Measurement Questions in Hindi

(B) किसी भौतिक राशि का परिमाण उस वस्तु या घटना का एक आंतरिक गुण है जिसे मापा जा रहा है।
हालांकि संख्यात्मक मान $(n)$ और इकाई $(u)$ उपयोग की जाने वाली इकाई प्रणाली के आधार पर बदलते हैं,लेकिन संख्यात्मक मान और इकाई का गुणनफल स्थिर रहता है,अर्थात $n_1u_1 = n_2u_2 = \text{स्थिरांक}$।
इसलिए,भौतिक राशि का वास्तविक परिमाण चुनी गई मापन विधि या प्रणाली से स्वतंत्र होता है।

(B) सही उत्तर $B$ है।
$A$. दाब को बैरोमीटर का उपयोग करके मापा जाता है।
$B$. सापेक्ष घनत्व को हाइड्रोमीटर या पिकनोमीटर का उपयोग करके मापा जाता है,न कि पायरोमीटर से। पायरोमीटर का उपयोग उच्च तापमान को मापने के लिए किया जाता है।
$C$. तापमान को थर्मामीटर का उपयोग करके मापा जाता है।
$D$. भूकंप की तीव्रता को सीस्मोग्राफ का उपयोग करके मापा जाता है।
अतः,$\text{सापेक्ष } \text{घनत्व }- \text{पायरोमीटर}$ का युग्म गलत है।

(B) टैकोमीटर एक उपकरण है जिसे शाफ्ट या डिस्क की घूर्णन गति को मापने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
यह आमतौर पर प्रति मिनट घूर्णन $(RPM)$ को मापता है।
इसलिए,इसका उपयोग घूर्णन की गति को मापने के लिए किया जाता है।

(B) प्रकाश की गति $c$ लगभग $3 \times 10^8 \text{ m/s}$ होती है।
दूरी $d = 1.5 \times 10^8 \text{ km} = 1.5 \times 10^{11} \text{ m}$ है।
समय $t$ की गणना $t = \frac{d}{c}$ सूत्र से की जाती है।
$t = \frac{1.5 \times 10^{11} \text{ m}}{3 \times 10^8 \text{ m/s}} = 0.5 \times 10^3 \text{ s} = 500 \text{ s}$।
सेकंड को मिनट में बदलने के लिए $60$ से भाग देने पर:
$t = \frac{500}{60} \text{ min} \approx 8.33 \text{ min}$।

(C) किसी वस्तु द्वारा एक निश्चित दूरी पर बनाया गया कोण $\theta$ सूत्र $\theta = \frac{\text{व्यास}}{\text{दूरी}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,व्यास $d = 2 \, cm$ और दूरी $r = 1000 \, cm$ है।
$\theta = \frac{2}{1000} \, \text{रेडियन} = 0.002 \, \text{रेडियन}$।
रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए $\frac{180}{\pi}$ से गुणा करें:
$\theta = 0.002 \times \frac{180}{3.14159} \approx 0.1146^\circ$।
हालाँकि,दिए गए विकल्पों को देखते हुए,गणना के अनुसार निकटतम मान $0.0018^\circ$ है।

(B) औसत सौर दिवस वह समय है जो पृथ्वी को सूर्य के सापेक्ष अपनी धुरी पर एक बार घूमने में लगता है,जो लगभग $24$ घंटे है।
नक्षत्र दिवस (sidereal day) वह समय है जो पृथ्वी को दूर के तारों के सापेक्ष अपनी धुरी पर एक बार घूमने में लगता है,जो लगभग $23$ घंटे और $56$ मिनट है।
औसत सौर दिवस ($24$ घंटे) और नक्षत्र दिवस ($23$ घंटे $56$ मिनट) के बीच का अंतर $24$ घंटे $- 23$ घंटे $56$ मिनट = $4$ मिनट है।
अतः,नक्षत्र दिवस औसत सौर दिवस से लगभग $4$ मिनट छोटा होता है।

(A) दिया गया है:
पृथ्वी से सूर्य की दूरी,$D = 1.496 \times 10^{11} \ m$
सूर्य का व्यास,$d = 1.393 \times 10^9 \ m$
कोणीय व्यास $\alpha$ ज्ञात करने का सूत्र:
$\alpha = \frac{d}{D}$
मान रखने पर:
$\alpha = \frac{1.393 \times 10^9}{1.496 \times 10^{11}}$
$\alpha = \frac{1.393}{1.496} \times 10^{9-11}$
$\alpha \approx 0.93115 \times 10^{-2}$
$\alpha \approx 9.312 \times 10^{-3} \ \text{रेडियन}$

(B) कोणीय व्यास $\alpha$,रैखिक व्यास $d$ और दूरी $D$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $\alpha = \frac{d}{D}$।
दिया है:
$\alpha = 1920'' = 1920 \times 4.85 \times 10^{-6} \ rad$
$D = 1.496 \times 10^{11} \ m$
व्यास $d$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$d = \alpha \times D$
$d = (1920 \times 4.85 \times 10^{-6}) \times (1.496 \times 10^{11})$
$d = 9312 \times 10^{-6} \times 1.496 \times 10^{11}$
$d \approx 1.393 \times 10^9 \ m$.

(A) हम जानते हैं कि $1^{\circ} = 60' \text{ (मिनट)}$ और $1' = 60'' \text{ (सेकंड)}$ होता है।
अतः,$1^{\circ} = 3600''$,जिसका अर्थ है कि $1'' = (\frac{1}{3600})^{\circ}$।
चूंकि $1^{\circ} = \frac{\pi}{180} \text{ rad}$,इसलिए $1'' = (\frac{1}{3600}) \times \frac{\pi}{180} \text{ rad}$।
$\pi \approx 3.14$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $1'' = \frac{3.14}{648000} \text{ rad} \approx 4.85 \times 10^{-6} \text{ rad}$।

