Relative Motion in One Dimension Questions in Hindi

(D) चोर की जीप की गति $v_t = 9 \, m/s$ है।
पुलिसकर्मी की मोटरसाइकिल की गति $v_p = 10 \, m/s$ है।
चोर के सापेक्ष पुलिसकर्मी की सापेक्ष गति $v_{rel} = v_p - v_t = 10 - 9 = 1 \, m/s$ है।
उनके बीच की प्रारंभिक दूरी $d = 100 \, m$ है।
चोर को पकड़ने के लिए,पुलिसकर्मी को इस सापेक्ष दूरी को सापेक्ष गति से तय करना होगा।
लिया गया समय $t = \frac{d}{v_{rel}} = \frac{100 \, m}{1 \, m/s} = 100 \, s$ है।
अतः,पुलिसकर्मी को चोर को पकड़ने में $100 \, seconds$ का समय लगेगा।

(C) माना कार $B$ के सापेक्ष कार $A$ का सापेक्ष वेग $u_{rel} = v_1 - v_2$ है।
चूंकि कार $A$ में $a$ का मंदन है और कार $B$ स्थिर वेग $v_2$ से चल रही है,इसलिए सापेक्ष त्वरण $a_{rel} = -a$ है।
टक्कर से बचने के लिए,कार $B$ के सापेक्ष कार $A$ का सापेक्ष विस्थापन $s$,प्रारंभिक दूरी $d$ से कम होना चाहिए।
गति के समीकरण $v_{rel}^2 = u_{rel}^2 + 2a_{rel}s$ का उपयोग करने पर,जहाँ न्यूनतम दूरी के बिंदु पर $v_{rel} = 0$ है:
$0 = (v_1 - v_2)^2 - 2as$
$s = \frac{(v_1 - v_2)^2}{2a}$
टक्कर से बचने के लिए,प्रारंभिक दूरी $d$ को सापेक्ष रुकने की दूरी $s$ से अधिक होना चाहिए।
अतः,$d > \frac{(v_1 - v_2)^2}{2a}$।

(C) मान लीजिए कि छात्र $t \, s$ समय के बाद बस को पकड़ लेता है। छात्र द्वारा तय की गई दूरी $s_s = ut$ है।
विराम अवस्था से शुरू होने वाली बस द्वारा तय की गई दूरी $s_b = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}(1)t^2 = \frac{t^2}{2}$ है।
छात्र के बस को पकड़ने के लिए,छात्र द्वारा तय की गई कुल दूरी प्रारंभिक दूरी और बस द्वारा तय की गई दूरी के योग के बराबर होनी चाहिए:
$ut = 50 + \frac{t^2}{2}$.
$u$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$u = \frac{50}{t} + \frac{t}{2}$.
न्यूनतम वेग $u$ ज्ञात करने के लिए,हम $u$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{du}{dt} = -\frac{50}{t^2} + \frac{1}{2} = 0$.
$t$ के लिए हल करने पर:
$\frac{50}{t^2} = \frac{1}{2} \implies t^2 = 100 \implies t = 10 \, s$.
$t = 10 \, s$ का मान $u$ के समीकरण में रखने पर:
$u = \frac{50}{10} + \frac{10}{2} = 5 + 5 = 10 \, m/s$.

(C) मान लीजिए कि आदमी $t$ सेकंड के बाद बस को पकड़ लेता है। आदमी द्वारा तय की गई दूरी $s_m = u t$ है,जहाँ $u$ आदमी का नियत वेग है।
विरामावस्था से शुरू होने वाली बस द्वारा तय की गई दूरी $s_b = \frac{1}{2} a t^2$ है,जहाँ $a = 2.5 \, m/s^2$ है।
आदमी द्वारा बस को पकड़ने के लिए,आदमी द्वारा तय की गई कुल दूरी प्रारंभिक अंतर और बस द्वारा तय की गई दूरी के योग के बराबर होनी चाहिए:
$u t = 45 + \frac{1}{2} (2.5) t^2$
$u t = 45 + 1.25 t^2$
$u = \frac{45}{t} + 1.25 t$
न्यूनतम वेग $u$ ज्ञात करने के लिए,हम $u$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{du}{dt} = -\frac{45}{t^2} + 1.25 = 0$
$1.25 t^2 = 45$
$t^2 = \frac{45}{1.25} = 36$
$t = 6 \, s$
$t = 6 \, s$ का मान $u$ के समीकरण में रखने पर:
$u = \frac{45}{6} + 1.25(6) = 7.5 + 7.5 = 15 \, m/s$.

(D) एक-दूसरे को पार करने के लिए,ट्रेनों द्वारा तय की जाने वाली कुल दूरी उनकी लंबाई का योग है: $D = 120\, m + 130\, m = 250\, m$.
चूंकि ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चल रही हैं,इसलिए उनका सापेक्ष वेग उनकी व्यक्तिगत गति का योग होगा: $v_{rel} = 20\, m/s + 30\, m/s = 50\, m/s$.
पार करने में लिया गया समय इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $t = \frac{D}{v_{rel}}$.
मान रखने पर: $t = \frac{250\, m}{50\, m/s} = 5\, s$.

(B) ट्रेन उत्तर दिशा में $v_t = 25 \ m/s$ के वेग से चल रही है।
पक्षी दक्षिण दिशा में $v_b = 5 \ m/s$ के वेग से उड़ रहा है।
चूंकि वे विपरीत दिशाओं में गति कर रहे हैं,इसलिए ट्रेन के सापेक्ष पक्षी का सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_t + v_b = 25 \ m/s + 5 \ m/s = 30 \ m/s$ होगा।
ट्रेन की लंबाई $L = 210 \ m$ है।
पक्षी द्वारा ट्रेन को पार करने में लिया गया समय $t = \frac{L}{v_{rel}} = \frac{210 \ m}{30 \ m/s} = 7 \ s$ है।

(A) मान लीजिए कि दो कणों की चाल $v_1$ और $v_2$ है (जहाँ $v_1 > v_2$)।
जब कण एक-दूसरे की ओर गति करते हैं,तो उनका सापेक्ष वेग उनकी चालों का योग होता है। दिया गया है कि दूरी $6 \,m/s$ की दर से घट रही है,इसलिए:
$v_1 + v_2 = 6$ --- $(i)$
जब ये कण एक ही दिशा में गति करते हैं,तो उनका सापेक्ष वेग उनकी चालों का अंतर होता है। दिया गया है कि दूरी $4 \,m/s$ की दर से बढ़ रही है,इसलिए:
$v_1 - v_2 = 4$ --- (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$(v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = 6 + 4$
$2v_1 = 10 \implies v_1 = 5 \,m/s$
समीकरण $(i)$ में $v_1 = 5$ रखने पर:
$5 + v_2 = 6 \implies v_2 = 1 \,m/s$
अतः,कणों की चाल $5 \,m/s$ और $1 \,m/s$ है।

