Collision theory, Energy of activation and Arrhenius equation Questions in Gujarati

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = Ae^{-E_a / RT}$ દર્શાવે છે કે જેમ તાપમાન $T$ વધે છે,તેમ પદ $e^{-E_a / RT}$ વધે છે.
પરિણામે,તાપમાનમાં વધારો થવાથી વેગ અચળાંક $k$ વધે છે.
અચળ તાપમાને સાંદ્રતામાં ફેરફાર કરવાથી $k$ ના મૂલ્ય પર કોઈ અસર થતી નથી.

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2}$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ છે.
આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{2.303 \ R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right)$.
$k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ મૂકતા,$\log \frac{t_{1/2, 1}}{t_{1/2, 2}} = \frac{E_a}{2.303 \ R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right)$ મળે.
અહીં $T_1 = 400 \ K$,$t_{1/2, 1} = 900 \ \text{min}$,$T_2 = 300 \ K$,અને $\frac{E_a}{2.303 \ R} = 1305.6 \ K$ છે.
$\log \frac{900}{t_{1/2, 2}} = 1305.6 \left( \frac{1}{400} - \frac{1}{300} \right) = -1.088$.
$\frac{900}{t_{1/2, 2}} = 10^{-1.088} \approx 0.08166$.
$t_{1/2, 2} = \frac{900}{0.08166} \approx 11021 \ \text{min}$.
સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $11025.0 \ \text{min}$ છે.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ: $\ln(\frac{k_2}{k_1}) = \frac{E_a}{R} [\frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2}]$.
આપેલ છે: $k_1 = 0.026 \ s^{-1}$ $(T_1 = 290 \ K)$,$k_2 = 0.58 \ s^{-1}$ $(T_2 = 300 \ K)$,$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\ln(\frac{0.58}{0.026}) = \frac{E_a}{8.314} [\frac{10}{87000}]$.
$3.1048 = \frac{E_a}{8.314} \times 1.1494 \times 10^{-4}$.
$E_a \approx 224.6 \ kJ \ mol^{-1}$.
સાચો વિકલ્પ $224.55 \ kJ \ mol^{-1}$ છે.

(C) આપેલ છે: $T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$,$T_2 = 37^{\circ} C = 310 \ K$.
વેગ અચળાંક બમણો થાય છે,તેથી $k_2 = 2k_1$.
આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log(\frac{k_2}{k_1}) = \frac{E_a}{2.303R} \times (\frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2})$.
કિંમતો મૂકતા: $\log(2) = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \times (\frac{310 - 300}{300 \times 310})$.
$0.3010 = \frac{E_a}{19.147} \times (\frac{10}{93000})$.
$E_a = \frac{0.3010 \times 19.147 \times 93000}{10} \approx 53598 \ J \ mol^{-1} \approx 53.6 \ kJ \ mol^{-1}$.

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A \cdot e^{-E_a / RT}$ છે.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$\log k = \log A - \frac{E_a}{2.303 RT}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો $A = 1.6 \times 10^{13} \ s^{-1}$ અને $\frac{E_a}{2.303 RT} = 21$ છે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\log k = \log(1.6 \times 10^{13}) - 21$.
$\log k = \log(1.6) + \log(10^{13}) - 21$.
$\log k = 0.204 + 13 - 21$.
$\log k = 13.204 - 21 = -7.796$.
$k = \text{antilog}(-7.796) = \text{antilog}(-8 + 0.204) = 1.6 \times 10^{-8} \ s^{-1}$.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a / RT}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln k = -\frac{E_a}{RT} + \ln A$
આને $10$ ના આધારવાળા લઘુગણકમાં ફેરવવા માટે,આપણે $2.303$ વડે ભાગીએ છીએ:
$\log_{10} k = -\frac{E_a}{2.303 R} \cdot \frac{1}{T} + \log_{10} A$
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \log_{10} k$ અને $x = 1/T$,ઢાળ $m$ નું મૂલ્ય $-\frac{E_a}{2.303 R}$ મળે છે.