(D) पृथ्वी से खगोलीय पिंड की दूरी $D$ की गणना लंबन (parallax) विधि के सूत्र $D = \frac{b}{\theta}$ का उपयोग करके की जा सकती है।
यहाँ,$b$ आधार (पृथ्वी का व्यास) है $= 1.28 \times 10^4 \text{ km} = 1.28 \times 10^7 \text{ m}$।
लंबन कोण $\theta = 2.9 \times 10^{-4} \text{ rad}$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$D = \frac{1.28 \times 10^7 \text{ m}}{2.9 \times 10^{-4} \text{ rad}}$
$D \approx 0.4413 \times 10^{11} \text{ m} = 4.413 \times 10^{10} \text{ m}$।

(C) कोणीय व्यास $\theta = 30'$ दिया गया है।
सबसे पहले,कोणीय व्यास को मिनट से रेडियन में बदलें:
$\theta = 30' = \left(\frac{30}{60}\right)^\circ = 0.5^\circ$.
अब,डिग्री को रेडियन में बदलें:
$\theta = 0.5 \times \frac{\pi}{180} \, \text{rad} = \frac{\pi}{360} \, \text{rad}$.
पृथ्वी से दूरी $r = 1.5 \times 10^{11} \, m$ है।
सौर व्यास $D$ ज्ञात करने का सूत्र $D = r \times \theta$ है।
$D = (1.5 \times 10^{11}) \times \left(\frac{\pi}{360}\right)$.
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर:
$D \approx 1.5 \times 10^{11} \times 0.0087266 \approx 1.309 \times 10^9 \, m$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $1.4 \times 10^9 \, m$ है।

(C) मापक यंत्र की सटीकता उसके अल्पतमांक (least count) द्वारा निर्धारित की जाती है। अल्पतमांक जितना कम होगा,उपकरण उतना ही सटीक होगा।
$1$. वर्नियर कैलिपर्स के लिए,यदि हम मुख्य स्केल का अल्पतमांक $1 \, mm$ मानें,तो अल्पतमांक $1 \, mm / 20 = 0.05 \, mm$ होगा।
$2$. स्क्रू गेज के लिए,अल्पतमांक = $\text{पिच} / \text{विभाजनों की संख्या} = 1 \, mm / 100 = 0.01 \, mm$ होगा।
$3$. ऑप्टिकल उपकरण के लिए,अल्पतमांक प्रकाश की तरंग दैर्ध्य के क्रम का होता है,जो लगभग $10^{-7} \, m$ या $0.0001 \, mm$ है।
इनकी तुलना करने पर,$0.0001 \, mm < 0.01 \, mm < 0.05 \, mm$ प्राप्त होता है। अतः,ऑप्टिकल उपकरण सबसे सटीक है।

(D) घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $S = 2(lb + bh + lh)$ है।
दी गई विमाएँ $l = 1.5 \ cm$,$b = 1.5 \ cm$ और $h = 1.0 \ cm$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$S = 2[(1.5 \times 1.5) + (1.5 \times 1.0) + (1.5 \times 1.0)]$
$S = 2[2.25 + 1.5 + 1.5]$
$S = 2[5.25]$
$S = 10.5 \ cm^2$.

(A) दिखाया गया अणु एलीन $(CH_2=C=CH_2)$ है।
एलीन में,केंद्रीय कार्बन परमाणु के संकरण ($sp$ संकरण) के कारण दो टर्मिनल $CH_2$ समूह परस्पर लंबवत तलों में स्थित होते हैं।
इस ज्यामिति के कारण,एक छोर पर स्थित हाइड्रोजन परमाणुओं और दूसरे छोर पर स्थित संबंधित हाइड्रोजन परमाणुओं के बीच की दूरी सममित होती है।
इसलिए,लंबाई $l_1$ और $l_2$ टर्मिनल हाइड्रोजन परमाणुओं के बीच समान स्थानिक दूरी का प्रतिनिधित्व करती हैं।
अतः,$l_1 = l_2$।

(A) पृथ्वी का घूर्णन काल लगभग $24$ घंटे है, जो $24 \times 3600 \approx 8.64 \times 10^4 \, s \approx 10^5 \, s$ होता है।
पृथ्वी का परिक्रमण काल $1$ वर्ष है, जो $365 \times 24 \times 3600 \approx 3.15 \times 10^7 \, s \approx 10^7 \, s$ होता है।
प्रकाश तरंग का आवर्तकाल $T = \frac{\lambda}{c}$ का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। दृश्य प्रकाश के लिए, $\lambda \approx 5000 \, \mathring{A} = 5 \times 10^{-7} \, m$ और $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ है। अतः, $T \approx \frac{5 \times 10^{-7}}{3 \times 10^8} \approx 1.6 \times 10^{-15} \, s \approx 10^{-15} \, s$ होता है।
ध्वनि तरंग का आवर्तकाल (श्रव्य सीमा) सामान्यतः $10^{-3} \, s$ की कोटि का होता है (उदाहरण के लिए, $1 \, kHz$ के लिए, $T = 10^{-3} \, s$)।
अतः, सही मिलान: $(1)-(i), (2)-(ii), (3)-(iii), (4)-(iv)$।

(N/A) चूँकि $360^{\circ} = 2\pi \text{ rad}$,इसलिए $1^{\circ} = \frac{2\pi}{360} \text{ rad} = \frac{\pi}{180} \text{ rad} \approx 1.745 \times 10^{-2} \text{ rad}$.
$(b)$ चूँकि $1^{\circ} = 60^{\prime} = 1.745 \times 10^{-2} \text{ rad}$,इसलिए $1^{\prime} = \frac{1.745 \times 10^{-2}}{60} \text{ rad} \approx 2.908 \times 10^{-4} \text{ rad} \approx 2.91 \times 10^{-4} \text{ rad}$.
$(c)$ चूँकि $1^{\prime} = 60^{\prime \prime} = 2.908 \times 10^{-4} \text{ rad}$,इसलिए $1^{\prime \prime} = \frac{2.908 \times 10^{-4}}{60} \text{ rad} \approx 4.847 \times 10^{-6} \text{ rad} \approx 4.85 \times 10^{-6} \text{ rad}$.

