Rate of decay and Half-life Questions in Gujarati

(B) પ્રારંભિક જથ્થો $N_0 = 16 \ g$ છે.
ક્ષય પામેલ જથ્થો $15 \ g$ છે,તેથી બાકી રહેલ જથ્થો $N_t = 16 - 15 = 1 \ g$ છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનું સૂત્ર $N_t = N_0 \times (1/2)^n$ છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
$1 = 16 \times (1/2)^n$
$(1/2)^n = 1/16 = (1/2)^4$.
તેથી,$n = 4$.
કુલ સમય $t = n \times t_{1/2} = 4 \times 140 \ days = 560 \ days$.

(B) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{t_{1/2}} = \frac{20 \ s}{4 \ s} = 5$ છે.
બાકી રહેલા પદાર્થનો અંશ $\frac{N_t}{N_o} = (\frac{1}{2})^n = (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$ છે.
ક્ષય પામેલા પદાર્થનો અંશ $1 - \frac{N_t}{N_o} = 1 - \frac{1}{32} = \frac{31}{32}$ છે.
ક્ષય પામેલા પદાર્થની ટકાવારી $\frac{31}{32} \times 100 = 96.875 \% \approx 96.87 \%$ છે.

(A) બાકી રહેલા જથ્થા માટેનું સૂત્ર $N_t = N_o (1/2)^n$ છે,જ્યાં $n = T / t_{1/2}$ છે.
આપેલ છે: $t_{1/2} = 22 \ \text{years}$,$T = 11 \ \text{years}$,$N_o = 2 \ g$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યાની ગણતરી: $n = 11 / 22 = 0.5$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $N_t = 2 \times (1/2)^{0.5}$.
$N_t = 2 \times (1 / \sqrt{2}) = 2 / 1.414 = 1.414 \ g$.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પ્રથમ ક્રમની ગતિશાસ્ત્રના સમીકરણને અનુસરે છે: $t = \frac{2.303}{\lambda} \log \frac{N_0}{N_t}$.
અહીં,$\lambda = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{5000} \ min^{-1}$.
આપેલ છે $N_0 = 15 \ counts/min/gm$ અને $N_t = 5.0 \ counts/min/gm$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{2.303 \times 5000}{0.693} \times \log \frac{15}{5}$.
$t = \frac{2.303 \times 5000}{0.693} \times \log 3$.
$t = \frac{2.303 \times 5000}{0.693} \times 0.4771 \approx 7927 \ years$.
આમ,નમૂનાની ઉંમર આશરે $7.92 \times 10^3 \ years$ છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ વિઘટન પ્રક્રિયાઓ પ્રથમ ક્રમની ગતિશાસ્ત્રને અનુસરે છે.
આનું કારણ એ છે કે વિઘટનનો દર રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થના સાંદ્રતાના $1$ ઘાત પર આધાર રાખે છે,એટલે કે $\text{Rate} = k[N]$,જ્યાં $[N]$ એ હાજર રહેલા રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.

(B) $_{92}U^{235}$ નું કિરણોત્સર્ગી વિઘટન એ પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા છે.
કિરણોત્સર્ગી ક્ષય પ્રથમ ક્રમની ગતિશાસ્ત્રને અનુસરે છે કારણ કે વિઘટનનો દર ફક્ત તે સમયે હાજર કિરણોત્સર્ગી પદાર્થની સાંદ્રતા પર આધાર રાખે છે.

(C) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે: $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{12 \ days}{3 \ days} = 4$.
પદાર્થનો બાકી રહેલો જથ્થો $(N)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
$n$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$.
તેથી,પદાર્થનો બાકી રહેલો ભાગ $1/16$ છે.

