Collision theory, Energy of activation and Arrhenius equation Questions in Hindi

(A) आरेनियस समीकरण: $\log \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{2.303 R} \left[ \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right]$
दिया गया है: $T_1 = 300 \, K$,$T_2 = 400 \, K$,$k_2 = 2k_1$,और $R = 2 \times 10^{-3} \, kCal \, K^{-1} \, mol^{-1}$.
मान रखने पर: $\log 2 = \frac{E_a}{2.303 \times 2 \times 10^{-3}} \times \left[ \frac{100}{120000} \right]$
$E_a = 0.3010 \times 4.606 \times 10^{-3} \times 1200 \approx 1.66 \, kCal$.

(A) आरेनियस समीकरण $K = A e^{-E_a / RT}$ है।
दोनों तरफ लघुगणक लेने पर: $\log_{10} K = \log_{10} A - \frac{E_a}{2.303 RT}$.
समान प्री-एक्सपोनेंशियल कारक $A$ वाली दो अभिक्रियाओं के लिए:
$\log_{10} \left( \frac{K_2}{K_1} \right) = \frac{E_{a1} - E_{a2}}{2.303 RT}$.
यहाँ $E_{a1} - E_{a2} = 24900 \ J/mol$,$R = 8.314 \ J/mol \cdot K$,और $T = 300 \ K$ है।
$\log_{10} \left( \frac{K_2}{K_1} \right) = \frac{24900}{2.303 \times 8.314 \times 300} \approx 4$.
अतः,$\frac{K_2}{K_1} = 3 \times 10^4$।

(D) दिया गया है $K_1 = K_2$,अतः $A_1 e^{-E_{a_1}/RT} = A_2 e^{-E_{a_2}/RT}$.
अनुपात लेने पर,$\frac{A_1}{A_2} = e^{(E_{a_1} - E_{a_2})/RT}$.
मान रखने पर: $\frac{10^8}{10^{10}} = e^{(600 - 1800)/(2T)}$.
$10^{-2} = e^{-1200/2T} = e^{-600/T}$.
व्युत्क्रम लेने पर,$10^2 = e^{600/T}$.
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(10^2) = \frac{600}{T}$.
$2 \times 2.303 = \frac{600}{T}$.
$4.606 = \frac{600}{T}$.
अतः,$T = \frac{600}{4.606} \ K$.

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $K = \frac{0.693}{t_{1/2}}$.
$T_1 = 27\, ^oC = 300\, K$ पर,$t_{1/2} = 20\, \text{min}$,अतः $K_1 = \frac{0.693}{20}$.
$T_2 = 47\, ^oC = 320\, K$ पर,$t_{1/2} = 10\, \text{min}$,अतः $K_2 = \frac{0.693}{10}$.
आरेनियस समीकरण का उपयोग करने पर: $\log \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303 \times R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 \times T_2} \right)$.
मान रखने पर: $\log \left( \frac{0.693/10}{0.693/20} \right) = \log(2) = 0.3010$.
$0.3010 = \frac{E_a}{2.303 \times 1.987 \times 10^{-3}} \times \left( \frac{320 - 300}{300 \times 320} \right)$.
$E_a = 6.62\, \text{Kcal}$ प्राप्त होता है।

(C) आरेनियस समीकरण के अनुसार: $\log_{10}K = \log_{10}A - \frac{E_a}{2.303RT}$.
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = \log_{10}K$ और $x = \frac{1}{T}$,ढाल $m = -\frac{E_a}{2.303R}$ प्राप्त होता है।
दिया गया ढाल $\tan \theta = -\frac{1}{2.303}$ है,इसलिए:
$-\frac{E_a}{2.303R} = -\frac{1}{2.303}$.
दोनों पक्षों से $-1/2.303$ को हटाने पर,हमें $\frac{E_a}{R} = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $E_a = R \ cal/mol$.
चूंकि $R$ का मान लगभग $2 \ cal \ K^{-1} \ mol^{-1}$ है,इसलिए सक्रियण ऊर्जा $E_a = 2 \ cal/mol$ है।

