।
$P(A | E_{1}) = \text{पहले थैले से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता} = 4/8 = 1/2$.
$P(A | E_{2}) = \text{दूसरे थैले से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता} = 2/8 = 1/4$.
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि गेंद पहले थैले से निकाली गई है,यह देखते हुए कि वह लाल है,जो $P(E_{1} | A)$ है।
बेयस प्रमेय द्वारा:
$P(E_{1} | A) = \frac{P(E_{1}) \cdot P(A | E_{1})}{P(E_{1}) \cdot P(A | E_{1}) + P(E_{2}) \cdot P(A | E_{2})}$
$P(E_{1} | A) = \frac{(1/2) \cdot (1/2)}{(1/2) \cdot (1/2) + (1/2) \cdot (1/4)}$
$P(E_{1} | A) = \frac{1/4}{1/4 + 1/8} = \frac{1/4}{3/8} = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{3} = 2/3$.

(A) माना $E_{1}$ वह घटना है कि छात्र छात्रावास में रहने वाला है और $E_{2}$ वह घटना है कि छात्र डे-स्कॉलर है। माना $A$ वह घटना है कि चुना गया छात्र $A$ ग्रेड प्राप्त करता है।
दी गई प्रायिकताएँ:
$P(E_{1}) = 60 \% = 0.6$
$P(E_{2}) = 40 \% = 0.4$
$P(A | E_{1}) = 30 \% = 0.3$
$P(A | E_{2}) = 20 \% = 0.2$
हमें $P(E_{1} | A)$ ज्ञात करना है। बेयस प्रमेय द्वारा:
$P(E_{1} | A) = \frac{P(E_{1}) \cdot P(A | E_{1})}{P(E_{1}) \cdot P(A | E_{1}) + P(E_{2}) \cdot P(A | E_{2})}$
मान रखने पर:
$P(E_{1} | A) = \frac{0.6 \times 0.3}{(0.6 \times 0.3) + (0.4 \times 0.2)}$
$P(E_{1} | A) = \frac{0.18}{0.18 + 0.08}$
$P(E_{1} | A) = \frac{0.18}{0.26}$
$P(E_{1} | A) = \frac{18}{26} = \frac{9}{13}$

(A) मान लीजिए $E_{1}$ और $E_{2}$ क्रमशः वे घटनाएँ हैं कि छात्र उत्तर जानता है और वह अनुमान लगाता है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि उत्तर सही है।
दी गई प्रायिकताएँ $P(E_{1}) = \frac{3}{4}$ और $P(E_{2}) = \frac{1}{4}$ हैं।
यह जानते हुए कि छात्र उत्तर जानता है,उसके सही उत्तर देने की प्रायिकता $P(A|E_{1}) = 1$ है।
यह जानते हुए कि छात्र अनुमान लगाता है,उसके सही उत्तर देने की प्रायिकता $P(A|E_{2}) = \frac{1}{4}$ है।
हमें $P(E_{1}|A)$ ज्ञात करना है। बेयस प्रमेय द्वारा:
$P(E_{1}|A) = \frac{P(E_{1})P(A|E_{1})}{P(E_{1})P(A|E_{1}) + P(E_{2})P(A|E_{2})}$
$P(E_{1}|A) = \frac{\frac{3}{4} \times 1}{(\frac{3}{4} \times 1) + (\frac{1}{4} \times \frac{1}{4})}$
$P(E_{1}|A) = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4} + \frac{1}{16}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{12+1}{16}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{13}{16}}$
$P(E_{1}|A) = \frac{3}{4} \times \frac{16}{13} = \frac{12}{13}$.

