Fundamental definite integration Questions in Hindi

(A) माना $I = \int_0^{\pi /4} \sec x \log (\sec x + \tan x) \, dx$.
$t = \log (\sec x + \tan x)$ प्रतिस्थापित करने पर।
तब $dt = \frac{1}{\sec x + \tan x} (\sec x \tan x + \sec^2 x) \, dx = \frac{\sec x (\tan x + \sec x)}{\sec x + \tan x) \, dx = \sec x \, dx}$.
समाकलन की सीमाओं को बदलने पर:
जब $x = 0$,तब $t = \log (\sec 0 + \tan 0) = \log (1 + 0) = \log 1 = 0$.
जब $x = \pi / 4$,तब $t = \log (\sec(\pi / 4) + \tan(\pi / 4)) = \log (\sqrt{2} + 1)$.
अब,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int_0^{\log (\sqrt{2} + 1)} t \, dt = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^{\log (\sqrt{2} + 1)} = \frac{1}{2} [\log (\sqrt{2} + 1)]^2$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) समाकल $I = \int_0^{2/3} \frac{dx}{4 + 9x^2}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम हर को फिर से लिखते हैं:
$I = \int_0^{2/3} \frac{dx}{2^2 + (3x)^2}$.
मान लीजिए $3x = u$,तो $3dx = du$,जिसका अर्थ है $dx = \frac{du}{3}$.
जब $x = 0$,तो $u = 0$. जब $x = 2/3$,तो $u = 2$.
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_0^2 \frac{1}{2^2 + u^2} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int_0^2 \frac{du}{2^2 + u^2}$.
मानक सूत्र $\int \frac{du}{a^2 + u^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ का उपयोग करते हुए:
$I = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{u}{2}) \right]_0^2 = \frac{1}{6} [\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0)]$.
चूंकि $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ और $\tan^{-1}(0) = 0$:
$I = \frac{1}{6} \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{24}$.

(A) माना $I = \int_0^1 \frac{x^4 + 1}{x^2 + 1} \, dx$.
हम समाकल्य को $\frac{x^4 - 1 + 2}{x^2 + 1} = \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 1) + 2}{x^2 + 1} = x^2 - 1 + \frac{2}{x^2 + 1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अब,पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$I = \int_0^1 (x^2 - 1) \, dx + 2 \int_0^1 \frac{1}{x^2 + 1} \, dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$I = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_0^1 + 2 \left[ \tan^{-1} x \right]_0^1$.
$I = \left( \frac{1}{3} - 1 \right) - (0) + 2 \left( \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) \right)$.
$I = -\frac{2}{3} + 2 \left( \frac{\pi}{4} - 0 \right)$.
$I = -\frac{2}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi - 4}{6}$.

(C) माना $I = \int_0^{\pi /4} [\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}] \, dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int_0^{\pi /4} \left( \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}} + \sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}} \right) dx = \int_0^{\pi /4} \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin x \cos x}} \, dx$.
अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$I = \sqrt{2} \int_0^{\pi /4} \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2 \sin x \cos x}} \, dx = \sqrt{2} \int_0^{\pi /4} \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{1 - (\sin x - \cos x)^2}} \, dx$.
माना $t = \sin x - \cos x$. तब $dt = (\cos x + \sin x) \, dx$.
जब $x = 0$,तब $t = \sin 0 - \cos 0 = -1$.
जब $x = \pi / 4$,तब $t = \sin(\pi / 4) - \cos(\pi / 4) = 0$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \sqrt{2} \int_{-1}^0 \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \sqrt{2} [\sin^{-1} t]_{-1}^0$.
$I = \sqrt{2} [\sin^{-1}(0) - \sin^{-1}(-1)] = \sqrt{2} [0 - (-\pi / 2)] = \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.

(A) माना $I = \int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \,dx$.
समाकल्य का परिमेयकरण करने पर:
$I = \int_0^1 \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}} \cdot \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}} \,dx = \int_0^1 \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$.
समाकलन को अलग करने पर:
$I = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx - \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$.
पहले भाग के लिए,$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = \sin^{-1}(x)$.
दूसरे भाग के लिए,$u = 1-x^2$ लेने पर,$du = -2x \,dx$ होगा,इसलिए $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = -\sqrt{1-x^2}$.
निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$I = [\sin^{-1}(x)]_0^1 + [\sqrt{1-x^2}]_0^1$.
$I = (\sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0)) + (\sqrt{1-1^2} - \sqrt{1-0^2})$.
$I = (\frac{\pi}{2} - 0) + (0 - 1) = \frac{\pi}{2} - 1$.

(C) मान लीजिए $I = \int_1^e \frac{1}{x} \, dx$ है।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{x}$ का प्रति-अवकलज $\ln|x|$ होता है।
कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करने पर:
$I = [\ln|x|]_1^e$
$I = \ln(e) - \ln(1)$
चूंकि $\ln(e) = 1$ और $\ln(1) = 0$ है,
$I = 1 - 0 = 1$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया समाकलन: $I = \int_{1}^{x} \frac{\log(x^2)}{x} \, dx$
$\log(a^b) = b \log a$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$I = \int_{1}^{x} \frac{2 \log x}{x} \, dx$
माना $t = \log x$,तब $dt = \frac{1}{x} \, dx$.
जब $x = 1$,तब $t = \log(1) = 0$.
जब $x = x$,तब $t = \log x$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{0}^{\log x} 2t \, dt$
$I = 2 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{\log x}$
$I = [t^2]_{0}^{\log x}$
$I = (\log x)^2 - 0^2 = (\log x)^2$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) माना $I = \int_0^{\pi /2} {\frac{{dx}}{{{a^2}{{\cos }^2}x + {b^2}{{\sin }^2}x}}.} $
अंश और हर को ${\cos ^2}x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है
$I = \int_0^{\pi /2} {\frac{{\sec^2 x \, dx}}{{{a^2} + {b^2}\tan^2 x}}} $
$b \tan x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $b \sec^2 x \, dx = dt$ मिलता है,अर्थात $\sec^2 x \, dx = \frac{dt}{b}$.
जब $x = 0$,तब $t = 0$. जब $x = \frac{\pi}{2}$,तब $t \to \infty$.
अतः,$I = \int_0^\infty {\frac{{dt/b}}{{{a^2} + {t^2}}}} = \frac{1}{b} \int_0^\infty \frac{dt}{a^2 + t^2}$
सूत्र $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर,
$I = \frac{1}{b} \left[ \frac{1}{a} \tan^{-1} \left( \frac{t}{a} \right) \right]_0^\infty = \frac{1}{ab} \left( \tan^{-1}(\infty) - \tan^{-1}(0) \right)$
$I = \frac{1}{ab} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{2ab}$.