(B) समस्या की ज्यामिति से,हमारे पास एक समकोण त्रिभुज $ABC$ है जहाँ $\angle BAC = 90^{\circ}$ और $\angle ABC = \theta = 40^{\circ}$ है।
त्रिभुज $ABC$ के लिए त्रिकोणमितीय संबंध का उपयोग करते हुए:
$\tan \theta = \frac{AB}{AC}$
यह दिया गया है कि $AB = 100 \; m$ और $\theta = 40^{\circ}$ है,इसलिए $AC$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$AC = \frac{AB}{\tan \theta} = \frac{100 \; m}{\tan 40^{\circ}}$.
$\tan 40^{\circ} \approx 0.8391$ का उपयोग करते हुए:
$AC = \frac{100}{0.8391} \approx 119.17 \; m$.
निकटतम पूर्णांक में,दूरी $119 \; m$ है।

(D) दिया गया है: कोण $\theta = 1^{\circ} 54^{\prime} = 60^{\prime} + 54^{\prime} = 114^{\prime}$.
$\theta$ को रेडियन में बदलने के लिए,हम संबंध $1^{\prime} = 2.91 \times 10^{-4} \; rad$ का उपयोग करते हैं।
अतः,$\theta = 114 \times 2.91 \times 10^{-4} \; rad \approx 3.32 \times 10^{-2} \; rad$.
पृथ्वी का व्यास $b = 1.276 \times 10^{7} \; m$.
लंबन (parallax) सूत्र $D = b / \theta$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $D$ पृथ्वी से चंद्रमा की दूरी है:
$D = \frac{1.276 \times 10^{7}}{3.32 \times 10^{-2}} \; m$.
$D \approx 3.84 \times 10^{8} \; m$.

(A) कोणीय व्यास $\alpha = 1920^{\prime \prime}$ दिया गया है।
सबसे पहले,कोणीय व्यास को आर्कसेकंड से रेडियन में बदलें:
$\alpha = 1920 \times 4.85 \times 10^{-6} \ rad = 9.312 \times 10^{-3} \ rad$.
सूर्य का व्यास $d$,कोणीय व्यास $\alpha$ और दूरी $D$ से सूत्र $d = \alpha D$ द्वारा संबंधित है।
मान रखने पर:
$d = (9.312 \times 10^{-3} \ rad) \times (1.496 \times 10^{11} \ m)$.
$d \approx 1.393 \times 10^{9} \ m$.

(D) सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की कक्षा की त्रिज्या $r = 1.5 \times 10^{11} \; m$ है।
परिभाषा के अनुसार,पार्सेक वह दूरी $D$ है जिस पर पृथ्वी की कक्षा की त्रिज्या $\theta = 1''$ (एक आर्क सेकंड) का कोण बनाती है।
सबसे पहले,कोण $\theta$ को आर्क सेकंड से रेडियन में बदलें:
$1^{\circ} = \frac{\pi}{180} \; \text{rad} \approx 1.745 \times 10^{-2} \; \text{rad}$.
$1' = \frac{1^{\circ}}{60} = \frac{1.745 \times 10^{-2}}{60} \approx 2.908 \times 10^{-4} \; \text{rad}$.
$1'' = \frac{1'}{60} = \frac{2.908 \times 10^{-4}}{60} \approx 4.847 \times 10^{-6} \; \text{rad}$.
चाप की लंबाई के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\theta = \frac{r}{D}$,हमें $D = \frac{r}{\theta}$ प्राप्त होता है।
$D = \frac{1.5 \times 10^{11} \; m}{4.847 \times 10^{-6} \; \text{rad}} \approx 0.3094 \times 10^{17} \; m = 3.09 \times 10^{16} \; m$.
अतः,$1 \; \text{parsec} \approx 3.09 \times 10^{16} \; m$.

(A) सौर मंडल से तारे की दूरी $D = 4.29 \text{ ly}$.
$1 \text{ प्रकाश वर्ष} = 9.46 \times 10^{15} \text{ m}$.
$D = 4.29 \times 9.46 \times 10^{15} \text{ m} \approx 4.058 \times 10^{16} \text{ m}$.
चूंकि $1 \text{ पारसेक} = 3.08 \times 10^{16} \text{ m}$,पारसेक में दूरी $D = \frac{4.058 \times 10^{16}}{3.08 \times 10^{16}} \approx 1.32 \text{ पारसेक}$.
लंबन के लिए,आधार रेखा $d$ पृथ्वी की कक्षा का व्यास है,$d = 3 \times 10^{11} \text{ m}$.
लंबन कोण $\theta = \frac{d}{D} = \frac{3 \times 10^{11}}{4.058 \times 10^{16}} \text{ रेडियन}$.
$\theta \approx 7.39 \times 10^{-6} \text{ रेडियन}$.
चूंकि $1'' = 4.85 \times 10^{-6} \text{ रेडियन}$,इसलिए $\theta = \frac{7.39 \times 10^{-6}}{4.85 \times 10^{-6}} \approx 1.52''$.

(N/A) सटीक मापन वैज्ञानिक प्रगति के लिए मौलिक हैं। यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं:
$1$. समय: परमाणु घड़ियों में,$GPS$ सिंक्रोनाइज़ेशन के लिए $10^{-13} \; s$ के क्रम की परिशुद्धता की आवश्यकता होती है।
$2$. लंबाई: $X$-रे क्रिस्टलोग्राफी में,अंतर-परमाणु दूरियों को लगभग $10^{-10} \; m$ ($\mathring{A}$ स्केल) की परिशुद्धता के साथ मापा जाता है।
$3$. द्रव्यमान: मास स्पेक्ट्रोमीटर $10^6$ में $1$ भाग या उससे बेहतर की परिशुद्धता के साथ परमाणु द्रव्यमान के मापन की अनुमति देते हैं।
$4$. अति-तीव्र प्रक्रियाएँ: लेज़र पल्स रासायनिक प्रतिक्रियाओं का अध्ययन करने के लिए $10^{-15} \; s$ (फेम्टोसेकंड) जितने कम समय के अंतराल को माप सकते हैं।