(A) माना $E_{1}$ वह घटना है कि व्यक्ति को बीमारी है और $E_{2}$ वह घटना है कि व्यक्ति को बीमारी नहीं है।
दिया गया है कि $P(E_{1}) = 0.1 \% = 0.001$.
चूंकि $E_{1}$ और $E_{2}$ पूरक घटनाएं हैं,$P(E_{2}) = 1 - P(E_{1}) = 1 - 0.001 = 0.999$.
माना $A$ वह घटना है कि रक्त परीक्षण का परिणाम सकारात्मक है।
$P(A | E_{1}) = 99 \% = 0.99$ (बीमारी होने पर सकारात्मक परिणाम मिलने की संभावना)।
$P(A | E_{2}) = 0.5 \% = 0.005$ (स्वस्थ होने पर सकारात्मक परिणाम मिलने की संभावना)।
हमें $P(E_{1} | A)$ ज्ञात करना है। बेयस प्रमेय के अनुसार:
$P(E_{1} | A) = \frac{P(E_{1}) \cdot P(A | E_{1})}{P(E_{1}) \cdot P(A | E_{1}) + P(E_{2}) \cdot P(A | E_{2})}$
मान रखने पर:
$P(E_{1} | A) = \frac{0.001 \times 0.99}{(0.001 \times 0.99) + (0.999 \times 0.005)}$
$= \frac{0.00099}{0.00099 + 0.004995}$
$= \frac{0.00099}{0.005985}$
$= \frac{990}{5985}$
$= \frac{22}{133}$

(A) मान लीजिए $E_{1}$,$E_{2}$ और $E_{3}$ क्रमशः दो सिर वाले सिक्के,पक्षपाती सिक्के और निष्पक्ष सिक्के को चुनने की घटनाएं हैं।
चूंकि एक सिक्का यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,$P(E_{1}) = P(E_{2}) = P(E_{3}) = \frac{1}{3}$.
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि सिक्का सिर दिखाता है।
दो सिर वाले सिक्के के लिए,$P(A|E_{1}) = 1$.
पक्षपाती सिक्के के लिए,$P(A|E_{2}) = 75\% = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.
निष्पक्ष सिक्के के लिए,$P(A|E_{3}) = \frac{1}{2}$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यह प्रायिकता कि सिक्का दो सिर वाला है,यह देखते हुए कि यह सिर दिखाता है,$P(E_{1}|A) = \frac{P(E_{1})P(A|E_{1})}{P(E_{1})P(A|E_{1}) + P(E_{2})P(A|E_{2}) + P(E_{3})P(A|E_{3})}$ है।
मान रखने पर: $P(E_{1}|A) = \frac{\frac{1}{3} \times 1}{\frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}}$.
$P(E_{1}|A) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} (1 + \frac{3}{4} + \frac{1}{2})} = \frac{1}{\frac{4+3+2}{4}} = \frac{1}{\frac{9}{4}} = \frac{4}{9}$.

(A) माना $E_{1}, E_{2}$ और $E_{3}$ क्रमशः घटनाएँ हैं कि चालक एक स्कूटर चालक,एक कार चालक और एक ट्रक चालक है।
माना $A$ वह घटना है कि व्यक्ति की दुर्घटना हो जाती है।
कुल चालकों की संख्या $= 2000 + 4000 + 6000 = 12000$.
$P(E_{1}) = \frac{2000}{12000} = \frac{1}{6}$.
$P(E_{2}) = \frac{4000}{12000} = \frac{1}{3}$.
$P(E_{3}) = \frac{6000}{12000} = \frac{1}{2}$.
दुर्घटना की दी गई प्रायिकताएँ $P(A|E_{1}) = 0.01 = \frac{1}{100}$,$P(A|E_{2}) = 0.03 = \frac{3}{100}$,और $P(A|E_{3}) = 0.15 = \frac{15}{100}$ हैं।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,दुर्घटना होने पर उसके स्कूटर चालक होने की प्रायिकता $P(E_{1}|A) = \frac{P(E_{1})P(A|E_{1})}{P(E_{1})P(A|E_{1}) + P(E_{2})P(A|E_{2}) + P(E_{3})P(A|E_{3})}$.
$P(E_{1}|A) = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{1}{100}}{\frac{1}{6} \times \frac{1}{100} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{100} + \frac{1}{2} \times \frac{15}{100}}$.
$P(E_{1}|A) = \frac{\frac{1}{600}}{\frac{1}{600} + \frac{3}{300} + \frac{15}{200}} = \frac{\frac{1}{600}}{\frac{1 + 6 + 45}{600}} = \frac{1}{52}$.

