Projectile Motion from Hight Questions in Hindi

(A) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 10 \, m/s$,प्रक्षेपण कोण $\theta = 30^{\circ}$,और ऊर्ध्वाधर विस्थापन $h = -60 \, m$ (नीचे की ओर)।
ऊर्ध्वाधर दिशा में गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $s_y = u_y T + \frac{1}{2} a_y T^2$
यहाँ,$u_y = u \sin \theta = 10 \sin 30^{\circ} = 10 \times 0.5 = 5 \, m/s$,$a_y = -g = -10 \, m/s^2$,और $s_y = -60 \, m$ है।
मान रखने पर: $-60 = 5T - \frac{1}{2} \times 10 \times T^2$
$-60 = 5T - 5T^2$
$-5$ से विभाजित करने पर: $T^2 - T - 12 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(T - 4)(T + 3) = 0$
चूंकि समय $T$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $T = 4 \, s$।

(B) प्रारंभिक क्षैतिज वेग $u_x = 5 \ m/s$ है और प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 0 \ m/s$ है।
जब पत्थर जमीन से टकराता है तो ऊर्ध्वाधर वेग $v_y$ समीकरण $v_y^2 = u_y^2 + 2gh$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$v_y^2 = 0^2 + 2 \times 10 \times 10 = 200$,इसलिए $v_y = \sqrt{200} \ m/s$।
क्षैतिज वेग स्थिर रहता है,यानी $v_x = 5 \ m/s$।
जमीन से टकराते समय कुल गति $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ होगी।
$v = \sqrt{5^2 + 200} = \sqrt{25 + 200} = \sqrt{225} = 15 \ m/s$।

(D) मान लीजिए कि क्षैतिज के साथ कोण $\theta_A$ और $\theta_B$ हैं। ऊर्ध्वाधर के साथ दिए गए कोण $45^{\circ}$ और $60^{\circ}$ हैं,इसलिए $\theta_A = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ और $\theta_B = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
$h$ ऊँचाई से फेंके गए प्रक्षेप्य के लिए,उड़ान का समय $T$,$h = -u \sin \theta T + \frac{1}{2} g T^2$ द्वारा दिया जाता है। यदि दोनों के लिए $T$ समान है,तो प्रारंभिक वेग के ऊर्ध्वाधर घटक समान होने चाहिए: $v_A \sin \theta_A = v_B \sin \theta_B$.
$v_A \sin 45^{\circ} = v_B \sin 30^{\circ} \implies v_A (\frac{1}{\sqrt{2}}) = v_B (\frac{1}{2}) \implies \frac{v_A}{v_B} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
साथ ही,परास $R = (v \cos \theta) T$ है। यदि $R$ और $T$ समान हैं,तो $v_A \cos \theta_A = v_B \cos \theta_B$ होगा।
$v_A \cos 45^{\circ} = v_B \cos 30^{\circ} \implies v_A (\frac{1}{\sqrt{2}}) = v_B (\frac{\sqrt{3}}{2}) \implies \frac{v_A}{v_B} = \frac{\sqrt{6}}{2} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
चूंकि दोनों शर्तें अलग-अलग अनुपात देती हैं,इसलिए प्रश्न भौतिक रूप से असंगत है। हालाँकि,यदि हम उड़ान के समय की शर्त के लिए ऊर्ध्वाधर घटकों को समान मानते हैं,तो अनुपात $1 : \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है:
हेलीकॉप्टर की क्षैतिज गति,$u = 360 \ km/h = 360 \times \frac{5}{18} = 100 \ m/s$.
ऊंचाई,$H = 2 \ km = 2000 \ m$.
जमीन से टकराने में लगा समय,$t = 20 \ s$.
चरण $1$: वस्तु का क्षैतिज विस्थापन $(x)$ ज्ञात करें।
$x = u \times t = 100 \ m/s \times 20 \ s = 2000 \ m = 2 \ km$.
चरण $2$: ऊर्ध्वाधर विस्थापन ऊंचाई $H = 2 \ km$ है।
चरण $3$: छोड़े गए बिंदु से बिंदु $O$ तक का कुल विस्थापन $(D)$ ज्ञात करें।
$D = \sqrt{x^2 + H^2} = \sqrt{(2 \ km)^2 + (2 \ km)^2} = \sqrt{4 + 4} \ km = \sqrt{8} \ km = 2\sqrt{2} \ km$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) चूंकि क्षैतिज दिशा में कोई त्वरण नहीं है,इसलिए बम के वेग का क्षैतिज घटक पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है।
$V_x = u = 500 \ m/s$
समय $t = 10 \ s$ पर वेग का ऊर्ध्वाधर घटक गति के पहले समीकरण का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:
$V_y = u_y + g t$
चूंकि बम को क्षैतिज रूप से गिराया गया है,इसलिए प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 0$ है।
$V_y = 0 + (10 \ m/s^2) \times (10 \ s) = 100 \ m/s$
वेग सदिश क्षैतिज के साथ जो कोण $\theta$ बनाता है,वह है:
$\tan \theta = \frac{V_y}{V_x}$
$\tan \theta = \frac{100}{500} = \frac{1}{5}$
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)$

