Relative Motion in One Dimension Questions in Hindi

(D) दिए गए वेग $v_1 = 6 \, m/s$ और $v_2 = 10 \, m/s$ हैं।
चूंकि दोनों पिंड एक ही बिंदु से एक ही दिशा में गति कर रहे हैं,इसलिए उनका सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_2 - v_1 = 10 - 6 = 4 \, m/s$ होगा।
किसी भी समय $t$ पर उनके बीच की दूरी $s = v_{rel} \times t$ द्वारा दी जाती है।
हमें दूरी $s = 40 \, m$ दी गई है।
मान रखने पर: $40 = 4 \times t$.
अतः,$t = \frac{40}{4} = 10 \, s$।

(D) जमीन के सापेक्ष ट्रेन की गति $V_T = 90 \,km/h$ है।
इसे $m/s$ में बदलने पर: $V_T = 90 \times \frac{5}{18} = 25 \,m/s$.
ट्रेन के सापेक्ष व्यक्ति की गति $V_{P/T} = 1 \,m/s$ है,जो ट्रेन की गति की दिशा में है।
जमीन के सापेक्ष व्यक्ति की गति $(V_P)$ सापेक्ष वेग के सूत्र द्वारा दी जाती है: $V_P = V_{P/T} + V_T$.
मान रखने पर: $V_P = 1 \,m/s + 25 \,m/s = 26 \,m/s$.
अतः,जमीन के सापेक्ष व्यक्ति की गति $26 \,m/s$ है।

(C) मान लीजिए कि आदमी $v$ की निरंतर गति से दौड़ता है। मान लीजिए कि बस को पकड़ने में लगा समय $t$ है।
$t$ समय में बस द्वारा तय की गई दूरी $s_b = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times t^2 = 1.5 t^2$ है।
बस तक पहुँचने के लिए आदमी द्वारा तय की जाने वाली कुल दूरी $s_m = 6 + s_b = 6 + 1.5 t^2$ है।
चूंकि आदमी $v$ की निरंतर गति से दौड़ता है,इसलिए उसके द्वारा तय की गई दूरी $s_m = v t$ है।
$s_m$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $v t = 6 + 1.5 t^2$,जिसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $1.5 t^2 - v t + 6 = 0$ प्राप्त होता है।
आदमी के बस को पकड़ने के लिए,समय $t$ का मान वास्तविक होना चाहिए। इसके लिए द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) शून्य या उससे अधिक होना चाहिए $(D \ge 0)$।
$D = (-v)^2 - 4(1.5)(6) \ge 0$
$v^2 - 36 \ge 0$
$v^2 \ge 36 \implies v \ge 6\,m s^{-1}$।
अतः,आवश्यक न्यूनतम गति $6\,m s^{-1}$ है।

(C) माना कि दोनों गेंदें $t$ सेकंड के बाद मिलती हैं।
ऊपर से गिराई गई गेंद के लिए:
तय की गई दूरी $s_1 = \frac{1}{2} g t^2$ है।
नीचे से ऊपर फेंकी गई गेंद के लिए:
तय की गई दूरी $s_2 = u t - \frac{1}{2} g t^2$ है,जहाँ $u = 40\,m/s$ है।
चूंकि इमारत की कुल ऊँचाई $100\,m$ है,इसलिए दोनों गेंदों द्वारा तय की गई दूरियों का योग इमारत की ऊँचाई के बराबर होना चाहिए:
$s_1 + s_2 = 100$
समीकरणों को रखने पर:
$\frac{1}{2} g t^2 + (40 t - \frac{1}{2} g t^2) = 100$
$40 t = 100$
$t = \frac{100}{40} = 2.5\,s$.
अतः,दोनों गेंदें $2.5\,s$ के बाद मिलेंगी।

(A) सबसे पहले,गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलने के लिए $\frac{5}{18}$ से गुणा करें।
$V_A = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \ m/s$ (उत्तर की ओर,धनात्मक लेने पर)।
$V_B = 108 \times \frac{5}{18} = 30 \ m/s$ (दक्षिण की ओर,ऋणात्मक लेने पर,इसलिए $V_B = -30 \ m/s$)।
ट्रेन $A$ के सापेक्ष ट्रेन $B$ का वेग $V_{BA} = V_B - V_A = -30 - 20 = -50 \ m/s$ है।
ट्रेन $B$ के सापेक्ष जमीन का वेग $V_{GB} = V_G - V_B = 0 - (-30) = 30 \ m/s$ है।
अतः,वेग $-50 \ m/s$ और $30 \ m/s$ हैं।

(C) मान लीजिए कि दो कारें $A$ और $B$ हैं। कार $A$ का प्रारंभिक वेग $u_A = 20 \,m \,s^{-1}$ और कार $B$ का $u_B = -20 \,m \,s^{-1}$ है।
कार $A$ के सापेक्ष कार $B$ का सापेक्ष प्रारंभिक वेग $u_{BA} = u_B - u_A = -20 - 20 = -40 \,m \,s^{-1}$ है।
सापेक्ष प्रारंभिक वेग का परिमाण $|u_{BA}| = 40 \,m \,s^{-1}$ है।
दोनों कारें $a = 2 \,m \,s^{-2}$ की दर से मंदित होती हैं। मान लीजिए $a_A = -2 \,m \,s^{-2}$ और $a_B = 2 \,m \,s^{-2}$ है।
कार $A$ के सापेक्ष कार $B$ का सापेक्ष त्वरण $a_{BA} = a_B - a_A = 2 - (-2) = 4 \,m \,s^{-2}$ है।
सापेक्ष गति के लिए गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर, जहाँ अंतिम सापेक्ष वेग $v_{BA} = 0$ है:
$0^2 = (-40)^2 + 2(-4)S$
$0 = 1600 - 8S$
$8S = 1600 \implies S = 200 \,m$.
यह वह सापेक्ष दूरी है जो कारें रुकने से पहले तय करती हैं।
कारों के बीच की प्रारंभिक दूरी $300 \,m$ थी।
इसलिए, जब वे रुक जाती हैं तो उनके बीच की शेष दूरी $300 \,m - 200 \,m = 100 \,m$ है।