(B) मान लीजिए $E_{1}$ और $E_{2}$ क्रमशः मशीन $A$ और $B$ द्वारा वस्तुओं के उत्पादन की घटनाएं हैं। मान लीजिए $X$ वह घटना है कि वस्तु खराब पाई गई है।
दिया गया है:
$P(E_{1}) = 60 \% = 60/100 = 3/5$
$P(E_{2}) = 40 \% = 40/100 = 2/5$
$P(X | E_{1}) = 2 \% = 2/100$
$P(X | E_{2}) = 1 \% = 1/100$
हमें $P(E_{2} | X)$ ज्ञात करना है। बेयस प्रमेय के अनुसार:
$P(E_{2} | X) = \frac{P(E_{2}) \cdot P(X | E_{2})}{P(E_{1}) \cdot P(X | E_{1}) + P(E_{2}) \cdot P(X | E_{2})}$
मान रखने पर:
$P(E_{2} | X) = \frac{(2/5) \cdot (1/100)}{(3/5) \cdot (2/100) + (2/5) \cdot (1/100)}$
$P(E_{2} | X) = \frac{2/500}{6/500 + 2/500}$
$P(E_{2} | X) = \frac{2/500}{8/500}$
$P(E_{2} | X) = 2/8 = 1/4$

(A) मान लीजिए $E_{1}$ और $E_{2}$ क्रमशः पहले समूह और दूसरे समूह के प्रतियोगिता जीतने की घटनाएं हैं।
मान लीजिए $A$ नया उत्पाद पेश करने की घटना है।
दिया गया है:
$P(E_{1}) = 0.6$
$P(E_{2}) = 0.4$
$P(A | E_{1}) = 0.7$
$P(A | E_{2}) = 0.3$
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि नया उत्पाद दूसरे समूह द्वारा पेश किया गया था,जो $P(E_{2} | A)$ है।
बेयस प्रमेय के अनुसार:
$P(E_{2} | A) = \frac{P(E_{2}) P(A | E_{2})}{P(E_{1}) P(A | E_{1}) + P(E_{2}) P(A | E_{2})}$
मान रखने पर:
$P(E_{2} | A) = \frac{0.4 \times 0.3}{(0.6 \times 0.7) + (0.4 \times 0.3)}$
$P(E_{2} | A) = \frac{0.12}{0.42 + 0.12}$
$P(E_{2} | A) = \frac{0.12}{0.54}$
$P(E_{2} | A) = \frac{12}{54} = \frac{2}{9}$

(A) मान लीजिए $E_{1}$ वह घटना है कि पासे पर परिणाम $5$ या $6$ है और $E_{2}$ वह घटना है कि पासे पर परिणाम $1, 2, 3,$ या $4$ है।
$P(E_{1}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ और $P(E_{2}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
मान लीजिए $A$ ठीक एक चित प्राप्त करने की घटना है।
$P(A | E_{1})$ तीन बार सिक्का उछालकर ठीक एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता है: $\binom{3}{1} (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{8}$.
$P(A | E_{2})$ एक बार सिक्का उछालकर ठीक एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता है: $\frac{1}{2}$.
हमें $P(E_{2} | A)$ ज्ञात करना है। बेयस प्रमेय द्वारा:
$P(E_{2} | A) = \frac{P(E_{2}) P(A | E_{2})}{P(E_{1}) P(A | E_{1}) + P(E_{2}) P(A | E_{2})}$
$P(E_{2} | A) = \frac{(\frac{2}{3}) (\frac{1}{2})}{(\frac{1}{3}) (\frac{3}{8}) + (\frac{2}{3}) (\frac{1}{2})}$
$P(E_{2} | A) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{8} + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3+8}{24}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{11}{24}} = \frac{1}{3} \times \frac{24}{11} = \frac{8}{11}$.