(D) अभिक्रिया का एन्थैल्पी परिवर्तन $(\Delta H_R)$ अग्र अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_f)$ और पश्च अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_b)$ के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\Delta H_R = E_f - E_b$।
दिया गया है $E_f = 180 \ kJ \ mol^{-1}$ और $E_b = 200 \ kJ \ mol^{-1}$,अतः $\Delta H_R = 180 - 200 = -20 \ kJ \ mol^{-1}$।
उत्प्रेरक अग्र और पश्च दोनों अभिक्रियाओं की सक्रियण ऊर्जा को समान मात्रा में कम करता है,लेकिन यह अभिक्रिया की एन्थैल्पी $(\Delta H_R)$ को नहीं बदलता है।
इसलिए,एन्थैल्पी परिवर्तन $-20 \ kJ \ mol^{-1}$ ही रहता है।

(B) अभिक्रिया के लिए एन्थैल्पी परिवर्तन,अग्र अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_{af})$ और पश्च अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_{ab})$ के अंतर द्वारा दिया जाता है:
$\Delta H = E_{af} - E_{ab}$
$E_{ab}$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$E_{ab} = E_{af} - \Delta H$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$E_{ab} = 85 - (-20)$
$E_{ab} = 85 + 20 = 105 \ kJ \ mol^{-1}$

(A) दिया गया है: $T_1 = 27 + 273 = 300\,K$,$T_2 = 57 + 273 = 330\,K$.
अभिक्रिया की दर दोगुनी हो जाती है,इसलिए $k_2 / k_1 = 2$.
आरेनियस समीकरण का उपयोग करते हुए: $\log(k_2 / k_1) = \frac{E_a}{2.303 \times R} \times \frac{T_2 - T_1}{T_1 \times T_2}$.
यहाँ $R = 1.987 \times 10^{-3}\,k\,cal\,K^{-1}\,mol^{-1} \approx 2 \times 10^{-3}\,k\,cal\,K^{-1}\,mol^{-1}$.
$\log(2) = \frac{E_a}{2.303 \times 2 \times 10^{-3}} \times \frac{330 - 300}{300 \times 330}$.
$0.3010 = \frac{E_a}{4.606 \times 10^{-3}} \times \frac{30}{99000}$.
$0.3010 = \frac{E_a}{4.606 \times 10^{-3}} \times \frac{1}{3300}$.
$E_a = 0.3010 \times 4.606 \times 10^{-3} \times 3300$.
$E_a \approx 4.57\,k\,cal\,mol^{-1}$.

(D) कथन $A$ सही है क्योंकि प्राथमिक अभिक्रियाओं के लिए,कोटि आण्विकता के बराबर होती है।
कथन $B$ सही है क्योंकि वेग निर्धारक चरण एक प्राथमिक चरण है,इसलिए इसकी कोटि इसकी आण्विकता के बराबर होती है।
कथन $C$ सही है क्योंकि उत्प्रेरक कम सक्रियण ऊर्जा के साथ एक वैकल्पिक मार्ग प्रदान करता है लेकिन अभिकारकों या उत्पादों की ऊर्जा को नहीं बदलता है,इसलिए $\Delta H$ अपरिवर्तित रहता है।
कथन $D$ गलत है क्योंकि सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ अभिक्रिया का एक विशिष्ट गुण है और यह तापमान से स्वतंत्र है। यह अभिकारकों की प्रकृति और उपयोग किए गए उत्प्रेरक पर निर्भर करता है।

(B) ऊर्जा प्रोफ़ाइल आरेख में,अभिक्रिया की क्रियाविधि में चरणों की संख्या वक्र में मौजूद शिखरों (संक्रमण अवस्थाओं) की संख्या के अनुरूप होती है।
आरेख को देखने पर,अभिकारक $(R)$ और उत्पाद $(P)$ के बीच $3$ अलग-अलग शिखर हैं।
इसलिए,अभिक्रिया $3$ प्राथमिक चरणों के माध्यम से आगे बढ़ती है।

(C) आरेनियस समीकरण के अनुसार,$\ln K = \ln A - \frac{E_a}{RT}$,जिसे $\log K = \log A - \frac{E_a}{2.303RT}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें ढलान $m = -\frac{E_a}{2.303R}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\log K$ बनाम $\frac{1}{T}$ का ग्राफ $-\frac{E_a}{2.303R}$ ढलान वाली एक सीधी रेखा है।

