Collision theory, Energy of activation and Arrhenius equation Questions in Gujarati

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-\frac{E_a}{RT}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે સક્રિયકરણ ઉર્જા $E_a = 0$ છે.
સમીકરણમાં $E_a = 0$ મૂકતા,આપણને $k = A e^0 = A \times 1 = A$ મળે છે.
જ્યારે $E_a = 0$ હોય ત્યારે વેગ અચળાંક $k$ એ તાપમાન $T$ થી સ્વતંત્ર બને છે,તેથી કોઈપણ તાપમાને વેગ અચળાંક એ આવૃત્તિ અવયવ $A$ જેટલો જ રહેશે.
તેથી,$k_{383 \ K} = A$ અને $k_{273 \ K} = A$.
વેગ અચળાંકોનો ગુણોત્તર $\frac{k_{383 \ K}}{k_{273 \ K}} = \frac{A}{A} = 1$ થાય છે.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $K$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2}$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ છે.
$T_1 = 300 \ K$ પર,$K_1 = \frac{0.693}{50} \ s^{-1}$.
$T_2 = 400 \ K$ પર,$K_2 = \frac{0.693}{10} \ s^{-1}$.
આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303 \ R} \left[ \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right]$.
કિંમતો મૂકતા: $\log \left( \frac{0.693 / 10}{0.693 / 50} \right) = \log 5 = 0.70$.
$0.70 = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left[ \frac{400 - 300}{300 \times 400} \right]$.
$0.70 = \frac{E_a}{19.147} \times \frac{100}{120000} = \frac{E_a}{19.147 \times 1200}$.
$E_a = 0.70 \times 19.147 \times 1200 \approx 16083.48 \ J \ mol^{-1} = 16.08 \ kJ \ mol^{-1}$.
નજીકની કિંમત લેતા,$E_a \approx 16.1 \ kJ \ mol^{-1}$.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$,તેથી $k \propto \frac{1}{t_{1/2}}$.
આપેલ છે: $T_1 = 300 \ K, t_{1/2}(1) = 20 \ s$ અને $T_2 = 350 \ K, t_{1/2}(2) = 2 \ s$.
તેથી,$\frac{k_2}{k_1} = \frac{t_{1/2}(1)}{t_{1/2}(2)} = \frac{20}{2} = 10$.
આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{2.303 \ R} [\frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2}]$.
કિંમતો મૂકતા: $\log(10) = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314 \times 10^{-3}} [\frac{350 - 300}{350 \times 300}]$.
$1 = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314 \times 10^{-3}} [\frac{50}{105000}]$.
$E_a = \frac{2.303 \times 8.314 \times 10^{-3} \times 105000}{50} \approx 40.2 \ kJ \ mol^{-1}$.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T_1 = 310 \ K$ પર,$t_{1/2} = 12 \ min$,તેથી $k_1 = \frac{0.693}{12} \ min^{-1}$.
$T_2 = 300 \ K$ પર,$t_{1/2} = 2 \ hrs = 120 \ min$,તેથી $k_2 = \frac{0.693}{120} \ min^{-1}$.
આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\ln\left(\frac{k_1}{k_2}\right) = \frac{E_a}{R} \left(\frac{T_1 - T_2}{T_1 T_2}\right)$.
$\ln\left(\frac{0.693/12}{0.693/120}\right) = \ln(10) = 2.303$.
$2.303 = \frac{E_a}{8.3} \left(\frac{310 - 300}{310 \times 300}\right)$.
$E_a = 2.303 \times 8.3 \times 9300 \approx 177760 \ J \ mol^{-1} = 177.76 \ kJ \ mol^{-1}$.

(C) Arrhenius સમીકરણ $k = A e^{-E_a / RT}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક $(ln)$ લેતા,આપણને $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{R} \cdot \frac{1}{T}$ મળે છે.
આ સમીકરણને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \ln k$,$x = \frac{1}{T}$,અને $c = \ln A$,ઢાળ $m = -\frac{E_a}{R}$ થાય છે.

(D) આપેલ છે: $T_1 = 300 \ K$,$T_2 = 310 \ K$,$k_2 = 2k_1$,$R = 8.3 \ J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}$,$\log 2 = 0.3$.
આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\log \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{2.303 \ R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right)$
$\log 2 = \frac{E_a}{2.303 \times 8.3} \left( \frac{310 - 300}{300 \times 310} \right)$
$0.3 = \frac{E_a}{19.1149} \times \frac{10}{93000}$
$E_a = \frac{0.3 \times 19.1149 \times 93000}{10} \ J \cdot mol^{-1}$
$E_a = 53330.57 \ J \cdot mol^{-1} \approx 53.33 \ kJ \cdot mol^{-1}$.

