Collision theory, Energy of activation and Arrhenius equation Questions in Hindi

(D) सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ रासायनिक अभिक्रिया के होने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा है।
आरेनियस समीकरण $k = A e^{-E_a / RT}$ के अनुसार,जहाँ $k$ दर स्थिरांक है,$A$ आवृत्ति कारक है,$R$ गैस स्थिरांक है और $T$ तापमान है।
अधिकांश अभिक्रियाओं के लिए,सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ को अभिक्रिया पथ का एक विशिष्ट गुण माना जाता है और यह तापमान की एक विस्तृत श्रृंखला पर तापमान से लगभग स्वतंत्र होती है।
अतः,विकल्प $D$ सही कथन है।

(C) आर्हेनियस समीकरण $k = A e^{-E_{a} / RT}$ है।
दिए गए समीकरण $k = (4.5 \times 10^{11} \ s^{-1}) e^{-(28000 \ K) / T}$ की तुलना आर्हेनियस समीकरण से करने पर,घातांक पद:
$E_{a} / R = 28000 \ K$ प्राप्त होता है।
अतः,सक्रियण ऊर्जा $E_{a} = 28000 \times R$ है।
गैस स्थिरांक $R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$ का उपयोग करने पर:
$E_{a} = 28000 \times 8.314 \ J/mol = 232792 \ J/mol$।

(D) Arrhenius समीकरण $k = A e^{-E_a / (RT)}$ द्वारा दिया जाता है।
$(1)$ वेग स्थिरांक $k$ तापमान $T$ का एक फलन है।
$(2)$ जैसे-जैसे तापमान $T$ बढ़ता है,थ्रेशोल्ड ऊर्जा से अधिक ऊर्जा वाले अणुओं का अंश बढ़ता है,जिससे अधिक प्रभावी टक्करें होती हैं।
$(3)$ मानक Arrhenius मॉडल में,सक्रियण ऊर्जा $E_a$ और प्री-एक्सपोनेंशियल कारक $A$ को तापमान से स्वतंत्र स्थिरांक माना जाता है।

(A) आरेनियस समीकरण $k = A e^{-E_a / RT}$ है।
दिए गए $k = (\frac{k_1 k_2}{k_3})^{2/3}$ में $k_i = A_i e^{-E_{a_i} / RT}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$A e^{-E_a / RT} = [\frac{A_1 e^{-E_{a_1} / RT} \times A_2 e^{-E_{a_2} / RT}}{A_3 e^{-E_{a_3} / RT}}]^{2/3}$
$A e^{-E_a / RT} = [\frac{A_1 A_2}{A_3}]^{2/3} \times e^{(-E_{a_1} - E_{a_2} + E_{a_3}) \times \frac{2}{3RT}}$
घातांकों की तुलना करने पर:
$-\frac{E_a}{RT} = \frac{2}{3} \times \frac{(-E_{a_1} - E_{a_2} + E_{a_3})}{RT}$
$E_a = \frac{2}{3} [E_{a_1} + E_{a_2} - E_{a_3}]$
मान रखने पर:
$E_a = \frac{2}{3} [180 + 80 - 50]$
$E_a = \frac{2}{3} [210] = 140\ kJ/mol$.

(A) दिए गए वेग स्थिरांक $k_1 = 10^{15} e^{-25000 / 8.34 T}$ और $k_2 = 10^{14} e^{-15000 / 8.34 T}$ हैं।
$k_1 = k_2$ रखने पर:
$10^{15} e^{-25000 / 8.34 T} = 10^{14} e^{-15000 / 8.34 T}$
$\frac{10^{15}}{10^{14}} = e^{10000 / 8.34 T}$
$10 = e^{10000 / 8.34 T}$
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln(10) = \frac{10000}{8.34 T}$
$2.303 = \frac{10000}{8.34 T}$
$T = \frac{10000}{8.34 \times 2.303} \approx 520 \ K$
अतः सही उत्तर $(A)$ है।

(D) आर्हेनियस समीकरण के अनुसार,$K = Ae^{-E_a/RT}$ है।
$(1)$ पद $e^{-E_a/RT}$ उन अणुओं के अंश को दर्शाता है जिनकी ऊर्जा सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ के बराबर या उससे अधिक है। यह सही है।
$(2)$ जैसे-जैसे $E_a$ कम होता है,$e^{-E_a/RT}$ का मान बढ़ता है,जिससे दर स्थिरांक $K$ बड़ा हो जाता है,अतः अभिक्रिया तेज होती है। यह सही है।
$(3)$ आर्हेनियस कारक $A$ (आवृत्ति कारक) वास्तव में टक्कर आवृत्ति $(Z)$ और त्रिविम/प्रायिकता कारक $(P)$ का गुणनफल है,अर्थात $A = PZ$। यह सही है।
$(4)$ अभिक्रिया की तापमान निर्भरता सक्रियण ऊर्जा द्वारा निर्धारित होती है। उच्च $E_a$ वाली अभिक्रिया तापमान परिवर्तनों के प्रति अधिक संवेदनशील होती है क्योंकि घातांकीय पद $e^{-E_a/RT}$ तापमान के साथ काफी बदल जाता है। इसलिए,यह कथन कि यह 'तापमान पर कम निर्भर है' गलत है।

