Projectile Motion from Hight Questions in Hindi

(D) हवाई जहाज का प्रारंभिक वेग क्षैतिज है,इसलिए पैकेट के वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = 0 \ m/s$ होगा।
ऊर्ध्वाधर दिशा में गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करने पर: $s_y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$.
यहाँ,$s_y = h$,$u_y = 0$,और $a_y = g$ है।
इन मानों को रखने पर: $h = 0 \cdot t + \frac{1}{2} g t^2$.
$h = \frac{1}{2} g t^2$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t^2 = \frac{2h}{g}$.
अतः,$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.

(A) जब $u$ क्षैतिज वेग से गति कर रहे हवाई जहाज से एक पैकेट गिराया जाता है,तो उसका प्रारंभिक क्षैतिज वेग $u$ और प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $0$ होता है।
जैसे-जैसे पैकेट $h$ ऊँचाई से नीचे गिरता है,उसका क्षैतिज वेग $u$ स्थिर रहता है (वायु प्रतिरोध को नगण्य मानते हुए)।
जमीन पर पहुँचने पर पैकेट का ऊर्ध्वाधर वेग $v_y$ गति के समीकरण $v_y^2 = u_y^2 + 2gh$ द्वारा ज्ञात किया जा सकता है,जहाँ $u_y = 0$ है।
अतः,$v_y = \sqrt{2gh}$।
पृथ्वी की सतह पर परिणामी वेग $v$ क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों का सदिश योग है: $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$।
मान रखने पर,$v = \sqrt{u^2 + (\sqrt{2gh})^2} = \sqrt{u^2 + 2gh}$।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक क्षैतिज वेग $u = 4\, m/s$,उड़ान का समय $t = 0.4\, s$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\, m/s^2$.
$1$. क्षैतिज दूरी (परास) $R = u \times t = 4 \times 0.4 = 1.6\, m$. अतः,कथन $(a)$ सत्य है।
$2$. मेज की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.4)^2 = 5 \times 0.16 = 0.8\, m$. अतः,कथन $(c)$ सत्य है।
$3$. टकराते समय वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_V = gt = 10 \times 0.4 = 4\, m/s$. क्षैतिज घटक $v_H = u = 4\, m/s$. परिणामी गति $v = \sqrt{v_H^2 + v_V^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2} \approx 5.66\, m/s$. अतः,कथन $(b)$ असत्य है।
चूंकि दोनों $(a)$ और $(c)$ सत्य हैं,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(B) ब्लॉक द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $S$ को सूत्र $S = u \times t$ द्वारा ज्ञात किया जाता है,जहाँ $u$ क्षैतिज वेग है और $t$ जमीन तक पहुँचने में लगा समय है।
दिया गया है: $u = 100 \, m/s$,$h = 490 \, m$,और $g = 9.8 \, m/s^2$.
नीचे गिरने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 490}{9.8}} = \sqrt{\frac{980}{9.8}} = \sqrt{100} = 10 \, s$ है।
अतः,क्षैतिज दूरी $S = 100 \, m/s \times 10 \, s = 1000 \, m$ है।
चूँकि $1000 \, m = 1 \, km$ होता है,इसलिए ब्लॉक $1 \, km$ की दूरी पर जमीन से टकराएगा।

(D) दिया गया है: क्षैतिज वेग $u = 720 \, km/h = 720 \times \frac{5}{18} \, m/s = 200 \, m/s$.
ऊँचाई $h = 396.9 \, m$.
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m/s^2$.
जमीन तक पहुँचने में लगा समय $(t)$:
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 396.9}{9.8}} = \sqrt{\frac{793.8}{9.8}} = \sqrt{81} = 9 \, s$.
क्षैतिज परास $(R)$:
$R = u \times t = 200 \, m/s \times 9 \, s = 1800 \, m$.
अतः,लगा समय $9 \, s$ है और क्षैतिज परास $1800 \, m$ है।

(A) बम द्वारा जमीन तक पहुँचने में लिया गया समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 80}{10}} = \sqrt{16} = 4 \, s$ है।
बम द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $BC = v_H \times t = 150 \times 4 = 600 \, m$ है।
ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $AB = 80 \, m$ है।
बम गिराने के बिंदु $A$ से लक्ष्य $C$ तक की सीधी दूरी कर्ण $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{80^2 + 600^2} = \sqrt{6400 + 360000} = \sqrt{366400} \approx 605.3 \, m$ है।

(A) गति के दौरान वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है: $v_x = 500\, m/s$.
जमीन से टकराते समय वेग का ऊर्ध्वाधर घटक गति के समीकरण $v_y = u_y + gt$ का उपयोग करके निकाला जाता है,जहाँ $u_y = 0$ (प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग) और $t = 10\, s$ है:
$v_y = 0 + (10\, m/s^2) \times (10\, s) = 100\, m/s$.
वह कोण $\theta$ जिस पर बम क्षैतिज के साथ जमीन से टकराता है,वह है:
$\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{100}{500} = \frac{1}{5}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(1/5)$।

(C) प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin \theta = 50 \sin 30^\circ = 50 \times 0.5 = 25 \, m/s$ (ऊपर की ओर) है।
नीचे की दिशा को धनात्मक लेने पर,विस्थापन $s = 70 \, m$,प्रारंभिक वेग $u_y = -25 \, m/s$,और त्वरण $a = g = 10 \, m/s^2$ है।
गति के समीकरण $s = u_y t + \frac{1}{2} a t^2$ का उपयोग करने पर:
$70 = -25t + \frac{1}{2} (10) t^2$
$70 = -25t + 5t^2$
$5$ से विभाजित करने पर:
$t^2 - 5t - 14 = 0$
$(t - 7)(t + 2) = 0$
चूँकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $t = 7 \, s$।

