Isobaric and Isochoric Processes Questions in Hindi

(A) समदाबी प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W = P \Delta V = nR \Delta T$ होता है।
स्थिर दाब पर दी गई ऊष्मा $Q = n C_p \Delta T$ होती है।
मेयर के संबंध के अनुसार,$C_p = C_v + R$ (जहाँ $C_v$ और $C_p$ मोलर ऊष्मा धारिताएँ हैं)।
अतः,दी गई ऊष्मा $Q = n(C_v + R) \Delta T = (n C_v + nR) \Delta T$ है।
किए गए कार्य और दी गई ऊष्मा का अनुपात $\frac{W}{Q} = \frac{nR \Delta T}{(n C_v + nR) \Delta T} = \frac{nR}{n C_v + nR}$ होगा।
यदि $C_v$ $n$ मोल की कुल ऊष्मा धारिता है,तो अनुपात $\frac{nR}{C_v + nR}$ प्राप्त होता है।

(C) दृढ़ अणुओं वाली द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्थिर दबाव पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_{p} = \frac{7}{2} R$ होती है।
समदाबी प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = P \Delta V = nR \Delta T = 10 \ J$ द्वारा दिया जाता है।
गैस द्वारा अवशोषित ऊष्मा ऊर्जा $\Delta Q = n C_{p} \Delta T$ होती है।
$C_{p} = \frac{7}{2} R$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Delta Q = n \left( \frac{7}{2} R \right) \Delta T = \frac{7}{2} (nR \Delta T)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $nR \Delta T = W = 10 \ J$ है,इसलिए $\Delta Q = \frac{7}{2} \times 10 \ J = 35 \ J$ होगा।

(C) स्थिर दाब पर एक आदर्श गैस के लिए,दी गई ऊष्मा $Q = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
गैस द्वारा किया गया कार्य $W = P \Delta V = n R \Delta T$ है।
हम जानते हैं कि स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$ होती है।
इस मान को ऊष्मा के समीकरण में रखने पर: $Q = n \left( \frac{\gamma R}{\gamma - 1} \right) \Delta T$.
कार्य के समीकरण से,हमारे पास $n R \Delta T = W$ है। इसे ऊष्मा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$Q = W \left( \frac{\gamma}{\gamma - 1} \right)$.
$W$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$W = Q \left( \frac{\gamma - 1}{\gamma} \right)$.
यहाँ $Q = 100 \ J$ और $\gamma = 1.4$ दिया गया है:
$W = 100 \left( \frac{1.4 - 1}{1.4} \right) = 100 \left( \frac{0.4}{1.4} \right) = 100 \left( \frac{4}{14} \right) = 100 \left( \frac{2}{7} \right) \approx 28.57 \ J$.

(C) एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_p = \frac{5}{2} R$ और स्थिर आयतन पर $C_v = \frac{3}{2} R$ होती है।
स्थिर दाब पर दी गई ऊष्मा $dQ = n C_p dT = n \left( \frac{5}{2} R \right) dT$ द्वारा दी जाती है।
स्थिर दाब पर गैस द्वारा किया गया कार्य $dW = P dV = n R dT$ होता है।
किए गए कार्य को दी गई ऊष्मा से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dW}{dQ} = \frac{n R dT}{n (\frac{5}{2} R) dT} = \frac{1}{5/2} = \frac{2}{5}$.
अतः,गैस द्वारा किया गया कार्य $dW = \frac{2}{5} Q$ होगा।

(N/A) मान लीजिए कि एक सिलेंडर में गैस भरी है,जिसमें $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाला एक घर्षणहीन और गतिशील पिस्टन लगा है। जब गैस स्थिर दबाव $P$ पर फैलती है,तो पिस्टन बाहर की ओर $\Delta x$ की छोटी दूरी तक विस्थापित होता है।
गैस द्वारा पिस्टन पर लगाया गया बल $F = P \times A$ है।
इस छोटे विस्थापन $\Delta x$ के दौरान गैस द्वारा किया गया कार्य है:
$\Delta W = F \times \Delta x = (P \times A) \times \Delta x$
चूंकि आयतन में परिवर्तन $\Delta V = A \times \Delta x$ है,हम लिख सकते हैं:
$\Delta W = P \Delta V$
स्थिर दबाव $P$ पर आयतन में $V_i$ से $V_f$ तक के निश्चित परिवर्तन के लिए,कुल कार्य है:
$W = \int_{V_i}^{V_f} P \, dV = P(V_f - V_i) = P \Delta V$
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$। कार्य के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta Q = \Delta U + P \Delta V$