(A) Arrhenius સમીકરણ આ મુજબ છે: $k = A e^{-E_a / RT}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln k = -\frac{E_a}{RT} + \ln A$.
આને $10$ ના આધારવાળા લઘુગણકમાં ફેરવતા: $\log_{10} k = -\frac{E_a}{2.303 R} \left(\frac{1}{T}\right) + \log_{10} A$.
આ સમીકરણને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \log_{10} k$,$x = \frac{1}{T}$,$m = -\frac{E_a}{2.303 R}$,અને આંતરછેદ $c = \log_{10} A$ મળે છે.
તેથી,$y$-અક્ષ પરના આંતરછેદનું મૂલ્ય $\log_{10} A$ છે.

(B) સંઘાતવાદ મુજબ,પ્રક્રિયક અણુઓ વચ્ચેનો દરેક સંઘાત રાસાયણિક પ્રક્રિયામાં પરિણમતો નથી. માત્ર તે જ સંઘાતો જે થ્રેશોલ્ડ ઉર્જા કરતા વધુ ઉર્જા ધરાવે છે અને યોગ્ય દિગ્વિન્યાસ ધરાવે છે તે જ નીપજ આપે છે.
વાયુમય પ્રક્રિયાઓ માટે,ગણતરી કરેલ સંઘાતોની સંખ્યા અવલોકિત પ્રક્રિયા વેગ કરતા ઘણી વધારે હોય છે.
તેથી,એવું માની શકાય કે પ્રક્રિયાનો વેગ એ સંઘાત દર જેટલો હોય છે,તે સિદ્ધાંતના વિકાસ માટેનું સાચું પૂર્વધારણા છે,જે સ્ટેરિક ફેક્ટર અને સક્રિયકરણ ઉર્જાને ધ્યાનમાં લેતા પહેલાની સ્થિતિ છે.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,વેગ અચળાંક $K = A e^{-E_a / RT}$ છે.
જ્યારે અચળ તાપમાને $T$ સક્રિયકરણ ઊર્જા $E_a$ ઘટે છે,ત્યારે પદ $E_a / RT$ ઘટે છે.
પરિણામે,ઘાતાંક $-E_a / RT$ વધે છે (ઓછો ઋણ બને છે).
ઘાતાંકીય વિધેય $e^x$ વધતું વિધેય હોવાથી,$e^{-E_a / RT}$ વધે છે,જેનાથી વેગ અચળાંક $K$ માં વધારો થાય છે.
તેથી,પદ $E_a / RT$ ઘટે છે.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ આ મુજબ છે: $\log \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{2.303 \ R} \left[ \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right]$.
અહીં સક્રિયકરણ ઉર્જા $E_a = 0$ આપેલ છે.
સમીકરણમાં $E_a = 0$ મૂકતા:
$\log \frac{k_2}{k_1} = \frac{0}{2.303 \ R} \left[ \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right] = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{k_2}{k_1} = 10^0 = 1$,તેથી $k_2 = k_1$.
આપેલ છે કે $k_1 = 1.6 \times 10^{-6} \ s^{-1}$ જે $280 \ K$ તાપમાને છે,તેથી $300 \ K$ તાપમાને પણ વેગ અચળાંક $1.6 \times 10^{-6} \ s^{-1}$ જ રહેશે.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a / (RT)}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$.
તેને $10$ ના આધારવાળા લઘુગણકમાં ફેરવતા: $\log_{10} k = \log_{10} A - \frac{E_a}{2.303 R} \times \frac{1}{T}$.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \log_{10} k$ અને $x = \frac{1}{T}$ છે.
તેથી,ઢાળ $m = -\frac{E_a}{2.303 R}$ થાય.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ નીચે મુજબ છે: $K = A \cdot e^{-E_{a} / (RT)}$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $K = \frac{A}{e^{E_{a} / (RT)}}$.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચું નિરૂપણ $K = \frac{A}{e^{E_{a} / (RT)}}$ છે.

(C) સંઘાતવાદ મુજબ,પ્રક્રિયા થવા માટે અણુઓ પાસે પૂરતી ગતિજ ઊર્જા (સક્રિયકરણ ઊર્જા) અને યોગ્ય દિશાવિન્યાસ (steric factor) હોવો જરૂરી છે. વિકલ્પ $C$ ખોટો છે કારણ કે અસરકારક બનવા માટે સંઘાત ચોક્કસ અને અનુકૂળ દિશાવિન્યાસ સાથે થવો જોઈએ; તે કોઈપણ દિશામાંથી હોઈ શકે નહીં.