(A) चूंकि दोनों ट्रेनें एक ही दिशा में चल रही हैं,इसलिए दूसरी ट्रेन के सापेक्ष एक्सप्रेस ट्रेन का प्रारंभिक सापेक्ष वेग $u_{rel} = v_1 - v_2$ होगा।
टक्कर से बचने के लिए,एक्सप्रेस ट्रेन को उस बिंदु पर अपना सापेक्ष वेग शून्य करना होगा जहाँ टक्कर हो सकती है।
सापेक्ष वेग के लिए गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए: $v_{rel} = u_{rel} - at$।
अंतिम सापेक्ष वेग $v_{rel} = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$0 = (v_1 - v_2) - at$
$at = v_1 - v_2$
$t = \frac{v_1 - v_2}{a}$

(B) जब लड़का सेब छोड़ता है,तो गति के जड़त्व के कारण उस क्षण उसके पास ट्रेन के समान ही क्षैतिज वेग होता है।
चूंकि ट्रेन रुकने वाली है,इसलिए इसमें मंदन (retardation) हो रहा है।
जैसे ही सेब नीचे गिरता है,उसका क्षैतिज वेग स्थिर रहता है (हवा के प्रतिरोध को नगण्य मानते हुए),जबकि मंदन के कारण ट्रेन का वेग कम हो जाता है।
परिणामस्वरूप,सेब गिरने के दौरान ट्रेन में बैठे भाई की तुलना में अधिक क्षैतिज दूरी तय करता है।
इसलिए,सेब ट्रेन की गति की दिशा में उसके भाई के हाथ से थोड़ा दूर गिरेगा।

(D) माना स्कूटर का वेग $v_s$ है।
स्कूटर और बस के बीच की प्रारंभिक दूरी $d = 1\; km = 1000\; m$ है।
बस का वेग $v_b = 10\; m/s$ है।
ओवरटेक करने में लगा समय $t = 100\; s$ है।
बस के सापेक्ष स्कूटर का सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_s - v_b = v_s - 10$ होगा।
सापेक्ष गति के सूत्र का उपयोग करते हुए,$d = v_{rel} \times t$:
$1000 = (v_s - 10) \times 100$
$10 = v_s - 10$
$v_s = 20\; m/s$.
अतः,स्कूटर चालक को $20\; m/s$ की गति से बस का पीछा करना चाहिए।

(A) एक-दूसरे की ओर गति कर रही दो ट्रेनों का सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_1 - (-v_2) = 60 + 30 = 90\, km/hr$ द्वारा दिया जाता है।
ट्रेनों के बीच की प्रारंभिक दूरी $s_{rel} = 90\, km$ है।
टकराने में लगा समय $t = \frac{s_{rel}}{v_{rel}}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$t = \frac{90\, km}{90\, km/hr} = 1\, hr$.

(D) माना स्कूटर चालक का वेग $v \, m/s$ है।
स्कूटर चालक और बस के बीच की प्रारंभिक दूरी $S = 1 \, km = 1000 \, m$ है।
बस का वेग $v_b = 10 \, m/s$ है।
बस के सापेक्ष स्कूटर चालक का आपेक्षिक वेग $v_{rel} = v - v_b = (v - 10) \, m/s$ है।
$t = 100 \, s$ समय में बस को ओवरटेक करने के लिए,स्कूटर चालक को आपेक्षिक वेग $v_{rel}$ के साथ आपेक्षिक दूरी $S$ तय करनी होगी।
सूत्र $S = v_{rel} \times t$ का उपयोग करने पर:
$1000 = (v - 10) \times 100$
$10 = v - 10$
$v = 20 \, m/s$.
अतः,स्कूटर चालक को $20 \, m/s$ के वेग से बस का पीछा करना चाहिए।

(B) माना कार $B$ द्वारा कार $A$ को पकड़ने में लगा समय $t$ घंटे है।
समय $t$ में कार $A$ द्वारा तय की गई दूरी $d_A = 60t$ है।
कार $B$ द्वारा $t$ समय में तय की गई दूरी,जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 70 \text{ km/h}$ और मंदन $a = -20 \text{ km/h}^2$ है,$d_B = 70t - \frac{1}{2} \times 20 \times t^2$ है।
चूंकि कार $B$,कार $A$ से $2.5 \text{ km}$ पीछे है,इसलिए पकड़ने की शर्त $d_B = d_A + 2.5$ है।
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर: $70t - 10t^2 = 60t + 2.5$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $10t^2 - 10t + 2.5 = 0$.
$10$ से भाग देने पर: $t^2 - t + 0.25 = 0$.
यह एक पूर्ण वर्ग है: $(t - 0.5)^2 = 0$.
अतः,$t = 0.5 \text{ घंटे}$।

(B) एक ट्रेन का दूसरी ट्रेन के सापेक्ष वेग $v_{rel} = 10 + 10 = 20 \, m/s$ है।
सापेक्ष त्वरण $a_{rel} = 0.3 + 0.2 = 0.5 \, m/s^2$ है।
एक-दूसरे को पार करने के लिए,तय की जाने वाली कुल दूरी उनकी लंबाई का योग है: $s = 100 + 125 = 225 \, m$।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए:
$225 = 20t + \frac{1}{2} \times 0.5 \times t^2$
$225 = 20t + 0.25t^2$
$0.25t^2 + 20t - 225 = 0$
सरल बनाने के लिए $4$ से गुणा करने पर: $t^2 + 80t - 900 = 0$।
द्विघात समीकरण को $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ सूत्र का उपयोग करके हल करने पर:
$t = \frac{-80 \pm \sqrt{6400 - 4(1)(-900)}}{2(1)}$
$t = \frac{-80 \pm \sqrt{6400 + 3600}}{2} = \frac{-80 \pm \sqrt{10000}}{2} = \frac{-80 \pm 100}{2}$।
चूंकि समय धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $t = \frac{20}{2} = 10 \, s$।

(C) मान लीजिए वस्तु $A$ का प्रारंभिक वेग $u$ है। चूँकि यह $h$ की अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचती है,हमारे पास $u^2 = 2gh$ है,इसलिए $u = \sqrt{2gh}$।
वस्तु $A$ के लिए,समय $t$ पर वेग $V_A = u - gt$ है।
वस्तु $B$ के लिए,जिसे $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है,समय $t$ पर वेग $V_B = -gt$ है (नीचे की दिशा को ऋणात्मक लेते हुए)।
सापेक्ष वेग $V_{AB} = V_A - V_B = (u - gt) - (-gt) = u$।
यह तब तक बना रहता है जब तक वस्तु $B$ जमीन से नहीं टकराती। $B$ द्वारा $h$ ऊँचाई तय करने में लगा समय $t_0 = \sqrt{2h/g}$ है।
चूँकि $u = \sqrt{2gh}$,हमारे पास $t_0 = u/g$ है।
अतः $0 \le t \le t_0$ के लिए,$V_{AB} = u$ (एक स्थिर धनात्मक मान)।
$t > t_0$ के बाद,वस्तु $B$ रुक जाती है $(V_B = 0)$,इसलिए $V_{AB} = V_A = u - gt$।
यह एक रैखिक समीकरण है जिसका ढाल $-g$ है।
इस प्रकार,ग्राफ $t_0$ तक एक स्थिर धनात्मक मान दिखाता है,जिसके बाद एक नीचे की ओर ढलान वाली रेखा आती है। यह विकल्प $C$ में दर्शाए गए ग्राफ से मेल खाता है।