(A) અર્ધઆયુષ્ય સમય $T_{1/2} = 4 \ hours$ છે.
કુલ સમય $t = 24 \ hours$ છે.
અર્ધઆયુષ્યની સંખ્યા $n = t / T_{1/2} = 24 / 4 = 6$ થાય.
બાકી રહેતું દળ $N$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $N = N_0 / 2^n$ છે,જ્યાં $N_0 = 200 \ g$.
કિંમતો મૂકતા,$N = 200 / 2^6 = 200 / 64 = 3.125 \ g$.

(D) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$40 \text{ min}$ પછી બાકી રહેતો જથ્થો $100\% - 87.5\% = 12.5\%$ છે.
સૂત્ર $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$k = \frac{2.303}{40} \log \frac{100}{12.5} = \frac{2.303}{40} \log 8 = \frac{2.303 \times 3 \times 0.3010}{40} = \frac{0.693 \times 3}{40} \text{ min}^{-1}$.
અર્ધ-આયુષ્ય સમય $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ દ્વારા મળે છે.
$t_{1/2} = \frac{0.693 \times 40}{0.693 \times 3} = \frac{40}{3} \text{ min} = 13 \text{ min } 20 \text{ sec}$.

(A) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થના બાકી રહેલા દળ માટેનું સૂત્ર $N_t = N_0 \times (1/2)^n$ છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધઆયુની સંખ્યા છે.
પ્રથમ,અર્ધઆયુની સંખ્યા $(n)$ ગણો: $n = \frac{18 \ h}{3 \ h} = 6$.
હવે,કિંમતો સૂત્રમાં મૂકો: $N_t = 256 \ g \times (1/2)^6$.
$N_t = 256 \times \frac{1}{64}$.
$N_t = 4.0 \ g$.

(B) રેડિયો એક્ટિવ ક્ષય પ્રક્રિયા પ્રથમ ક્રમની હોય છે.
કારણ કે પ્રક્રિયાનો વેગ રેડિયો એક્ટિવ તત્વની સાંદ્રતા પર આધાર રાખે છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પ્રથમ ક્રમની ગતિશાસ્ત્રને અનુસરે છે.
આપેલ છે:
અંતિમ ક્રિયાશીલતા $(A_t)$ = $0.01 \mu Ci$
સમય $(t)$ = $24 \ hours$
અર્ધઆયુ $(t_{1/2})$ = $6 \ hours$
અર્ધઆયુની સંખ્યા $(n)$ = $t / t_{1/2} = 24 / 6 = 4$.
પ્રારંભિક ક્રિયાશીલતા $(A_0)$ અને અંતિમ ક્રિયાશીલતા $(A_t)$ વચ્ચેનો સંબંધ:
$A_t = A_0 \times (1/2)^n$
$0.01 = A_0 \times (1/2)^4$
$0.01 = A_0 \times (1/16)$
$A_0 = 0.01 \times 16 = 0.16 \mu Ci$.
તેથી,મહત્તમ પ્રારંભિક ક્રિયાશીલતા $0.16 \mu Ci$ દાખલ કરી શકાય.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે અર્ધઆયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ અને ક્ષય અચળાંક $(k)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$
અહીં $k = 2.25 \times 10^{-4} \text{ year}^{-1}$ આપેલ છે.
કિંમત મૂકતા:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{2.25 \times 10^{-4}} = \frac{0.693}{2.25} \times 10^{4} = 0.308 \times 10^{4} = 3080 \text{ વર્ષ}$.

(B) $n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલા જથ્થા માટેનું સૂત્ર $N = \frac{N_0}{2^n}$ છે.
પ્રથમ,અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ ગણો: $n = \frac{\text{કુલ સમય}}{\text{અર્ધ-આયુષ્ય}} = \frac{49.2}{12.3} = 4$.
હવે,બાકી રહેલો જથ્થો ગણો: $N = \frac{32}{2^4} = \frac{32}{16} = 2 \ mg$.