(B) वस्तु का प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 0 \ m/s$ है। ऊँचाई $h = 1960 \ m$ है। गति के समीकरण $h = \frac{1}{2} gt^2$ का उपयोग करके,हम जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t$ ज्ञात कर सकते हैं:
$1960 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$t^2 = \frac{1960 \times 2}{9.8} = 400$
$t = 20 \ s$
अब,क्षैतिज वेग $v$ को $km/h$ से $m/s$ में परिवर्तित करें:
$v = 540 \times \frac{5}{18} = 150 \ m/s$
वस्तु द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $AB = v \times t$ द्वारा दी जाती है:
$AB = 150 \times 20 = 3000 \ m$

(D) वेग का प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin \theta = 15 \sin 30^{\circ} = 15 \times 0.5 = 7.5 \,ms^{-1}$ है।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन के लिए गति के समीकरण $y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $y = -h$ (नीचे की ओर विस्थापन), $u_y = 7.5 \,ms^{-1}$, $a_y = -g = -10 \,ms^{-2}$, और $t = 3 \,s$ है:
$-h = (7.5)(3) + \frac{1}{2}(-10)(3)^2$
$-h = 22.5 - 5(9)$
$-h = 22.5 - 45$
$-h = -22.5$
$h = 22.5 \,m$.
अतः, इमारत की ऊँचाई $22.5 \,m$ है।

(B) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,चट्टान के शीर्ष पर कुल यांत्रिक ऊर्जा जमीन पर कुल यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होती है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा + प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा = जमीन पर अंतिम गतिज ऊर्जा
$\frac{1}{2} m v_1^2 + m g h = \frac{1}{2} m v_2^2$
दोनों पक्षों को $\frac{1}{2} m$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$v_1^2 + 2 g h = v_2^2$
$v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2 g h}$
दिया गया है:
प्रारंभिक गति $v_1 = 50 \ m \ s^{-1}$
ऊंचाई $h = 55 \ m$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m \ s^{-2}$
मान रखने पर:
$v_2 = \sqrt{(50)^2 + 2 \times 10 \times 55}$
$v_2 = \sqrt{2500 + 1100}$
$v_2 = \sqrt{3600}$
$v_2 = 60 \ m \ s^{-1}$

