यदि (n - m) विषम है और |m| ne |n|, तो int_0^p | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^\pi \cos mx \sin nx \,dx$. त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है

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$\frac{2n}{n^2 - m^2}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_0^\pi \cos mx \sin nx \,dx$. त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos mx \sin nx = \frac{1}{2} [\sin(n+m)x - \sin(m-n)x] = \frac{1}{2} [\sin(n+m)x + \sin(n-m)x]$. इसका समाकलन करने पर: $I = \frac{1}{2} \int_0^\pi [\sin(n+m)x + \sin(n-m)x] \,dx$ $I = \frac{1}{2} \left[ -\frac{\cos(n+m)x}{n+m} - \frac{\cos(n-m)x}{n-m} \right]_0^\pi$ $I = -\frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\cos(n+m)\pi}{n+m} + \frac{\cos(n-m)\pi}{n-m} \right) - \left( \frac{1}{n+m} + \frac{1}{n-m} \right) \right]$ चूंकि $(n-m)$ विषम है,इसलिए $(n+m)$ भी विषम होगा। अतः,$\cos(n+m)\pi = -1$ और $\cos(n-m)\pi = -1$. $I = -\frac{1}{2} \left[ \left( \frac{-1}{n+m} - \frac{1}{n-m} \right) - \left( \frac{1}{n+m} + \frac{1}{n-m} \right) \right]$ $I = -\frac{1}{2} \left[ -2 \left( \frac{1}{n+m} + \frac{1}{n-m} \right) \right] = \frac{1}{n+m} + \frac{1}{n-m}$ $I = \frac{(n-m) + (n+m)}{n^2 - m^2} = \frac{2n}{n^2 - m^2}$.

यदि $(n - m)$ विषम है और $|m| \ne |n|,$ तो $\int_0^\pi {\cos mx \sin nx} \,dx$ का मान क्या है?

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