Baye's theorem Questions in Hindi

(A) बेयज़ प्रमेय के अनुसार,प्रायिकता $P(B_2|A)$ इस प्रकार दी जाती है:
$P(B_2|A) = \frac{P(B_2) \times P(A|B_2)}{P(B_1) \times P(A|B_1) + P(B_2) \times P(A|B_2) + P(B_3) \times P(A|B_3)}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P(B_2|A) = \frac{0.30 \times 0.04}{(0.25 \times 0.05) + (0.30 \times 0.04) + (0.45 \times 0.03)}$
$P(B_2|A) = \frac{0.012}{0.0125 + 0.012 + 0.0135}$
$P(B_2|A) = \frac{0.012}{0.038}$
$P(B_2|A) = \frac{12}{38} = \frac{6}{19}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ वे घटनाएं हैं कि टायर क्रमशः $C_1, C_2, C_3$ कंपनियों द्वारा आपूर्ति किए जाते हैं। मान लीजिए $D$ वह घटना है कि चुना गया टायर खराब है।
दी गई प्रायिकताएं हैं:
$P(E_1) = 0.40, P(E_2) = 0.35, P(E_3) = 0.25$
$P(D|E_1) = 0.02, P(D|E_2) = 0.03, P(D|E_3) = 0.04$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,खराब टायर के $C_2$ द्वारा आपूर्ति किए जाने की प्रायिकता $P(E_2|D) = \frac{P(E_2)P(D|E_2)}{P(E_1)P(D|E_1) + P(E_2)P(D|E_2) + P(E_3)P(D|E_3)}$
$P(E_2|D) = \frac{0.35 \times 0.03}{(0.40 \times 0.02) + (0.35 \times 0.03) + (0.25 \times 0.04)}$
$P(E_2|D) = \frac{0.0105}{0.008 + 0.0105 + 0.0100} = \frac{0.0105}{0.0285}$
$P(E_2|D) = \frac{105}{285} = \frac{21}{57} = \frac{7}{19}$

(C) मान लीजिए $B_1$ और $B_2$ क्रमशः पहले और दूसरे बक्से को चुनने की घटनाएं हैं। चूंकि बक्सा यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,$P(B_1) = P(B_2) = \frac{1}{2}$ है।
मान लीजिए $E$ काली गेंद निकालने की घटना है।
मान लीजिए $n_1$ और $n_2$ क्रमशः पहले और दूसरे बक्से में काली गेंदों की संख्या है। चूंकि प्रत्येक बक्से में $10$ गेंदें हैं,$P(E|B_1) = \frac{n_1}{10}$ और $P(E|B_2) = \frac{n_2}{10}$ है।
बेयस प्रमेय के अनुसार,यदि गेंद काली है तो उसके दूसरे बक्से से होने की प्रायिकता है:
$P(B_2|E) = \frac{P(B_2)P(E|B_2)}{P(B_1)P(E|B_1) + P(B_2)P(E|B_2)} = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{n_2}{10}}{\frac{1}{2} \times \frac{n_1}{10} + \frac{1}{2} \times \frac{n_2}{10}} = \frac{n_2}{n_1 + n_2}$ है।
दिया गया है कि $P(B_2|E) = \frac{1}{5}$,इसलिए $\frac{n_2}{n_1 + n_2} = \frac{1}{5}$,जिसका अर्थ है $5n_2 = n_1 + n_2$,या $n_1 = 4n_2$ है।
चूंकि $n_1$ और $n_2$ $0$ और $10$ के बीच के पूर्णांक हैं,हम $n_2$ के लिए संभावित मानों की जांच करते हैं:
यदि $n_2 = 1$,तो $n_1 = 4$ है।
यदि $n_2 = 2$,तो $n_1 = 8$ है।
इस प्रकार,$n_1$ का मान $4$ या $8$ हो सकता है।