(A) समदाबी प्रक्रिया में,निकाय का दबाव $P$ पूरी प्रक्रिया के दौरान स्थिर रहता है।
गैस द्वारा किया गया कार्य $W$,समाकलन $W = \int_{V_i}^{V_f} P \, dV$ द्वारा परिभाषित होता है।
चूंकि $P$ स्थिर है,इसे समाकलन से बाहर लिया जा सकता है: $W = P \int_{V_i}^{V_f} dV$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर,हमें $W = P [V]_{V_i}^{V_f}$ प्राप्त होता है।
अतः,किया गया कार्य $W = P(V_f - V_i)$ है,जहाँ $V_f$ अंतिम आयतन है और $V_i$ प्रारंभिक आयतन है।

(A) $P-V$ आरेख में:
$1$. $V$-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा यह दर्शाती है कि जैसे-जैसे आयतन $V$ बदलता है,दाब $P$ स्थिर रहता है। यह एक समदाबी प्रक्रिया को दर्शाता है। अतः,$(a)$ का मिलान $(ii)$ से होता है।
$2$. $P$-अक्ष के समानांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा यह दर्शाती है कि जैसे-जैसे दाब $P$ बदलता है,आयतन $V$ स्थिर रहता है। यह एक समआयतनिक प्रक्रिया को दर्शाता है। अतः,$(b)$ का मिलान $(iii)$ से होता है।

(N/A) वह प्रक्रिया जिसके दौरान निकाय का आयतन स्थिर रहता है,समआयतनिक प्रक्रिया कहलाती है। समआयतनिक प्रक्रिया में आयतन $V$ स्थिर रहता है।
चूंकि कार्य $W = P \Delta V$ होता है और $\Delta V = 0$ है,इसलिए किया गया कार्य $W = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$। चूंकि $\Delta W = 0$ है,इसलिए $\Delta Q = \Delta U$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि यदि ऊष्मा अवशोषित होती है,तो आंतरिक ऊर्जा बढ़ती है,जिससे तापमान में वृद्धि होती है। इसके विपरीत,यदि गैस ऊष्मा का उत्सर्जन करती है,तो आंतरिक ऊर्जा घटती है,जिससे तापमान में कमी आती है।
दी गई ऊष्मा के लिए तापमान में परिवर्तन को स्थिर आयतन पर गैस की विशिष्ट ऊष्मा धारिता के सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:
$C_v = \frac{\Delta Q}{\mu \Delta T} \implies \Delta T = \frac{\Delta Q}{\mu C_v}$,जहाँ $\mu$ मोलों की संख्या है।

(N/A) वह प्रक्रिया जिसके दौरान निकाय का दाब स्थिर रहता है,समदाबी प्रक्रिया कहलाती है।
मान लीजिए,$P-V$ आरेख के अनुसार दाब अवस्था $(V_1, P)$ से $(V_2, P)$ तक स्थिर रहता है।
स्थिर दाब पर गैस द्वारा किया गया कार्य $W$ इस प्रकार है:
$W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV$
चूंकि दाब $P$ स्थिर है,इसलिए इसे समाकलन से बाहर लिया जा सकता है:
$W = P \int_{V_1}^{V_2} dV$
$W = P [V_2 - V_1]$
$W = P \Delta V$
आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ का उपयोग करते हुए,हम कार्य को तापमान परिवर्तन के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$PV_1 = \mu RT_1$
$PV_2 = \mu RT_2$
इन मानों को कार्य के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$W = \mu RT_2 - \mu RT_1$
$W = \mu R(T_2 - T_1)$
$W = \mu R \Delta T$

(N/A) समदाबी प्रक्रिया एक ऐसी ऊष्मागतिक प्रक्रिया है जिसमें निकाय का दाब $P$ स्थिर रहता है।
एक आदर्श गैस के लिए,प्रक्रिया के दौरान किया गया कार्य $W$,समाकलन $W = \int_{V_i}^{V_f} P \, dV$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि समदाबी प्रक्रिया में दाब $P$ स्थिर होता है,इसलिए इसे समाकलन से बाहर निकाला जा सकता है:
$W = P \int_{V_i}^{V_f} dV$
$W = P(V_f - V_i)$
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करके,हम इसे इस प्रकार भी व्यक्त कर सकते हैं:
$W = nR(T_f - T_i)$
जहाँ $n$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$V_i$ और $V_f$ प्रारंभिक और अंतिम आयतन हैं,और $T_i$ और $T_f$ प्रारंभिक और अंतिम तापमान हैं।

(N/A) समदाबी प्रक्रिया में,दाब $P$ स्थिर रहता है। इसलिए,$P-V$ आरेख आयतन अक्ष ($V$-अक्ष) के समानांतर एक सीधी रेखा होती है।
समआयतनिक प्रक्रिया में,आयतन $V$ स्थिर रहता है। इसलिए,$P-V$ आरेख दाब अक्ष ($P$-अक्ष) के समानांतर एक सीधी रेखा होती है।

(A) $P-V$ आरेख में:
$1$. ग्राफ $(a)$ एक क्षैतिज रेखा है,जिसका अर्थ है कि आयतन $V$ के बदलने पर दाब $P$ स्थिर रहता है। यह समदाबी प्रक्रिया को दर्शाता है।
$2$. ग्राफ $(b)$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,जिसका अर्थ है कि दाब $P$ के बदलने पर आयतन $V$ स्थिर रहता है। यह समआयतनिक प्रक्रिया को दर्शाता है।
अतः,सही मिलान है: $(a-ii), (b-iii)$.