(B) मान लीजिए पहले कण का वेग $\vec{v}_1 = v \hat{i}$ है और दूसरे कण का वेग $\vec{v}_2 = (at) \cos \alpha \hat{i} + (at) \sin \alpha \hat{j}$ है।
सापेक्ष वेग $\vec{v}_r = \vec{v}_1 - \vec{v}_2 = (v - at \cos \alpha) \hat{i} - (at \sin \alpha) \hat{j}$ है।
सापेक्ष वेग के परिमाण का वर्ग $v_r^2 = (v - at \cos \alpha)^2 + (-at \sin \alpha)^2$ है।
$v_r^2 = v^2 + a^2 t^2 \cos^2 \alpha - 2vat \cos \alpha + a^2 t^2 \sin^2 \alpha$.
$v_r^2 = v^2 + a^2 t^2 - 2vat \cos \alpha$.
न्यूनतम सापेक्ष वेग ज्ञात करने के लिए,हम $v_r^2$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{d}{dt}(v_r^2) = 2a^2 t - 2va \cos \alpha = 0$.
$2a^2 t = 2va \cos \alpha$.
$t = \frac{v \cos \alpha}{a}$.

(D) जब गाड़ी एकसमान वेग से गति करती है,तो गेंद का क्षैतिज वेग गाड़ी के वेग के समान रहता है। इसलिए,गेंद अपनी उड़ान के दौरान गाड़ी के समान ही क्षैतिज दूरी तय करती है और व्यक्ति के हाथ में वापस आ जाती है।
यदि गाड़ी एकसमान त्वरण के साथ गति करती है,तो गेंद के हवा में रहने के दौरान गाड़ी का वेग बढ़ जाता है। परिणामस्वरूप,गाड़ी क्षैतिज दिशा में गेंद की तुलना में अधिक दूरी तय करती है,जिससे गेंद व्यक्ति के पीछे गिरती है।

(D) मान लीजिए कि तीसरी कार की गति $v\ km/h$ है।
चूंकि तीसरी कार दोनों कारों की विपरीत दिशा में चल रही है, इसलिए दोनों कारों के सापेक्ष तीसरी कार की सापेक्ष गति $(v + 30)\ km/h$ होगी।
दोनों कारों के बीच की दूरी $5\ km$ है।
दोनों कारों से मिलने के बीच का समय अंतराल $4\ minutes = \frac{4}{60}\ hours = \frac{1}{15}\ hours$ है।
सूत्र का उपयोग करते हुए, $\text{सापेक्ष गति} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}$:
$v + 30 = \frac{5}{1/15}$
$v + 30 = 5 \times 15$
$v + 30 = 75$
$v = 75 - 30 = 45\ km/h$.

(B) जब सिक्के को लंबवत ऊपर की ओर उछाला जाता है,तो जड़त्व के कारण वह छोड़े जाने के क्षण में ट्रेन के क्षैतिज वेग को बनाए रखता है। यदि ट्रेन त्वरित हो रही है,तो उसका वेग बढ़ जाता है जबकि सिक्के का क्षैतिज वेग स्थिर रहता है। परिणामस्वरूप,ट्रेन समान समय अंतराल में सिक्के की तुलना में अधिक दूरी तय करती है,जिससे सिक्का व्यक्ति के पीछे गिरता है। इसके विपरीत,यदि ट्रेन मंदन (retardation) का अनुभव कर रही है,तो उसका वेग कम हो जाता है जबकि सिक्का अपने प्रारंभिक उच्च क्षैतिज वेग को बनाए रखता है। इस प्रकार,सिक्का व्यक्ति की तुलना में अधिक क्षैतिज दूरी तय करता है,जिससे वह व्यक्ति के आगे गिरता है। अतः,ट्रेन मंदन का अनुभव कर रही है।

(C) दोनों कारों के मिलने में लगा समय उनके सापेक्ष वेग द्वारा निर्धारित किया जाता है। चूंकि वे एक-दूसरे की ओर गति कर रही हैं,इसलिए उनका सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_1 + v_2 = 20\, m/s + 30\, m/s = 50\, m/s$ है।
कारों के बीच की प्रारंभिक दूरी $d = 2\, km = 2000\, m$ है।
कारों के मिलने में लगा समय $t = \frac{d}{v_{rel}} = \frac{2000\, m}{50\, m/s} = 40\, s$ है।
पक्षी इस पूरे समयांतराल $t$ के दौरान $v_3 = 10\, m/s$ की स्थिर चाल से लगातार उड़ता है। अतः,पक्षी द्वारा तय की गई कुल दूरी $s = v_3 \times t = 10\, m/s \times 40\, s = 400\, m$ है।

(D) माना स्कूटर का वेग $v\, ms^{-1}$ है।
स्कूटर चालक और बस के बीच की प्रारंभिक दूरी $d = 1\, km = 1000\, m$ है।
बस के सापेक्ष स्कूटर का आपेक्षिक वेग $v_{rel} = v - 10\, ms^{-1}$ है।
$t = 100\, s$ में बस को ओवरटेक करने के लिए,स्कूटर को आपेक्षिक वेग $v_{rel}$ के साथ आपेक्षिक दूरी $d$ तय करनी होगी।
सूत्र $d = v_{rel} \times t$ का उपयोग करने पर:
$1000 = (v - 10) \times 100$
दोनों पक्षों को $100$ से विभाजित करने पर:
$10 = v - 10$
अतः,$v = 10 + 10 = 20\, ms^{-1}$।

(C) दिया गया है: कार का प्रारंभिक वेग $u_C = 0$,बस का प्रारंभिक वेग $u_B = 0$। कार का त्वरण $a_C = 4\, m/s^2$,बस का त्वरण $a_B = 2\, m/s^2$। उनके बीच की प्रारंभिक दूरी $s = 200\, m$ है।
हम सापेक्ष गति की अवधारणा का उपयोग करते हैं। बस के सापेक्ष कार का सापेक्ष त्वरण है:
$a_{CB} = a_C - a_B = 4 - 2 = 2\, m/s^2$.
सापेक्ष प्रारंभिक वेग $u_{CB} = u_C - u_B = 0 - 0 = 0$ है।
सापेक्ष गति के लिए गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$200 = 0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a_{CB} \cdot t^2$
$200 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot t^2$
$200 = t^2$
$t = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\, s$.
अतः,कार $10\sqrt{2}\, s$ के बाद बस को पकड़ लेगी।

