Collision theory, Energy of activation and Arrhenius equation Questions in Gujarati

(C) રાસાયણિક પ્રક્રિયા થવા માટે,પ્રક્રિયક અણુઓએ એકબીજા સાથે અથડાવું જરૂરી છે.
જોકે,બધી જ અથડામણો નીપજમાં પરિણમતી નથી.
માત્ર એવી અથડામણો જેમાં અથડાતા અણુઓ પાસે ન્યૂનતમ ઊર્જા હોય,જેને $Threshold \ energy$ (દેહલીજ ઊર્જા) કહેવાય છે,તે જ રાસાયણિક પ્રક્રિયામાં પરિણમે છે.
તેથી,અસરકારક અથડામણ માટે જરૂરી ન્યૂનતમ ઊર્જાને $Threshold \ energy$ કહે છે.

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,વેગ અચળાંક $K = A \cdot e^{-E_a/RT}$ છે.
બે અલગ તાપમાન $T_1$ અને $T_2$ પર વેગ અચળાંકનો ગુણોત્તર લેતા:
$\ln(K_2/K_1) = \frac{E_a}{R} \cdot (\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2})$.
ચોક્કસ તાપમાનના ગાળા $(T_1 = 300 \ K, T_2 = 310 \ K)$ માટે,ગુણોત્તર $K_{310}/K_{300}$ એ સક્રિયકરણ ઊર્જા $E_a$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,જે પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા સૌથી વધુ હશે,તે પ્રક્રિયા માટે ગુણોત્તર $K_{310}/K_{300}$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હશે.
સક્રિયકરણ ઊર્જાનો ક્રમ $E_M < E_N < E_O < E_P$ હોવાથી,પ્રક્રિયા $P$ ની સક્રિયકરણ ઊર્જા સૌથી વધુ છે.
આમ,પ્રક્રિયા $P$ માટે ગુણોત્તર $K_{310}/K_{300}$ મહત્તમ થશે.

(C) આપેલ છે: $T_1 = 25\,^oC = 298\,K$,$T_2 = 35\,^oC = 308\,K$.
વેગ અચળાંક $k_1 = 1 \times 10^{-3}\,s^{-1}$.
પ્રક્રિયાનો વેગ બમણો થતો હોવાથી,$k_2 = 2 \times k_1 = 2 \times 10^{-3}\,s^{-1}$.
આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log(\frac{k_2}{k_1}) = \frac{E_a}{2.303R} \times (\frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2})$.
$\log(2) = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \times (\frac{308 - 298}{308 \times 298})$.
$0.3010 = \frac{E_a}{19.147} \times (\frac{10}{91784})$.
$E_a = \frac{0.3010 \times 19.147 \times 91784}{10} \approx 52897\,J\,mol^{-1} \approx 53\,kJ\,mol^{-1}$.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ: $\ln(k_2/k_1) = (E_a/R) \times [(T_2 - T_1) / (T_1 \times T_2)]$.
આપેલ છે: $T_1 = T$,$T_2 = 2T$,અને $k_1 = k_2/10$,જેનો અર્થ છે કે $k_2/k_1 = 10$.
કિંમતો મૂકતા: $\ln(10) = (E_a/R) \times [(2T - T) / (T \times 2T)]$.
$2.303 = (E_a/R) \times [T / (2T^2)]$.
$2.303 = (E_a/R) \times [1 / (2T)]$.
$E_a = 2.303 \times 2 \times R \times T = 4.606 \ RT$.
નજીકની કિંમત લેતા,$E_a \approx 4.6 \ RT$.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ $\log K = \log A - \frac{E_a}{2.303 RT}$ છે.
તેને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \log K$ અને $x = 1/T$,ઢાળ $m = -\frac{E_a}{2.303 R}$ મળે છે.
આપેલ ઢાળ $m = -5632$.
તેથી,$-5632 = -\frac{E_a}{2.303 \times 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}}$.
$E_a = 5632 \times 2.303 \times 8.314 \ J \ mol^{-1}$.
$E_a = 107840 \ J \ mol^{-1} = 107.84 \ kJ \ mol^{-1}$.

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,$\log K = \log A - \frac{E_a}{2.303RT}$.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m = -\frac{E_a}{2.303R}$ મળે છે.
આપેલ છે,ઢાળ $m = -1.2 \times 10^4 \ K$.
તેથી,$-1.2 \times 10^4 = -\frac{E_a}{2.303 \times 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}}$.
$E_a = 1.2 \times 10^4 \times 2.303 \times 8.314 \ J \ mol^{-1}$.
$E_a \approx 229860 \ J \ mol^{-1} \approx 2.3 \times 10^5 \ J \ mol^{-1}$.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી નજીકનો વિકલ્પ $2.5 \times 10^5 \ J \ mol^{-1}$ હોવાથી,વિકલ્પ $D$ સાચો જવાબ છે.

(C) $H_2$ અને $O_2$ વચ્ચેની પ્રક્રિયાથી $H_2O$ બનવાની પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a)$ ખૂબ ઊંચી હોય છે.
ઓરડાના તાપમાને,$E_a$ કરતા વધારે ઊર્જા ધરાવતા અણુઓની સંખ્યા નહિવત હોય છે,જેથી મિશ્રણ સ્થાયી રહે છે.
જ્યારે સ્પાર્ક આપવામાં આવે છે,ત્યારે તે થોડા અણુઓને જરૂરી સક્રિયકરણ ઊર્જા પૂરી પાડે છે,જે પ્રક્રિયાની શરૂઆત કરે છે.
આ પ્રક્રિયા અત્યંત ઉષ્માક્ષેપક હોવાથી,મુક્ત થતી ઉષ્મા વધુ અણુઓને ઊર્જા પૂરી પાડે છે,જે સાંકળ પ્રક્રિયા અને વિસ્ફોટ તરફ દોરી જાય છે.
આમ,સ્પાર્ક ઊર્જામય અણુઓની સંખ્યામાં નોંધપાત્ર વધારો કરે છે.

