Isobaric and Isochoric Processes Questions in Hindi

(D) समदाबी प्रक्रिया एक ऊष्मागतिक प्रक्रिया है जिसमें पूरी प्रक्रिया के दौरान निकाय का दबाव स्थिर रहता है।
परिभाषा के अनुसार,यदि दबाव $P$ स्थिर है,तो दबाव में परिवर्तन $\Delta P$ शून्य के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,समदाबी प्रक्रिया को निर्दिष्ट करने वाला समीकरण $\Delta P=0$ है।

(A) सम-आयतनिक प्रक्रिया को एक ऐसी प्रक्रिया के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें निकाय का आयतन स्थिर रहता है $(dV = 0)$।
चूंकि किया गया कार्य $dW = P dV$ होता है,यदि $dV = 0$ है,तो $dW = 0$ होगा। अतः,इस प्रक्रिया में कोई कार्य नहीं किया जाता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$dQ = dU + dW$। चूंकि $dW = 0$ है,इसलिए विनिमय की गई ऊष्मा $(dQ)$ पूरी तरह से निकाय की आंतरिक ऊर्जा $(dU)$ को बदलने के लिए उपयोग की जाती है।
इसलिए,कथन $(A)$ गलत है क्योंकि विनिमय की गई ऊर्जा का उपयोग कार्य करने के लिए नहीं किया जाता है।

(C) समदाबी प्रक्रिया एक ऐसी ऊष्मागतिकीय प्रक्रिया है जिसमें निकाय का दाब स्थिर रहता है $(P = \text{constant})$।
आदर्श गैस नियम के अनुसार, $PV = nRT$। चूंकि $P$ स्थिर है, इसलिए $V \propto T$।
अतः, यदि प्रक्रिया के दौरान आयतन में परिवर्तन होता है, तो निकाय का तापमान भी बदलना चाहिए।
कथन $(C)$ कहता है कि तापमान स्थिर रहता है, जो समदाबी प्रक्रिया के लिए गलत है; यह समतापीय (isothermal) प्रक्रिया की विशेषता है।

(B) समआयतनिक प्रक्रिया में,पूरी प्रक्रिया के दौरान निकाय का आयतन (volume) स्थिर रहता है।
$p-V$ आरेख पर,जहाँ दाब $p$ को $y$-अक्ष पर और आयतन $V$ को $x$-अक्ष पर आलेखित किया जाता है,एक स्थिर आयतन प्रक्रिया को एक ऊर्ध्वाधर (vertical) रेखा द्वारा दर्शाया जाता है।
यह ऊर्ध्वाधर रेखा दर्शाती है कि दाब में किसी भी परिवर्तन के लिए,$V$ का मान समान रहता है।
दिए गए आरेखों को देखने पर,जो आरेख एक ऊर्ध्वाधर रेखा को दर्शाता है,वह समआयतनिक प्रक्रिया के अनुरूप है।
अतः,सही विकल्प $II$ है।

(C) स्थिर दाब पर एक आदर्श गैस के लिए,चार्ल्स के नियम के अनुसार $ V \propto T $ होता है।
चूंकि आयतन दोगुना हो जाता है $( V_2 = 2V_1 )$,इसलिए तापमान भी दोगुना हो जाएगा।
प्रारंभिक तापमान $ T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \text{ K} $ है।
अंतिम तापमान $ T_2 = 2 \times 300 \text{ K} = 600 \text{ K} $ होगा।
तापमान में परिवर्तन $ \Delta T = 600 \text{ K} - 300 \text{ K} = 300 \text{ K} $ है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $ C_p = \frac{7}{2}R $ होती है।
दी गई ऊष्मा $ Q = n C_p \Delta T $ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।
मान रखने पर: $ Q = 1 \times \frac{7}{2} R \times 300 = 1050 R $।

(C) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,दी गई ऊष्मा $Q$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ और किए गए कार्य $W$ के योग के बराबर होती है: $Q = \Delta U + W$.
स्थिर दाब पर प्रक्रिया के लिए,दी गई ऊष्मा $Q = n C_p \Delta T$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_V \Delta T$ है।
किया गया कार्य $W = Q - \Delta U = n C_p \Delta T - n C_V \Delta T = n R \Delta T$ है।
कार्य में परिवर्तित ऊष्मीय ऊर्जा का अंश $\frac{W}{Q} = \frac{n R \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{R}{C_p}$ है।
एकपरमाणुक आदर्श गैस के लिए,$C_p = \frac{5}{2} R$ है।
अतः,यह अंश $\frac{W}{Q} = \frac{R}{\frac{5}{2} R} = \frac{2}{5}$ है।