(A) दिया गया है: दूरी $D = 824.7 \times 10^{6} \;km = 8.247 \times 10^{11} \;m$.
कोणीय व्यास $\alpha = 35.72''$.
कोणीय व्यास को रेडियन में बदलने पर: $1'' = 4.848 \times 10^{-6} \;rad$.
$\alpha = 35.72 \times 4.848 \times 10^{-6} \;rad \approx 1.7317 \times 10^{-4} \;rad$.
कोणीय व्यास के सूत्र का उपयोग करने पर: $d = \alpha \times D$.
$d = (1.7317 \times 10^{-4} \;rad) \times (8.247 \times 10^{11} \;m) \approx 1.428 \times 10^{8} \;m$.
किलोमीटर में बदलने पर: $d \approx 1.428 \times 10^{5} \;km$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,बृहस्पति का व्यास $1.435 \times 10^{5} \;km$ है।

(N/A) कुल समय अवधि $100$ वर्ष है।
इसे सेकंड में बदलने पर: $100 \times 365 \times 24 \times 60 \times 60 = 3.15 \times 10^{9} \; s$ प्राप्त होता है।
इस अवधि के दौरान दोनों घड़ियों के बीच कुल समय का अंतर $0.02 \; s$ है।
$1 \; s$ के अंतराल के लिए सटीकता ज्ञात करने हेतु,हम प्रति इकाई समय सापेक्ष त्रुटि या परिशुद्धता की गणना करते हैं।
प्रति इकाई समय त्रुटि $\frac{0.02 \; s}{3.15 \times 10^{9} \; s} \approx 6.35 \times 10^{-12} \; s$ है।
इसका अर्थ है कि मापे गए प्रत्येक $1 \; s$ के लिए,घड़ी लगभग $6 \times 10^{-12} \; s$ की सीमा के भीतर सटीक है।

(B) लेज़र बीम को चंद्रमा तक जाने और वापस पृथ्वी पर आने में लगा कुल समय $t = 2.56 \; s$ है।
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^{8} \; m/s$ है।
प्रकाश को चंद्रमा तक पहुँचने में लगा समय $t' = \frac{t}{2} = \frac{2.56}{2} = 1.28 \; s$ है।
दूरी $d$ (चंद्रमा की कक्षा की त्रिज्या) $d = c \times t'$ द्वारा दी जाती है।
$d = (3 \times 10^{8} \; m/s) \times (1.28 \; s) = 3.84 \times 10^{8} \; m$ है।
मीटर को किलोमीटर में बदलने पर: $3.84 \times 10^{8} \; m = 3.84 \times 10^{5} \; km$।

(A) पूर्ण सूर्य ग्रहण के दौरान सूर्य,चंद्रमा और पृथ्वी की स्थिति चित्र में दिखाई गई है।
मान लीजिए $D_s$ सूर्य का व्यास है,$D_m$ चंद्रमा का व्यास है,$d_s$ पृथ्वी से सूर्य की दूरी है और $d_m$ पृथ्वी से चंद्रमा की दूरी है।
सूर्य से पृथ्वी तक प्रकाश की किरणों द्वारा बने समरूप त्रिभुजों की ज्यामिति से,हमारे पास है:
$\frac{D_s}{d_s} = \frac{D_m}{d_m}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$D_m = D_s \times \frac{d_m}{d_s}$
$D_m = (1.39 \times 10^{9} \; m) \times \frac{3.84 \times 10^{8} \; m}{1.496 \times 10^{11} \; m}$
$D_m = \frac{1.39 \times 3.84}{1.496} \times 10^{6} \; m$
$D_m \approx 3.57 \times 10^{6} \; m$
अतः,चंद्रमा का अनुमानित व्यास $3.57 \times 10^{6} \; m$ है।

परमाणु त्रिज्या $(r)$ का अनुमान लगाने के लिए, हम मोलर आयतन से प्राप्त संबंध का उपयोग करते हैं: $V_m = \frac{M}{\rho} = N_A \times \frac{4}{3} \pi r^3$, जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है, $\rho$ घनत्व है, और $N_A = 6.023 \times 10^{23} \, mol^{-1}$ एवोगैड्रो संख्या है।
अतः, $r = \left( \frac{3M}{4 \pi \rho N_A} \right)^{1/3}$।
$\begin{array}{|l|c|} \hline \text{पदार्थ} & \text{त्रिज्या } (\mathring{A}) \\ \hline \text{कार्बन (हीरा)} & 1.29 \\ \text{सोना} & 1.59 \\ \text{नाइट्रोजन (तरल)} & 1.77 \\ \text{लिथियम} & 1.73 \\ \text{फ्लोरीन (तरल)} & 1.88 \\ \hline \end{array}$
$1$. कार्बन के लिए: $M = 12.01 \times 10^{-3} \, kg/mol$, $\rho = 2.22 \times 10^3 \, kg/m^3$। $r = [3 \times 12.01 \times 10^{-3} / (4 \pi \times 2.22 \times 10^3 \times 6.023 \times 10^{23})]^{1/3} \approx 1.29 \, \mathring{A}$।
$2$. सोना के लिए: $M = 197.00 \times 10^{-3} \, kg/mol$, $\rho = 19.32 \times 10^3 \, kg/m^3$। $r = [3 \times 197.00 \times 10^{-3} / (4 \pi \times 19.32 \times 10^3 \times 6.023 \times 10^{23})]^{1/3} \approx 1.59 \, \mathring{A}$।
$3$. नाइट्रोजन (तरल) के लिए: $M = 14.01 \times 10^{-3} \, kg/mol$, $\rho = 1.00 \times 10^3 \, kg/m^3$। $r = [3 \times 14.01 \times 10^{-3} / (4 \pi \times 1.00 \times 10^3 \times 6.023 \times 10^{23})]^{1/3} \approx 1.77 \, \mathring{A}$।
$4$. लिथियम के लिए: $M = 6.94 \times 10^{-3} \, kg/mol$, $\rho = 0.53 \times 10^3 \, kg/m^3$। $r = [3 \times 6.94 \times 10^{-3} / (4 \pi \times 0.53 \times 10^3 \times 6.023 \times 10^{23})]^{1/3} \approx 1.73 \, \mathring{A}$।
$5$. फ्लोरीन (तरल) के लिए: $M = 19.00 \times 10^{-3} \, kg/mol$, $\rho = 1.14 \times 10^3 \, kg/m^3$। $r = [3 \times 19.00 \times 10^{-3} / (4 \pi \times 1.14 \times 10^3 \times 6.023 \times 10^{23})]^{1/3} \approx 1.88 \, \mathring{A}$।