(A) અર્ધ-આયુષ્ય $(t_{1/2})$ એ સમય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાના $50\%$ વિઘટન માટે જરૂરી છે.
આપેલ છે કે કાર્બન-$14$ એ $5770$ વર્ષમાં $50\%$ વિઘટન પામે છે,તેથી અર્ધ-આયુષ્ય $5770$ વર્ષ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ આઇસોટોપ $^{14}C$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ આશરે $5730$ $\text{વર્ષ}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય માટેનું સૂત્ર $N_t = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $N_0 = 200 \ mg$,$N_t = 25 \ mg$,અને $t_{1/2} = 5760 \ years$.
કિંમતો મૂકતા: $25 = 200 \times (\frac{1}{2})^n$.
$(\frac{1}{2})^n = \frac{25}{200} = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$.
તેથી,$n = 3$.
કુલ જરૂરી સમય $t = n \times t_{1/2} = 3 \times 5760 = 17280 \ years$ છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ તત્વનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ અને ક્ષય અચળાંક $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda}$
અહીં $\lambda = 3 \times 10^{-6} \ min^{-1}$ આપેલ છે.
કિંમત મૂકતા:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{3 \times 10^{-6} \ min^{-1}} = 0.231 \times 10^6 \ min = 2.31 \times 10^5 \ min$.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ $6.93 \ min$ આપેલ છે.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $(k)$ નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $k = \frac{0.693}{6.93} = 0.10 \ \min^{-1}$.

(B) પ્રારંભિક જથ્થો $N_0 = 1 \ \text{g}$ છે. મોલર દળ $M = 1 \ \text{g/mol}$ લેતા,પરમાણુઓની પ્રારંભિક સંખ્યા $N_0 = (1 \ \text{g} / 1 \ \text{g/mol}) \times 6.022 \times 10^{23} = 6.022 \times 10^{23} \ \text{atoms}$ થાય.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના સૂત્ર $N = N_0 \times (1/2)^{(t/T_{1/2})}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $t = 4 \ \text{hrs}$ અને $T_{1/2} = 10 \ \text{hrs}$ છે.
$N = 6.022 \times 10^{23} \times (0.5)^{(4/10)} = 6.022 \times 10^{23} \times (0.5)^{0.4}$.
$(0.5)^{0.4} \approx 0.7578$ હોવાથી,$N \approx 6.022 \times 10^{23} \times 0.7578 \approx 4.56 \times 10^{23} \ \text{atoms}$ મળે.

(D) . રેડિયોએક્ટિવ તત્વનું અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = N$ વર્ષ છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પ્રથમ ક્રમની ગતિશાસ્ત્રને અનુસરે છે,જ્યાં બાકી રહેલા પદાર્થનું પ્રમાણ $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ સંપૂર્ણપણે ક્ષય પામે તે માટે,$N(t) = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $e^{-\lambda t} = 0$.
આ સ્થિતિ ફક્ત $t \to \infty$ હોય ત્યારે જ સંતોષાય છે.
તેથી,સંપૂર્ણ ક્ષય માટે જરૂરી સમય અનંત છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો સંબંધ: $\frac{N}{N_o} = (\frac{1}{2})^n$,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $\frac{N}{N_o} = \frac{1}{8}$,તેથી $(\frac{1}{2})^n = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$.
તેથી,$n = 3$.
કુલ સમય $t = n \times t_{1/2}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $t_{1/2} = 20 \ \text{minutes}$ હોવાથી,$t = 3 \times 20 \ \text{minutes} = 60 \ \text{minutes}$.

(B) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ ની ગણતરી $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{45 \ min}{15 \ min} = 3$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ $N$ માટેનું સૂત્ર $N = N_o \times (\frac{1}{2})^n$ છે.
પ્રારંભિક જથ્થો $N_o = 100 \%$ ધારીએ તો,બાકી રહેલો જથ્થો $N = 100 \times (\frac{1}{2})^3 = \frac{100}{8} = 12.5 \%$ થાય.
આમ,$12.5 \%$ રેડિયોએક્ટિવિટી બાકી રહેશે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનું સૂત્ર $N = N_o (1/2)^n$ છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $3160 \ years$ પછી,બાકી રહેલ જથ્થો $N = (1/4)N_o$ છે,તેથી $N/N_o = 1/4$.
આ સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $1/4 = (1/2)^n$.
કારણ કે $1/4 = (1/2)^2$,તેથી $n = 2$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ એ કુલ સમય $t$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2}$ સાથે $n = t / t_{1/2}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
તેથી,$2 = 3160 / t_{1/2}$.
$t_{1/2} = 3160 / 2 = 1580 \ years$.