(A) एक मोनोएटॉमिक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ है।
स्थिर दाब पर,अवशोषित ऊष्मा $Q = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $C_p = \frac{f+2}{2} R = \frac{5}{2} R$,इसलिए $Q = \frac{5}{2} n R \Delta T$।
आदर्श गैस समीकरण से,$p \Delta V = n R \Delta T$।
इसे ऊष्मा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $Q = \frac{5}{2} p \Delta V$।
यहाँ $Q = 80 \ J$ और $\Delta V = 16 \times 10^{-5} \ m^3$ दिया गया है,इसलिए:
$80 = \frac{5}{2} \times p \times 16 \times 10^{-5}$।
$80 = 40 \times 10^{-5} \times p$।
$p = \frac{80}{40 \times 10^{-5}} = 2 \times 10^5 \ Nm^{-2}$।

(A) दिया गया है: नियत दाब पर दी गई ऊष्मा, $Q_P = 210 \,J$.
द्विपरमाणुक गैस के लिए, नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{5}{2}R$ होती है।
नियत दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_P = C_V + R = \frac{5}{2}R + R = \frac{7}{2}R$ होती है।
हम जानते हैं कि $Q_P = n C_P \Delta T = 210 \,J$.
$C_P$ का मान रखने पर, $n (\frac{7}{2}R) \Delta T = 210$ प्राप्त होता है।
अतः, $n R \Delta T = 210 \times \frac{2}{7} = 60 \,J$.
नियत दाब पर गैस द्वारा किया गया कार्य $W = P \Delta V = n R \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए, $W = 60 \,J$.

(A) दिया गया है: गैस द्वारा किया गया कार्य, $W = 200 \,J$।
स्थिर दाब पर प्रसारित होने वाली एक आदर्श एकपरमाणुक गैस के लिए, अवशोषित ऊष्मा $Q = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
किया गया कार्य $W = n R \Delta T$ है।
$Q$ और $W$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{Q}{W} = \frac{n C_p \Delta T}{n R \Delta T} = \frac{C_p}{R}$।
एकपरमाणुक गैस के लिए, स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{3}{2} R = 1.5 R$ होती है।
संबंध $C_p = C_v + R$ का उपयोग करने पर, हमें $C_p = 1.5 R + R = 2.5 R$ प्राप्त होता है।
इस मान को अनुपात में रखने पर:
$\frac{Q}{W} = \frac{2.5 R}{R} = 2.5$।
अतः, $Q = 2.5 \times W = 2.5 \times 200 \,J = 500 \,J$।

(B) स्थिर आयतन पर गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$\Delta U = n C_V \Delta T$
जहाँ:
$n = 3 \text{ मोल}$
$\Delta U = 1080 \ J$
$\Delta T = 40^{\circ}C - 20^{\circ}C = 20 \ K$
$C_V$ का मान ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$C_V = \frac{\Delta U}{n \Delta T}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$C_V = \frac{1080}{3 \times 20}$
$C_V = \frac{1080}{60}$
$C_V = 18 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$
अतः, स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $18 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ है।

(C) स्थिर दाब प्रक्रिया में गैस द्वारा किया गया कार्य निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = P \Delta V$
चूंकि गैस आदर्श है, हम आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हैं। स्थिर दाब पर, $P \Delta V = nR \Delta T$ होता है।
अतः, $W = nR \Delta T$ ... $(i)$
दिया गया है:
$n = 1.5 \,mol$
$R = 8.3 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$
$\Delta T = (130 + 273) - (30 + 273) = 100 \,K$
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$W = 1.5 \times 8.3 \times 100$
$W = 1245 \,J$

(B) दिए गए ग्राफ में, $V \propto T$, जिसका अर्थ है कि $\frac{V}{T} = \text{$स्थिरांक$}$.
यह दर्शाता है कि प्रक्रिया एक समदाबी प्रक्रिया (स्थिर दाब प्रक्रिया) है。
समदाबी प्रक्रिया के लिए, दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है。
किया गया कार्य $\Delta W = p \Delta V = n R \Delta T$ द्वारा दिया जाता है。
हीलियम जैसी एकपरमाणुक गैस के लिए $C_p = \frac{5}{2} R$ होने के कारण, हमें प्राप्त होता है:
$\Delta W = n R \Delta T = n R \left( \frac{\Delta Q}{n C_p} \right) = \frac{\Delta Q R}{C_p} = \frac{\Delta Q R}{\frac{5}{2} R} = \frac{2}{5} \Delta Q$.
यहाँ $\Delta Q = 5 \text{ cal}$ दिया गया है, इसलिए:
$\Delta W = \frac{2}{5} \times 5 \text{ cal} = 2 \text{ cal}$.
जूल में बदलने पर, $\Delta W = 2 \times 4.2 \text{ J} = 8.4 \text{ J}$.

