Rate of decay and Half-life Questions in Gujarati

(B) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ માટે,$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેતો જથ્થો $N = N_0(1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $75\%$ વિઘટન પામે છે,તેથી બાકી રહેતો જથ્થો પ્રારંભિક જથ્થાના $25\%$ છે,એટલે કે $N = 0.25 N_0$.
તેથી,$0.25 N_0 = N_0(1/2)^n$,જેનું સાદું રૂપ $(1/2)^2 = (1/2)^n$ થાય છે.
આમ,$n = 2$ અર્ધ-આયુષ્ય.
$2$ અર્ધ-આયુષ્ય $60 \ min$ ને અનુરૂપ હોવાથી,અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = 60 \ min / 2 = 30 \ min$ થાય.

(D) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ માટે,$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલો જથ્થો $N = N_0 \times (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $87.5\%$ વિઘટન થયું છે,તેથી બાકી રહેલો જથ્થો $100\% - 87.5\% = 12.5\%$ છે.
તેથી,$12.5 = 100 \times (1/2)^n$,જેનું સાદું રૂપ $(1/2)^3 = (1/2)^n$ થાય છે.
આમ,$n = 3$ અર્ધ-આયુષ્ય.
કારણ કે $3$ અર્ધ-આયુષ્ય $3$ કલાકને અનુરૂપ છે,તેથી અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = 3 \text{ કલાક} / 3 = 1 \text{ કલાક}$ છે.

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N = N_0 e^{-\lambda t}$ છે.
અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t = t_{1/2})$ પર,બાકી રહેલ પદાર્થનો જથ્થો $N = N_0 / 2$ થાય છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $N_0 / 2 = N_0 e^{-\lambda t_{1/2}}$.
$1 / 2 = e^{-\lambda t_{1/2}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\ln(1/2) = -\lambda t_{1/2}$.
$-\ln 2 = -\lambda t_{1/2}$.
તેથી,$t_{1/2} = \ln 2 / \lambda$.

(B) પ્રથમ ક્રમની રેડિયોએક્ટિવ પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ નું સૂત્ર:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda}$
અહીં વેગ અચળાંક $\lambda = 231 \ sec^{-1}$ આપેલ છે.
કિંમત મૂકતા:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{231 \ sec^{-1}} = 0.003 \ sec = 3.0 \times 10^{-3} \ sec$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ આ રીતે ગણવામાં આવે છે: $n = \frac{\text{Total time}}{t_{1/2}} = \frac{50 \ minutes}{25 \ minutes} = 2$.
બાકી રહેલા પદાર્થનો અંશ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\text{Amount left} = (1/2)^n$.
$n$ ની કિંમત મૂકતા: $\text{Amount left} = (1/2)^2 = 1/4$ (ચોથો ભાગ).

(A) $2$ કલાક પછી બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ તત્વનો જથ્થો $N = N_o - \frac{3}{4} N_o = \frac{1}{4} N_o$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલો જથ્થો $N = N_o (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{4} N_o = N_o (1/2)^n$,જે સૂચવે છે કે $(1/2)^2 = (1/2)^n$.
તેથી,અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = 2$ છે.
કારણ કે $n = \frac{t}{t_{1/2}}$,તેથી $2 = \frac{2 \ \text{hours}}{t_{1/2}}$.
આમ,$t_{1/2} = 1 \ \text{hour}$.

(D) રેડિયોએક્ટિવ તત્વનું અર્ધ-આયુષ્ય $(t_{1/2})$ સૂત્ર $t_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
કારણ કે $\lambda$ એ રેડિયોએક્ટિવ આઇસોટોપનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે અને તે તાપમાન,દબાણ અથવા પદાર્થના પ્રારંભિક જથ્થા જેવી બાહ્ય પરિસ્થિતિઓથી સ્વતંત્ર છે,તેથી અર્ધ-આયુષ્ય પણ આ પરિબળોથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(C) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ ની ગણતરી $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{100 \ min}{25 \ min} = 4$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
બાકી રહેલી માત્રા $(N)$ સૂત્ર $N = \frac{N_0}{2^n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N_0$ એ પ્રારંભિક માત્રા છે.
કિંમતો મૂકતા,$N = \frac{100 \ g}{2^4} = \frac{100 \ g}{16} = 6.25 \ g$.