(D) मान लीजिए कि दो कण $A$ और $B$ हैं। उनके बीच की प्रारंभिक दूरी $x_0 = 100 \ m$ है।
दोनों कण विरामावस्था से शुरू करते हैं,इसलिए उनका प्रारंभिक वेग $u_A = 0$ और $u_B = 0$ है।
दोनों कणों का त्वरण समान है,$a_A = a_B = 10 \ m/s^2$।
$t = 10 \ s$ समय के बाद कण $A$ का विस्थापन $s_A = u_A t + \frac{1}{2} a_A t^2 = 0 + \frac{1}{2} (10)(10)^2 = 500 \ m$ है।
$t = 10 \ s$ समय के बाद कण $B$ का विस्थापन $s_B = u_B t + \frac{1}{2} a_B t^2 = 0 + \frac{1}{2} (10)(10)^2 = 500 \ m$ है।
सापेक्ष विस्थापन $\Delta s = s_A - s_B = 500 - 500 = 0 \ m$ होगा।
वैकल्पिक रूप से,सापेक्ष त्वरण $a_{rel} = a_A - a_B = 10 - 10 = 0 \ m/s^2$ और सापेक्ष प्रारंभिक वेग $u_{rel} = u_A - u_B = 0 \ m/s$ है। अतः,सापेक्ष विस्थापन $s_{rel} = u_{rel} t + \frac{1}{2} a_{rel} t^2 = 0$ होगा।

(D) मान लीजिए कि दो वस्तुओं की गति $v_A$ और $v_B$ है (जहाँ $v_A > v_B$ है)।
जब वे एक-दूसरे की ओर चलती हैं,तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होती है: $v_{rel} = v_A + v_B$.
यह दिया गया है कि वे $1\,s$ में $4\,m$ करीब आती हैं,इसलिए सापेक्ष गति $v_A + v_B = \frac{4\,m}{1\,s} = 4\,m/s$ (समीकरण $1$)।
जब वे समान दिशा में चलती हैं,तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का अंतर होती है: $v_{rel} = v_A - v_B$.
यह दिया गया है कि वे $10\,s$ में $4.0\,m$ करीब आती हैं,इसलिए सापेक्ष गति $v_A - v_B = \frac{4.0\,m}{10\,s} = 0.4\,m/s$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर: $(v_A + v_B) + (v_A - v_B) = 4 + 0.4 \implies 2v_A = 4.4 \implies v_A = 2.2\,m/s$.
समीकरण $1$ से समीकरण $2$ को घटाने पर: $(v_A + v_B) - (v_A - v_B) = 4 - 0.4 \implies 2v_B = 3.6 \implies v_B = 1.8\,m/s$.
अतः,गतियाँ $2.2\,m/s$ और $1.8\,m/s$ हैं।

(D) माना ट्रेन का वेग $v\,km/h$ है।
चूंकि व्यक्ति और ट्रेन विपरीत दिशाओं में चल रहे हैं,इसलिए उनका सापेक्ष वेग $(v + 5)\,km/h$ होगा।
इस सापेक्ष वेग को $m/s$ में बदलने के लिए,हम इसे $\frac{5}{18}$ से गुणा करते हैं:
सापेक्ष वेग $= (v + 5) \times \frac{5}{18}\,m/s$।
ट्रेन द्वारा व्यक्ति को पार करने के लिए तय की गई दूरी ट्रेन की लंबाई के बराबर होती है,जो $100\,m$ है।
सूत्र $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष वेग}}$ का उपयोग करते हुए:
$7.2 = \frac{100}{(v + 5) \times \frac{5}{18}}$
$7.2 = \frac{100 \times 18}{5(v + 5)}$
$7.2 = \frac{20 \times 18}{v + 5}$
$7.2 = \frac{360}{v + 5}$
$v + 5 = \frac{360}{7.2}$
$v + 5 = 50$
$v = 45\,km/h$।

(A) मान लीजिए कि दो पत्थरों की स्थितियाँ $x_1(t)$ और $x_2(t)$ हैं।
$0 \le t \le 6 \, s$ के लिए,दोनों पत्थर गुरुत्वाकर्षण $g$ के अंतर्गत हवा में हैं। उनकी स्थितियाँ $x_1(t) = u_1 t - \frac{1}{2} g t^2$ और $x_2(t) = u_2 t - \frac{1}{2} g t^2$ हैं।
सापेक्ष स्थिति $\Delta x = x_2 - x_1 = (u_2 - u_1) t$ है। चूंकि $u_2 > u_1$,यह $t$ का एक रैखिक फलन है जो $t = 0$ पर $0$ से शुरू होता है और $t = 6 \, s$ तक बढ़ता है।
$t = 6 \, s$ पर,पहला पत्थर जमीन से टकराता है,इसलिए $x_1(6) = 0$ है। $6 \, s < t \le 10 \, s$ के लिए,पहला पत्थर $x_1 = 0$ पर स्थिर रहता है। दूसरा पत्थर अभी भी हवा में है,इसलिए $x_2(t) = u_2 t - \frac{1}{2} g t^2$ है।
सापेक्ष स्थिति $\Delta x = x_2 - 0 = u_2 t - \frac{1}{2} g t^2$ है। यह नीचे की ओर खुलने वाला एक परवलय है।
$t = 10 \, s$ पर,दूसरा पत्थर जमीन से टकराता है,इसलिए $x_2(10) = 0$ है,जिससे $\Delta x = 0$ हो जाता है।
इस प्रकार,ग्राफ $t = 0$ से $t = 6 \, s$ तक एक सीधी रेखा है और $t = 6 \, s$ से $t = 10 \, s$ तक एक परवलयाकार वक्र है। यह पहले ग्राफ से मेल खाता है।

(D) मान लीजिए कि पहली ट्रेन की गति $V$ है और दूसरी ट्रेन की गति $u$ है। चूंकि वे एक ही दिशा में चल रही हैं,दूसरी ट्रेन के सापेक्ष पहली ट्रेन का सापेक्ष वेग $V_{rel} = V - u$ होगा।
टक्कर से बचने के लिए,पहली ट्रेन को दूसरी ट्रेन के सापेक्ष उस समय स्थिर हो जाना चाहिए जब वह $x$ दूरी पर पहुँचती है।
सापेक्ष गति के लिए गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $v^2 - u_{rel}^2 = 2ax$.
यहाँ,अंतिम सापेक्ष वेग $v = 0$,प्रारंभिक सापेक्ष वेग $u_{rel} = (V - u)$,और विस्थापन $x$ है।
इन मानों को रखने पर: $0^2 - (V - u)^2 = 2ax$.
$- (V - u)^2 = 2ax$.
$a = -\frac{(V - u)^2}{2x}$.
ऋणात्मक चिह्न मंदन को दर्शाता है। इसलिए,आवश्यक न्यूनतम मंदन $\frac{(V - u)^2}{2x}$ है।

