Heat Capacity, Specific Heat and Molar Specific Heat Questions in Gujarati

$(12 \, erg (^{\circ} C)^{-1})$ ઉષ્માધારિતા $C$ એ પદાર્થના દળ $m$ અને વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે:
દળ $m = 40 \, g$
વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s = 0.3 \, erg \, g^{-1} (^{\circ} C)^{-1}$
ગણતરી:
$C = m \times s$
$C = 40 \, g \times 0.3 \, erg \, g^{-1} (^{\circ} C)^{-1}$
$C = 12 \, erg (^{\circ} C)^{-1}$

(N/A) કોઈ પદાર્થને આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q$ અને તેના તાપમાનમાં થતા ફેરફાર $\Delta T$ ના ગુણોત્તરને ઉષ્માધારિતા કહે છે.
$\therefore$ ઉષ્માધારિતા $= \frac{\text{આપેલી ઉષ્મા}}{\text{તાપમાનમાં ફેરફાર}}$
$S = \frac{\Delta Q}{\Delta T}$
ઉષ્માધારિતાનો $SI$ એકમ $J K^{-1}$ અથવા $cal K^{-1}$ છે.
પદાર્થની ઉષ્માધારિતા તે પદાર્થના દ્રવ્ય (material) અને તેના દળ પર આધાર રાખે છે.
જુદા જુદા દળ ધરાવતા પરંતુ સમાન દ્રવ્યના બનેલા પદાર્થો માટે ઉષ્માધારિતાનું મૂલ્ય અલગ-અલગ હોય છે.

(N/A) વિશિષ્ટ ઉષ્મા એટલે પદાર્થના એકમ દળ દીઠ ઉષ્મા ધારિતા.
$s = \frac{\text{ઉષ્મા ધારિતા}}{\text{પદાર્થનું દળ}}$
$s = \frac{\Delta Q}{m \Delta T}$
$\therefore \Delta Q = m s \Delta T$
વિશિષ્ટ ઉષ્માનો $SI$ એકમ $J \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}$ છે.
વિશિષ્ટ ઉષ્માનું મૂલ્ય પદાર્થના દ્રવ્યની પ્રકૃતિ,તાપમાનનો તફાવત અને જે પરિસ્થિતિમાં ઉષ્મા આપવામાં આવે છે (દા.ત. અચળ દબાણ કે અચળ કદ) તેના પર આધાર રાખે છે.
પદાર્થના એક મોલ દીઠ ઉષ્મા ધારિતાને મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $(C)$ કહેવાય છે:
$C = \frac{S}{\mu} = \frac{1}{\mu} \frac{\Delta Q}{\Delta T}$
મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા પદાર્થના જથ્થા પર આધારિત નથી. તેનો એકમ $J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}$ છે.
(કોષ્ટક ઉપર મુજબ છે)
સામાન્ય તાપમાને પ્રાયોગિક મૂલ્યો $3R$ ના અનુમાનિત મૂલ્ય સાથે સુસંગત છે (કાર્બન સિવાય). નીચા તાપમાને આ સુસંગતતા જળવાતી નથી.

(N/A) ઉષ્માનો જૂનો એકમ કેલરી હતો અને એક કેલરીને અગાઉ $1 \; g$ પાણીનું તાપમાન $1^{\circ} C$ વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્માના જથ્થા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતી હતી.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતામાં તાપમાન સાથે થતો ફેરફાર:
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા તાપમાન સાથે થોડી બદલાય છે; તેથી, કેલરીની ચોક્કસ વ્યાખ્યા માટે, એકમ તાપમાનનો ગાળો સ્પષ્ટ કરવો જરૂરી હતો.
કેલરીની ચોક્કસ વ્યાખ્યા: $1 \; g$ પાણીનું તાપમાન $14.5^{\circ} C$ થી $15.5^{\circ} C$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્માનો જથ્થો.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા આશરે $4186 \; J \; kg^{-1} \; K^{-1}$ છે, જેનો અર્થ $4.186 \; J \; g^{-1} \; K^{-1}$ થાય છે.
સંબંધ $W = JH$ પરથી, $1 \; \text{cal}$ ઉષ્મા ઉત્પન્ન કરવા માટે જરૂરી કાર્યને ઉષ્માનો યાંત્રિક તુલ્યાંક કહેવામાં આવે છે.
તેથી, $W = J$ (જ્યાં $H = 1 \; \text{કેલરી}$).
આમ, ઉષ્માના બે એકમો છે, જૂલ અને કેલરી, અને રૂપાંતરણ માટે, $1 \; \text{કેલરી} = 4.186 \; J$ ઉષ્માની જરૂર પડે છે.