(A) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3, E_4$ वे घटनाएँ हैं कि लड़के ने क्रमशः $ABILITY$,$PROBABILITY$,$FACILITY$ और $MOBILITY$ शब्द लिखे।
चूंकि वह चार में से एक शब्द चुनता है,इसलिए $P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = P(E_4) = \frac{1}{4}$.
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि मिटाने के बाद '$LI$' शेष रहता है।
- $ABILITY$ ($7$ अक्षर) के लिए,$7-1 = 6$ लगातार अक्षरों के जोड़े हैं। केवल एक जोड़ा '$LI$' है। इसलिए,$P(A|E_1) = \frac{1}{6}$.
- $PROBABILITY$ ($11$ अक्षर) के लिए,$11-1 = 10$ लगातार अक्षरों के जोड़े हैं। केवल एक जोड़ा '$LI$' है। इसलिए,$P(A|E_2) = \frac{1}{10}$.
- $FACILITY$ ($8$ अक्षर) के लिए,$8-1 = 7$ लगातार अक्षरों के जोड़े हैं। केवल एक जोड़ा '$LI$' है। इसलिए,$P(A|E_3) = \frac{1}{7}$.
- $MOBILITY$ ($8$ अक्षर) के लिए,$8-1 = 7$ लगातार अक्षरों के जोड़े हैं। केवल एक जोड़ा '$LI$' है। इसलिए,$P(A|E_4) = \frac{1}{7}$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{\sum_{i=1}^{4} P(E_i)P(A|E_i)} = \frac{\frac{1}{4} \times \frac{1}{10}}{\frac{1}{4}(\frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7})} = \frac{21}{116}$.

(A) माना $E_1$ सामान्य सिक्का चुनने की घटना है और $E_2$ दोनों तरफ हेड वाला सिक्का चुनने की घटना है।
$P(E_1) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ और $P(E_2) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
माना $A$ वह घटना है कि सिक्का $6$ बार उछालने पर $6$ बार हेड आता है।
$P(A|E_1) = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$.
$P(A|E_2) = 1^6 = 1$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,चुने गए सिक्के के दोनों तरफ हेड होने की प्रायिकता:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2) \times P(A|E_2)}{P(E_1) \times P(A|E_1) + P(E_2) \times P(A|E_2)}$.
$P(E_2|A) = \frac{\frac{1}{5} \times 1}{\frac{4}{5} \times \frac{1}{64} + \frac{1}{5} \times 1} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{80} + \frac{1}{5}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1+16}{80}} = \frac{1}{5} \times \frac{80}{17} = \frac{16}{17}$.

(A) मान लीजिए $A_i$ $(i=1, 2, 3, 4)$ वह घटना है कि कलश में $i+1$ सफेद गेंदें हैं। मान लीजिए $B$ वह घटना है कि दो सफेद गेंदें निकाली जाती हैं।
हमें $P(A_4 | B)$ ज्ञात करना है।
चूंकि चारों घटनाएं $A_1, A_2, A_3, A_4$ समान रूप से संभावित हैं,इसलिए $P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = P(A_4) = \frac{1}{4}$ है।
$P(B | A_i)$ वह प्रायिकता है कि कलश में $i+1$ सफेद गेंदें होने पर दो सफेद गेंदें निकाली जाती हैं।
$P(B | A_1) = \frac{^2C_2}{^5C_2} = \frac{1}{10}$.
$P(B | A_2) = \frac{^3C_2}{^5C_2} = \frac{3}{10}$.
$P(B | A_3) = \frac{^4C_2}{^5C_2} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
$P(B | A_4) = \frac{^5C_2}{^5C_2} = 1$.
बेयस प्रमेय के अनुसार:
$P(A_4 | B) = \frac{P(A_4) P(B | A_4)}{\sum_{i=1}^4 P(A_i) P(B | A_i)} = \frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{\frac{1}{4} \left( \frac{1}{10} + \frac{3}{10} + \frac{6}{10} + \frac{10}{10} \right)} = \frac{1}{\frac{20}{10}} = \frac{1}{2}$.

