एक वृत्त और एक वर्ग के परिमाप का योग $k$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है। सिद्ध कीजिए कि उनके क्षेत्रफलों का योग न्यूनतम तब होता है जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दोगुनी हो।

(A) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है और वर्ग की भुजा $a$ है।
परिमाप का योग स्थिरांक $k$ दिया गया है:
$2 \pi r + 4a = k$
$a$ के लिए हल करने पर:
$a = \frac{k - 2 \pi r}{4}$
क्षेत्रफलों का योग $A$ है:
$A = \pi r^2 + a^2 = \pi r^2 + \left( \frac{k - 2 \pi r}{4} \right)^2$
$r$ के सापेक्ष $A$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dr} = 2 \pi r + 2 \left( \frac{k - 2 \pi r}{4} \right) \left( -\frac{2 \pi}{4} \right) = 2 \pi r - \frac{\pi(k - 2 \pi r)}{4}$
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $\frac{dA}{dr} = 0$ रखने पर:
$2 \pi r = \frac{\pi(k - 2 \pi r)}{4}$
$8r = k - 2 \pi r$
$r(8 + 2 \pi) = k \Rightarrow r = \frac{k}{2(4 + \pi)}$
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर:
$\frac{d^2A}{dr^2} = 2 \pi + \frac{2 \pi^2}{4} = 2 \pi + \frac{\pi^2}{2} > 0$
चूँकि द्वितीय अवकलज धनात्मक है,इसलिए $r$ के इस मान पर क्षेत्रफल न्यूनतम है।
$a$ के व्यंजक में $r$ का मान रखने पर:
$a = \frac{k - 2 \pi \left( \frac{k}{2(4 + \pi)} \right)}{4} = \frac{k(4 + \pi) - \pi k}{4(4 + \pi)} = \frac{4k}{4(4 + \pi)} = \frac{k}{4 + \pi}$
$a$ और $r$ की तुलना करने पर:
$a = \frac{k}{4 + \pi}$ और $2r = 2 \left( \frac{k}{2(4 + \pi)} \right) = \frac{k}{4 + \pi}$
अतः,$a = 2r$। यह सिद्ध होता है कि क्षेत्रफलों का योग न्यूनतम तब होता है जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दोगुनी हो।