(B) આપેલ છે: $K_1 = 3.46 \times 10^{-2} \ s^{-1}$,$T_1 = 298 \ K$,$T_2 = 350 \ K$,$E_a = 50100 \ J \ mol^{-1}$,$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303 R} \left[ \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right]$.
કિંમતો મૂકતા:
$\log \frac{K_2}{3.46 \times 10^{-2}} = \frac{50100}{2.303 \times 8.314} \left[ \frac{52}{104300} \right]$.
$\log \frac{K_2}{3.46 \times 10^{-2}} \approx 1.304$.
$\frac{K_2}{3.46 \times 10^{-2}} = 10^{1.304} \approx 20.14$.
$K_2 = 20.14 \times 3.46 \times 10^{-2} \approx 0.696 \ s^{-1}$.
સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $0.692 \ s^{-1}$ છે.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{2.303R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1T_2} \right)$
આપેલ છે: $k_1 = x$,$k_2 = 4x$,$T_1 = 600 \ K$,$T_2 = 700 \ K$,$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\log \left( \frac{4x}{x} \right) = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left( \frac{700 - 600}{700 \times 600} \right)$
$\log(4) = \frac{E_a}{19.147} \left( \frac{100}{420000} \right)$
$0.602 = \frac{E_a}{19.147} \times 2.381 \times 10^{-4}$
$E_a = \frac{0.602 \times 19.147}{2.381 \times 10^{-4}} \approx 48415 \ J \ mol^{-1} = 48.41 \ kJ \ mol^{-1}$.
સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $48.16 \ kJ \ mol^{-1}$ છે.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln (t_{1/2}) = \ln(0.693) - \ln k$ $(i)$.
આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,$k = A e^{-E_a/RT}$,તેથી $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$.
$\ln k$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\ln (t_{1/2}) = \ln(0.693) - (\ln A - \frac{E_a}{RT})$
$\ln (t_{1/2}) = \ln(\frac{0.693}{A}) + \frac{E_a}{RT}$
અહીં $\ln(\frac{0.693}{A})$ અને $\frac{E_a}{R}$ અચળાંક હોવાથી,$\ln (t_{1/2}) \propto \frac{1}{T}$ મળે છે.

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ $\log k = \log A - \frac{E_a}{2.303 \ RT}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $\log k = 7.14 - \frac{1 \times 10^4 \ K}{T}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{E_a}{2.303 \ R} = 1 \times 10^4 \ K$ મળે છે.
તેથી,$E_a = 2.303 \times R \times 10^4 \ K$.
$R = 8.3 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$ મૂકતા,$E_a = 2.303 \times 8.3 \times 10^4 \ J \ mol^{-1} = 191.149 \times 10^3 \ J \ mol^{-1} = 191.149 \ kJ \ mol^{-1}$ મળે છે.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,સક્રિયકરણ ઊર્જા $191.1 \ kJ \ mol^{-1}$ છે.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ: $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \ln k$ અને $x = \frac{1}{T}$:
ઢાળ $(m) = -\frac{E_a}{R}$.
આપેલ ઢાળ $(m) = -10^3 \ K$ છે,તેથી:
$-\frac{E_a}{R} = -10^3 \ K$
$E_a = 10^3 \ K \times R$
$E_a = 10^3 \ K \times 8.314 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1} = 8314 \ J \ mol^{-1}$.
$kJ \ mol^{-1}$ માં ફેરવવા માટે,$1000$ વડે ભાગતા:
$E_a = \frac{8314}{1000} \ kJ \ mol^{-1} = 8.314 \ kJ \ mol^{-1}$.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ $\ln k = -\frac{E_a}{R} \left(\frac{1}{T}\right) + \ln A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m = -\frac{E_a}{R}$ મળે છે.
આપેલ છે કે ઢાળ $-4 \times 10^4 \ K$ છે,તેથી $-\frac{E_a}{R} = -4 \times 10^4 \ K$.
આમ,$E_a = 4 \times 10^4 \times R = 4 \times 10^4 \times 8.3 \ J \ mol^{-1} = 332000 \ J \ mol^{-1}$.
$kJ \ mol^{-1}$ માં ફેરવતા,$E_a = \frac{332000}{1000} \ kJ \ mol^{-1} = 332 \ kJ \ mol^{-1}$ મળે છે.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303 \ R} [\frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2}]$
આપેલ છે: $\frac{K_2}{K_1} = 2$,$T_1 = 300 \ K$,$T_2 = 310 \ K$,$R = 8.3 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$,$\log 2 = 0.3$
કિંમતો મૂકતા:
$0.3 = \frac{E_a}{2.303 \times 8.3} [\frac{310 - 300}{300 \times 310}]$
$0.3 = \frac{E_a}{19.1149} [\frac{10}{93000}]$
$E_a \approx 53.34 \ kJ \ mol^{-1}$
સૌથી નજીકની કિંમત $53.33 \ kJ \ mol^{-1}$ છે.