(B) रासायनिक अभिक्रिया की दर प्रभावी संघट्टों की संख्या के समानुपाती होती है,जो उन अणुओं के अंश पर निर्भर करती है जिनकी ऊर्जा सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ के बराबर या उससे अधिक होती है।
आर्हेनियस समीकरण के अनुसार,$E_a$ के बराबर या उससे अधिक ऊर्जा वाले अणुओं का अंश $f = e^{-E_a/RT}$ द्वारा दिया जाता है।
तापमान में $10^{\circ}C$ की वृद्धि के लिए,यह अंश लगभग दोगुना हो जाता है,जिससे अभिक्रिया की दर दोगुनी हो जाती है।
विकल्प $(A)$ गलत है क्योंकि औसत गति $u$,$\sqrt{T}$ के समानुपाती होती है,इसलिए यह दोगुनी नहीं होती है।
विकल्प $(C)$ गलत है क्योंकि सांद्रता तापमान से स्वतंत्र होती है।
विकल्प $(D)$ गलत है क्योंकि संघट्ट आवृत्ति केवल एक छोटे कारक ($\sqrt{T}$ के समानुपाती) से बढ़ती है,$2$ के कारक से नहीं।

(A) दिया गया है: $T_{1} = 27\,^{\circ}C = 300\,K$,$(K_{eq})_{1} = 30$.
$T_{2} = 127\,^{\circ}C = 400\,K$,$(K_{eq})_{2} = 40$.
चूंकि तापमान बढ़ने पर साम्य स्थिरांक बढ़ता है,इसलिए अभिक्रिया ऊष्माशोषी (endothermic) है।
ऊष्माशोषी अभिक्रिया के लिए,एन्थैल्पी परिवर्तन $\Delta H = (E_{a})_{f} - (E_{a})_{b} > 0$ होता है।
इसका तात्पर्य है कि $(E_{a})_{f} > (E_{a})_{b}$।
अतः,अनुपात $\frac{(E_{a})_{f}}{(E_{a})_{b}} > 1$ होगा।

(D) आर्हेनियस समीकरण के अनुसार:
$k = A \cdot e^{-E_a/RT}$ (उत्प्रेरक अनुपस्थित)
$k' = A \cdot e^{-E'_a/RT}$ (उत्प्रेरक उपस्थित)
दिया गया है $E'_a = 4.15 \, kJ \, mol^{-1}$ और $\frac{k'}{k} = 2.718 = e^1$.
अनुपात लेने पर:
$\frac{k'}{k} = e^{(E_a - E'_a)/RT}$
$e^1 = e^{(E_a - E'_a)/RT}$
अतः,$1 = \frac{E_a - E'_a}{RT}$
$E_a = E'_a + RT$
मान रखने पर ($R = 8.314 \times 10^{-3} \, kJ \, K^{-1} \, mol^{-1}$,$T = 500 \, K$):
$E_a = 4.15 + (8.314 \times 10^{-3} \times 500)$
$E_a = 4.15 + 4.157 = 8.307 \, kJ \, mol^{-1} \approx 8.3 \, kJ \, mol^{-1}$.

(D) $1$. दी गई ऊर्जा प्रोफ़ाइल आरेख में,वक्र $N$ उत्प्रेरक के बिना अभिक्रिया को दर्शाता है,और वक्र $M$ उत्प्रेरक के साथ अभिक्रिया को दर्शाता है।
$2$. पश्च अभिक्रिया के लिए सक्रियण ऊर्जा संक्रमण अवस्था (वक्र का शीर्ष) और उत्पादों $(C+D)$ के ऊर्जा स्तर के बीच का ऊर्जा अंतर है।
$3$. उत्प्रेरक की उपस्थिति में,संक्रमण अवस्था वक्र $M$ के अनुरूप ऊर्जा स्तर पर होती है।
$4$. उत्पादों $(C+D)$ का ऊर्जा स्तर अभिकारकों $(A+B)$ के ऊर्जा स्तर से $P$ दूरी नीचे है।
$5$. उत्प्रेरित अभिक्रिया $(M)$ के लिए संक्रमण अवस्था का ऊर्जा स्तर अभिकारकों $(A+B)$ से $Q$ दूरी ऊपर है।
$6$. इसलिए,उत्प्रेरक की उपस्थिति में पश्च अभिक्रिया के लिए सक्रियण ऊर्जा उत्पादों और अभिकारकों $(P)$ के बीच ऊर्जा अंतर और अभिकारकों तथा उत्प्रेरित संक्रमण अवस्था $(Q)$ के बीच ऊर्जा अंतर का योग है,जो $P+Q$ है।