(A) मान लीजिए $E_1, E_2$ और $E_3$ वे घटनाएं हैं कि वस्तुएं क्रमशः ऑपरेटरों $A, B$ और $C$ द्वारा बनाई गई हैं।
$P(E_1) = 50\% = 0.5, P(E_2) = 30\% = 0.3, P(E_3) = 20\% = 0.2$.
मान लीजिए $X$ वह घटना है कि उत्पादित वस्तु दोषपूर्ण है।
$P(X|E_1) = 1\% = 0.01, P(X|E_2) = 5\% = 0.05, P(X|E_3) = 7\% = 0.07$.
हमें $P(E_1|X)$ ज्ञात करना है। बेयस प्रमेय द्वारा:
$P(E_1|X) = \frac{P(E_1)P(X|E_1)}{P(E_1)P(X|E_1) + P(E_2)P(X|E_2) + P(E_3)P(X|E_3)}$
$P(E_1|X) = \frac{0.5 \times 0.01}{(0.5 \times 0.01) + (0.3 \times 0.05) + (0.2 \times 0.07)}$
$P(E_1|X) = \frac{0.005}{0.005 + 0.015 + 0.014} = \frac{0.005}{0.034} = \frac{5}{34}$.

(A) मान लीजिए $E_{1}$ वह घटना है कि खोया हुआ पत्ता ईंट का है और $E_{2}$ वह घटना है कि खोया हुआ पत्ता ईंट का नहीं है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि शेष $51$ पत्तों में से निकाले गए दो पत्ते ईंट के हैं।
$52$ पत्तों में से $13$ ईंट के हैं और $39$ ईंट के नहीं हैं।
$P(E_{1}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ और $P(E_{2}) = \frac{39}{52} = \frac{3}{4}$.
यदि $E_{1}$ घटित होता है,तो $51$ पत्तों में $12$ ईंट के पत्ते बचते हैं। $2$ ईंट के पत्ते निकालने की प्रायिकता $P(A|E_{1}) = \frac{^{12}C_{2}}{^{51}C_{2}} = \frac{12 \times 11}{51 \times 50} = \frac{132}{2550}$ है।
यदि $E_{2}$ घटित होता है,तो $51$ पत्तों में $13$ ईंट के पत्ते बचते हैं। $2$ ईंट के पत्ते निकालने की प्रायिकता $P(A|E_{2}) = \frac{^{13}C_{2}}{^{51}C_{2}} = \frac{13 \times 12}{51 \times 50} = \frac{156}{2550}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(E_{1}|A) = \frac{P(E_{1})P(A|E_{1})}{P(E_{1})P(A|E_{1}) + P(E_{2})P(A|E_{2})}$.
$P(E_{1}|A) = \frac{\frac{1}{4} \times \frac{132}{2550}}{\frac{1}{4} \times \frac{132}{2550} + \frac{3}{4} \times \frac{156}{2550}} = \frac{132}{132 + 3 \times 156} = \frac{132}{132 + 468} = \frac{132}{600}$.
$12$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{11}{50}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $H$ चित आने की घटना है और $T$ पट आने की घटना है।
माना $R_H$ वह घटना है कि $A$ चित आने की सूचना देता है।
हमें दिया गया है $P(\text{Truth}) = \frac{4}{5}$ और $P(\text{False}) = \frac{1}{5}$।
यदि चित आता है,तो $A$ चित आने की सूचना तभी देता है जब वह सच बोलता है। अतः,$P(R_H | H) = \frac{4}{5}$।
यदि पट आता है,तो $A$ चित आने की सूचना तभी देता है जब वह झूठ बोलता है। अतः,$P(R_H | T) = \frac{1}{5}$।
चूंकि सिक्का निष्पक्ष है,$P(H) = \frac{1}{2}$ और $P(T) = \frac{1}{2}$।
हमें $P(H | R_H)$ ज्ञात करना है। बेयस प्रमेय के अनुसार:
$P(H | R_H) = \frac{P(R_H | H) P(H)}{P(R_H | H) P(H) + P(R_H | T) P(T)}$
$P(H | R_H) = \frac{(\frac{4}{5}) \cdot (\frac{1}{2})}{(\frac{4}{5}) \cdot (\frac{1}{2}) + (\frac{1}{5}) \cdot (\frac{1}{2})}$
$P(H | R_H) = \frac{\frac{4}{10}}{\frac{4}{10} + \frac{1}{10}} = \frac{4/10}{5/10} = \frac{4}{5}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना $A$ काली गेंद चुनने की घटना है,और $E_1, E_2, E_3, E_4$ क्रमशः बक्से $I, II, III, IV$ चुनने की घटनाएँ हैं।
चूंकि बक्से यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = P(E_4) = \frac{1}{4}$.
प्रत्येक बक्से से काली गेंद निकालने की प्रायिकताएँ हैं:
$P(A|E_1) = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$
$P(A|E_2) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$P(A|E_3) = \frac{1}{7}$
$P(A|E_4) = \frac{4}{13}$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि गेंद काली है तो उसके बक्सा $III$ से होने की प्रायिकता:
$P(E_3|A) = \frac{P(E_3)P(A|E_3)}{\sum_{i=1}^{4} P(E_i)P(A|E_i)}$
$P(E_3|A) = \frac{\frac{1}{4} \times \frac{1}{7}}{\frac{1}{4}(\frac{1}{6} + \frac{1}{4} + \frac{1}{7} + \frac{4}{13})} = \frac{312}{1894} \approx 0.165$.