(A) आरेनियस समीकरण $\log \, k = \log \, A - \frac{E_a}{2.303 RT}$ है।
दिए गए समीकरण $\log \, k = 15.0 - \frac{10^{6}}{T}$ के साथ तुलना करने पर:
$1$. $\log \, A = 15.0$,जिसका अर्थ है $A = 10^{15}$।
$2$. $\frac{E_a}{2.303 R} = 10^{6}$।
$R = 8.314 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$ लेने पर,$E_a = 10^{6} \times 2.303 \times 8.314 \approx 1.915 \times 10^{7} \, J \, mol^{-1} = 1.915 \times 10^{4} \, kJ \, mol^{-1}$।
अतः,सही युग्म $A = 10^{15}$ और $E_a = 1.9 \times 10^{4} \, kJ$ है।

(D) संघट्ट सिद्धांत के अनुसार,अभिक्रिया की दर प्रति सेकंड होने वाली प्रभावी टक्करों की संख्या के समानुपाती होती है।
सभी टक्करें उत्पाद के निर्माण में परिणत नहीं होती हैं।
केवल वे टक्करें जिनमें अणुओं के पास पर्याप्त सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ होती है और उचित अभिविन्यास (proper orientation) होता है,रासायनिक अभिक्रिया की ओर ले जाती हैं।

(C) सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ को अभिकारक अणुओं द्वारा रासायनिक अभिक्रिया करने के लिए आवश्यक न्यूनतम अतिरिक्त ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया गया है।
यह अभिकारकों और उत्पादों के बीच विभव ऊर्जा अवरोध को पार करने के लिए आवश्यक ऊर्जा है।
अतः,विकल्प $C$ सही उत्तर है।

(D) आरेनियस समीकरण $K = A e^{-E_a/RT}$ है।
दिए गए समीकरण $K = (\frac{K_1 K_2}{K_3})^{2/3}$ में $K_1, K_2, K_3$ के मान रखने पर:
$K = (\frac{A_1 e^{-Ea_1/RT} \cdot A_2 e^{-Ea_2/RT}}{A_3 e^{-Ea_3/RT}})^{2/3}$.
घातांकों की तुलना करने पर,कुल सक्रियण ऊर्जा $E_a$ इस प्रकार प्राप्त होती है:
$E_a = \frac{2}{3} (Ea_1 + Ea_2 - Ea_3)$.
दिए गए मान रखने पर:
$E_a = \frac{2}{3} (180 + 80 - 50) = \frac{2}{3} (210) = 140 \ kJ/mol$.

(C) दर स्थिरांक $k$ को आरेनियस समीकरण $k = A \cdot e^{-\frac{E_a}{RT}}$ द्वारा दिया जाता है।
उत्प्रेरक रहित अभिक्रिया के लिए,$E_{a1} = 83314 \, J \, mol^{-1}$।
उत्प्रेरित अभिक्रिया के लिए,$E_{a2} = 75000 \, J \, mol^{-1}$।
दर स्थिरांकों का अनुपात $\frac{k_2}{k_1} = e^{\frac{E_{a1} - E_{a2}}{RT}}$ है।
यहाँ $R = 8.314 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$ और $T = 500 \, K$ है,अतः $\Delta E_a = 8314 \, J \, mol^{-1}$।
इसलिए,$\frac{k_2}{k_1} = e^{\frac{8314}{8.314 \times 500}} = e^2 \approx 7.38$।

(D) आरेनियस समीकरण $K = A e^{-E_a/RT}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि सक्रियण ऊर्जा $E_a = 0$ है।
समीकरण में $E_a = 0$ रखने पर,हमें $K = A e^{0} = A \times 1 = A$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A$ (आवृत्ति कारक) एक स्थिरांक है,इसलिए दर स्थिरांक $K$ तापमान $T$ से स्वतंत्र हो जाता है।

(B) आरेनियस समीकरण $K = Ae^{-E_a / RT}$ है।
दिए गए समीकरण $K = (4.5 \times 10^{11} \, s^{-1}) e^{-28000 \, K / T}$ की तुलना आरेनियस समीकरण से करने पर:
$\frac{E_a}{R} = 28000 \, K$
$E_a = 28000 \, K \times R$
$R = 8.314 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$ का उपयोग करने पर:
$E_a = 28000 \times 8.314 \, J \, mol^{-1} = 232792 \, J \, mol^{-1}$
$KJ \, mol^{-1}$ में बदलने पर:
$E_a = \frac{232792}{1000} \, KJ \, mol^{-1} = 232.79 \, KJ \, mol^{-1}$.

