Mix Examples-Units, Dimensions and Measurement Questions in Gujarati

$(A)$ પરિમાણો નીચે મુજબ મેળવી શકાય છે:
$(A)$ એન્ટ્રોપી $(S)$: $S = \frac{\Delta Q}{T}$. તેનો એકમ $J/K$ છે, જે બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $(k_B)$ ના એકમ સમાન છે। તેથી, $(A) \rightarrow (II)$.
$(B)$ યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$: $Y = \frac{\text{સ્ટ્રેસ}}{\text{સ્ટ્રેન}} = \frac{\text{બળ}}{\text{ક્ષેત્રફળ}}$. તેનો એકમ $N/m^2$ અથવા $J/m^3$ છે, જે ઉર્જા ઘનતા $(U/V)$ ના એકમ સમાન છે। તેથી, $(B) \rightarrow (III)$.
$(C)$ કોણીય વેગમાન $(L)$: $L = mvr$. તેનો એકમ $kg \cdot m^2/s$ છે, જે પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$ ના એકમ સમાન છે। તેથી, $(C) \rightarrow (IV)$.
$(D)$ ક્ષય અચળાંક $(\lambda)$: $\lambda = \frac{1}{\text{સમય}}$. તેનો એકમ $s^{-1}$ છે, જે કોણીય વેગ $(\omega)$ ના એકમ સમાન છે। તેથી, $(D) \rightarrow (I)$.
આમ, સાચી જોડ $(A-II, B-III, C-IV, D-I)$ છે.

(C) પ્રકૃતિમાં ચાર મૂળભૂત બળો છે: ગુરુત્વાકર્ષણ,નબળું ન્યુક્લિયર,વિદ્યુતચુંબકીય અને પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ.
તેમની સાપેક્ષ શક્તિઓનો ક્રમ છે: $Strong \ Nuclear > Electromagnetic > Weak \ Nuclear > Gravitational$.
$1.$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સૌથી નબળું બળ છે,જ્યારે પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ સૌથી શક્તિશાળી છે.
$2.$ ગુરુત્વાકર્ષણ અને વિદ્યુતચુંબકીય બળની રેન્જ અનંત છે,જ્યારે નબળા ન્યુક્લિયર બળની રેન્જ અત્યંત નાની $(10^{-16} \ m)$ છે અને પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળની રેન્જ પણ ખૂબ નાની $(10^{-15} \ m)$ છે.
$3.$ રેન્જની સરખામણી કરતા,નબળા ન્યુક્લિયર બળની રેન્જ $(10^{-16} \ m)$ એ પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળની રેન્જ $(10^{-15} \ m)$ કરતા નાની છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) આપણને રાશિ $\frac{p}{\varepsilon_0 \mu_0}$ આપેલી છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $c^2 = \frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0}$ મળે છે.
આ કિંમતને પદમાં મૂકતા,રાશિ $p \cdot c^2$ બને છે.
દબાણ $p$ ના પરિમાણો $\frac{\text{Force}}{\text{Area}} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ છે.
પ્રકાશની ઝડપ $c$ ના પરિમાણો $[LT^{-1}]$ છે,તેથી $c^2$ ના પરિમાણો $[L^2T^{-2}]$ છે.
તેથી,રાશિના પરિમાણો $[ML^{-1}T^{-2}] \cdot [L^2T^{-2}] = [MLT^{-4}]$ થશે.

(D) $(1)$ પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$: $E = h\nu \implies [h] = [E]/[\nu] = [ML^2 T^{-2}] / [T^{-1}] = [ML^2 T^{-1}]$. જે (iii) સાથે મેળ ખાય છે.
$(2)$ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $(G)$: $F = G(m_1 m_2)/r^2 \implies [G] = [F r^2] / [M^2] = [MLT^{-2}][L^2] / [M^2] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$. જે (iv) સાથે મેળ ખાય છે.
$(3)$ બલ્ક મોડ્યુલસ $(B)$: $B = \text{સ્ટ્રેસ} / \text{સ્ટ્રેન} = [ML^{-1} T^{-2}] / [M^0 L^0 T^0] = [ML^{-1} T^{-2}]$. જે $(i)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(4)$ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $(\eta)$: $F = \eta A (dv/dx) \implies [\eta] = [F] / ([A][dv/dx]) = [MLT^{-2}] / ([L^2][LT^{-1}/L]) = [MLT^{-2}] / [L^2 T^{-1}] = [ML^{-1} T^{-1}]$. જે (ii) સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચી જોડી $(1)$-(iii),$(2)$-(iv),$(3)$-$(i)$,$(4)$-(ii) છે. તેથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(D) પરિમાણો નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$1$. $Pa \cdot s$ (શ્યાનતા ગુણાંક) માટે:
$[Pa \cdot s] = [ML^{-1} T^{-2}] \cdot [T] = [ML^{-1} T^{-1}]$. જે $(iii)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$2$. $N \cdot m \cdot K^{-1}$ (ટોર્ક/કેલ્વિન દીઠ ઉર્જા) માટે:
$[N \cdot m \cdot K^{-1}] = [MLT^{-2}] \cdot [L] \cdot [K]^{-1} = [ML^2 T^{-2} K^{-1}]$. જે $(iv)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$3$. $J \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}$ (વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા) માટે:
$[J \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}] = [ML^2 T^{-2}] \cdot [M]^{-1} \cdot [K]^{-1} = [L^2 T^{-2} K^{-1}]$. જે $(i)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$4$. $W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}$ (ઉષ્મીય વાહકતા) માટે:
$[W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}] = [ML^2 T^{-3}] \cdot [L]^{-1} \cdot [K]^{-1} = [MLT^{-3} K^{-1}]$. જે $(ii)$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચી જોડી $A-(iii), B-(iv), C-(i), D-(ii)$ છે,જે વિકલ્પ $(d)$ ને અનુરૂપ છે.