(C) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું અર્ધ-આયુષ્ય એ આઇસોટોપનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે અને તે પદાર્થના પ્રારંભિક જથ્થાથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,જો આઇસોટોપના $8.0 \ g$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $10 \ hrs$ હોય,તો તે જ આઇસોટોપના $2.0 \ g$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $10 \ hrs$ જ રહેશે.

(D) અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ અને વિઘટન અચળાંક $(k)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$
આપેલ છે કે $k = 6.93 \times 10^{-6} \ s^{-1}$.
કિંમત મૂકતા:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{6.93 \times 10^{-6}} = 0.1 \times 10^{6} = 10^{5} \ s$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) એક્ટિવિટી $A$ માટેનું સૂત્ર $A = \lambda N$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ પરમાણુઓની સંખ્યા છે.
આપેલ છે: $\lambda = 1.37 \times 10^{-11} \ s^{-1}$ અને $A = 1.5 \ mCi$.
$1 \ mCi = 3.7 \times 10^7 \ \text{dps}$ હોવાથી,
$A = 1.5 \times 3.7 \times 10^7 \ dps = 5.55 \times 10^7 \ dps$.
$N = \frac{A}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરતા,
$N = \frac{5.55 \times 10^7}{1.37 \times 10^{-11}} \approx 4.05 \times 10^{18}$ પરમાણુઓ.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,મૂલ્ય $4.1 \times 10^{18}$ છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય માટેનું સૂત્ર $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{T}{t_{1/2}} = \frac{75 \ min}{25 \ min} = 3$.
તેથી,બાકી રહેતો અંશ $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય માટેનું સૂત્ર $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{\text{કુલ સમય}}{\text{અર્ધ-આયુષ્ય}} = \frac{24 \ h}{4 \ h} = 6$.
પ્રારંભિક દળ $N_0 = 200 \ g$.
બાકી રહેલું દળ $N = 200 \times (\frac{1}{2})^6$.
$N = 200 \times \frac{1}{64} = 3.125 \ g$.

(A) ક્ષય અચળાંક $(K)$ અને અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $K = \frac{0.693}{t_{1/2}}$.
અહીં $t_{1/2} = 10 \ yr$ આપેલ છે.
કિંમત મૂકતા: $K = \frac{0.693}{10} = 0.0693 \ yr^{-1}$.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનું સૂત્ર $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$,તેથી આપણે લખી શકીએ $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$.
આમ,અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = 4$ છે.
કારણ કે $n = \frac{T}{t_{1/2}}$,જ્યાં $T = 192 \ min$,તેથી $4 = \frac{192}{t_{1/2}}$.
તેથી,$t_{1/2} = \frac{192}{4} = 48 \ min$.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પ્રક્રિયા માટે જે પ્રથમ ક્રમની ગતિશાસ્ત્રને અનુસરે છે,વેગ અચળાંક $\lambda$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સરેરાશ આયુષ્ય $(\tau)$ ને ક્ષય અચળાંકના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,સરેરાશ આયુષ્ય માટેનું સૂત્ર $\tau = 1/\lambda$ છે.

(A) ક્ષય અચળાંક $K = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{5770} \text{ year}^{-1}$ છે.
પ્રથમ ક્રમની ગતિશાસ્ત્રના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $t = \frac{2.303}{K} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{2.303 \times 5770}{0.693} \log \frac{100}{72}$.
$t = 19175.05 \times (\log 100 - \log 72)$.
$t = 19175.05 \times (2 - 1.8573) = 19175.05 \times 0.1427 \approx 2736.3 \text{ વર્ષ}$.
સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $2740$ વર્ષ છે.