(D) ऊष्माशोषी अभिक्रिया में,उत्पादों की ऊर्जा अभिकारकों की ऊर्जा से अधिक होती है।
सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ वह ऊर्जा अवरोध है जिसे अभिक्रिया को आगे बढ़ाने के लिए पार करना आवश्यक है।
चूंकि एन्थैल्पी परिवर्तन $(\Delta H)$ को $E_a(\text{forward}) - E_a(\text{backward})$ के रूप में परिभाषित किया गया है,और ऊष्माशोषी अभिक्रिया के लिए $\Delta H > 0$ होता है,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $E_a(\text{forward}) > \Delta H$।
अतः,सक्रियण ऊर्जा की न्यूनतम मात्रा $\Delta H$ से अधिक होनी चाहिए।

(D) आर्हेनियस समीकरण: $\log K = \log A - \frac{E_a}{2.303 RT}$
दिया गया है: $A = 1.45 \times 10^{11} s^{-1}$,$E_a = 35 \times 10^3 \, cal\, mol^{-1}$,$T = 573 \, K$,$R = 2 \, cal\, K^{-1} mol^{-1}$
मान रखने पर: $\log K = \log (1.45 \times 10^{11}) - \frac{35000}{2.303 \times 2 \times 573}$
$\log K = 11.161 - 13.257 = -2.096$
$K = \text{antilog}(-2.096) = 7.94 \times 10^{-3} s^{-1}$

(B) किसी अभिक्रिया के लिए,अग्र अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_{a(f)})$,पश्च अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_{a(r)})$ और एन्थैल्पी परिवर्तन $(\Delta H)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\Delta H = E_{a(f)} - E_{a(r)}$
पश्च अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा के लिए सूत्र:
$E_{a(r)} = E_{a(f)} - \Delta H$
दिया गया है:
$E_{a(f)} = 57.2 \ kJ$
$\Delta H = +54 \ kJ$
मान रखने पर:
$E_{a(r)} = 57.2 \ kJ - 54 \ kJ = 3.2 \ kJ$

(B) अभिक्रिया के लिए एन्थैल्पी परिवर्तन अग्र अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_{af})$ और पश्च अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_{ab})$ के अंतर द्वारा दिया जाता है।
$\Delta H = E_{af} - E_{ab}$
दिया गया है कि सक्रियण ऊर्जा समान है,$E_{af} = E_{ab}$।
इसलिए,$\Delta H = E_{af} - E_{af} = 0$।

(D) आरेनियस समीकरण $k = A e^{-E_a / RT}$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे $T \to \infty$,पद $E_a / RT \to 0$ हो जाता है।
इसलिए,$k = A e^0 = A \times 1 = A$.
अतः,अनंत तापमान पर वेग स्थिरांक $k$,पूर्व-घातांकीय कारक $A$ के बराबर हो जाता है।
आण्विकता हमेशा एक पूर्ण संख्या होती है और यह भिन्नात्मक या शून्य नहीं हो सकती है।
अभिकारक के पूरी तरह समाप्त होने पर शून्य कोटि की अभिक्रिया रुक जाती है।
प्रथम कोटि की अभिक्रियाएं समांगी या विषमांगी हो सकती हैं।

(D) यह ग्राफ गतिज ऊर्जा के मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण को दर्शाता है।
जब तापमान $T_1$ से बढ़कर $T_2$ $(T_2 > T_1)$ हो जाता है,तो वक्र का शिखर दाईं ओर खिसक जाता है और वक्र चपटा हो जाता है।
इसका मतलब है कि कम गतिज ऊर्जा वाले अणुओं का अंश (क्षेत्र $I$ द्वारा दर्शाया गया) कम हो जाता है,जबकि उच्च गतिज ऊर्जा वाले अणुओं का अंश (क्षेत्र $II$ द्वारा दर्शाया गया) बढ़ जाता है।
इसलिए,क्षेत्र $I$ घट जाएगा और क्षेत्र $II$ बढ़ जाएगा।