(A) गति को $m/s$ में बदलें:
$u_1 = 70 \times \frac{5}{18} = \frac{350}{18} \approx 19.44\, m/s$
$u_2 = 60 \times \frac{5}{18} = \frac{300}{18} \approx 16.67\, m/s$
सापेक्ष प्रारंभिक वेग $u_{rel} = u_1 + u_2 = \frac{650}{18} \approx 36.11\, m/s$।
सापेक्ष मंदन $a_{rel} = 5 + 5 = 10\, m/s^2$।
$v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करते हुए,टक्कर से बचने के लिए,रुकने की दूरी $s$ को $80\, m$ से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
$0^2 - (36.11)^2 = 2(-10)s$
$s = \frac{1304}{20} = 65.2\, m$।
चूंकि आवश्यक रुकने की दूरी $65.2\, m$ प्रारंभिक दूरी $80\, m$ से कम है,इसलिए टक्कर टल जाएगी।

(D) माना पहला कण $A$ है और दूसरा कण $B$ है। कण $A$ के लिए,प्रारंभिक वेग $u_A = 0$ और त्वरण $a_A = g$ है। कण $B$ के लिए,प्रारंभिक वेग $u_B = u$ और त्वरण $a_B = g$ है।
सापेक्ष त्वरण: $a_{BA} = a_B - a_A = g - g = 0$। अतः,विकल्प $C$ सही है।
सापेक्ष वेग: $v_{BA} = v_B - v_A = (u + gt) - (0 + gt) = u$। अतः,विकल्प $B$ सही है।
सापेक्ष विस्थापन: $s_{BA} = s_B - s_A = (ut + \frac{1}{2}gt^2) - (0 + \frac{1}{2}gt^2) = ut$। यदि $s_{BA} = h$ रखें,तो $ut = h$,जिससे $t = \frac{h}{u}$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $A$ भी सही है।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(B) मान लीजिए कि पहले कण का वेग $\vec{v}_1 = v \hat{i}$ है और दूसरे कण का वेग $\vec{v}_2 = (at) \cos \alpha \hat{i} + (at) \sin \alpha \hat{j}$ है।
सापेक्ष वेग सदिश $\vec{v}_r = \vec{v}_1 - \vec{v}_2 = (v - at \cos \alpha) \hat{i} - (at \sin \alpha) \hat{j}$ है।
सापेक्ष वेग के परिमाण का वर्ग $v_r^2 = (v - at \cos \alpha)^2 + (at \sin \alpha)^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $v_r^2 = v^2 + a^2 t^2 \cos^2 \alpha - 2vat \cos \alpha + a^2 t^2 \sin^2 \alpha$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$,यह समीकरण $v_r^2 = v^2 + a^2 t^2 - 2vat \cos \alpha$ में सरल हो जाता है।
न्यूनतम सापेक्ष वेग ज्ञात करने के लिए,हम $v_r^2$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{d}{dt}(v_r^2) = 2a^2 t - 2va \cos \alpha = 0$.
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $2a^2 t = 2va \cos \alpha$ प्राप्त होता है,जिससे $t = \frac{v \cos \alpha}{a}$ मिलता है।

(C) आइए बस के सापेक्ष आदमी की गति का विश्लेषण करें। मान लीजिए कि बस स्थिर है। बस के सापेक्ष आदमी का प्रारंभिक वेग $v$ और त्वरण $-a$ है।
आदमी बस को तब पकड़ पाएगा यदि बस के सापेक्ष उसका विस्थापन $s$ कम से कम $d$ हो। गति के समीकरण $v_f^2 = v_i^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए:
$0 = v^2 - 2ad$
$v^2 = 2ad \implies v = \sqrt{2ad}$
अतः,यदि $v \geq \sqrt{2ad}$ है तो आदमी बस को पकड़ लेगा। कथन $(a)$ सही है।
जब वह बस को बस पकड़ ही पाता है,तो लिया गया समय ज्ञात करने के लिए,हम $v_f = v_i + at$ का उपयोग करते हैं:
$0 = v - at$
$t = \frac{v}{a}$
कथन $(b)$ भी सही है।
इसलिए,$(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(B) दो ट्रेनों के बीच की प्रारंभिक दूरी $d = 120\, km$ है। प्रत्येक ट्रेन $v_t = 60\, km/hr$ के वेग से एक-दूसरे की ओर चलती है। ट्रेनों का सापेक्ष वेग $v_{rel} = 60 + 60 = 120\, km/hr$ है। ट्रेनों के टकराने में लगा समय $t = d / v_{rel} = 120\, km / 120\, km/hr = 1\, hr$ है। चूंकि ध्वनि तरंगें टकराने के क्षण तक हवा में लगातार $v_s = 1200\, km/hr$ की स्थिर गति से चलती हैं,इसलिए ध्वनि तरंगों द्वारा तय की गई कुल दूरी $D = v_s \times t$ द्वारा दी जाती है। मान रखने पर,$D = 1200\, km/hr \times 1\, hr = 1200\, km$।

(B) कार और ट्रक दोनों की प्रारंभिक गति $u = 72 \, km/h = 20 \, m/s$ है।
ट्रक के लिए रुकने का समय $t_t = 5.0 \, s$ है। $v = u + a_t t$ का उपयोग करने पर,$0 = 20 + a_t(5)$,जिससे $a_t = -4 \, m/s^2$ प्राप्त होता है।
कार के लिए रुकने का समय $t_c = 3.0 \, s$ है। $v = u + a_c t$ का उपयोग करने पर,$0 = 20 + a_c(3)$,जिससे $a_c = -20/3 \, m/s^2$ प्राप्त होता है।
माना $t$ वह समय है जब टक्कर से बचने के लिए कार और ट्रक का वेग समान हो जाता है। कार का प्रतिक्रिया समय $0.5 \, s$ है,इसलिए यह $0.5 \, s$ तक स्थिर गति से चलती है और फिर $(t - 0.5) \, s$ के लिए मंदन (retardation) का अनुभव करती है।
$t$ समय पर ट्रक का वेग $v_t = 20 - 4t$ है।
$t$ समय पर कार का वेग $v_c = 20 - (20/3)(t - 0.5)$ है।
$v_c = v_t$ रखने पर: $20 - (20/3)(t - 0.5) = 20 - 4t \Rightarrow (20/3)(t - 0.5) = 4t \Rightarrow 5(t - 0.5) = 3t \Rightarrow 2t = 2.5 \Rightarrow t = 1.25 \, s$।
$t = 1.25 \, s$ में ट्रक द्वारा तय की गई दूरी $s_t = 20(1.25) + 0.5(-4)(1.25)^2 = 21.875 \, m$ है।
$t = 1.25 \, s$ में कार द्वारा तय की गई दूरी $s_c = (20 \times 0.5) + [20(0.75) - (1/2)(20/3)(0.75)^2] = 10 + 15 - 1.875 = 23.125 \, m$ है।
आवश्यक दूरी $s_c - s_t = 23.125 - 21.875 = 1.25 \, m$ है।