(D) $H$ ऊंचाई वाली मीनार की चोटी से क्षैतिज रूप से फेंके गए प्रक्षेप्य के लिए,ऊर्ध्वाधर गति गुरुत्वीय त्वरण $g$ के अंतर्गत गति के समीकरण द्वारा निर्धारित होती है।
नीचे की दिशा को धनात्मक लेने पर,$t$ समय पर ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है।
$t$ समय पर ऊंचाई $h$ जमीन से उसकी ऊंचाई है,जो $h = H - y = H - \frac{1}{2}gt^2$ है।
यह समीकरण $h = H - kt^2$ (जहाँ $k = \frac{g}{2}$) के रूप में है,जो $t = 0$ पर $h = H$ से शुरू होने वाले और जमीन से टकराते समय $h = 0$ तक पहुँचने वाले अधोमुखी परवलय को दर्शाता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $D$ में दिया गया ग्राफ इस संबंध को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) क्षैतिज दूरी $d = 100 \,m$ और क्षैतिज वेग $v_x = 500 \,ms^{-1}$ है।
लक्ष्य तक पहुँचने में लगा समय $t = \frac{d}{v_x} = \frac{100}{500} = 0.2 \,s$ है।
इस समय के दौरान,गुरुत्वाकर्षण के कारण गोली ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे गिरती है। ऊर्ध्वाधर दूरी $h = \frac{1}{2}gt^2$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $h = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.2)^2$.
$h = 5 \times 0.04 = 0.2 \,m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $h = 0.2 \times 100 = 20 \,cm$.

(C) नीचे की ओर फेंकी गई पहली गेंद के लिए:
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = g$ और $s = h$ है,हमें प्राप्त होता है:
$v_1^2 = u^2 + 2gh$
$v_1 = \sqrt{u^2 + 2gh}$
क्षैतिज दिशा में फेंकी गई दूसरी गेंद के लिए:
वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है: $v_x = u$।
जब यह जमीन पर पहुँचती है,तो वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y^2 = 0^2 + 2gh$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $v_y = \sqrt{2gh}$।
परिणामी वेग $v_2$ इस प्रकार है:
$v_2 = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{u^2 + (\sqrt{2gh})^2} = \sqrt{u^2 + 2gh}$
दोनों वेगों की तुलना करने पर:
$v_1 = v_2 = \sqrt{u^2 + 2gh}$
अतः,उनके वेगों का अनुपात $v_1 : v_2 = 1 : 1$ है।

(C) मान लीजिए $n$ सीढ़ियों की संख्या है,$h$ प्रत्येक सीढ़ी की ऊंचाई है और $b$ प्रत्येक सीढ़ी की चौड़ाई है।
कुल ऊर्ध्वाधर विस्थापन $Y = n \cdot h$ और कुल क्षैतिज विस्थापन $X = n \cdot b$ है।
क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित वस्तु के लिए प्रक्षेप्य पथ का समीकरण: $Y = \frac{1}{2} g t^2$ और $X = u t$ है।
$t = \frac{X}{u}$ को ऊर्ध्वाधर विस्थापन समीकरण में रखने पर:
$n \cdot h = \frac{1}{2} g \left( \frac{n \cdot b}{u} \right)^2$
$u^2 = \frac{g n b^2}{2 h}$
यहाँ $n = 3$,$h = 0.1 \, m$,और $b = 0.2 \, m$ है। $g = 10 \, m/s^2$ लेने पर:
$u^2 = \frac{10 \times 3 \times (0.2)^2}{2 \times 0.1} = 6$
$u = \sqrt{6} \approx 2.45 \, m/s$।
दिए गए विकल्पों में से $2 \, m/s$ सबसे निकटतम उत्तर है।

(B) हवाई जहाज से गिराई गई वस्तु की गति क्षैतिज प्रक्षेप्य गति का एक उदाहरण है।
दी गई ऊँचाई $h = 1960 \, m$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m/s^2$ है।
वस्तु को जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t$ सूत्र $h = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$।
मान रखने पर: $t = \sqrt{\frac{2 \times 1960}{9.8}}$।
$t = \sqrt{\frac{3920}{9.8}} = \sqrt{400}$।
$t = 20 \, sec$।

(B) वस्तु द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $S = u \times t$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $u$ क्षैतिज वेग है और $t$ जमीन तक पहुँचने में लगा समय है।
सबसे पहले,वेग $u$ को $km/h$ से $m/s$ में बदलें: $u = 60 \times (5/18) = 50/3 \, m/s$.
$h$ ऊँचाई से गिरने में लगा समय $t = \sqrt{2h/g}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $t = \sqrt{(2 \times 490) / 9.8} = \sqrt{980 / 9.8} = \sqrt{100} = 10 \, s$.
अब,क्षैतिज दूरी की गणना करें: $S = (50/3) \times 10 = 500/3 \, m$.

(C) $h$ ऊँचाई से $u$ प्रारंभिक वेग के साथ क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित वस्तु के लिए क्षैतिज परास $x$ का सूत्र इस प्रकार है:
$x = u \times t$
जहाँ $t$ उड़ान का समय है,जो $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मान $u = \sqrt{2gh}$ और $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$x = \sqrt{2gh} \times \sqrt{\frac{2h}{g}}$
$x = \sqrt{2gh \times \frac{2h}{g}}$
$x = \sqrt{4h^2}$
$x = 2h$

(B) बम को एक गतिशील हवाई जहाज से छोड़ा जाता है,इसलिए इसमें प्रारंभिक क्षैतिज वेग $u = 200 \; m/s$ होता है और प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है।
$h = 8 \; km = 8000 \; m$ की ऊँचाई से जमीन तक पहुँचने में बम द्वारा लिया गया समय $t$ गति के समीकरण द्वारा दिया जाता है: $h = \frac{1}{2}gt^2$.
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 8000}{9.8}} = \sqrt{\frac{16000}{9.8}} \approx 40.406 \; s$.
इस समय के दौरान बम द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $S = u \times t$ है।
$S = 200 \times 40.406 = 8081.2 \; m = 8.081 \; km$.
इसलिए,बम को लक्ष्य से $8.081 \; km$ की क्षैतिज दूरी पर छोड़ा जाना चाहिए।