(D) $h$ ऊँचाई से $u = 10 \sqrt{3} \text{ m s}^{-1}$ के प्रारंभिक वेग के साथ क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित वस्तु के लिए:
$1$. वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है: $v_x = u = 10 \sqrt{3} \text{ m s}^{-1}$.
$2$. लैंडिंग के समय वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = \sqrt{2gh}$ होता है।
$3$. वेग सदिश क्षैतिज के साथ जो कोण $\theta$ बनाता है,वह $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x}$ द्वारा दिया जाता है।
$4$. दिया गया है कि लैंडिंग कोण $30^{\circ}$ या उससे अधिक है,इसलिए $\tan \theta \geq \tan 30^{\circ}$.
$5$. मान रखने पर: $\frac{\sqrt{2gh}}{10 \sqrt{3}} \geq \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$6$. सरल करने पर: $\sqrt{2gh} \geq 10$.
$7$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2gh \geq 100$.
$8$. $g = 10 \text{ m s}^{-2}$ के साथ,$20h \geq 100$,जिसका अर्थ है $h \geq 5 \text{ m}$.
$9$. न्यूनतम ऊँचाई $5 \text{ m}$ है।

(B) हम गेंद की ऊर्ध्वाधर गति पर विचार करते हैं।
प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग: $u_y = u \sin \theta = 20 \times \sin 30^{\circ} = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \,m/s$.
ऊर्ध्वाधर त्वरण: $a_y = -g = -10 \,m/s^2$.
जमीन तक पहुँचने में लगा समय: $t = 3 \,s$.
ऊर्ध्वाधर विस्थापन के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $s_y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$.
यहाँ, विस्थापन $s_y = -h$ (जहाँ $h$ इमारत की ऊँचाई है)।
$-h = (10)(3) + \frac{1}{2}(-10)(3)^2$.
$-h = 30 - 5(9) = 30 - 45 = -15 \,m$.
अतः, $h = 15 \,m$.

(A) क्षैतिज दिशा में कोई त्वरण न होने के कारण वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है: $v_x = u_x = 15 \ m \ s^{-1}$.
ऊर्ध्वाधर दिशा में,पत्थर मुक्त रूप से गिरता है जहाँ प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 0$ है। समीकरण $v_y^2 = u_y^2 + 2gh$ का उपयोग करने पर:
$v_y^2 = 0 + 2 \times 9.8 \times 490 = 9604$.
$v_y = \sqrt{9604} = 98 \ m \ s^{-1}$.
अंतिम गति $v$ परिणामी वेग सदिश का परिमाण है: $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.
$v = \sqrt{15^2 + 98^2} = \sqrt{225 + 9604} = \sqrt{9829} \approx 99.14 \ m \ s^{-1}$.
निकटतम पूर्णांक में,गति $99 \ m \ s^{-1}$ है।

(C) दिया गया है: प्रारंभिक क्षैतिज वेग $u_x = 20 \ ms^{-1}$,प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 0 \ ms^{-1}$,त्वरण $g = 10 \ ms^{-2}$,समय $t = 1 \ s$.
$A$. $1 \ s$ के बाद पिंड का वेग:
$v_x = u_x = 20 \ ms^{-1}$
$v_y = u_y + gt = 0 + 10(1) = 10 \ ms^{-1}$
परिणामी वेग $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{20^2 + 10^2} = \sqrt{500} \approx 22.4 \ ms^{-1}$. अतः,$A-IV$.
$B$. $1 \ s$ के बाद क्षैतिज विस्थापन:
$x = u_x t = 20 \times 1 = 20 \ m$. अतः,$B-II$.
$C$. $1 \ s$ के बाद ऊर्ध्वाधर विस्थापन:
$y = u_y t + \frac{1}{2}gt^2 = 0 + \frac{1}{2}(10)(1)^2 = 5 \ m$. अतः,$C-I$.
$D$. $1 \ s$ के बाद ऊर्ध्वाधर वेग:
$v_y = u_y + gt = 0 + 10(1) = 10 \ ms^{-1}$. अतः,$D-III$.
इसलिए,सही मिलान $A-IV, B-II, C-I, D-III$ है।