(D) माना $I = \int_0^{\pi /4} (\cos x - \sin x) dx + \int_{\pi /4}^{5\pi /4} (\sin x - \cos x) dx + \int_{2\pi }^{\pi /4} (\cos x - \sin x) dx$ है।
प्रत्येक समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$1$. $\int_0^{\pi /4} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_0^{\pi /4} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$.
$2$. $\int_{\pi /4}^{5\pi /4} (\sin x - \cos x) dx = [-\cos x - \sin x]_{\pi /4}^{5\pi /4} = -[\cos x + \sin x]_{\pi /4}^{5\pi /4} = -[(-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) - (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}})] = -[-\sqrt{2} - \sqrt{2}] = 2\sqrt{2}$.
$3$. $\int_{2\pi }^{\pi /4} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{2\pi }^{\pi /4} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$.
इन मानों का योग करने पर: $I = (\sqrt{2} - 1) + 2\sqrt{2} + (\sqrt{2} - 1) = 4\sqrt{2} - 2$.

(B) दी गई असमिका: $\int_{0}^{a} x \, dx \le a + 4$
निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करने पर: $\left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{a} \le a + 4$
$\frac{a^2}{2} \le a + 4$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $a^2 \le 2a + 8$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $a^2 - 2a - 8 \le 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $(a - 4)(a + 2) \le 0$
गुणनफल के शून्य या शून्य से कम होने के लिए,$a$ को इसके मूलों के बीच होना चाहिए: $-2 \le a \le 4$.

(B) माना $I = \int_{-1}^{0} \frac{dx}{x^2 + 2x + 2}$.
सबसे पहले,हर में पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x + 1)^2 + 1^2$.
अतः,समाकलन $I = \int_{-1}^{0} \frac{dx}{(x + 1)^2 + 1^2}$ हो जाता है।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = [\tan^{-1}(x + 1)]_{-1}^{0}$.
सीमाओं का मूल्यांकन करने पर:
$I = \tan^{-1}(0 + 1) - \tan^{-1}(-1 + 1) = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0)$.
चूंकि $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ और $\tan^{-1}(0) = 0$,इसलिए:
$I = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$.

(A) हम जानते हैं कि $\frac{1}{1 + x^2}$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन $\tan^{-1}(x)$ होता है।
निश्चित समाकलन के लिए कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$\int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{1 + x^2} dx = [\tan^{-1}(x)]_1^{\sqrt{3}}$
$= \tan^{-1}(\sqrt{3}) - \tan^{-1}(1)$
चूंकि $\tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ और $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,इसलिए:
$= \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$
$= \frac{4\pi - 3\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$.

(D) माना $I = \int_{1}^{3} (x - 1)(x - 2)(x - 3) \, dx$.
समाकल्य का विस्तार करने पर: $(x - 1)(x - 2)(x - 3) = (x^2 - 3x + 2)(x - 3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$.
अब,प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^3 + \frac{11x^2}{2} - 6x \right]_{1}^{3}$.
ऊपरी सीमा $x = 3$ पर मान रखने पर:
$\left( \frac{81}{4} - 54 + \frac{99}{2} - 18 \right) = \frac{279}{4} - 72 = -\frac{9}{4}$.
निचली सीमा $x = 1$ पर मान रखने पर:
$\left( \frac{1}{4} - 2 + \frac{11}{2} - 6 \right) = \frac{23}{4} - 8 = -\frac{9}{4}$.
अतः,$I = -\frac{9}{4} - (-\frac{9}{4}) = 0$.

(C) माना $I = \int_{2}^{3} \frac{dx}{x(x - 1)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $\frac{1}{x(x - 1)} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}$.
अतः,$I = \int_{2}^{3} \left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x} \right) dx$.
पदवार समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = [\log|x - 1| - \log|x|]_{2}^{3}$.
गुणधर्म $\log a - \log b = \log(a/b)$ का उपयोग करते हुए,$I = [\log|\frac{x - 1}{x}|]_{2}^{3}$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $I = \log|\frac{3 - 1}{3}| - \log|\frac{2 - 1}{2}|$.
$I = \log(2/3) - \log(1/2) = \log(\frac{2/3}{1/2}) = \log(4/3)$.

(C) माना $I = \int_{0}^{\pi} |\sin^3 \theta| \, d\theta$.
चूंकि $\theta \in [0, \pi]$ के लिए $\sin \theta \ge 0$ है,इसलिए $|\sin^3 \theta| = \sin^3 \theta$ होगा।
अतः,$I = \int_{0}^{\pi} \sin^3 \theta \, d\theta$.
सर्वसमिका $\sin^3 \theta = \sin \theta (1 - \cos^2 \theta)$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi} \sin \theta (1 - \cos^2 \theta) \, d\theta = \int_{0}^{\pi} \sin \theta \, d\theta - \int_{0}^{\pi} \sin \theta \cos^2 \theta \, d\theta$.
समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{\pi} \sin \theta \, d\theta = [-\cos \theta]_{0}^{\pi} = -(\cos \pi - \cos 0) = -(-1 - 1) = 2$.
दूसरे भाग के लिए,$u = \cos \theta$ लेने पर,$du = -\sin \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
जब $\theta = 0, u = 1$; जब $\theta = \pi, u = -1$.
$-\int_{0}^{\pi} \sin \theta \cos^2 \theta \, d\theta = \int_{1}^{-1} u^2 \, du = [\frac{u^3}{3}]_{1}^{-1} = \frac{(-1)^3}{3} - \frac{1^3}{3} = -\frac{1}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}$.
अतः,$I = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.

