int_0^{2pi} |sin^3 theta| , dtheta का मान ज्ञ | vedclass

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Question

(C) फलन $f(	heta) = |\sin^3 	heta|$ का आवर्तकाल $\pi$ है। अतः,$\int_0^{2\pi} |\sin^3 	heta| \, d	heta = 2 \int_0^{\pi} |\sin^3 	heta| \, d	heta$

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(C) फलन $f(	heta) = |\sin^3 	heta|$ का आवर्तकाल $\pi$ है। अतः,$\int_0^{2\pi} |\sin^3 	heta| \, d	heta = 2 \int_0^{\pi} |\sin^3 	heta| \, d	heta$. चूँकि $	heta \in [0, \pi]$ के लिए $\sin 	heta \ge 0$ है,इसलिए $|\sin^3 	heta| = \sin^3 	heta$ होगा। सर्वसमिका $\sin 3	heta = 3\sin 	heta - 4\sin^3 	heta$ का उपयोग करने पर,$\sin^3 	heta = \frac{3\sin 	heta - \sin 3	heta}{4}$ प्राप्त होता है। अतः,समाकलन $2 \int_0^{\pi} \frac{3\sin 	heta - \sin 3	heta}{4} \, d	heta = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} (3\sin 	heta - \sin 3	heta) \, d	heta$ हो जाता है। समाकलन का मान निकालने पर: $\frac{1}{2} [-3\cos 	heta + \frac{1}{3}\cos 3	heta]_0^{\pi}$. $= \frac{1}{2} [(-3\cos \pi + \frac{1}{3}\cos 3\pi) - (-3\cos 0 + \frac{1}{3}\cos 0)]$. $= \frac{1}{2} [(3 - 1/3) - (-3 + 1/3)] = \frac{1}{2} [8/3 - (-8/3)] = \frac{1}{2} [16/3] = 8/3$.

$\int_0^{2\pi} |\sin^3 \theta| \, d\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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