(A) माना $B_{1}$ वह घटना है कि मशीन सही ढंग से सेट की गई है और $B_{2}$ वह घटना है कि मशीन गलत तरीके से सेट की गई है।
माना $A$ वह घटना है कि मशीन $2$ स्वीकार्य वस्तुएं बनाती है।
दिया गया है:
$P(B_{1}) = 0.8$
$P(B_{2}) = 1 - 0.8 = 0.2$
$P(A|B_{1}) = 0.9 \times 0.9 = 0.81$
$P(A|B_{2}) = 0.4 \times 0.4 = 0.16$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,मशीन के सही ढंग से सेट होने की प्रायिकता जब उसने $2$ स्वीकार्य वस्तुएं बनाई हैं:
$P(B_{1}|A) = \frac{P(B_{1})P(A|B_{1})}{P(B_{1})P(A|B_{1}) + P(B_{2})P(A|B_{2})}$
$P(B_{1}|A) = \frac{0.8 \times 0.81}{(0.8 \times 0.81) + (0.2 \times 0.16)}$
$P(B_{1}|A) = \frac{0.648}{0.648 + 0.032} = \frac{0.648}{0.680} = \frac{648}{680} = \frac{81}{85} \approx 0.9529$

(A) मान लीजिए $M$ वह घटना है कि चुना गया व्यक्ति पुरुष है और $W$ वह घटना है कि चुना गया व्यक्ति महिला है। चूंकि पुरुषों और महिलाओं की संख्या समान है,इसलिए $P(M) = P(W) = 0.5$ है।
मान लीजिए $G$ वह घटना है कि चुने गए व्यक्ति के बाल सफेद हैं।
दिया गया है: $P(G|M) = 0.05$ और $P(G|W) = 0.0025$ है।
हमें $P(M|G)$ ज्ञात करना है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(M|G) = \frac{P(G|M)P(M)}{P(G|M)P(M) + P(G|W)P(W)}$
$P(M|G) = \frac{0.05 \times 0.5}{(0.05 \times 0.5) + (0.0025 \times 0.5)}$
$P(M|G) = \frac{0.05}{0.05 + 0.0025} = \frac{0.05}{0.0525}$
$P(M|G) = \frac{500}{525} = \frac{20}{21}$

