Rate of decay and Half-life Questions in Gujarati

(B) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થના વિઘટનનો દર $(r)$ સમીકરણ $r = \lambda \cdot N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ હાજર રેડિયોએક્ટિવ પરમાણુઓની સંખ્યા છે.
વિઘટનનો દર પરમાણુઓની સંખ્યાના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી $(r \propto N)$,જો પદાર્થનો જથ્થો (પરમાણુઓની સંખ્યા $N$) ત્રણ ગણો કરવામાં આવે,તો એકમ સમયમાં વિઘટિત થતા પરમાણુઓની સંખ્યા પણ ત્રણ ગણી થશે.

(B) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ ની ગણતરી $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{24}{8} = 3$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
બાકી રહેલ દળ $N$ એ સૂત્ર $N = \frac{N_0}{2^n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N_0$ એ પ્રારંભિક દળ છે.
કિંમતો મૂકતા,$N = \frac{40}{2^3} = \frac{40}{8} = 5 \ g$.

(C) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ ની ગણતરી આ રીતે થાય છે: $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{90}{30} = 3$.
બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $(N)$ સૂત્ર $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N_0$ એ પરમાણુઓની પ્રારંભિક સંખ્યા છે.
કિંમતો મૂકતા: $N = 600 \times (\frac{1}{2})^3 = 600 \times \frac{1}{8} = 75 \ atoms$.

(D) રેડિયોએક્ટિવ વિઘટનનો દર સૂત્ર $Rate = \lambda \times N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ હાજર રેડિયોએક્ટિવ પરમાણુઓની સંખ્યા છે.
દર એ પરમાણુઓની સંખ્યાના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી $(Rate \propto N)$,જો રેડિયોએક્ટિવ તત્વનો જથ્થો બમણો કરવામાં આવે,તો પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ એ $2N$ થઈ જશે.
તેથી,નવો દર $\lambda \times (2N) = 2 \times (\lambda \times N)$ થશે,જે મૂળ દર કરતા બમણો છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(C) વિઘટન અચળાંક $(k)$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $(t_{1/2})$ વચ્ચેનો સંબંધ: $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$
આપેલ છે $t_{1/2} = 1000 \ s$.
કિંમત મૂકતા: $k = \frac{0.693}{1000 \ s} = 0.000693 \ s^{-1} = 6.93 \times 10^{-4} \ s^{-1}$.

(B) વિઘટન અચળાંક $(K)$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $(t_{1/2})$ વચ્ચેનો સંબંધ: $K = \frac{0.693}{t_{1/2}}$.
અહીં $t_{1/2} = 1600 \ years$ આપેલ છે.
$K = \frac{0.693}{1600} = 4.33 \times 10^{-4} \ year^{-1}$.

(C) વિઘટન અચળાંક $(K)$ અને અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{K}$
અહીં $K = 0.58 \, hr^{-1}$ આપેલ છે,
$t_{1/2} = \frac{0.693}{0.58} \approx 1.2 \, hr$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ ની ગણતરી આ રીતે થાય છે: $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{16}{8} = 2$.
બાકી રહેલ દળ $(N)$ માટેનું સૂત્ર $N = \frac{N_0}{2^n}$ છે,જ્યાં $N_0$ એ પ્રારંભિક દળ છે.
કિંમતો મૂકતા: $N = \frac{16.0}{2^2} = \frac{16.0}{4} = 4.0 \ g$.