(C) मान लीजिए $E$ वह घटना है कि चुनी गई वस्तु दोषपूर्ण है। मान लीजिए $A, B, C$ वे घटनाएं हैं कि वस्तु क्रमशः मशीन $A, B, C$ द्वारा उत्पादित की गई थी।
दी गई प्रायिकताएं:
$P(A) = \frac{2500}{10000} = 0.25$
$P(B) = \frac{3500}{10000} = 0.35$
$P(C) = \frac{4000}{10000} = 0.40$
दोष की सशर्त प्रायिकताएं:
$P(E|A) = \frac{2}{100} = 0.02$
$P(E|B) = \frac{3}{100} = 0.03$
$P(E|C) = \frac{5}{100} = 0.05$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि वस्तु दोषपूर्ण है तो उसके मशीन $C$ द्वारा उत्पादित होने की प्रायिकता:
$P(C|E) = \frac{P(E|C) \cdot P(C)}{P(E|A) \cdot P(A) + P(E|B) \cdot P(B) + P(E|C) \cdot P(C)}$
$P(C|E) = \frac{0.05 \cdot 0.40}{(0.02 \cdot 0.25) + (0.03 \cdot 0.35) + (0.05 \cdot 0.40)}$
$P(C|E) = \frac{0.0200}{0.0050 + 0.0105 + 0.0200} = \frac{0.0200}{0.0355} = \frac{200}{355} = \frac{40}{71}$

(B) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि छात्र उत्तर जानता है और $E_2$ वह घटना है कि छात्र उत्तर का अनुमान लगाता है।
दिया गया है $P(E_1) = 9/10$ और $P(E_2) = 1 - 9/10 = 1/10$।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि उत्तर सही है।
यदि छात्र उत्तर जानता है,तो सही उत्तर देने की प्रायिकता $P(E|E_1) = 1$ है।
यदि छात्र अनुमान लगाता है,तो चूंकि $4$ विकल्प हैं और $1$ सही है,इसलिए सही उत्तर देने की प्रायिकता $P(E|E_2) = 1/4$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि उत्तर सही है तो छात्र द्वारा अनुमान लगाने की प्रायिकता $P(E_2|E) = \frac{P(E|E_2)P(E_2)}{P(E|E_1)P(E_1) + P(E|E_2)P(E_2)}$ है।
मान रखने पर:
$P(E_2|E) = \frac{(1/4) \times (1/10)}{(1) \times (9/10) + (1/4) \times (1/10)} = \frac{1/40}{9/10 + 1/40} = \frac{1/40}{(36+1)/40} = \frac{1}{37}$।

(A) मान लीजिए $A, B, C, D$ वे घटनाएँ हैं कि व्यक्ति क्रमशः कार,स्कूटर,बस और ट्रेन से ऑफिस जाता है। तब $P(A) = 1/7, P(B) = 3/7, P(C) = 2/7, P(D) = 1/7$ है।
मान लीजिए $L$ देर से पहुँचने की घटना है और $E$ समय पर पहुँचने की घटना है। तब $P(E|A) = 1 - P(L|A) = 1 - 2/9 = 7/9$ है। इसी प्रकार,$P(E|B) = 1 - 1/9 = 8/9, P(E|C) = 1 - 4/9 = 5/9, P(E|D) = 1 - 1/9 = 8/9$ है।
हमें $P(A|E)$ ज्ञात करना है। बेयस प्रमेय के अनुसार:
$P(A|E) = \frac{P(A)P(E|A)}{P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) + P(C)P(E|C) + P(D)P(E|D)}$
$P(A|E) = \frac{(1/7)(7/9)}{(1/7)(7/9) + (3/7)(8/9) + (2/7)(5/9) + (1/7)(8/9)}$
$P(A|E) = \frac{7/63}{7/63 + 24/63 + 10/63 + 8/63} = \frac{7}{7 + 24 + 10 + 8} = \frac{7}{49} = 1/7$.

(C) मान लीजिए $S$ वह घटना है कि व्यक्ति धूम्रपान करने वाला है और $NS$ वह घटना है कि व्यक्ति धूम्रपान न करने वाला है।
मान लीजिए $D$ वह घटना है कि मृत्यु फेफड़ों के कैंसर के कारण होती है।
दिया गया है: $P(S) = 0.20$,$P(NS) = 0.80$,और $P(D) = 0.006$.
प्रश्न के अनुसार,$P(D|S) = 10 \times P(D|NS)$,जिसका अर्थ है $P(D|NS) = \frac{1}{10} P(D|S)$.
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(D) = P(S) \cdot P(D|S) + P(NS) \cdot P(D|NS)$
$0.006 = 0.20 \cdot P(D|S) + 0.80 \cdot \left( \frac{1}{10} P(D|S) \right)$
$0.006 = 0.20 \cdot P(D|S) + 0.08 \cdot P(D|S)$
$0.006 = 0.28 \cdot P(D|S)$
$P(D|S) = \frac{0.006}{0.28} = \frac{6}{280} = \frac{3}{140}$.