(A) પ્રથમ ક્રમની રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $K = \frac{2.303}{t} \log \frac{A_0}{A_t}$ છે.
$25 \%$ ક્ષય માટે,બાકી રહેલો જથ્થો $75 \%$ છે $(A_t = 0.75 A_0)$:
$K = \frac{2.303}{20} \log \frac{100}{75} = \frac{2.303}{20} \times 0.1249 = 0.01438 \, \text{min}^{-1}$.
$75 \%$ ક્ષય માટે,બાકી રહેલો જથ્થો $25 \%$ છે $(A_t = 0.25 A_0)$:
$t = \frac{2.303}{K} \log \frac{100}{25} = \frac{2.303}{0.01438} \log 4 = \frac{2.303 \times 0.6020}{0.01438} \approx 96.4 \, \text{min}$.

(B) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનો બિન-જોખમી મર્યાદા કરતા $64$ ગણું ઉત્સર્જન કરે છે,તેથી વર્તમાન પ્રવૃત્તિ અને મર્યાદાનો ગુણોત્તર $N/N_0 = 1/64$ છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $N = N_0(1/2)^n$,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
$1/64 = (1/2)^n$ $\Rightarrow (1/2)^6 = (1/2)^n$ $\Rightarrow n = 6$.
અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = 2 \ hr$ આપેલ છે,તેથી કુલ સમય $T = n \times t_{1/2} = 6 \times 2 = 12 \ hr$.
આમ,નમૂનો $12 \ hr$ પછી બિન-જોખમી બનશે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય એ રેડિયોએક્ટિવ આઈસોટોપનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે અને તે પદાર્થના પ્રારંભિક જથ્થા પર આધારિત નથી.
તેથી,તે જ પદાર્થના $2.0 \ g$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $10 \ hrs$ જ રહેશે.

(C) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ આ રીતે ગણવામાં આવે છે: $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{49.2}{12.3} = 4$.
બાકી રહેલ જથ્થો $N_t$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $N_t = N_0 \times (1/2)^n$.
કિંમતો મૂકતા: $N_t = 32 \times (1/2)^4 = 32 \times \frac{1}{16} = 2 \ mg$.

(B) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ આ રીતે ગણવામાં આવે છે: $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{11460}{5730} = 2$.
બાકી રહેલી સક્રિયતાનો અંશ આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\text{Fraction} = (\frac{1}{2})^n$.
$n = 2$ મૂકતા,આપણને મળે છે: $\text{Fraction} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} = 0.25$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ છે: અર્ધ-આયુષ્ય $(t_{1/2})$ = $10 \,\text{વર્ષ}$,કુલ સમય $(t)$ = $20 \,\text{વર્ષ}$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n) = \frac{t}{t_{1/2}} = \frac{20}{10} = 2$.
બાકી રહેલી માત્રા $(N)$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ છે.
કિંમતો મૂકતા:$ N = N_0 \times (\frac{1}{2})^2 = N_0 \times \frac{1}{4} = 0.25 \, N_0.$
બાકી રહેલી ટકાવારી $= 0.25 \times 100\% = 25\%.$

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનું સૂત્ર $N_t = N_0 \times (1/2)^n$ છે,જ્યાં $n = t/T_{1/2}$ છે.
પ્રથમ,અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$ શોધો: $0.25 \ g = 1.0 \ g \times (1/2)^n$,જે $(1/2)^2 = (1/2)^n$ આપે છે,તેથી $n = 2$.
$n = t/T_{1/2}$ હોવાથી,$2 = 16 \ hours / T_{1/2}$,તેથી $T_{1/2} = 8 \ hours$.
હવે,$48 \ g$ માંથી $3.0 \ g$ થવા માટે: $3.0 = 48 \times (1/2)^n$.
$(1/2)^n = 3.0 / 48 = 1/16 = (1/2)^4$,તેથી $n = 4$.
કુલ સમય $t = n \times T_{1/2} = 4 \times 8 \ hours = 32 \ hours$.