(B) રેડિયોએક્ટિવ સંતુલન સમયે,$X$ ના ક્ષયનો દર $Y$ ના ક્ષયના દર જેટલો હોય છે.
આમ,$\lambda_X N_X = \lambda_Y N_Y$.
આ સૂચવે છે કે $\frac{N_X}{N_Y} = \frac{\lambda_Y}{\lambda_X} = \frac{t_{1/2}(X)}{t_{1/2}(Y)}$.
આપેલ છે કે $\frac{N_X}{N_Y} = 1 : 2 \times 10^{-6}$ અને $t_{1/2}(Y) = 4.9 \times 10^{-4} \ days$.
તેથી,$t_{1/2}(X) = \frac{N_X}{N_Y} \times t_{1/2}(Y) = \frac{1}{2 \times 10^{-6}} \times 4.9 \times 10^{-4} \ days$.
$t_{1/2}(X) = 0.5 \times 10^6 \times 4.9 \times 10^{-4} \ days = 245 \ days$.

(D) આપેલ છે: અર્ધ-આયુષ્ય $(t_{1/2})$ = $5 \, {\text{વર્ષ}}$,કુલ સમય $(t)$ = $15 \, {\text{વર્ષ}}$,પ્રારંભિક જથ્થો $(N_0)$ = $64 \, \text{g}$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ = $\frac{t}{t_{1/2}} = \frac{15}{5} = 3$.
બાકી રહેલ જથ્થો $(N)$ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $N = \frac{N_0}{2^n}$.
કિંમતો મૂકતા: $N = \frac{64}{2^3} = \frac{64}{8} = 8 \, \text{g}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) આપેલ છે: અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$ = $1600 \ years$,કુલ સમય $(T)$ = $6400 \ years$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ ની ગણતરી આ રીતે થાય છે: $n = \frac{T}{T_{1/2}} = \frac{6400}{1600} = 4$.
પદાર્થનો બાકી રહેલો અંશ આ સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $N = N_o \times (1/2)^n$.
પ્રારંભિક જથ્થો $N_o = 1$ ધારતા,બાકી રહેલો જથ્થો $N = 1 \times (1/2)^4 = 1/16$.
તેથી,$6400 \ years$ પછી બાકી રહેલું દળ પ્રારંભિક દળના $1/16$ ભાગનું હશે.

(A) કાર્બનનો ક્ષય પ્રથમ ક્રમની ગતિશાસ્ત્રને અનુસરે છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક સક્રિયતા $(r_o)$ = $15.2 \ min^{-1} g^{-1}$,અંતિમ સક્રિયતા $(r)$ = $7.6 \ min^{-1} g^{-1}$,અને $t_{1/2} = 5760$ વર્ષ.
અહીં $r = \frac{r_o}{2}$ હોવાથી,કલાકૃતિ એક અર્ધ-આયુષ્ય સમય પૂર્ણ કરી ચૂકી છે.
તેથી,કલાકૃતિની ઉંમર $(t)$ = $1 \times t_{1/2} = 5760$ વર્ષ.