(B) $1$. પ્રક્રિયા $2N_2O_5 \to 4NO_2 + O_2$ એ પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા છે.
$2$. અર્ધ-આયુષ્યનું સૂત્ર $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ છે. $t_{1/2} = 2 \ hr = 7200 \ s$ આપેલ છે,તેથી $k_2 = \frac{0.693}{7200} \approx 9.625 \times 10^{-5} \ s^{-1}$ મળે.
$3$. આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\ln(\frac{k_2}{k_1}) = \frac{E_a}{R} (\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2})$.
$4$. $E_a = 10000 \ J \ mol^{-1}$,$T_1 = 300 \ K$,$k_1 = 2.4 \times 10^{-5} \ s^{-1}$,$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$ આપેલ છે.
$5$. ગણતરી કરતા $T_2 \approx 459.7 \ K$ મળે છે,જે $458 \ K$ ની નજીક છે.

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,$k = A e^{-E_a / RT}$.
સમાન પૂર્વઘાતાંક અવયવ $A$ ધરાવતી બે પ્રક્રિયાઓ માટે,વેગ અચળાંકોનો ગુણોત્તર $\frac{k_1}{k_2} = \frac{A e^{-E_{a1} / RT}}{A e^{-E_{a2} / RT}} = e^{(E_{a2} - E_{a1}) / RT}$ થાય.
આપેલ છે કે $\Delta E_a = E_{a2} - E_{a1} = 24.9 \, kJ \, mol^{-1} = 24900 \, J \, mol^{-1}$.
$T = 300 \, K$ અને $R = 8.314 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$.
$\frac{k_1}{k_2} = e^{24900 / (8.314 \times 300)} = e^{24900 / 2494.2} \approx e^{9.983} \approx 21655 \approx 2.16 \times 10^4$.

(A) તાપમાન ગુણાંક એ $10 \ K$ ના તફાવત ધરાવતા તાપમાને વેગ અચળાંકોનો ગુણોત્તર છે,એટલે કે $\frac{k_{T+10}}{k_T} = 1.75$.
Arrhenius સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\ln(\frac{k_2}{k_1}) = \frac{E_a}{R} (\frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2})$.
ઓરડાના તાપમાને $T_1 = 298 \ K$ અને $T_2 = 308 \ K$ લેતા:
$\ln(1.75) = \frac{E_a}{1.987 \times 10^{-3} \ kcal \ mol^{-1} K^{-1}} (\frac{10}{298 \times 308})$.
$0.5596 = \frac{E_a}{1.987 \times 10^{-3}} (1.0905 \times 10^{-4})$.
$E_a = \frac{0.5596 \times 1.987 \times 10^{-3}}{1.0905 \times 10^{-4}} \approx 10.21 \ kcal \ mol^{-1}$.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ $K = A \cdot e^{-E_a / RT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ $log_{10}$ લેતા: $log_{10} K = log_{10} A - \frac{E_a}{2.303 \cdot R \cdot T}$.
આને આપેલા સમીકરણ $log_{10} K = 5 - \frac{2000}{T}$ સાથે સરખાવતા:
$log_{10} A = 5 \implies A = 10^5$.
$\frac{E_a}{2.303 \cdot R} = 2000 \implies E_a = 2000 \cdot 2.303 \cdot 8.314 \ J/mol$.
$E_a \approx 38294 \ J/mol = 38.294 \ kJ/mol$.
$kcal/mol$ માં રૂપાંતર કરતા: $E_a \approx \frac{38.294}{4.184} \approx 9.15 \ kcal/mol$.
આમ,સાચો નિષ્કર્ષ એ છે કે પ્રી-એક્સપોનેન્શિયલ અવયવ $A$ એ $10^5$ છે.

(C) આરેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{2.303 \ R} \left[ \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right]$
અહીં $T_1 = 1000 \ K$,$T_2 = 1844 \ K$,$T_3 = 1423 \ K$.
પ્રથમ ગાળા માટે: $\log \left( \frac{1.667 \times 10^{-4}}{1.667 \times 10^{-6}} \right) = \frac{E_a}{2.303 \ R} \left( \frac{1844 - 1000}{1844 \times 1000} \right)$
$2 = \frac{E_a}{2.303 \ R} \left( \frac{844}{1844000} \right) \dots (1)$
બીજા ગાળા માટે: $\log \left( \frac{k_3}{1.667 \times 10^{-6}} \right) = \frac{E_a}{2.303 \ R} \left( \frac{1423 - 1000}{1423 \times 1000} \right) \dots (2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા:
$\log \left( \frac{k_3}{1.667 \times 10^{-6}} \right) = 1.299$
$k_3 = 19.9 \times 1.667 \times 10^{-6} = 3.318 \times 10^{-5} \ s^{-1}$

(B) $10 \ K$ તાપમાનના વધારા માટે,સંઘાત આવૃત્તિ માત્ર $1 \%$ થી $2 \%$ જેટલી જ વધે છે.
જોકે,થ્રેશોલ્ડ ઉર્જા જેટલી કે તેથી વધુ ઉર્જા ધરાવતા અણુઓનો અંશ નોંધપાત્ર રીતે વધે છે,જે સામાન્ય રીતે $2$ થી $3$ ના ગુણાંકમાં હોય છે.
આના પરિણામે વેગ અચળાંક બમણો કે ત્રણ ગણો થાય છે.

(D) અથડામણ સિદ્ધાંત મુજબ,રાસાયણિક પ્રતિક્રિયાનો દર ત્રણ મુખ્ય પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$1$. પ્રક્રિયક અણુઓ વચ્ચેની અથડામણની આવૃત્તિ,જે તાપમાન અને સાંદ્રતા દ્વારા પ્રભાવિત થાય છે.
$2$. અથડામણની ઊર્જા,જે સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a)$ કરતા વધારે હોવી જોઈએ.
$3$. અથડાતા અણુઓની ભૂમિતિ અથવા અભિગમ (સ્ટેરિક પરિબળ).
તાપમાન ગતિ ઊર્જા (અને આમ વેગ) અને અથડામણની આવૃત્તિને અસર કરે છે,અને અભિગમ એ અસરકારક અથડામણ માટેની મૂળભૂત જરૂરિયાત છે,તેથી વિકલ્પો $A$,$B$ અને $C$ માં સૂચિબદ્ધ તમામ પરિબળો પ્રતિક્રિયા દરને અસર કરે છે. તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ દરથી સ્વતંત્ર નથી.