(A) हम समाकलन $I = \int_{0}^{3} \frac{3x + 1}{x^2 + 9} dx$ का मूल्यांकन करते हैं।
समाकलन को दो भागों में विभाजित करें: $I = \frac{3}{2} \int_{0}^{3} \frac{2x}{x^2 + 9} dx + \int_{0}^{3} \frac{1}{x^2 + 9} dx$.
दोनों भागों का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \left[ \frac{3}{2} \log(x^2 + 9) + \frac{1}{3} \tan^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) \right]_{0}^{3}$.
सीमाओं को लागू करने पर: $I = \left( \frac{3}{2} \log(9 + 9) + \frac{1}{3} \tan^{-1}(1) \right) - \left( \frac{3}{2} \log(0 + 9) + \frac{1}{3} \tan^{-1}(0) \right)$.
$I = \frac{3}{2} \log(18) + \frac{1}{3} \left(\frac{\pi}{4}\right) - \frac{3}{2} \log(9) - 0$.
$I = \frac{3}{2} \log\left(\frac{18}{9}\right) + \frac{\pi}{12} = \frac{3}{2} \log(2) + \frac{\pi}{12}$.
चूंकि $\frac{3}{2} \log(2) = \log(2^{3/2}) = \log(2\sqrt{2})$,अंतिम परिणाम $\log(2\sqrt{2}) + \frac{\pi}{12}$ है।

(B) माना $I = \int_2^3 \frac{x + 1}{x^2(x - 1)} dx$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,$\frac{x + 1}{x^2(x - 1)} = \frac{A}{x^2} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 1}$.
$x^2(x - 1)$ से गुणा करने पर,$A(x - 1) + Bx(x - 1) + Cx^2 = x + 1$.
$x = 0$ रखने पर,$A(-1) = 1 \implies A = -1$.
$x = 1$ रखने पर,$C(1)^2 = 1 + 1 \implies C = 2$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$B + C = 0 \implies B = -2$.
अतः,$I = \int_2^3 \left( -\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} + \frac{2}{x - 1} \right) dx$.
$I = \left[ \frac{1}{x} - 2\log|x| + 2\log|x - 1| \right]_2^3$.
$I = \left[ \frac{1}{x} + 2\log\left| \frac{x - 1}{x} \right| \right]_2^3$.
$I = \left( \frac{1}{3} + 2\log\left( \frac{2}{3} \right) \right) - \left( \frac{1}{2} + 2\log\left( \frac{1}{2} \right) \right)$.
$I = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) + 2\log\left( \frac{2/3}{1/2} \right) = -\frac{1}{6} + 2\log\left( \frac{4}{3} \right)$.
$I = \log\left( \frac{4}{3} \right)^2 - \frac{1}{6} = \log\frac{16}{9} - \frac{1}{6}$.

(C) दिया गया है $I = \int_0^{\pi /2} \frac{(\sin x + \cos x)^2}{\sqrt{1 + \sin 2x}} dx$।
हम जानते हैं कि $1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2$।
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^{\pi /2} \frac{(\sin x + \cos x)^2}{\sqrt{(\sin x + \cos x)^2}} dx$।
चूंकि $x \in [0, \pi/2]$ के लिए $\sin x + \cos x > 0$ है,इसलिए $\sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = \sin x + \cos x$।
अतः,$I = \int_0^{\pi /2} (\sin x + \cos x) dx$।
समाकलन का मान निकालने पर:
$I = [-\cos x + \sin x]_0^{\pi /2}$।
$I = (-\cos(\pi/2) + \sin(\pi/2)) - (-\cos(0) + \sin(0))$।
$I = (0 + 1) - (-1 + 0) = 1 + 1 = 2$।

(D) माना $I = \int_0^{\pi /8} \cos^3(4\theta) \, d\theta = \int_0^{\pi /8} \cos^2(4\theta) \cos(4\theta) \, d\theta$.
सर्वसमिका $\cos^2(4\theta) = 1 - \sin^2(4\theta)$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi /8} (1 - \sin^2(4\theta)) \cos(4\theta) \, d\theta$.
माना $t = \sin(4\theta)$. तब $dt = 4 \cos(4\theta) \, d\theta$,जिसका अर्थ है $\cos(4\theta) \, d\theta = \frac{dt}{4}$.
जब $\theta = 0$,तब $t = \sin(0) = 0$.
जब $\theta = \frac{\pi}{8}$,तब $t = \sin(4 \times \frac{\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \frac{1}{4} \int_0^1 (1 - t^2) \, dt = \frac{1}{4} [t - \frac{t^3}{3}]_0^1$.
$I = \frac{1}{4} (1 - \frac{1}{3}) = \frac{1}{4} (\frac{2}{3}) = \frac{1}{6}$.

(A) माना $I = \int_3^8 \frac{2 - 3x}{x\sqrt{1 + x}} \, dx$.
$1 + x = t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = t^2 - 1$ और $dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है।
जब $x = 3$,तब $t = 2$ और जब $x = 8$,तब $t = 3$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_2^3 \frac{2 - 3(t^2 - 1)}{(t^2 - 1)t} \cdot 2t \, dt = 2 \int_2^3 \frac{5 - 3t^2}{t^2 - 1} \, dt$.
$I = 2 \int_2^3 \left( \frac{2}{t^2 - 1} - 3 \right) \, dt$.
सूत्र $\int \frac{1}{t^2 - a^2} \, dt = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{t - a}{t + a} \right|$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \left[ \frac{2}{2(1)} \log \left| \frac{t - 1}{t + 1} \right| - 3t \right]_2^3$.
$I = 2 \left[ \log \left| \frac{t - 1}{t + 1} \right| - 3t \right]_2^3$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$I = 2 \left[ (\log(2/4) - 9) - (\log(1/3) - 6) \right] = 2 \left[ \log(1/2) - \log(1/3) - 3 \right]$.
$I = 2 \left[ \log(3/2) - 3 \right] = 2 \log \left( \frac{3}{2e^3} \right)$.

(A) माना $I = \int_0^1 x^2 e^x dx$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$.
यहाँ $u = x^2$ और $v = e^x$ लेने पर,$u' = 2x$ और $\int v dx = e^x$ प्राप्त होता है।
$I = [x^2 e^x]_0^1 - \int_0^1 2x e^x dx$.
$I = (1^2 e^1 - 0^2 e^0) - 2 \int_0^1 x e^x dx$.
$I = e - 2 \int_0^1 x e^x dx$.
अब,पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करके $\int_0^1 x e^x dx$ का मान ज्ञात करते हैं:
$\int_0^1 x e^x dx = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = (e - 0) - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1$.
इस मान को $I$ के समीकरण में रखने पर:
$I = e - 2(1) = e - 2$.

