Measurement Questions in Hindi

(N/A) दिए गए आरेख पर विचार करें।
मान लीजिए $D_{me}$ पृथ्वी से चंद्रमा की दूरी है।
मान लीजिए $D_{se}$ पृथ्वी से सूर्य की दूरी है।
मान लीजिए $R_m$ चंद्रमा की त्रिज्या है और $R_s$ सूर्य की त्रिज्या है।
चूंकि चंद्रमा सूर्य को ढक लेता है,इसलिए पृथ्वी पर दोनों द्वारा बनाया गया कोणीय व्यास $\theta$ समान होता है।
कोणीय व्यास के सूत्र $\theta = \frac{\text{व्यास}}{\text{दूरी}}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:
$\theta = \frac{2R_s}{D_{se}} = \frac{2R_m}{D_{me}}$
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{R_s}{D_{se}} = \frac{R_m}{D_{me}}$
अतः,संबंध इस प्रकार है:
$\frac{R_s}{R_m} = \frac{D_{se}}{D_{me}}$
यह दर्शाता है कि सूर्य और चंद्रमा के आकारों का अनुपात पृथ्वी से उनकी संबंधित दूरियों के अनुपात के बराबर होता है।

(A) $r$ दूरी पर स्थित एक बिंदु पर $A$ क्षेत्रफल द्वारा अंतरित ठोस कोण $\Omega$ को सूत्र $\Omega = \frac{A}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,क्षेत्रफल $A = 1 \, cm^2$ और दूरी $r = 5 \, cm$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Omega = \frac{1 \, cm^2}{(5 \, cm)^2} = \frac{1}{25} \, sr$.
$\Omega = 0.04 \, sr$.
अतः,अंतरित ठोस कोण $0.04 \, sr$ है।

(C) ओलिक एसिड को अल्कोहल में घोला जाता है क्योंकि यह पानी में नहीं घुलता है,जिससे यह पानी की सतह पर एक अलग परत बना सकता है।
$(b)$ लाइकोपोडियम पाउडर को पानी की सतह पर छिड़का जाता है ताकि ओलिक एसिड फिल्म की सीमा दिखाई दे सके। जैसे-जैसे ओलिक एसिड फैलता है,यह पाउडर को दूर धकेलता है,जिससे एक स्पष्ट गोलाकार क्षेत्र बन जाता है जिसे मापा जा सकता है।
$(c)$ घोल की सांद्रता: पहला तनुकरण: $20\, mL$ में $1\, mL$। दूसरा तनुकरण: पहले घोल के $1\, mL$ को $20\, mL$ में। इस प्रकार,अंतिम घोल के प्रति $mL$ ओलिक एसिड का आयतन $\frac{1}{20} \times \frac{1}{20} = \frac{1}{400}\, mL$ है।
$(d)$ $n$ बूंदों के आयतन की गणना एक ब्यूरेट या मापक सिलेंडर का उपयोग करके बूंदों की एक ज्ञात संख्या का कुल आयतन मापकर और फिर उसे $n$ से विभाजित करके की जा सकती है।
$(e)$ यदि $n$ बूंदें $1\, mL$ बनाती हैं,तो एक बूंद का आयतन $\frac{1}{n}\, mL$ होता है। चूंकि सांद्रता $\frac{1}{400}\, mL$ प्रति $mL$ है,इसलिए एक बूंद में ओलिक एसिड का आयतन $\frac{1}{400n}\, mL$ होगा।