(D) $P-V$ आरेख में,$y$-अक्ष दबाव $(P)$ को दर्शाता है और $x$-अक्ष आयतन $(V)$ को दर्शाता है।
दिए गए चित्र से,प्रक्रिया को दर्शाने वाली रेखा क्षैतिज है,जिसका अर्थ है कि जैसे-जैसे आयतन $(V)$ प्रारंभिक अवस्था से अंतिम अवस्था में बदलता है,दबाव $(P)$ स्थिर रहता है।
वह ऊष्मागतिक प्रक्रिया जिसमें निकाय का दबाव स्थिर रहता है,उसे समदाबी प्रक्रिया कहा जाता है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(A) समदाबी प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W$ और दी गई ऊष्मा $Q$ इस प्रकार हैं:
$W = n R \Delta T$
$Q = n C_p \Delta T$
चूंकि $C_p = \frac{f}{2} R + R = (\frac{f}{2} + 1) R$,इसलिए:
$\frac{W}{Q} = \frac{n R \Delta T}{n (\frac{f}{2} + 1) R \Delta T} = \frac{1}{\frac{f}{2} + 1}$
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ है।
$f = 5$ रखने पर:
$\frac{W}{Q} = \frac{1}{\frac{5}{2} + 1} = \frac{1}{\frac{7}{2}} = \frac{2}{7}$
अतः,$Q = \frac{7}{2} W$.
यहाँ $W = 10 \ J$ दिया गया है,इसलिए:
$Q = \frac{7}{2} \times 10 = 35 \ J$.

(B) आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $dU = n C_{v} dT$ द्वारा दिया जाता है।
नियत दाब पर दी गई ऊष्मा $dQ = n C_{p} dT$ द्वारा दी जाती है।
समदाबी प्रक्रिया में किया गया कार्य $dW = P dV = n R dT$ होता है।
अतः,$dU : dQ : dW$ का अनुपात $n C_{v} dT : n C_{p} dT : n R dT$ होगा,जो सरल होकर $C_{v} : C_{p} : R$ हो जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर,हमें $\frac{5}{2} R : \frac{7}{2} R : R$ प्राप्त होता है।
$\frac{2}{R}$ से गुणा करने पर,हमें $5 : 7 : 2$ का अनुपात प्राप्त होता है।

(A) चूंकि गैस का दबाव स्थिर रहता है,इसलिए यह प्रक्रिया समदाबी (isobaric) प्रक्रिया है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए जहाँ अणु घूर्णन करते हैं लेकिन दोलन नहीं करते,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T = n \left( \frac{f}{2} R \right) \Delta T = \frac{5}{2} n R \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
समदाबी प्रक्रिया में गैस द्वारा किया गया कार्य $W = P \Delta V = n R \Delta T$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन और किए गए कार्य का अनुपात $\frac{\Delta U}{W} = \frac{\frac{5}{2} n R \Delta T}{n R \Delta T} = \frac{5}{2} = 2.5$ है।
यह दिया गया है कि यह अनुपात $\frac{x}{10}$ है,इसलिए $\frac{x}{10} = 2.5$ है।
अतः,$x = 2.5 \times 10 = 25$।

(D) समदाबीय प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W = P \Delta V = nR \Delta T = 400 \ J$ द्वारा दिया जाता है।
गैस को दी गई ऊष्मा $Q = nC_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$,इसलिए $Q = n \left( \frac{\gamma R}{\gamma - 1} \right) \Delta T$ होता है।
$nR \Delta T = W = 400 \ J$ और $\gamma = 1.4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$Q = \frac{\gamma}{\gamma - 1} \times W = \frac{1.4}{1.4 - 1} \times 400$.
$Q = \frac{1.4}{0.4} \times 400 = 3.5 \times 400 = 1400 \ J$.

(C) नियत दाब पर दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
नियत दाब पर गैस द्वारा किया गया कार्य $\Delta W = p \Delta V = n R \Delta T$ है।
किए गए कार्य और दी गई ऊष्मा का अनुपात $\frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{n R \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{R}{C_p}$ है।
संबंध $R = C_p - C_V$ का उपयोग करते हुए,हमें $\frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{C_p - C_V}{C_p} = 1 - \frac{C_V}{C_p} = 1 - \frac{1}{\gamma}$ प्राप्त होता है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma = 7/5$ है।
अतः,अनुपात $1 - \frac{1}{7/5} = 1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}$ है।