(C) आरेनियस समीकरण $k = A \times e^{-\frac{E_a}{RT}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{R} \times (\frac{1}{T})$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण एक सीधी रेखा $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = \ln k$,$x = \frac{1}{T}$,$m = -\frac{E_a}{R}$ (ढाल) और $c = \ln A$ (अंतःखंड) है।
इसलिए,$\ln k$ बनाम $\frac{1}{T}$ का आलेख एक सीधी रेखा देता है।

(B) स्थितिज ऊर्जा वक्र में,संक्रमण अवस्था (सक्रिय संकुल) उच्चतम बिंदु पर होती है,जबकि अभिक्रिया मध्यवर्ती न्यूनतम बिंदु पर होती है।
स्थान $1$ एक स्थानीय न्यूनतम के अनुरूप है,जो एक अभिक्रिया मध्यवर्ती को दर्शाता है।
स्थान $2$ एक स्थानीय उच्चतम के अनुरूप है,जो एक संक्रमण अवस्था (सक्रिय संकुल) को दर्शाता है।
इसलिए,सही पहचान है: स्थान $1$ $-$ अभिक्रिया मध्यवर्ती,स्थान $2$ $-$ सक्रिय संकुल।

(A) अभिक्रिया का एन्थैल्पी परिवर्तन $(\Delta H)$,अग्र अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_{af})$ और पश्च अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_{ab})$ के अंतर के बराबर होता है।
$\Delta H = E_{af} - E_{ab}$
यहाँ $E_{af} = 50 \ kJ$ और $E_{ab} = 30 \ kJ$ दिया गया है।
$\Delta H = 50 \ kJ - 30 \ kJ = +20 \ kJ$.
चूँकि $\Delta H$ धनात्मक है,इसलिए अभिक्रिया ऊष्माशोषी है।

(A) अभिक्रिया के एन्थैल्पी परिवर्तन $(\Delta H)$,अग्र अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_{a(f)})$ और प्रतिगामी अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_{a(r)})$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $\Delta H = E_{a(f)} - E_{a(r)}$.
दिया गया है:
$\Delta H = +100 \ kJ/mol$
$E_{a(r)} = +200 \ kJ/mol$
समीकरण में इन मानों को रखने पर:
$100 = E_{a(f)} - 200$
$E_{a(f)} = 100 + 200 = +300 \ kJ/mol$.
अतः,अग्र अभिक्रिया के लिए सक्रियण ऊर्जा $+300 \ kJ/mol$ है।

(B) अभिक्रिया दो चरणों में आगे बढ़ती है,जिसका अर्थ है कि स्थितिज ऊर्जा आरेख में दो शिखर होंगे,जो दो संक्रमण अवस्थाओं के अनुरूप हैं।
चरण $1$ धीमा चरण है,जिसका अर्थ है कि दूसरे चरण की तुलना में इसकी सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ अधिक है।
चरण $2$ तेज चरण है,जिसका अर्थ है कि इसकी सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ कम है।
चूंकि अभिक्रिया ऊष्माक्षेपी है,उत्पाद $(AB)$ की स्थितिज ऊर्जा अभिकारकों $(A+B)$ की स्थितिज ऊर्जा से कम होनी चाहिए।
ग्राफ $A$ दो चरण दिखाता है जहां पहला शिखर दूसरे से नीचे है,जो धीमे चरण की उच्च सक्रियण ऊर्जा के विपरीत है।
ग्राफ $B$ दो चरण दिखाता है जहां पहला शिखर दूसरे से ऊंचा है,और अंतिम उत्पाद की ऊर्जा अभिकारक की ऊर्जा से कम है,जो दी गई शर्तों के अनुरूप है।
ग्राफ $C$ केवल एक चरण दिखाता है।
ग्राफ $D$ दो चरण दिखाता है,लेकिन उत्पाद की ऊर्जा अभिकारक की ऊर्जा से अधिक है,जो एक ऊष्माशोषी अभिक्रिया का प्रतिनिधित्व करती है।

(A) आर्हेनियस समीकरण $k = A e^{-E_a/RT}$ है।
दिया गया है $k = (k_1 k_2 / k_3)^{2/3}$.
आर्हेनियस समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर: $A e^{-E_a/RT} = [ (A e^{-E_{a_1}/RT} \times A e^{-E_{a_2}/RT}) / (A e^{-E_{a_3}/RT}) ]^{2/3}$.
घातांकों की तुलना करने पर: $-E_a/RT = (2/3) \times [(-E_{a_1} - E_{a_2} + E_{a_3})/RT]$.
अतः,$E_a = (2/3) \times [E_{a_1} + E_{a_2} - E_{a_3}]$.
मान रखने पर: $E_a = (2/3) \times [180 + 80 - 50]$.
$E_a = (2/3) \times [210] = 140 \ kJ \ mol^{-1}$.

