Motion Under Gravity Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે: ટાવરની ઊંચાઈ $h = 125 \ m$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,પ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$.
સૌ પ્રથમ,જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $t$,$h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધો:
$125 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$125 = 5t^2 \Rightarrow t^2 = 25 \Rightarrow t = 5 \ s$.
છેલ્લી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર એ કુલ સમયમાં કાપેલા અંતર અને $(t-1)$ સેકન્ડમાં કાપેલા અંતરનો તફાવત છે.
$(5-1) = 4 \ s$ માં કાપેલું અંતર $h' = \frac{1}{2} \times 10 \times (4)^2 = 5 \times 16 = 80 \ m$ છે.
છેલ્લી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $= 125 - 80 = 45 \ m$.
પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતર કુલ ઊંચાઈના $x \%$ છે:
$45 = \frac{x}{100} \times 125$
$x = \frac{45 \times 100}{125} = \frac{4500}{125} = 36$.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 35 \ m/s$,પ્રવેગ $a = -g = -10 \ m/s^2$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t_1 = 3 \ s$ સમયે,વેગ $v_1 = 35 - 10(3) = 35 - 30 = 5 \ m/s$ છે.
ઝડપ $|v_1| = 5 \ m/s$ છે.
$t_2 = 4 \ s$ સમયે,વેગ $v_2 = 35 - 10(4) = 35 - 40 = -5 \ m/s$ છે.
ઝડપ $|v_2| = |-5| = 5 \ m/s$ છે.
તેથી,$3 \ s$ અને $4 \ s$ સમયે ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{|v_1|}{|v_2|} = \frac{5}{5} = 1: 1$ થાય.

(B) $n^{\text{મી}}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$
મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને પ્રવેગ $a = g$ છે.
તેથી,$n^{\text{મી}}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_n = \frac{g}{2}(2n - 1)$ થાય.
પ્રથમ સેકન્ડ માટે $(n = 1)$:
$S_1 = \frac{g}{2}(2(1) - 1) = \frac{g}{2}$
બીજી સેકન્ડ માટે $(n = 2)$:
$S_2 = \frac{g}{2}(2(2) - 1) = \frac{3g}{2}$
ત્રીજી સેકન્ડ માટે $(n = 3)$:
$S_3 = \frac{g}{2}(2(3) - 1) = \frac{5g}{2}$
સ્થાનાંતરનો ગુણોત્તર $S_1 : S_2 : S_3 = \frac{g}{2} : \frac{3g}{2} : \frac{5g}{2} = 1 : 3 : 5$ છે.

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થને શિરોલંબ દિશામાં ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે તેની સમગ્ર ગતિ દરમિયાન તેના પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ જેટલો અચળ પ્રવેગ નીચેની તરફ લાગે છે.
તેના ગતિપથના સૌથી ઊંચા બિંદુએ, પદાર્થનો વેગ ક્ષણિક રીતે $0 \,m/s$ થઈ જાય છે.
જોકે, પ્રવેગ અચળ રહે છે અને તે પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ નીચેની દિશામાં લાગે છે.
તેથી, મહત્તમ ઊંચાઈએ પ્રવેગ એ ગુરુત્વપ્રવેગ જેટલો હોય છે, જેનું મૂલ્ય આશરે $9.8 \,m/s^2$ નીચેની તરફ હોય છે.

(C)
સમય $t$ પર ઊંચાઈ $H$ માટે ગતિનું સમીકરણ:
$H = ut - \frac{1}{2}gt^2$
દડો $t_1 = 2 \,s$ અને $t_2 = 10 \,s$ સમયે સમાન ઊંચાઈ $H$ પરથી પસાર થાય છે, તેથી:
$H = u(2) - \frac{1}{2}g(2)^2 = 2u - 2g$
$H = u(10) - \frac{1}{2}g(10)^2 = 10u - 50g$
$H$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$2u - 2g = 10u - 50g$
$8u = 48g$
$u = 6g = 6 \times 9.8 = 58.8 \,m/s$
હવે $H$ ના સમીકરણમાં $u$ ની કિંમત મૂકતા:
$H = 2(58.8) - 2(9.8) = 117.6 - 19.6 = 98 \,m$