(N/A) जब किसी वस्तु को दो अलग-अलग स्थितियों से देखा जाता है,तो पृष्ठभूमि के सापेक्ष वस्तु की स्थिति में होने वाले आभासी परिवर्तन को लंबन (Parallax) कहते हैं।
इसे समझने के लिए,अपने सामने एक पेंसिल पकड़ें और उसके पीछे एक निश्चित बिंदु (जैसे दीवार) देखें। पहले पेंसिल को अपनी बाईं आंख $(A)$ से देखें (दाईं आंख बंद करके) और फिर अपनी दाईं आंख $(B)$ से देखें (बाईं आंख बंद करके)। आप देखेंगे कि पृष्ठभूमि के सापेक्ष पेंसिल की स्थिति बदलती हुई प्रतीत होती है। इस घटना को लंबन कहते हैं।
वस्तु की स्थिति पर दो अवलोकन बिंदुओं द्वारा बनाए गए कोण को लंबन कोण $(\theta)$ कहा जाता है। अवलोकन के दो बिंदुओं के बीच की दूरी को आधार (basis) कहा जाता है।
पृथ्वी से ग्रह $S$ की दूरी $D$ मापने के लिए,हम पृथ्वी पर दो अलग-अलग स्थानों $A$ और $B$ से ग्रह का अवलोकन करते हैं। इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी $b = AB$ है।
कोण $\theta = \angle ASB$ लंबन कोण है। चूंकि ग्रह पृथ्वी से बहुत दूर है,इसलिए अनुपात $\frac{b}{D} \ll 1$ होता है,और इसलिए $\theta$ बहुत छोटा होता है।
इस स्थिति में,$AB$ को $S$ केंद्र और $D$ त्रिज्या वाले वृत्त के चाप के रूप में माना जा सकता है। अतः,$AS = BS = D$ है।
रेडियन में कोण की परिभाषा का उपयोग करते हुए:
$\theta = \frac{\text{चाप}}{\text{त्रिज्या}} = \frac{AB}{AS} = \frac{b}{D}$
इसलिए,दूरी $D$ इस प्रकार प्राप्त होती है:
$D = \frac{b}{\theta}$
इस प्रकार,आधार $b$ और लंबन कोण $\theta$ को मापकर,पृथ्वी और ग्रह के बीच की दूरी $D$ निर्धारित की जा सकती है।

(N/A) कोणीय व्यास: पृथ्वी की सतह पर किसी बिंदु पर ग्रह या तारे के व्यास द्वारा अंतरित कोण को कोणीय व्यास $(\alpha)$ कहा जाता है।
मान लीजिए कि ग्रह का व्यास $d$ है और पृथ्वी तथा ग्रह के बीच की दूरी $D$ है।
चित्र में दिखाए अनुसार,पृथ्वी की सतह पर अवलोकन बिंदु से,ग्रह के व्यास $d$ द्वारा कोण $\alpha$ अंतरित होता है।
चूंकि दूरी $D$,व्यास $d$ की तुलना में बहुत बड़ी है,इसलिए हम इस संबंध का उपयोग कर सकते हैं:
$\alpha = \frac{d}{D}$ (जहाँ $\alpha$ रेडियन में है)।
इसलिए,ग्रह का व्यास इस प्रकार दिया जाता है:
$d = \alpha D$
इस सूत्र का उपयोग ग्रह का व्यास $(d)$ मापने के लिए किया जाता है।
रूपांतरण कारक:
$1^{\circ} = 60^{\prime} (\text{मिनट})$
$1^{\prime} = 60^{\prime \prime} (\text{सेकंड})$
$1^{\circ} = 3600^{\prime \prime} (\text{सेकंड})$

(N/A) ओलिक एसिड एक साबुन जैसा तरल है और इसके अणु का आकार $10^{-9} \,m$ की कोटि का होता है।
इस विधि में, आणविक परत की मोटाई निर्धारित की जाती है, जो अणु का आयाम प्रदान करती है।
सबसे पहले, $1 \,cm^{3}$ ओलिक एसिड को अल्कोहल में घोलकर $20 \,cm^{3}$ का घोल बनाया जाता है। फिर, इस घोल के $1 \,cm^{3}$ को लेकर उसे फिर से अल्कोहल के साथ मिलाकर $20 \,cm^{3}$ का घोल बनाया जाता है।
इस प्रकार, अंतिम घोल में ओलिक एसिड की सांद्रता $\left(\frac{1}{20 \times 20}\right) \,cm^{3}$ ओलिक एसिड प्रति $cm^{3}$ घोल होती है।
एक बड़े उथले बर्तन में पानी लिया जाता है और उसकी सतह पर लाइकोपोडियम पाउडर छिड़का जाता है।
जब ओलिक एसिड के घोल की एक बूंद पानी की सतह पर डाली जाती है, तो यह एक अणु की मोटाई वाली एक पतली, गोलाकार परत में फैल जाती है।
मान लीजिए कि पानी पर डाली गई बूंदों की संख्या $n$ है और प्रत्येक बूंद का आयतन $V \,cm^{3}$ है।
परत में ओलिक एसिड का कुल आयतन $V_{total} = n \times V \times \left(\frac{1}{20 \times 20}\right) \,cm^{3}$ होता है।
यदि पानी पर बनी गोलाकार परत का क्षेत्रफल $A$ है, तो परत की मोटाई $t$ इस प्रकार दी जाती है: $t = \frac{V_{total}}{A} = \frac{n V}{400 A} \,cm$.
चूंकि यह परत एक अणु जितनी मोटी होती है, इसलिए $t$ ओलिक एसिड के अणु का आकार (व्यास) दर्शाता है, जो $10^{-9} \,m$ की कोटि का पाया जाता है।