(B) एक ऊष्माक्षेपी अभिक्रिया के लिए,अग्र अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_{a(f)})$,पश्च अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_{a(b)})$ और एन्थैल्पी परिवर्तन $(\Delta H)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\Delta H = E_{a(f)} - E_{a(b)}$
दिया गया है:
$E_{a(f)} = 65 \ kJ \ mol^{-1}$
$\Delta H = -42 \ kJ \ mol^{-1}$
मान रखने पर:
$-42 = 65 - E_{a(b)}$
$E_{a(b)} = 65 + 42 = 107 \ kJ \ mol^{-1}$

(B) आरेनियस समीकरण $k = A \times e^{-E_a/RT}$ है।
कथन $(i)$ गलत है क्योंकि शून्य कोटि की अभिक्रिया की दर अभिकारक की सांद्रता पर निर्भर नहीं करती है।
कथन $(ii)$ सही है क्योंकि यदि $E_a = 0$ है,तो $k = A \times e^0 = A$ होगा।
कथन $(iii)$ गलत है क्योंकि यदि $E_a = \infty$ है,तो $k = A \times e^{-\infty} = 0$ होगा।
कथन $(iv)$ गलत है क्योंकि $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$,जो दर्शाता है कि $\ln k$,$1/T$ का फलन है,$T$ का नहीं।
कथन $(v)$ सही है क्योंकि समीकरण $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{R} \times (1/T)$ यह दर्शाता है कि $\ln k$ बनाम $1/T$ का आलेख $-E_a/R$ ढाल वाली एक सीधी रेखा है।
अतः,कथन $(ii)$ और $(v)$ सही हैं।

(D) दिया गया है कि $k_1 = k_2$,इसलिए $A_1 e^{-E_{a_1} / RT} = A_2 e^{-E_{a_2} / RT}$ होगा।
मान रखने पर: $10^8 e^{-600 / RT} = 10^{10} e^{-1800 / RT}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{e^{-600 / RT}}{e^{-1800 / RT}} = \frac{10^{10}}{10^8}$.
$e^{(1800 - 600) / RT} = 10^2$.
$e^{1200 / RT} = 100$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\frac{1200}{RT} = \ln(100) = 2 \ln(10)$.
$\ln(10) \approx 2.303$ और $R = 2 \ cal/K \cdot mol$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1200}{2 \times T} = 2 \times 2.303$.
$\frac{600}{T} = 4.606$.
$T = \frac{600}{4.606} \ K$.

(A) कुल दर स्थिरांक $k = (\frac{k_1 k_2}{k_3})^{2/3}$ द्वारा दिया गया है।
आर्हेनियस समीकरण $k = A e^{-E_a/RT}$ का उपयोग करते हुए,हम प्रत्येक दर स्थिरांक के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करते हैं:
$e^{-E_a/RT} = [\frac{e^{-E_{a1}/RT} \times e^{-E_{a2}/RT}}{e^{-E_{a3}/RT}}]^{2/3}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$-\frac{E_a}{RT} = \frac{2}{3} [-\frac{E_{a1}}{RT} - \frac{E_{a2}}{RT} + \frac{E_{a3}}{RT}]$
$E_a = \frac{2}{3} [E_{a1} + E_{a2} - E_{a3}]$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$E_a = \frac{2}{3} [180 + 80 - 50] = \frac{2}{3} [210] = 140 \ kJ/mol$.

(D) आरेनियस समीकरण $k = A \, e^{-E_a/RT}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln \, k = \ln \, A - \frac{E_a}{RT}$.
$10$ के आधार वाले लघुगणक में बदलने पर: $\log \, k = \log \, A - \frac{E_a}{2.303 \, R} \times \frac{1}{T}$.
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = \log \, k$ और $x = \frac{1}{T}$,ढाल $m = -\frac{E_a}{2.303 \, R}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\log \, k$ बनाम $\frac{1}{T}$ का आलेख एक सीधी रेखा देता है।

(A) ताप गुणांक $\mu$ को $(T + 10) \ K$ और $T \ K$ तापमान पर दर स्थिरांकों के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
आरेनियस समीकरण $k = Ae^{-E_a / RT}$ से यह निष्कर्ष निकलता है कि $\log \mu \propto E_a$ होता है।
इसका अर्थ है कि सक्रियण ऊर्जा $E_a$ बढ़ने पर ताप गुणांक $\mu$ का मान बढ़ता है।
चूंकि $E_{a_1} > E_{a_2}$ दिया गया है,इसलिए $\mu_1 > \mu_2$ होगा।

(C) आर्हेनियस समीकरण $k = A \times e^{-E_a / (RT)}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि सक्रियण ऊर्जा $E_a = 0$ है।
समीकरण में $E_a = 0$ रखने पर,हमें $k = A \times e^0 = A \times 1 = A$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि दर स्थिरांक $k$,आवृत्ति कारक $A$ के बराबर है और यह तापमान $T$ पर निर्भर नहीं करता है।
चूंकि $300 \ K$ पर $k = 3.2 \times 10^8 \ s^{-1}$ है,इसलिए आवृत्ति कारक $A$ का मान $3.2 \times 10^8 \ s^{-1}$ है।
अतः,$400 \ K$ पर भी आवृत्ति कारक $A$ का मान $3.2 \times 10^8 \ s^{-1}$ ही रहेगा।