(B) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ ની ગણતરી $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{80}{20} = 4$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલા પદાર્થનો અંશ $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 4$ મૂકતા,આપણને $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$ મળે છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય માટેનું સૂત્ર $N = (1/2)^n \times N_o$ છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે $N_o = 1.0 \, g = 1000 \, mg$ અને $N = 125 \, mg$.
$(1/2)^n = 125 / 1000 = 1/8$.
કારણ કે $1/8 = (1/2)^3$,તેથી $n = 3$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \text{કુલ સમય} / t_{1/2}$.
$3 = 24 \, hours / t_{1/2}$.
તેથી,$t_{1/2} = 24 / 3 = 8 \, hours$.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પ્રથમ ક્રમની ગતિશાસ્ત્રને અનુસરે છે: $N_t = N_0 e^{-\lambda t}$.
પ્રથમ અંતરાલ માટે: $t = 15 \ min$ પર $N_t = N_0 / 10$.
તેથી,$1/10 = e^{-\lambda(15)} \implies \ln(10) = 15\lambda \implies \lambda = \ln(10) / 15$.
મૂળ જથ્થાના $1/100$ ભાગ સુધી પહોંચવા માટે કુલ સમય $T$ માટે: $N_T = N_0 / 100$.
$1/100 = e^{-\lambda T} \implies \ln(100) = \lambda T$.
કારણ કે $\ln(100) = 2 \ln(10)$,તેથી $2 \ln(10) = (\ln(10) / 15) \times T$.
$T$ માટે ઉકેલતા: $T = 2 \times 15 = 30 \ min$.
જરૂરી વધારાનો સમય $T - 15 = 30 - 15 = 15 \ min$ છે.

(D) $75\%$ વિઘટન પછી બાકી રહેલો જથ્થો $100\% - 75\% = 25\%$ છે.
$25\% = (1/2)^2$ હોવાથી,પદાર્થ $2$ અર્ધ-આયુષ્ય સમયમાંથી પસાર થયો છે.
આપેલ છે કે $2$ અર્ધ-આયુષ્ય $= 30 \, \text{min}$,તેથી અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2}$ નીચે મુજબ ગણાય:
$t_{1/2} = \frac{30 \, \text{min}}{2} = 15 \, \text{min}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) સરેરાશ આયુષ્ય $(\tau)$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $(t_{1/2})$ વચ્ચેનો સંબંધ $\tau = \frac{t_{1/2}}{0.693}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $t_{1/2} = 69.3 \text{ મિનિટ}$.
તેથી,$\tau = \frac{69.3}{0.693} = 100 \text{ મિનિટ}$.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનું સૂત્ર $N = N_0 \times (1/2)^n$ છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $1.25 = 10 \times (1/2)^n \implies (1/2)^n = 1.25/10 = 1/8 = (1/2)^3$.
આમ,$n = 3$ અર્ધ-આયુષ્ય $15 \ \text{દિવસ}$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T_{1/2} = 15/3 = 5 \ \text{દિવસ}$.
બીજા કિસ્સા માટે: $N_0 = 1 \ kg = 1000 \ g$ અને $N = 500 \ g$.
$500 = 1000 \times (1/2)^n \implies (1/2)^n = 500/1000 = 1/2 = (1/2)^1$.
આમ,$n = 1$ અર્ધ-આયુષ્યની જરૂર છે.
લાગતો સમય = $n \times T_{1/2} = 1 \times 5 = 5 \ \text{દિવસ}$.

(D) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ ની ગણતરી $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{12}{3} = 4$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક જથ્થા $(N_0)$ અને બાકી રહેલા જથ્થા $(N)$ વચ્ચેનો સંબંધ $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$N_0$ માટે ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $N_0 = N \times 2^n$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$N_0 = 3 \times 2^4 = 3 \times 16 = 48 \ g$.

(C) ક્ષય અચળાંક $\lambda$ માટેનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{N_0}{N} \right)$ છે.
અહીં $t = 2.303 \ s$ અને $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{10}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{N_0}{N} = 10$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{2.303}{2.303} \log(10) = 1 \times 1 = 1 \ s^{-1}$.
અર્ધ-આયુષ્ય સમય $t_{1/2}$ માટેનું સૂત્ર: $t_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda}$ છે.
તેથી,$t_{1/2} = \frac{0.693}{1} = 0.693 \ s$.