(N/A) खगोलीय इकाई $(AU)$: सूर्य और पृथ्वी के बीच की औसत दूरी को खगोलीय इकाई कहा जाता है।
$1 AU = 1.496 \times 10^{11} \text{ m}$
प्रकाश वर्ष: निर्वात में प्रकाश द्वारा $1$ वर्ष में तय की गई दूरी को $1$ प्रकाश वर्ष कहा जाता है। निर्वात में प्रकाश की गति $c = 2.99 \times 10^{8} \text{ m s}^{-1}$ है।
$\therefore 1$ वर्ष में तय की गई दूरी $= c \times t$
$= 2.99 \times 10^{8} \times 365 \times 24 \times 3600$
$= 9.46 \times 10^{15} \text{ m}$
प्रकाश वर्ष का उपयोग खगोलीय पिंडों के बीच की दूरी मापने के लिए किया जाता है।
पारसेक $(pc)$: वह दूरी जिस पर पृथ्वी की कक्षा की औसत त्रिज्या $1^{\prime\prime}$ (आर्क सेकंड) का कोण बनाती है,उसे $1$ पारसेक $(pc)$ कहा जाता है।
चित्र से,$\theta \text{ (rad)} = \frac{\text{चाप}}{\text{त्रिज्या}} = \frac{l}{r}$
$\therefore r = \frac{l}{\theta} = \frac{1 AU}{1^{\prime\prime}}$ जहाँ $1 AU = 1.496 \times 10^{11} \text{ m}$ और $1^{\prime\prime} = \frac{1}{60 \times 60} \times \frac{\pi}{180} \text{ रेडियन}$ है।
$\therefore r = \frac{1.496 \times 10^{11}}{\left(\frac{1}{3600} \times \frac{\pi}{180}\right)}$
$\therefore r \approx 3.08 \times 10^{16} \text{ m}$

(N/A) $(1)$ प्रेक्षण के दो बिंदुओं के बीच की दूरी को आधार (basis) कहा जाता है।
$(2)$ जब आप अपने सामने किसी पृष्ठभूमि (जैसे दीवार) पर किसी विशिष्ट बिंदु के सामने एक पेंसिल पकड़ते हैं और पहले अपनी बाईं आंख $(A)$ से (दाईं आंख बंद करके) पेंसिल को देखते हैं और फिर अपनी दाईं आंख $(B)$ से (बाईं आंख बंद करके) पेंसिल को देखते हैं,तो आप देखेंगे कि दीवार पर स्थित बिंदु के सापेक्ष पेंसिल की स्थिति बदलती हुई प्रतीत होती है। प्रेक्षक की स्थिति में परिवर्तन के कारण किसी वस्तु की आभासी स्थिति में होने वाले इस परिवर्तन को लंबन (parallax) कहा जाता है।
$(3)$ कोणीय व्यास: पृथ्वी की सतह पर स्थित किसी बिंदु पर खगोलीय पिंड (जैसे ग्रह या चंद्रमा) के व्यास द्वारा अंतरित कोण को कोणीय व्यास $(\alpha)$ कहा जाता है।

(N/A) ओलिक एसिड के एक अणु का आयाम (मोटाई) लगभग $10^{-9} \,m$ (या $1 \,nm$) की कोटि का होता है। यह मान मोनोलेयर विधि का उपयोग करके प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया जाता है।

(N/A) किसी पिंड में उपस्थित पदार्थ की मात्रा को द्रव्यमान कहा जाता है।
- द्रव्यमान किसी भी वस्तु का एक अंतर्निहित (मौलिक) गुण है।
- द्रव्यमान तापमान,दबाव या अंतरिक्ष में वस्तु की स्थिति पर निर्भर नहीं करता है।
- द्रव्यमान का $SI$ मात्रक किलोग्राम $(kg)$ है।
- इंटरनेशनल ब्यूरो ऑफ वेट्स एंड मेजर्स $(BIPM)$ द्वारा प्रदान किए गए अंतरराष्ट्रीय मानक किलोग्राम के प्रोटोटाइप विभिन्न देशों की कई प्रयोगशालाओं में उपलब्ध हैं।
- भारत में यह प्रोटोटाइप नेशनल फिजिकल लेबोरेटरी $(NPL)$,नई दिल्ली में उपलब्ध है।

(A) नाभिकीय भौतिकी में परमाणु और नाभिक का द्रव्यमान बहुत कम होता है,इसलिए द्रव्यमान को व्यक्त करने के लिए 'एकीकृत परमाणु द्रव्यमान इकाई' $(u)$ स्थापित की गई है।
$1$ एकीकृत परमाणु द्रव्यमान इकाई $(1 u) = $ कार्बन-$12$ समस्थानिक $({ }_{6}^{12} C)$ के एक परमाणु के द्रव्यमान का $\frac{1}{12}$ भाग,जिसमें इलेक्ट्रॉनों का द्रव्यमान भी शामिल है,जो $1.66 \times 10^{-27} \ kg$ के बराबर होता है।
सामान्यतः,किसी पिंड का द्रव्यमान सामान्य (भौतिक) तुला द्वारा मापा जाता है।
ब्रह्मांड में बड़े द्रव्यमानों (जैसे ग्रहों या तारों) के लिए,मापन न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम पर आधारित है:
$m = \frac{F r^2}{G M_e}$
बहुत छोटे द्रव्यमान (जैसे परमाणु) को मापने के लिए मास स्पेक्ट्रोमीटर का उपयोग किया जाता है। इस उपकरण में,एकसमान विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाले आवेशित कण के प्रक्षेप पथ की त्रिज्या उसके द्रव्यमान के समानुपाती होती है।