(B) ટ્રાન્ઝિશન સ્ટેટ થિયરી મુજબ,સક્રિયકૃત સંકુલના નિર્માણમાં પ્રક્રિયક અણુઓની કંપનશીલ સ્વતંત્રતાની માત્રામાંથી એક,પ્રતિક્રિયાના માર્ગ પર સ્થાનાંતરિત સ્વતંત્રતાની માત્રામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તે પણ સાચું છે કે સક્રિયકૃત સંકુલની ઉર્જા પ્રક્રિયક અણુઓની ઉર્જા કરતા વધારે હોય છે,કારણ કે તે ઉર્જા અવરોધ દર્શાવે છે જેને પ્રતિક્રિયા આગળ વધવા માટે પાર કરવો પડે છે.
જો કે,સક્રિયકૃત સંકુલની ઉર્જા વધારે છે તે હકીકત એ સમજાવતી નથી કે શા માટે કંપનશીલ સ્વતંત્રતાની માત્રા સ્થાનાંતરિત સ્વતંત્રતાની માત્રામાં રૂપાંતરિત થાય છે. તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે,પરંતુ કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,$k = A e^{-E_a / RT}$.
જ્યારે સક્રિયકરણ ઊર્જા $E_a = 0$ હોય,ત્યારે સમીકરણ $k = A e^0 = A$ બને છે.
આમ,$A$ (આવૃત્તિ અવયવ) અચળ હોવાથી,વેગ અચળાંક $k$ તાપમાનથી સ્વતંત્ર બને છે,તેથી વિધાન સાચું છે.
કારણ જણાવે છે કે ઓછી સક્રિયકરણ ઊર્જા પ્રક્રિયાને ઝડપી બનાવે છે,જે રાસાયણિક ગતિશાસ્ત્રમાં એક સાચું સામાન્ય વિધાન છે.
જોકે,કારણ એ સમજાવતું નથી કે $E_a = 0$ હોય ત્યારે વેગ અચળાંક તાપમાનથી સ્વતંત્ર કેમ બને છે; તે માત્ર પ્રક્રિયાના વેગ પર $E_a$ ની અસરનું વર્ણન કરે છે. તેથી,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.

(B) ઉદ્દીપક સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)$ ઘટાડે છે.
સક્રિયકરણ ઉર્જામાં ઘટાડો થવાથી,પૂરતી ઉર્જા ધરાવતા અણુઓની સંખ્યા વધે છે જે ઉર્જા અવરોધને પાર કરી શકે છે,જેનાથી પુરોગામી અને પ્રતિગામી બંને પ્રક્રિયાઓનો દર સમાન રીતે વધે છે.
તે સંતુલન અચળાંક અથવા પ્રક્રિયાની એકંદર ક્રિયાવિધિમાં ફેરફાર કરતું નથી.

(B) આરેનિયસ સમીકરણ મુજબ: $\log \left( \frac{K_{2}}{K_{1}} \right) = \frac{E_{a}}{2.303 \ R} \left( \frac{1}{T_{1}} - \frac{1}{T_{2}} \right)$.
અહીં સક્રિયકરણ ઊર્જા $E_{a} = 0$ આપેલ છે.
સમીકરણમાં $E_{a} = 0$ મૂકતા: $\log \left( \frac{K_{2}}{K_{1}} \right) = \frac{0}{2.303 \ R} \left( \frac{1}{T_{1}} - \frac{1}{T_{2}} \right) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{K_{2}}{K_{1}} = 10^{0} = 1$,એટલે કે $K_{2} = K_{1}$.
તેથી,$400 \ K$ તાપમાને વેગ અચળાંક $200 \ K$ જેટલો જ રહેશે,જે $1.6 \times 10^{6} \ s^{-1}$ છે.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ $\log K = \frac{-E_{a}}{2.303 R} \left(\frac{1}{T}\right) + \log A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,$\log K$ વિરુદ્ધ $\frac{1}{T}$ ના આલેખનો ઢાળ $m = \frac{-E_{a}}{2.303 R}$ છે.
ઢાળનું મૂલ્ય $|m| = \frac{E_{a}}{2.303 R}$ છે.
$\frac{1}{2.303 R}$ અચળ હોવાથી,સક્રિયકરણ ઉર્જા $E_{a}$ એ ઢાળના મૂલ્ય $(|m|)$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે.
આપેલા આલેખ પરથી,ઢાળના મૂલ્યનો ક્રમ $c > a > d > b$ છે.
તેથી,સક્રિયકરણ ઉર્જાનો ક્રમ $E_{c} > E_{a} > E_{d} > E_{b}$ છે.

(D) દર અચળાંક $K$ એ આર્હેનિયસ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $K = A e^{\frac{-E_{a}}{RT}}$.
ધારો કે $K$ એ ઉત્સેચક વગરનો દર અચળાંક છે અને $K^{\prime}$ એ ઉત્સેચક સાથેનો દર અચળાંક છે.
આપેલ છે કે $K^{\prime} = 10^{6} K$.
આર્હેનિયસ સમીકરણ મૂકતા:
$A e^{\frac{-E^{\prime}_{a}}{RT}} = 10^{6} \times A e^{\frac{-E_{a}}{RT}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\frac{-E^{\prime}_{a}}{RT} = \frac{-E_{a}}{RT} + \ln(10^{6})$.
$-RT$ વડે ગુણતા:
$E^{\prime}_{a} = E_{a} - RT \ln(10^{6})$.
તેથી,સક્રિયકરણ ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta E_{a} = E^{\prime}_{a} - E_{a} = -RT \ln(10^{6})$.
કારણ કે $\ln(10^{6}) = 6 \ln(10) = 6 \times 2.303$,તેથી ફેરફાર $-6(2.303) RT$ છે.

(D) વેગ અચળાંક $k$ એ ચોક્કસ ફેરફાર માટે જરૂરી સમય $t$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $k \propto 1/t$.
આર્હેનિયસ સમીકરણ $\ln(k_2 / k_1) = \frac{E_a}{R} [\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}]$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $k_2/k_1 = t_1/t_2$:
$\ln(t_1 / t_2) = \frac{E_a}{R} [\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}]$
$\ln(60 / 40) = \frac{E_a}{8.3} [\frac{1}{300} - \frac{1}{400}]$
$\ln(1.5) = \frac{E_a}{8.3} [\frac{400 - 300}{120000}]$
$0.405 = \frac{E_a}{8.3} \times \frac{100}{120000}$
$0.405 = \frac{E_a}{8.3} \times \frac{1}{1200}$
$E_a = 0.405 \times 8.3 \times 1200 = 4033.8 \; J / mol \approx 4.03 \; kJ / mol$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $3.98 \; kJ / mol$ છે.