(A) ट्रेन $A$ के लिए: प्रारंभिक वेग $u_A = 72 \; km \; h^{-1} = 20 \; m \; s^{-1}$। त्वरण $a_A = 0$। $t = 50 \; s$ में ट्रेन $A$ द्वारा तय की गई दूरी $s_A = u_A t + \frac{1}{2} a_A t^2 = 20 \times 50 + 0 = 1000 \; m$ है।
ट्रेन $B$ के लिए: प्रारंभिक वेग $u_B = 20 \; m \; s^{-1}$। त्वरण $a_B = 1 \; m \; s^{-2}$। $t = 50 \; s$ में ट्रेन $B$ द्वारा तय की गई दूरी $s_B = u_B t + \frac{1}{2} a_B t^2 = 20 \times 50 + \frac{1}{2} \times 1 \times (50)^2 = 1000 + 1250 = 2250 \; m$ है।
माना ट्रेन $A$ के ड्राइवर और ट्रेन $B$ के गार्ड के बीच की प्रारंभिक दूरी $d$ है। जब $B$ का गार्ड $A$ के ड्राइवर को पार करता है,तो कुल दूरी का समीकरण $s_B = s_A + d + L_B$ होता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $d = 2250 - 1000 - 800 = 450 \; m$ है।

एकसमान गति से गतिमान वस्तु के लिए,वेग समय के साथ स्थिर रहता है।
मान लीजिए कि वस्तु $A$ का वेग $v_A$ है और वस्तु $B$ का वेग $v_B$ है।
वस्तु $B$ के सापेक्ष वस्तु $A$ का सापेक्ष वेग $v_{AB} = v_A - v_B$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि गति एकसमान है,इसलिए किसी भी समय $t$ पर तात्क्षणिक वेग औसत वेग के बराबर होता है।
अतः,तात्क्षणिक सापेक्ष वेग $v_{rel}(t)$ को $v_{rel}(t) = v_A(t) - v_B(t)$ द्वारा दिया जाता है,जो एकसमान गति में सभी $t$ के लिए स्थिर रहता है।

(N/A) सापेक्ष वेग किसी अन्य प्रेक्षक या संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष किसी वस्तु का वेग है।
मामला $1$: दो प्रेक्षक और एक गतिशील वस्तु:
मान लीजिए $A$ जमीन पर खड़े व्यक्ति से जुड़ा संदर्भ फ्रेम है। $B$ एक समान वेग से चलती ट्रेन से जुड़ा संदर्भ फ्रेम है। दोनों जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम हैं।
चित्र से,$x_{PA} = x_{PB} + x_{BA}$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d x_{PA}}{d t} = \frac{d x_{PB}}{d t} + \frac{d x_{BA}}{d t}$
चूंकि $\frac{d x_{PA}}{d t} = v_{PA}$,$\frac{d x_{PB}}{d t} = v_{PB}$ और $\frac{d x_{BA}}{d t} = v_{BA}$ है,इसलिए:
$v_{PA} = v_{PB} + v_{BA}$
$\therefore v_{PB} = v_{PA} - v_{BA}$
जहाँ $v_{PA}$,फ्रेम $A$ के सापेक्ष $P$ का वेग है,$v_{PB}$,फ्रेम $B$ के सापेक्ष $P$ का वेग है,और $v_{BA}$,फ्रेम $A$ के सापेक्ष फ्रेम $B$ का वेग है।
मामला $2$: एक प्रेक्षक और दो गतिशील वस्तुएं:
मान लीजिए दो वस्तुएं $A$ और $B$ एक जमीनी प्रेक्षक $G$ के सापेक्ष $v_A$ और $v_B$ वेग से गति कर रही हैं। उनके स्थिति सदिश $r_A$ और $r_B$ हैं। $A$ के सापेक्ष $B$ की सापेक्ष स्थिति $r_{BA} = r_B - r_A$ है। समय के सापेक्ष अवकलन करने पर,$A$ के सापेक्ष $B$ का सापेक्ष वेग $v_{BA} = v_B - v_A$ प्राप्त होता है।

(N/A) मान लीजिए कि दो कण $A$ और $B$ एकसमान वेग $v_{A}$ और $v_{B}$ के साथ $X$-अक्ष के अनुदिश गति कर रहे हैं।
माना $t = 0$ पर मूल बिंदु $O$ से उनके प्रारंभिक विस्थापन $x_{OA}$ और $x_{OB}$ हैं।
यदि किसी समय $t$ पर उनके स्थिति निर्देशांक $x_{A}$ और $x_{B}$ हैं,तो:
$x_{A} = x_{OA} + v_{A} t$
$x_{B} = x_{OB} + v_{B} t$
समय $t$ पर,कण $A$ के सापेक्ष कण $B$ का विस्थापन इस प्रकार है:
$x_{BA} = x_{B} - x_{A} = (x_{OB} - x_{OA}) + (v_{B} - v_{A}) t$
यहाँ,$(x_{OB} - x_{OA})$ समय $t = 0$ पर प्रारंभिक सापेक्ष विस्थापन है,और $(v_{B} - v_{A}) = v_{BA}$ कण $A$ के सापेक्ष कण $B$ का सापेक्ष वेग है।
मामले:
$1$. यदि $v_{A} = v_{B}$ है,तो $v_{BA} = 0$ होगा। समीकरण $x_{B} - x_{A} = x_{OB} - x_{OA}$ हो जाता है। इसका अर्थ है कि दोनों कणों के बीच की दूरी समय के साथ स्थिर रहती है।
$2$. यदि $v_{A} \neq v_{B}$ है,तो सापेक्ष विस्थापन समय के साथ रैखिक रूप से बदलता है। यदि $v_{B} > v_{A}$ है,तो उनके बीच की दूरी बढ़ती है,और यदि $v_{A} > v_{B}$ है,तो उनके मिलने तक दूरी घटती है।

(B) दो वस्तुओं $A$ और $B$ का सापेक्ष वेग $v_{AB} = v_A - v_B$ द्वारा दिया जाता है।
सापेक्ष वेग को शून्य होने के लिए,$v_{AB} = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $v_A - v_B = 0$ या $v_A = v_B$।
इसका मतलब है कि दोनों कारों का वेग समान परिमाण का और गति की दिशा समान होनी चाहिए।
इसलिए,जब दो कारें एक ही दिशा में समान वेग से गति करती हैं,तो उनका सापेक्ष वेग शून्य होता है।

(C) कण $B$ के सापेक्ष कण $A$ का सापेक्ष वेग $\vec{v}_{AB} = \vec{v}_A - \vec{v}_B$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वेग $\vec{v}_A$ और $\vec{v}_B$ स्थिर हैं,इसलिए उनका अंतर $\vec{v}_{AB}$ कणों की स्थिति की परवाह किए बिना स्थिर रहता है।
अतः,जब $A$,$B$ से आगे निकल जाता है,तब उनके सापेक्ष वेग के परिमाण में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