(B) $x_2 + y_2 \rightarrow 2xy + 20 \text{ kJ}$ પ્રક્રિયા માટે,એન્થાલ્પી ફેરફાર $\Delta H = -20 \text{ kJ}$ (ઉષ્માક્ષેપક) છે.
પુરોગામી પ્રક્રિયા માટે સક્રિયકરણ ઊર્જા $E_{a,f} = 15 \text{ kJ}$ છે.
પ્રતિગામી પ્રક્રિયા માટે સક્રિયકરણ ઊર્જા $E_{a,b}$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$\Delta H = E_{a,f} - E_{a,b}$
$-20 \text{ kJ} = 15 \text{ kJ} - E_{a,b}$
$E_{a,b} = 15 \text{ kJ} + 20 \text{ kJ} = 35 \text{ kJ}$.

(B) Arrhenius સમીકરણ $k = A e^{-E_a / RT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ $10$ ના આધાર પર લઘુગણક લેતા,આપણને $\log k = \log A - \frac{E_a}{2.303 RT}$ મળે છે.
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \log k$ અને $x = \frac{1}{T}$ છે,ઢાળ $m = \frac{- E_a}{2.303 R}$ થાય છે.

(A) તાપમાનમાં દર $10 \ K$ ના વધારા સાથે પ્રક્રિયાનો દર બમણો થાય છે.
તાપમાનમાં કુલ વધારો $\Delta T = 353 \ K - 303 \ K = 50 \ K$ છે.
$10 \ K$ ના અંતરાલોની સંખ્યા $n = \frac{50 \ K}{10 \ K} = 5$ છે.
પ્રક્રિયાનો દર $2^n$ ના ગુણાંકમાં વધે છે.
તેથી,દરમાં વધારો $2^5 = 32$ થશે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) બે અલગ અલગ તાપમાન માટે આર્હેનિયસ સમીકરણ: $\log_{10} \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{2.303R} \left[ \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right]$ છે.
અહીં પ્રક્રિયાનો વેગ બમણો થાય છે,તેથી $k_2 = 2k_1$ એટલે કે $\frac{k_2}{k_1} = 2$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\log_{10} 2 = \frac{E_a}{2.303R} \left[ \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right]$ મળે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચું સમીકરણ છે.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,$\ln K = \ln A - \frac{E_{a}}{RT}$.
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \ln K$,$x = \frac{1}{T}$,અને $m$ એ ઢાળ છે.
ઢાળ $m = -\frac{E_{a}}{R}$.
આપેલ છે કે $E_{a} = 33.256 \ J \ mol^{-1}$ અને વાયુ અચળાંક $R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
ઢાળ $m = -\frac{33.256}{8.314} = -4$.

(C) ઉદ્દીપક સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)$ ઘટાડીને પ્રક્રિયા માટે વૈકલ્પિક માર્ગ પૂરો પાડે છે.
તે પુરોગામી અને પ્રતિગામી બંને પ્રક્રિયાઓના વેગમાં સમાન રીતે વધારો કરે છે.
જોકે,તે પ્રક્રિયાના ઉષ્માગતિશાસ્ત્રીય ગુણધર્મો જેવા કે એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$ ને અસર કરતું નથી.
તેથી,પ્રક્રિયા દરમિયાન મુક્ત થતી અથવા શોષાતી ઉષ્મા અપરિવર્તિત રહે છે.