(A) ભૌતિકશાસ્ત્રને મુખ્યત્વે બે ભાગમાં વહેંચવામાં આવે છે: મેક્રોસ્કોપિક અને માઇક્રોસ્કોપિક.
$1$. મેક્રોસ્કોપિક ડોમેનમાં પ્રયોગશાળા,પૃથ્વી અને ખગોળીય સ્તરની ઘટનાઓનો સમાવેશ થાય છે.
$2$. માઇક્રોસ્કોપિક ડોમેન પરમાણુઓ અને ન્યુક્લિયસના સૂક્ષ્મ સ્તરે દ્રવ્યના બંધારણ અને રચના સાથે,તેમજ ઇલેક્ટ્રોન,ફોટોન અને અન્ય પ્રાથમિક કણો સાથેની તેમની આંતરક્રિયા સાથે સંબંધિત છે.
તેથી,સાચો જવાબ માઇક્રોસ્કોપિક ડોમેન છે.

(B) રિડક્શનિઝમ એ એક વૈજ્ઞાનિક અભિગમ છે જે જટિલ સિસ્ટમને તેના મૂળભૂત,સરળ ઘટકોમાં વિભાજિત કરીને અને તેમની વચ્ચેની આંતરક્રિયાઓને સમજીને સમજાવવાનો પ્રયાસ કરે છે. આ ઘટક ભાગોનો અભ્યાસ કરીને,કોઈ પણ મોટી સિસ્ટમના મેક્રોસ્કોપિક ગુણધર્મો મેળવી શકે છે.

(A) ભૌતિક નિયમો સંરક્ષણના સિદ્ધાંતો પર આધારિત છે. સંરક્ષિત રાશિઓ અદિશ (જેમ કે ઉર્જા,દળ અથવા વિદ્યુતભાર) અથવા સદિશ (જેમ કે રેખીય વેગમાન અથવા કોણીય વેગમાન) હોઈ શકે છે. તેથી,એવું વિધાન કે બધી જ સંરક્ષિત રાશિઓ અનિવાર્યપણે અદિશ હોય છે,તે ખોટું છે.

(B) પ્રકૃતિમાં મૂળભૂત બળોની સાપેક્ષ પ્રબળતા નીચે મુજબ છે:
$1$. સ્ટ્રોંગ ન્યુક્લિયર બળ: $1$
$2$. વિદ્યુતચુંબકીય બળ: $10^{-2}$
$3$. નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ: $10^{-13}$
$4$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ: $10^{-39}$
અહીં $F_1$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે,$F_2$ એ નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ છે અને $F_3$ એ વિદ્યુતચુંબકીય બળ છે:
$F_1 = 10^{-39}$
$F_2 = 10^{-13}$
$F_3 = 10^{-2}$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણને $10^{-39} < 10^{-13} < 10^{-2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $F_1 < F_2 < F_3$.

(D) ગુરુત્વાકર્ષણ બળની સાપેક્ષ પ્રબળતા $F_1 \approx 10^{-39}$ છે.
નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળની સાપેક્ષ પ્રબળતા $F_2 \approx 10^{-13}$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{F_2}{F_1}$ શોધવા માટે,આપણે ગણતરી કરીએ:
$\frac{F_2}{F_1} = \frac{10^{-13}}{10^{-39}} = 10^{-13 - (-39)} = 10^{26}$.
તેથી,ગુણોત્તર $10^{26}$ છે.