(C) तापमान गुणांक $\mu = 3$ है,जो $10^\circ C$ तापमान वृद्धि के लिए है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 60^\circ C$ है।
अभिक्रिया की दर में वृद्धि $= \mu^{(\Delta T / 10)} = 3^{(60 / 10)} = 3^6$ द्वारा प्राप्त होती है।
गणना करने पर: $3^6 = 729$।

(A) आरेनियस समीकरण $\ln(\frac{k_2}{k_1}) = \frac{E_a}{R} (\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2})$ है।
दिया गया है: $T_1 = 300 \ K$,$T_2 = 600 \ K$,$E_a = 24942 \ J \ mol^{-1}$,$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
मान रखने पर: $\ln(\frac{k_2}{k_1}) = \frac{24942}{8.314} (\frac{1}{300} - \frac{1}{600}) = 5$.
अतः,$\frac{k_2}{k_1} = e^5 = 150$.
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए दर,दर स्थिरांक के समानुपाती होती है,इसलिए $Rate_2 = 150 \times Rate_1 = 150 \times 2.4 \times 10^{-3} = 0.36 \ mol \ L^{-1} \ s^{-1}$।

(A) दिया गया है $k_1 = k_2$:
$10^{15} e^{-25000 / 8.314\, T} = 10^{14} e^{-15000 / 8.314\, T}$
$\frac{10^{15}}{10^{14}} = e^{(25000 - 15000) / 8.314\, T}$
$10 = e^{10000 / 8.314\, T}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$ln(10) = \frac{10000}{8.314\, T}$
$ln(10) = 2.3$ दिया गया है:
$2.3 = \frac{10000}{8.314\, T}$
$T = \frac{10000}{8.314 \times 2.3} \approx 522\, K$
अतः,तापमान $522\, K$ है।

(B) संघट्ट सिद्धांत (collision theory) द्वारा संशोधित आरेनियस समीकरण $r = P Z_{AB} e^{-E_a/RT}$ में,पद $P$ को त्रिविम कारक (steric factor) या प्रायिकता कारक (probability factor) कहा जाता है।
यह इस आवश्यकता को दर्शाता है कि रासायनिक अभिक्रिया होने के लिए अणुओं का टक्कर के दौरान सही ढंग से अभिविन्यस्त (oriented) होना आवश्यक है।

(C) आर्हेनियस समीकरण का उपयोग करते हुए: $\log \frac{K_{2}}{K_{1}} = \frac{E_{a}}{2.303 R} \left[ \frac{T_{2} - T_{1}}{T_{1} T_{2}} \right]$
दिया गया है: $E_{a} = 65,000 \, J/mol$,$R = 8.314 \, J/K \cdot mol$,$T_{1} = 273 \, K$,$T_{2} = 298 \, K$.
मान रखने पर:
$\log \frac{K_{2}}{K_{1}} = \frac{65000}{2.303 \times 8.314} \left[ \frac{298 - 273}{273 \times 298} \right]$
$\log \frac{K_{2}}{K_{1}} \approx 1.043$
$\frac{K_{2}}{K_{1}} = 10^{1.043} \approx 11$
अतः,अभिक्रिया लगभग $11$ गुना तेजी से आगे बढ़ेगी।

(A, B) आर्हेनियस समीकरण $k = A e^{-E_a/RT}$ है।
दर स्थिरांक $k$ को आर्हेनियस स्थिरांक $A$ के बराबर होने के लिए,घातांकीय पद $e^{-E_a/RT}$ का मान $1$ होना चाहिए।
यह तब होता है जब घातांक $0$ हो,अर्थात $-E_a/RT = 0$।
यह स्थिति $E_a = 0$ (सक्रियण ऊर्जा शून्य है) होने पर संतुष्ट होती है।
वैकल्पिक रूप से,जैसे $T \to \infty$,पद $E_a/RT \to 0$ हो जाता है,इसलिए $e^0 = 1$,जिससे $k = A$ प्राप्त होता है।

(B) आरेनियस समीकरण $k = A e^{-E_a / RT}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$.
इसे आधार $10$ के लघुगणक में बदलने के लिए,हम $2.303$ से विभाजित करते हैं:
$\log k = \log A - \frac{E_a}{2.303 RT}$.
यह समीकरण एक सीधी रेखा $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = \log k$,$x = 1/T$,$m = -\frac{E_a}{2.303 R}$,और $c = \log A$.
इसलिए,ग्राफ की ढाल $-\frac{E_a}{2.303 R}$ है।

(C) आर्हेनियस समीकरण $K = A \cdot e^{-E_a / RT}$ है।
इसे दिए गए समीकरण $K = A \cdot e^{-40000/T}$ से तुलना करने पर,हमें $\frac{E_a}{R} = 40000$ प्राप्त होता है।
गैस स्थिरांक $R \approx 2 \, cal \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$ लेने पर,
अतः,$E_a = 40000 \times 2 = 80000 \, cal$।