(D) વેગ અચળાંક $k$ એ આર્હેનિયસ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $k = A e^{-\frac{E_a}{RT}}$.
$700 \ K$ પર ઉદ્દીપક વગરની પ્રક્રિયા માટે: $k_1 = A e^{-\frac{E_a}{R \times 700}}$.
$500 \ K$ પર ઉદ્દીપક સાથેની પ્રક્રિયા માટે: $k_2 = A e^{-\frac{E_a - 30}{R \times 500}}$.
વેગ સમાન હોવાથી,$k_1 = k_2$,એટલે કે:
$-\frac{E_a}{700R} = -\frac{E_a - 30}{500R}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{E_a}{700} = \frac{E_a - 30}{500}$.
$5E_a = 7(E_a - 30)$.
$5E_a = 7E_a - 210$.
$2E_a = 210 \implies E_a = 105 \ kJ/mol$.
ઉદ્દીપકીય પ્રક્રિયા માટે સક્રિયકરણ ઊર્જા $E_a - 30 = 105 - 30 = 75 \ kJ/mol$ છે.

આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log \frac{k_{2}}{k_{1}} = \frac{E_{a}}{2.303 \, R} \left[ \frac{T_{2} - T_{1}}{T_{1} T_{2}} \right]$
આપેલ છે: $k_{1} = 0.02 \, s^{-1}$,$T_{1} = 500 \, K$,$k_{2} = 0.07 \, s^{-1}$,$T_{2} = 700 \, K$,$R = 8.314 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$.
$\log \frac{0.07}{0.02} = \frac{E_{a}}{2.303 \times 8.314} \left[ \frac{700 - 500}{700 \times 500} \right]$
$\log(3.5) = \frac{E_{a}}{19.147} \times \frac{200}{350000}$
$0.544 = E_{a} \times \frac{200}{6701450}$
$E_{a} = \frac{0.544 \times 6701450}{200} = 18227.9 \, J \, mol^{-1} \approx 18.23 \, kJ \, mol^{-1}$.
હવે,$k = A e^{-E_{a} / R T}$ નો ઉપયોગ કરીને $A$ શોધો:
$0.02 = A e^{-18227.9 / (8.314 \times 500)}$
$0.02 = A e^{-4.385}$
$0.02 = A \times 0.01246$
$A = \frac{0.02}{0.01246} = 1.605 \, s^{-1}$.

(N/A) અમે આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\log \frac{k_{2}}{k_{1}} = \frac{E_{a}}{2.303 \ R} \left[ \frac{T_{2} - T_{1}}{T_{1} T_{2}} \right]$
આપેલ છે: $k_{1} = 1.60 \times 10^{-5} \ s^{-1}$,$T_{1} = 600 \ K$,$T_{2} = 700 \ K$,$E_{a} = 209000 \ J \ mol^{-1}$,$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\log \frac{k_{2}}{1.60 \times 10^{-5}} = \frac{209000}{2.303 \times 8.314} \left[ \frac{700 - 600}{600 \times 700} \right]$
$\log \frac{k_{2}}{1.60 \times 10^{-5}} = 10921.6 \times \frac{100}{420000} = 2.599$
$\frac{k_{2}}{1.60 \times 10^{-5}} = \text{antilog}(2.599) \approx 397.19$
$k_{2} = 397.19 \times 1.60 \times 10^{-5} \approx 6.36 \times 10^{-3} \ s^{-1}$

(C) તાપમાનમાં $10^{\circ}C$ નો વધારો થવાથી પ્રક્રિયાનો વેગ અચળાંક લગભગ બમણો થાય છે.
વેગ અચળાંક પર તાપમાનની ચોક્કસ નિર્ભરતા આર્હેનિયસ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$k = Ae^{-E_a / RT}$
જ્યાં:
$A$ એ આર્હેનિયસ અવયવ અથવા આવૃત્તિ અવયવ છે.
$T$ એ કેલ્વિનમાં તાપમાન છે.
$R$ એ વાયુ અચળાંક છે.
$E_a$ એ સક્રિયકરણ ઉર્જા છે.
જેમ $T$ વધે છે,તેમ $e^{-E_a / RT}$ પદ વધે છે,જે વેગ અચળાંક $k$ ના મૂલ્યમાં વધારો કરે છે.

(N/A) આપેલ છે: $T_{1} = 298 \, K$,$T_{2} = 308 \, K$,$k_{2} = 2k_{1}$,$R = 8.314 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$.
આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log \frac{k_{2}}{k_{1}} = \frac{E_{a}}{2.303 \, R} \left[ \frac{T_{2} - T_{1}}{T_{1} T_{2}} \right]$.
કિંમતો મૂકતા: $\log 2 = \frac{E_{a}}{2.303 \times 8.314} \left[ \frac{10}{298 \times 308} \right]$.
$E_{a}$ માટે ગણતરી કરતા: $E_{a} = \frac{0.3010 \times 2.303 \times 8.314 \times 298 \times 308}{10}$.
$E_{a} \approx 52897.78 \, J \, mol^{-1} = 52.9 \, kJ \, mol^{-1}$.

(N/A) આપેલ કિસ્સામાં:
$E_a = 209.5 \ kJ \ mol^{-1} = 209500 \ J \ mol^{-1}$
$T = 581 \ K$
$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$
સક્રિયકરણ ઊર્જા જેટલી અથવા તેનાથી વધુ ઊર્જા ધરાવતા પ્રક્રિયક અણુઓનો અંશ $x = e^{-E_a / RT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા:
$\log x = -\frac{E_a}{2.303 \ RT}$
કિંમતો મૂકતા:
$\log x = -\frac{209500}{2.303 \times 8.314 \times 581}$
$\log x = -\frac{209500}{11124.5} \approx -18.8323$
હવે,$x = \text{antilog}(-18.8323) = 10^{-18.8323} = 10^{0.1677} \times 10^{-19} \approx 1.471 \times 10^{-19}$.