(D) આપેલ છે,અર્ધ-આયુષ્ય $(t_{1/2})$ = $60 \ minutes = 1 \ hour$.
કુલ સમય $(T)$ = $3 \ hours$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ = $\frac{T}{t_{1/2}} = \frac{3 \ hours}{1 \ hour} = 3$.
બાકી રહેલા પદાર્થનો અંશ $\frac{N}{N_o} = (\frac{1}{2})^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 3$ મૂકતા,આપણને $\frac{N}{N_o} = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ મળે છે.
બાકી રહેલી ટકાવારી = $\frac{1}{8} \times 100 = 12.5\%$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(B) વિકિરણની તીવ્રતા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થના જથ્થાના પ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે પ્રારંભિક તીવ્રતા $I_0$ છે અને સુરક્ષિત સ્તર $I_s$ છે.
આપેલ છે કે $I_0 = 64 \times I_s$.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના સૂત્ર $I = I_0 \times (\frac{1}{2})^n$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપણને $I = I_s$ જોઈએ છે,તેથી $I_s = 64 \times I_s \times (\frac{1}{2})^n$.
$\frac{1}{64} = (\frac{1}{2})^n$.
કારણ કે $64 = 2^6$,તેથી $(\frac{1}{2})^6 = (\frac{1}{2})^n$,જે $n = 6$ આપે છે.
કુલ સમય $t = n \times T_{1/2} = 6 \times 2 \ hr = 12 \ hr$.

(B) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાનું અર્ધ-આયુષ્ય $(t_{1/2})$ સૂત્ર $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાનું સરેરાશ આયુષ્ય $(\tau)$ એ ક્ષય અચળાંકનો વ્યસ્ત છે,જે $\tau = \frac{1}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,અર્ધ-આયુષ્ય અને સરેરાશ આયુષ્ય અનુક્રમે $\frac{\ln 2}{\lambda}$ અને $\frac{1}{\lambda}$ છે.

(A) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ ની ગણતરી $n = \frac{\text{કુલ સમય}}{\text{અર્ધ-આયુષ્ય}} = \frac{60 \ h}{20 \ h} = 3$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
બાકી રહેલો જથ્થો $(N)$ સૂત્ર $N = N_o \times (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$N = N_o \times (1/2)^3 = N_o \times (1/8)$.
તેથી,બાકી રહેલો ભાગ પ્રારંભિક જથ્થાના $1/8$ જેટલો છે.

(A) નમૂનાનું પ્રારંભિક પ્રમાણ $12 \ g$ છે.
$1 \ hr$ માં $6 \ g$ ક્ષય પામે છે,તેથી પદાર્થનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ $1 \ hr$ છે.
પ્રથમ કલાક પછી,બાકી રહેલ નમૂનાનું પ્રમાણ $12 \ g - 6 \ g = 6 \ g$ છે.
આગામી કલાકમાં (બીજા અર્ધ-આયુષ્ય સમયમાં),બાકી રહેલા $6 \ g$ ના અડધા ભાગનો ક્ષય થશે.
આગામી કલાકમાં ક્ષય પામતું પ્રમાણ = $\frac{1}{2} \times 6 \ g = 3 \ g$.

(C) ક્ષયનું સમીકરણ $N = N_0 e^{-\lambda t}$ અથવા $\lambda = \frac{2.303}{t} \log \frac{N_0}{N}$ છે.
આપેલ છે કે $t = 4.2 \ days$ અને $N = 0.798 \ N_0$,તેથી $\frac{N_0}{N} = \frac{1}{0.798} \approx 1.253$.
$\lambda = \frac{2.303}{4.2} \log(1.253) \approx 0.5483 \times 0.0979 \approx 0.0537 \ days^{-1}$.
અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda}$ દ્વારા મળે છે.
$t_{1/2} = \frac{0.693}{0.0537} \approx 12.9 \ days$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $12.83$ $days$ છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું અર્ધ-આયુષ્ય $(t_{1/2})$ એ રેડિયોએક્ટિવ આઇસોટોપનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે અને તે નમૂનાના પ્રારંભિક જથ્થા અથવા દળ પર આધારિત નથી.
તેથી,જો પદાર્થના $2.0 \ g$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $7 \ \text{દિવસ}$ હોય,તો તે જ પદાર્થના $1 \ g$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય પણ $7 \ \text{દિવસ}$ જ રહેશે.

(A) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ ની ગણતરી આ મુજબ થાય છે: $n = \frac{\text{કુલ સમય}}{\text{અર્ધ-આયુષ્ય}} = \frac{80 \text{ વર્ષ}}{20 \text{ વર્ષ}} = 4$.
$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછીની સક્રિયતાનું સૂત્ર: $A = \frac{A_0}{2^n}$.
અહીં $A_0 = 8000 \text{ dis/min}$ અને $n = 4$ આપેલ છે,તેથી:
$A = \frac{8000}{2^4} = \frac{8000}{16} = 500 \text{ dis/min}$.