(A) गति के दौरान क्षैतिज वेग स्थिर रहता है: $v_x = 20 \, m/s$.
$t = 5 \, s$ समय के बाद ऊर्ध्वाधर वेग गति के पहले समीकरण द्वारा प्राप्त होता है: $v_y = u_y + gt = 0 + (10 \, m/s^2)(5 \, s) = 50 \, m/s$.
कुल वेग $v$ क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों का सदिश योग है: $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.
मान रखने पर: $v = \sqrt{(20)^2 + (50)^2} = \sqrt{400 + 2500} = \sqrt{2900} \approx 53.85 \, m/s$.
निकटतम पूर्णांक में,गति $54 \, m/s$ है।

(C) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार:
$U_i + T_i = U_f + T_f$
प्रारंभिक ऊँचाई को संदर्भ स्तर $(h=0)$ मानते हुए:
$0 + \frac{1}{2} m u^2 = mgh + \frac{1}{2} m v^2$
$m$ से भाग देने और $2$ से गुणा करने पर:
$u^2 = 2gh + v^2$
$v = \sqrt{u^2 - 2gh}$
यहाँ $u = 5 \, m/s$,$g = 10 \, m/s^2$,और $h = 0.45 \, m$ दिया गया है:
$v = \sqrt{5^2 - 2 \times 10 \times 0.45}$
$v = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16}$
$v = 4 \, m/s$.

(C) जमीन तक पहुँचने में लगा समय ऊर्ध्वाधर गति द्वारा निर्धारित होता है: $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
यहाँ $h = 20\,m$ और $g = 10\,m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $t = \sqrt{\frac{2 \times 20}{10}} = \sqrt{4} = 2\,s$.
क्षैतिज गति के लिए,प्रारंभिक क्षैतिज वेग $u_x = 0$ और क्षैतिज त्वरण $a_x = 6\,m/s^2$ है।
क्षैतिज विस्थापन $R$ गति के समीकरण द्वारा प्राप्त होता है: $R = u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2$.
मान रखने पर: $R = 0 \times 2 + \frac{1}{2} \times 6 \times (2)^2$.
$R = 0 + 3 \times 4 = 12\,m$.

(D) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$h_2$ ऊंचाई पर क्षैतिज वेग $v_x$ को $\frac{1}{2}mv_x^2 = mg(h_1 - h_2)$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $v_x = \sqrt{2g(h_1 - h_2)}$।
जब ब्लॉक स्लाइड छोड़ता है,तो यह $h_2$ ऊंचाई से प्रारंभिक क्षैतिज वेग $v_x$ और प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $v_{y0} = 0$ के साथ एक प्रक्षेप्य के रूप में कार्य करता है।
जमीन से टकराने से ठीक पहले ऊर्ध्वाधर वेग $v_y$ को $v_y^2 = v_{y0}^2 + 2gh_2 = 2gh_2$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $v_y = \sqrt{2gh_2}$।
क्षैतिज के साथ कोण $\theta$ को $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\theta = 30^\circ$,$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अतः,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2gh_2}}{\sqrt{2g(h_1 - h_2)}} = \sqrt{\frac{h_2}{h_1 - h_2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{3} = \frac{h_2}{h_1 - h_2}$।
$h_1 - h_2 = 3h_2$,जिसे सरल करने पर $h_1 = 4h_2$ प्राप्त होता है।

(D) तोप का गोला किसी भी बिंदु $(x, y)$ तक पहुँच सकता है जो सुरक्षा परवलय (bounding parabola) के समीकरण को संतुष्ट करता है। क्षैतिज दूरी $x$ पर पहुँचने योग्य अधिकतम ऊँचाई $y$ का समीकरण $y = \frac{u^2}{2g} - \frac{gx^2}{2u^2}$ है।
यहाँ $y = 250\ m$,$u = 100\ m/s$,और $g = 10\ m/s^2$ दिया गया है,इन मानों को रखने पर:
$250 = \frac{100^2}{2(10)} - \frac{10x^2}{2(100^2)}$
$250 = 500 - \frac{x^2}{2000}$
$\frac{x^2}{2000} = 250$
$x^2 = 500,000$
$x = 500\sqrt{2}\ m$.
विमान $x = -500\sqrt{2}\ m$ से $x = +500\sqrt{2}\ m$ तक की यात्रा के दौरान खतरे में है,जो कुल $1000\sqrt{2}\ m$ की दूरी तय करता है।
समय अवधि $t = \frac{\text{दूरी}}{\text{वेग}} = \frac{1000\sqrt{2}}{500} = 2\sqrt{2}\ s$ है।

(D) मान लीजिए जमीन वाला कण $P_1$ है और $h$ ऊँचाई वाला कण $P_2$ है।
$P_1$ के लिए,उड़ान का समय $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ है। प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है,जिसका अर्थ है $u^2 \sin^2 \theta = 2gH$.
कणों के हवा में टकराने के लिए,$P_2$ द्वारा $h$ ऊँचाई से गिरने में लिया गया समय $P_1$ के उड़ान समय से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
$P_2$ के लिए,$h$ ऊर्ध्वाधर दूरी तय करने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है।
टक्कर के लिए,$t \leq T$ होना चाहिए।
मान रखने पर: $\sqrt{\frac{2h}{g}} \leq \frac{2u \sin \theta}{g}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{2h}{g} \leq \frac{4u^2 \sin^2 \theta}{g^2}$.
$h \leq \frac{2u^2 \sin^2 \theta}{g}$.
चूंकि $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$,इसलिए $u^2 \sin^2 \theta = 2gH$.
इस मान को असमिका में रखने पर: $h \leq \frac{2(2gH)}{g} = 4H$.
अतः,$h$ की अधिकतम ऊँचाई $4H$ है।