(C) माना $E_1$ वह घटना है कि छात्र उत्तर नहीं जानता है,और $E_2$ वह घटना है कि छात्र उत्तर जानता है। माना $E$ वह घटना है कि छात्र प्रश्न का सही उत्तर देता है।
हमें दिया गया है $P(E_2) = p$ और $P(E_1) = 1 - p$।
यदि छात्र उत्तर जानता है,तो सही उत्तर देने की प्रायिकता $P(E|E_2) = 1$ है।
यदि छात्र उत्तर नहीं जानता है,तो वह $5$ विकल्पों में से एक को यादृच्छिक रूप से चुनता है,इसलिए सही उत्तर देने की प्रायिकता $P(E|E_1) = \frac{1}{5}$ है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि छात्र उत्तर जानता था (यादृच्छिक रूप से नहीं चुना) यह देखते हुए कि उसने सही उत्तर दिया है,जो $P(E_2|E)$ है।
बेयस प्रमेय के अनुसार:
$P(E_2|E) = \frac{P(E_2) P(E|E_2)}{P(E_1) P(E|E_1) + P(E_2) P(E|E_2)}$
मान रखने पर:
$P(E_2|E) = \frac{p \times 1}{(1 - p) \times \frac{1}{5} + p \times 1}$
$P(E_2|E) = \frac{p}{\frac{1 - p + 5p}{5}}$
$P(E_2|E) = \frac{5p}{1 + 4p}$

(D) माना $E$ चित आने की घटना है।
माना $E_{1}$ पक्षपाती सिक्का चुनने की घटना है और $E_{2}$ निष्पक्ष सिक्का चुनने की घटना है।
चूंकि सिक्का यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,$P(E_{1}) = \frac{1}{2}$ और $P(E_{2}) = \frac{1}{2}$।
निष्पक्ष सिक्के पर चित आने की प्रायिकता $P(E|E_{2}) = \frac{1}{2}$ है।
पक्षपाती सिक्के पर चित आने की प्रायिकता $P(E|E_{1}) = \frac{3}{4}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यह देखते हुए कि चित आया है,निष्पक्ष सिक्के के चुने जाने की प्रायिकता है:
$P(E_{2}|E) = \frac{P(E_{2}) \cdot P(E|E_{2})}{P(E_{2}) \cdot P(E|E_{2}) + P(E_{1}) \cdot P(E|E_{1})}$
$P(E_{2}|E) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{4}}$
$P(E_{2}|E) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{3}{8}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{8}} = \frac{2}{5}$.

(B) मान लीजिए $F$ निष्पक्ष सिक्का है,$T$ दो-चित वाला सिक्का है और $H$ वह घटना है जिसमें परिणाम चित (head) आता है।
दी गई प्रायिकताएँ $P(F) = \frac{3}{4}$ और $P(T) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ हैं।
निष्पक्ष सिक्के पर चित आने की प्रायिकता $P(H|F) = \frac{1}{2}$ है।
दो-चित वाले सिक्के पर चित आने की प्रायिकता $P(H|T) = 1$ है।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि दो-चित वाला सिक्का चुना गया था,यह देखते हुए कि परिणाम चित है,यानी $P(T|H)$।
बेयस प्रमेय के अनुसार:
$P(T|H) = \frac{P(H|T) \cdot P(T)}{P(H|T) \cdot P(T) + P(H|F) \cdot P(F)}$
$P(T|H) = \frac{1 \cdot \frac{1}{4}}{1 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}$
$P(T|H) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{3}{8}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{2+3}{8}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{8}} = \frac{1}{4} \times \frac{8}{5} = \frac{2}{5}$.

(D) माना $E$ वह घटना है कि $3$ काली गेंदें निकाली जाती हैं। माना $H_k$ वह परिकल्पना है कि थैली में $k$ लाल और $(10-k)$ काली गेंदें हैं।
बेयस प्रमेय के अनुसार,$P(H_1 | E) = \frac{P(E | H_1) P(H_1)}{\sum_{k=0}^{7} P(E | H_k) P(H_k)}$.
यह मानते हुए कि प्रत्येक संरचना $k$ समान रूप से संभावित है,$P(H_k) = \frac{1}{11}$.
$P(E | H_k) = \frac{\binom{10-k}{3}}{\binom{10}{3}}$.
$P(H_1 | E) = \frac{\binom{9}{3}}{\sum_{k=0}^{7} \binom{10-k}{3}} = \frac{\binom{9}{3}}{\binom{11}{4}} = \frac{84}{330} = \frac{14}{55}$.