(C) स्थिर दबाव पर एक आदर्श गैस के लिए किया गया कार्य $W$ का सूत्र $W = nR\Delta T$ है।
यहाँ,मोलों की संख्या $n = 6$ है।
सार्वत्रिक गैस नियतांक $R = 8.31 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 20^{\circ} C = 20 \ K$ है (क्योंकि सेल्सियस और केल्विन पैमाने पर तापमान का अंतर समान होता है)।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = 6 \times 8.31 \times 20$
$W = 120 \times 8.31$
$W = 997.2 \ J$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) प्रसार के दौरान गैस द्वारा किया गया कार्य $P-V$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल द्वारा दिया जाता है,$W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV$।
$V_1$ से $V_2$ तक आयतन में दिए गए परिवर्तन के लिए,समाकल (integral) को अधिकतम करने के लिए पूरी प्रक्रिया के दौरान दबाव $P$ यथासंभव उच्च होना चाहिए।
समदाबी प्रक्रिया में,दबाव अपने प्रारंभिक अधिकतम मान पर स्थिर रहता है।
समतापीय या रुद्धोष्म जैसी अन्य प्रक्रियाओं में,जैसे-जैसे आयतन बढ़ता है,दबाव कम होता जाता है।
इसलिए,$P-V$ वक्र के नीचे का क्षेत्रफल समदाबी प्रसार के लिए सबसे बड़ा होता है,जिससे किया गया कार्य अधिकतम हो जाता है।

(B) समआयतनिक प्रक्रिया के लिए,आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $\Delta V = 0$ होता है।
चूंकि ऊष्मागतिक प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = p \cdot \Delta V$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $\Delta V = 0$ रखने पर $W = 0$ प्राप्त होता है।

(A) समदाबीय प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $dW = P dV$ है और दी गई ऊष्मा $dQ = n C_p dT$ है।
संबंध $C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$ और $dW = n R dT$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dW}{dQ} = \frac{nR dT}{n C_p dT} = \frac{R}{C_p} = \frac{R}{\frac{\gamma R}{\gamma - 1}} = \frac{\gamma - 1}{\gamma}$.
यहाँ $\gamma = 1.4$ और $dW = 300 \ J$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{300}{dQ} = \frac{1.4 - 1}{1.4} = \frac{0.4}{1.4} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$.
अतः,$dQ = 300 \times \frac{7}{2} = 150 \times 7 = 1050 \ J$.

(D) समदाबीय प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W = P \Delta V = nR \Delta T = 200 \ J$ द्वारा दिया जाता है।
गैस को दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_P \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $C_P = \frac{7}{2} R$ दिया गया है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\Delta Q = n \left( \frac{7}{2} R \right) \Delta T = \frac{7}{2} (nR \Delta T)$.
$nR \Delta T = 200 \ J$ का मान रखने पर:
$\Delta Q = \frac{7}{2} \times 200 \ J = 7 \times 100 \ J = 700 \ J$.

(A) समदाबी प्रक्रिया के लिए, दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_P \Delta T = 700 \,J$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_V \Delta T$ है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए, रुद्धोष्म गुणांक $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = 1.4 = \frac{7}{5}$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta Q = \Delta U + W$, इसलिए गैस द्वारा किया गया कार्य $W = \Delta Q - \Delta U$ है।
चूंकि $\Delta U = n C_V \Delta T = n \left(\frac{C_P}{\gamma}\right) \Delta T = \frac{\Delta Q}{\gamma}$, इसलिए:
$W = \Delta Q - \frac{\Delta Q}{\gamma} = \Delta Q \left(1 - \frac{1}{\gamma}\right)$.
मान रखने पर:
$W = 700 \left(1 - \frac{5}{7}\right) = 700 \left(\frac{2}{7}\right) = 200 \,J$.