(C) પ્રકૃતિમાં ચાર મૂળભૂત બળોની સાપેક્ષ શક્તિ નીચે મુજબ છે:
$1$. પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ: સાપેક્ષ શક્તિ = $1$
$2$. વિદ્યુતચુંબકીય બળ: સાપેક્ષ શક્તિ = $10^{-2}$
$3$. નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ: સાપેક્ષ શક્તિ = $10^{-13}$
$4$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ: સાપેક્ષ શક્તિ = $10^{-39}$
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા:
$(A)$ પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ $(f)$ $1$ સાથે જોડાય છે.
$(B)$ નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ $(h)$ $10^{-13}$ સાથે જોડાય છે.
$(C)$ વિદ્યુતચુંબકીય બળ $(e)$ $10^{-2}$ સાથે જોડાય છે.
$(D)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(i)$ $10^{-39}$ સાથે જોડાય છે.
તેથી,સાચી જોડ $A-f, B-h, C-e, D-i$ છે.

(D) પ્રકૃતિમાં ચાર મૂળભૂત બળો છે:
$1$. પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ: આ સૌથી પ્રબળ બળ છે,જે ન્યુક્લિયોન્સ વચ્ચે ટૂંકા અંતરે કાર્ય કરે છે.
$2$. વિદ્યુતચુંબકીય બળ: આ બળ વિદ્યુતભારિત કણો વચ્ચે કાર્ય કરે છે અને તેની અવધિ અનંત છે.
$3$. નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ: આ એક ટૂંકા અંતરનું બળ છે જે અમુક પ્રકારના કિરણોત્સર્ગી ક્ષય (જેમ કે બીટા ક્ષય) માટે જવાબદાર છે.
$4$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ: આ પ્રકૃતિનું સૌથી નિર્બળ બળ છે,જે તમામ દ્રવ્યમાન ધરાવતા પદાર્થો વચ્ચે અનંત અંતરે કાર્ય કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,વિદ્યુતચુંબકીય બળ,પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ અને નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ છે.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ મેક્રોસ્કોપિક (સ્થૂળ) અને માઇક્રોસ્કોપિક (સૂક્ષ્મ) બંને ક્ષેત્રોમાં માન્ય છે. તેથી, તે માત્ર મેક્રોસ્કોપિક ક્ષેત્રમાં જ માન્ય છે તેવું વિધાન ખોટું છે.
બધી સંરક્ષિત રાશિઓ હંમેશા અદિશ હોતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, રેખીય વેગમાન અને કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ સદિશ રાશિઓ છે, જ્યારે ઉર્જાનું સંરક્ષણ અદિશ રાશિ છે.

(C) આપેલ પદ $\frac{\epsilon_0 E}{t}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\epsilon_0 E$ એ વિદ્યુત સ્થાનાંતર ક્ષેત્ર $D$ દર્શાવે છે,જેનું પરિમાણ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = \frac{q}{A}$ જેટલું જ હોય છે.
તેથી,$\epsilon_0 E$ ના પરિમાણ $[I T L^{-2}]$ છે.
તેને સમય $t$ (પરિમાણ $[T]$) વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{[I T L^{-2}]}{[T]} = [I L^{-2}]$.
અહીં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ નો એકમ $A$ (એમ્પિયર) અને લંબાઈ $L$ નો એકમ $m$ (મીટર) હોવાથી,એકમ $A / m^2$ થાય છે.

$(D)$. સ્પ્રિંગ અચળાંક $(k)$: $F = kx$ પરથી, $[k] = [F]/[x] = [MLT^{-2}]/[L] = [ML^0 T^{-2}]$. તેથી, $A-II$.
$B$. ઉષ્મીય વાહકતા $(k)$: $dQ/dt = kA(\Delta T/l)$ પરથી, $[k] = [ML^2 T^{-3}][L]/([L^2][K]) = [MLT^{-3} K^{-1}]$. તેથી, $B-IV$.
$C$. બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $(k_B)$: $E = (3/2)k_B T$ પરથી, $[k_B] = [E]/[T] = [ML^2 T^{-2}]/[K] = [ML^2 T^{-2} K^{-1}]$. તેથી, $C-I$.
$D$. ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$: $X_L = \omega L$. તેનું પરિમાણ અવરોધ $(R = V/I)$ જેવું જ છે. $[R] = [ML^2 T^{-3} A^{-2}]$. તેથી, $D-III$.
આમ, સાચી જોડ $A-II, B-IV, C-I, D-III$ છે.