(A) मान लीजिए कि टक्कर का बिंदु मीनार से $a$ क्षैतिज दूरी पर और जमीन से $y$ ऊंचाई पर है।
आधार से $u_2$ वेग और $60^o$ के कोण पर प्रक्षेपित वस्तु के लिए:
$a = u_2 \cos 60^o \cdot t$
$y = u_2 \sin 60^o \cdot t - \frac{1}{2}gt^2 = a \tan 60^o - \frac{1}{2}gt^2$
शीर्ष से $u_1$ वेग और $30^o$ के कोण पर प्रक्षेपित वस्तु के लिए:
$a = u_1 \cos 30^o \cdot t$
जमीन से इसकी ऊर्ध्वाधर स्थिति $y = h + u_1 \sin 30^o \cdot t - \frac{1}{2}gt^2 = h + a \tan 30^o - \frac{1}{2}gt^2$
$y$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$a \tan 60^o - \frac{1}{2}gt^2 = h + a \tan 30^o - \frac{1}{2}gt^2$
$h = a(\tan 60^o - \tan 30^o)$
$h = a(\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}) = a(\frac{3-1}{\sqrt{3}}) = \frac{2a}{\sqrt{3}}$

(B) माना प्रारंभिक क्षैतिज वेग $u$ है। ऊर्ध्वाधर गति हवा से प्रभावित नहीं होती है।
उड़ान का समय $T$,$H = \frac{1}{2} g T^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $H = 40 \ m$ और $g = 10 \ m/s^2$ है।
$40 = \frac{1}{2} \times 10 \times T^2 \implies T^2 = 8 \implies T = 2\sqrt{2} \ s$.
अंतिम ऊर्ध्वाधर वेग $v_y = gT = 10 \times 2\sqrt{2} = 20\sqrt{2} \ m/s$ है।
अंतिम क्षैतिज वेग $v_x = u - aT$ है,जहाँ $a$ हवा के कारण त्वरण है। चूंकि कण टॉवर के आधार पर टकराता है,इसलिए क्षैतिज विस्थापन $S_x = uT - \frac{1}{2} a T^2 = 0$ है।
अतः,$u = \frac{1}{2} a T$.
$v_x$ के व्यंजक में $u$ का मान रखने पर: $v_x = \frac{1}{2} a T - a T = -\frac{1}{2} a T$.
क्षैतिज के साथ कोण $37^\circ$ है,इसलिए $\tan 37^\circ = \frac{|v_y|}{|v_x|}$.
$\frac{3}{4} = \frac{20\sqrt{2}}{\frac{1}{2} a (2\sqrt{2})} = \frac{20\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = \frac{20}{a}$.
$a = \frac{20 \times 4}{3} = \frac{80}{3} \ m/s^2$.

(C) क्षैतिज वेग पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है: $v_x = 40\,m/s$।
बिंदु $P$ पर ऊर्ध्वाधर वेग $v_y$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण $v_y^2 = u_y^2 + 2gh$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $u_y = 0$ (प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग) और $h = 45\,m$ है।
$v_y = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 45} = \sqrt{900} = 30\,m/s$।
$P$ पर परिणामी वेग $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50\,m/s$ है।

(B) वस्तु के वेग का क्षैतिज घटक गति के दौरान स्थिर रहता है: $v_H = 98 \, m/s$.
$t = 10 \, s$ पर वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_V = u_V + gt$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि वस्तु को क्षैतिज रूप से छोड़ा गया है,इसलिए $u_V = 0$ है।
$v_V = 0 + (9.8 \, m/s^2)(10 \, s) = 98 \, m/s$.
जमीन से टकराते समय वस्तु द्वारा क्षैतिज के साथ बनाया गया कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{v_V}{v_H}$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \frac{98}{98} = 1$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$.

(A) गति के दौरान वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है: $v_x = 500\,m/s$।
जब बम जमीन से टकराता है तो वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = u_y + gt$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 0$ है,इसलिए:
$v_y = 0 + 10\,m/s^2 \times 10\,s = 100\,m/s$।
जमीन से टकराते समय वेग सदिश क्षैतिज के साथ जो कोण $\theta$ बनाता है,वह है:
$\tan\theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{100}{500} = \frac{1}{5}$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)$।

(D) हम गेंद की ऊर्ध्वाधर गति पर विचार करते हैं।
मान लीजिए कि ऊपर की दिशा धनात्मक है।
वेग का प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = v \sin \theta = 20 \sin 30^{\circ} = 20 \times 0.5 = 10 \ m/s$ है।
जब गेंद जमीन से टकराती है तो उसका विस्थापन $s = -40 \ m$ होता है (क्योंकि यह शुरुआती बिंदु से नीचे है)।
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $a = -g = -10 \ m/s^2$ है।
गति के समीकरण $s = u_y t + \frac{1}{2} a t^2$ का उपयोग करते हुए:
$-40 = 10t + \frac{1}{2} (-10) t^2$
$-40 = 10t - 5t^2$
$-5$ से विभाजित करने पर:
$t^2 - 2t - 8 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(t - 4)(t + 2) = 0$
इससे $t = 4 \ s$ या $t = -2 \ s$ प्राप्त होता है।
चूंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए गेंद $t = 4 \ s$ पर जमीन से टकराएगी।

(C) वेग का प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin \theta = 50 \sin 30^{\circ} = 50 \times 0.5 = 25 \, ms^{-1}$ है।
नीचे की दिशा को धनात्मक लेने पर,विस्थापन $s = 70 \, m$,त्वरण $a = g = 10 \, ms^{-2}$,और प्रारंभिक वेग $u_y = -25 \, ms^{-1}$ (क्योंकि यह ऊपर की ओर निर्देशित है)।
गति के समीकरण $s = u_y t + \frac{1}{2} a t^2$ का उपयोग करने पर:
$70 = -25t + \frac{1}{2} (10) t^2$
$70 = -25t + 5t^2$
$5t^2 - 25t - 70 = 0$
$5$ से विभाजित करने पर,हमें $t^2 - 5t - 14 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t - 7)(t + 2) = 0$।
चूंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $t = 7 \, s$।

(C) कण की ऊर्ध्वाधर गति गुरुत्वाकर्षण द्वारा निर्धारित होती है,जिसमें प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 0$ और ऊर्ध्वाधर त्वरण $a_y = g = 10\,ms^{-2}$ है।
$h = 20\,m$ की ऊँचाई से जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t$,समीकरण $h = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $20 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$.
$20 = 5t^2 \implies t^2 = 4 \implies t = 2\,s$.
अब,क्षैतिज गति के लिए,प्रारंभिक क्षैतिज वेग $u_x = 0$ और क्षैतिज त्वरण $a_x = 6\,ms^{-2}$ है।
क्षैतिज विस्थापन $x$,$x = u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $x = 0 \times 2 + \frac{1}{2} \times 6 \times (2)^2$.
$x = 0 + 3 \times 4 = 12\,m$.