(B) આપેલ છે,$T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$ અને $T_2 = 37 + 273 = 310 \ K$.
પ્રક્રિયાનો તાપમાન ગુણાંક એ $10 \ K$ ના તફાવત ધરાવતા તાપમાને વેગ અચળાંકોનો ગુણોત્તર છે,જે સામાન્ય રીતે $2$ હોય છે.
ધારો કે $K_1 = k$ અને $K_2 = 2k$.
આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303 \ R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 \ T_2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\log 2 = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314 \times 10^{-3}} \times \left( \frac{310 - 300}{310 \times 300} \right)$.
$0.3010 = \frac{E_a}{0.019147} \times \frac{10}{93000}$.
$E_a = \frac{0.3010 \times 0.019147 \times 93000}{10} \approx 53.5 \ kJ \cdot mol^{-1}$.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,$k = Ae^{-E_a / RT}$.
ધારો કે $E_{a_1}$ એ પ્રારંભિક સક્રિયકરણ ઊર્જા છે અને $E_{a_2}$ એ ઉદ્દીપક ઉમેર્યા પછીની સક્રિયકરણ ઊર્જા છે.
$k_1 = Ae^{-E_{a_1} / RT} \dots (1)$
$k_2 = 4k_1 = Ae^{-E_{a_2} / RT} \dots (2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા:
$4 = e^{(E_{a_1} - E_{a_2}) / RT}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln 4 = \frac{E_{a_1} - E_{a_2}}{RT}$
$E_{a_2} - E_{a_1} = -RT \ln 4$
અહીં $T = 27 + 273 = 300 \ K$ અને $\ln 4 = 1.386$ આપેલ છે.
$\Delta E_a = E_{a_2} - E_{a_1} = -(8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1} \times 300 \ K \times 1.386)$
$\Delta E_a = -3457.3 \ J / mol \approx -3.45 \ kJ / mol$.

(A) થ્રેશોલ્ડ ઉર્જા $(E_T)$,સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)$ અને પ્રક્રિયકોની ઉર્જા $(E_R)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$E_T = E_a + E_R$
આપેલ છે:
$E_T = 75 \ kJ/mol$
$E_R = 20 \ kJ/mol$
કિંમતો મૂકતા:
$75 = E_a + 20$
$E_a = 75 - 20 = 55 \ kJ/mol$
તેથી,સક્રિયકરણ ઉર્જા $55 \ kJ/mol$ છે.

(A) તાપમાન અને સક્રિયકરણ ઉર્જા વચ્ચેનો સંબંધ આર્હેનિયસ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\ln \left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \frac{E_a}{R} \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right)$.
આપેલ છે: $k_2 = 2k_1$,$T_1 = 300 \ K$,$T_2 = 600 \ K$,$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\log(2) = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left(\frac{1}{300} - \frac{1}{600}\right)$.
$0.3010 = \frac{E_a}{19.147} \left(\frac{1}{600}\right)$.
$E_a = 0.3010 \times 19.147 \times 600 \approx 3458 \ J / mol = 3.46 \ kJ / mol$.

(C) આપેલ છે કે રાસાયણિક પ્રક્રિયાનો દર તાપમાનમાં દર $10^{\circ}C$ ના વધારા સાથે બમણો થાય છે,તેથી $\frac{k_2}{k_1} = 2$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 22 + 273 = 295 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 32 + 273 = 305 \ K$.
આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\ln \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{R} \left[ \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right]$.
કિંમતો મૂકતા: $0.69 = \frac{E_a}{8.3} \left[ \frac{305 - 295}{295 \times 305} \right]$.
$E_a = \frac{0.69 \times 8.3 \times 295 \times 305}{10} \approx 49800 \ J \ mol^{-1} = 49.8 \ kJ \ mol^{-1}$.