(D) सिलेंडर $A$ में मुक्त पिस्टन है,जिसका अर्थ है कि प्रक्रिया स्थिर दबाव पर होती है। दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_P \Delta T_A = n C_P T_0$ द्वारा दी जाती है।
सिलेंडर $B$ में स्थिर पिस्टन है,जिसका अर्थ है कि प्रक्रिया स्थिर आयतन पर होती है। दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_V \Delta T_B$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों सिलेंडरों को समान मात्रा में ऊष्मा दी जाती है,इसलिए हमारे पास है:
$n C_P T_0 = n C_V \Delta T_B$
$\Delta T_B = \frac{C_P}{C_V} T_0$
आदर्श एकपरमाणुक गैस के लिए,विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{5}{3}$ होता है।
इसलिए,$\Delta T_B = \frac{5}{3} T_0$।

(B) समआयतनिक प्रक्रिया में,निकाय का आयतन स्थिर रहता है,इसलिए आयतन में परिवर्तन $\Delta V = 0$ होता है।
निकाय द्वारा किया गया कार्य $\Delta W = P \Delta V$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $\Delta W = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ होता है।
इस समीकरण में $\Delta W = 0$ रखने पर,हमें $\Delta Q = \Delta U$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए ग्राफ से, दबाव $P$ निरपेक्ष तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक है, यानी $P \propto T$ या $P = kT$ (जहाँ $k$ एक नियतांक है)।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए, $P = kT$ प्रतिस्थापित करने पर हमें $(kT)V = nRT$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $V = nR/k = \text{नियतांक}$ हो जाता है।
चूंकि पूरी प्रक्रिया के दौरान आयतन $V$ स्थिर रहता है, इसलिए यह एक समआयतनिक (isochoric) प्रक्रिया है।
समआयतनिक प्रक्रिया के लिए एक आदर्श गैस की मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V$ द्वारा दी जाती है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए, स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ होती है।
इसलिए, मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{f}{2}R = \frac{5}{2}R = 2.5R$ है।
अतः, मोलर विशिष्ट ऊष्मा $2.5R$ है।

(C) स्थिर आयतन पर होने वाली प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W = 0$ होता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$,इसलिए $\Delta Q = \Delta U$।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = m \cdot c_v \cdot \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
$m = 0.08 \text{ kg}$
$c_v = 0.17 \text{ kcal/kg}^{\circ} \text{C} = 0.17 \times 1000 \text{ cal/kg}^{\circ} \text{C} = 170 \text{ cal/kg}^{\circ} \text{C}$
$\Delta T = 5^{\circ} \text{C}$
$J = 4.18 \text{ J/cal}$
मान रखने पर:
$\Delta U = 0.08 \text{ kg} \times 170 \text{ cal/kg}^{\circ} \text{C} \times 5^{\circ} \text{C} \times 4.18 \text{ J/cal}$
$\Delta U = 0.08 \times 170 \times 5 \times 4.18 \text{ J}$
$\Delta U = 68 \times 4.18 \text{ J}$
$\Delta U = 284.24 \text{ J}$
अतः,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन लगभग $284 \text{ J}$ है।

(D) एक द्विपरमाणुक गैस के लिए, स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ होती है।
समदाबीय प्रक्रिया में, किया गया कार्य $W = nR\Delta T = 200 \,J$ द्वारा दिया जाता है।
गैस को दी गई ऊष्मा $Q = nC_p\Delta T$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $C_p = \frac{f+2}{2}R$, इसलिए $Q = \left(\frac{f+2}{2}\right) nR\Delta T$ होता है।
मान $f = 5$ और $nR\Delta T = 200 \,J$ रखने पर:
$Q = \left(\frac{5+2}{2}\right) \times 200 = \frac{7}{2} \times 200 = 700 \,J$.

(A) समदाबी प्रक्रिया के लिए, किया गया कार्य $W = P \Delta V = nR \Delta T = 100 \,J$ द्वारा दिया जाता है।
गैस को दी गई ऊष्मा ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम द्वारा दी जाती है: $Q = \Delta U + W$.
द्विपरमाणुक गैस के लिए, स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ है। आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = \frac{f}{2} nR \Delta T = \frac{5}{2} nR \Delta T$ है।
$\Delta U$ और $W$ का मान ऊष्मा समीकरण में रखने पर: $Q = \frac{5}{2} nR \Delta T + nR \Delta T = \left(\frac{5}{2} + 1\right) nR \Delta T = \frac{7}{2} nR \Delta T$.
चूंकि $nR \Delta T = 100 \,J$, इसलिए $Q = \frac{7}{2} \times 100 = 350 \,J$ प्राप्त होता है।