(N/A) રાસાયણિક પ્રક્રિયાનો વેગ અચળાંક સામાન્ય રીતે તાપમાન વધવાથી વધે છે. ઘણી પ્રક્રિયાઓ માટે,$10^{\circ}C$ તાપમાન વધારવાથી વેગ અચળાંક લગભગ બમણો થઈ જાય છે.
વેગ અચળાંક પર તાપમાનની અસરને આર્હેનિયસ સમીકરણ દ્વારા જથ્થાત્મક રીતે દર્શાવવામાં આવે છે:
$k = A e^{-E_a / RT}$
જ્યાં:
$k$ એ વેગ અચળાંક છે,
$A$ એ આર્હેનિયસ અવયવ (અથવા આવૃત્તિ અવયવ) છે,
$E_a$ એ પ્રક્રિયા માટેની સક્રિયકરણ ઉર્જા છે,
$R$ એ વાયુ અચળાંક છે,
$T$ એ કેલ્વિનમાં તાપમાન છે.

(N/A) આપેલ માહિતી પરથી,આપણે આર્હેનિયસ આલેખ માટે મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ:

$T / ^{\circ}C$	$0$	$20$	$40$	$60$	$80$
$T / K$	$273$	$293$	$313$	$333$	$353$
$1/T / K^{-1}$	$3.66 \times 10^{-3}$	$3.41 \times 10^{-3}$	$3.19 \times 10^{-3}$	$3.00 \times 10^{-3}$	$2.83 \times 10^{-3}$
$10^{5} \times k / s^{-1}$	$0.0787$	$1.70$	$25.7$	$178$	$2140$
$\ln k$	$-7.147$	$-4.075$	$-1.359$	$-0.577$	$3.063$

રેખાનો ઢાળ $\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \approx -12301 \ K$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,$\text{ઢાળ} = -\frac{E_{a}}{R}$.
$E_{a} = -\text{ઢાળ} \times R = -(-12301 \ K) \times (8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}) \approx 102.27 \ kJ \ mol^{-1}$.
$\ln k = \ln A - \frac{E_{a}}{RT}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણને $\ln A = \ln k + \frac{E_{a}}{RT}$ મળે છે.
$T = 273 \ K$ પર,$\ln A = -7.147 + \frac{102270}{8.314 \times 273} \approx 37.91$,તેથી $A \approx 2.91 \times 10^{16} \ s^{-1}$.
$30^{\circ}C$ $(303 \ K)$ માટે,$1/T \approx 3.30 \times 10^{-3} \ K^{-1}$,$\ln k \approx -2.8$,$k \approx 6.08 \times 10^{-2} \ s^{-1}$.
$50^{\circ}C$ $(323 \ K)$ માટે,$1/T \approx 3.10 \times 10^{-3} \ K^{-1}$,$\ln k \approx -0.5$,$k \approx 0.607 \ s^{-1}$.

(A) આપેલ છે:
$k = 2.418 \times 10^{-5} \, s^{-1}$
$T = 546 \, K$
$E_{a} = 179.9 \, kJ \, mol^{-1} = 179.9 \times 10^{3} \, J \, mol^{-1}$
$R = 8.314 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$
આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$k = A e^{-E_{a} / RT}$
બંને બાજુ લોગ લેતા:
$\log k = \log A - \frac{E_{a}}{2.303 RT}$
$\log A = \log k + \frac{E_{a}}{2.303 RT}$
કિંમતો મૂકતા:
$\log A = \log (2.418 \times 10^{-5}) + \frac{179.9 \times 10^{3}}{2.303 \times 8.314 \times 546}$
$\log A = (-4.6165) + 17.2082$
$\log A = 12.5917$
$A = \text{antilog}(12.5917) = 3.9 \times 10^{12} \, s^{-1}$

(N/A) આપેલ સમીકરણ $k = (4.5 \times 10^{11} \ s^{-1}) e^{-28000 \ K / T}$ $(i)$ છે.
આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a / RT}$ $(ii)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{E_a}{RT} = \frac{28000 \ K}{T}$ મળે છે.
તેથી,$E_a = R \times 28000 \ K$.
$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$E_a = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1} \times 28000 \ K$.
$E_a = 232792 \ J \ mol^{-1} = 232.792 \ kJ \ mol^{-1}$.

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ:
$\log \frac{k_{2}}{k_{1}} = \frac{E_{a}}{2.303 R} \left( \frac{T_{2} - T_{1}}{T_{1} T_{2}} \right)$
આપેલ છે:
$k_{1} = 4.5 \times 10^{3} \, s^{-1}$,$T_{1} = 283 \, K$,$k_{2} = 1.5 \times 10^{4} \, s^{-1}$,$E_{a} = 60,000 \, J \, mol^{-1}$,$R = 8.314 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\log \left( \frac{1.5 \times 10^{4}}{4.5 \times 10^{3}} \right) = \frac{60000}{2.303 \times 8.314} \left( \frac{T_{2} - 283}{283 T_{2}} \right)$
$0.5229 = 3133.6 \left( \frac{T_{2} - 283}{283 T_{2}} \right)$
$T_{2} = 297 \, K = 24^{\circ} C$.

(N/A) ગિબ્સ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર સંતુલન અચળાંક $K$ સાથે $\Delta G = -RT \ln K$ તરીકે સંબંધિત છે.
ઓરડાના તાપમાને,આપેલી પ્રક્રિયાના તમામ પ્રક્રિયકો અને નીપજો ઘન અવસ્થામાં હોય છે. પરિણામે,પ્રક્રિયા માટે સક્રિયકરણ ઉર્જા (activation energy) ખૂબ વધારે હોય છે અને ગતિશાસ્ત્ર પ્રતિકૂળ હોય છે.
વધુમાં,$\Delta G = \Delta H - T \Delta S$ સમીકરણ મુજબ,તાપમાન વધારવાથી $T \Delta S$ નું મૂલ્ય વધે છે,જે $\Delta G$ ના મૂલ્યને વધુ ઋણ બનાવે છે.
ઊંચા તાપમાને,પ્રક્રિયકો સક્રિયકરણ અવરોધને દૂર કરવા માટે પૂરતી ઉર્જા મેળવે છે અને પ્રક્રિયા આગળ વધે છે.