(D) मान लीजिए कि नीचे की दिशा धनात्मक $(+)$ है और ऊपर की दिशा ऋणात्मक $(-)$ है।
इमारत से गिराई गई गेंद $(1)$ के लिए: प्रारंभिक वेग $u_{1} = 0$. त्वरण $a_{1} = g$.
$t$ समय के बाद वेग $v_{1} = u_{1} + a_{1}t = gt$ (नीचे की ओर)।
ऊपर फेंकी गई गेंद $(2)$ के लिए: प्रारंभिक वेग $u_{2} = -40 \, ms^{-1}$ (ऊपर की ओर)। त्वरण $a_{2} = g$.
$t$ समय के बाद वेग $v_{2} = u_{2} + a_{2}t = -40 + gt$ (नीचे की ओर)।
गेंद $2$ के सापेक्ष गेंद $1$ का सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_{1} - v_{2}$ है।
$v_{rel} = (gt) - (-40 + gt) = gt + 40 - gt = 40 \, ms^{-1}$।
इस प्रकार,गेंदों की सापेक्ष गति $40 \, ms^{-1}$ पर स्थिर रहती है।

(10 M) दोनों वाहनों की प्रारंभिक गति,$u = 72 \times \frac{5}{18} = 20\, m/s$ है।
ट्रक के लिए,अंतिम वेग $v = 0$ समय $t_t = 5.0\, s$ पर है। त्वरण $a_t = \frac{v - u}{t_t} = \frac{0 - 20}{5} = -4\, m/s^2$ है।
कार के लिए,अंतिम वेग $v = 0$ समय $t_c = 3.0\, s$ पर है। त्वरण $a_c = \frac{v - u}{t_c} = \frac{0 - 20}{3} = -6.67\, m/s^2$ है।
माना प्रारंभिक दूरी $d$ है। कार $0.5\, s$ (प्रतिक्रिया समय) तक स्थिर गति से चलती है,जो दूरी $d_1 = 20 \times 0.5 = 10\, m$ तय करती है।
$0.5\, s$ के बाद,कार मंदन शुरू करती है। प्रतिक्रिया समय के बाद कार को रुकने में लगा समय $t$ है। $v = u + a_c t \implies 0 = 20 - 6.67t \implies t = 3.0\, s$ है।
मंदन के दौरान कार द्वारा तय की गई दूरी: $s_c = ut + \frac{1}{2} a_c t^2 = 20(3) + 0.5(-6.67)(3^2) = 60 - 30 = 30\, m$ है।
कार द्वारा तय की गई कुल दूरी: $D_c = 10 + 30 = 40\, m$ है।
ट्रक के रुकने तक उसके द्वारा तय की गई दूरी: $s_t = u t_t + \frac{1}{2} a_t t_t^2 = 20(5) + 0.5(-4)(5^2) = 100 - 50 = 50\, m$ है।
टक्कर से बचने के लिए,$d + s_t = D_c \implies d + 50 = 40$। अतः,$d = s_t - D_c = 50 - 40 = 10\, m$ है।

(A) मान लीजिए $P$ और $Q$ के बीच की प्रारंभिक दूरी $x$ है।
स्थिति $(I)$: $P$,$Q$ की ओर $v_P = 1 \,ms^{-1}$ की गति से दौड़ता है,$Q$ स्थिर है $(v_Q = 0)$। गेंद को जमीन के सापेक्ष $v_b = 2 \,ms^{-1}$ की गति से फेंका जाता है।
पहली गेंद को $Q$ तक पहुँचने में लगा समय $t_1 = \frac{x}{v_b} = \frac{x}{2}$ है।
दूसरी गेंद $t = 5 \,s$ पर फेंकी जाती है। इस समय तक,$P$ ने $Q$ की ओर $d = v_P \times 5 = 1 \times 5 = 5 \,m$ की दूरी तय कर ली है। $P$ और $Q$ के बीच की नई दूरी $(x - 5)$ है।
दूसरी गेंद को फेंकने के क्षण से $Q$ तक पहुँचने में लगा समय $t' = \frac{x - 5}{2}$ है।
अतः,दूसरी गेंद $Q$ तक $t_2 = 5 + t' = 5 + \frac{x - 5}{2} = 5 + \frac{x}{2} - 2.5 = \frac{x}{2} + 2.5$ समय पर पहुँचती है।
गेंदों को प्राप्त करने के बीच का समय अंतराल $\Delta t = t_2 - t_1 = (\frac{x}{2} + 2.5) - \frac{x}{2} = 2.5 \,s$ है।
स्थिति $(II)$: $Q$,$P$ की ओर $v_Q = 1 \,ms^{-1}$ की गति से दौड़ता है,$P$ स्थिर है $(v_P = 0)$। गेंद को जमीन के सापेक्ष $v_b = 2 \,ms^{-1}$ की गति से फेंका जाता है।
पहली गेंद $Q$ तक $t_1$ समय पर पहुँचती है जब गेंद और $Q$ द्वारा तय की गई दूरी $x$ होती है: $v_b t_1 + v_Q t_1 = x \implies (2 + 1)t_1 = x \implies t_1 = \frac{x}{3}$।
दूसरी गेंद $t = 5 \,s$ पर फेंकी जाती है। इस समय तक,$Q$ ने $P$ की ओर $d = v_Q \times 5 = 1 \times 5 = 5 \,m$ की दूरी तय कर ली है। $P$ और $Q$ के बीच की नई दूरी $(x - 5)$ है।
दूसरी गेंद को फेंकने के क्षण से $Q$ तक पहुँचने में लगा समय $t'$ है ताकि $(v_b + v_Q)t' = x - 5 \implies (2 + 1)t' = x - 5 \implies t' = \frac{x - 5}{3}$।
अतः,दूसरी गेंद $Q$ तक $t_2 = 5 + t' = 5 + \frac{x - 5}{3} = 5 + \frac{x}{3} - \frac{5}{3} = \frac{x}{3} + \frac{10}{3}$ समय पर पहुँचती है।
गेंदों को प्राप्त करने के बीच का समय अंतराल $\Delta t = t_2 - t_1 = (\frac{x}{3} + \frac{10}{3}) - \frac{x}{3} = \frac{10}{3} \,s \approx 3.33 \,s$ है।

(B) मान लीजिए कि $t$ सेकंड के बाद साइकिल सवार बस को ओवरटेक करता है।
बस के लिए,उसके शुरुआती बिंदु से तय की गई दूरी $s_{bus} = u_{bus}t + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times t^2 = t^2$ है।
साइकिल सवार बस से $96\,m$ पीछे है,इसलिए साइकिल सवार को बस तक पहुँचने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी $s_{cyclist} = 96 + t^2$ है।
चूंकि साइकिल सवार $20\,m/s$ की स्थिर गति से चलता है,इसलिए साइकिल सवार द्वारा तय की गई दूरी $s_{cyclist} = 20t$ है।
दोनों दूरियों को बराबर करने पर: $96 + t^2 = 20t$।
द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $t^2 - 20t + 96 = 0$।
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके $t$ का मान निकालने पर:
$t = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \times 96}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 384}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{20 \pm 4}{2}$।
इससे दो संभावित समय मिलते हैं: $t_1 = \frac{24}{2} = 12\,s$ और $t_2 = \frac{16}{2} = 8\,s$।
साइकिल सवार सबसे पहले $t = 8\,s$ पर बस को ओवरटेक करेगा।