(B) પ્રક્રિયા માટે એન્થાલ્પી ફેરફાર $\Delta H = E_B - E_A = 60 \ kcal/mol - 30 \ kcal/mol = 30 \ kcal/mol$ છે.
કોઈપણ પ્રક્રિયા માટે,એન્થાલ્પી ફેરફાર,પુરોગામી સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a(f))$ અને પ્રતિગામી સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a(b))$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta H = E_a(f) - E_a(b)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $30 \ kcal/mol = E_a(f) - 93 \ kcal/mol$.
તેથી,$E_a(f) = 30 + 93 = 123 \ kcal/mol$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(A) આપેલ આર્હેનિયસ સમીકરણ $\ln k = 5.0 - \frac{12000}{T}$ છે.
તેને પ્રમાણિત આર્હેનિયસ સમીકરણ $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{E_a}{R} = 12000 \ K$ મળે છે.
વાયુ અચળાંક $R = 2 \ cal \ K^{-1} \ mol^{-1} = 2 \times 10^{-3} \ kcal \ K^{-1} \ mol^{-1}$ છે.
તેથી,$E_a = 12000 \times R = 12000 \times 2 \times 10^{-3} \ kcal \ mol^{-1}$.
$E_a = 24 \ kcal \ mol^{-1}$.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ $\log k = \log A - \frac{E_a}{2.303 \ RT}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $\log k = -\frac{20}{T} + 4$ સાથે સરખાવતા:
$\log A = 4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $A = 10^4 \ s^{-1}$.
વળી,$\frac{E_a}{2.303 \ R} = 20$.
$R = 2 \ cal \ K^{-1} \ mol^{-1}$ લેતા,$E_a = 20 \times 2.303 \times 2 = 92.12 \ cal \ mol^{-1}$ મળે છે.
આમ,સક્રિયકરણ ઊર્જા $92.12 \ cal \ mol^{-1}$ અને પૂર્વ-ઘાતાંકીય અવયવ $10^4 \ s^{-1}$ છે.

(C) મોટાભાગની રાસાયણિક પ્રક્રિયાઓ માટે,જ્યારે તાપમાન $10^{\circ}C$ જેટલું વધારવામાં આવે ત્યારે વેગ અચળાંક આશરે બમણો થાય છે.
આને તાપમાન ગુણાંક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,જે $10^{\circ}C$ ના તફાવત ધરાવતા તાપમાને વેગ અચળાંકોનો ગુણોત્તર છે.
ગાણિતિક રીતે,$\text{Temperature Coefficient} = \frac{k_{T+10}}{k_T} \approx 2$ થી $3$.
પ્રમાણિત પાઠ્યપુસ્તકના પ્રશ્નોમાં,આ મૂલ્ય સામાન્ય રીતે $2$ લેવામાં આવે છે.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ: $\log \left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \frac{E_a}{2.303 \ R} \left(\frac{T_2 - T_1}{T_1 \ T_2}\right)$.
આપેલ છે: $k_1 = 0.002 \ s^{-1}$,$T_1 = 500 \ K$,$k_2 = 0.06 \ s^{-1}$,$T_2 = 700 \ K$,$R = 8.314 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\log \left(\frac{0.06}{0.002}\right) = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left(\frac{700 - 500}{700 \times 500}\right)$
$\log(30) = \frac{E_a}{19.147} \left(\frac{200}{350000}\right)$
$1.477 = \frac{E_a}{19.147} \times \frac{2}{3500}$
$E_a = 49.49 \ kJ \ mol^{-1}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે આર્હેનિયસ સમીકરણ: $\log \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{2.303 R} \times \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right)$
આપેલ છે: $k_2 = 2k_1$,$T_1 = 300 \ K$,$T_2 = 310 \ K$,$R = 2 \ cal \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\log 2 = \frac{E_a}{2.303 \times 2} \times \left( \frac{310 - 300}{300 \times 310} \right)$
$0.3010 = \frac{E_a}{4.606} \times \left( \frac{10}{93000} \right)$
$0.3010 = \frac{E_a}{4.606} \times \frac{1}{9300}$
$E_a = 0.3010 \times 4.606 \times 9300 \approx 12890 \ cal \ mol^{-1}$.
$kcal \ mol^{-1}$ માં રૂપાંતર કરતા: $E_a = \frac{12890}{1000} = 12.89 \ kcal \ mol^{-1}$.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$k = A e^{-E_a / RT}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$
આને સુરેખ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$\ln k = -\frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T} \right) + \ln A$
આને $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \ln k$,$x = \frac{1}{T}$,અને $c = \ln A$,ઢાળ $m$ એ $-\frac{E_a}{R}$ જેટલો થાય છે.