(N/A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$t = \frac{2.303}{k} \log \frac{a}{a-x}$.
$298 \,K$ તાપમાને,$t = \frac{2.303}{k} \log \frac{100}{90} = \frac{0.1054}{k}$.
$308 \,K$ તાપમાને,$t' = \frac{2.303}{k'} \log \frac{100}{75} = \frac{0.2877}{k'}$.
આપેલ છે કે $t = t'$,તેથી $\frac{0.1054}{k} = \frac{0.2877}{k'}$,જે $\frac{k'}{k} = 2.7296$ આપે છે.
આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log \frac{k'}{k} = \frac{E_a}{2.303 \,R} \left( \frac{T' - T}{T \,T'} \right)$.
$\log (2.7296) = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left( \frac{308 - 298}{298 \times 308} \right)$.
$E_a = \frac{2.303 \times 8.314 \times 298 \times 308 \times \log (2.7296)}{10} = 76640.1 \,J \,mol^{-1} = 76.64 \,kJ \,mol^{-1}$.
$318 \,K$ તાપમાને $k$ શોધવા માટે $\log k = \log A - \frac{E_a}{2.303 \,R \,T}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log k = \log (4 \times 10^{10}) - \frac{76640.1}{2.303 \times 8.314 \times 318} = 10.6021 - 12.5876 = -1.9855$.
$k = \text{antilog}(-1.9855) = 1.034 \times 10^{-2} \,s^{-1}$.

(N/A) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ:
$\log \frac{k_{2}}{k_{1}} = \frac{E_{a}}{2.303 \ R} \left( \frac{T_{2} - T_{1}}{T_{1} \ T_{2}} \right)$
આપેલ છે કે $k_{2} = 4 \ k_{1}$,$T_{1} = 293 \ K$,$T_{2} = 313 \ K$,અને $R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\log(4) = \frac{E_{a}}{2.303 \times 8.314} \left( \frac{313 - 293}{293 \times 313} \right)$
$0.6021 = \frac{E_{a}}{19.147} \left( \frac{20}{91709} \right)$
$E_{a} = \frac{0.6021 \times 19.147 \times 91709}{20}$
$E_{a} \approx 52863 \ J \ mol^{-1} = 52.86 \ kJ \ mol^{-1}$.
આમ,સક્રિયકરણ ઊર્જા $52.86 \ kJ \ mol^{-1}$ છે.

(N/A) મોટાભાગની રાસાયણિક પ્રક્રિયાઓ તાપમાનમાં વધારો કરવાથી ઝડપી બને છે.
ઉદાહરણ: $N_{2}O_{5}$ ના વિઘટનમાં,મૂળ પદાર્થના અડધા જથ્થા માટે લાગતો સમય નીચે મુજબ છે:

તાપમાન	$50^{\circ}C$ | $25^{\circ}C$ | $0^{\circ}C$
$t_{1/2}$	$12 \ min$ | $5 \ h$ | $10 \ d$

રાસાયણિક પ્રક્રિયાના દર પર તાપમાનની અસર આર્હેનિયસ સમીકરણ દ્વારા સચોટ રીતે સમજાવી શકાય છે:
$k = A e^{-\frac{E_{a}}{RT}}$
જ્યાં $k$ એ વેગ અચળાંક છે,જે પ્રક્રિયાના દરના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$A$ એ આર્હેનિયસ અવયવ અથવા આવૃત્તિ અવયવ છે (જેને પ્રી-એક્સપોનેન્શિયલ અવયવ પણ કહેવાય છે),જે ચોક્કસ પ્રક્રિયા માટે અચળ છે.
$R$ એ વાયુ અચળાંક $(8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1})$ છે.
$E_{a}$ એ સક્રિયકરણ ઊર્જા $(J \ mol^{-1})$ છે.
સમીકરણની બંને બાજુએ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln k = -\frac{E_{a}}{RT} + \ln A$ અથવા $\log k = -\frac{E_{a}}{2.303 RT} + \log A$
આ સમીકરણ પરથી,$\ln k \propto \frac{1}{T}$.
તાપમાનમાં વધારો થવાથી પ્રક્રિયાના દરમાં વધારો થાય છે અને વેગ અચળાંકમાં ઘાતાંકીય વધારો થાય છે.

(N/A) પ્રક્રિયક અણુઓને થ્રેશોલ્ડ ઊર્જા સ્તર સુધી પહોંચવા માટે આપવી પડતી વધારાની ઊર્જાને સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a)$ કહેવામાં આવે છે.
તે મધ્યવર્તી સંયોજન, જેને સક્રિયકૃત સંકીર્ણ $(C)$ કહેવાય છે, તે બનાવવા માટે જરૂરી ઊર્જા છે.
પ્રક્રિયા આલેખનો ઉપયોગ કરીને સમજૂતી:
પ્રક્રિયા ધ્યાનમાં લો: $H_{2(g)} + I_{2(g)} \rightarrow 2HI_{(g)}$.
અથડામણ સિદ્ધાંત મુજબ, આ પ્રક્રિયા ત્યારે થાય છે જ્યારે હાઇડ્રોજનનો અણુ અને આયોડિનનો અણુ પૂરતી ઊર્જા અને યોગ્ય દિશામાં અથડાય છે, જેથી એક અસ્થિર મધ્યવર્તી સંયોજન બને છે જેને સક્રિયકૃત સંકીર્ણ $(C)$ કહેવાય છે.
આ સંકીર્ણ ખૂબ જ ટૂંકા સમય માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને પછી વિઘટન પામીને હાઇડ્રોજન આયોડાઇડના બે અણુઓ બનાવે છે.
સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a) = (\text{સક્રિયકૃત સંકીર્ણ } (C) \text{ ની સ્થિતિ ઊર્જા}) - (\text{પ્રક્રિયકોની સ્થિતિ ઊર્જા})$.
અસરકારક અથડામણોની સંભાવના: પ્રક્રિયક અણુઓ વચ્ચેની તમામ અથડામણો નીપજમાં પરિણમતી નથી. માત્ર એવી અથડામણો જેમાં અણુઓ પાસે સક્રિયકરણ ઊર્જા જેટલી અથવા તેનાથી વધુ ગતિ ઊર્જા હોય અને તેઓ યોગ્ય દિશામાં અથડાય, તે જ અસરકારક હોય છે, જે પ્રક્રિયા તરફ દોરી જાય છે.