(B) गति के दौरान वस्तु का क्षैतिज वेग स्थिर रहता है,इसलिए $v_x = 4\,m/s$ है।
$t = 0.7\,s$ समय के बाद ऊर्ध्वाधर वेग $v_y = g \times t = 10\,m/s^2 \times 0.7\,s = 7\,m/s$ द्वारा प्राप्त होता है।
परिणामी वेग $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$v = \sqrt{4^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65} \approx 8.06\,m/s$ है।
निकटतम पूर्णांक में,वेग $8\,m/s$ है।

(B) मान लीजिए कि $t$ समय पर दोनों गेंदों के वेग $\vec{v}_A$ और $\vec{v}_B$ हैं।
धनात्मक $x$-दिशा में $v_1$ वेग के साथ फेंकी गई पहली गेंद के लिए: $\vec{v}_A = v_1 \hat{i} - gt \hat{j}$.
ऋणात्मक $x$-दिशा में $v_2$ वेग के साथ फेंकी गई दूसरी गेंद के लिए: $\vec{v}_B = -v_2 \hat{i} - gt \hat{j}$.
वेगों के बीच का कोण $90^o$ तब होता है जब उनका डॉट गुणनफल शून्य हो: $\vec{v}_A \cdot \vec{v}_B = 0$.
$(v_1 \hat{i} - gt \hat{j}) \cdot (-v_2 \hat{i} - gt \hat{j}) = 0$.
$-v_1 v_2 + g^2 t^2 = 0$.
$g^2 t^2 = v_1 v_2$.
$t^2 = \frac{v_1 v_2}{g^2}$.
$t = \frac{\sqrt{v_1 v_2}}{g}$.

(A) प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin \theta = 20 \sin 30^{\circ} = 20 \times 0.5 = 10\,m/s$ है।
कुल विस्थापन $s_y = -40\,m$ के लिए गति के समीकरण $s_y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ का उपयोग करने पर:
$-40 = 10t - \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$-40 = 10t - 5t^2$
$-5$ से विभाजित करने पर,हमें $t^2 - 2t - 8 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t - 4)(t + 2) = 0$।
चूंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए जमीन तक पहुँचने में लगा कुल समय $t = 4\,s$ है।
उड्डयन काल $T$ (उसी ऊँचाई पर वापस आने में लगा समय) $T = \frac{2 u \sin \theta}{g} = \frac{2 \times 20 \times \sin 30^{\circ}}{10} = \frac{20}{10} = 2\,s$ द्वारा दिया जाता है।
कुल समय और उड्डयन काल का अनुपात $\frac{t}{T} = \frac{4}{2} = 2$ है,अर्थात $2:1$।

(B) क्षैतिज पाइप से बाहर निकलने के बाद पानी प्रक्षेप्य गति (projectile motion) का अनुसरण करता है।
दिया गया है:
पाइप की ऊँचाई,$h = 2\,m$
क्षैतिज परास (range),$R = 3\,m$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 9.8\,ms^{-2}$
चरण $1$: पानी को जमीन तक पहुँचने में लगने वाला समय $(t)$ ज्ञात करें।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $h = \frac{1}{2}gt^2$
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 2}{9.8}} = \sqrt{\frac{4}{9.8}} \approx 0.6389\,s \approx 0.64\,s$
चरण $2$: पानी की क्षैतिज गति $(v)$ ज्ञात करें।
चूंकि क्षैतिज गति एकसमान है,$R = v \times t$
$v = \frac{R}{t} = \frac{3}{0.6389} \approx 4.695\,ms^{-1} \approx 4.7\,ms^{-1}$
अतः,पाइप से बाहर निकलते समय पानी की गति $4.7\,ms^{-1}$ है।

(B) मिसाइल को जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $h = 20\,m$ और $g = 10\,m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $t = \sqrt{\frac{2 \times 20}{10}} = \sqrt{4} = 2\,s$।
मिसाइल द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $s = u \times t$ है,जहाँ $u = 1000\,m/s$ है।
$s = 1000\,m/s \times 2\,s = 2000\,m$।
किलोमीटर में बदलने पर,$s = 2\,km$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है:
प्रारंभिक क्षैतिज वेग $u_x = 180\, km/hr = 180 \times \frac{5}{18} = 50\, m/s$.
ऊँचाई $h = 490\, m$.
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8\, m/s^2$.
चरण $1$: ऊर्ध्वाधर गति के समीकरण का उपयोग करके जमीन तक पहुँचने में लगा समय ज्ञात करें:
$h = u_y t + \frac{1}{2} g t^2$
चूँकि प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 0$ है,इसलिए:
$490 = 0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$490 = 4.9 \times t^2$
$t^2 = \frac{490}{4.9} = 100$
$t = 10\, s$.
चरण $2$: क्षैतिज परास $R$ की गणना करें:
$R = u_x \times t$
$R = 50\, m/s \times 10\, s = 500\, m$.
अतः,क्षैतिज परास $500\, m$ है।