(B) આપેલ છે કે $1 \,s$ માં પ્રાપ્ત કરેલ ઊંચાઈ $h=25 \,m$ છે. ધારો કે $u$ એ ઉપરની દિશામાં પ્રારંભિક વેગ છે. ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$h=ut-\frac{1}{2}gt^2$.
$25=u(1)-\frac{1}{2}(10)(1)^2$
$25=u-5 \Rightarrow u=30 \,m/s$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ દડાનો અંતિમ વેગ શૂન્ય થાય છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટે લાગતો સમય $v=u-gt \Rightarrow 0=30-10t \Rightarrow t=3 \,s$ છે.
હવે,$2 \,s$ માં કાપેલું અંતર એ $2 \,s$ માં સ્થાનાંતર છે કારણ કે દડો હજુ ઉપરની તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે:
$d_1=u(2)-\frac{1}{2}g(2)^2 = 30(2)-5(4) = 60-20 = 40 \,m$.
$3 \,s$ માં દડા દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ:
$H=u(3)-\frac{1}{2}g(3)^2 = 30(3)-5(9) = 90-45 = 45 \,m$.
$4 \,s$ પછીનું સ્થાનાંતર:
$S_2=u(4)-\frac{1}{2}g(4)^2 = 30(4)-5(16) = 120-80 = 40 \,m$.
દડો $t=3 \,s$ પર મહત્તમ ઊંચાઈ વટાવી ચૂક્યો હોવાથી,$4 \,s$ માં કાપેલું કુલ અંતર $d_2=H+(H-S_2) = 45+(45-40) = 50 \,m$ થશે.
ગુણોત્તર $\frac{d_1}{d_2} = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}$ છે.

(D) મહત્તમ ઊંચાઈએ, અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે। ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u - gt$ નો ઉપયોગ કરતા, $0 = u - 10 \times 5$, જે આપણને $u = 50 \,m/s$ આપે છે।
$n^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $s_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે।
$2^{nd}$ સેકન્ડ માટે $(n=2)$: $s_2 = 50 - \frac{10}{2}(2 \times 2 - 1) = 50 - 5(3) = 35 \,m$.
$7^{th}$ સેકન્ડ માટે $(n=7)$: $s_7 = 50 - \frac{10}{2}(2 \times 7 - 1) = 50 - 5(13) = 50 - 65 = -15 \,m$. અંતરનું મૂલ્ય $15 \,m$ છે।
$2^{nd}$ સેકન્ડ અને $7^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલા અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{35}{15} = \frac{7}{3}$ થાય છે।

(A) ધારો કે પ્રારંભિક સ્થાન $A$ છે અને જે બિંદુએ દડો પકડાય છે તે $B$ છે. સૌથી ઊંચું બિંદુ $P$ છે.
પ્રારંભિક ઝડપ $u = 20 \,m/s$.
સ્થાનાંતર $s = 5 \,m$ માટે ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$5 = 20t - \frac{1}{2}(10)t^2$
$5 = 20t - 5t^2$
$5$ વડે ભાગતા:
$1 = 4t - t^2$
$t^2 - 4t + 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} \,s$.
દડો નીચે આવતી વખતે પકડાય છે, તેથી આપણે સમયનું મોટું મૂલ્ય લઈશું:
$t = 2 + \sqrt{3} \,s$.