(B) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{FL}{A\Delta L} = \frac{4FL}{\pi D^2 \Delta L}$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta L}{L} + 2\frac{\Delta D}{D} + \frac{\Delta(\Delta L)}{\Delta L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ મૂલ્યો: $D = 0.08 \text{ cm}, \Delta D = 0.001 \text{ cm}, L = 150 \text{ cm}, \Delta L = 0.1 \text{ cm}, \Delta L_{ext} = 0.5 \text{ cm}, \Delta(\Delta L_{ext}) = 0.001 \text{ cm}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{0.1}{150} + 2\left(\frac{0.001}{0.08}\right) + \frac{0.001}{0.5} = 0.000667 + 0.025 + 0.002 = 0.027667$.
$Y$ ની ગણતરી કરતા: $Y = \frac{4 \times 100 \times 150}{\pi \times (0.08 \times 10^{-2})^2 \times (0.5 \times 10^{-2})} \approx 5.968 \times 10^{11} \text{ N/m}^2$.
નિપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta Y = Y \times \frac{\Delta Y}{Y} = 5.968 \times 10^{11} \times 0.027667 \approx 1.65 \times 10^{10} \text{ N/m}^2$.
$\alpha \times 10^9 \text{ N/m}^2$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 16.5$ મળે છે,પરંતુ વિકલ્પો મુજબ $\alpha = 1.65$ સાચો જવાબ છે.

(A) આપેલા અચળાંકો માટેના પારિમાણિક સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$A$. બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $(k_B)$: $E = k_B T$ હોવાથી,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}K^{-1}]$ થાય છે. જે $III$ સાથે બંધ બેસે છે.
$B$. સ્ટેફન અચળાંક $(sigma)$: $I = sigma T^4$ હોવાથી,જ્યાં $I$ એ તીવ્રતા $(MT^{-3})$ છે,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[MT^{-3}K^{-4}]$ થાય છે. જે $IV$ સાથે બંધ બેસે છે.
$C$. પ્લાન્ક અચળાંક $(h)$: $E = h
u$ હોવાથી,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-1}]$ થાય છે. જે $II$ સાથે બંધ બેસે છે.
$D$. ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક $(G)$: $F = G(m_1m_2)/r^2$ હોવાથી,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{-1}L^3T^{-2}]$ થાય છે. જે $I$ સાથે બંધ બેસે છે.
તેથી,સાચી જોડ $A-III, B-IV, C-II, D-I$ છે.

(A) $1$. પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$: $E = h\nu$ પરથી,$h = E/\nu$ મળે. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}] / [T^{-1}] = ML^2T^{-1}$ $(III)$ છે.
$2$. સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$: તે એકમ વિદ્યુતભાર દીઠ ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,$V_s = E/q$. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}] / [AT] = ML^2T^{-3}A^{-1}$ $(IV)$ છે.
$3$. કાર્ય વિધેય $(Phi)$: તે ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા છે,તેથી તેનું પારિમાણિક સૂત્ર ઉર્જા જેવું જ $ML^2T^{-2}$ $(I)$ છે.
$4$. થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $(
u_0)$: તે આપાત પ્રકાશની લઘુત્તમ આવૃત્તિ છે,તેથી તેનું પારિમાણિક સૂત્ર આવૃત્તિ જેવું જ $T^{-1}$ $(II)$ છે.
તેથી,સાચી જોડ $A-III, B-IV, C-I, D-II$ છે.

(B) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપને $c$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે।
પ્રશ્ન મુજબ, લંબાઈનો એક નવો એકમ $(\alpha)$ એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યો છે કે $1 \alpha = c (\text{પ્રકાશની ઝડપ})$।
આનો અર્થ એ છે કે એકમોની આ નવી પદ્ધતિમાં, પ્રકાશની ઝડપ $1 \alpha/\text{s}$ છે।
લાગતો સમય $t = 6 \text{ min } 40 \text{ s}$ છે।
સમયને સેકન્ડમાં ફેરવતા: $t = (6 \times 60) \text{ s} + 40 \text{ s} = 360 \text{ s} + 40 \text{ s} = 400 \text{ s}$.
અંતર $d$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $d = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $d = (1 \alpha/\text{s}) \times (400 \text{ s}) = 400 \alpha$.

(D) આપેલ છે કે પ્રકાશની ઝડપ $c = 1$ એકમ છે.
લાગતો સમય $t = 6 \text{ min } 40 \text{ s}$.
સમયને સેકન્ડમાં ફેરવતા: $t = (6 \times 60) \text{ s} + 40 \text{ s} = 360 \text{ s} + 40 \text{ s} = 400 \text{ s}$.
અંતર $d$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $d = c \times t$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = 1 \times 400 = 400$ એકમ.
તેથી,સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેનું અંતર $400$ એકમ છે.