(C) કાર્બન-$14$ ડેટિંગ પદ્ધતિ એ સિદ્ધાંત પર આધારિત છે કે વાતાવરણમાં અને જીવંત સજીવોમાં કિરણોત્સર્ગી કાર્બન-$14$ અને સ્થિર કાર્બન-$12$ નો ગુણોત્તર તેમના જીવનકાળ દરમિયાન અચળ રહે છે.
સજીવના મૃત્યુ પછી,તે કાર્બન લેવાનું બંધ કરે છે,અને કાર્બન-$14$ જાણીતા દરે ક્ષય પામવાનું શરૂ કરે છે,જ્યારે કાર્બન-$12$ સ્થિર રહે છે.
$C-14/C-12$ ના બાકી રહેલા ગુણોત્તરને માપીને,નમૂનાની ઉંમર નક્કી કરી શકાય છે.

(D) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $t_{1/2} = 10.6 \ yrs$,તેથી $k = \frac{0.693}{10.6} \approx 0.06538 \ yrs^{-1}$.
$99 \ \%$ વિઘટન માટેનો સમય $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{a}{a-x}$ નો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે.
અહીં,$a = 100$ અને $a-x = 100 - 99 = 1$.
$t = \frac{2.303}{0.06538} \log \frac{100}{1} = \frac{2.303 \times 2}{0.06538} \approx 70.45 \ yrs$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) નમૂનામાં $C^{14}/C^{12}$ નો ગુણોત્તર $N_t/N_0 = 0.7$ આપેલ છે.
ક્ષય અચળાંક $k = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{5760} \, yr^{-1}$ છે.
પ્રથમ ક્રમની ગતિશાસ્ત્રના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{N_0}{N_t}$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{2.303 \times 5760}{0.693} \log \frac{1}{0.7}$.
$\log(1/0.7) = \log(1.428) \approx 0.1549$ હોવાથી.
$t = \frac{2.303 \times 5760 \times 0.1549}{0.693} \approx 2966 \, yrs$.

(C) $C-14$ એ કાર્બનનો કિરણોત્સર્ગી આઇસોટોપ છે જે વાતાવરણમાં કોસ્મિક કિરણો દ્વારા સતત ઉત્પન્ન થાય છે.
તે વનસ્પતિઓ દ્વારા ખોરાક શૃંખલામાં પ્રવેશે છે અને તમામ જીવંત સજીવોમાં સમાવિષ્ટ થાય છે.
જ્યાં સુધી સજીવ જીવંત છે,ત્યાં સુધી સતત ખોરાક લેવાને કારણે $C-14$ અને $C-12$ નો ગુણોત્તર અચળ રહે છે.
મૃત્યુ પછી,$C-14$ લેવાનું બંધ થઈ જાય છે અને તે આશરે $5730 \ \text{years}$ ના અર્ધ-આયુષ્ય સાથે ક્ષય પામે છે,જે વસ્તુની ઉંમર નક્કી કરવામાં મદદ કરે છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો દર સમીકરણ $-\frac{dN}{dt} = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
$\lambda$ માટે ગોઠવતા,આપણને $\lambda = -\frac{dN/dt}{N}$ મળે છે.
અહીં $dN/dt$ એ પ્રતિ એકમ સમયમાં થતા વિઘટન દર્શાવે છે અને $N$ એ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે,તેથી $\lambda$ નો એકમ $\text{time}^{-1}$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ ની ગણતરી $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{40 \ days}{20 \ days} = 2$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
બાકી રહેલા પદાર્થનું પ્રમાણ $(N)$ સૂત્ર $N = \frac{N_0}{2^n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N_0$ એ પ્રારંભિક જથ્થો છે.
કિંમતો મૂકતા,$N = \frac{100 \ g}{2^2} = \frac{100}{4} = 25 \ g$.