(B) મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે,વેગનું ગતિનું સમીકરણ $v = u + gt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક ઝડપ $u = 0$ હોવાથી,સમીકરણ $v = gt$ બને છે.
અહીં,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ છે,જે અચળ છે ($g \approx 9.8 \ m/s^2$ અથવા $10 \ m/s^2$).
આ સમીકરણ $v = gt$ એ $y = mx$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y$ એ ઝડપ દર્શાવે છે,$x$ એ સમય દર્શાવે છે,અને $m = g$ એ ઢાળ છે.
કોઈ અચળ પદ (આંતરછેદ) ન હોવાથી,આલેખ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) પ્રશ્ન મુજબ, દડો $t_1 = 3 \,s$ સમયે ટાવરની ટોચ પર પહોંચે છે અને ત્યારબાદ $2 \,s$ પછી તે તેની મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચે છે.
તેથી, દડાને મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $t = t_1 + t_2 = 3 + 2 = 5 \,s$ છે.
જો $t = 0$ સમયે દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u$ હોય, તો ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $(v = u - gt)$ પરથી:
$0 = u - 10 \times 5 \implies u = 50 \,m/s$.
જો ટાવરની ઊંચાઈ $h$ હોય, તો ગતિના બીજા સમીકરણ $(h = ut - \frac{1}{2}gt^2)$ પરથી:
$h = 50 \times 3 - \frac{1}{2} \times 10 \times 3^2 = 150 - 45 = 105 \,m$.
આમ, ટાવરની ઊંચાઈ $105 \,m$ છે.

(A) મહત્તમ ઊંચાઈએ, પદાર્થનો અંતિમ વેગ $v = 0 \,m/s$ હોય છે.
ધારો કે મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_{max}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચતા પહેલા $t$ સમય પર પદાર્થનો વેગ, મહત્તમ ઊંચાઈથી નીચે પડતી વખતે $t$ સમયમાં પ્રાપ્ત કરેલા વેગ જેટલો જ હોય છે (સમપ્રમાણતાને કારણે).
અહીં, $t = 0.5 \,s$ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 9.8 \,m/s^2$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતી નીચેની ગતિ માટે ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$v = u + gt$
$v = 0 + (9.8 \,m/s^2) \times (0.5 \,s)$
$v = 4.9 \,m/s$.

(B) ધારો કે અંતર $AB = BC = h$ છે. કુલ અંતર $AC = 2h$ થાય.
પદાર્થ $A$ થી સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત પતન કરે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$AB = h$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1$:
$t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$
$AC = 2h$ અંતર કાપવા માટે લાગતો કુલ સમય $T$:
$T = \sqrt{\frac{2(2h)}{g}} = \sqrt{\frac{4h}{g}} = 2\sqrt{\frac{h}{g}}$
$BC$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_2$ એ કુલ સમય $T$ અને $t_1$ નો તફાવત છે:
$t_2 = T - t_1 = 2\sqrt{\frac{h}{g}} - \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{h}{g}}(2 - \sqrt{2})$
હવે,ગુણોત્તર $(t_2 / t_1)$:
$\frac{t_2}{t_1} = \frac{\sqrt{\frac{h}{g}}(2 - \sqrt{2})}{\sqrt{\frac{2h}{g}}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,અંતિમ વેગ $0$ છે. $v = u - gt$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = u - gt$,તેથી $u = gt$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h = \frac{u^2}{2g} = \frac{(gt)^2}{2g} = \frac{gt^2}{2}$ છે.
પદાર્થ $t$ સમયમાં મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે.
પાછા ફરતી વખતે,પદાર્થ $h$ ઊંચાઈથી $h/2$ ઊંચાઈ સુધી નીચે પડે છે. કાપેલું અંતર $h/2$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી નીચેની ગતિ માટે $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{h}{2} = 0 + \frac{1}{2}g(t')^2$,જ્યાં $t'$ એ મહત્તમ ઊંચાઈથી અડધી ઊંચાઈ સુધી પડવા માટેનો સમય છે.
$h = \frac{gt^2}{2}$ મૂકતા,આપણને $\frac{gt^2}{4} = \frac{1}{2}g(t')^2$ મળે છે.
$t'$ માટે ઉકેલતા,$(t')^2 = \frac{t^2}{2}$,તેથી $t' = \frac{t}{\sqrt{2}}$.
પ્રક્ષેપણથી કુલ સમય $T = t + t' = t + \frac{t}{\sqrt{2}} = \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)t$ થશે.