(N/A) परिभाषा के अनुसार,$1$ पारसेक वह दूरी है जिस पर $1 AU$ लंबाई का चाप $1^{\prime \prime}$ का कोण बनाता है।
चूंकि $1^{\circ} = 3600^{\prime \prime}$ और $1^{\circ} = \frac{\pi}{180} \text{ rad}$,इसलिए $1^{\prime \prime} = \frac{\pi}{180 \times 3600} \text{ rad}$ होता है।
अतः,$1 \text{ parsec} = \frac{1 AU}{1^{\prime \prime}} = \frac{180 \times 3600}{\pi} AU \approx 2.06 \times 10^{5} AU$.
$(b)$ $1 AU$ की दूरी पर सूर्य का कोणीय व्यास $0.5^{\circ} = 30^{\prime}$ है। $2$ पारसेक $(2 \times 2.06 \times 10^{5} AU)$ की दूरी पर,तारे का कोणीय व्यास $\alpha = \frac{0.5^{\circ}}{2 \times 2.06 \times 10^{5}} \approx 1.21 \times 10^{-6} \text{ degrees} \approx 0.0044^{\prime \prime}$ है।
$100$ आवर्धन के साथ,स्पष्ट आकार $100 \times 0.0044^{\prime \prime} = 0.44^{\prime \prime}$ होगा। चूंकि $0.44^{\prime \prime} < 1^{\prime}$,तारा स्पष्ट रूप से दिखाई नहीं देगा और वायुमंडलीय अशांति के कारण यह केवल एक बिंदु स्रोत के रूप में दिखाई देगा।
$(c)$ मंगल का व्यास $0.5 \times D_{Earth}$ है। कोणीय आकार $\theta = \frac{\text{Diameter}}{\text{Distance}}$। $0.5 AU$ की दूरी पर,$\theta_{Mars} = \frac{0.5 \times D_{Earth}}{0.5 AU} = \frac{D_{Earth}}{1 AU} \approx 0.5^{\circ} = 30^{\prime}$ है।
$100$ आवर्धन के साथ,स्पष्ट आकार $100 \times 30^{\prime} = 3000^{\prime} = 50^{\circ}$ होगा।

(B) हम जानते हैं कि $1^{\circ} = 60^{\prime}$ (चाप की मिनट) होता है।
इसलिए,$1^{\prime} = (1/60)^{\circ}$।
डिग्री को रेडियन में बदलने के लिए,हम $\frac{\pi}{180}$ से गुणा करते हैं।
अतः,$1^{\prime} = \left(\frac{1}{60}\right) \times \left(\frac{\pi}{180}\right) \text{ rad}$।
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1^{\prime} = \frac{3.14159}{10800} \text{ rad} \approx 2.9088 \times 10^{-4} \text{ rad}$।
तीन सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $2.91 \times 10^{-4} \text{ rad}$ प्राप्त होता है।

(B) $100$ बूंदों का कुल आयतन $V_{total} = 100 \times \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
दिया गया है $r = \left(\frac{3}{40 \pi}\right)^{1/3} \times 10^{-3} \, cm$,इसलिए $r^3 = \frac{3}{40 \pi} \times 10^{-9} \, cm^3$.
$V_{total} = 100 \times \frac{4}{3} \pi \times \frac{3}{40 \pi} \times 10^{-9} = 10^{-8} \, cm^3$.
परत की मोटाई $t_T$ को $Area \times t_T = V_{total}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$4 \, cm^2 \times t_T = 10^{-8} \, cm^3 \implies t_T = 0.25 \times 10^{-8} = 25 \times 10^{-10} \, cm$.
मीटर में बदलने पर: $t_T = 25 \times 10^{-12} \, m$.
ओलिक एसिड की सांद्रता $0.01$ है,इसलिए ओलिक एसिड की परत की मोटाई $t_0 = 0.01 \times t_T$ होगी।
$t_0 = 0.01 \times 25 \times 10^{-12} \, m = 25 \times 10^{-14} \, m$.
$x \times 10^{-14} \, m$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 25$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त की त्रिज्या $R$,$R = \frac{\ell}{\theta}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\ell$ चाप की लंबाई है और $\theta$ रेडियन में कोण है।
दिया गया है $\ell = 4.4 \; ly = 4.4 \times 9.46 \times 10^{15} \; m$.
कोण $\theta = 4'' = \frac{4}{3600} \times \frac{\pi}{180} \; rad$.
इन मानों को रखने पर,$R = \frac{4.4 \times 9.46 \times 10^{15}}{\frac{4}{3600} \times \frac{\pi}{180}} \; m$.
वृत्त की परिधि $C = 2\pi R$ है।
$4$ चक्करों के लिए,कुल दूरी $D = 4 \times 2\pi R = 8\pi R$.
गति $v = 8 \; AU/s = 8 \times 1.5 \times 10^{11} \; m/s$.
लिया गया समय $t = \frac{D}{v} = \frac{8\pi R}{v} = \frac{8\pi}{v} \times \frac{\ell}{\theta}$.
मान रखने पर: $t = \frac{8 \times \pi \times 4.4 \times 9.46 \times 10^{15}}{8 \times 1.5 \times 10^{11} \times (\frac{4}{3600} \times \frac{\pi}{180})}$.
सरल करने पर,हमें $t \approx 4.5 \times 10^{10} \; s$ प्राप्त होता है।