(C) આપેલ ઉર્જા પ્રોફાઇલ આકૃતિ પરથી:
$E_a$ = પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઉર્જા
$E_a^{\prime}$ = પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઉર્જા
$E_t$ = થ્રેશોલ્ડ ઉર્જા
$1$. નીપજ $B$ ની ઉર્જા પ્રક્રિયક $A$ કરતા વધારે હોવાથી,પ્રક્રિયા ઉષ્માશોષક છે.
$2$. પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)$ એ થ્રેશોલ્ડ ઉર્જા $(E_t)$ અને પ્રક્રિયકની ઉર્જા $(E_R)$ વચ્ચેનો તફાવત છે.
$3$. પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a^{\prime})$ એ થ્રેશોલ્ડ ઉર્જા $(E_t)$ અને નીપજની ઉર્જા $(E_p)$ વચ્ચેનો તફાવત છે.
$4$. આકૃતિ પરથી,$E_a > E_a^{\prime}$.
$5$. સંબંધ $E_a = E_a^{\prime} + \Delta E$ છે,જ્યાં $\Delta E$ એ પ્રક્રિયાની ઉષ્મા છે.
$6$. થ્રેશોલ્ડ ઉર્જા $(E_t)$ હંમેશા સક્રિયકરણ ઉર્જા ($E_a$ અથવા $E_a^{\prime}$) કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોય છે,કારણ કે તે પ્રક્રિયા થવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા દર્શાવે છે. તેથી,'થ્રેશોલ્ડ ઉર્જા એ સક્રિયકરણ ઉર્જા કરતા ઓછી છે' તે વિધાન ખોટું છે.

(C) ઉદ્દીપક પ્રક્રિયાનો વેગ વધારે છે કારણ કે ઉદ્દીપકની હાજરીમાં પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા ઘટે છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે,પરંતુ કારણ $(R)$ ખોટું છે કારણ કે સક્રિયકરણ ઊર્જા ઘટે છે,વધતી નથી.

(D) પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_f)$ અને પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_b)$ એ પ્રક્રિયાની એન્થાલ્પી $(\Delta_r H)$ સાથે નીચેના સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે: $\Delta_r H = E_f - E_b$.
ઉષ્માક્ષેપક પ્રક્રિયા માટે,એન્થાલ્પી ફેરફાર ઋણ હોય છે,એટલે કે $\Delta_r H < 0$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $E_f - E_b < 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $E_f < E_b$.

(C) પ્રક્રિયાનો વેગ $k$ એ લીધેલા સમય $t$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી $k \propto 1/t$.
આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\ln \left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \frac{E_a}{R} \left[\frac{T_1 - T_2}{T_1 T_2}\right]$.
આપેલ છે કે $T_1$ તાપમાને $t_1 = 4.0 \text{ min}$ અને $T_2$ તાપમાને $t_2 = 8.0 \text{ min}$,તેથી $k_1 = 1/4$ અને $k_2 = 1/8$.
કિંમતો મૂકતા: $\ln \left(\frac{1/8}{1/4}\right) = \frac{E_a}{R} \left[\frac{T_1 - T_2}{T_1 T_2}\right]$.
$\ln(0.5) = \frac{E_a}{R} \left[\frac{T_1 - T_2}{T_1 T_2}\right]$.
$\ln(0.5) = -\ln(2) \approx -0.693$ હોવાથી,$-0.693 = \frac{E_a}{R} \left[\frac{T_1 - T_2}{T_1 T_2}\right]$.
$E_a$ માટે ગોઠવતા: $E_a = 0.693 R \frac{T_1 T_2}{T_2 - T_1}$.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,વેગ અચળાંક $k = A e^{-E_a/RT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સક્રિયકરણ ઉર્જા $E_a$ હંમેશા ધન હોવાથી,તાપમાન વધતા વેગ અચળાંક $k$ હંમેશા વધે છે.
વોન્ટ હોફ સમીકરણ મુજબ,$\log \left(\frac{K_2}{K_1}\right) = \frac{\Delta H}{2.303 R} \left[\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right]$.
જો પ્રક્રિયા ઉષ્માશોષક $(\Delta H > 0)$ હોય,તો સંતુલન અચળાંક $K$ તાપમાન સાથે વધે છે.
જો પ્રક્રિયા ઉષ્માક્ષેપક $(\Delta H < 0)$ હોય,તો સંતુલન અચળાંક $K$ તાપમાન સાથે ઘટે છે.
તેથી,સંતુલન અચળાંક એન્થાલ્પી ફેરફારના આધારે વધી કે ઘટી શકે છે,જ્યારે વેગ અચળાંક તાપમાન સાથે હંમેશા વધે છે.