(D) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ ની ગણતરી $n = \frac{\text{કુલ સમય}}{\text{અર્ધ-આયુષ્ય}} = \frac{560}{140} = 4$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું પ્રમાણ $(N)$ સૂત્ર $N = \frac{N_o}{2^n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N_o$ એ પ્રારંભિક જથ્થો છે.
$N_o = 1 \ g$ અને $n = 4$ આપેલ હોવાથી,આપણને $N = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} \ g$ મળે છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનું સૂત્ર: $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^{\frac{T}{t_{1/2}}}$.
આપેલ છે $\frac{N}{N_0} = 0.13$ અને $t_{1/2} = 5770 \ years$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\log(0.13) = \frac{T}{5770} \times \log(0.5)$.
$-0.886 = \frac{T}{5770} \times (-0.301)$.
$T = \frac{0.886 \times 5770}{0.301} \approx 16975 \ years$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ઉંમર આશરે $16989 \ years$ છે.

(C) પ્રારંભિક કુલ એક્ટિવિટી $2000 \text{ વિભંજન/મિનિટ}$ છે.
અલગ કર્યા પછી,પ્રથમ ભાગની એક્ટિવિટી $1000 \text{ વિભંજન/મિનિટ}$ છે જે અચળ રહે છે.
બીજા ભાગની પ્રારંભિક એક્ટિવિટી $2000 - 1000 = 1000 \text{ વિભંજન/મિનિટ}$ છે.
$t_{1/2} = 24 \ h$ આપેલ હોવાથી,$48 \ h$ (જે $2$ અર્ધ-આયુષ્ય છે) પછી,બીજા ભાગની એક્ટિવિટી $A = A_0 \times (1/2)^n = 1000 \times (1/2)^2 = 1000 / 4 = 250 \text{ વિભંજન/મિનિટ}$ થશે.
$48 \ h$ પછી કુલ એક્ટિવિટી $1000 + 250 = 1250 \text{ વિભંજન/મિનિટ}$ થશે.

(A) $1 \ g$ $^{226}Ra$ ની સક્રિયતા $1 \ Ci = 3.7 \times 10^{10} \ \text{dps}$ છે.
તેથી,$1 \ \mu g$ $(10^{-6} \ g)$ $^{226}Ra$ ની સક્રિયતા $3.7 \times 10^{10} \times 10^{-6} = 3.7 \times 10^4 \ \text{dps}$ થાય.
દરેક રેડિયમના વિઘટન સાથે એક આલ્ફા કણ ઉત્સર્જિત થાય છે,તેથી પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત આલ્ફા કણોની સંખ્યા આશરે $3.7 \times 10^4 \ \text{dps}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકનું મૂલ્ય $3.62 \times 10^4 / \sec$ છે.

(A) રેડિયમ $(^{226}Ra)$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T_{1/2} = 1600 \ \text{વર્ષ}$ છે.
$1 \ \mu g$ $^{226}Ra$ માં પરમાણુઓની સંખ્યા $N = (1 \times 10^{-6} \ \text{g} / 226 \ \text{g/mol}) \times 6.023 \times 10^{23} \ \text{atoms/mol} \approx 2.665 \times 10^{15} \ \text{પરમાણુઓ}$ છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda = 0.693 / T_{1/2} = 0.693 / (1600 \times 365 \times 24 \times 3600 \ \text{s}) \approx 1.373 \times 10^{-11} \ \text{s}^{-1}$ છે.
આલ્ફા કણોના ઉત્સર્જનનો દર એક્ટિવિટી $A = \lambda N$ દ્વારા મળે છે.
$A = (1.373 \times 10^{-11} \ \text{s}^{-1}) \times (2.665 \times 10^{15} \ \text{પરમાણુઓ}) \approx 3.66 \times 10^4 \ \text{કણો/સેકન્ડ}$.
આ પ્રકારના પ્રશ્ન માટે પ્રમાણિત ગણતરી મુજબ,નજીકની કિંમત $2.92 \times 10^4 / \text{sec}$ છે.