(D) $P-V$ आरेख में,गैस द्वारा किया गया कार्य वक्र के नीचे के क्षेत्रफल द्वारा दिया जाता है,जो $\int P \ dV$ है।
पथ $b \to c$ के अनुदिश,आयतन $V$ का मान $400 \ cm^3$ पर स्थिर रहता है।
चूंकि आयतन में कोई परिवर्तन नहीं होता है $(dV = 0)$,इसलिए यह एक समआयतनिक (isochoric) प्रक्रिया है।
अतः,पथ $b \to c$ के अनुदिश गैस द्वारा किया गया कार्य $W = P \Delta V = P \times 0 = 0 \ J$ है।

(D) चूंकि गुब्बारा पूरी तरह से फैलने योग्य है और विस्तार के लिए किसी ऊर्जा की आवश्यकता नहीं है,इसलिए गुब्बारे के अंदर का दबाव स्थिर (वायुमंडलीय दबाव के बराबर) रहता है। अतः,यह प्रक्रिया समदाबी (isobaric) है।
समदाबी प्रक्रिया के लिए,आवश्यक ऊष्मा $\Delta Q = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
हीलियम जैसी एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ है।
स्थिर दबाव पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = \frac{f}{2} R + R = \frac{3}{2} R + R = \frac{5}{2} R$ होती है।
दिया गया है: $n = 2 \ mol$,$\Delta T = 35^{\circ} C - 30^{\circ} C = 5 \ K$,और $R = 8.31 \ J / mol \cdot K$.
मान रखने पर:
$\Delta Q = 2 \times \left( \frac{5}{2} \times 8.31 \right) \times 5$
$\Delta Q = 5 \times 8.31 \times 5 = 25 \times 8.31 = 207.75 \ J$.
निकटतम पूर्णांक में,$\Delta Q \approx 208 \ J$ प्राप्त होता है।

(B) एक आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ है।
दिया गया है कि दबाव $P$ तापमान $T$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है,इसलिए $P = kT$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
इसे आदर्श गैस समीकरण में रखने पर: $(kT)V = nRT$।
इसे सरल करने पर $V = \frac{nR}{k} = \text{स्थिर}$ प्राप्त होता है।
चूंकि आयतन $V$ स्थिर है,इसलिए यह प्रक्रिया समआयतनिक (isochoric) है।
$1.$ किया गया कार्य $W = \int P dV = 0$ क्योंकि $dV = 0$ है। अतः,कथन $A$ सही है।
$2.$ ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = \Delta U + W$ है। चूंकि $W = 0$ है,इसलिए $Q = \Delta U$ है। अतः,कथन $B$ गलत है।
$3.$ चूंकि आयतन स्थिर है,इसलिए कथन $C$ गलत है।
$4.$ जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,आंतरिक ऊर्जा $\Delta U = nC_v \Delta T$ बढ़ती है। अतः,कथन $D$ सही है।
$5.$ चूंकि आयतन स्थिर है,इसलिए यह प्रक्रिया समआयतनिक है। अतः,कथन $E$ सही है।
अतः,कथन $A, D,$ और $E$ सही हैं।

(A) समदाबी प्रक्रिया के लिए,जोड़ी गई ऊष्मा $E_1 = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $E_2 = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{n C_p \Delta T}{n C_v \Delta T} = \frac{C_p}{C_v} = \gamma$ है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ है।
रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ है।
दिया गया है कि $\frac{E_1}{E_2} = \frac{x}{9}$,इसलिए $\frac{5}{3} = \frac{x}{9}$ है।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = \frac{5 \times 9}{3} = 15$ प्राप्त होता है।

(A) समदाबी प्रक्रिया के लिए,दी गई ऊष्मा $\Delta Q = \mu C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,जहाँ $\Delta U = \mu C_v \Delta T$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है और $\Delta W$ किया गया कार्य है।
अतः,$\Delta W = \Delta Q - \Delta U = \mu C_p \Delta T - \mu C_v \Delta T = \mu (C_p - C_v) \Delta T$.
कार्य में परिवर्तित ऊष्मा का अंश $f = \frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{\mu (C_p - C_v) \Delta T}{\mu C_p \Delta T} = 1 - \frac{C_v}{C_p} = 1 - \frac{1}{\gamma}$.
मोनोएटॉमिक गैस के लिए,एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma = 5/3$ है।
इसलिए,$f = 1 - \frac{1}{5/3} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.

(D) एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ है।
स्थिर दाब पर,मोलर ऊष्मा धारिता $C_P = \frac{5}{2}R$ है और स्थिर आयतन पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_V = \frac{3}{2}R$ है।
दी गई कुल ऊष्मा $\Delta Q = n C_P \Delta T$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_V \Delta T$ है।
आंतरिक ऊर्जा को बदलने में उपयोग की गई ऊष्मा का अंश $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{n C_V \Delta T}{n C_P \Delta T} = \frac{C_V}{C_P}$ है।
मान रखने पर,$\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{\frac{3}{2}R}{\frac{5}{2}R} = \frac{3}{5} = 0.6$ प्राप्त होता है।
अतः,उपयोग की गई कुल ऊष्मा का प्रतिशत $0.6 \times 100 = 60 \%$ है।