(A) दिया गया है, प्रारंभिक वेग $\overrightarrow{u} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k} \text{ m/s}$।
मीनार की ऊँचाई $h = 30 \text{ m}$ है। चूँकि $\hat{k}$ ऊर्ध्वाधर ऊपर की दिशा है, इसलिए ऊर्ध्वाधर विस्थापन $S_z = -30 \text{ m}$ और त्वरण $a_z = -g = -10 \text{ m/s}^2$ होगा।
प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग घटक $u_z = 5 \text{ m/s}$ है।
गति के समीकरण $S_z = u_z t + \frac{1}{2} a_z t^2$ का उपयोग करने पर:
$-30 = 5t - \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$-30 = 5t - 5t^2$
$t^2 - t - 6 = 0$
$(t - 3)(t + 2) = 0$
समय ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए $t = 3 \text{ s}$।
क्षैतिज तल में, वेग के घटक $v_x = 3 \text{ m/s}$ (पूर्व) और $v_y = 4 \text{ m/s}$ (उत्तर) हैं।
$3 \text{ s}$ में क्षैतिज विस्थापन:
$x = v_x \times t = 3 \times 3 = 9 \text{ m}$
$y = v_y \times t = 4 \times 3 = 12 \text{ m}$
क्षैतिज परास $R$ मीनार के आधार से दूरी है:
$R = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ m}$।

(A) प्रारंभिक वेग $u = 100 \ ms^{-1}$ और कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin 30^{\circ} = 100 \times 0.5 = 50 \ ms^{-1}$ है।
वेग का क्षैतिज घटक $u_x = u \cos 30^{\circ} = 100 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3} \ ms^{-1}$ है।
नीचे की दिशा को धनात्मक लेने पर,ऊर्ध्वाधर विस्थापन $h = 375 \ m$ और त्वरण $g = 10 \ ms^{-2}$ है।
गति के समीकरण $h = u_y t + \frac{1}{2} g t^2$ का उपयोग करने पर:
$375 = -50t + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$375 = -50t + 5t^2$
$5t^2 - 50t - 375 = 0$
$5$ से विभाजित करने पर: $t^2 - 10t - 75 = 0$
$(t - 15)(t + 5) = 0$
समय ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $t = 15 \ s$ है।
क्षैतिज दूरी $x = u_x \times t = 50\sqrt{3} \times 15 = 750\sqrt{3} \ m$ है।

(B) चूंकि पहाड़ी चिकनी है,इसलिए शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा उस बिंदु पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है जहाँ ऊँचाई $\frac{H}{2}$ है।
मान लीजिए $\frac{H}{2}$ ऊँचाई पर वेग $v$ है। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$mgH = mg(\frac{H}{2}) + \frac{1}{2}mv^2$
$mg(\frac{H}{2}) = \frac{1}{2}mv^2$
$v = \sqrt{gH}$
अब,वस्तु $h' = \frac{H}{2}$ की ऊँचाई से एक क्षैतिज प्रक्षेप्य के रूप में कार्य करती है।
जमीन तक पहुँचने में लगा समय है:
$t = \sqrt{\frac{2h'}{g}} = \sqrt{\frac{2(H/2)}{g}} = \sqrt{\frac{H}{g}}$
तय की गई क्षैतिज दूरी (परास) है:
$x = v \times t = \sqrt{gH} \times \sqrt{\frac{H}{g}} = H$