(A) ઉદ્દીપક પ્રક્રિયા માટે ઓછી સક્રિયકરણ ઉર્જા ધરાવતો વૈકલ્પિક માર્ગ પૂરો પાડે છે.
તે પ્રક્રિયાની ગિબ્સ ઉર્જા $( \Delta G )$ માં ફેરફાર કરતું નથી,કે તે સંતુલન અચળાંક $( K_{eq} )$ માં પણ ફેરફાર કરતું નથી.
તે માત્ર સક્રિયકરણ ઉર્જાના અવરોધને ઘટાડીને સંતુલન પ્રાપ્ત કરવાની ઝડપ વધારે છે.
તેથી,તે ગિબ્સ ઉર્જામાં ફેરફાર કરતું નથી તે વિધાન સાચું છે.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ $K = A e^{-E_a / RT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln K = \ln A - \frac{E_a}{RT}$ મળે છે.
આને સુરેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \ln K$,$x = \frac{1}{T}$,$m$ એ ઢાળ છે અને $c$ એ આંતરછેદ છે.
અહીં,ઢાળ $m = -\frac{E_a}{R}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) પ્રક્રિયા માટે સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)$ એ સંક્રાંતિ અવસ્થાની ઉર્જા $(E_{TS})$ અને પ્રક્રિયકોની ઉર્જા $(E_R)$ વચ્ચેનો તફાવત છે.
$E_a = E_{TS} - E_R$
આપેલ છે:
$E_{TS} = 170 \ kJ$
$E_R = 50 \ kJ$
તેથી,$E_a = 170 \ kJ - 50 \ kJ = 120 \ kJ$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a / RT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે છે:
$\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$
આ સમીકરણ સીધી રેખા $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં:
$y = \ln k$
$x = \frac{1}{T}$
$m = -\frac{E_a}{R}$ (ઢાળ)
$c = \ln A$ (અંતઃખંડ)
ઢાળ ઋણ $(-\frac{E_a}{R})$ હોવાથી,$\ln k$ વિરુદ્ધ $\frac{1}{T}$ નો આલેખ ઋણ ઢાળ અને $y$-અક્ષ પર ધન અંતઃખંડ ધરાવતી સીધી રેખા છે.
આ વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,$K = A e^{-E_a / RT}$.
બંને બાજુ $10$ ના આધાર પર લઘુગણક લેતા,આપણને $\log_{10} K = \log_{10} A - \frac{E_a}{2.303 RT}$ મળે છે.
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \log_{10} K$ અને $x = \frac{1}{T}$ છે,તેથી ઢાળ $m = -\frac{E_a}{2.303 R}$ થાય છે.

(D) તાપમાન ગુણાંક માટેનું સૂત્ર $\frac{K_{T_{2}}}{K_{T_{1}}} = \mu^{\frac{\Delta T}{10}}$ છે.
અહીં, $\mu = 2$, $T_{1} = 30^{\circ}C$, અને $T_{2} = 90^{\circ}C$ છે.
$\Delta T = T_{2} - T_{1} = 90 - 30 = 60^{\circ}C$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{K_{T_{2}}}{K_{T_{1}}} = 2^{\frac{60}{10}} = 2^{6}$.
$2^{6} = 64$.
તેથી, પ્રક્રિયાનો દર $64$ ગણો વધે છે.

(D) અથડામણ અસરકારક બને તે માટે,અથડાતા અણુઓ પાસે $Threshold \text{ energy}$ તરીકે ઓળખાતી ચોક્કસ મૂલ્ય કરતાં વધુ ઉર્જા હોવી જોઈએ. ઓરડાના તાપમાને મોટાભાગના પ્રક્રિયક અણુઓ પાસે આ મૂલ્ય કરતાં ઓછી ઉર્જા હોય છે. જ્યારે તાપમાન વધારવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રક્રિયક અણુઓની ગતિજ ઉર્જા વધે છે,જેના પરિણામે $Threshold \text{ energy}$ જેટલી અથવા તેનાથી વધુ ઉર્જા ધરાવતા અણુઓનું પ્રમાણ વધે છે. પરિણામે,એકમ સમયમાં અસરકારક અથડામણોની સંખ્યા વધે છે,જે પ્રક્રિયાના વેગમાં વધારો કરે છે.

(B) તાપમાન ગુણાંક $(n)$ ને $10^{\circ} C$ ના તફાવત ધરાવતા તાપમાને વેગ અચળાંકોના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$n = \frac{k_{T+10}}{k_T} = 2$.
આનો અર્થ એ છે કે તાપમાનમાં દરેક $10^{\circ} C$ ના વધારા સાથે,પ્રક્રિયાનો વેગ બમણો થાય છે।
તાપમાનમાં કુલ વધારો $\Delta T = 90^{\circ} C - 30^{\circ} C = 60^{\circ} C$ છે।
$10^{\circ} C$ ના અંતરાલોની સંખ્યા $x = \frac{60}{10} = 6$ છે।
પ્રક્રિયાનો વેગ $n^x = 2^6$ ના ગુણાંકમાં વધે છે।
$2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$.
તેથી,પ્રક્રિયાનો વેગ $64$ ગણો વધે છે।

(B) ધન ઉદ્દીપક પ્રક્રિયાનો દર વધારવા માટે સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a)$ ઘટાડે છે.
સક્રિયકરણ ઊર્જા ઘટાડીને,પ્રક્રિયક અણુઓનો મોટો અંશ ઊર્જા અવરોધને પાર કરવા માટે પૂરતી ઊર્જા ધરાવે છે,જેનાથી રાસાયણિક પ્રક્રિયાનો દર વધે છે.