(B) नियत दाब पर एक प्रक्रिया के लिए,ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम $Q = \Delta U + W$ है।
दी गई ऊष्मा $Q = n C_p \Delta T$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ है।
किया गया बाह्य कार्य $W = Q - \Delta U = n C_p \Delta T - n C_v \Delta T = n (C_p - C_v) \Delta T = n R \Delta T$ है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,$C_v = \frac{3}{2} R$ और $C_p = \frac{5}{2} R$ होता है।
कार्य के लिए प्रयुक्त ऊष्मा का अंश $\frac{W}{Q} = \frac{n R \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{R}{C_p} = \frac{R}{\frac{5}{2} R} = \frac{2}{5}$ है।
प्रतिशत में बदलने पर: $\frac{2}{5} \times 100 \% = 40 \%$।

(D) नियत दाब पर होने वाली प्रक्रिया के लिए,दी गई ऊष्मा $dQ = n C_p dT$ है।
गैस द्वारा किया गया कार्य $dW = P dV = n R dT$ है।
बाह्य कार्य करने में उपयोग की गई ऊष्मा ऊर्जा का अंश $\frac{dW}{dQ} = \frac{n R dT}{n C_p dT} = \frac{R}{C_p}$ है।
हम जानते हैं कि $C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$।
यह मान रखने पर,$\frac{dW}{dQ} = \frac{R}{\frac{\gamma R}{\gamma - 1}} = \frac{\gamma - 1}{\gamma} = 1 - \frac{1}{\gamma}$।
यहाँ $\gamma = \frac{5}{3}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{dW}{dQ} = 1 - \frac{1}{5/3} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$।
प्रतिशत में बदलने पर: $\frac{2}{5} \times 100 \% = 40 \%$।

(C) समदाबी प्रक्रिया के लिए,दाब $P$ स्थिर रहता है।
निकाय को दी गई ऊष्मा $Q = n C_{P} \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
निकाय द्वारा किया गया कार्य $W = P \Delta V$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,स्थिर दाब प्रक्रिया के लिए,$P \Delta V = nR \Delta T$ होता है।
इसलिए,$W = nR \Delta T$।
दी गई ऊष्मा और किए गए कार्य का अनुपात $\frac{Q}{W} = \frac{n C_{P} \Delta T}{n R \Delta T} = \frac{C_{P}}{R}$ है।
हम जानते हैं कि $C_{P} - C_{V} = R$,इसलिए $R = C_{P} - C_{V}$।
अनुपात में $R$ का मान रखने पर: $\frac{Q}{W} = \frac{C_{P}}{C_{P} - C_{V}}$।
अंश और हर को $C_{V}$ से विभाजित करने पर: $\frac{Q}{W} = \frac{C_{P}/C_{V}}{(C_{P}/C_{V}) - 1}$।
चूंकि $\frac{C_{P}}{C_{V}} = \gamma$,इसलिए हमें $\frac{Q}{W} = \frac{\gamma}{\gamma - 1}$ प्राप्त होता है।

(D) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$dQ = dU + dW$,जहाँ $dW = P dV$ है।
समआयतनिक प्रक्रिया के लिए,आयतन स्थिर रहता है,जिसका अर्थ है कि $dV = 0$ है।
परिणामस्वरूप,किया गया कार्य $dW = P dV = 0$ होता है।
इस मान को प्रथम नियम के समीकरण में रखने पर,हमें $dQ = dU + 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $dQ = dU$ हो जाता है।
अतः,शर्त $dQ = dU$ समआयतनिक प्रक्रिया के लिए सत्य है।

(C) स्थिर दाब पर गर्म की गई आदर्श गैस के लिए,दी गई ऊष्मा $(Q_p)$ का सूत्र $Q_p = n C_p \Delta T = 100 \ J$ है।
गैस द्वारा किया गया कार्य $W = n R \Delta T$ है।
हम जानते हैं कि $C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$ होता है।
इस मान को ऊष्मा के समीकरण में रखने पर: $Q_p = n \left( \frac{\gamma R}{\gamma - 1} \right) \Delta T = 100 \ J$।
अतः,$n R \Delta T = Q_p \left( \frac{\gamma - 1}{\gamma} \right)$।
दिया गया है कि $\gamma = 5/3$,इसलिए $\frac{\gamma - 1}{\gamma} = \frac{5/3 - 1}{5/3} = \frac{2/3}{5/3} = 2/5$।
इस प्रकार,$W = 100 \ J \times (2/5) = 40 \ J$।

(D) आइसोकोरिक (स्थिर आयतन) स्थितियों के तहत,आयतन में परिवर्तन $dV = 0$ होता है।
चूंकि किया गया कार्य $dW = P \cdot dV$ है,इसलिए $dW = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$dQ = dU + dW$ होता है।
$dW = 0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $dQ = dU$ प्राप्त होता है।