(B) રેડિયોએક્ટિવ આઈસોટોપનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ એ ન્યુક્લિયર ગુણધર્મ છે જે તાપમાન,દબાણ અથવા રાસાયણિક સ્થિતિ જેવી બાહ્ય ભૌતિક પરિસ્થિતિઓથી સ્વતંત્ર છે. તેથી,નમૂનાને ગરમ કરવાથી તેના અર્ધ-આયુષ્યમાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં. સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = 2.95 \text{ days}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,અર્ધ-આયુષ્યને સેકન્ડમાં ફેરવો: $t_{1/2} = 2.95 \times 24 \times 60 \times 60 \ s = 254880 \ s$.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ ની ગણતરી $\lambda = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{0.693}{254880} \approx 2.7 \times 10^{-6} \ s^{-1}$.

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા અથવા રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય માટે અર્ધ-આયુષ્ય $(t_{1/2})$ નું સૂત્ર:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$
આપેલ છે કે $k = 2.31 \times 10^{-4} \ yr^{-1}$.
કિંમત મૂકતા:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{2.31 \times 10^{-4}} = 0.3 \times 10^4 \ yrs$
$t_{1/2} = 3.0 \times 10^3 \ yrs$.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય માટેનું સૂત્ર $N = N_0(1/2)^n$ છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે,અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = 10 \ days$ અને કુલ સમય $t = 40 \ days$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = t / t_{1/2} = 40 / 10 = 4$.
બાકી રહેલ જથ્થો $N = 125 \ mg = 0.125 \ g$.
કિંમતો મૂકતા: $0.125 = N_0(1/2)^4$.
$0.125 = N_0(1/16)$.
$N_0 = 0.125 \times 16 = 2 \ g$.

(A) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ એ આઈસોટોપનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે અને તે પદાર્થના પ્રારંભિક જથ્થા પર આધારિત નથી.
તેથી,$10 \ g$ માટે અર્ધ-આયુષ્ય $10 \ days$ હોવાથી,$20 \ g$ માટે પણ અર્ધ-આયુષ્ય $10 \ days$ જ રહેશે.

(B) $1$ ફેબ્રુઆરીથી $1$ જુલાઈ સુધીનો કુલ સમય $28 + 31 + 30 + 31 + 30 = 150 \, days$ છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $N = N_0 (1/2)^n$,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
$0.25 = 8 \times (1/2)^n$
$(1/2)^n = 0.25 / 8 = 1 / 32 = (1/2)^5$.
તેથી,$n = 5$.
કારણ કે $n = \text{કુલ સમય} / t_{1/2}$,તેથી $5 = 150 / t_{1/2}$.
$t_{1/2} = 150 / 5 = 30 \, days$.

(D) આપેલ પ્રારંભિક જથ્થો $N_o = 10 \ g$,અંતિમ જથ્થો $N = 1.25 \ g$,અને અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = 1620 \ years$.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $N = N_o (1/2)^n$,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે $(n = t / t_{1/2})$.
કિંમતો મૂકતા: $1.25 = 10 \times (1/2)^n$.
$1.25 / 10 = (1/2)^n \implies 0.125 = (1/2)^n \implies 1/8 = (1/2)^n$.
$1/8 = (1/2)^3$ હોવાથી,$n = 3$ મળે છે.
હવે,કુલ સમયની ગણતરી કરતા: $t = n \times t_{1/2} = 3 \times 1620 = 4860 \ years$.

(D) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ ની ગણતરી આ મુજબ થાય છે: $n = \frac{\text{કુલ સમય}}{\text{અર્ધ-આયુષ્ય}} = \frac{480}{120} = 4$.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના સૂત્ર $N = \frac{N_0}{2^n}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $N_0 = 4 \ g$ અને $n = 4$:
$N = \frac{4}{2^4} = \frac{4}{16} = 0.25 \ g$.