(B) माना $E$ वह घटना है कि पासे पर $6$ आता है और $E'$ वह घटना है कि पासे पर $6$ नहीं आता है।
$P(E) = 1/6$ और $P(E') = 5/6$ है।
माना $A$ वह घटना है कि व्यक्ति बताता है कि यह $6$ है।
दिया गया है कि व्यक्ति $4/5$ बार सच बोलता है,इसलिए जब $6$ आता है तो $6$ बताने की प्रायिकता $P(A|E) = 4/5$ है।
जब $6$ नहीं आता है तब $6$ बताने की प्रायिकता (अर्थात वह झूठ बोलता है) $P(A|E') = 1 - 4/5 = 1/5$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यह प्रायिकता कि वास्तव में $6$ था,जबकि उसने $6$ बताया है:
$P(E|A) = \frac{P(A|E)P(E)}{P(A|E)P(E) + P(A|E')P(E')}$
$P(E|A) = \frac{(4/5) \times (1/6)}{(4/5) \times (1/6) + (1/5) \times (5/6)}$
$P(E|A) = \frac{4/30}{4/30 + 5/30} = \frac{4/30}{9/30} = 4/9$.

(B) मान लीजिए $K$ वह घटना है कि पत्र $KANPUR$ से आया है और $A$ वह घटना है कि पत्र $ANANTPUR$ से आया है।
$KANPUR$ शब्द में $6$ अक्षर हैं,जो $5$ क्रमिक अक्षरों के जोड़े देते हैं: $(KA, AN, NP, PU, UR)$। इनमें से,$1$ जोड़ा $AN$ है। इसलिए,$P(AN|K) = 1/5$।
$ANANTPUR$ शब्द में $8$ अक्षर हैं,जो $7$ क्रमिक अक्षरों के जोड़े देते हैं: $(AN, NA, AN, NT, TP, PU, UR)$। इनमें से,$2$ जोड़े $AN$ हैं। इसलिए,$P(AN|A) = 2/7$।
यह मानते हुए कि पूर्व प्रायिकताएं समान हैं,$P(K) = P(A) = 1/2$।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यह देखते हुए कि $AN$ दिखाई दे रहा है,पत्र के $ANANTPUR$ से आने की प्रायिकता है:
$P(A|AN) = \frac{P(AN|A)P(A)}{P(AN|A)P(A) + P(AN|K)P(K)}$
$P(A|AN) = \frac{(2/7) \times (1/2)}{(2/7) \times (1/2) + (1/5) \times (1/2)}$
$P(A|AN) = \frac{2/7}{2/7 + 1/5} = \frac{2/7}{17/35} = \frac{2}{7} \times \frac{35}{17} = \frac{10}{17}$।

(B) कुल सिक्कों की संख्या = $N+1$.
निष्पक्ष सिक्का चुनने की प्रायिकता = $\frac{N}{N+1}$.
दो चित वाले सिक्के को चुनने की प्रायिकता = $\frac{1}{N+1}$.
'चित' प्राप्त करने की प्रायिकता = $P(H|Fair) \cdot P(Fair) + P(H|TwoHead) \cdot P(TwoHead)$.
चूंकि एक निष्पक्ष सिक्के के लिए 'चित' की प्रायिकता $1/2$ है और दो चित वाले सिक्के के लिए 'चित' की प्रायिकता $1$ है,इसलिए:
$P(H) = \frac{1}{2} \cdot \frac{N}{N+1} + 1 \cdot \frac{1}{N+1} = \frac{N}{2(N+1)} + \frac{2}{2(N+1)} = \frac{N+2}{2(N+1)}$.
दिया गया है कि $P(H) = \frac{9}{16}$,इसलिए समीकरण:
$\frac{N+2}{2(N+1)} = \frac{9}{16}$.
वज्र-गुणन करने पर: $16(N+2) = 18(N+1)$.
$16N + 32 = 18N + 18$.
$32 - 18 = 18N - 16N$.
$14 = 2N$.
$N = 7$.