(A) આપેલ પોટેન્શિયલ એનર્જી આલેખ પરથી,પુરોગામી પ્રક્રિયા માટે સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)_f = 215 \ kJ$ છે અને પ્રક્રિયા માટે એન્થાલ્પી ફેરફાર $\Delta H = 90 \ kJ$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે: $\Delta H = (E_a)_f - (E_a)_b$,જ્યાં $(E_a)_b$ એ પ્રતિગામી પ્રક્રિયા માટેની સક્રિયકરણ ઉર્જા છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $90 \ kJ = 215 \ kJ - (E_a)_b$.
$(E_a)_b$ માટે ગણતરી કરતા: $(E_a)_b = 215 \ kJ - 90 \ kJ = 125 \ kJ$.

(A) પ્રક્રિયાનો એન્થાલ્પી ફેરફાર એ પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)_f$ અને પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)_b$ વચ્ચેના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta H = (E_a)_f - (E_a)_b$.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક $(E_a)_f = 50 \ kJ \ mol^{-1}$ છે અને ઉદ્દીપક તેને $10 \ kJ \ mol^{-1}$ જેટલું ઘટાડે છે,તેથી નવી પુરોગામી સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)_f = 50 - 10 = 40 \ kJ \ mol^{-1}$ થાય છે.
એન્થાલ્પી ફેરફાર $\Delta H$ એ $-20 \ kJ \ mol^{-1}$ પર અચળ રહે છે કારણ કે ઉદ્દીપક પ્રક્રિયકો અથવા નીપજોની ઉર્જા બદલતું નથી.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $-20 = 40 - (E_a)_b$.
$(E_a)_b$ માટે ઉકેલતા: $(E_a)_b = 40 + 20 = 60 \ kJ \ mol^{-1}$.

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{\frac{-E_a}{RT}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$ મળે છે.
$10$ ના આધારવાળા લઘુગણકમાં ફેરવતા,આપણને $\log k = \log A - \frac{E_a}{2.303 RT}$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $(D)$ એટલે કે $k = A e^{\frac{E_a}{RT}}$ ખોટું છે કારણ કે ઘાતાંક ઋણ હોવો જોઈએ.

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a / (RT)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનંત ઊંચા તાપમાને,એટલે કે $T \to \infty$,પદ $\frac{E_a}{RT} \to 0$ થાય છે.
તેથી,સમીકરણ $k = A e^0 = A \times 1 = A$ બને છે.
આર્હેનિયસ અવયવ $A$ એ તાપમાનથી સ્વતંત્ર અચળાંક હોવાથી,તેનું મૂલ્ય $T \to \infty$ પર વેગ અચળાંક $k$ જેટલું જ રહે છે.
આપેલ છે કે $300 \ K$ તાપમાને $k = 6.0 \times 10^5 \ s^{-1}$ છે,અને $A$ તાપમાનથી સ્વતંત્ર હોવાથી,$A$ નું મૂલ્ય $6.0 \times 10^5 \ s^{-1}$ થશે.

(C) આપેલ છે કે $k_1 = 10^{16} \times e^{-2000/T}$ અને $k_2 = 10^{15} \times e^{-1000/T}$.
$k_1 = k_2$ માટે:
$10^{16} \times e^{-2000/T} = 10^{15} \times e^{-1000/T}$
$10 \times e^{-2000/T} = e^{-1000/T}$
$10 = \frac{e^{-1000/T}}{e^{-2000/T}}$
$10 = e^{1000/T}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln(10) = \frac{1000}{T}$
$2.303 \times \log_{10}(10) = \frac{1000}{T}$
$2.303 = \frac{1000}{T}$
$T = \frac{1000}{2.303} \text{ K}$