(A) मान लीजिए $E_A, E_B, E_C$ और $E_D$ क्रमशः बक्से $A, B, C$ और $D$ चुनने की घटनाएं हैं। चूंकि एक बॉक्स यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,$P(E_A) = P(E_B) = P(E_C) = P(E_D) = \frac{1}{4}$।
मान लीजिए $R$ लाल कंचा निकालने की घटना है।
प्रत्येक बॉक्स से लाल कंचा निकालने की सशर्त प्रायिकताएं इस प्रकार हैं:
$P(R|E_A) = \frac{1}{1+6+3} = \frac{1}{10}$
$P(R|E_B) = \frac{6}{6+2+2} = \frac{6}{10}$
$P(R|E_C) = \frac{8}{8+1+1} = \frac{8}{10}$
$P(R|E_D) = \frac{0}{0+6+4} = 0$
कुल प्रायिकता के नियम के अनुसार,$P(R) = P(E_A)P(R|E_A) + P(E_B)P(R|E_B) + P(E_C)P(R|E_C) + P(E_D)P(R|E_D)$
$P(R) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{10} + \frac{1}{4} \times \frac{6}{10} + \frac{1}{4} \times \frac{8}{10} + \frac{1}{4} \times 0 = \frac{1+6+8}{40} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}$।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,प्रायिकता कि लाल कंचा बॉक्स $X$ से निकाला गया था,$P(E_X|R) = \frac{P(E_X)P(R|E_X)}{P(R)}$ है।
बॉक्स $A$ के लिए: $P(E_A|R) = \frac{(1/4)(1/10)}{3/8} = \frac{1/40}{3/8} = \frac{1}{40} \times \frac{8}{3} = \frac{1}{15}$।
बॉक्स $B$ के लिए: $P(E_B|R) = \frac{(1/4)(6/10)}{3/8} = \frac{6/40}{3/8} = \frac{6}{40} \times \frac{8}{3} = \frac{2}{5}$।
बॉक्स $C$ के लिए: $P(E_C|R) = \frac{(1/4)(8/10)}{3/8} = \frac{8/40}{3/8} = \frac{8}{40} \times \frac{8}{3} = \frac{8}{15}$।

(A) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि रोगी को दिल का दौरा पड़ता है। मान लीजिए $E_{1}$ वह घटना है कि रोगी ध्यान और योग का कोर्स चुनता है,और $E_{2}$ वह घटना है कि रोगी दवा का नुस्खा चुनता है।
दिया गया है कि $P(E_{1}) = P(E_{2}) = \frac{1}{2}$।
दिल के दौरे की प्रारंभिक संभावना $0.40$ है।
यदि रोगी $E_{1}$ चुनता है,तो जोखिम $30 \%$ कम हो जाता है,इसलिए नई संभावना $P(A|E_{1}) = 0.40 \times (1 - 0.30) = 0.40 \times 0.70 = 0.28$ है।
यदि रोगी $E_{2}$ चुनता है,तो जोखिम $25 \%$ कम हो जाता है,इसलिए नई संभावना $P(A|E_{2}) = 0.40 \times (1 - 0.25) = 0.40 \times 0.75 = 0.30$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यह संभावना कि रोगी ने ध्यान और योग का कोर्स किया था,यदि उसे दिल का दौरा पड़ा है:
$P(E_{1}|A) = \frac{P(E_{1})P(A|E_{1})}{P(E_{1})P(A|E_{1}) + P(E_{2})P(A|E_{2})}$
$P(E_{1}|A) = \frac{\frac{1}{2} \times 0.28}{\frac{1}{2} \times 0.28 + \frac{1}{2} \times 0.30} = \frac{0.28}{0.28 + 0.30} = \frac{0.28}{0.58} = \frac{28}{58} = \frac{14}{29}$.

