वह छोटे से छोटा अन्तराल  $[a,\,\,b]$ जिसके लिए  $\int_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 + {x^4}} }}} \in [a,\,\,b]$  है,  

माना $f:[0,2] \rightarrow R$,

$f(x)= \begin{cases}e^{\min \left\{x^2, x-[x]\right\}}, & x \in[0,1) \\ e^{\left[x-\log _e x\right]}, & x \in[1,2]\end{cases}$

द्वारा परिभाषित है, जहाँ $[\mathrm{t}]$ का महत्तम पूर्णांक $\leq \mathrm{t}$ है। तो समाकलन $\int_0^2 \mathrm{xf}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}$ का मान है -

मान लीजिये की फलन $f:[0, \pi] \rightarrow R$ इस प्रकार परिभाषित है : $f(x)=\sin x$ यदि $[0, \pi]$ में $x$ अपरिमेय संख्या है, $f(x)=\tan ^2 x$ यदि $[0, \pi]$ में $x$ परिमेय संख्या है। अंतराल $[0, \pi]$ में ऐसे कितने मान हैं जिनपर $f$ सतत है ।

माना एक फलन $f [0,1]$ मे ऋणोत्तर तथा $(0,1)$ में दो बार अवकलनीय है। यदि $\int_{0}^{ x } \sqrt{1-\left( f ^{\prime}( t )\right)^{2}} dt =\int \limits_{0}^{ x } f ( t ) dt$, $0 \leq x \leq 1$ तथा $f (0)=0$, है, तो $\lim \limits_{ x \rightarrow 0} \frac{1}{ x ^{2}} \int \limits_{0}^{ x } f ( t ) dt$

माना $f ( x )=2+| x |-| x -1|+| x +1|, x \in R$ है। माना 

$( S 1): f ^{\prime}\left(-\frac{3}{2}\right)+ f ^{\prime}\left(-\frac{1}{2}\right)+ f ^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)+ f ^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)=2$

$(S2): \int_{-2}^2 f ( x ) dx =12$ है। तब

माना $\mathrm{a}$ तथा $\mathrm{b}$ वास्तविक अचर इस प्रकार है कि फलन $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2+3 x+a, & x \leq 1 \\ b x+2, & x>1\end{array}, R\right.$ पर अवकलनीय है। तो $\int_{-2}^2 \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{d} x$ का मान बराबर है