(C) ऊर्जा संरक्षण या गति के समीकरणों का उपयोग करते हुए,गुरुत्वाकर्षण के कारण वेग का ऊर्ध्वाधर घटक बदल जाता है,जबकि क्षैतिज घटक स्थिर रहता है।
$v^2 = u^2 - 2gh$
चूंकि $v_x = u_x = 6\,m/s$,हम ऊर्ध्वाधर घटक पर ध्यान केंद्रित करते हैं:
$u_y^2 = v_y^2 + 2gh$
यहाँ $v_y = 2\,m/s$,$g = 10\,m/s^2$,और $h = 0.4\,m$ दिया गया है:
$u_y^2 = (2)^2 + 2 \times 10 \times 0.4 = 4 + 8 = 12$
$u_y = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\,m/s$
प्रक्षेपण कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\tan \theta = \frac{u_y}{u_x} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
अतः,$\theta = 30^{\circ}$।

(D) गेंद को $10 \, m$ की ऊँचाई से फेंका जाता है और हमें यह पता लगाना है कि जब वह वापस $10 \, m$ की ऊँचाई पर पहुँचती है तो उसकी क्षैतिज दूरी क्या होगी।
यह प्रक्षेप्य गति की क्षैतिज परास (Range) ज्ञात करने के समान है।
क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
दिया गया है: $u = 10 \, m/s$,$\theta = 30^{\circ}$,$g = 10 \, m/s^2$.
मान रखने पर: $R = \frac{10^2 \times \sin(2 \times 30^{\circ})}{10} = \frac{100 \times \sin(60^{\circ})}{10} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$R = 5 \times 1.732 = 8.66 \, m$.
अतः,गेंद फेंकने के बिंदु से $8.66 \, m$ की दूरी पर जमीन से $10 \, m$ की ऊँचाई पर होगी।

(D) मान लीजिए पत्थर का प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y$ है। प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $H = \frac{u_y^2}{2g} = 2h$ है। अतः,$u_y = 2\sqrt{gh}$।
समय $t$ पर पत्थर की ऊर्ध्वाधर स्थिति $y(t) = u_y t - \frac{1}{2}gt^2$ है। $y(t) = h$ रखने पर,हमें $h = 2\sqrt{gh} t - \frac{1}{2}gt^2$ प्राप्त होता है,जो $gt^2 - 4\sqrt{gh}t + 2h = 0$ में सरल हो जाता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{4\sqrt{gh} \pm \sqrt{16gh - 8gh}}{2g} = \frac{4\sqrt{gh} \pm 2\sqrt{gh}}{2g}$।
दो समय $t_1 = (2-\sqrt{2})\sqrt{\frac{h}{g}}$ (ऊपर जाते समय) और $t_2 = (2+\sqrt{2})\sqrt{\frac{h}{g}}$ (नीचे आते समय) प्राप्त होते हैं।
चूंकि पत्थर नीचे आते समय पक्षी से टकराता है,इसलिए उड़ान का समय $t_2$ है। पत्थर द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $x = u_x t_2$ है। पक्षी $v_b$ गति से चलता है। पक्षी द्वारा $t_2$ समय में तय की गई दूरी $d = v_b t_2$ है। पत्थर खंभे पर पक्षी से टकराता है,इसलिए पक्षी $t_2$ समय में खंभे से $x_b = v_b t_2$ दूरी पर होगा। टक्कर के लिए,$u_x t_2 = x_{pole} + v_b t_2$। खंभे की दूरी $x_{pole} = u_x t_1$ है। अतः $u_x t_2 = u_x t_1 + v_b t_2$,जिससे हमें $\frac{v_b}{u_x} = \frac{t_2 - t_1}{t_2} = \frac{2\sqrt{2}\sqrt{h/g}}{(2+\sqrt{2})\sqrt{h/g}} = \frac{2\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}+1}$ प्राप्त होता है।

(B) कुल उड़ान का समय $T = 4\,s$ है। अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $t = T/2 = 2\,s$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर,ऊर्ध्वाधर वेग घटक शून्य होता है। $v_y = u_y - gt$ का उपयोग करने पर,हमें $0 = u_y - g(2)$ मिलता है,इसलिए $u_y = 2g$ है।
प्रक्षेपण बिंदु से ऊपर प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H_{max} = \frac{u_y^2}{2g} = \frac{(2g)^2}{2g} = 2g$ है।
$g = 9.8\,m/s^2$ रखने पर,हमें $H_{max} = 2 \times 9.8 = 19.6\,m$ प्राप्त होता है।
चूंकि गेंद खिलाड़ी की ऊँचाई $(1.5\,m)$ से फेंकी गई है,इसलिए जमीन से कुल ऊँचाई $H_{total} = H_{max} + 1.5\,m = 19.6 + 1.5 = 21.1\,m$ होगी।

(A) माना प्रारंभिक गति $u$ है। गति के दौरान वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है: $v_x = u \cos 60^o = u/2$.
छत पर,वेग क्षैतिज के साथ $30^o$ का कोण बनाता है। अतः,छत पर वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = v_x \tan 30^o = (u/2) \times (1/\sqrt{3}) = u / (2\sqrt{3})$ है।
प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin 60^o = u\sqrt{3}/2$ है।
गति के समीकरण $v_y^2 = u_y^2 - 2gh$ का उपयोग करते हुए (ऊपर की दिशा को धनात्मक और $g$ को नीचे की ओर त्वरण लेते हुए):
$(u / (2\sqrt{3}))^2 = (u\sqrt{3}/2)^2 - 2 \times 10 \times 30$
$u^2 / 12 = 3u^2 / 4 - 600$
$600 = 3u^2 / 4 - u^2 / 12 = (9u^2 - u^2) / 12 = 8u^2 / 12 = 2u^2 / 3$
$u^2 = 600 \times 3 / 2 = 900$
$u = 30 \, m/s$.