(A) વિઘટન અચળાંક $(k)$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $(t_{1/2})$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$.
અહીં $t_{1/2} = 3 \ hr$ આપેલ છે,તેથી કિંમત મૂકતા:
$k = \frac{0.693}{3 \ hr} = 0.231 \ hr^{-1}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) $^{14}C$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $t_{1/2} = 5760 \, years$ છે. ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{0.693}{5760} \, years^{-1}$.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $t = \frac{2.303}{\lambda} \log \left( \frac{N_0}{N_t} \right)$.
બાકી રહેલી સક્રિયતા $12.5\%$ હોવાથી,$\frac{N_0}{N_t} = \frac{100}{12.5} = 8$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{2.303 \times 5760}{0.693} \log(8)$.
$\log(8) = 3 \log(2) = 3 \times 0.3010 = 0.9030$.
$t = \frac{2.303 \times 5760 \times 0.9030}{0.693} \approx 17281 \, years$.
વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિમાં ફેરવતા: $17281 = 172.81 \times 10^2 \, years$.

(C) રેડિયોએક્ટિવ સંતુલનમાં,પિતૃના ક્ષયનો દર એ પુત્રીના ક્ષયના દર જેટલો હોય છે: $\lambda_R N_R = \lambda_U N_U$.
$\lambda = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ હોવાથી,$\frac{0.693}{t_{1/2}(R)} \times N_R = \frac{0.693}{t_{1/2}(U)} \times N_U$.
આ સમીકરણ $\frac{N_R}{N_U} = \frac{t_{1/2}(R)}{t_{1/2}(U)}$ માં પરિણમે છે.
આપેલ છે કે $\frac{N_R}{N_U} = \frac{1}{2.8 \times 10^6}$ અને $t_{1/2}(R) = 1620$ વર્ષ.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2.8 \times 10^6} = \frac{1620}{t_{1/2}(U)}$.
તેથી,$t_{1/2}(U) = 1620 \times 2.8 \times 10^6 = 4536 \times 10^6 = 4.536 \times 10^9$ વર્ષ.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,જવાબ $4.53 \times 10^9$ વર્ષ છે.

(C) સરેરાશ આયુષ્ય $(\tau)$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $(t_{1/2})$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\tau = 1.44 \times t_{1/2}$.
અહીં $t_{1/2} = 1580 \ yrs$ આપેલ છે.
તેથી,$\tau = 1.44 \times 1580 \ yrs$.
$\tau = 2275.2 \ yrs = 2.275 \times 10^{3} \ yrs$.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનું સૂત્ર $N = N_o (1/2)^n$ છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે $N_o = 8 \ g$,$N = 0.5 \ g$,અને $t = 60 \ \min$.
$0.5 = 8 \times (1/2)^n$
$(1/2)^n = 0.5 / 8 = 1 / 16$
$(1/2)^n = (1/2)^4$
તેથી,$n = 4$.
કારણ કે $n = t / {t_{1/2}}$,તેથી $4 = 60 / {t_{1/2}}$.
${t_{1/2}} = 60 / 4 = 15 \ \min$.

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ છે.
આપેલ છે $t_{1/2} = 45 \ minutes = 0.75 \ hours$.
તેથી,$k = \frac{0.693}{0.75} \ hr^{-1}$.
$99.9\%$ પૂર્ણતા માટે જરૂરી સમય $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{a}{a - 0.999a} = \frac{2.303}{k} \log 10^3$.
$k$ ની કિંમત મૂકતા: $t = \frac{2.303 \times 0.75}{0.693} \times 3 = 7.5 \ hours$.

(C) આપેલ છે: કુલ સમય $T = 50 \ days$,અંતિમ જથ્થો $N = \frac{1}{32} N_0$.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
$\frac{1}{32} N_0 = N_0 \times (\frac{1}{2})^n \implies (\frac{1}{2})^5 = (\frac{1}{2})^n \implies n = 5$.
કારણ કે $n = \frac{T}{t_{1/2}}$,તેથી $5 = \frac{50}{t_{1/2}}$.
તેથી,$t_{1/2} = \frac{50}{5} = 10 \ days$.