(B) ધારો કે યુરેનિયમના પ્રારંભિક પરમાણુઓની સંખ્યા $N_0$ છે.
ખડકમાં યુરેનિયમ અને લેડના પરમાણુઓની સંખ્યા સમાન હોવાથી,બાકી રહેલા યુરેનિયમ પરમાણુઓની સંખ્યા $(N)$ એ પ્રારંભિક સંખ્યા કરતા અડધી છે,એટલે કે $N = \frac{N_0}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે એક અર્ધ-આયુષ્ય પૂર્ણ થયું છે.
ખડકની ઉંમર $(t)$ એ યુરેનિયમના અર્ધ-આયુષ્ય $(t_{1/2})$ જેટલી છે.
તેથી,$t = 4.5 \times 10^9$ વર્ષ.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પ્રથમ ક્રમની ગતિશાસ્ત્રને અનુસરે છે,જ્યાં સમય $t$ પર સક્રિયતા $A = A_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક સક્રિયતા $A_0 = 10A$,જ્યાં $A$ એ સ્વીકાર્ય સુરક્ષિત સક્રિયતા સ્તર છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ એ અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2}$ સાથે $\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{30 \text{ દિવસ}}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
પ્રથમ ક્રમના સંકલિત દર સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $t = \frac{2.303}{\lambda} \log_{10} \left( \frac{A_0}{A} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{2.303}{(0.693 / 30)} \log_{10} (10)$.
ગણતરી કરતા: $t = 30 \times \frac{2.303}{0.693} \times 1 \approx 100 \text{ દિવસ}$.

(C) $Gd-153$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ $242$ દિવસ છે.
કુલ સમય $(t)$ $2$ વર્ષ છે,જે $2 \times 365 = 730$ દિવસ થાય છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ ની ગણતરી $n = \frac{t}{t_{1/2}} = \frac{730}{242} \approx 3.016$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
$n \approx 3$ હોવાથી,પદાર્થનો બાકી રહેલો જથ્થો આ સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\text{બાકી રહેલી ટકાવારી} = \frac{100}{2^n} = \frac{100}{2^3} = \frac{100}{8} = 12.5\%$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી $12.5\%$ ની સૌથી નજીકની કિંમત $12.0\%$ છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય માટેનું સૂત્ર $N_t = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $N_0 = 200 \text{ mg}$,$N_t = 25 \text{ mg}$,અને $t_{1/2} = 4650 \text{ years}$.
કિંમતો મૂકતા: $25 = 200 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
$\frac{25}{200} = \left(\frac{1}{2}\right)^n \Rightarrow \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
કારણ કે $\frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$,તેથી $n = 3$.
કુલ સમય $T = n \times t_{1/2} = 3 \times 4650 \text{ years} = 13950 \text{ years}$.

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પ્રથમ ક્રમની ગતિશાસ્ત્રને અનુસરે છે.
રેડિયેશનની તીવ્રતા હાજર રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થના જથ્થાના પ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે પ્રારંભિક તીવ્રતા $I_0 = 64 \times I_{safe}$ છે અને અંતિમ તીવ્રતા $I = I_{safe}$ છે.
સંબંધ $I = I_0 \times (1/2)^n$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે:
$I_{safe} = 64 \times I_{safe} \times (1/2)^n$
$1/64 = (1/2)^n$
$(1/2)^6 = (1/2)^n$
તેથી,$n = 6$.
કુલ સમય $t$ એ $t = n \times t_{1/2}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ $t_{1/2} = 2 \ hr$,તેથી $t = 6 \times 2 = 12 \ hr$.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પ્રથમ ક્રમની ગતિશાસ્ત્રને અનુસરે છે. વેગ અચળાંક $K = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{20} \ min^{-1}$ છે.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$x_1\%$ થી $x_2\%$ ક્ષય માટે જરૂરી સમય $t = \frac{2.303}{K} \log \frac{100 - x_1}{100 - x_2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$x_1 = 33$ અને $x_2 = 67$ છે,તેથી બાકી રહેલી માત્રા $100 - 33 = 67$ અને $100 - 67 = 33$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{2.303}{(0.693/20)} \log \frac{67}{33}$.
ગણતરી કરતા,$t \approx 20 \ min$ મળે છે.