(D) हम चट्टान के किनारे पर $x$- और $y$-अक्ष का मूल बिंदु चुनते हैं और जिस क्षण पत्थर फेंका जाता है उसे $t = 0 \; s$ मानते हैं। $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा प्रारंभिक वेग की दिशा में है,और $y$-अक्ष की धनात्मक दिशा लंबवत ऊपर की ओर है।
$x$ और $y$ दिशाओं में गति को स्वतंत्र रूप से माना जा सकता है। गति के समीकरण हैं:
$x(t) = x_0 + v_{0x} t$
$y(t) = y_0 + v_{0y} t + \frac{1}{2} a_y t^2$
दिया गया है: $x_0 = 0, y_0 = 0, v_{0x} = 15 \; m/s, v_{0y} = 0, a_y = -g = -9.8 \; m/s^2$.
पत्थर जमीन से तब टकराता है जब $y(t) = -490 \; m$:
$-490 = 0 + 0(t) + \frac{1}{2}(-9.8)t^2$
$-490 = -4.9 t^2$
$t^2 = 100 \implies t = 10 \; s$.
$t = 10 \; s$ पर वेग के घटक हैं:
$v_x = v_{0x} = 15 \; m/s$
$v_y = v_{0y} - gt = 0 - 9.8(10) = -98 \; m/s$
पत्थर की गति वेग सदिश का परिमाण है:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{15^2 + (-98)^2} = \sqrt{225 + 9604} = \sqrt{9829} \approx 99.14 \; m/s$.
निकटतम पूर्णांक में,गति $99 \; m/s$ है।

(N/A) दी गई आकृति पर विचार करें जिसमें एक गेंद को बिंदु $O$ से प्रक्षेपित किया जाता है और वह $C$ पर जमीन तक पहुँचने के लिए $O-A-B-C$ पथ का अनुसरण करती है।
$(a)$ प्रक्षेप्य की गति $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ द्वारा दी जाती है। चूँकि क्षैतिज घटक $v_x$ स्थिर रहता है और जैसे-जैसे गेंद प्रक्षेपण के स्तर से नीचे गिरती है, ऊर्ध्वाधर घटक $v_y$ का परिमाण बढ़ता जाता है, इसलिए बिंदु $C$ पर जमीन से टकराने से ठीक पहले गति सबसे अधिक होती है।
$(b)$ प्रक्षेप पथ के उच्चतम बिंदु (बिंदु $A$) पर गति सबसे कम होती है, जहाँ वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y$ शून्य होता है, और गति क्षैतिज घटक $v_x = v_0 \cos 45^\circ$ के बराबर होती है।
$(c)$ गेंद का त्वरण गुरुत्वाकर्षण के कारण होता है, जो पूरी गति के दौरान ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है। इसलिए, गति के दौरान सभी बिंदुओं पर त्वरण स्थिर और $g$ के बराबर होता है।

(A) दिया गया है:
आदमी की क्षैतिज गति,$u_x = 9 \, m/s$
दो इमारतों के बीच की क्षैतिज दूरी,$x = 10 \, m$
ऊंचाई का अंतर,$h = 9 \, m$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \, m/s^2$
मान लीजिए कि $t$ ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h$ को तय करने में लगा समय है। ऊर्ध्वाधर दिशा में गति के समीकरण का उपयोग करते हुए:
$h = u_y t + \frac{1}{2} g t^2$
चूंकि आदमी क्षैतिज रूप से कूदता है,प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 0$ है।
$9 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$9 = 5 t^2$
$t^2 = \frac{9}{5} = 1.8$
$t = \sqrt{1.8} \approx 1.34 \, s$
अब,इस समय में आदमी द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $R$ की गणना करें:
$R = u_x \times t = 9 \times \sqrt{1.8} = 9 \times 1.3416 \approx 12.07 \, m$
चूंकि तय की गई क्षैतिज दूरी $(12.07 \, m)$ इमारतों के बीच की दूरी $(10 \, m)$ से अधिक है,इसलिए आदमी अगली इमारत पर उतर पाएगा।

(N/A) मान लीजिए कि लड़ाकू विमान बिंदु $P$ पर है जब वह लक्ष्य $T$ को भेदने के लिए बम गिराता है। लक्ष्य उड़ान पथ पर बिंदु $P'$ के ठीक नीचे है।
विमान की गति $u = 720\, km/h = 720 \times \frac{5}{18}\, m/s = 200\, m/s$.
विमान की ऊंचाई $h = P'T = 1.5\, km = 1500\, m$.
मान लीजिए कि बम को लक्ष्य तक पहुँचने में $t$ समय लगता है। तय की गई ऊर्ध्वाधर दूरी $h = \frac{1}{2}gt^2$ है।
$1500 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 \implies t^2 = \frac{3000}{9.8} \approx 306.12$.
$t = \sqrt{306.12} \approx 17.5\, s$.
इस समय में बम द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $x = PP' = u \times t = 200 \times 17.5 = 3500\, m$ है।
क्षैतिज के साथ दृष्टि कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{\text{ऊर्ध्वाधर दूरी}}{\text{क्षैतिज दूरी}} = \frac{P'T}{PP'} = \frac{1500}{3500} = \frac{3}{7} \approx 0.4286$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = \tan^{-1}(0.4286) \approx 23.2^{\circ}$.

(A) $h$ ऊँचाई से $v_0$ गति और क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर प्रक्षेपित प्रक्षेप्य का प्रक्षेप पथ निम्न है:
$y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2v_0^2 \cos^2 \theta}$
माना लक्ष्य क्षैतिज दूरी $x = R + \Delta x$ और ऊर्ध्वाधर स्थिति $y = -h$ पर है (प्रक्षेपण बिंदु को मूल बिंदु मानते हुए)।
$-h = (R + \Delta x) \tan \theta - \frac{g(R + \Delta x)^2}{2v_0^2 \cos^2 \theta}$
चूँकि $R = \frac{v_0^2}{g}$,इसलिए $\frac{g}{v_0^2} = \frac{1}{R}$। यह मान रखने पर:
$-h = (R + \Delta x) \tan \theta - \frac{(R + \Delta x)^2}{2R \cos^2 \theta}$
$-h = (R + \Delta x) \tan \theta - \frac{(R + \Delta x)^2}{2R} (1 + \tan^2 \theta)$
$\tan \theta$ में द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$\frac{(R + \Delta x)^2}{2R} \tan^2 \theta - (R + \Delta x) \tan \theta + \left[ \frac{(R + \Delta x)^2}{2R} - h \right] = 0$
$\tan \theta$ के वास्तविक हल के लिए,विविक्तकर $D \ge 0$ होना चाहिए:
$D = (R + \Delta x)^2 - 4 \left[ \frac{(R + \Delta x)^2}{2R} \right] \left[ \frac{(R + \Delta x)^2}{2R} - h \right] \ge 0$
$(R + \Delta x)^2 - \frac{(R + \Delta x)^4}{R^2} + \frac{2h(R + \Delta x)^2}{R} \ge 0$
$(R + \Delta x)^2$ से विभाजित करने पर:
$1 - \frac{(R + \Delta x)^2}{R^2} + \frac{2h}{R} \ge 0$
$\frac{2h}{R} \ge \frac{(R + \Delta x)^2 - R^2}{R^2} = \frac{2R\Delta x + \Delta x^2}{R^2}$
$h \ge \Delta x \left[ 1 + \frac{\Delta x}{2R} \right]$