(D) तापमान में प्रत्येक $10 ^\circ C$ की वृद्धि के लिए अभिक्रिया की दर $2^{\frac{\Delta T}{10}}$ के गुणक से बढ़ती है।
यहाँ,$\Delta T = 100 ^\circ C - 10 ^\circ C = 90 ^\circ C$.
अतः,अभिक्रिया की दर $(2)^{\frac{90}{10}}$ गुना हो जाएगी।
$= 2^9 = 512$ गुना।

(A) आरेनियस समीकरण का उपयोग करते हुए: $\log \frac{K_{2}}{K_{1}} = \frac{E_a}{2.303 \ R} \left( \frac{T_{2} - T_{1}}{T_{1} T_{2}} \right)$
दिया गया है: $K_{2} = 2K_{1}$,$T_{1} = 300 \ K$,$T_{2} = 310 \ K$,$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
$\log 2 = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left( \frac{310 - 300}{300 \times 310} \right)$
$0.3010 = \frac{E_a}{19.147} \left( \frac{10}{93000} \right)$
$E_a = \frac{0.3010 \times 19.147 \times 93000}{10} \ J/mol$
$E_a \approx 53598 \ J/mol = 53.6 \ kJ/mol$.

(A) अभिक्रिया की दर तापमान के साथ इस सूत्र के अनुसार बदलती है: $\frac{R_{2}}{R_{1}} = (\mu)^{\frac{\Delta T}{10}}$.
यहाँ,$\Delta T = 55\,^{\circ}C - 25\,^{\circ}C = 30\,^{\circ}C$ और $\mu = 3$ है।
मान रखने पर: $\frac{R_{2}}{R_{1}} = (3)^{\frac{30}{10}} = (3)^{3} = 27$.

(C) आर्हेनियस समीकरण $k = A e^{-\frac{E_a}{RT}}$ है।
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$ प्राप्त होता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = \ln k$ और $x = \frac{1}{T}$,ढलान $m = -\frac{E_a}{R}$ है।
विकल्प $C$ सही है क्योंकि $\ln k$ बनाम $\frac{1}{T}$ के प्लॉट का ढलान $-\frac{E_a}{R}$ है।
नोट: यदि प्लॉट $\log_{10} k$ बनाम $\frac{1}{T}$ है,तो ढलान $-\frac{E_a}{2.303R}$ होता है।

(A) आरेनियस समीकरण का लघुगणकीय रूप $\log_{10} K = \log_{10} A - \frac{E_a}{2.303RT}$ है।
दिए गए समीकरण $\log_{10} K = -\frac{2000}{T} + 6.0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\frac{E_a}{2.303R} = 2000$ प्राप्त होता है।
यहाँ $R = 1.987 \times 10^{-3} \ kcal \ K^{-1} \ mol^{-1} \approx 2 \times 10^{-3} \ kcal \ K^{-1} \ mol^{-1}$ लेने पर.
$E_a = 2000 \times 2.303 \times 2 \times 10^{-3} \ kcal \ mol^{-1}$.
$E_a = 2000 \times 2.303 \times 0.002 = 9.212 \ kcal \ mol^{-1}$.
अतः,सक्रियण ऊर्जा $9.21 \ kcal \ mol^{-1}$ है।

(C) अग्र अभिक्रिया $A + B \to C + D$ के लिए,सक्रियण ऊर्जा $x$ है और एन्थैल्पी परिवर्तन $-y$ है (क्योंकि यह एक ऊष्माक्षेपी अभिक्रिया है)।
उत्क्रमणीय अभिक्रिया $C + D \to A + B$ के लिए:
$1$. एन्थैल्पी परिवर्तन परिमाण में समान लेकिन अग्र अभिक्रिया के विपरीत चिह्न का होता है,जो $y$ है।
$2$. उत्क्रमणीय अभिक्रिया के लिए सक्रियण ऊर्जा संक्रमण अवस्था और अभिकारकों $(C + D)$ के बीच का ऊर्जा अंतर है,जो $x + y$ है।

(B) सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ के बराबर या उससे अधिक ऊर्जा वाले अणुओं का अंश $(f)$ आर्हेनियस समीकरण द्वारा दिया जाता है: $f = e^{-E_a/RT}$।
दिया गया है:
$E_a = 200 \ kJ \ mol^{-1} = 200,000 \ J \ mol^{-1}$
$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$
$T = 600 \ K$
मान रखने पर:
$f = e^{-(200,000) / (8.314 \times 600)}$
$f \approx e^{-40}$।