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$k = A e^{-E_a / RT}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln k = \ln A - \frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T} \right)$
આ સમીકરણ સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં:
$y = \ln k$
$x = \frac{1}{T}$
$m = -\frac{E_a}{R}$ (ઢાળ)
$c = \ln A$ (અંતઃખંડ)
તેથી,$\ln k$ વિરુદ્ધ $1 / T$ નો આલેખ $-E_a / R$ ના ઢાળ સાથે રેખીય આલેખ આપે છે.

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a / RT}$ મુજબ,તાપમાન $T$ વધતા વેગ અચળાંક $k$ વધે છે.
આનું મુખ્ય કારણ એ છે કે સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)$ જેટલી અથવા તેનાથી વધુ ઉર્જા ધરાવતા અણુઓનો અંશ તાપમાન સાથે નોંધપાત્ર રીતે વધે છે.
વધુમાં,તાપમાન વધતા પ્રક્રિયક અણુઓની અથડામણ આવૃત્તિ પણ વધે છે,જે પ્રક્રિયાના વેગમાં વધારો કરવામાં ફાળો આપે છે.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ પરથી:
$\ln \frac{k_{2}}{k_{1}} = \frac{E_{a}}{R} \left[ \frac{1}{T_{1}} - \frac{1}{T_{2}} \right]$
અહીં $T_{1} = 300 \ K$,$T_{2} = 600 \ K$,અને $E_{a} = 600 R$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\ln \frac{k_{2}}{k_{1}} = \frac{600 R}{R} \left[ \frac{1}{300} - \frac{1}{600} \right]$
$\ln \frac{k_{2}}{k_{1}} = 600 \left[ \frac{2 - 1}{600} \right] = 1$
તેથી,$\frac{k_{2}}{k_{1}} = e$.

(A) ઉષ્માક્ષેપક પ્રક્રિયા માટે,નીપજોની ઉર્જા પ્રક્રિયકોની ઉર્જા કરતા ઓછી હોય છે.
ઉર્જા પ્રોફાઇલ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,પુરોગામી પ્રક્રિયા માટે સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_{a,f})$ એ સંક્રાંતિ અવસ્થા અને પ્રક્રિયકો વચ્ચેનો ઉર્જાનો તફાવત છે.
પ્રતિગામી પ્રક્રિયા માટે સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_{a,b})$ એ સંક્રાંતિ અવસ્થા અને નીપજો વચ્ચેનો ઉર્જાનો તફાવત છે.
નીપજો પ્રક્રિયકો કરતા નીચા ઉર્જા સ્તરે હોવાથી,નીપજોમાંથી સંક્રાંતિ અવસ્થા સુધી પહોંચવા માટેનો ઉર્જા અવરોધ $(E_{a,b})$ એ પ્રક્રિયકો તરફથી ઉર્જા અવરોધ $(E_{a,f})$ કરતા વધારે હોય છે.
તેથી,$(E_{a,b}) > (E_{a,f})$.

(C) પ્રથમ પ્રક્રિયા $A \xrightarrow{k_1} B$ માટે:
આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\ln\left(\frac{k_{1, 500}}{k_{1, 300}}\right) = \frac{E_{a1}}{R} \left(\frac{1}{300} - \frac{1}{500}\right)$.
આપેલ છે $k_{1, 500} = 2 k_{1, 300}$,તેથી $\ln(2) = \frac{E_{a1}}{R} \left(\frac{2}{1500}\right) \implies E_{a1} = 750 R \ln 2$.
દ્વિતીય પ્રક્રિયા $C \xrightarrow{k_2} D$ માટે,$E_{a2} = \frac{E_{a1}}{2} = 375 R \ln 2$.
$500 \ K$ તાપમાને,પ્રથમ પ્રક્રિયા માટે,$t_{1/2} = 2 \ hours$,તેથી $k_{1, 500} = \frac{\ln 2}{2}$.
આપેલ છે $k_{2, 500} = 2 k_{1, 500} = \ln 2$.
દ્વિતીય પ્રક્રિયા માટે આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\ln\left(\frac{k_{2, 500}}{k_{2, 300}}\right) = \frac{375 R \ln 2}{R} \left(\frac{2}{1500}\right) = \frac{\ln 2}{2} = \ln(\sqrt{2})$.
તેથી,$k_{2, 300} = \frac{k_{2, 500}}{\sqrt{2}} = \frac{\ln 2}{\sqrt{2}} \approx 0.4902 \ hour^{-1}$.
$k_{2, 300} = 4.9 \times 10^{-1} \ hour^{-1}$.