(B) आरेनियस समीकरण $k = A e^{-\frac{E_a}{RT}}$ है।
जैसे ही $T \to \infty$ होता है,पद $\frac{E_a}{RT} \to 0$ हो जाता है।
इसलिए,$e^{-\frac{E_a}{RT}} \to e^0 = 1$.
अतः,$\lim_{T \to \infty} (k) = A \times 1 = A$.
दिया गया है कि आरेनियस स्थिरांक $A = 2 \times 10^{15}\, s^{-1}$ है,इसलिए $T \to \infty$ पर दर स्थिरांक का मान $2 \times 10^{15}\, s^{-1}$ होगा।

(C) आर्हेनियस समीकरण $k = A e^{-E_a/RT}$ है।
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$ प्राप्त होता है।
इसे $10$ के आधार वाले लघुगणक में बदलने पर,$\log k = \log A - \frac{E_a}{2.303 RT}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना सरल रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,जहाँ $y = \log k$ और $x = 1/T$ है,ढाल $m = -\frac{E_a}{2.303 R}$ प्राप्त होती है।
अतः,$\log k$ बनाम $1/T$ का ग्राफ खींचकर $E_a$ की गणना की जा सकती है।

(D) आर्हेनियस समीकरण के अनुसार:
$\log K = \log A - \frac{E_a}{2.303 R} \cdot \frac{1}{T}$
इस समीकरण की तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,जहाँ $y = \log K$ और $x = \frac{1}{T}$ है:
आलेख की ढाल $m = -\frac{E_a}{2.303 R}$ है,जो सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ की गणना करने में मदद करती है।
y-अंतःखंड $c = \log A$ है,जो आवृत्ति कारक $(A)$ की गणना करने में मदद करता है।
अतः,यह आलेख सक्रियण ऊर्जा और आवृत्ति कारक दोनों की गणना करने में सहायक है।

(C) आर्हेनियस समीकरण के अनुसार,$K = A \, e^{-Ea/RT}$.
मान लीजिए कि दोनों अभिक्रियाओं के लिए पूर्व-घातांकीय कारक $A$ समान है:
$K_1 = A \, e^{-Ea_1/RT}$
$K_2 = A \, e^{-Ea_2/RT}$
दिया गया है कि $Ea_1 = \frac{Ea_2}{3}$,इसलिए $Ea_2 = 3Ea_1$.
$K_2$ के व्यंजक में $Ea_2$ का मान रखने पर:
$K_2 = A \, e^{-3Ea_1/RT}$
अब,$K_1$ को $K_2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{A \, e^{-Ea_1/RT}}{A \, e^{-3Ea_1/RT}} = e^{(-Ea_1 + 3Ea_1)/RT} = e^{2Ea_1/RT}$
अतः,$K_1 = K_2 \, e^{2Ea_1/RT}$.

(A) अभिक्रिया का वेग स्थिरांक $k$ आरेनियस समीकरण द्वारा परिभाषित होता है: $k = A e^{-E_a / RT}$।
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि वेग स्थिरांक $k$ तापमान $(T)$ और सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ पर निर्भर करता है।
यह अभिकारकों या उत्पादों की सांद्रता पर निर्भर नहीं करता है।

(C) आर्हेनियस समीकरण के अनुसार,दर स्थिरांक $k = A e^{-E_a/RT}$ होता है।
अग्र अभिक्रिया के लिए: $k_f = A_f e^{-E_{af}/RT}$।
पश्च अभिक्रिया के लिए: $k_b = A_b e^{-E_{ab}/RT}$।
दिया गया है कि पूर्व-घातांकीय कारक समान हैं,$A_f = A_b = A$।
साम्य स्थिरांक $K_c = \frac{k_f}{k_b}$ होता है।
मान रखने पर: $K_c = \frac{A e^{-E_{af}/RT}}{A e^{-E_{ab}/RT}} = e^{(E_{ab} - E_{af})/RT}$।
चूंकि $\Delta E = E_{af} - E_{ab}$,इसलिए $E_{ab} - E_{af} = -\Delta E$ होगा।
अतः,$K_c = e^{-\Delta E/RT}$।