(D) જ્યારે કોઈ પદાર્થ તેની દિશા બદલે છે,ત્યારે તે એક ક્ષણ માટે સ્થિર થાય છે,ઉદાહરણ તરીકે,ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલ પદાર્થ તેના મહત્તમ બિંદુએ સ્થિર થાય છે. તેથી,કારણનું વિધાન સાચું છે.
આ જ ઉદાહરણમાં,મહત્તમ બિંદુએ કણનો વેગ $0$ હોય છે,પરંતુ કણનો પ્રવેગ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતા પ્રવેગ $(g = 9.8 \ m/s^2)$ જેટલો હોય છે,જે શૂન્ય નથી.
તેથી,વિધાન ખોટું છે.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે. $t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $h = \frac{1}{2}gt^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ $4$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $d_1 = \frac{1}{2}g(4)^2 = 8g$ છે.
$12$ સેકન્ડમાં ($4$ સેકન્ડ + $8$ સેકન્ડ) કાપેલું કુલ અંતર $h_{12} = \frac{1}{2}g(12)^2 = 72g$ છે.
પછીની $8$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $d_2 = h_{12} - d_1 = 72g - 8g = 64g$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{d_2}{d_1} = \frac{64g}{8g} = 8$ થાય.

(B) ધારો કે પ્રથમ દડાને $t=0$ સમયે $h$ ઊંચાઈએથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી પાડવામાં આવે છે અને બીજા દડાને તે જ $h$ ઊંચાઈએથી $t=1 \,s$ સમયે પાડવામાં આવે છે.
સમય $t$ પર પ્રથમ દડા દ્વારા કપાયેલ અંતર $H_1 = \frac{1}{2} g t^2$ છે.
બીજો દડો $t=1 \,s$ સમયે પાડવામાં આવે છે. ધારો કે બીજો દડો પાડ્યા પછીનો સમય $t_1$ છે. તેથી $t = 1 + t_1$.
સમય $t$ પર પ્રથમ દડા દ્વારા કપાયેલ અંતર $s_1 = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} g (1 + t_1)^2$ છે.
સમય $t_1$ પર બીજા દડા દ્વારા કપાયેલ અંતર $s_2 = \frac{1}{2} g t_1^2$ છે.
બંને દડાઓ વચ્ચેનું અંતર $s_1 - s_2 = 10 \,m$ છે.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{1}{2} g (1 + t_1)^2 - \frac{1}{2} g t_1^2 = 10$.
$g = 10 \,m/s^2$ લેતા: $5(1 + 2t_1 + t_1^2) - 5t_1^2 = 10$.
$5 + 10t_1 + 5t_1^2 - 5t_1^2 = 10$.
$10t_1 = 5$.
$t_1 = 0.5 \,s$.
કુલ સમય $t = 1 + t_1 = 1 + 0.5 = 1.5 \,s$.

(A) ધારો કે બંને દડા $t$ સમય પછી ટોચથી $h$ અંતરે મળે છે।
દડા-$1$ માટે (નીચેની ગતિ):
$h = u_1 t + \frac{1}{2} g t^2 = 0 \cdot t + \frac{1}{2} (10) t^2 = 5 t^2$ ... $(i)$
દડા-$2$ માટે (ઉપરની ગતિ):
દડા-$2$ દ્વારા કાપેલું અંતર $(21 - h)$ છે।
$(21 - h) = u_2 t - \frac{1}{2} g t^2 = 14 t - 5 t^2$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$h + (21 - h) = 5 t^2 + 14 t - 5 t^2$
$21 = 14 t$
$t = \frac{21}{14} = 1.5 \,s$
$t = 1.5 \,s$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$h = 5 \times (1.5)^2 = 5 \times 2.25 = 11.25 \,m = \frac{45}{4} \,m$
આમ,જ્યારે દડા-$1$,દડા-$2$ ને પસાર કરે ત્યારે તે $\frac{45}{4} \,m$ નીચે પડ્યો હશે।