(C) વેગ અચળાંક $k$ એ આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = P Z e^{-E_{a} / R T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રક્રિયાને ઝડપી બનાવવા માટે,વેગ અચળાંક $k$ વધારવો જરૂરી છે.
આ સમીકરણ મુજબ,$k$ એ ઘાતાંકીય પદ $e^{E_{a} / R T}$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
જો સક્રિયકરણ ઉર્જા $E_{a}$ ઘટાડવામાં આવે,તો ઘાતાંક $E_{a} / R T$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.
પરિણામે,$e^{E_{a} / R T}$ નું મૂલ્ય ઘટે છે,જેનાથી $k$ નું મૂલ્ય વધે છે.
તેથી,$E_{a}$ ઘટાડવાથી પ્રક્રિયાનો વેગ વધે છે.

(B)
આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,ઉદ્દીપક ઓછી સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)$ સાથેનો વૈકલ્પિક પ્રતિક્રિયા માર્ગ પૂરો પાડે છે.
તેથી,ઉદ્દીપકની હાજરી $E_a$ ના મૂલ્યમાં ફેરફાર કરે છે.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,$\ln \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right)$.
બે અલગ-અલગ તાપમાન $T_1$ અને $T_2$ પર વેગ અચળાંકો $k_1$ અને $k_2$ માપીને,સક્રિયકરણ ઉર્જા $E_a$ ની ગણતરી કરી શકાય છે.

(C) દર અચળાંક $k$ એ પ્રક્રિયા માટે લાગતા સમય $t$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(k \propto 1/t)$.
અહીં $t_1 = 5 \ h$ તાપમાન $T_1 = 300 \ K$ પર અને $t_2 = 50 \ h$ તાપમાન $T_2 = 270 \ K$ પર છે.
તેથી,$k_1/k_2 = t_2/t_1 = 50/5 = 10$,જેનો અર્થ છે કે $k_2/k_1 = 1/10$.
આરેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log(k_2/k_1) = \frac{E_a}{2.303 R} \left[ \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right]$.
કિંમતો મૂકતા: $\log(1/10) = \frac{E_a}{2.303 R} \left[ \frac{270 - 300}{270 \times 300} \right]$.
$-1 = \frac{E_a}{2.303 R} \left[ \frac{-30}{81000} \right]$.
$-1 = \frac{E_a}{2.303 R} \left[ \frac{-1}{2700} \right]$.
$E_a = 2.303 \times 2700 \times R \ J \cdot mol^{-1} = 2.303 \times 2.7 \times R \ kJ \cdot mol^{-1}$.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_{a} / RT}$ છે.
વેગ અચળાંક $k$ અને આર્હેનિયસ અવયવ $A$ નો ગુણોત્તર લેતા,$k/A = e^{-E_{a} / RT}$ મળે છે.
આપેલ સક્રિયકરણ ઊર્જા $E_{a} = 2.303 \ RT \ J \ mol^{-1}$ છે.
સમીકરણમાં $E_{a}$ ની કિંમત મૂકતા: $k/A = e^{-(2.303 \ RT) / RT} = e^{-2.303}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(k/A) = -2.303$.
કારણ કે $\ln(x) = 2.303 \log_{10}(x)$,તેથી $2.303 \log_{10}(k/A) = -2.303$.
$2.303$ વડે ભાગતા,$\log_{10}(k/A) = -1$ મળે છે.
તેથી,$k/A = 10^{-1} = 0.1$.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A \ e^{-E_{a} / RT}$ છે.
આપેલ છે કે $E_{a} = 2.303 \ RT \ J \ mol^{-1}$.
સમીકરણમાં $E_{a}$ ની કિંમત મૂકતા:
$k = A \ e^{-(2.303 \ RT) / RT}$
$k = A \ e^{-2.303}$
કારણ કે $e^{-2.303} = 10^{-1}$,તેથી:
$k = A \times 10^{-1}$
આમ,વેગ અચળાંક અને આર્હેનિયસ અવયવનો ગુણોત્તર $\frac{k}{A} = 10^{-1}$ થાય.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,$k = A e^{\frac{-E_{a}}{RT}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln k = \ln A - \frac{E_{a}}{R} \times \frac{1}{T}$ મળે છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે જેમ તાપમાન $(T)$ વધે છે,તેમ $\frac{E_{a}}{RT}$ પદ ઘટે છે,જેના કારણે વેગ અચળાંક $(k)$ ઘાતાંકીય રીતે વધે છે.
તે જ રીતે,જો સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_{a})$ ઘટે,તો $\frac{E_{a}}{RT}$ પદ ઘટે છે,જે વેગ અચળાંક $(k)$ માં વધારો કરે છે.
તેથી,આર્હેનિયસ સમીકરણના આધારે વિધાન $A$ અને $B$ બંને તકનીકી રીતે સાચા છે.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ $ k = A e^{-\frac{E_{a}}{RT}} $ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$ \ln k = \ln A - \frac{E_{a}}{R} \times \frac{1}{T} $ મળે છે.
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $ y = mx + c $ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $ y = \ln k $,$ x = \frac{1}{T} $,અને ઢાળ $ m = -\frac{E_{a}}{R} $ છે.
આપેલ ઢાળ $ m = -1 \times 10^{4} \ K $ છે.
તેથી,$ -\frac{E_{a}}{R} = -1 \times 10^{4} \ K $.
$ E_{a} = 1 \times 10^{4} \times 8.314 \ J \ mol^{-1} $.
$ E_{a} = 83140 \ J \ mol^{-1} = 83.14 \ kJ \ mol^{-1} $.