(N/A) રાસાયણિક પ્રક્રિયામાં,બધા અણુઓ સમાન ગતિજ ઉર્જા ધરાવતા નથી,કારણ કે કોઈપણ એક અણુના વર્તનની ચોકસાઈપૂર્વક આગાહી કરવી મુશ્કેલ છે.
મેક્સવેલ અને બોલ્ટ્ઝમેને મોટી સંખ્યામાં અણુઓના વર્તનની આગાહી કરવા માટે આંકડાકીય પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કર્યો હતો.
અણુઓનો અંશ $\frac{N_E}{N_T}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $N_E$ એ ચોક્કસ ગતિજ ઉર્જા ધરાવતા અણુઓની સંખ્યા છે અને $N_T$ એ અણુઓની કુલ સંખ્યા છે.
અણુઓના અંશ $\left( \frac{N_E}{N_T} \right)$ વિરુદ્ધ ગતિજ ઉર્જાનો આલેખ ઉર્જાનું વિતરણ દર્શાવે છે.
વક્રની ટોચ એ સૌથી વધુ સંભવિત ગતિજ ઉર્જાને અનુરૂપ છે,જે અણુઓના મહત્તમ અંશ દ્વારા ધરાવતી ગતિજ ઉર્જા છે.
આ સૌથી વધુ સંભવિત મૂલ્ય કરતા નોંધપાત્ર રીતે વધારે કે ઓછી ઉર્જા ધરાવતા અણુઓની સંખ્યા જેમ આપણે ટોચથી દૂર જઈએ છીએ તેમ ઘટતી જાય છે.

(N/A) જ્યારે તાપમાન વધારવામાં આવે છે,ત્યારે વક્રનું મહત્તમ મૂલ્ય ઊંચી ઉર્જા તરફ ખસે છે અને વક્ર પહોળો થાય છે,એટલે કે તે જમણી તરફ ફેલાય છે જેથી ઘણી વધારે ઉર્જા ધરાવતા અણુઓનું પ્રમાણ વધે છે.
અણુઓનો અંશ અને તાપમાન:
વક્ર હેઠળનો કુલ વિસ્તાર અચળ રહેવો જોઈએ કારણ કે કુલ સંભાવના હંમેશા એક હોવી જોઈએ. આકૃતિ મુજબ,પદાર્થનું તાપમાન વધારવાથી એવા અણુઓનો અંશ વધે છે જે $E_a$ કરતા વધારે ઉર્જા સાથે અથડાય છે. આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $(t+10)$ તાપમાનના વક્રમાં,સક્રિયકરણ ઉર્જા જેટલી કે તેથી વધુ ઉર્જા ધરાવતા અણુઓનો અંશ દર્શાવતો વિસ્તાર વધે છે,જે પ્રક્રિયાના વેગમાં વધારો કરે છે.

(N/A) આર્હેનિયસ સમીકરણ રાસાયણિક પ્રક્રિયાના વેગ અચળાંક અને તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે:
$k = A e^{-\frac{E_{a}}{RT}}$
જ્યાં:
$k = \text{પ્રક્રિયાનો વેગ અચળાંક (વેગના સમપ્રમાણમાં)}$
$E_{a} = \text{સક્રિયકરણ ઊર્જા (J mol}^{-1})$
$T = \text{નિરપેક્ષ તાપમાન (K)}$
$R = \text{વાયુ અચળાંક (8.314 J K}^{-1} \text{ mol}^{-1})$
$A = \text{આર્હેનિયસ આવૃત્તિ અવયવ (અથવા પૂર્વ-ઘાતાંકીય અવયવ)}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln k = -\frac{E_{a}}{RT} + \ln A$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના રેખીય સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $\ln k$ એ $y$ છે,$-\frac{E_{a}}{R}$ એ ઢાળ $m$ છે,$\frac{1}{T}$ એ $x$ છે,અને $\ln A$ એ આંતરછેદ $c$ છે.
$\ln k$ વિરુદ્ધ $\frac{1}{T}$ નો આલેખ દોરતા,ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા મળે છે,જેનો ઢાળ $-\frac{E_{a}}{R}$ અને $y$-આંતરછેદ $\ln A$ છે.
મહત્વ:
$1$. તે પ્રાયોગિક રીતે સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{a})$ અને આવૃત્તિ અવયવ $(A)$ ની ગણતરી કરવામાં મદદ કરે છે.
$2$. તે સમજાવે છે કે તાપમાન વધવાથી પ્રક્રિયાનો વેગ કેમ વધે છે,કારણ કે $E_{a}$ કરતા વધુ ઊર્જા ધરાવતા અણુઓનો અંશ તાપમાન $T$ સાથે ઘાતાંકીય રીતે વધે છે.

(N/A) રીત-$1$: $E_{a}$ ની ગણતરી:
આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A \cdot e^{-\frac{E_{a}}{RT}}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા $\ln k = -\frac{E_{a}}{RT} + \ln A$ મળે છે.
જો તાપમાન $T_{1}$ અને $T_{2}$ પર વેગ અચળાંક અનુક્રમે $k_{1}$ અને $k_{2}$ હોય,તો:
$\ln k_{1} = -\frac{E_{a}}{RT_{1}} + \ln A$ $(i)$
$\ln k_{2} = -\frac{E_{a}}{RT_{2}} + \ln A$ $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા $\ln \frac{k_{2}}{k_{1}} = \frac{E_{a}}{R} (\frac{1}{T_{1}} - \frac{1}{T_{2}})$ મળે છે.
$10$ ના આધારવાળા લઘુગણકમાં ફેરવતા: $\log \frac{k_{2}}{k_{1}} = \frac{E_{a}}{2.303 R} (\frac{T_{2} - T_{1}}{T_{1} T_{2}})$.
આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $E_{a}$ ની ગણતરી કરી શકાય છે.
રીત-$2$: આલેખની રીત:
$\ln k$ વિરુદ્ધ $\frac{1}{T}$ અથવા $\log k$ વિરુદ્ધ $\frac{1}{T}$ નો આલેખ દોરતા.
આલેખનો ઢાળ (slope) $-\frac{E_{a}}{R}$ ($\ln k$ માટે) અથવા $-\frac{E_{a}}{2.303 R}$ ($\log k$ માટે) મળે છે.
આમ,$E_{a} = -\text{slope} \times R$ અથવા $E_{a} = -\text{slope} \times 2.303 R$.