(A) $1$. अभिक्रिया की दर सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है। कम सक्रियण ऊर्जा का अर्थ है तेज अभिक्रिया दर।
$2$. दिए गए ऊर्जा प्रोफाइल आरेखों से यह स्पष्ट है कि अभिक्रिया $A$ के लिए सक्रियण ऊर्जा $(E_{a1})$,अभिक्रिया $B$ की सक्रियण ऊर्जा $(E_{a2})$ से कम है,अर्थात $E_{a1} < E_{a2}$। इसलिए,अभिक्रिया $A$,अभिक्रिया $B$ से तेज है।
$3$. एक्सर्गोनिक (Exergonic) अभिक्रियाएं वे होती हैं जिनमें उत्पादों की मुक्त ऊर्जा अभिकारकों की तुलना में कम होती है (ऋणात्मक $\Delta G$)। दोनों अभिक्रियाएं एक्सर्गोनिक हैं क्योंकि उत्पादों की ऊर्जा अभिकारकों से कम है।
$4$. कुल ऊर्जा परिवर्तन $(\Delta E)$ की तुलना करने पर,अभिक्रिया $B$ के लिए ऊर्जा में गिरावट अभिक्रिया $A$ की तुलना में अधिक है,जो अभिक्रिया $B$ को अभिक्रिया $A$ से अधिक एक्सर्गोनिक बनाती है।
$5$. इस प्रकार,अभिक्रिया $A$ तेज है,लेकिन अभिक्रिया $B$ अधिक एक्सर्गोनिक है। इसका अर्थ है कि अभिक्रिया $A$,अभिक्रिया $B$ की तुलना में तेज और कम एक्सर्गोनिक है।

(A) एक बहु-चरणीय अभिक्रिया का दर-निर्धारक चरण $(R.D.S.)$ वह चरण होता है जिसकी सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ सबसे अधिक होती है।
दिए गए ऊर्जा प्रोफ़ाइल आरेख में,$1$ के रूप में चिह्नित शिखर सबसे अधिक ऊर्जा अवरोध को दर्शाता है।
इसलिए,सबसे ऊंचे शिखर के अनुरूप चरण,जो $A \to B$ है,दर-निर्धारक चरण है।

(C) Arrhenius समीकरण के अनुसार,$K = Ae^{-E_a/RT}$ है।
इसलिए,$E_a$ जितना अधिक होगा,$K$ उतना ही छोटा होगा।
अभिक्रिया की दर ऊर्जा अवरोध की ऊंचाई के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
चूंकि पहला चरण सबसे धीमा (दर-निर्धारक चरण) है,इसलिए इसमें सक्रियण ऊर्जा अवरोध सबसे अधिक होना चाहिए।
अतः,ऊर्जा प्रोफ़ाइल आरेख में पहला शिखर सबसे ऊंचा होना चाहिए,जैसा कि विकल्प $(C)$ में दिखाया गया है।

(C) दर स्थिरांक $k$ सक्रियण ऊर्जा $E_a$ से आर्हेनियस समीकरण $k = A e^{-E_a/RT}$ द्वारा संबंधित है।
दर स्थिरांक $k$ को बढ़ाने के लिए,सक्रियण ऊर्जा $E_a$ को कम किया जाना चाहिए।
$E_a = E_{\text{transition state}} - E_{\text{reactant}}$.
अभिकारक की स्थिरता को कम करने से उसकी ऊर्जा बढ़ जाती है,जिससे $E_a$ कम हो जाता है।
संक्रमण अवस्था की स्थिरता को बढ़ाने से उसकी ऊर्जा कम हो जाती है,जिससे भी $E_a$ कम हो जाता है।
इसलिए,अभिकारक की स्थिरता को घटाकर या संक्रमण अवस्था की स्थिरता को बढ़ाकर दर स्थिरांक को बढ़ाया जा सकता है।

(B) आरेनियस समीकरण का उपयोग करते हुए: $\ln(\frac{k_2}{k_1}) = \frac{E_a}{R} [\frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2}]$.
अभिक्रिया $A$ के लिए: $\ln(2) = \frac{E_{a,A}}{R} [\frac{310 - 300}{300 \times 310}] = \frac{E_{a,A}}{R} [\frac{10}{93000}]$.
अभिक्रिया $B$ के लिए: $\ln(2) = \frac{E_{a,B}}{R} [\frac{\Delta T}{300(300 + \Delta T)}]$.
दिया गया है $E_{a,B} = 2 E_{a,A}$,मान रखने पर:
$\frac{E_{a,A}}{R} [\frac{10}{93000}] = \frac{2 E_{a,A}}{R} [\frac{\Delta T}{300(300 + \Delta T)}]$.
$\frac{10}{93000} = \frac{2 \Delta T}{300(300 + \Delta T)}$.
$\Delta T = \frac{45000}{9150} \approx 4.92 \, K$.

(A) आरेनियस समीकरण का उपयोग करते हुए: $\ln \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right)$
दिया गया है: $\frac{k_2}{k_1} = 4$,$T_1 = 300 \, K$,$T_2 = 310 \, K$,$R = 8.314 \, J \, mol^{-1} \, K^{-1}$,$\ln 2 = 0.693$.
$\ln 4 = \frac{E_a}{8.314} \left( \frac{310 - 300}{310 \times 300} \right)$
$2 \ln 2 = \frac{E_a}{8.314} \left( \frac{10}{93000} \right)$
$2 \times 0.693 = \frac{E_a}{8.314} \times \frac{1}{9300}$
$E_a = 1.386 \times 8.314 \times 9300 \, J \, mol^{-1} \approx 107200 \, J \, mol^{-1} = 107.2 \, kJ \, mol^{-1}$.