(A) मान लीजिए $E_{1}$ वह घटना है कि थैली $I$ से थैली $II$ में एक लाल गेंद स्थानांतरित की जाती है,और $E_{2}$ वह घटना है कि थैली $I$ से थैली $II$ में एक काली गेंद स्थानांतरित की जाती है।
प्रायिकताएं $P(E_{1}) = \frac{3}{7}$ और $P(E_{2}) = \frac{4}{7}$ हैं।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि थैली $II$ से निकाली गई गेंद लाल है।
यदि $E_{1}$ घटित होती है,तो थैली $II$ में अब $5$ लाल और $5$ काली गेंदें हैं। अतः,$P(A|E_{1}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
यदि $E_{2}$ घटित होती है,तो थैली $II$ में अब $4$ लाल और $6$ काली गेंदें हैं। अतः,$P(A|E_{2}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
हमें $P(E_{2}|A)$ ज्ञात करना है। बेयस प्रमेय के अनुसार:
$P(E_{2}|A) = \frac{P(E_{2})P(A|E_{2})}{P(E_{1})P(A|E_{1}) + P(E_{2})P(A|E_{2})}$
$P(E_{2}|A) = \frac{(\frac{4}{7}) \times (\frac{2}{5})}{(\frac{3}{7}) \times (\frac{1}{2}) + (\frac{4}{7}) \times (\frac{2}{5})}$
$P(E_{2}|A) = \frac{\frac{8}{35}}{\frac{3}{14} + \frac{8}{35}} = \frac{\frac{8}{35}}{\frac{15+16}{70}} = \frac{8}{35} \times \frac{70}{31} = \frac{16}{31}$.

(C) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि खोया हुआ पत्ता हुकुम का है,और $E_2$ वह घटना है कि खोया हुआ पत्ता हुकुम का नहीं है।
$P(E_1) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ और $P(E_2) = \frac{39}{52} = \frac{3}{4}$.
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि शेष $51$ पत्तों में से निकाले गए दो पत्ते हुकुम के हैं।
यदि $E_1$ घटित होता है,तो $51$ पत्तों में $12$ हुकुम के पत्ते बचते हैं। अतः,$P(A|E_1) = \frac{^{12}C_2}{^{51}C_2} = \frac{132}{2550}$.
यदि $E_2$ घटित होता है,तो $51$ पत्तों में $13$ हुकुम के पत्ते बचते हैं। अतः,$P(A|E_2) = \frac{^{13}C_2}{^{51}C_2} = \frac{156}{2550}$.
हमें $P(E_2|A)$ ज्ञात करना है। बेयस प्रमेय के अनुसार:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{3}{4} \times \frac{156}{2550}}{\frac{1}{4} \times \frac{132}{2550} + \frac{3}{4} \times \frac{156}{2550}} = \frac{468}{132 + 468} = \frac{468}{600} = \frac{39}{50}$.

(A) माना $B_{1}$ वह घटना है कि बॉक्स-$I$ चुना गया है और $B_{2}$ वह घटना है कि बॉक्स-$II$ चुना गया है।
$P(B_{1}) = P(B_{2}) = \frac{1}{2}$.
माना $E$ वह घटना है कि चुना गया कार्ड एक अभाज्य संख्या नहीं है।
बॉक्स-$I$ में ($1$ से $30$ कार्ड),अभाज्य संख्याएँ $\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29\}$ ($10$ अभाज्य संख्याएँ) हैं। अतः,$30 - 10 = 20$ अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं। इसलिए,$P(E|B_{1}) = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$.
बॉक्स-$II$ में ($31$ से $50$ कार्ड),अभाज्य संख्याएँ $\{31, 37, 41, 43, 47\}$ ($5$ अभाज्य संख्याएँ) हैं। अतः,$20 - 5 = 15$ अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं। इसलिए,$P(E|B_{2}) = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,इस बात की प्रायिकता कि कार्ड बॉक्स-$I$ से निकाला गया था,यदि वह अभाज्य नहीं है:
$P(B_{1}|E) = \frac{P(B_{1})P(E|B_{1})}{P(B_{1})P(E|B_{1}) + P(B_{2})P(E|B_{2})}$
$P(B_{1}|E) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}}{\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{4}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + \frac{3}{8}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{8+9}{24}} = \frac{1}{3} \times \frac{24}{17} = \frac{8}{17}$.