(B) हमें ${I_1} = \int_1^2 \frac{dx}{\sqrt{1 + x^2}}$ और ${I_2} = \int_1^2 \frac{dx}{x}$ दिया गया है।
सभी $x \in (1, 2)$ के लिए,हम जानते हैं कि $1 + x^2 > x^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\sqrt{1 + x^2} > x$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x \in (1, 2)$ के लिए दोनों पक्ष धनात्मक हैं,व्युत्क्रम लेने पर असमिका बदल जाएगी:
$\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} < \frac{1}{x}$।
दोनों पक्षों का $1$ से $2$ तक $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int_1^2 \frac{dx}{\sqrt{1 + x^2}} < \int_1^2 \frac{dx}{x}$।
अतः,${I_1} < {I_2}$,जिसका अर्थ है कि ${I_2} > {I_1}$।

(B) माना $I = \int_{1/e}^{\tan x} \frac{t \, dt}{1 + t^2} + \int_{1/e}^{\cot x} \frac{dt}{t(1 + t^2)}$.
प्रथम समाकलन के लिए,$u = 1 + t^2$ लेने पर,$du = 2t \, dt$ प्राप्त होता है,अतः $\int \frac{t \, dt}{1 + t^2} = \frac{1}{2} \ln(1 + t^2)$.
$1/e$ से $\tan x$ तक सीमाएँ रखने पर: $\frac{1}{2} [\ln(1 + \tan^2 x) - \ln(1 + 1/e^2)] = \frac{1}{2} [\ln(\sec^2 x) - \ln(1 + 1/e^2)]$.
द्वितीय समाकलन के लिए,$\int \frac{dt}{t(1 + t^2)} = \int (\frac{1}{t} - \frac{t}{1 + t^2}) \, dt = \ln|t| - \frac{1}{2} \ln(1 + t^2)$.
$1/e$ से $\cot x$ तक सीमाएँ रखने पर: $[\ln(\cot x) - \frac{1}{2} \ln(1 + \cot^2 x)] - [\ln(1/e) - \frac{1}{2} \ln(1 + 1/e^2)]$.
चूँकि $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$,यह पद $[\ln(\cot x) - \frac{1}{2} \ln(\csc^2 x)] - [\ln(1/e) - \frac{1}{2} \ln(1 + 1/e^2)]$ बन जाता है।
दोनों भागों को जोड़ने पर:
$I = \frac{1}{2} \ln(\sec^2 x) - \frac{1}{2} \ln(1 + 1/e^2) + \ln(\cot x) - \frac{1}{2} \ln(\csc^2 x) - \ln(1/e) + \frac{1}{2} \ln(1 + 1/e^2)$.
$I = \ln(\sec x) + \ln(\cot x) - \ln(\csc x) - \ln(1/e)$.
$I = \ln(\frac{\sec x \cdot \cot x}{\csc x}) - \ln(1/e) = \ln(1) - \ln(1/e) = 0 - (-1) = 1$.

(A) माना $I = \int_{\pi /4}^{3\pi /4} \frac{dx}{1 + \cos x}$.
सर्वसमिका $1 + \cos x = 2\cos^2(x/2)$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{\pi /4}^{3\pi /4} \frac{dx}{2\cos^2(x/2)} = \frac{1}{2} \int_{\pi /4}^{3\pi /4} \sec^2(x/2) dx$.
$\sec^2(x/2)$ का समाकलन करने पर:
$I = \frac{1}{2} [2 \tan(x/2)]_{\pi /4}^{3\pi /4} = [\tan(x/2)]_{\pi /4}^{3\pi /4}$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$I = \tan(3\pi /8) - \tan(\pi /8)$.
चूंकि $\tan(3\pi /8) = \cot(\pi /8)$:
$I = \cot(\pi /8) - \tan(\pi /8) = \frac{\cos(\pi /8)}{\sin(\pi /8)} - \frac{\sin(\pi /8)}{\cos(\pi /8)} = \frac{\cos^2(\pi /8) - \sin^2(\pi /8)}{\sin(\pi /8)\cos(\pi /8)}$.
$\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ और $2\sin\theta\cos\theta = \sin(2\theta)$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{\cos(\pi /4)}{\frac{1}{2}\sin(\pi /4)} = 2 \cot(\pi /4) = 2(1) = 2$.

(B) हमें निश्चित समाकल $\int_{\pi /4}^{\pi /2} \csc^2 x \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
याद रखें कि $\csc^2 x$ का प्रति-अवकलज $-\cot x$ होता है।
कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$\int_{\pi /4}^{\pi /2} \csc^2 x \, dx = [-\cot x]_{\pi /4}^{\pi /2}$
$= -(\cot(\frac{\pi}{2}) - \cot(\frac{\pi}{4}))$
चूंकि $\cot(\frac{\pi}{2}) = 0$ और $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$ है:
$= -(0 - 1) = 1$.

(C) माना कि समाकलन $I = \int_1^2 \frac{f'(g(x)) \cdot g'(x)}{f(g(x))} \; dx$ है।
$u = f(g(x))$ प्रतिस्थापन करने पर।
अतः,अवकलन $du = f'(g(x)) \cdot g'(x) \; dx$ होगा।
अब,समाकलन की सीमाओं को बदलने पर:
जब $x = 1$,तब $u = f(g(1))$।
जब $x = 2$,तब $u = f(g(2))$।
चूंकि $g(1) = g(2)$ दिया गया है,इसलिए $f(g(1)) = f(g(2))$ होगा।
अतः,समाकलन $I = \int_{f(g(1))}^{f(g(1))} \frac{1}{u} \; du$ बन जाता है।
निश्चित समाकलन की निचली और ऊपरी सीमाएं समान होने के कारण,समाकलन का मान $0$ होगा।

(C) हम निश्चित समाकल $\int_{-4}^{4} |x + 2| \, dx$ का मूल्यांकन अंतराल को $x = -2$ पर विभाजित करके करते हैं,जहाँ निरपेक्ष मान के अंदर का व्यंजक अपना चिह्न बदलता है।
चूँकि $x < -2$ के लिए $|x + 2| = -(x + 2)$ और $x \ge -2$ के लिए $|x + 2| = (x + 2)$ है,इसलिए:
$\int_{-4}^{4} |x + 2| \, dx = \int_{-4}^{-2} -(x + 2) \, dx + \int_{-2}^{4} (x + 2) \, dx$
प्रथम समाकल का मूल्यांकन:
$\int_{-4}^{-2} -(x + 2) \, dx = -\left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-4}^{-2} = -\left[ (\frac{4}{2} - 4) - (\frac{16}{2} - 8) \right] = -[(-2) - (0)] = 2$
द्वितीय समाकल का मूल्यांकन:
$\int_{-2}^{4} (x + 2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{4} = \left[ (\frac{16}{2} + 8) - (\frac{4}{2} - 4) \right] = [(8 + 8) - (-2)] = 16 + 2 = 18$
दोनों परिणामों का योग:
$2 + 18 = 20$
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(B) हम जानते हैं कि $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ होता है।
इस मान को समाकलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int_{ - \pi /2}^{\pi /2} \sqrt{\frac{1}{2}(2 \sin^2 x)} \,dx = \int_{ - \pi /2}^{\pi /2} \sqrt{\sin^2 x} \,dx = \int_{ - \pi /2}^{\pi /2} |\sin x| \,dx$.
चूंकि $|\sin x|$ एक सम फलन है,हम लिख सकते हैं:
$2 \int_0^{\pi /2} \sin x \,dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$2 [-\cos x]_0^{\pi /2} = 2 [-\cos(\pi/2) - (-\cos 0)] = 2 [0 + 1] = 2$.