(B) माना प्रारंभिक स्थिति $h = 4.2 \text{ m}$ की ऊँचाई पर है। प्रारंभिक वेग के घटक $u_x = v \cos 30^{\circ} = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \text{ m/s}$ और $u_y = v \sin 30^{\circ} = 40 \times \frac{1}{2} = 20 \text{ m/s}$ हैं।
ऊर्ध्वाधर दिशा के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए,ऊपर की दिशा को धनात्मक लेने पर:
$y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$
$-4.2 = 20t - \frac{1}{2} (10) t^2$
$5t^2 - 20t - 4.2 = 0$
$t = \frac{20 \pm \sqrt{(-20)^2 - 4(5)(-4.2)}}{2(5)} = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 84}}{10} = \frac{20 \pm 22}{10}$.
चूँकि $t > 0$,इसलिए $t = \frac{42}{10} = 4.2 \text{ s}$.
क्षैतिज दूरी $R = u_x t = (20\sqrt{3}) \times 4.2 = 84\sqrt{3} \text{ m}$ प्राप्त होती है।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $U_1 = U_2 = 2 \sqrt{2} \ m \ s^{-1}$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m \ s^{-2}$।
समय $t$ पर,वेग सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{v}_1 = (U_1 \cos 45^{\circ}) \hat{i} + (U_1 \sin 45^{\circ} - gt) \hat{j} = (2 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) \hat{i} + (2 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - 10t) \hat{j} = 2 \hat{i} + (2 - 10t) \hat{j} \dots(1)$
$\vec{v}_2 = (U_2 \cos 135^{\circ}) \hat{i} + (U_2 \sin 135^{\circ} - gt) \hat{j} = (2 \sqrt{2} \cdot -\frac{1}{\sqrt{2}}) \hat{i} + (2 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - 10t) \hat{j} = -2 \hat{i} + (2 - 10t) \hat{j} \dots(2)$
चूंकि वेग सदिश लंबवत हैं,उनका डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 0$
$(2 \hat{i} + (2 - 10t) \hat{j}) \cdot (-2 \hat{i} + (2 - 10t) \hat{j}) = 0$
$-4 + (2 - 10t)^2 = 0$
$(2 - 10t)^2 = 4$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$2 - 10t = \pm 2$
स्थिति $1$: $2 - 10t = 2 \Rightarrow 10t = 0 \Rightarrow t = 0 \ s$
स्थिति $2$: $2 - 10t = -2 \Rightarrow 10t = 4 \Rightarrow t = 0.4 \ s$
अतः,वेग सदिश $t = 0.4 \ s$ पर एक-दूसरे के लंबवत होंगे।

(C) गेंद पर कार्य करने वाला बल गुरुत्वाकर्षण है,जो केवल ऊर्ध्वाधर $(y)$ दिशा में कार्य करता है। इसलिए,क्षैतिज $(x)$ दिशा में संवेग में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग: $u_y = u \sin 45^{\circ} = \sqrt{10} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{5} \ m/s$.
प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर संवेग: $p_{yi} = m u_y = 0.2 \cdot \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{1}{\sqrt{5}} \ kg \cdot m/s$ (ऊपर की ओर)।
गति के समीकरण $v_y^2 = u_y^2 + 2gh$ का उपयोग करते हुए:
$v_y^2 = (\sqrt{5})^2 + 2(10)(1) = 5 + 20 = 25$.
अतः,अंतिम ऊर्ध्वाधर वेग $v_y = 5 \ m/s$ (नीचे की ओर)।
अंतिम ऊर्ध्वाधर संवेग: $p_{yf} = m v_y = 0.2 \cdot 5 = 1 \ kg \cdot m/s$ (नीचे की ओर)।
ऊपर की दिशा को धनात्मक लेने पर,$p_{yi} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ और $p_{yf} = -1$.
संवेग में परिवर्तन $\Delta p = p_{yf} - p_{yi} = -1 - \frac{1}{\sqrt{5}} = -(1 + \frac{1}{\sqrt{5}})$.
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta p| = 1 + \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}}$ होगा।

(B) स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta PE)$ को $\Delta PE = mgh$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $h$ ऊर्ध्वाधर विस्थापन है।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन ज्ञात करने के लिए, हम गति के ऊर्ध्वाधर घटक पर विचार करते हैं:
प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग, $u_y = 24 \, m/s$
त्वरण, $a_y = -g = -10 \, m/s^2$
समय, $t = 6 \, s$
गति के समीकरण $h = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ का उपयोग करते हुए:
$h = (24)(6) + \frac{1}{2}(-10)(6)^2$
$h = 144 - 5(36)$
$h = 144 - 180 = -36 \, m$
अब, स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन की गणना करें:
$\Delta PE = mgh = (1 \, kg)(10 \, m/s^2)(-36 \, m)$
$\Delta PE = -360 \, J$