(N/A) કોઈ પદાર્થનું તાપમાન $1 \ K$ (અથવા $1 \ ^\circ C$) જેટલું વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઊર્જાને તે પદાર્થની ઉષ્માધારિતા કહે છે.
ગાણિતિક રીતે,તે $C = \frac{dQ}{dT}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $dQ$ એ આપેલી ઉષ્મા છે અને $dT$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
ઉષ્માધારિતાનો $SI$ એકમ $\text{જૂલ પ્રતિ કેલ્વિન}$ ($J/K$ અથવા $J \cdot K^{-1}$) છે.

(D) પદાર્થની ઉષ્મા ધારિતા $(C)$ એટલે પદાર્થના આપેલા દળનું તાપમાન $1 \ K$ અથવા $1^{\circ}C$ જેટલું વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્માનો જથ્થો.
તે નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$1$. પદાર્થની પ્રકૃતિ: વિવિધ પદાર્થોનું પરમાણ્વીય અથવા આણ્વીય બંધારણ અલગ-અલગ હોય છે,જેના કારણે તેમની ઉષ્મા ધારિતા અલગ હોય છે.
$2$. પદાર્થનું તાપમાન: ઘણા પદાર્થો માટે,ઉષ્મા ધારિતા તાપમાન સાથે બદલાય છે,ખાસ કરીને ખૂબ નીચા તાપમાને.
$3$. પદાર્થની અવસ્થા: પદાર્થની ઘન,પ્રવાહી કે વાયુ અવસ્થામાં ઉષ્મા ધારિતા અલગ હોય છે કારણ કે આંતરઆણ્વીય બળો અને મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) અવસ્થા સાથે બદલાય છે.
તેથી,ઉષ્મા ધારિતાનું મૂલ્ય ઉપરોક્ત તમામ પરિબળો પર આધાર રાખે છે.

(N/A) કોઈપણ પદાર્થના એકમ દળના તાપમાનમાં $1 \ K$ (અથવા $1 \ ^\circ C$) જેટલો વધારો કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જાને તે પદાર્થની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા કહે છે.
ગાણિતિક રીતે,તે $s = \frac{Q}{m \Delta T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ ઉષ્મા ઉર્જા છે,$m$ એ દળ છે,અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતાનો $SI$ એકમ $\text{જૂલ પ્રતિ કિલોગ્રામ પ્રતિ કેલ્વિન}$ $(J \ kg^{-1} \ K^{-1})$ છે.

(D) પદાર્થની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા એટલે પદાર્થના એકમ દળનું તાપમાન $1 \ K$ અથવા $1 \ ^\circ C$ જેટલું વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્માનો જથ્થો.
તે નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$1$. પદાર્થની પ્રકૃતિ: જુદા જુદા પદાર્થોનું પરમાણ્વીય અથવા આણ્વીય બંધારણ અલગ હોય છે,જે તેમની ઉષ્મીય ઊર્જા સંગ્રહ કરવાની ક્ષમતાને અસર કરે છે.
$2$. પદાર્થનું તાપમાન: ઘણા પદાર્થો માટે,વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા તાપમાન સાથે બદલાય છે,ખાસ કરીને ખૂબ નીચા અથવા ખૂબ ઊંચા તાપમાને.
$3$. પદાર્થની અવસ્થા: જ્યારે પદાર્થ તેની અવસ્થા બદલે છે (દા.ત.,ઘનમાંથી પ્રવાહી અથવા પ્રવાહીમાંથી વાયુ),ત્યારે તેની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા બદલાય છે કારણ કે દરેક અવસ્થામાં આંતરિક ઊર્જા અને આણ્વીય ગોઠવણી અલગ હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(N/A) પદાર્થની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા એટલે $1 \text{ mole}$ પદાર્થનું તાપમાન $1 \text{ Kelvin}$ (અથવા $1^{\circ}C$) વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જાનો જથ્થો.
ગાણિતિક રીતે,તે $C = \frac{Q}{n \Delta T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ આપેલી ઉષ્મા છે,$n$ એ મોલની સંખ્યા છે,અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતાનો $SI$ એકમ $\text{J mol}^{-1} \text{ K}^{-1}$ છે.