(D) समाकलन $\int_1^4 f(x) \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम $f(x)$ की परिभाषा के आधार पर अंतराल $[1, 4]$ को $x = 2$ पर विभाजित करते हैं:
$\int_1^4 f(x) \, dx = \int_1^2 (4x + 3) \, dx + \int_2^4 (3x + 5) \, dx$
पहला भाग: $\int_1^2 (4x + 3) \, dx = [2x^2 + 3x]_1^2 = (2(2)^2 + 3(2)) - (2(1)^2 + 3(1)) = (8 + 6) - (2 + 3) = 14 - 5 = 9$
दूसरा भाग: $\int_2^4 (3x + 5) \, dx = [\frac{3x^2}{2} + 5x]_2^4 = (\frac{3(16)}{2} + 5(4)) - (\frac{3(4)}{2} + 5(2)) = (24 + 20) - (6 + 10) = 44 - 16 = 28$
कुल समाकलन: $9 + 28 = 37$.

(A) माना $I = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1 + x^4}}$ है।
$x \in [0, 1]$ के लिए,हमारे पास $0 \le x^4 \le 1$ है।
सभी पक्षों में $1$ जोड़ने पर,हमें $1 \le 1 + x^4 \le 2$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$1 \le \sqrt{1 + x^4} \le \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर,असमिका उलट जाती है: $\frac{1}{\sqrt{2}} \le \frac{1}{\sqrt{1 + x^4}} \le 1$।
$0$ से $1$ तक $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{2}} dx \le \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1 + x^4}} \le \int_0^1 1 dx$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{\sqrt{2}}(1 - 0) \le I \le 1(1 - 0)$ प्राप्त होता है,जो $\frac{1}{\sqrt{2}} \le I \le 1$ देता है।
अतः,सबसे छोटा अंतराल $[\frac{1}{\sqrt{2}}, 1]$ है।

(C) हमें निश्चित समाकल $I = \int_{-1}^{1} |1 - x| \,dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि समाकलन का अंतराल $[-1, 1]$ है,हम देखते हैं कि सभी $x \in [-1, 1]$ के लिए,$1 - x \ge 0$ है।
विशेष रूप से,जब $x = 1$ है,तो $1 - x = 0$ है,और $x < 1$ के लिए $1 - x > 0$ है।
इसलिए,सभी $x \in [-1, 1]$ के लिए $|1 - x| = 1 - x$ है।
अतः,समाकल इस प्रकार होगा:
$I = \int_{-1}^{1} (1 - x) \,dx$
$I = \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{1}$
$I = \left( 1 - \frac{1^2}{2} \right) - \left( -1 - \frac{(-1)^2}{2} \right)$
$I = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) - \left( -1 - \frac{1}{2} \right)$
$I = \frac{1}{2} - \left( -\frac{3}{2} \right)$
$I = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) फलन $f(x) = |1 - x^2|$,$x = -1$ और $x = 1$ पर अपना चिह्न बदलता है।
हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं:
$\int_{-2}^{2} |1 - x^2| \, dx = \int_{-2}^{-1} |1 - x^2| \, dx + \int_{-1}^{1} |1 - x^2| \, dx + \int_{1}^{2} |1 - x^2| \, dx$
अंतराल $[-2, -1]$ में,$1 - x^2 \le 0$,इसलिए $|1 - x^2| = -(1 - x^2) = x^2 - 1$।
अंतराल $[-1, 1]$ में,$1 - x^2 \ge 0$,इसलिए $|1 - x^2| = 1 - x^2$।
अंतराल $[1, 2]$ में,$1 - x^2 \le 0$,इसलिए $|1 - x^2| = -(1 - x^2) = x^2 - 1$।
अतः,समाकलन इस प्रकार होगा:
$\int_{-2}^{-1} (x^2 - 1) \, dx + \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx + \int_{1}^{2} (x^2 - 1) \, dx$
$= [\frac{x^3}{3} - x]_{-2}^{-1} + [x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{1} + [\frac{x^3}{3} - x]_{1}^{2}$
$= ((\frac{-1}{3} + 1) - (\frac{-8}{3} + 2)) + ((1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3})) + ((\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - 1))$
$= (\frac{2}{3} - (-\frac{2}{3})) + (\frac{2}{3} - (-\frac{2}{3})) + (\frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}))$
$= \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{12}{3} = 4.$

(B) माना $I = \int_0^{\pi /2} {\left| {\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right|} \,dx$ है।
चूंकि $x \in [0, \pi/4]$ के लिए $\sin(x - \pi/4) \le 0$ और $x \in [\pi/4, \pi/2]$ के लिए $\sin(x - \pi/4) \ge 0$ है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$I = - \int_0^{\pi /4} {\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)dx} + \int_{\pi /4}^{\pi /2} {\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)dx}$.
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$I = - [-\cos(x - \pi/4)]_0^{\pi/4} + [-\cos(x - \pi/4)]_{\pi/4}^{\pi/2}$.
$I = [\cos(x - \pi/4)]_0^{\pi/4} - [\cos(x - \pi/4)]_{\pi/4}^{\pi/2}$.
$I = (\cos(0) - \cos(-\pi/4)) - (\cos(\pi/4) - \cos(0))$.
$I = (1 - 1/\sqrt{2}) - (1/\sqrt{2} - 1)$.
$I = 1 - 1/\sqrt{2} - 1/\sqrt{2} + 1 = 2 - 2/\sqrt{2} = 2 - \sqrt{2}$.

(C) हमें समाकलन $I = \int_0^\pi |\cos x| \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $x \in [0, \pi/2]$ के लिए $\cos x \ge 0$ और $x \in [\pi/2, \pi]$ के लिए $\cos x \le 0$ है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$I = \int_0^{\pi/2} \cos x \, dx + \int_{\pi/2}^\pi (-\cos x) \, dx$.
पहले भाग का मान: $\int_0^{\pi/2} \cos x \, dx = [\sin x]_0^{\pi/2} = \sin(\pi/2) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.
दूसरे भाग का मान: $\int_{\pi/2}^\pi -\cos x \, dx = -[\sin x]_{\pi/2}^\pi = -(\sin(\pi) - \sin(\pi/2)) = -(0 - 1) = 1$.
दोनों भागों को जोड़ने पर: $I = 1 + 1 = 2$.