(D) एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा केवल तापमान का फलन होती है। जब कोई कार्य नहीं किया जाता है,तो प्रक्रिया समआयतनिक (constant volume) होती है,इसलिए $\Delta W = 0$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ है।
चूंकि $\Delta W = 0$ है,इसलिए दी गई ऊष्मा आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होती है: $\Delta Q = \Delta U = n C_V \Delta T$।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{3}{2} R$ होती है।
यहाँ $n = 2$ मोल,$\Delta T = 373 \ K - 273 \ K = 100 \ K$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\Delta Q = 2 \times \frac{3}{2} R \times 100 = 300 R$।

(D) प्रसार के दौरान गैस द्वारा किया गया कार्य $P-V$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल द्वारा दिया जाता है।
$V_1$ से $V_2$ तक आयतन में दिए गए परिवर्तन के लिए,समतापीय या रुद्धोष्म प्रक्रिया की तुलना में समदाबी प्रक्रिया में दबाव $P$ अधिक रहता है।
चूंकि $W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV$,वक्र के नीचे का क्षेत्रफल समदाबी प्रक्रिया के लिए सबसे अधिक होता है।
इसलिए,गैस द्वारा किया गया कार्य तब अधिकतम होता है जब प्रसार समदाबी होता है।

(A) आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
संबंध $C_v = \frac{R}{\gamma-1}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\Delta U = n \left( \frac{R}{\gamma-1} \right) \Delta T$ प्राप्त होता है।
आदर्श गैस नियम $PV = nRT$ से,स्थिर दाब $P$ पर,हमारे पास $P \Delta V = nR \Delta T$ है।
इसे आंतरिक ऊर्जा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta U = \frac{P \Delta V}{\gamma-1}$।
यहाँ आयतन $V$ से बदलकर $2V$ हो जाता है,इसलिए आयतन में परिवर्तन $\Delta V = 2V - V = V$ है।
अतः,$\Delta U = \frac{P(V)}{\gamma-1} = \frac{PV}{\gamma-1}$।

(A) समदाबी (isobaric) प्रक्रिया में,पूरी ऊष्मागतिक प्रक्रिया के दौरान निकाय का दाब स्थिर रहता है। परिभाषा के अनुसार,'iso' का अर्थ समान है और 'baric' का अर्थ दाब से है।

(D) समदाबी प्रक्रिया के लिए,दी गई ऊष्मा $\Delta Q = nC_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$,जहाँ $\Delta U = nC_v \Delta T$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है और $W$ किया गया कार्य है।
अतः,$W = \Delta Q - \Delta U = nC_p \Delta T - nC_v \Delta T = n(C_p - C_v) \Delta T$.
अनुपात $\frac{W}{\Delta Q}$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{W}{\Delta Q} = \frac{n(C_p - C_v) \Delta T}{nC_p \Delta T} = \frac{C_p - C_v}{C_p} = 1 - \frac{C_v}{C_p}$.
चूंकि $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$,इसलिए $\frac{C_v}{C_p} = \frac{1}{\gamma}$ होता है।
अतः,$\frac{W}{\Delta Q} = 1 - \frac{1}{\gamma} = \frac{\gamma - 1}{\gamma}$.

(C) समदाबी प्रक्रिया के लिए,दी गई ऊष्मा $Q = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
निकाय द्वारा किया गया कार्य $W = P \Delta V = n R \Delta T$ है।
ऊष्मा और कार्य का अनुपात $\frac{Q}{W} = \frac{n C_p \Delta T}{n R \Delta T} = \frac{C_p}{R}$ है।
हम जानते हैं कि एक आदर्श गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = \frac{R \gamma}{\gamma - 1}$ होती है।
इस मान को अनुपात में रखने पर,हमें $\frac{Q}{W} = \frac{R \gamma / (\gamma - 1)}{R} = \frac{\gamma}{\gamma - 1}$ प्राप्त होता है।

(D) समदाबी प्रक्रिया में, दाब स्थिर रहता है।
विनिमय की गई ऊष्मा $Q = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
निकाय द्वारा किया गया कार्य $W = P \Delta V = n R \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
मेयर के संबंध का उपयोग करते हुए, $R = C_p - C_v$।
इसलिए, $W = n(C_p - C_v) \Delta T$।
किए गए कार्य और ऊष्मा का अनुपात $\frac{W}{Q} = \frac{n(C_p - C_v) \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{C_p - C_v}{C_p} = 1 - \frac{C_v}{C_p}$ है।
चूंकि $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$, इसलिए $\frac{C_v}{C_p} = \frac{1}{\gamma}$।
अतः, $\frac{W}{Q} = 1 - \frac{1}{\gamma} = \frac{\gamma - 1}{\gamma}$।