(A) ધારો કે બંને પથ્થરો $t$ સેકન્ડ પછી જમીનથી $h$ ઊંચાઈએ મળે છે.
$100 \ m$ ની ઊંચાઈએથી નીચે પાડવામાં આવેલા પ્રથમ પથ્થર માટે:
$t$ સમય પછી પ્રથમ પથ્થરની ઊંચાઈ $y_1 = 100 - \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જમીન પરથી ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા બીજા પથ્થર માટે:
$t$ સમય પછી બીજા પથ્થરની ઊંચાઈ $y_2 = 25t - \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેઓ સમાન ઊંચાઈએ મળે છે,તેથી $y_1 = y_2$:
$100 - \frac{1}{2}gt^2 = 25t - \frac{1}{2}gt^2$
$100 = 25t$
$t = \frac{100}{25} = 4 \ s$.
આમ,$4 \ s$ પછી પથ્થરો સમાન ઊંચાઈએ હશે.

(D) ધારો કે બારીનો ઉપરનો ભાગ ઉગમબિંદુ $(y=0)$ છે। પથ્થરને $u = 8 \,m/s$ ના વેગથી ઉપર ફેંકવામાં આવે છે।
મહત્તમ ઊંચાઈ $A$ પર,અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે।
$v = u + at$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$0 = 8 - 10t \implies t = 0.8 \,s$.
બારીના ઉપરના છેડાથી $A$ બિંદુની ઊંચાઈ $h = ut + \frac{1}{2}at^2 = 8(0.8) - \frac{1}{2}(10)(0.8)^2 = 6.4 - 3.2 = 3.2 \,m$ છે।
હવે,પથ્થર $A$ બિંદુથી બારીના નીચેના છેડા સુધી પડે છે। $A$ થી બારીના નીચેના છેડા સુધીનું કુલ અંતર $H = 3.2 \,m + 1.8 \,m = 5.0 \,m$ છે।
$A$ થી બારીના નીચેના છેડા સુધી પડવા માટે લાગતો સમય $(t_{total})$:
$H = \frac{1}{2}gt_{total}^2 \implies 5.0 = \frac{1}{2}(10)t_{total}^2 \implies t_{total}^2 = 1 \implies t_{total} = 1 \,s$.
નીચેની તરફની ગતિ દરમિયાન બારી ઓળંગવા માટે લાગતો સમય એ નીચેના છેડા સુધી પહોંચવા માટેનો સમય અને $A$ થી ઉપરના છેડા સુધી પહોંચવા માટેના સમયનો તફાવત છે:
$\Delta t = t_{total} - t = 1 \,s - 0.8 \,s = 0.2 \,s$.

(A) પ્રથમ દડાને જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$t_1 = \sqrt{\frac{2 \times 500}{10}} = \sqrt{100} = 10 \ s$.
પ્રથમ દડો $t = 10 \ s$ પર જમીન પર અથડાય છે.
બીજો દડો $1 \ s$ પછી મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી તે $t_2 = 10 - 1 = 9 \ s$ સુધી ગતિમાં રહ્યો છે.
પ્રથમ દડા દ્વારા કાપેલું અંતર $s_1 = 500 \ m$ છે (કારણ કે તે જમીન પર અથડાય છે).
બીજા દડા દ્વારા $9 \ s$ માં કાપેલું અંતર $s_2 = \frac{1}{2} \times g \times t_2^2$ છે.
$s_2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 9^2 = 5 \times 81 = 405 \ m$.
બંને દડાઓ વચ્ચેનું અંતર $s_1 - s_2 = 500 - 405 = 95 \ m$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $B$ પર કણનો વેગ $v$ છે.
પદાર્થ મુક્ત પતન કરતો હોવાથી,તેનો પ્રવેગ $g$ છે.
$BC$ અંતર માટે,લાગતો સમય $t_1 = 2 \ s$ છે. ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$BC = v(2) + \frac{1}{2}g(2)^2 = 2v + 2g$ --- $(i)$
$BD$ અંતર માટે,કુલ સમય $t_2 = 2 + 1 = 3 \ s$ છે.
$BD = BC + CD = 2BC$ (કારણ કે $BC = CD$).
$BD = v(3) + \frac{1}{2}g(3)^2 = 3v + 4.5g$
$BD = 2BC$ હોવાથી:
$2(2v + 2g) = 3v + 4.5g$
$4v + 4g = 3v + 4.5g$
$v = 0.5g$
હવે,$AB$ અંતર માટે,ધારો કે લાગતો સમય $t$ છે. પદાર્થ $A$ થી મુક્ત પતન કરતો હોવાથી,તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
$v = u + at \Rightarrow 0.5g = 0 + gt$
$t = 0.5 \ s$.