(N/A) આપેલ છે: $T_1 = 300 \ K$ પર $k_1 = 2 \times 10^{-3} \ min^{-1}$,$T_2 = 320 \ K$ પર $k_2 = 3 \times k_1 = 6 \times 10^{-3} \ min^{-1}$.
આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\ln(k_2/k_1) = (E_a/R) \times (1/T_1 - 1/T_2)$.
$\ln(3) = (E_a / 1.987) \times (1/300 - 1/320)$.
$E_a \approx 10480 \ cal/mol$.
$310 \ K$ પર $k$ શોધવા માટે: $\ln(k_3/k_1) = (E_a/R) \times (1/T_1 - 1/T_3)$.
$k_3 = 3.526 \times 10^{-3} \ min^{-1}$.

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\ln(\frac{k_2}{k_1}) = \frac{E_a}{R} (\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2})$
આપેલ છે: $k_1 = 4.5 \times 10^{-3} \ s^{-1}$,$T_1 = 283 \ K$,$E_a = 60000 \ J \ mol^{-1}$,$k_2 = 3 \times 10^{10} \ s^{-1}$,$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\ln(\frac{3 \times 10^{10}}{4.5 \times 10^{-3}}) = \frac{60000}{8.314} (\frac{1}{283} - \frac{1}{T_2})$
ગણતરી કરતા $T_2$ નું મૂલ્ય આશરે $737.5 \ K$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: $T_{1} = 300 \ K$,$k_{1} = 1.84 \ (mol \ L^{-1})^{-1} \ min^{-1}$,$T_{2} = 327 \ K$,$k_{2} = 38.84 \ (mol \ L^{-1})^{-1} \ min^{-1}$,$R = 1.987 \ cal \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log(\frac{k_{2}}{k_{1}}) = \frac{E_{a}}{2.303 \ R} \times (\frac{T_{2} - T_{1}}{T_{1} \times T_{2}})$.
કિંમતો મૂકતા: $\log(\frac{38.84}{1.84}) = \frac{E_{a}}{2.303 \times 1.987} \times (\frac{327 - 300}{300 \times 327})$.
$\log(21.108) = \frac{E_{a}}{4.575} \times (\frac{27}{98100})$.
$1.3244 = \frac{E_{a}}{4.575} \times 0.0002752$.
$E_{a} = \frac{1.3244 \times 4.575}{0.0002752} \approx 22000 \ cal \ mol^{-1}$.

(N/A) આપેલ છે: $T_1 = 300 \ K$ પર $k_1 = 2 \times 10^{-3} \ min^{-1}$,$T_2 = 310 \ K$ પર $k_2 = 4 \times 10^{-3} \ min^{-1}$.
આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log(k_2/k_1) = \frac{E_a}{2.303R} \times \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2}$.
$\log(2) = \frac{E_a}{2.303 \times 1.987} \times \frac{10}{300 \times 310}$.
$E_a \approx 12808 \ cal \ mol^{-1}$.
$T_3 = 320 \ K$ માટે: $\log(k_3/k_1) = \frac{E_a}{2.303R} \times \frac{T_3 - T_1}{T_1 T_3}$.
$k_3 = 7.666 \times 10^{-3} \ min^{-1}$.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ છે.
$T_1 = 300 \ K$ પર,$t_{1/2} = 30 \ \min$,તેથી $k_1 = \frac{0.693}{30} \ \min^{-1}$.
$T_2 = 320 \ K$ પર,$t_{1/2} = 10 \ \min$,તેથી $k_2 = \frac{0.693}{10} \ \min^{-1}$.
આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\ln(\frac{k_2}{k_1}) = \frac{E_a}{R} (\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2})$.
$\ln(3) = \frac{E_a}{8.314} (\frac{1}{300} - \frac{1}{320})$.
$E_a = 43857 \ J \ mol^{-1} = 43.85 \ kJ \ mol^{-1}$.

(N/A) સક્રિયકરણ ઊર્જા: આ પ્રક્રિયક અણુઓ દ્વારા શોષાયેલી વધારાની ન્યૂનતમ ઊર્જા છે જેથી તેમની ઊર્જા થ્રેશોલ્ડ મૂલ્ય જેટલી થાય,જે તેમને રાસાયણિક પ્રક્રિયા કરવા માટે સક્ષમ બનાવે છે.
$(b)$ સક્રિયકૃત સંકીર્ણ: આ રાસાયણિક પ્રક્રિયા દરમિયાન બનતી એક અસ્થાયી મધ્યવર્તી જાતિ છે,જેમાં પ્રક્રિયકોના બંધ આંશિક રીતે તૂટેલા હોય છે અને નીપજોના બંધ આંશિક રીતે બનેલા હોય છે. તે સ્થિતિ ઊર્જા આલેખ પર ઊર્જાના મહત્તમ મૂલ્યને અનુરૂપ છે.

(N/A) $(1)$ અણુઓનો અંશ: તે સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a)$ જેટલી અથવા તેનાથી વધુ ઊર્જા ધરાવતા અણુઓની સંખ્યા અને સિસ્ટમમાં હાજર કુલ અણુઓની સંખ્યાના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તે $f = e^{-E_a/RT}$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$(2)$ આવૃત્તિ અવયવ: તેને પ્રી-એક્સપોનેન્શિયલ ફેક્ટર $(A)$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે પ્રક્રિયક અણુઓ વચ્ચેની અથડામણોની આવૃત્તિ દર્શાવે છે. તે ચોક્કસ પ્રતિક્રિયા માટેનો અચળાંક છે અને તે એકમ સમયમાં એકમ કદ દીઠ થતી કુલ અથડામણોની સંખ્યા સાથે સંબંધિત છે.

(A) ઉદ્દીપક પુરોગામી અને પ્રતિગામી બંને પ્રક્રિયાઓ માટે સમાન રીતે સક્રિયકરણ ઊર્જા ઘટાડીને વૈકલ્પિક માર્ગ પૂરો પાડે છે. તેથી,તે સંતુલન અચળાંક અથવા સંતુલનની સ્થિતિને અસર કરતું નથી.
$(b)$ બોલ્ટ્ઝમેન અને મેક્સવેલે આણ્વિય ઊર્જાના વિતરણ અને પ્રક્રિયાનો દર સમજાવવા માટે વાયુઓના ગતિવાદ અને આણ્વિય અથડામણના ખ્યાલનો ઉપયોગ કર્યો હતો.