(C) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ ની ગણતરી આ મુજબ થાય છે: $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{28 \ \text{years}}{7 \ \text{years}} = 4$.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના સૂત્ર $N = \frac{N_0}{2^n}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $N_0 = 1 \ g$ અને $n = 4$:
$N = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} = 0.0625 \ g$.
તેથી,બાકી રહેલો જથ્થો $0.0625 \ g$ છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો સંબંધ: $\frac{N}{N_o} = (\frac{1}{2})^n$ છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $\frac{N}{N_o} = \frac{1}{8}$,તેથી $(\frac{1}{2})^n = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$.
તેથી,$n = 3$.
કારણ કે $n = \frac{t}{t_{1/2}}$,તેથી $3 = \frac{96}{t_{1/2}}$.
આમ,$t_{1/2} = \frac{96}{3} = 32 \ min$.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય માટેનું સૂત્ર $N_t = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $N_0 = 100 \ mg$,$N_t = 25 \ mg$,અને $t_{1/2} = 5760 \ years$.
$25 = 100 \times (\frac{1}{2})^n$
$(\frac{1}{2})^n = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$
તેથી,$n = 2$.
કુલ સમય $t = n \times t_{1/2} = 2 \times 5760 = 11520 \ years$.

(C) અર્ધ-આયુષ્ય $(t_{1/2})$ એટલે રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થને તેના પ્રારંભિક જથ્થાના અડધા $(50 \%)$ થવા માટે લાગતો સમય.
અહીં $t_{1/2} = 100 \ yrs$ આપેલ છે,તેથી તત્વને તેના દળના $50 \%$ સુધી વિઘટન પામવા માટે લાગતો સમય એક અર્ધ-આયુષ્ય જેટલો જ હોય.
તેથી,જરૂરી સમય $100 \ yrs$ છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ તત્વનું સરેરાશ આયુષ્ય $(\tau)$ તેના ક્ષય અચળાંક અથવા વિઘટન અચળાંક $(\lambda)$ ના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$(\tau = \frac{1}{\lambda})$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(B) બાકી રહેલા પદાર્થનો અંશ $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$,તેથી $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^n$.
કારણ કે $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$,તેથી $n = 4$.
કુલ જરૂરી સમય $T = n \times t_{1/2} = 4 \times 30 \ min = 120 \ min$ છે.

(D) કિરણોત્સર્ગી ક્ષય એ પ્રથમ ક્રમની ગતિશાસ્ત્રને અનુસરે છે.
કિરણોત્સર્ગી ક્ષયના નિયમ મુજબ,$t$ સમય પછી બાકી રહેલા પદાર્થનું પ્રમાણ $N_t = N_0 \times (1/2)^{t/T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ સંપૂર્ણપણે ક્ષય પામે તે માટે,$N_t$ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ગાણિતિક રીતે,આ ફક્ત $t \to \infty$ હોય ત્યારે જ શક્ય છે.
તેથી,સંપૂર્ણ ક્ષય માટે જરૂરી સમય અનંત છે.

(C) અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(T_{1/2})$ એટલે તે સમયગાળો જેમાં પદાર્થની સાંદ્રતા તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા અડધી થઈ જાય છે.
એક અર્ધ-આયુષ્ય સમય પછી,બાકી રહેલા પદાર્થનો જથ્થો $N = N_0 \times (1/2)^n$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
$n = 1$ માટે,$N = N_0 \times (1/2)^1 = N_0/2$.
તેથી,એક અર્ધ-આયુષ્ય પછી,પ્રારંભિક પદાર્થનો $1/2$ ભાગ બાકી રહે છે.

(C) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ ની ગણતરી $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{15 \ days}{5 \ days} = 3$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
બાકી રહેતી માત્રા $(N)$ સૂત્ર $N = \frac{N_0}{2^n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N_0$ એ પ્રારંભિક માત્રા છે.
કિંમતો મૂકતા: $N = \frac{20 \ g}{2^3} = \frac{20 \ g}{8} = 2.5 \ g$.

(A) રેડિયોએક્ટિવ આઈસોટોપનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ એ તે આઈસોટોપનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
તે પદાર્થના પ્રારંભિક જથ્થા કે સાંદ્રતા પર આધારિત નથી.
તેથી,તે જ પદાર્થના $0.5 \ g$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $2.0 \ g$ જેટલો જ એટલે કે $20 \ hr$ રહેશે.