(B) $\text{ધારો કે પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ } u \text{ છે। મહત્તમ ઊંચાઈ } H \text{ પર, અંતિમ વેગ } v = 0 \text{ થાય છે। મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર } H = \frac{u^2}{2g} \text{ છે।}
h \text{ ઊંચાઈ પર, વેગ } v_h = 8 \,m/s \text{ છે। ગતિના સમીકરણ } v^2 = u^2 - 2gh \text{ નો ઉપયોગ કરતા } 8^2 = u^2 - 2gh, \text{ જેનો અર્થ છે } u^2 = 64 + 2gh.
\text{જો આપણે } h \text{ ઊંચાઈથી મહત્તમ ઊંચાઈ } H \text{ સુધીની ગતિને ધ્યાનમાં લઈએ, તો પ્રારંભિક વેગ } 8 \,m/s \text{ અને અંતિમ વેગ } 0 \text{ છે। કાપેલું અંતર } (H - h) \text{ છે।}
v^2 = u^2 - 2as \text{ નો ઉપયોગ કરતા } 0^2 = 8^2 - 2g(H - h), \text{ તેથી } 64 = 20(H - h), \text{ જે આપે છે } (H - h) = 3.2 \,m.
\text{આમ, પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત વધારાની ઊંચાઈ } 3.2 \,m \text{ છે।}$

(C) ધારો કે પદાર્થને મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુ $C$ થી બિંદુ $B$ સુધી નીચે આવતા લાગતો સમય $t^{\prime}$ છે.
ગતિની સંમિતિને કારણે,$B$ થી $C$ સુધી જવા માટે લાગતો સમય એ $C$ થી $B$ સુધી નીચે આવવા માટે લાગતા સમય જેટલો જ હોય છે,જે $t^{\prime}$ છે.
આપેલ છે કે પદાર્થ $t_1$ અને $t_2$ સમયે $H$ ઊંચાઈ પર છે,તેથી $t_2 = t_1 + 2t^{\prime}$.
આમ,$t^{\prime} = \frac{t_2-t_1}{2}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $C$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $T = t_1 + t^{\prime} = t_1 + \frac{t_2-t_1}{2} = \frac{t_1+t_2}{2}$ છે.
પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{\max}$ એ $H_{\max} = \frac{1}{2}gT^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $H_{\max} = \frac{1}{2}g\left(\frac{t_1+t_2}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}g \cdot \frac{(t_1+t_2)^2}{4} = \frac{g(t_1+t_2)^2}{8}$ મળે છે.