(B) आर्हेनियस समीकरण $k = A \cdot e^{-E_a / RT}$ है।
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$.
दिया गया है: $E_a = 94.14 \, kJ \, mol^{-1} = 94140 \, J \, mol^{-1}$,$T = 310 \, K$,$k = 10^{-2} \, s^{-1}$,और $R = 8.314 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$.
मान रखने पर: $\ln(10^{-2}) = \ln A - \frac{94140}{8.314 \times 310}$.
$-4.605 = \ln A - 36.51$.
$\ln A = 36.51 - 4.605 = 31.905$.
$A = e^{31.905} \approx 7.2 \times 10^{13} \, s^{-1}$.

(B) आर्हेनियस समीकरण के अनुसार,$k = A e^{-E_a / RT}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$ प्राप्त होता है।
तापमान के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{d(\ln k)}{dT} = \frac{E_a}{RT^2}$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण दर्शाता है कि जब सक्रियण ऊर्जा $E_a$ उच्च होती है,तो दर स्थिरांक $k$ तापमान परिवर्तनों के प्रति अत्यधिक संवेदनशील होता है।
अतः,यदि सक्रियण ऊर्जा उच्च है,तो तापमान में थोड़ी सी वृद्धि अभिक्रिया की दर में उल्लेखनीय वृद्धि करती है।

(B) अभिक्रिया की दर दी गई सांद्रता पर वेग स्थिरांक $(k)$ के सीधे समानुपाती होती है।
चूंकि तापमान $300 \ K$ से $310 \ K$ तक बढ़ने पर अभिक्रिया की दर $2.5$ गुना बढ़ जाती है,इसलिए वेग स्थिरांक भी उसी अनुपात में बढ़ेगा।
अतः,यदि $300 \ K$ पर वेग स्थिरांक $K$ है,तो $310 \ K$ पर वेग स्थिरांक $2.5 \ K$ होगा।

(C) आर्हेनियस समीकरण $k = A e^{-E_a/RT}$ द्वारा दिया जाता है।
इस समीकरण में,पद $e^{-E_a/RT}$ उन अणुओं के अंश को दर्शाता है जिनके पास दिए गए तापमान $(T)$ पर सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ के बराबर या उससे अधिक गतिज ऊर्जा होती है।

(A) आर्हेनियस समीकरण $k = A e^{-E_a / RT}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$A$ पूर्व-घातांक कारक है,जिसे आवृत्ति कारक के रूप में भी जाना जाता है।
यह अभिकारक अणुओं की टक्करों की आवृत्ति और अभिक्रिया होने के लिए आवश्यक उनके उचित अभिविन्यास (orientation) को दर्शाता है।

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{a}{a-x}$ है।
चूंकि दोनों तापमानों के लिए समय $t$ समान है,इसलिए $\frac{2.303}{k_1} \log \frac{100}{90} = \frac{2.303}{k_2} \log \frac{100}{75}$.
इससे $\frac{k_2}{k_1} = \frac{\log(1.333)}{\log(1.111)} \approx 2.73$ प्राप्त होता है।
आर्हेनियस समीकरण $\ln \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{R} [\frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2}]$ का उपयोग करने पर,$E_a \approx 76.6 \, kJ/mol$ प्राप्त होता है।
निकटतम विकल्प $76.75 \, kJ/mol$ है।

(C) आरेनियस समीकरण $K = A \cdot e^{-E_a / (RT)}$ है।
दोनों तरफ लघुगणक लेने पर: $\log K = \log A - \frac{E_a}{2.303 \cdot R \cdot T}$.
दिए गए समीकरण $\log K = -2000 \, (1/T) + 6.0$ के साथ तुलना करने पर:
$1$. $\log A = 6.0 \implies A = 10^6 \, s^{-1}$.
$2$. $\frac{E_a}{2.303 \cdot R} = 2000$.
$R = 8.314 \, J \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$ का उपयोग करने पर,$E_a = 2000 \times 2.303 \times 8.314 \approx 38297 \, J/mol \approx 38.3 \, kJ/mol$.