(NONE) माना $I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \sin^4 x \, dx$ है। चूंकि $f(x) = \sin^4 x$ एक सम फलन है,इसलिए $I = 2 \int_0^{\pi/4} \sin^4 x \, dx$ होगा।
सर्वसमिका $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर,$\sin^4 x = (\frac{1 - \cos 2x}{2})^2 = \frac{1}{4}(1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x)$ प्राप्त होता है।
आगे,$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$ है,इसलिए $\sin^4 x = \frac{1}{4}(1 - 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}) = \frac{1}{4}(\frac{3}{2} - 2\cos 2x + \frac{1}{2}\cos 4x) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x$।
इसका समाकलन करने पर,$I = 2 \int_0^{\pi/4} (\frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x) \, dx = 2 [\frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x]_0^{\pi/4}$।
सीमाओं का मान रखने पर: $I = 2 [(\frac{3}{8} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4}\sin \frac{\pi}{2} + \frac{1}{32}\sin \pi) - (0)] = 2 [\frac{3\pi}{32} - \frac{1}{4}] = \frac{3\pi}{16} - \frac{1}{2}$।

(B) समाकलन $I = \int_0^{1.5} [x^2] \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम अंतराल $[0, 1.5]$ को उन बिंदुओं पर विभाजित करते हैं जहाँ $x^2$ एक पूर्णांक है।
$x^2 = 1 \implies x = 1$
$x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2} \approx 1.414$
अतः,हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित करते हैं:
$I = \int_0^1 [x^2] \, dx + \int_1^{\sqrt{2}} [x^2] \, dx + \int_{\sqrt{2}}^{1.5} [x^2] \, dx$
$0 \le x < 1$ के लिए,$0 \le x^2 < 1$,इसलिए $[x^2] = 0$ है।
$1 \le x < \sqrt{2}$ के लिए,$1 \le x^2 < 2$,इसलिए $[x^2] = 1$ है।
$\sqrt{2} \le x < 1.5$ के लिए,$2 \le x^2 < 2.25$,इसलिए $[x^2] = 2$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_0^1 0 \, dx + \int_1^{\sqrt{2}} 1 \, dx + \int_{\sqrt{2}}^{1.5} 2 \, dx$
$I = 0 + [x]_1^{\sqrt{2}} + 2[x]_{\sqrt{2}}^{1.5}$
$I = (\sqrt{2} - 1) + 2(1.5 - \sqrt{2})$
$I = \sqrt{2} - 1 + 3 - 2\sqrt{2}$
$I = 2 - \sqrt{2}$

(B) हमें समाकलन $I = \int_{1/e}^e |\log x| \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूँकि $x \in [1/e, 1)$ के लिए $\log x < 0$ और $x \in [1, e]$ के लिए $\log x \ge 0$ है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$I = \int_{1/e}^1 -\log x \, dx + \int_1^e \log x \, dx$.
समाकलन सूत्र $\int \log x \, dx = x \log x - x + C$ का उपयोग करते हुए:
$I = -[x \log x - x]_{1/e}^1 + [x \log x - x]_1^e$.
पहले भाग का मूल्यांकन करने पर: $-[(1 \cdot 0 - 1) - (\frac{1}{e} \log(1/e) - \frac{1}{e})] = -[-1 - (-\frac{1}{e} - \frac{1}{e})] = -[-1 + \frac{2}{e}] = 1 - \frac{2}{e}$.
दूसरे भाग का मूल्यांकन करने पर: $[(e \log e - e) - (1 \log 1 - 1)] = [(e - e) - (0 - 1)] = 0 - (-1) = 1$.
दोनों भागों को जोड़ने पर: $I = (1 - \frac{2}{e}) + 1 = 2 - \frac{2}{e} = 2 \left( 1 - \frac{1}{e} \right)$.

(D) दिया गया समाकलन $I = \int_{0}^{\pi /2} \{ x - [\sin x] \} \,dx$ है।
चूंकि $x \in [0, \pi/2]$ के लिए,$0 \le \sin x < 1$ होता है,इसलिए $[\sin x] = 0$ होगा।
अतः,$I = \int_{0}^{\pi /2} \{ x \} \,dx$ हो जाता है।
अंतराल $[0, \pi/2]$ में पूर्णांक $1$ स्थित है,इसलिए समाकलन को विभाजित करने पर: $I = \int_{0}^{1} x \,dx + \int_{1}^{\pi /2} (x - 1) \,dx$।
प्रथम भाग: $\int_{0}^{1} x \,dx = [\frac{x^2}{2}]_{0}^{1} = \frac{1}{2}$।
द्वितीय भाग: $\int_{1}^{\pi /2} (x - 1) \,dx = [\frac{x^2}{2} - x]_{1}^{\pi /2} = (\frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi}{2}) - (\frac{1}{2} - 1) = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}$।
कुल योग: $I = \frac{1}{2} + \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi}{2} + 1$।
यह मान विकल्पों में नहीं है,अतः सही विकल्प $D$ है।

(C) माना $I = \int_{\pi}^{2\pi} [2\sin x] \, dx$. अंतराल $[\pi, 2\pi]$ में,$\sin x$ का मान $0$ से $-1$ और वापस $0$ तक जाता है। अतः,$2\sin x$ का मान $0$ से $-2$ और वापस $0$ तक जाता है।
हम $[2\sin x]$ के मानों के आधार पर समाकलन को विभाजित करते हैं:
$1$. $x \in [\pi, 7\pi/6]$ के लिए,$2\sin x \in [-1, 0]$,इसलिए $[2\sin x] = -1$.
$2$. $x \in [7\pi/6, 3\pi/2]$ के लिए,$2\sin x \in [-2, -1]$,इसलिए $[2\sin x] = -2$.
$3$. $x \in [3\pi/2, 11\pi/6]$ के लिए,$2\sin x \in [-2, -1]$,इसलिए $[2\sin x] = -2$.
$4$. $x \in [11\pi/6, 2\pi]$ के लिए,$2\sin x \in [-1, 0]$,इसलिए $[2\sin x] = -1$.
$I = \int_{\pi}^{7\pi/6} (-1) \, dx + \int_{7\pi/6}^{3\pi/2} (-2) \, dx + \int_{3\pi/2}^{11\pi/6} (-2) \, dx + \int_{11\pi/6}^{2\pi} (-1) \, dx$
$I = -1(\frac{7\pi}{6} - \pi) - 2(\frac{3\pi}{2} - \frac{7\pi}{6}) - 2(\frac{11\pi}{6} - \frac{3\pi}{2}) - 1(2\pi - \frac{11\pi}{6})$
$I = -(\frac{\pi}{6}) - 2(\frac{2\pi}{6}) - 2(\frac{2\pi}{6}) - (\frac{\pi}{6})$
$I = -\frac{\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = -\frac{10\pi}{6} = -\frac{5\pi}{3}$.