(C) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ ની ગણતરી $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{24 \ h}{8 \ h} = 3$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
બાકી રહેલ જથ્થો $(N)$ એ $N = \frac{N_0}{2^n}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N_0$ એ પ્રારંભિક જથ્થો છે.
કિંમતો મૂકતા,$N = \frac{1 \ mg}{2^3} = \frac{1}{8} \ mg$.

(C) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ એટલે તે પદાર્થનો જથ્થો તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના અડધા થવા માટે જરૂરી સમય.
આપેલ છે કે $_{92}U^{238}$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $4.5 \times 10^9$ વર્ષ છે,તેથી વ્યાખ્યા મુજબ $4.5 \times 10^9$ વર્ષ પછી,$_{92}U^{238}$ નો જથ્થો તેના વર્તમાન જથ્થાના અડધા જેટલો થઈ જશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(C) વિઘટનનો દર $(r)$ સૂત્ર $r = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ અને $N$ એ પરમાણુઓની સંખ્યા છે.
પ્રથમ,ક્ષય અચળાંક $\lambda$ ને સેકન્ડ$^{-1}$ માં ગણો:
$\lambda = \frac{0.693}{1600 \times 365 \times 24 \times 60 \times 60} \approx 1.37 \times 10^{-11} \ s^{-1}$.
ત્યારબાદ,$1 \ g$ રેડિયમમાં પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ ગણો:
$N = \frac{\text{દળ}}{\text{પરમાણુ વજન}} \times N_A = \frac{1}{226} \times 6.023 \times 10^{23} \approx 2.665 \times 10^{21} \ \text{પરમાણુઓ}$.
અંતે,વિઘટનનો દર $r$ ગણો:
$r = (1.37 \times 10^{-11}) \times (2.665 \times 10^{21}) \approx 3.65 \times 10^{10} \ dps$.
આ મૂલ્ય આશરે $3.7 \times 10^{10} \ dps$ છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનું સૂત્ર $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$,તેથી $(\frac{1}{2})^n = \frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$.
આમ,$n = 4$.
કુલ સમય $t = n \times t_{1/2} = 4 \times 6 \ months = 24 \ months$.
કારણ કે $12 \ months = 1 \ year$,તેથી $24 \ months = 2 \ years$.

(B) આપેલ છે કે અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$ નું માન એ ક્ષય અચળાંક $(\lambda)$ ના માન જેટલું છે,તેથી $T_{1/2} = \lambda$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અર્ધ-આયુષ્ય અને ક્ષય અચળાંક વચ્ચેનો સંબંધ $T_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda}$ છે.
સમીકરણમાં $T_{1/2} = \lambda$ મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{0.693}{\lambda}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda^2 = 0.693$.
તેથી,$\lambda = \sqrt{0.693} = (0.693)^{1/2}$.
જેથી $T_{1/2} = \lambda$ હોવાથી,તેનું મૂલ્ય $(0.693)^{1/2}$ થાય છે.

(C) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ ની ગણતરી $n = \frac{\text{કુલ સમય}}{\text{અર્ધ-આયુષ્ય}} = \frac{3 \text{ દિવસ}}{1 \text{ દિવસ}} = 3$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
બાકી રહેલો જથ્થો $(N)$ સૂત્ર $N = N_o \times (1/2)^n$ દ્વારા મળે છે.
$n = 3$ મૂકતા,આપણને $N = N_o \times (1/2)^3 = N_o \times 1/8$ મળે છે.
તેથી,મૂળ જથ્થાના $1/8$ ભાગ બાકી રહેશે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનું સૂત્ર: $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે રેડિયોએક્ટિવિટી તાજા લાકડા કરતા અડધી છે,તેથી $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{2}$.
સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^n$,જેનો અર્થ છે કે $n = 1$.
નમૂનાની ઉંમર $(t)$ ની ગણતરી $t = n \times t_{1/2}$ દ્વારા કરવામાં આવે છે.
$t_{1/2} = 6000 \ years$ આપેલ હોવાથી,$t = 1 \times 6000 = 6000 \ years$ મળે છે.

(A) સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય સમયનું સૂત્ર $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k} = \frac{0.693}{k}$ છે.
આમ,$t_{1/2} = \text{constant} \times k^{-1}$.