(A) दिया गया है,$\frac{E_f}{E_b} = \frac{2}{3}$.
हम जानते हैं कि अभिक्रिया के लिए,$\Delta H = E_f - E_b$.
यहाँ $\Delta H = -40 \ kJ/mol$ है,इसलिए $-40 = E_f - E_b$,जिसका अर्थ है $E_b = E_f + 40$.
इस मान को अनुपात में रखने पर: $\frac{E_f}{E_f + 40} = \frac{2}{3}$.
तिर्यक गुणा करने पर $3E_f = 2(E_f + 40)$.
$3E_f = 2E_f + 80$.
$E_f = 80 \ kJ/mol$.
अतः,$E_b = 80 + 40 = 120 \ kJ/mol$.

(B) आरेनियस समीकरण के अनुसार:
$\log \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{2.303 \ R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right)$
दिया गया है: $k_1 = 1.3 \times 10^{-4} \ M^{-1} \ s^{-1}$,$T_1 = 373 \ K$
$k_2 = 1.3 \times 10^{-3} \ M^{-1} \ s^{-1}$,$T_2 = 423 \ K$
$\log(10) = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left( \frac{50}{373 \times 423} \right)$
$1 = \frac{E_a \times 50}{19.147 \times 157779}$
$E_a \approx 60.4 \ kJ \ mol^{-1}$
अतः,निकटतम मान $60 \ kJ \ mol^{-1}$ है।

(B) अभिक्रिया $X \to Y$ के लिए,एन्थैल्पी परिवर्तन $\Delta H$ अग्र अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_{a(f)})$ और प्रतिगामी अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_{a(b)})$ के अंतर द्वारा दिया जाता है।
$\Delta H = E_{a(f)} - E_{a(b)}$
दिया गया है:
$E_{a(f)} = 150\,kJ\,mol^{-1}$
$\Delta H = -135\,kJ\,mol^{-1}$
समीकरण में मान रखने पर:
$-135 = 150 - E_{a(b)}$
$E_{a(b)}$ के लिए हल करने पर:
$E_{a(b)} = 150 + 135 = 285\,kJ\,mol^{-1}$

(C) सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ की गणना आर्हेनियस समीकरण का उपयोग करके की जा सकती है: $\log(\frac{K_2}{K_1}) = \frac{E_a}{2.303 \ R} \times \frac{T_2 - T_1}{T_1 \times T_2}$.
दिया गया है: $\frac{K_2}{K_1} = 2$,$T_1 = 298 \ K$,$T_2 = 308 \ K$,और $R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
मान रखने पर: $\log(2) = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \times \frac{308 - 298}{308 \times 298}$.
$0.3010 = \frac{E_a}{19.147} \times \frac{10}{91784}$.
$E_a = \frac{0.3010 \times 19.147 \times 91784}{10} \approx 52897 \ J \ mol^{-1} = 52.9 \ kJ \ mol^{-1}$.

(A) आर्हेनियस समीकरण $k = A e^{-E_a/RT}$ द्वारा दिया जाता है।
आलेख $I$: जैसे-जैसे $E_a$ बढ़ता है,पद $e^{-E_a/RT}$ घटता है,इसलिए $k$ घटता है। अतः,$k$ बनाम $E_a$ का आलेख एक चरघातांकीय क्षय वक्र है,जो सही है।
आलेख $II$: जैसे-जैसे तापमान $T$ बढ़ता है,पद $e^{-E_a/RT}$ बढ़ता है,इसलिए $k$,$T$ के साथ चरघातांकीय रूप से बढ़ता है। दिया गया आलेख $II$ एक ऐसा वक्र दिखाता है जो $T$ के साथ $k$ की मानक चरघातांकीय वृद्धि का सही प्रतिनिधित्व नहीं करता है। इसलिए,$II$ गलत है।
अतः,$I$ सही है लेकिन $II$ गलत है।

(A) आर्हेनियस समीकरण $\ln k = -\frac{E_a}{RT} + \ln A$ द्वारा दिया जाता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $x = 1/(RT)$ है,प्रवणता $m$,$-E_a$ के बराबर है।
यह दिया गया है कि प्रवणता $-y$ है,इसलिए $-E_a = -y$।
अतः,सक्रियण ऊर्जा $E_a$,$y \ unit$ के बराबर है।

(C) आर्हेनियस समीकरण के अनुसार,$\ln k = \ln A - \frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T} \right)$.
इसे सरल रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,ढाल $m = -\frac{E_a}{R}$ प्राप्त होता है।
दी गई ढाल $= -4606 \ K$ है,इसलिए $\frac{E_a}{R} = 4606 \ K$.
समाकलित आर्हेनियस समीकरण का उपयोग करने पर: $\ln \left( \frac{k_2}{k_1} \right) = \frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right)$.
यहाँ,$T_1 = 400 \ K$,$k_1 = 10^{-5} \ s^{-1}$,$T_2 = 500 \ K$,और $k_2 = ?$.
$\ln \left( \frac{k_2}{10^{-5}} \right) = 4606 \times \left( \frac{1}{400} - \frac{1}{500} \right) = 4606 \times \left( \frac{500 - 400}{200000} \right) = 4606 \times \frac{100}{200000} = 4606 \times \frac{1}{2000} = 2.303$.
चूंकि $\ln 10 \approx 2.303$,इसलिए $\ln \left( \frac{k_2}{10^{-5}} \right) = \ln 10$.
अतः,$\frac{k_2}{10^{-5}} = 10$,जिससे $k_2 = 10^{-4} \ s^{-1}$ प्राप्त होता है।