(NONE) मान लीजिए कि दोनों स्थितियों में छोड़ने की प्रारंभिक गति $V_s$ है। हम यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग कर सकते हैं।
छोड़ने के बिंदु पर कुल यांत्रिक ऊर्जा = प्रभाव के बिंदु पर कुल यांत्रिक ऊर्जा।
मान लीजिए कि जमीन स्थितिज ऊर्जा के लिए संदर्भ स्तर है $(PE = 0)$।
प्रारंभिक ऊर्जा $E_i = \frac{1}{2} m V_s^2 + mgH$ है।
अंतिम ऊर्जा $E_f = \frac{1}{2} m v^2 + 0$ है,जहाँ $v$ अंतिम गति है।
चूंकि ऊर्जा संरक्षित है,$E_i = E_f$।
$\frac{1}{2} m V_s^2 + mgH = \frac{1}{2} m v^2$।
$v^2 = V_s^2 + 2gH$।
$v = \sqrt{V_s^2 + 2gH}$।
चूंकि अंतिम गति $v$ केवल प्रारंभिक गति $V_s$,ऊंचाई $H$,और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g$ पर निर्भर करती है,और ये सभी मान स्थिति $(a)$ और $(b)$ दोनों में समान हैं,इसलिए जब गेंद जमीन से टकराएगी तो अंतिम गति दोनों स्थितियों में समान होगी।

(A) क्षैतिज दिशा में कण की गति का विरोध करने वाला एकमात्र बल ड्रैग बल है,जो $F = -kv$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma_x$,जहाँ $a_x$ $x$-दिशा में त्वरण है।
इसलिए,$ma_x = -kv$,जिसका अर्थ है कि $a_x = -\frac{kv}{m}$।
यह दर्शाता है कि $x$-दिशा में मंदन गेंद के द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
चूंकि हल्की गेंद $(M)$ भारी गेंद $(2M)$ की तुलना में अधिक मंदन का अनुभव करती है,इसलिए इसका क्षैतिज वेग अधिक तेजी से घटता है।
परिणामस्वरूप,भारी गेंद हल्की गेंद की तुलना में जमीन पर गिरने से पहले अधिक क्षैतिज दूरी तय करेगी।

(B) गेंद $A$ के लिए,इसे $X$ के क्षैतिज स्तर से $h$ ऊँचाई से छोड़ा जाता है। गिरने के लिए ऊर्ध्वाधर दूरी $h$ है। प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $0$ है। अतः,$t_A = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
गेंद $B$ के लिए,इसे जमीन के स्तर से छोड़ा जाता है,लेकिन यह $X$ तक पहुँचने के लिए क्षैतिज रूप से चलती है। हालाँकि,प्रश्न बताता है कि यह $X$ तक पहुँचती है (जो संरचना के अंत के समान क्षैतिज स्तर पर है)। यदि $B$ जमीन पर है और $X$ जमीन पर है,तो यह केवल क्षैतिज रूप से चलती है। लेकिन चित्र के आधार पर,$A$ और $B$ समान संरचनाओं से छोड़ी जाती हैं। यदि $B$ जमीन पर है,तो उसे $X$ तक पहुँचने के लिए कोई ऊर्ध्वाधर दूरी तय नहीं करनी है। प्रश्न का तात्पर्य है कि $t_A = t_B = t_C$,जो प्रक्षेप्य गति के ऐसे प्रश्नों की मानक व्याख्या पर आधारित है जहाँ ऊर्ध्वाधर विस्थापन उड़ान का समय निर्धारित करता है।
गेंद $C$ के लिए,इसे $X$ से $h$ ऊँचाई से नीचे गिराया जाता है। लिया गया समय $t_C = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है।
चूँकि $t_A = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ और $t_C = \sqrt{\frac{2h}{g}}$,इसलिए $t_A = t_C$ है। संरचनाओं की समरूपता को देखते हुए,$t_A = t_B = t_C$ होता है।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक गति $u = 20 \, m/s$,कोण $\theta = 30^{\circ}$,ऊँचाई $h = 40 \, m$.
प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक: $u_y = u \sin 30^{\circ} = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \, m/s$.
प्रारंभिक वेग का क्षैतिज घटक: $u_x = u \cos 30^{\circ} = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \, m/s$.
ऊर्ध्वाधर दिशा में गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $S_y = u_y T + \frac{1}{2} a_y T^2$.
नीचे की दिशा को ऋणात्मक लेने पर,$S_y = -40 \, m$ और $a_y = -g = -10 \, m/s^2$.
$-40 = 10T - \frac{1}{2} \times 10 \times T^2$.
$-40 = 10T - 5T^2$.
$-5$ से विभाजित करने पर: $T^2 - 2T - 8 = 0$.
$(T - 4)(T + 2) = 0$.
चूंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $T = 4 \, s$.
क्षैतिज परास $R = u_x \times T = 10\sqrt{3} \times 4 = 40\sqrt{3} \, m$.