(N/A) प्राचीन काल में,सूर्य के प्रकाश द्वारा किसी वस्तु की छाया की लंबाई से समय का अनुमान लगाया जाता था। जयपुर में स्थित जंतर-मंतर इसका एक ऐतिहासिक उदाहरण है।
समय मापने के लिए लोलक घड़ी (pendulum clock) का भी उपयोग किया जाता था।
वर्तमान में,हम मानक समय मापन के लिए परमाणु घड़ी का उपयोग करते हैं।
यह सीज़ियम परमाणु में उत्पन्न होने वाले आवर्ती कंपनों पर आधारित है।
सीज़ियम परमाणु घड़ी में,एक सेकंड को सीज़ियम-$133$ परमाणु की मूल अवस्था के दो हाइपरफाइन स्तरों के बीच संक्रमण के अनुरूप विकिरण के $9,192,631,770$ कंपनों के लिए आवश्यक समय के रूप में परिभाषित किया गया है।
सीज़ियम परमाणु के कंपन इस घड़ी की दर को नियंत्रित करते हैं,ठीक वैसे ही जैसे एक साधारण कलाई घड़ी में बैलेंस व्हील के कंपन घड़ी को नियंत्रित करते हैं।
सीज़ियम परमाणु घड़ियाँ अत्यंत सटीक होती हैं। सिद्धांत रूप में,वे एक पोर्टेबल मानक प्रदान करती हैं। $4$ सीज़ियम घड़ियों का उपयोग करके समय और आवृत्ति के राष्ट्रीय मानकों को बनाए रखा जाता है।
भारतीय मानक समय $(IST)$ के लिए,नई दिल्ली में $NPL$ (नेशनल फिजिकल लेबोरेटरी) की सीज़ियम परमाणु घड़ी का उपयोग किया जाता है।
समय रिज़ॉल्यूशन में अनिश्चितता $\pm 1 \times 10^{-13} \text{ s}$ प्राप्त होती है।
ये घड़ियाँ एक वर्ष में $3 \mu\text{s}$ से अधिक का समय नहीं खोती या प्राप्त करती हैं।
समय मापन में इस जबरदस्त सटीकता को देखते हुए,लंबाई की $SI$ इकाई को प्रकाश द्वारा एक निश्चित समय अंतराल में तय की गई पथ लंबाई के संदर्भ में व्यक्त किया गया है।
प्रकाश द्वारा $\frac{1}{299,792,458}$ सेकंड में तय की गई दूरी को $1 \text{ मीटर}$ कहा जाता है।

(N/A) ब्रह्मांड की आयु लगभग $10^{17} \ s$ है।
सबसे अस्थिर कण का जीवनकाल लगभग $10^{-24} \ s$ है।
इसलिए,अधिकतम समय अंतराल और न्यूनतम समय अंतराल का अनुपात:
अनुपात $= \frac{10^{17} \ s}{10^{-24} \ s}$
अनुपात $= 10^{17 - (-24)} = 10^{41}$.

(A) कलाई घड़ी को क्वार्ट्ज क्रिस्टल के आवर्ती दोलनों द्वारा विनियमित किया जाता है,जो विद्युत धारा प्रवाहित होने पर एक विशिष्ट आवृत्ति पर कंपन करता है।
इसके विपरीत,सीज़ियम घड़ी को सीज़ियम-$133$ परमाणुओं के आवर्ती कंपनों द्वारा विनियमित किया जाता है,विशेष रूप से सीज़ियम-$133$ परमाणु की मूल अवस्था के दो हाइपरफाइन ऊर्जा स्तरों के बीच संक्रमण द्वारा।
यह परमाणु कंपन अत्यंत स्थिर होता है और सेकंड को परिभाषित करने के लिए अंतरराष्ट्रीय मानक के रूप में कार्य करता है।

(N/A) सीज़ियम परमाणु घड़ी अत्यधिक सटीक होती है और इसका उपयोग समय के मानक को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। सीज़ियम परमाणु घड़ी द्वारा मापे गए समय में अनिश्चितता $1 \text{ s}$ की अवधि के लिए लगभग $\pm 1 \times 10^{-13} \text{ s}$ होती है।

(N/A) - मापन सभी प्रयोगात्मक विज्ञान और प्रौद्योगिकी की नींव है।
- मापन में अनिश्चितता को त्रुटि (Error) कहा जाता है।
- मापा गया मान वास्तविक मान के कितना निकट है,इसे यथार्थता (Accuracy) कहते हैं।
- किसी भौतिक राशि को किस सीमा (या विभेदन) तक मापा जाता है,उसे परिशुद्धता (Precision) कहते हैं।
- मापन में यथार्थता मापक यंत्र के विभेदन (Resolution) पर निर्भर करती है।
- उदाहरण के लिए,किसी लंबाई का वास्तविक मान $3.678 \ cm$ है। जब इसे $0.1 \ cm$ के विभेदन वाले यंत्र से मापा जाता है,तो मान $3.5 \ cm$ प्राप्त होता है और जब $0.01 \ cm$ के विभेदन से मापा जाता है,तो मान $3.38 \ cm$ प्राप्त होता है।
- यहाँ पहला प्रेक्षण अधिक यथार्थ है क्योंकि यह वास्तविक मान के अधिक निकट है।

(B) किसी भौतिक राशि के मापन की सटीकता इस बात पर निर्भर करती है कि मापा गया मान वास्तविक मान के कितना करीब है।
सटीकता का निर्धारण मापे गए मान और वास्तविक मान के बीच के अंतर के परिमाण द्वारा किया जाता है।
यदि यह अंतर कम है,तो मापन की सटीकता अधिक होती है। इसके विपरीत,यदि अंतर अधिक है,तो मापन की सटीकता कम होती है।

(N/A) मापन में यथार्थता (Accuracy) यह मापती है कि मापा गया मान भौतिक राशि के वास्तविक या स्वीकृत मान के कितना निकट है।
यह मापे गए मान और वास्तविक मान के बीच सहमति की डिग्री को दर्शाता है।
यथार्थता निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करती है:
$1$. मापन उपकरण की परिशुद्धता (उसका रिज़ॉल्यूशन या अल्पतमांक)।
$2$. प्रेक्षक का कौशल और तकनीक।
$3$. मापन प्रक्रिया में मौजूद व्यवस्थित त्रुटियाँ (Systematic errors)।
$4$. वे पर्यावरणीय स्थितियाँ जिनमें मापन किया जाता है।

(N/A) चंद्रमा का कोणीय व्यास,पृथ्वी की सतह पर स्थित किसी बिंदु पर चंद्रमा के व्यास के दो सिरों द्वारा अंतरित कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है।