(D) माना $I = \int_1^5 (|x - 3| + |1 - x|) \, dx$.
चूंकि $x \in [1, 5]$,इसलिए $|1 - x| = x - 1$ होगा।
अतः,$I = \int_1^5 |x - 3| \, dx + \int_1^5 (x - 1) \, dx$.
पहले भाग के लिए,$\int_1^5 |x - 3| \, dx = \int_1^3 -(x - 3) \, dx + \int_3^5 (x - 3) \, dx$.
$= [-\frac{(x - 3)^2}{2}]_1^3 + [\frac{(x - 3)^2}{2}]_3^5 = (0 - (-2)) + (2 - 0) = 2 + 2 = 4$.
दूसरे भाग के लिए,$\int_1^5 (x - 1) \, dx = [\frac{x^2}{2} - x]_1^5 = (\frac{25}{2} - 5) - (\frac{1}{2} - 1) = 7.5 - (-0.5) = 8$.
इसलिए,$I = 4 + 8 = 12$.

(A) माना $I = \int_0^\pi \cos mx \sin nx \,dx$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos mx \sin nx = \frac{1}{2} [\sin(n+m)x - \sin(m-n)x] = \frac{1}{2} [\sin(n+m)x + \sin(n-m)x]$.
इसका समाकलन करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int_0^\pi [\sin(n+m)x + \sin(n-m)x] \,dx$
$I = \frac{1}{2} \left[ -\frac{\cos(n+m)x}{n+m} - \frac{\cos(n-m)x}{n-m} \right]_0^\pi$
$I = -\frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\cos(n+m)\pi}{n+m} + \frac{\cos(n-m)\pi}{n-m} \right) - \left( \frac{1}{n+m} + \frac{1}{n-m} \right) \right]$
चूंकि $(n-m)$ विषम है,इसलिए $(n+m)$ भी विषम होगा। अतः,$\cos(n+m)\pi = -1$ और $\cos(n-m)\pi = -1$.
$I = -\frac{1}{2} \left[ \left( \frac{-1}{n+m} - \frac{1}{n-m} \right) - \left( \frac{1}{n+m} + \frac{1}{n-m} \right) \right]$
$I = -\frac{1}{2} \left[ -2 \left( \frac{1}{n+m} + \frac{1}{n-m} \right) \right] = \frac{1}{n+m} + \frac{1}{n-m}$
$I = \frac{(n-m) + (n+m)}{n^2 - m^2} = \frac{2n}{n^2 - m^2}$.

(B) दिया गया है $I = \int_0^{100\pi} \sqrt{1 - \cos 2x} \, dx$.
सर्वसमिका $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sqrt{1 - \cos 2x} = \sqrt{2 \sin^2 x} = \sqrt{2} |\sin x|$.
अतः,$I = \sqrt{2} \int_0^{100\pi} |\sin x| \, dx$.
चूंकि $|\sin x|$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $\pi$ है,हम लिख सकते हैं $\int_0^{100\pi} |\sin x| \, dx = 100 \int_0^{\pi} |\sin x| \, dx$.
अंतराल $[0, \pi]$ में,$\sin x \ge 0$ है,इसलिए $|\sin x| = \sin x$ होगा।
अतः,$I = 100\sqrt{2} \int_0^{\pi} \sin x \, dx$.
समाकलन करने पर: $\int_0^{\pi} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\pi} = -(\cos \pi - \cos 0) = -(-1 - 1) = 2$.
इसलिए,$I = 100\sqrt{2} \times 2 = 200\sqrt{2}$.

(B) समाकल $I = \int_0^2 x^2 [x] \, dx$ द्वारा दिया गया है।
चूंकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,हम अंतराल $[0, 2]$ को $[0, 1)$ और $[1, 2]$ में विभाजित करते हैं।
$0 \le x < 1$ के लिए,$[x] = 0$।
$1 \le x < 2$ के लिए,$[x] = 1$।
अतः,$I = \int_0^1 x^2(0) \, dx + \int_1^2 x^2(1) \, dx$।
$I = 0 + \int_1^2 x^2 \, dx$।
$I = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$।

(D) हमें समाकलन $I = \int_{0}^{2\pi} |\sin x| \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $x \in [0, \pi]$ के लिए $|\sin x| = \sin x$ और $x \in [\pi, 2\pi]$ के लिए $|\sin x| = -\sin x$ होता है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$I = \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx + \int_{\pi}^{2\pi} -\sin x \, dx$
$I = [-\cos x]_{0}^{\pi} + [\cos x]_{\pi}^{2\pi}$
$I = (-(\cos \pi - \cos 0)) + (\cos 2\pi - \cos \pi)$
$I = (-(-1 - 1)) + (1 - (-1))$
$I = (2) + (2) = 4$.

(C) फलन $f(\theta) = |\sin^3 \theta|$ का आवर्तकाल $\pi$ है।
अतः,$\int_0^{2\pi} |\sin^3 \theta| \, d\theta = 2 \int_0^{\pi} |\sin^3 \theta| \, d\theta$.
चूँकि $\theta \in [0, \pi]$ के लिए $\sin \theta \ge 0$ है,इसलिए $|\sin^3 \theta| = \sin^3 \theta$ होगा।
सर्वसमिका $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ का उपयोग करने पर,$\sin^3 \theta = \frac{3\sin \theta - \sin 3\theta}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,समाकलन $2 \int_0^{\pi} \frac{3\sin \theta - \sin 3\theta}{4} \, d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} (3\sin \theta - \sin 3\theta) \, d\theta$ हो जाता है।
समाकलन का मान निकालने पर: $\frac{1}{2} [-3\cos \theta + \frac{1}{3}\cos 3\theta]_0^{\pi}$.
$= \frac{1}{2} [(-3\cos \pi + \frac{1}{3}\cos 3\pi) - (-3\cos 0 + \frac{1}{3}\cos 0)]$.
$= \frac{1}{2} [(3 - 1/3) - (-3 + 1/3)] = \frac{1}{2} [8/3 - (-8/3)] = \frac{1}{2} [16/3] = 8/3$.