(C) આપેલ અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = 3 \ days$.
કુલ સમય $T = 12 \ days$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n) = \frac{12}{3} = 4$.
સૂત્ર $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ નો ઉપયોગ કરતા.
$3 = N_0 \times (\frac{1}{2})^4$.
$3 = N_0 \times \frac{1}{16}$.
$N_0 = 48 \ g$.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય (પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા) માટે,$50\%$ ક્ષય માટે લાગતો સમય $t_{50\%} = 1 \times t_{1/2} = 100 \, \text{min}$ છે.
$87.5\%$ ક્ષય માટે,બાકી રહેલો જથ્થો $100\% - 87.5\% = 12.5\%$ છે.
કારણ કે $12.5\% = (1/2)^3$,આ $3$ અર્ધ-આયુષ્ય સમય દર્શાવે છે.
તેથી,$t_{87.5\%} = 3 \times t_{1/2} = 3 \times 100 = 300 \, \text{min}$.
આ બે તબક્કાઓ વચ્ચેનો સમયગાળો $\Delta t = t_{87.5\%} - t_{50\%} = 300 \, \text{min} - 100 \, \text{min} = 200 \, \text{min}$ છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પ્રથમ ક્રમની ગતિશાસ્ત્રને અનુસરે છે.
ક્ષય અચળાંક $(\lambda) = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{5730} \ year^{-1}$.
આપેલ છે,પ્રારંભિક જથ્થો $[R]_0 = 100$ અને બાકી રહેલ જથ્થો $[R] = 80$.
પ્રથમ ક્રમની સંકલિત વેગ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$t = \frac{2.303}{\lambda} \log \frac{[R]_0}{[R]}$
કિંમતો મૂકતા:
$t = \frac{2.303 \times 5730}{0.693} \times \log \left( \frac{100}{80} \right)$
$t = \frac{2.303 \times 5730}{0.693} \times \log(1.25)$
$t = \frac{2.303 \times 5730}{0.693} \times 0.0969$
$t \approx 1845 \ years$.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે, વેગ અચળાંક $k$ નું સૂત્ર: $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{a}{a - x}$ છે.
અહીં નમૂનો $90\%$ ઘટે છે, તેથી બાકી રહેલો જથ્થો $(a - x)$ એ પ્રારંભિક જથ્થા $a$ ના $10\%$ છે, એટલે કે $(a - x) = 0.1a$.
કિંમતો મૂકતા: $k = \frac{2.303}{10} \log \frac{a}{0.1a} = \frac{2.303}{10} \log 10 = \frac{2.303}{10} \times 1 = 0.2303 \ \text{year}^{-1}$.
અર્ધ-આયુષ્ય સમય $t_{1/2}$ ની ગણતરી: $t_{1/2} = \frac{0.693}{k} = \frac{0.693}{0.2303} \approx 3 \ \text{વર્ષ}$.

(A) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ ની ગણતરી $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{16 \ h}{4 \ h} = 4$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
બાકી રહેલ દળ $(N_t)$ સૂત્ર $N_t = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N_0 = 200 \ g$.
$N_t = 200 \times (\frac{1}{2})^4 = 200 \times \frac{1}{16} = 12.5 \ g$.
વિઘટન પામેલું દળ એ પ્રારંભિક દળમાંથી બાકી રહેલ દળ બાદ કરવાથી મળે છે: $\text{Disintegrated amount} = N_0 - N_t = 200 \ g - 12.5 \ g = 187.5 \ g$.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયન પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયાને અનુસરે છે. વેગ અચળાંક $k = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{5730} \ year^{-1}$ છે.
પ્રથમ ક્રમની સંકલિત વેગ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $k = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{[A]_0}{[A]_t} \right)$.
અહીં,$[A]_0 = 100$ અને $[A]_t = 80$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{2.303}{k} \log \left( \frac{100}{80} \right) = \frac{2.303 \times 5730}{0.693} \log(1.25)$.
$t = \frac{2.303 \times 5730}{0.693} \times 0.0969 \approx 1845 \ years$.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પ્રથમ ક્રમની ગતિશાસ્ત્રને અનુસરે છે.
ધારો કે $N_0$ એ યુરેનિયમના પ્રારંભિક પરમાણુઓની સંખ્યા છે.
સમય $t$ પર,બાકી રહેલા યુરેનિયમ પરમાણુઓની સંખ્યા $N_t$ છે અને બનેલા લેડ પરમાણુઓની સંખ્યા $N_0 - N_t$ છે.
આપેલ છે કે યુરેનિયમ અને લેડના પરમાણુઓની સંખ્યા સમાન છે,તેથી $N_t = N_0 - N_t$,જેનો અર્થ છે કે $N_t = N_0 / 2$.
આનો અર્થ એ છે કે વીતેલો સમય એક અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ જેટલો છે.
તેથી,ખડકની ઉંમર $t = t_{1/2} = 4.5 \times 10^9$ વર્ષ થશે.