(B) આરેનિયસ સમીકરણ મુજબ,$k = A e^{-E_a / RT}$.
ઉદ્દીપકવાળી પ્રક્રિયા માટે,$k_c = A e^{-E_{ac} / RT}$ અને ઉદ્દીપક વગરની પ્રક્રિયા માટે,$k_u = A e^{-E_{au} / RT}$.
આવૃત્તિ અવયવ $A$ સમાન હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{k_c}{k_u} = e^{(E_{au} - E_{ac}) / RT} = e^{\Delta E_a / RT}$ થાય.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\log_{10} \left( \frac{k_c}{k_u} \right) = \frac{\Delta E_a}{2.303 RT}$.
અહીં $\Delta E_a = 10000 \ J \ mol^{-1}$,$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$,અને $T = 300 \ K$.
$\log_{10} \left( \frac{k_c}{k_u} \right) = \frac{10000}{2.303 \times 8.314 \times 300} \approx 1.741$.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ $\log_{10} k = \log_{10} A - \frac{Ea_1}{2.303 RT}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $\log_{10} k = 14.34 - \frac{1.5 \times 10^4}{T}$ સાથે સરખાવતા,$\frac{Ea_1}{2.303 R} = 1.5 \times 10^4$ મળે છે.
$Ea_1 = 1.5 \times 10^4 \times 2.303 \times 8.314 \ J \ mol^{-1} = 287207 \ J \ mol^{-1} = 287.207 \ kJ \ mol^{-1}$.
આપેલ છે કે $Ea_2 = \frac{1}{5} Ea_1$,તેથી $Ea_2 = \frac{287.207}{5} = 57.44 \ kJ \ mol^{-1}$.
નજીકનો પૂર્ણાંક $57$ છે.