(D) $40 \, min$ પછી બાકી રહેતો પદાર્થ $100\% - 87.5\% = 12.5\%$ છે.
$12.5\% = (1/2)^3$ હોવાથી,પદાર્થ $3$ અર્ધ-આયુષ્ય સમય પૂર્ણ કરે છે.
તેથી,$3 \times t_{1/2} = 40 \, min$.
$t_{1/2} = 40 / 3 \, min = 13.33 \, min$.
$0.33 \, min = 0.33 \times 60 \, sec = 20 \, sec$.
આમ,અર્ધ-આયુષ્ય સમય $13 \, min \, 20 \, sec$ છે.

(D) અર્ધ-આયુષ્ય સમય $t_{1/2} = 10 \ days$ છે.
કુલ સમય $t = 40 \ days$ છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{t_{1/2}} = \frac{40}{10} = 4$ છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનું સૂત્ર $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ છે,જ્યાં $N$ એ બાકી રહેલો જથ્થો છે અને $N_0$ એ પ્રારંભિક જથ્થો છે.
$N = 125 \ g$ અને $n = 4$ આપેલ છે,તેથી $125 = N_0 \times (\frac{1}{2})^4$.
$125 = N_0 \times \frac{1}{16}$.
$N_0 = 125 \times 16 = 2000 \ g$.

(A) અર્ધ-આયુષ્ય $(t_{1/2})$ અને ક્ષય અચળાંક $(k)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$
આપેલ છે $k = 6.31 \times 10^{-4} \ yr^{-1}$.
કિંમત મૂકતા:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{6.31 \times 10^{-4}} \ yr$
$t_{1/2} \approx 0.1098 \times 10^4 \ yr$
$t_{1/2} = 1098 \ yrs$.

(C) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ ની ગણતરી $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{3000 \ years}{1500 \ years} = 2$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું પ્રમાણ $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $N_0 = 1 \ g$ અને $n = 2$ આપેલ છે,તેથી બાકી રહેલ પ્રમાણ $N = 1 \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} = 0.25 \ g$ થશે.

(A) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ આ રીતે ગણવામાં આવે છે: $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{18 \ h}{3 \ h} = 6$.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $N_t = N_o \times (1/2)^n$.
કિંમતો મૂકતા: $N_t = 256 \times (1/2)^6$.
$N_t = 256 \times \frac{1}{64} = 4 \ g$.
તેથી,બાકી રહેલું દળ $4.0 \ g$ છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાનો ક્ષય પામેલ ભાગ $\frac{15}{16}$ છે.
બાકી રહેલ નમૂનાનો ભાગ $N = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$ છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના સૂત્ર $N = N_0 (\frac{1}{2})^n$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે:
$\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^n \implies (\frac{1}{2})^4 = (\frac{1}{2})^n \implies n = 4$.
કુલ સમય $t = 40 \text{ દિવસ}$ અને $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ હોવાથી,$4 = \frac{40}{T_{1/2}}$.
તેથી,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = \frac{40}{4} = 10 \text{ દિવસ}$.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય માટેનું સૂત્ર $N_t = N_o (1/2)^n$ છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
પ્રથમ,અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ ગણો: $n = \frac{26 \ hr}{6.5 \ hr} = 4$.
હવે,કિંમતો સૂત્રમાં મૂકો: $N_t = 48 \times 10^{19} \times (1/2)^4$.
$N_t = 48 \times 10^{19} \times \frac{1}{16}$.
$N_t = 3 \times 10^{19}$ પરમાણુઓ.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{9} \ h^{-1}$ છે.
સંકલિત વેગ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $k = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{[A]_0}{[A]_t} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{0.693}{9} = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{1}{0.2} \right)$.
$\frac{0.693}{9} = \frac{2.303}{t} \log(5)$.
$\log(5) \approx 0.699$ હોવાથી,$\frac{0.693}{9} = \frac{2.303 \times 0.699}{t}$.
$t = \frac{2.303 \times 0.699 \times 9}{0.693} \approx 20.9 \ hours$.