(C) मान लीजिए कि घटनाएं इस प्रकार परिभाषित हैं:
$A$: चुना गया व्यक्ति धूम्रपान करने वाला और मांसाहारी है।
$B$: चुना गया व्यक्ति धूम्रपान करने वाला और शाकाहारी है।
$C$: चुना गया व्यक्ति धूम्रपान न करने वाला और शाकाहारी है।
$E$: चुने गए व्यक्ति को छाती का विकार है।
दी गई प्रायिकताएं:
$P(A) = \frac{160}{400}$,$P(B) = \frac{100}{400}$,$P(C) = \frac{140}{400}$.
विकार होने की सशर्त प्रायिकताएं:
$P(E|A) = \frac{35}{100}$,$P(E|B) = \frac{20}{100}$,$P(E|C) = \frac{10}{100}$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,हमें $P(A|E)$ ज्ञात करना है:
$P(A|E) = \frac{P(A) \cdot P(E|A)}{P(A) \cdot P(E|A) + P(B) \cdot P(E|B) + P(C) \cdot P(E|C)}$
मान रखने पर:
$P(A|E) = \frac{\frac{160}{400} \times \frac{35}{100}}{\frac{160}{400} \times \frac{35}{100} + \frac{100}{400} \times \frac{20}{100} + \frac{140}{400} \times \frac{10}{100}}$
$P(A|E) = \frac{160 \times 35}{(160 \times 35) + (100 \times 20) + (140 \times 10)}$
$P(A|E) = \frac{5600}{5600 + 2000 + 1400} = \frac{5600}{9000} = \frac{56}{90} = \frac{28}{45}$.

(C) माना $E_1$ बैग $A$ को चुनने की घटना है और $E_2$ बैग $B$ को चुनने की घटना है।
$P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$.
माना $A$ वह घटना है कि निकाली गई गेंदें $1$ लाल और $1$ काली हैं।
बैग $A$ के लिए (कुल $6$ गेंदें: $2W, 1B, 3R$): $P(A|E_1) = \frac{{}^3C_1 \times {}^1C_1}{{}^6C_2} = \frac{3 \times 1}{15} = \frac{1}{5}$.
बैग $B$ के लिए (कुल $n+5$ गेंदें: $nW, 3B, 2R$): $P(A|E_2) = \frac{{}^2C_1 \times {}^3C_1}{{}^{n+5}C_2} = \frac{6}{\frac{(n+5)(n+4)}{2}} = \frac{12}{(n+5)(n+4)}$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)} = \frac{6}{11}$.
$\frac{1/10}{1/10 + 6/((n+5)(n+4))} = \frac{6}{11} \Rightarrow \frac{1}{1 + 60/((n+5)(n+4))} = \frac{6}{11}$.
$11 = 6 + \frac{360}{(n+5)(n+4)} \Rightarrow 5 = \frac{360}{(n+5)(n+4)} \Rightarrow (n+5)(n+4) = 72$.
$(n+5)(n+4) = 9 \times 8 \Rightarrow n+4 = 8 \Rightarrow n = 4$.

(B) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ वे घटनाएँ हैं कि स्थानांतरित गेंद क्रमशः लाल,काली या सफेद है।
$P(E_1) = \frac{3}{10}, P(E_2) = \frac{4}{10}, P(E_3) = \frac{3}{10}$.
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि बैग $II$ से निकाली गई गेंद काली है।
यदि $E_1$ घटित होती है,तो बैग $II$ में $3$ लाल,$5$ काली,$2$ सफेद गेंदें होती हैं। $P(A|E_1) = \frac{5}{10}$.
यदि $E_2$ घटित होती है,तो बैग $II$ में $2$ लाल,$6$ काली,$2$ सफेद गेंदें होती हैं। $P(A|E_2) = \frac{6}{10}$.
यदि $E_3$ घटित होती है,तो बैग $II$ में $2$ लाल,$5$ काली,$3$ सफेद गेंदें होती हैं। $P(A|E_3) = \frac{5}{10}$.
बेयस प्रमेय के अनुसार,$P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)}$.
$P(E_1|A) = \frac{(\frac{3}{10} \times \frac{5}{10})}{(\frac{3}{10} \times \frac{5}{10}) + (\frac{4}{10} \times \frac{6}{10}) + (\frac{3}{10} \times \frac{5}{10})} = \frac{15}{15 + 24 + 15} = \frac{15}{54} = \frac{5}{18}$.