(A) मान लीजिए कि ऊपर की दिशा धनात्मक $(+)$ है और नीचे की दिशा ऋणात्मक $(-)$ है।
ऊपर की ओर प्रक्षेपित पहली वस्तु के लिए,त्वरण $a_1 = -g = -10 \, m/s^2$ है।
नीचे की ओर प्रक्षेपित दूसरी वस्तु के लिए,त्वरण $a_2 = -g = -10 \, m/s^2$ है।
पहली वस्तु का दूसरी वस्तु के सापेक्ष त्वरण $a_{rel} = a_1 - a_2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $a_{rel} = (-10 \, m/s^2) - (-10 \, m/s^2) = -10 + 10 = 0 \, m/s^2$.
अतः,सापेक्ष त्वरण का परिमाण $0 \, m/s^2$ है।

(B) दो वस्तुओं का सापेक्ष वेग उनके वेगों के अंतर के रूप में परिभाषित होता है,$v_{rel} = v_P - v_Q$.
सापेक्ष वेग के शून्य होने के लिए,हमारे पास $v_P = v_Q$ होना चाहिए।
विस्थापन-समय ग्राफ में,किसी वस्तु का वेग ग्राफ के ढलान (slope) द्वारा दर्शाया जाता है।
इसलिए,सापेक्ष वेग के शून्य होने के लिए,दोनों वस्तुओं $P$ और $Q$ के विस्थापन-समय ग्राफ के ढलान समान होने चाहिए।
इसका अर्थ है कि दोनों रेखाएं एक-दूसरे के समानांतर होनी चाहिए।
दिए गए विकल्पों को देखने पर,केवल ग्राफ $B$ में $P$ और $Q$ को दर्शाने वाली रेखाएं समानांतर हैं,जो यह इंगित करती हैं कि उनका ढलान समान है और इसलिए उनका वेग भी समान है।
अतः,उनके बीच का सापेक्ष वेग शून्य है।

(C) मान लीजिए कि पहली और दूसरी गेंद का प्रारंभिक वेग क्रमशः $u_1 = 40 \, m/s$ और $u_2 = 60 \, m/s$ है।
दोनों गेंदें गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में हैं,इसलिए उनका त्वरण $a_1 = -g$ और $a_2 = -g$ है।
दोनों गेंदों के बीच सापेक्ष त्वरण $a_{rel} = a_2 - a_1 = (-g) - (-g) = 0$ है।
सापेक्ष प्रारंभिक वेग $u_{rel} = u_2 - u_1 = 60 - 40 = 20 \, m/s$ है।
$t = 5 \, s$ समय पर सापेक्ष विस्थापन $S_{rel}$ गति के समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$S_{rel} = u_{rel} t + \frac{1}{2} a_{rel} t^2$
मान रखने पर:
$S_{rel} = (20) \times 5 + \frac{1}{2} \times 0 \times (5)^2$
$S_{rel} = 100 \, m$.

(D) मान लीजिए कि तीसरी कार की गति $v \, km/h$ है।
चूंकि तीसरी कार पहली दो कारों की विपरीत दिशा में चल रही है,इसलिए अन्य दो कारों के सापेक्ष तीसरी कार का सापेक्ष वेग $(v + 30) \, km/h$ होगा।
दो कारों के बीच की दूरी $5 \, km$ है।
दो कारों से मिलने के बीच का समय अंतराल $4 \, minutes = \frac{4}{60} \, hours = \frac{1}{15} \, hours$ है।
सापेक्ष गति के सूत्र का उपयोग करते हुए: $d = v_{\text{rel}} \times t$
$5 \, km = (v + 30) \, km/h \times \frac{1}{15} \, h$
$v + 30 = 5 \times 15$
$v + 30 = 75$
$v = 75 - 30 = 45 \, km/h$.
अतः,तीसरी कार की गति $45 \, km/h$ है।

(C) टक्कर से बचने के लिए,जब सापेक्ष वेग शून्य हो जाए,तब कार $B$ के सापेक्ष कार $A$ का सापेक्ष विस्थापन प्रारंभिक दूरी $d$ से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए वेग $v_A = 30 \, m/s$ और $v_B = 20 \, m/s$ हैं।
सापेक्ष प्रारंभिक वेग $u_{rel} = v_A - v_B = 30 - 20 = 10 \, m/s$ है।
सापेक्ष त्वरण $a_{rel} = a_A - a_B = -2 - 0 = -2 \, m/s^2$ है।
टक्कर न होने के लिए,विस्थापन $d$ के बराबर होने से पहले या उस क्षण पर सापेक्ष वेग शून्य हो जाना चाहिए।
सापेक्ष गति के लिए समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर:
$0^2 = (10)^2 + 2(-2)d_{rel}$
$0 = 100 - 4d_{rel}$
$4d_{rel} = 100$
$d_{rel} = 25 \, m$.
अतः,टक्कर न होने के लिए,प्रारंभिक दूरी $d$ का मान $25 \, m$ से अधिक होना चाहिए।

(A) माना इमारत की ऊँचाई $H = 80 \,m$ है।
ऊपर से गिराई गई गेंद के लिए: प्रारंभिक वेग $u_1 = 0$,त्वरण $a_1 = -g$ है।
नीचे से फेंकी गई गेंद के लिए: प्रारंभिक वेग $u_2 = 50 \,m/s$,त्वरण $a_2 = -g$ है।
दोनों गेंदों के बीच सापेक्ष त्वरण $a_{\text{rel}} = a_2 - a_1 = (-g) - (-g) = 0$ है।
दोनों गेंदों के बीच सापेक्ष वेग $v_{\text{rel}} = u_2 - u_1 = 50 - 0 = 50 \,m/s$ है।
चूंकि सापेक्ष त्वरण शून्य है,इसलिए उनके मिलने में लगा समय $t = \frac{H}{v_{\text{rel}}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $t = \frac{80}{50} = 1.6 \,s$।

(A) मान लीजिए कि ऊपर की दिशा धनात्मक है।
गेंद $A$ के लिए: प्रारंभिक वेग $u_A = 10 \, m/s$,त्वरण $a_A = -g$ है।
समय $t$ पर गेंद $A$ का वेग $v_A = u_A + a_A t = 10 - gt$ है।
गेंद $B$ के लिए: प्रारंभिक वेग $u_B = 0$,त्वरण $a_B = -g$ है।
समय $t$ पर गेंद $B$ का वेग $v_B = u_B + a_B t = 0 - gt = -gt$ है।
$B$ के सापेक्ष $A$ का सापेक्ष वेग $v_{AB} = v_A - v_B$ है।
मान रखने पर: $v_{AB} = (10 - gt) - (-gt) = 10 - gt + gt = 10 \, m/s$ है।
अतः,$B$ के सापेक्ष $A$ की गति $10 \, m/s$ है।