(C) समदाबीय प्रक्रिया के लिए, दाब स्थिर रहता है $(P = \text{constant})$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$।
द्विपरमाणुक गैस के लिए, मोलर विशिष्ट ऊष्माएँ $C_p = \frac{7}{2}R$ और $C_v = \frac{5}{2}R$ होती हैं।
दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_p \Delta T$ है।
किया गया कार्य $\Delta W = n R \Delta T$ है।
कार्य में परिवर्तित ऊष्मा का अंश $\frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{n R \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{R}{C_p} = \frac{R}{\frac{7}{2}R} = \frac{2}{7}$ है।
इसे प्रतिशत में बदलने पर: $\frac{2}{7} \times 100 \approx 28.6 \%$।
अतः, कार्य में परिवर्तित ऊष्मा का प्रतिशत $28.6 \%$ है।

(C) समदाबीय प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W = P \Delta V = n R \Delta T = 100 J$ द्वारा दिया जाता है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_P = \frac{5}{2} R$ होती है।
गैस को दी गई ऊष्मा $Q = n C_P \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
$C_P$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Q = n (\frac{5}{2} R) \Delta T = \frac{5}{2} (n R \Delta T)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $n R \Delta T = 100 J$,इसलिए $Q = \frac{5}{2} \times 100 J = 250 J$ है।

(C) आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_V \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $n = 1$ मोल दिया गया है,इसलिए $\Delta U = C_V \Delta T$।
हम जानते हैं कि $C_V = \frac{R}{\gamma-1}$।
अतः,$\Delta U = \frac{R \Delta T}{\gamma-1}$।
स्थिर दाब $p$ पर आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$p V = R T$,इसलिए $p \Delta V = R \Delta T$।
यहाँ,आयतन $V$ से बदलकर $2V$ हो जाता है,इसलिए $\Delta V = 2V - V = V$।
अतः,$R \Delta T = p V$।
इस मान को $\Delta U$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta U = \frac{p V}{\gamma-1}$।

(B) स्थिर दबाव (isobaric) प्रक्रिया के दौरान गैस द्वारा किया गया कार्य सूत्र $W = P \Delta V$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $P = 400 \text{ kPa} = 400 \times 10^3 \text{ Pa}$ है।
आयतन में परिवर्तन $\Delta V$, अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ और विस्थापन $h$ के गुणनफल के बराबर होता है।
दिया गया है: $A = 0.3 \text{ m}^2$ और $h = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$।
अतः, $\Delta V = A \times h = 0.3 \text{ m}^2 \times 0.1 \text{ m} = 0.03 \text{ m}^3$।
अब, मानों को कार्य के सूत्र में रखने पर:
$W = (400 \times 10^3 \text{ Pa}) \times (0.03 \text{ m}^3)$
$W = 400,000 \times 0.03 = 12,000 \text{ J}$।
किलोजूल में बदलने पर: $W = 12 \text{ kJ}$।

(C) $P_1$ से $P_2$ तक की प्रक्रिया नियत आयतन $V = 1 \text{ m}^3$ पर होती है।
समआयतनिक (isochoric) प्रक्रिया के लिए,विनिमय की गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_v \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $nR \Delta T = V \Delta P$ है।
इसे ऊष्मा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta Q = \frac{C_v}{R} (nR \Delta T) = \frac{C_v}{R} V (P_2 - P_1)$।
यहाँ $n = 10 \text{ mol}$,$C_v = 21 \text{ J/K} \cdot \text{mol}$,$R = 8.3 \text{ J/mol} \cdot \text{K}$,$V = 1 \text{ m}^3$,$P_1 = 21.7 \text{ Pa}$,और $P_2 = 30 \text{ Pa}$ दिए गए हैं।
$\Delta Q = \frac{21}{8.3} \times 1 \times (30 - 21.7) = \frac{21}{8.3} \times 8.3 = 21 \text{ J}$।
अतः,$\alpha = 21$।

(B) समदाबीय प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W = P \Delta V = nR \Delta T = 100 \ J$ द्वारा दिया जाता है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) $f = 5$ है।
स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = (\frac{f}{2} + 1)R = (\frac{5}{2} + 1)R = \frac{7}{2}R$ है।
गैस को दी गई ऊष्मा $Q = nC_p \Delta T = n(\frac{7}{2}R) \Delta T$ है।
$nR \Delta T = 100 \ J$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Q = \frac{7}{2} \times 100 = 350 \ J$ प्राप्त होता है।