(C) ધારો કે પદાર્થને પ્રારંભિક વેગ $u$ સાથે ફેંકવામાં આવે છે. $h$ ઊંચાઈ માટે ગતિનું સમીકરણ $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ છે,જે $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે: $\frac{1}{2}gt^2 - ut + h = 0$.
અહીં $t_1$ અને $t_2$ આ સમીકરણના બીજ હોવાથી,બીજનો સરવાળો $t_1 + t_2 = \frac{u}{g/2} = \frac{2u}{g}$ થાય.
તેથી,$u = \frac{g(t_1+t_2)}{2}$.
પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$u$ ની કિંમત મૂકતા: $H = \frac{1}{2g} \left[ \frac{g(t_1+t_2)}{2} \right]^2 = \frac{1}{2g} \cdot \frac{g^2(t_1+t_2)^2}{4} = \frac{g(t_1+t_2)^2}{8}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$H = 2g \left( \frac{t_1+t_2}{4} \right)^2 = 2g \cdot \frac{(t_1+t_2)^2}{16} = \frac{g(t_1+t_2)^2}{8}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ છે: પુલની ઊંચાઈ $h = 45 \ m$. દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m \ s^{-1}$. ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m \ s^{-2}$.
શિરોલંબ ગતિ માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$.
અહીં $u = 0$ હોવાથી,$45 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$.
$45 = 5t^2 \implies t^2 = 9 \implies t = 3 \ s$.
દડાને પાણીની સપાટી સુધી પહોંચતા $3 \ s$ લાગે છે.
આ સમય દરમિયાન,હોડીએ અથડામણના બિંદુ પર પહોંચવા માટે $12 \ m$ નું અંતર કાપવું પડે.
હોડીની ઝડપ $v = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{12 \ m}{3 \ s} = 4 \ m \ s^{-1}$.

(B) ધારો કે છોકરા $A$ માટે સમયગાળો $t_A = 2 \ s$ અને છોકરા $B$ માટે સમયગાળો $t_B = 1 \ s$ છે.
શિરોલંબ ફેંકવામાં આવેલા દડા માટે,$h$ ઊંચાઈએ આવેલા બિંદુથી મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t/2$ છે.
$v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,મહત્તમ ઊંચાઈએ $v = 0$ હોવાથી,$u = g(t/2)$ મળે.
જમીનથી બિંદુની ઊંચાઈ $h = u(t/2) - 1/2 g(t/2)^2 = g(t/2)^2 - 1/2 g(t/2)^2 = 1/2 g(t/2)^2 = 1/8 g t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
છોકરા $A$ માટે: $h_A = 1/8 \times 10 \times (2)^2 = 5 \ m$.
છોકરા $B$ માટે: $h_B = 1/8 \times 10 \times (1)^2 = 1.25 \ m$.
શિરોલંબ સ્થાનમાં તફાવત $h_A - h_B = 5 \ m - 1.25 \ m = 3.75 \ m$ છે.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = F \cdot S_n = mg \cdot S_n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S_n$ એ $n$મી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર છે.
અહીં $m$,$g$ અને $F$ અચળ હોવાથી,$W \propto S_n$ થાય.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતા પદાર્થ માટે $n$મી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $u = 0$ અને $a = g$ હોવાથી,$S_n = \frac{g}{2}(2n - 1)$ મળે.
$n = 1, 2, 3$ માટે:
$S_1 = \frac{g}{2}(2(1) - 1) = \frac{g}{2}(1)$
$S_2 = \frac{g}{2}(2(2) - 1) = \frac{g}{2}(3)$
$S_3 = \frac{g}{2}(2(3) - 1) = \frac{g}{2}(5)$
આમ,અંતરનો ગુણોત્તર $S_1 : S_2 : S_3 = 1 : 3 : 5$ છે.
તેથી,થયેલા કાર્યનો ગુણોત્તર $1 : 3 : 5$ છે.