(D) ग्राफ से:
$(A+B)$ की एन्थैल्पी $= 5\,kJ\,mol^{-1}$।
$D$ की एन्थैल्पी $= 10\,kJ\,mol^{-1}$।
$C$ की एन्थैल्पी $= 0\,kJ\,mol^{-1}$।
$(A+B \to D)$ के लिए सक्रियण ऊर्जा $= 15 - 5 = 10\,kJ\,mol^{-1}$।
$(A+B \to C)$ के लिए सक्रियण ऊर्जा $= 20 - 5 = 15\,kJ\,mol^{-1}$।
$(C \to A+B)$ के लिए सक्रियण ऊर्जा $= 20 - 0 = 20\,kJ\,mol^{-1}$।
$(D \to A+B)$ के लिए सक्रियण ऊर्जा $= 15 - 10 = 5\,kJ\,mol^{-1}$।
सक्रियण ऊर्जाओं की तुलना करने पर,$C$ से $(A+B)$ के निर्माण में सबसे अधिक सक्रियण ऊर्जा $(20\,kJ\,mol^{-1})$ है।
$C$ सबसे स्थिर उत्पाद है (न्यूनतम एन्थैल्पी)।
$D$ तेजी से बनता है (कम सक्रियण ऊर्जा),इसलिए यह गतिक रूप से स्थिर उत्पाद है।
$C$ बनाने के लिए सक्रियण एन्थैल्पी $(15\,kJ\,mol^{-1})$,$D$ बनाने की सक्रियण एन्थैल्पी $(10\,kJ\,mol^{-1})$ से $5\,kJ\,mol^{-1}$ अधिक है।
अतः,कथन $D$ गलत है।

(B) आर्हेनियस समीकरण का उपयोग करने पर: $\log \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303 \ R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right)$
दिया गया है:
$K_1 = 2.5 \times 10^{-4} \ dm^3 \ mol^{-1} \ s^{-1}$,$T_1 = 600 \ K$
$K_2 = 1.0 \ dm^3 \ mol^{-1} \ s^{-1}$,$T_2 = 800 \ K$
मान रखने पर:
$\log (4000) = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left( \frac{200}{480000} \right)$
$E_a \approx 166 \ kJ \ mol^{-1}$

(D) आर्हेनियस समीकरण $K = A \ e^{-E_a / (RT)}$ है।
दिए गए समीकरण $K = A \ e^{-1000}$ के साथ तुलना करने पर,$E_a / (RT) = 1000$ प्राप्त होता है।
यहाँ $T = 500 \ K$ और गैस स्थिरांक $R = 2 \ cal \ K^{-1} \ mol^{-1}$ है।
मान रखने पर: $E_a = 1000 \times R \times T = 1000 \times 2 \times 500 = 1,000,000 \ cal/mol = 10^6 \ cal/mol$.

(B) सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ को संक्रमण अवस्था की ऊर्जा और अभिकारकों की ऊर्जा के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
किसी अभिक्रिया के लिए शून्य सक्रियण ऊर्जा होने के लिए,अभिकारकों की ऊर्जा संक्रमण अवस्था की ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए।
दिए गए ग्राफों में,ग्राफ $B$ ऊर्जा में रैखिक कमी को दर्शाता है,जो अभिक्रिया निर्देशांक का मानक निरूपण नहीं है। हालाँकि,ऐसे प्रश्नों के संदर्भ में,यदि हम उस ऊर्जा प्रोफ़ाइल पर विचार करें जहाँ ऊर्जा स्थिर रहती है या बिना किसी बाधा के घटती है,तो यह बिना किसी सक्रियण बाधा वाली अभिक्रिया का प्रतिनिधित्व करती है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) आरेनियस समीकरण का उपयोग करते हुए: $\log \frac{K_{2}}{K_{1}} = \frac{E_{a}}{2.303 R} \left( \frac{T_{2} - T_{1}}{T_{1} T_{2}} \right)$
दिया गया है: $E_{a} = 65000\, J/mol$,$T_{1} = 273\, K$,$T_{2} = 298\, K$,$R = 8.314\, J/mol\cdot K$.
मान रखने पर:
$\log \frac{K_{2}}{K_{1}} = \frac{65000}{2.303 \times 8.314} \left( \frac{298 - 273}{273 \times 298} \right)$
$\log \frac{K_{2}}{K_{1}} = 1.043$
$\frac{K_{2}}{K_{1}} = 10^{1.043} \approx 11$
अतः,अभिक्रिया $11$ गुना तेज है।