(C) टक्कर से बचने के लिए,कार $B$ के सापेक्ष कार $A$ का सापेक्ष वेग शून्य हो जाना चाहिए,इससे पहले कि उनके बीच की दूरी शून्य हो जाए।
मान लीजिए $u_r$ प्रारंभिक सापेक्ष वेग है: $u_r = V_A - V_B$।
मान लीजिए $a_r$ सापेक्ष त्वरण है: $a_r = -a - 0 = -a$।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v$ अंतिम सापेक्ष वेग $(0)$ है,$u$ प्रारंभिक सापेक्ष वेग $(V_A - V_B)$ है,और $s$ रुकने के लिए आवश्यक सापेक्ष विस्थापन $S'$ है:
$0^2 = (V_A - V_B)^2 + 2(-a)S'$।
$S'$ के लिए हल करने पर,हमें $S' = \frac{(V_A - V_B)^2}{2a}$ प्राप्त होता है।
टक्कर न होने के लिए,प्रारंभिक दूरी $S$ को रुकने की दूरी $S'$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$S \geqslant \frac{(V_A - V_B)^2}{2a}$।

(C) मान लीजिए कि एस्केलेटर की ऊँचाई $h$ है।
स्थिर एस्केलेटर पर लड़की के चलने की गति $v_{g} = \frac{h}{20}$ है।
चलते हुए एस्केलेटर की गति $v_{e} = \frac{h}{30}$ है।
जब लड़की चलते हुए एस्केलेटर पर चलती है, तो उसकी प्रभावी गति उसके चलने की गति और एस्केलेटर की गति का योग होती है: $v_{total} = v_{g} + v_{e}$।
$v_{total} = \frac{h}{20} + \frac{h}{30} = h \left( \frac{3+2}{60} \right) = \frac{5h}{60} = \frac{h}{12}$।
$h$ दूरी तय करने में लिया गया समय $t = \frac{h}{v_{total}} = \frac{h}{h/12} = 12 \,s$ है।

(C) दी गई स्थिति चित्र में दर्शाए अनुसार है।
बस $A$ का वेग,$v_A = 36 \ km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \ m/s$ (पूर्व की ओर)।
बस $B$ का वेग,$v_B = 18 \ km/h = 18 \times \frac{5}{18} = 5 \ m/s$ (पश्चिम की ओर)।
मान लीजिए कि पूर्व की ओर की दिशा धनात्मक है। तो,$v_A = +10 \ m/s$ और $v_B = -5 \ m/s$।
बस $A$ के सापेक्ष बस $B$ का आपेक्षिक वेग इस प्रकार है:
$v_{BA} = v_B - v_A = (-5) - (10) = -15 \ m/s$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि बस $B$,बस $A$ के सापेक्ष पश्चिम की ओर गति करती हुई दिखाई देती है।
अतः,बस $A$ को बस $B$,$15 \ m/s$ की गति से पूर्व से पश्चिम की ओर गति करती हुई दिखाई देगी।

(A) दो कारों $A$ और $B$ की गति चित्र में दर्शाई गई है。
कार $B$ के सापेक्ष कार $A$ का आपेक्षिक वेग है:
$v_{AB} = v_A - v_B = 15 \,m/s - 10 \,m/s = 5 \,m/s$
कार $B$ को पूरी तरह से ओवरटेक करने के लिए, कार $A$ को दोनों कारों की लंबाई के योग के बराबर दूरी तय करनी होगी:
$s = 4 \,m + 4 \,m = 8 \,m$
ओवरटेक पूरा करने में लगा समय है:
$t = \frac{s}{v_{AB}} = \frac{8 \,m}{5 \,m/s} = 1.6 \,s$

(C) मान लीजिए कि पुलिस पार्टी $t$ समय के बाद चोर को पकड़ लेती है।
$t$ समय में पुलिस पार्टी द्वारा तय की गई दूरी $d_p = v t$ है।
विराम अवस्था से $a$ त्वरण के साथ शुरू करने वाले चोर द्वारा $t$ समय में तय की गई दूरी $d_t = x + \frac{1}{2} a t^2$ है।
पुलिस के लिए चोर को पकड़ने हेतु,पुलिस द्वारा तय की गई दूरी चोर द्वारा तय की गई दूरी से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए:
$v t \geq x + \frac{1}{2} a t^2$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $t$ में एक द्विघात असमानता प्राप्त होती है:
$\frac{1}{2} a t^2 - v t + x \leq 0$
$t$ के लिए वास्तविक समाधान मौजूद होने हेतु,संबंधित द्विघात समीकरण $\frac{1}{2} a t^2 - v t + x = 0$ का विविक्तकर (discriminant) शून्य या उससे अधिक होना चाहिए।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ इस प्रकार है:
$D = (-v)^2 - 4(\frac{1}{2} a)(x) \geq 0$
$v^2 - 2 a x \geq 0$
$v^2 \geq 2 a x$