(C) ધારો કે બે ક્રમિક ટીપાં વચ્ચેનો સમયગાળો $t$ છે.
જ્યારે છઠ્ઠું ટીપું પડવાનું શરૂ કરે છે ત્યારે પ્રથમ ટીપું જમીન પર અથડાય છે,તેથી પ્રથમ ટીપાંને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $5t$ છે.
આપેલ ઊંચાઈ $h = 5 \ m$ અને $g = 10 \ m/s^2$ માટે,લાગતો સમય $t_{total} = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 5}{10}} = 1 \ s$ છે.
આમ,$5t = 1 \ s$,જેનો અર્થ છે કે $t = 0.2 \ s$.
જે ક્ષણે પ્રથમ ટીપું જમીન પર અથડાય છે,ત્યારે ચોથું ટીપું $(1.0 - 0.6) = 0.4 \ s$ સમયથી નીચે પડી રહ્યું છે.
ચોથા ટીપાં દ્વારા કાપેલું અંતર $h_4 = \frac{1}{2}gt_4^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.4)^2 = 5 \times 0.16 = 0.8 \ m$.
જમીનથી ઊંચાઈ $= 5 - 0.8 = 4.2 \ m$.

(B) ધારો કે ગતિના બિંદુઓ $A$ (કૂદકો),$B$ (પેરાશૂટ ખુલે છે),$C$ ($10 \ m$ ઊંચાઈએ),અને $D$ (જમીન) છે.
$1.$ $A$ થી $B$ સુધીની ગતિ (મુક્ત પતન):
પ્રારંભિક વેગ $u_A = 0$,સમય $t = 2 \ s$,પ્રવેગ $a = g = 10 \ m/s^2$.
કાપેલું અંતર $x_1 = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2 = 20 \ m$.
$B$ પાસે વેગ,$v_B = u_A + gt = 0 + 10 \times 2 = 20 \ m/s$.
$2.$ $B$ થી $C$ સુધીની ગતિ (પ્રતિપ્રવેગ):
પ્રારંભિક વેગ $u_B = 20 \ m/s$,અંતિમ વેગ $v_C = 5 \ m/s$,પ્રવેગ $a = -3 \ m/s^2$.
સૂત્ર $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(5)^2 - (20)^2 = 2(-3) x_2$
$25 - 400 = -6 x_2$
$-375 = -6 x_2$
$x_2 = \frac{375}{6} = 62.5 \ m$.
$3.$ $C$ થી $D$ સુધીની ગતિ:
અંતર $x_3 = 10 \ m$.
કુલ ઊંચાઈ $H = x_1 + x_2 + x_3 = 20 + 62.5 + 10 = 92.5 \ m$.

(A) ધારો કે દડો ઉપરથી $h'$ અંતર કાપે છે.
$h'$ અંતર કાપ્યા પછી દડાનો વેગ $v = \sqrt{2gh'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય $a = g = 10 \text{ m/s}^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,વેગનું મૂલ્ય અને પ્રવેગનું મૂલ્ય સમાન છે: $|v| = |a|$.
કિંમતો મૂકતા,$\sqrt{2gh'} = g$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$2gh' = g^2$ મળે છે.
$g$ વડે ભાગતા,$2h' = g$ મળે છે.
$g = 10 \text{ m/s}^2$ આપેલ હોવાથી,$2h' = 10$,જેનો અર્થ છે કે $h' = 5 \text{ m}$.
જમીનથી ઊંચાઈ $H$ એ કુલ ઊંચાઈમાંથી કાપેલું અંતર બાદ કરતા મળે છે: $H = 18 \text{ m} - 5 \text{ m} = 13 \text{ m}$.

(D) મુક્ત પતન કરતી વસ્તુ દ્વારા કાપવામાં આવેલ અંતર સમીકરણ $s = \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $g$ અચળ હોવાથી,અંતર $s$ એ પ્રતિક્રિયા સમય $t$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે $(s \propto t^2)$.
પ્રતિક્રિયા સમયની સરખામણી કરતા: $t_B (0.22 \text{ s}) > t_E (0.21 \text{ s}) > t_A (0.20 \text{ s}) > t_D (0.19 \text{ s}) > t_C (0.18 \text{ s})$.
$s \propto t^2$ હોવાથી,અંતરનો ક્રમ પ્રતિક્રિયા સમયના વર્ગના ક્રમ જેવો જ રહેશે.
તેથી,કાપેલું અંતર આ ક્રમમાં હશે: $B > E > A > D > C$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.