(C) कोणीय व्यास $\theta$ को सूत्र $\theta = \frac{d}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ सूर्य का व्यास है और $r$ पृथ्वी से दूरी है।
सबसे पहले,कोणीय व्यास को सेकंड $(s)$ से रेडियन में बदलें:
$\theta = 2000 \,s = \frac{2000}{60 \times 60} \text{ डिग्री} = \frac{2000}{3600} \times \frac{\pi}{180} \text{ रेडियन}$.
दिया गया है $r = 1.5 \times 10^{11} \,m$.
सूत्र $d = \theta \times r$ में मान रखने पर:
$d = \left( \frac{2000}{3600} \times \frac{\pi}{180} \right) \times (1.5 \times 10^{11})$
$d = \left( \frac{20}{36} \times \frac{\pi}{180} \right) \times 1.5 \times 10^{11}$
$d \approx (0.555 \times 0.01745) \times 1.5 \times 10^{11}$
$d \approx 0.00969 \times 1.5 \times 10^{11} \approx 1.45 \times 10^{9} \,m$.

(C) ग्रह की पृथ्वी से दूरी $D$ है और वेधशाला में ग्रह के व्यास $d$ द्वारा अंतरित कोण $\theta$ है।
समतल कोण की परिभाषा का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:
$\theta = \frac{\text{चाप की लंबाई}}{\text{त्रिज्या}}$
यहाँ,चाप की लंबाई ग्रह का व्यास $d$ है और त्रिज्या दूरी $D$ है।
इसलिए,$\theta = \frac{d}{D}$।
व्यास $d$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$d = D \theta$।

(B) दिया गया है,तार की वास्तविक लंबाई $l_0 = 3.678 \,cm$.
उपकरण $A$ द्वारा मापन $l_A = 3.5 \,cm$.
उपकरण $B$ द्वारा मापन $l_B = 3.38 \,cm$.
सटीकता (Accuracy) इस बात से निर्धारित होती है कि मापा गया मान वास्तविक मान के कितना करीब है। $A$ के लिए निरपेक्ष त्रुटि $|3.678 - 3.5| = 0.178 \,cm$ है,और $B$ के लिए $|3.678 - 3.38| = 0.298 \,cm$ है। चूंकि $0.178 < 0.298$ है,इसलिए मापन $A$ अधिक सटीक है。
यथार्थता (Precision) उपकरण के रिज़ॉल्यूशन या दशमलव स्थानों की संख्या द्वारा निर्धारित होती है। उपकरण $A$ एक दशमलव स्थान तक मापता है,जबकि उपकरण $B$ दो दशमलव स्थानों तक मापता है। इसलिए,उपकरण $B$ अधिक यथार्थ है।

(A) किसी उपकरण का अल्पतमांक वह सबसे छोटा मान है जिसे उसके द्वारा मापा जा सकता है।
दिए गए पाठ्यांक $1.24 \ mm, 1.25 \ mm, 1.23 \ mm$ और $1.21 \ mm$ हैं,जो सभी मिलीमीटर में दशमलव के दो स्थानों तक रिकॉर्ड किए गए हैं।
इसका तात्पर्य यह है कि उपकरण सौवें भाग $(0.01 \ mm)$ तक के परिवर्तनों को माप सकता है।
अतः,उपकरण का अल्पतमांक $0.01 \ mm$ है।