(D) વિઘટનનો દર $R = N \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ એ અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ સાથે $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
દરના સમીકરણમાં $\lambda$ મૂકતા: $R = N \times \frac{0.693}{T_{1/2}}$.
પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ શોધવા માટે ગોઠવતા: $N = \frac{R \times T_{1/2}}{0.693}$.
આપેલ છે $R = 10^{10} \ s^{-1}$ અને $T_{1/2} = 2.2 \times 10^{9} \ s$:
$N = \frac{10^{10} \times 2.2 \times 10^{9}}{0.693} = \frac{2.2 \times 10^{19}}{0.693} \approx 3.17 \times 10^{19} \ \text{atoms}$.

(C) બધા જ પરમાણુ ક્ષય પ્રથમ ક્રમની ગતિશાસ્ત્રને અનુસરે છે.
$t = \frac{1}{k} \ln \frac{[A_0]}{[A]}$
આપેલ છે $t_{1/2} = 6.93 \; \text{વર્ષ}$,તેથી $k = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{6.93} = 0.1 \; \text{વર્ષ}^{-1}$.
તેને $90 \%$ ઘટાડવા માટે,બાકી રહેલી માત્રા $[A] = 10 \% \text{ of } [A_0] = 0.1 [A_0]$.
$t = \frac{2.303}{k} \log_{10} \frac{[A_0]}{0.1 [A_0]} = \frac{2.303}{0.1} \log_{10} (10) = 23.03 \times 1 = 23.03 \; \text{વર્ષ}$.

(N/A) ક્ષય પ્રથમ ક્રમની ગતિશાસ્ત્રને અનુસરે છે,જ્યાં વેગ અચળાંક $k = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{28.1} \ y^{-1}$ છે.
પ્રથમ ક્રમના સંકલિત વેગ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[R]_0}{[R]}$.
$t = 10 \ years$ માટે:
$10 = \frac{2.303}{0.693 / 28.1} \log \frac{1}{[R]}$
$\log [R] = -\frac{10 \times 0.693}{2.303 \times 28.1} \approx -0.1071$
$[R] = \text{antilog}(-0.1071) \approx 0.7814 \ \mu g$.
$t = 60 \ years$ માટે:
$60 = \frac{2.303}{0.693 / 28.1} \log \frac{1}{[R]}$
$\log [R] = -\frac{60 \times 0.693}{2.303 \times 28.1} \approx -0.6425$
$[R] = \text{antilog}(-0.6425) \approx 0.2278 \ \mu g$.
આમ,$10 \ years$ પછી $0.7814 \ \mu g$ અને $60 \ years$ પછી $0.2278 \ \mu g$ બાકી રહેશે.

(B) ટ્રિટિયમ $(^3H)$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $12.33$ વર્ષ છે.