(A) आरेनियस समीकरण $K = A \, e^{-E_a / (RT)}$ है।
दिए गए समीकरण $K = 5.0 \times 10^{11} \, e^{-2000/T}$ के साथ तुलना करने पर:
$E_a / R = 2000 \, K$.
इसलिए,$E_a = 2000 \, K \times R$.
गैस स्थिरांक $R = 8.314 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$ का उपयोग करने पर:
$E_a = 2000 \times 8.314 = 16628 \, J \, mol^{-1}$.
$kJ \, mol^{-1}$ में बदलने पर:
$E_a = 16.628 \, kJ \, mol^{-1}$.

(D) दी गई अभिक्रियाओं के लिए दर स्थिरांक:
$K_1 = 10^8 \, e^{-6000/8.34T}$
$K_2 = 10^{10} \, e^{-8000/8.34T}$
$K_1 = K_2$ रखने पर:
$10^8 \, e^{-6000/8.34T} = 10^{10} \, e^{-8000/8.34T}$
दोनों पक्षों को $10^8$ से विभाजित करने पर:
$e^{-6000/8.34T} = 10^2 \, e^{-8000/8.34T}$
घातांकीय पदों को व्यवस्थित करने पर:
$e^{2000/8.34T} = 10^2$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक $(\ln)$ लेने पर:
$2000 / (8.34 \, T) = \ln(10^2) = 2 \ln(10)$
$\ln(10) \approx 2.303$ का उपयोग करने पर:
$2000 / (8.34 \, T) = 2 \times 2.303 = 4.606$
$T = 2000 / (8.34 \times 4.606) \approx 52.06 \ K$
अतः,तापमान लगभग $52 \ K$ है।

(B) आर्हेनियस समीकरण $k = A e^{-E_a / RT}$ है।
दिए गए मान: $A = 1.45 \times 10^{11} \, s^{-1}$,$E_a = 35 \, kcal \, mol^{-1} = 35000 \, cal \, mol^{-1}$,$T = 300 + 273 = 573 \, K$,और $R = 1.987 \, cal \, K^{-1} \, mol^{-1}$.
घातांक की गणना: $-E_a / RT = -35000 / (1.987 \times 573) \approx -30.736$.
अब,$k = 1.45 \times 10^{11} \times e^{-30.736} \approx 7.96 \times 10^{-3} \, s^{-1}$.

(A) तापमान गुणांक को $10 \ K$ के अंतर वाले तापमानों पर वेग स्थिरांकों के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है,तापमान गुणांक = $2$।
तापमान का अंतर $\Delta T = 313 \ K - 273 \ K = 40 \ K$।
$10 \ K$ के अंतरालों की संख्या $n = \Delta T / 10 = 40 / 10 = 4$।
अभिक्रिया का वेग प्रत्येक $10 \ K$ की वृद्धि के साथ $(2)^n$ के गुणक से बढ़ता है।
नया वेग = $R_0 \times (2)^n = R_0 \times (2)^4 = 16R_0$।

(A) ताप गुणांक $(\mu)$ को $10 \, K$ के अंतर वाले तापमानों पर दर स्थिरांकों के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
माना ताप गुणांक $\mu$ है।
दिया गया है कि $\Delta T = 30 \, K$ की तापमान वृद्धि के लिए,दर $27$ गुना बढ़ जाती है।
संबंध इस प्रकार है: $\frac{\text{Rate}_2}{\text{Rate}_1} = \mu^{(\Delta T / 10)}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $27 = \mu^{(30 / 10)}$.
$27 = \mu^3$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $\mu = (27)^{1/3} = 3$.
अतः,ताप गुणांक $3$ है।

(B) तापमान गुणांक $2$ दिया गया है। तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 100\,^oC - 10\,^oC = 90\,^oC$ है।
$10\,^oC$ के अंतरालों की संख्या $n = \frac{90}{10} = 9$ है।
अभिक्रिया की दर $2^n$ के गुणक से बढ़ती है।
अतः,अभिक्रिया की दर $2^9 = 512$ गुना बढ़ जाएगी।