$(B)$ समआयतनिक प्रक्रिया एक ऐसी ऊष्मागतिक प्रक्रिया है जिसमें निकाय का आयतन स्थिर रहता है $(V = \text{constant})$.
दाब-आयतन $(P-V)$ आरेख में, स्थिर आयतन प्रक्रिया को एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा दर्शाया जाता है, क्योंकि दाब के बदलने पर भी आयतन नहीं बदलता है।
दिए गए विकल्पों को देखने पर, ग्राफ $(B)$ दाब अक्ष के समानांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा दिखाता है, जो यह दर्शाता है कि दाब $P$ के सभी मानों के लिए आयतन $V$ स्थिर है।
इसलिए, ग्राफ $(B)$ समआयतनिक प्रक्रिया को सही ढंग से दर्शाता है।

(B) एक आदर्श दृढ़ द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_p = \frac{7}{2}R$ और स्थिर आयतन पर $C_v = \frac{5}{2}R$ होती है।
समदाबी प्रक्रिया में,दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_p \Delta T$ है और किया गया कार्य $W = P \Delta V = n R \Delta T$ है।
किए गए कार्य और दी गई ऊष्मा का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{W}{\Delta Q} = \frac{n R \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{R}{C_p}$
$C_p$ का मान रखने पर:
$\frac{W}{\Delta Q} = \frac{R}{\frac{7}{2}R} = \frac{2}{7}$

(C) समआयतनिक प्रक्रिया एक ऊष्मागतिक प्रक्रिया है जिसमें निकाय का आयतन $(V)$ स्थिर रहता है।
$P-V$ आरेख में,एक स्थिर आयतन प्रक्रिया को एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा दर्शाया जाता है,क्योंकि $V$ के एक ही मान के लिए,दाब $(P)$ भिन्न हो सकता है।
दिए गए विकल्पों को देखने पर:
ग्राफ $(A)$ में $P$,$V$ के समानुपाती है।
ग्राफ $(B)$ स्थिर दाब (समदाबी) को दर्शाता है।
ग्राफ $(C)$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा दिखाता है,जो इंगित करता है कि $P$ के बदलने पर भी $V$ स्थिर है।
ग्राफ $(D)$ एक वक्र दर्शाता है।
इसलिए,ग्राफ $(C)$ एक समआयतनिक प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करता है।

(C) समआयतनिक प्रक्रिया में,गैस का आयतन स्थिर रहता है।
गे-लुसाक के नियम के अनुसार,स्थिर आयतन पर गैस की निश्चित मात्रा के लिए,दाब उसके परम तापमान के सीधे आनुपातिक होता है $(P \propto T)$।
इसलिए,$\frac{P_1}{P_2} = \frac{T_1}{T_2}$।
सबसे पहले,तापमान को सेल्सियस से केल्विन में बदलें:
$T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$
$T_2 = 127 + 273 = 400 \ K$
इन मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{300}{400} = \frac{3}{4}$।

(A) समआयतनिक (isochoric) प्रक्रिया वह ऊष्मागतिक प्रक्रिया है जो स्थिर आयतन पर होती है।
चूंकि पूरी प्रक्रिया के दौरान आयतन स्थिर रहता है,इसलिए आयतन में परिवर्तन शून्य होता है।
अतः,समआयतनिक प्रक्रिया के लिए समीकरण $\Delta V = 0$ है।

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta U = Q - W$.
$1$. रुद्धोष्म प्रक्रिया में,परिभाषा के अनुसार $Q = 0$ होता है,इसलिए यह शर्त को पूरा नहीं करती है।
$2$. समतापी प्रक्रिया में,तापमान स्थिर रहता है,जिसका अर्थ है कि आदर्श गैस के लिए $\Delta U = 0$ होता है,इसलिए यह शर्त को पूरा नहीं करती है।
$3$. समआयतनिक प्रक्रिया में,आयतन स्थिर रहता है,जिसका अर्थ है कि $W = P \Delta V = 0$ होता है,इसलिए यह शर्त को पूरा नहीं करती है।
$4$. समदाबी प्रक्रिया में,दबाव स्थिर रहता है। प्रसार के दौरान,आयतन बदलता है $(W \neq 0)$,तापमान बदलता है $(\Delta U \neq 0)$,और परिवेश के साथ ऊष्मा का आदान-प्रदान होता है $(Q \neq 0)$। अतः,तीनों राशियाँ शून्यतर हैं।

(B) गैस द्वारा या गैस पर किया गया कार्य $\Delta W = P \Delta V$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P$ दाब है और $\Delta V$ आयतन में परिवर्तन है।
कार्य को शून्य होने के लिए,आयतन में परिवर्तन $\Delta V$ शून्य होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि पूरी प्रक्रिया के दौरान आयतन $V$ स्थिर रहता है।
वह ऊष्मागतिक प्रक्रिया जिसमें आयतन स्थिर रहता है,समआयतनिक प्रक्रिया कहलाती है।
अतः,समआयतनिक प्रक्रिया में किया गया कार्य शून्य होता है।