(A) हमें निश्चित समाकल $I = \int_{-1}^{2} {|x|\,dx}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि फलन $|x|$ का मान $x = 0$ पर बदलता है,इसलिए हम समाकल को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$I = \int_{-1}^{0} {|x|\,dx} + \int_{0}^{2} {|x|\,dx}$.
$x \in [-1, 0]$ के लिए,$|x| = -x$ और $x \in [0, 2]$ के लिए,$|x| = x$ होता है।
अतः,$I = \int_{-1}^{0} {-x\,dx} + \int_{0}^{2} {x\,dx}$.
पहले भाग का समाकलन: $\int_{-1}^{0} {-x\,dx} = -\left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = -\left( 0 - \frac{(-1)^2}{2} \right) = -\left( 0 - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}$.
दूसरे भाग का समाकलन: $\int_{0}^{2} {x\,dx} = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \left( \frac{2^2}{2} - 0 \right) = \frac{4}{2} = 2$.
दोनों भागों को जोड़ने पर: $I = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$.

(B) माना $I = \int_{0}^{3} {|2 - x| \, dx}$ है।
चूँकि $x \le 2$ के लिए $|2 - x| = 2 - x$ और $x > 2$ के लिए $|2 - x| = -(2 - x) = x - 2$ होता है,इसलिए हम समाकलन को $x = 2$ पर विभाजित करते हैं:
$I = \int_{0}^{2} {(2 - x) \, dx} + \int_{2}^{3} {(x - 2) \, dx}$
प्रथम समाकलन का मान:
$\int_{0}^{2} {(2 - x) \, dx} = [2x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{2} = (4 - 2) - (0 - 0) = 2$
द्वितीय समाकलन का मान:
$\int_{2}^{3} {(x - 2) \, dx} = [\frac{x^2}{2} - 2x]_{2}^{3} = (\frac{9}{2} - 6) - (\frac{4}{2} - 4) = (\frac{9-12}{2}) - (2 - 4) = -\frac{3}{2} - (-2) = -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2}$
दोनों भागों को जोड़ने पर:
$I = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

(B) हमें समाकलन $I = \int_{0}^{1} |3x^2 - 1| dx$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,हम वह बिंदु ज्ञात करते हैं जहाँ $3x^2 - 1 = 0$ होता है,जो $x^2 = 1/3$ देता है,इसलिए $x = 1/\sqrt{3}$ (क्योंकि $x \in [0, 1]$)।
$0 \le x < 1/\sqrt{3}$ के लिए,$3x^2 - 1 < 0$ है,इसलिए $|3x^2 - 1| = 1 - 3x^2$।
$1/\sqrt{3} < x \le 1$ के लिए,$3x^2 - 1 > 0$ है,इसलिए $|3x^2 - 1| = 3x^2 - 1$।
अतः,$I = \int_{0}^{1/\sqrt{3}} (1 - 3x^2) dx + \int_{1/\sqrt{3}}^{1} (3x^2 - 1) dx$।
समाकलन का मान निकालने पर:
$I = [x - x^3]_{0}^{1/\sqrt{3}} + [x^3 - x]_{1/\sqrt{3}}^{1}$।
$I = (\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{3\sqrt{3}}) - (0) + (1 - 1) - (\frac{1}{3\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}})$।
$I = \frac{2}{3\sqrt{3}} - (\frac{1-3}{3\sqrt{3}}) = \frac{2}{3\sqrt{3}} + \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{4}{3\sqrt{3}}$।

(B) माना $I = \int_{1}^{5} [|x - 3|] \, dx$.
हम निरपेक्ष मान और महत्तम पूर्णांक फलन की परिभाषा के आधार पर समाकलन को विभाजित करते हैं:
$I = \int_{1}^{3} [-(x - 3)] \, dx + \int_{3}^{5} [x - 3] \, dx$.
प्रथम भाग के लिए,$\int_{1}^{3} [3 - x] \, dx$:
जब $1 \le x < 2$,तब $1 < 3 - x \le 2$,इसलिए $[3 - x] = 1$.
जब $2 \le x < 3$,तब $0 < 3 - x \le 1$,इसलिए $[3 - x] = 0$.
अतः,$\int_{1}^{3} [3 - x] \, dx = \int_{1}^{2} 1 \, dx + \int_{2}^{3} 0 \, dx = [x]_{1}^{2} = 2 - 1 = 1$.
दूसरे भाग के लिए,$\int_{3}^{5} [x - 3] \, dx$:
जब $3 \le x < 4$,तब $0 \le x - 3 < 1$,इसलिए $[x - 3] = 0$.
जब $4 \le x < 5$,तब $1 \le x - 3 < 2$,इसलिए $[x - 3] = 1$.
अतः,$\int_{3}^{5} [x - 3] \, dx = \int_{3}^{4} 0 \, dx + \int_{4}^{5} 1 \, dx = [x]_{4}^{5} = 5 - 4 = 1$.
इसलिए,$I = 1 + 1 = 2$.

(D) माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} (\cos ax - \sin bx)^2 dx$ है।
समाकल्य का विस्तार करने पर,$I = \int_{-\pi}^{\pi} (\cos^2 ax + \sin^2 bx - 2\cos ax \sin bx) dx$ प्राप्त होता है।
समाकलन के रैखिकता गुण का उपयोग करने पर,$I = \int_{-\pi}^{\pi} (\cos^2 ax + \sin^2 bx) dx - 2\int_{-\pi}^{\pi} \cos ax \sin bx dx$।
चूंकि $\cos ax \sin bx$ एक विषम फलन है,इसलिए $\int_{-\pi}^{\pi} \cos ax \sin bx dx = 0$ होगा।
अतः,$I = \int_{-\pi}^{\pi} (\cos^2 ax + \sin^2 bx) dx$।
चूंकि फलन सम है,इसलिए $I = 2 \int_{0}^{\pi} (\cos^2 ax + \sin^2 bx) dx$ होगा।
सर्वसमिकाओं $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ और $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \int_{0}^{\pi} (\frac{1 + \cos 2ax}{2} + \frac{1 - \cos 2bx}{2}) dx = \int_{0}^{\pi} (2 + \cos 2ax - \cos 2bx) dx$।
पद-दर-पद समाकलन करने पर,$I = [2x + \frac{\sin 2ax}{2a} - \frac{\sin 2bx}{2b}]_{0}^{\pi}$।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\sin(2a\pi) = 0$ और $\sin(2b\pi) = 0$ होगा।
अतः,$I = 2\pi + 0 - 0 = 2\pi$।