(A) સુક્રોઝનું જળવિભાજન એ એક પ્રક્રિયા છે જે એસિડ અથવા ઉત્સેચક (સુક્રેઝ) દ્વારા ઉદ્દીપિત થઈ શકે છે.
ઉત્સેચકો એ જૈવિક ઉદ્દીપકો છે જે અકાર્બનિક ઉદ્દીપકો અથવા એસિડ-ઉદ્દીપિત પ્રક્રિયાઓની તુલનામાં પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઉર્જાને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડે છે.
સુક્રોઝના જળવિભાજન માટે,એસિડ ઉદ્દીપન સાથેની સક્રિયકરણ ઉર્જા આશરે $6.22 \ kJ \ mol^{-1}$ છે,જ્યારે ઉત્સેચક સુક્રેઝ સાથેની સક્રિયકરણ ઉર્જા નોંધપાત્ર રીતે ઓછી,આશરે $2.15 \ kJ \ mol^{-1}$ છે.
તેથી,$X = 6.22$ અને $Y = 2.15$.

(A) આરેનિયસ સમીકરણ મુજબ: $k = A e^{-E_a / RT}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$.
પદોને ગોઠવતા: $\ln \left(\frac{k}{A}\right) = -\frac{E_a}{RT}$.
પ્રાકૃતિક લઘુગણકને $10$ ના આધારમાં ફેરવતા: $2.303 \log \left(\frac{k}{A}\right) = -\frac{E_a}{RT}$.
$2.303$ વડે ભાગતા: $\log \left(\frac{k}{A}\right) = -\frac{E_a}{2.303 RT}$.
આપેલ સમીકરણ: $\log \left(\frac{k}{A}\right) = -\frac{x}{T}$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા: $\frac{E_a}{2.303 R} = x$.
તેથી,સક્રિયકરણ ઊર્જા: $E_a = 2.303 x R$.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a / RT}$ છે.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$.
પુનઃગોઠવણી કરતા $\ln \frac{k}{A} = -\frac{E_a}{RT}$ મળે છે.
આધાર $10$ માં રૂપાંતર કરતા: $\log_{10} \frac{k}{A} = -\frac{E_a}{2.303 RT}$.
આપેલ છે $\log_{10} \frac{k}{A} = 0.00174$,$T = 300 \ K$,અને $R = 8.314 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $0.00174 = -\frac{E_a}{2.303 \times 8.314 \times 300}$.
નોંધ: આપેલ સમીકરણ $\log_{10} \frac{k}{A} = 0.00174$ ધન મૂલ્ય સૂચવે છે,જે સક્રિયકરણ ઊર્જા $E_a > 0$ માટે આર્હેનિયસ સમીકરણ સાથે ભૌતિક રીતે અસંગત છે. મૂલ્ય ધ્યાનમાં લેતા: $E_a = |0.00174 \times 2.303 \times 8.314 \times 300| \approx 10 \ J \ mol^{-1}$.