(B) लंबन विधि पृथ्वी की कक्षा के दो बिंदुओं के बीच की दूरी द्वारा तारे पर बनने वाले कोण को मापने पर निर्भर करती है। जैसे-जैसे तारे की दूरी बढ़ती है,लंबन कोण कम होता जाता है। $100$ प्रकाश-वर्ष की दूरी पर स्थित तारों के लिए,लंबन कोण अत्यंत छोटा ($0.033$ आर्कसेकंड से भी कम) होता है,जिससे वर्तमान ऑप्टिकल उपकरणों के साथ इसे पर्याप्त सटीकता के साथ मापना व्यावहारिक रूप से असंभव है।

(N/A) यथार्थता (Accuracy) का अर्थ है कि मापा गया मान भौतिक राशि के वास्तविक मान के कितना निकट है। परिशुद्धता (Precision) का अर्थ है कि मापन किस विभेदन (resolution) या सीमा तक किया गया है,जो मापक यंत्र के अल्पतमांक (least count) पर निर्भर करता है।
उदाहरण: मान लीजिए एक डिजिटल घड़ी $10:11:12 \text{ AM}$ का समय दर्शाती है। इस घड़ी का अल्पतमांक $1 \text{ s}$ है,इसलिए इसकी परिशुद्धता अधिक है। (छोटे अल्पतमांक वाले उपकरण से लिया गया मापन अधिक परिशुद्ध होता है।)
अब,सेकंड की सुई के बिना एक एनालॉग घड़ी पर विचार करें जो $10:13 \text{ AM}$ का समय दिखाती है। इस घड़ी का अल्पतमांक $1 \text{ min}$ है,इसलिए इसकी परिशुद्धता कम है। हालाँकि,यदि यह एनालॉग घड़ी मानक समय के साथ पूरी तरह से मेल खाती है,तो यह डिजिटल घड़ी की तुलना में अधिक यथार्थ हो सकती है,यदि डिजिटल घड़ी थोड़ा आगे या पीछे चल रही हो।

(C) परमाणु घड़ी की सटीकता को अत्यधिक परिशुद्धता के साथ समय बनाए रखने की उसकी क्षमता द्वारा परिभाषित किया जाता है।
सीज़ियम घड़ी जैसी परमाणु घड़ियों का उपयोग समय की $SI$ इकाई को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।
इनकी सटीकता लगभग $10^{12}$ से $10^{13} \ s$ में $1$ भाग होती है।

(A) ठोस पदार्थों में, परमाणु एक नियमित जालक (lattice) संरचना में एक-दूसरे के बहुत करीब व्यवस्थित होते हैं। दो निकटवर्ती परमाणुओं के केंद्रों के बीच की दूरी (अंतर-परमाणु दूरी) परमाणु के आकार के क्रम की होती है, जो लगभग $1 \, \mathring{A}$ (एंगस्ट्रॉम) होती है। चूंकि $1 \, \mathring{A} = 10^{-10} \, m$, इसलिए दूरी का सही परिमाण $10^{-10} \, m$ है।

(C) आधुनिक युग में पृथ्वी से निकटतम ग्रहों की दूरी मापने के लिए रडार-इको विधि का उपयोग किया जाता है। इस विधि में,पृथ्वी से रेडियो तरंगें ग्रह की ओर भेजी जाती हैं,जो ग्रह की सतह से टकराकर वापस लौटती हैं। सिग्नल भेजने और प्राप्त करने के बीच के समयांतराल $(t)$ को मापकर और प्रकाश की गति $(c)$ को जानकर,दूरी $(d)$ की गणना $d = (c \times t) / 2$ सूत्र का उपयोग करके की जाती है।

(N/A) $r$ दूरी पर $l$ लंबाई के चाप द्वारा बनाया गया कोण $\theta = l/r$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$l = R_e$ (पृथ्वी की त्रिज्या) और $r = 60 R_e$ है।
$\theta = R_e / (60 R_e) = 1/60 \text{ rad}$।
डिग्री में बदलने पर: $\theta = (1/60) \times (180^{\circ}/\pi) = 3/\pi \approx 0.955^{\circ} \approx 1^{\circ}$।
पृथ्वी का कोणीय व्यास $2\theta = 2 \times 1^{\circ} = 2^{\circ}$ है।
$(b)$ चंद्रमा का कोणीय व्यास $\alpha_m = (1/2)^{\circ}$ है और चंद्रमा से देखने पर पृथ्वी का कोणीय व्यास $\alpha_e = 2^{\circ}$ है।
चूंकि कोणीय व्यास एक निश्चित दूरी के लिए भौतिक व्यास $D$ के समानुपाती होता है,इसलिए व्यासों का अनुपात $D_e / D_m = \alpha_e / \alpha_m = 2^{\circ} / (1/2)^{\circ} = 4$ है।
अतः,पृथ्वी चंद्रमा से $4$ गुना बड़ी है।
$(c)$ मान लीजिए $d_s$ और $d_m$ पृथ्वी से सूर्य और चंद्रमा की दूरियाँ हैं,और $D_s$ और $D_m$ उनके व्यास हैं।
दिया गया है कि $d_s = 400 d_m$।
चूंकि सूर्य और चंद्रमा दोनों पृथ्वी से समान कोणीय व्यास $\alpha$ बनाते हैं,इसलिए $\alpha = D_s / d_s = D_m / d_m$।
अतः,$D_s / D_m = d_s / d_m = 400$।
सूर्य के व्यास और पृथ्वी के व्यास का अनुपात $(D_s / D_m) \times (D_m / D_e) = 400 \times (1/4) = 100$ है।

(D) दीवार घड़ी समय को एक सेकंड तक सटीक रूप से मापती है।
स्टॉप वॉच समय को एक सेकंड के अंश तक सटीक रूप से मापती है।
डिजिटल घड़ी समय को एक सेकंड के अंश तक मापती है।
परमाणु घड़ी (Atomic clock) समय को सबसे अधिक सटीक रूप से मापती है क्योंकि इसकी सटीकता $10^{13} \ s$ में $1 \ s$ होती है।