(D) વિધાન $(A)$ ખોટું છે કારણ કે અવયવ $e^{-Ea/RT}$ એ સક્રિયકરણ ઉર્જા $(Ea)$ જેટલી અથવા તેનાથી વધુ ગતિજ ઉર્જા ધરાવતા અણુઓના અંશને દર્શાવે છે.
વિધાન $(B)$ સાચું છે કારણ કે ઓછી સક્રિયકરણ ઉર્જા $(Ea)$ નો અર્થ છે કે અણુઓનો મોટો અંશ ઉર્જા અવરોધને પાર કરી શકે છે,જે પ્રક્રિયાનો દર વધારે છે.
વિધાન $(C)$ સાચું છે કારણ કે ઘણી પ્રક્રિયાઓ માટે તાપમાનમાં $10^{\circ}C$ નો વધારો કરવાથી દર અચળાંક લગભગ બમણો થાય છે.
વિધાન $(D)$ ખોટું છે કારણ કે $\log k$ વિરુદ્ધ $\frac{1}{T}$ નો આલેખ $-\frac{Ea}{2.303R}$ નો ઢાળ આપે છે,$-\frac{Ea}{R}$ નહીં.
તેથી,વિધાનો $(B)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(C) બંને વેગ અચળાંકોને સરખાવતા: $k_1 = k_2$
$10^6 e^{\frac{-30000}{T}} = 10^4 e^{\frac{-24000}{T}}$
બંને બાજુ $10^4 e^{\frac{-30000}{T}}$ વડે ભાગતા:
$10^2 = e^{\frac{-24000}{T} - (\frac{-30000}{T})}$
$100 = e^{\frac{6000}{T}}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln(100) = \frac{6000}{T}$
$2 \ln(10) = \frac{6000}{T}$
$2 \times 2.303 = \frac{6000}{T}$
$T = \frac{6000}{4.606} \approx 1302.64 \ K$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$T = 1303 \ K$ મળે છે.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = Ae^{-E_a/RT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રક્રિયાનો દર વેગ અચળાંક $k$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
જેમ તાપમાન $(T)$ વધે છે,તેમ ઘાતાંકીય પદ $-E_a/RT$ ઓછું ઋણ બને છે (શૂન્યની નજીક),જે $e^{-E_a/RT}$ નું મૂલ્ય વધારે છે અને પરિણામે $k$ માં વધારો થાય છે.
તે જ રીતે,જેમ સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a)$ ઘટે છે,તેમ ઘાતાંકીય પદ $-E_a/RT$ ઓછું ઋણ બને છે,જે $e^{-E_a/RT}$ નું મૂલ્ય વધારે છે અને $k$ માં વધારો કરે છે.
તેથી,તાપમાનમાં વધારો અથવા સક્રિયકરણ ઊર્જામાં ઘટાડો કરવાથી પ્રક્રિયાનો દર વધે છે.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\ln(\frac{k_2}{k_1}) = \frac{E_a}{R} (\frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2})$.
અહીં પ્રક્રિયાનો વેગ બમણો થાય છે,તેથી $\frac{k_2}{k_1} = 2$,$T_1 = 298 \text{ K}$,અને $T_2 = 308 \text{ K}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\ln(2) = \frac{E_a}{8.314} (\frac{308 - 298}{298 \times 308})$.
$0.693 = \frac{E_a}{8.314} (\frac{10}{91784})$.
$E_a = \frac{0.693 \times 8.314 \times 91784}{10}$.
$E_a \approx 52897 \text{ J mol}^{-1} = 52.897 \text{ kJ mol}^{-1}$.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a/RT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ $10$ ના આધાર પર લઘુગણક લેતા:
$\log_{10} k = \log_{10} A - \frac{E_a}{2.303RT}$.
આ સમીકરણ સુરેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = \log_{10} k$,$x = \frac{1}{T}$,$c = \log_{10} A$,અને ઢાળ $m = -\frac{E_a}{2.303R}$ છે.
તેથી,$\log k$ વિરુદ્ધ $\frac{1}{T}$ ના આલેખનો ઢાળ $-\frac{E_a}{2.303R}$ થાય છે.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a / RT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $k = (5.5 \times 10^{11} \text{ s}^{-1}) e^{-28000 / T}$ ને આર્હેનિયસ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને ઘાતાંક પદ મળે છે:
$\frac{E_a}{R} = 28000 \text{ K}$.
$R = 8.3 \text{ J K}^{-1} \text{ mol}^{-1}$ આપેલ હોવાથી,આપણે સક્રિયકરણ ઊર્જા $E_a$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:
$E_a = 28000 \times 8.3 = 232400 \text{ J mol}^{-1}$.
આને $\text{kJ mol}^{-1}$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $1000$ વડે ભાગાકાર કરીએ છીએ:
$E_a = \frac{232400}{1000} = 232.4 \text{ kJ mol}^{-1}$.
નજીકનો પૂર્ણાંક મૂલ્ય $232 \text{ kJ mol}^{-1}$ છે.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ $\ln(k_2/k_1) = \frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા.
આપેલ કિંમતો: $k_1 = 1.5 \times 10^3 \text{ s}^{-1}$,$k_2 = 4.5 \times 10^3 \text{ s}^{-1}$,$T_1 = 300 \text{ K}$,$E_a = 60000 \text{ J mol}^{-1}$,અને $R = 8.314 \text{ J K}^{-1} \text{ mol}^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\ln(3) = \frac{60000}{8.314} \left( \frac{1}{300} - \frac{1}{T_2} \right)$.
$1.0986 = 7216.74 \left( 0.003333 - \frac{1}{T_2} \right)$.
ગણતરી કરતા $T_2 \approx 314.4 \text{ K}$ મળે છે.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $314.4 - 273 = 41.4^\circ\text{C}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $\ln k = 14.34 - \frac{1.25 \times 10^4}{T}$ ની સરખામણી આર્હેનિયસ સમીકરણ $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$ સાથે કરતા:
$-\frac{E_a}{R} = -1.25 \times 10^4$
$E_a = 1.25 \times 10^4 \times R$
$E_a = 1.25 \times 10^4 \times 1.987 \text{ cal mol}^{-1} \text{ K}^{-1} = 2.48375 \times 10^4 \text{ cal mol}^{-1}$
$E_a = 24.8375 \text{ kcal mol}^{-1} \approx 24.84 \text{ kcal mol}^{-1}$.