(B) આપેલ સ્થિતિ ઊર્જા આલેખ પરથી:
$1$. પ્રક્રિયક $(A)$ ની ઊર્જા $E_{A} = 10 \ kJ \ mol^{-1}$ છે.
$2$. નીપજ $(P)$ ની ઊર્જા $E_{P} = 5 \ kJ \ mol^{-1}$ છે.
$3$. થ્રેશોલ્ડ ઊર્જા (વક્રની ટોચ) $E_{threshold} = 25 \ kJ \ mol^{-1}$ છે.
$4$. સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{a})$ ની ગણતરી $E_{threshold} - E_{A} = 25 - 10 = 15 \ kJ \ mol^{-1}$ તરીકે થાય છે.
$5$. પ્રક્રિયાની ઉષ્મા $(\Delta H)$ ની ગણતરી $E_{P} - E_{A} = 5 - 10 = -5 \ kJ \ mol^{-1}$ તરીકે થાય છે.
$6$. પ્રક્રિયાની ઉષ્માનું મૂલ્ય $|\Delta H| = |-5| = 5 \ kJ \ mol^{-1}$ છે.
તેથી,સક્રિયકરણ ઊર્જા $15 \ kJ \ mol^{-1}$ અને પ્રક્રિયાની ઉષ્મા $5 \ kJ \ mol^{-1}$ છે.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,$\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \ln k$ અને $x = 1 / T$,ઢાળ $m = -\frac{E_a}{R}$ મળે છે.
આપેલ છે,ઢાળ $= -2 \times 10^4 \ K$ અને $R = 8.3 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
તેથી,$-\frac{E_a}{R} = -2 \times 10^4 \ K$.
$E_a = 2 \times 10^4 \ K \times 8.3 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1} = 166000 \ J \ mol^{-1}$.
$kJ \ mol^{-1}$ માં ફેરવતા,$E_a = \frac{166000}{1000} = 166 \ kJ \ mol^{-1}$.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\ln \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{R} [\frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2}]$
આપેલ છે: $k_1 = 0.02 \ s^{-1}$,$k_2 = 0.2 \ s^{-1}$,$T_1 = 500 \ K$,$T_2 = 700 \ K$,$R = 8.3 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$
$\ln \frac{0.2}{0.02} = \frac{E_a}{8.3} [\frac{700 - 500}{500 \times 700}]$
$\ln 10 = \frac{E_a}{8.3} [\frac{200}{350000}]$
$2.303 = \frac{E_a}{8.3} \times \frac{2}{3500}$
$E_a = \frac{2.303 \times 8.3 \times 3500}{2} \approx 33450 \ J \ mol^{-1} = 33.45 \ kJ \ mol^{-1}$

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ: $k = A e^{-E_a/RT}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક $(\ln)$ લેતા: $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$.
સક્રિયકરણ ઊર્જાના પદને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા: $\frac{E_a}{RT} = \ln A - \ln k$.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{2.303 R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right)$
આપેલ છે: $k_2 = 2k_1$,$T_1 = 300 \ K$,$T_2 = 310 \ K$,$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
$\log 2 = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left( \frac{310 - 300}{300 \times 310} \right)$
$0.301 = \frac{E_a}{19.147} \left( \frac{10}{93000} \right)$
$E_a = \frac{0.301 \times 19.147 \times 93000}{10} \approx 53598 \ J \ mol^{-1} \approx 53.6 \ kJ \ mol^{-1}$.

(C) એકંદર વેગ અચળાંક $k = \frac{k_1 k_2 k_3}{k_2 k_5} = \frac{k_1 k_3}{k_5}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,એકંદર સક્રિયકરણ ઉર્જા $E_a$ એ અંશમાં રહેલા તબક્કાઓની સક્રિયકરણ ઉર્જાના સરવાળામાંથી છેદમાં રહેલા તબક્કાઓની સક્રિયકરણ ઉર્જાનો સરવાળો બાદ કરવાથી મળે છે.
$E_a = (E_1 + E_3) - E_5$.
આપેલ છે કે $E_1 = 1E = 20 \ kJ/mol$,$E_3 = 3E = 60 \ kJ/mol$,અને $E_5 = 5E = 100 \ kJ/mol$.
$E_a = (20 + 60) - 100 = 80 - 100 = -20 \ kJ/mol$.
જો કે,પ્રશ્નમાં આપેલ જવાબ $20 \ kJ/mol$ છે.