(N/A) ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ $t_{1/2} = 1620 \ \text{years} = 1620 \times 365 \times 24 \times 60 \ min = 8.51472 \times 10^{8} \ min$.
$\lambda = \frac{0.693}{8.51472 \times 10^{8}} \ min^{-1} = 8.1389 \times 10^{-10} \ min^{-1}$.
$0.001 \ g$ $Ra^{226}$ માં પરમાણુઓની સંખ્યા $N = \frac{0.001}{226} \times 6.022 \times 10^{23} = 2.6646 \times 10^{18} \ \text{atoms}$ છે.
ક્ષયનો દર (એક્ટિવિટી) $A = \lambda N = (8.1389 \times 10^{-10} \ min^{-1}) \times (2.6646 \times 10^{18}) = 2.1686 \times 10^{9} \ min^{-1} \approx 2.17 \times 10^{9} \ min^{-1}$.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પ્રથમ ક્રમની ગતિશાસ્ત્રને અનુસરે છે. ક્ષય અચળાંક $k$ નીચે મુજબ મળે છે: $k = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{5730} \ {\text{વર્ષ}}^{-1}$.
પ્રથમ ક્રમના સંકલિત વેગ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $t = \frac{2.303}{k} \log \left( \frac{N_0}{N_t} \right)$.
અહીં,$N_0 = 15.3$ અને $N_t = 2.25$.
$t = \frac{2.303 \times 5730}{0.693} \log \left( \frac{15.3}{2.25} \right)$.
$t = 19042.7 \times \log(6.8)$.
$t = 19042.7 \times 0.8325 \approx 15853 \ {\text{વર્ષ}}$.
આમ,પ્રતિમાની ઉંમર આશરે $1.58 \times 10^{4} \ {\text{વર્ષ}}$ છે.

(N/A) ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,$t_{1/2}$ ને સેકન્ડમાં ફેરવો: $t_{1/2} = 1.39 \times 10^{10} \ \text{વર્ષ} \times 365 \times 24 \times 3600 \ \text{s/year} \approx 4.38 \times 10^{17} \ \text{s}$.
$\lambda = \frac{0.693}{4.38 \times 10^{17} \ \text{s}} \approx 1.58 \times 10^{-18} \ \text{s}^{-1}$.
$1.0 \ \text{g}$ $^{232}Th$ માં પરમાણુઓની સંખ્યા $N = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} \times N_A = \frac{1.0 \ \text{g}}{232 \ \text{g/mol}} \times 6.022 \times 10^{23} \ \text{atoms/mol} \approx 2.596 \times 10^{21} \ \text{પરમાણુઓ}$.
ઉત્સર્જનનો દર (એક્ટિવિટી) $A = \lambda N = (1.58 \times 10^{-18} \ \text{s}^{-1}) \times (2.596 \times 10^{21} \ \text{પરમાણુઓ}) \approx 4.10 \times 10^{3} \ \text{કણો/સેકન્ડ}$.

(N/A) $C^{14}$ નું વિઘટન પ્રથમ ક્રમની ગતિશાસ્ત્રને અનુસરે છે. વેગ અચળાંક $k = \frac{0.693}{5730} \ \text{yr}^{-1}$ છે.
પ્રથમ ક્રમના સંકલિત વેગ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $t = \frac{2.303}{k} \log \left( \frac{N_0}{N_t} \right)$.
અહીં,$N_0 = 15.3$ અને $N_t = 11.9$.
$t = \frac{2.303 \times 5730}{0.693} \log \left( \frac{15.3}{11.9} \right) \approx 2079 \ {\text{વર્ષ}}$.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય એ એક સ્વયંભૂ પ્રક્રિયા છે જ્યાં ક્ષયનો દર તે સમયે હાજર રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $-\frac{dN}{dt} = \lambda N$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
કારણ કે દર રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થની સાંદ્રતાના પ્રથમ ઘાત પર આધાર રાખે છે,તેથી રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પ્રક્રિયાઓ હંમેશા $1^{st}$ ક્રમની પ્રક્રિયાઓ હોય છે.