(A) ઉર્જાના સમવિભાજનના નિયમ મુજબ,મુક્તિની દરેક માત્રા (degree of freedom) પદાર્થના એક મોલની આંતરિક ઉર્જામાં $\frac{1}{2}RT$ જેટલો ફાળો આપે છે.
ઘન પદાર્થના પરમાણુને ત્રિ-પરિમાણીય હાર્મોનિક ઓસિલેટર તરીકે ગણી શકાય.
ત્રિ-પરિમાણીય હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટે,ગતિ ઉર્જા માટે $3$ અને સ્થિતિ ઉર્જા માટે $3$ એમ કુલ $6$ મુક્તિની માત્રાઓ હોય છે.
તેથી,એક મોલ ઘન પદાર્થ માટે કુલ આંતરિક ઉર્જા $U = 6 \times (\frac{1}{2}RT) = 3RT$ થાય છે.

(N/A) કેલરીની જૂની વ્યાખ્યા મુજબ,$1 \ atm$ દબાણે $1 \ g$ પાણીનું તાપમાન $14.5 \ ^\circ C$ થી $15.5 \ ^\circ C$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જાને એક કેલરી કહે છે.
કેલરીની નવી વ્યાખ્યા ઉર્જાના $SI$ એકમ,જુલ $(J)$ ના સંદર્ભમાં આપવામાં આવે છે. એક કેલરી બરાબર ચોક્કસ $4.184 \ J$ થાય છે.

(N/A) પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $(c)$ અચળ નથી; તે તાપમાન સાથે બદલાય છે.
$0 \ ^\circ C$ તાપમાને,પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા આશરે $4.217 \ J/g \cdot K$ હોય છે.
જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા ઘટે છે અને આશરે $35 \ ^\circ C$ તાપમાને તે ન્યૂનતમ મૂલ્ય $4.178 \ J/g \cdot K$ સુધી પહોંચે છે.
$35 \ ^\circ C$ થી ઉપર,જેમ તાપમાન $100 \ ^\circ C$ તરફ વધે છે,તેમ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા ફરીથી વધવા લાગે છે.
વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા વિરુદ્ધ તાપમાનનો આલેખ $U$ આકારનો વક્ર છે,જે ઓરડાના તાપમાને ન્યૂનતમ મૂલ્ય દર્શાવે છે.

(N/A) પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા એટલે $1 \ kg$ પાણીનું તાપમાન $1 \ K$ (અથવા $1 \ ^\circ C$) વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્માનો જથ્થો.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતાનું મૂલ્ય આશરે $4186 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$ અથવા $4.186 \ J \ g^{-1} \ ^\circ C^{-1}$ છે.
કેલરીના સંદર્ભમાં,તે $1 \ cal \ g^{-1} \ ^\circ C^{-1}$ છે.

(B) પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા અચળ નથી અને તે તાપમાન સાથે બદલાય છે.
પ્રાયોગિક ડેટા દર્શાવે છે કે પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $0 \ ^\circ C$ થી આશરે $35 \ ^\circ C - 40 \ ^\circ C$ સુધી તાપમાન વધતા ઘટે છે.
તે આશરે $35 \ ^\circ C$ થી $37 \ ^\circ C$ પર ન્યૂનતમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$35 \ ^\circ C$ એ પ્રમાણભૂત મૂલ્ય છે જે ઘણીવાર ભૌતિકશાસ્ત્રના પાઠ્યપુસ્તકોમાં તે તાપમાન તરીકે ટાંકવામાં આવે છે જ્યાં પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ન્યૂનતમ હોય છે.

(N/A) ના, પાણી અને બરફની વિશિષ્ટ ઉષ્મા સમાન હોતી નથી.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા આશરે $4.18 \, J \, g^{-1} \, K^{-1}$ (અથવા $1 \, cal \, g^{-1} \, ^\circ C^{-1}$) છે.
બરફની વિશિષ્ટ ઉષ્મા આશરે $2.09 \, J \, g^{-1} \, K^{-1}$ (અથવા $0.5 \, cal \, g^{-1} \, ^\circ C^{-1}$) છે.

(N/A) ઘન પદાર્થોમાં, પરમાણુઓ તેમના સરેરાશ સ્થાનની આસપાસ દોલન કરે છે.
ધારો કે $1$ મોલ ઘન પદાર્થમાં પરમાણુઓની સંખ્યા $N_{A}$ છે.
ઉર્જાના સમવિભાજનના નિયમ મુજબ, એક પરિમાણમાં પરમાણુઓના દોલન સાથે સંકળાયેલી ઉર્જા $2 \times \frac{1}{2} k_{B} T = k_{B} T$ છે.
તેથી, ત્રણ પરિમાણમાં પરમાણુની સરેરાશ ઉર્જા $3 k_{B} T$ થાય.
$1$ મોલ ઘન પદાર્થની કુલ ઉર્જા $U = 3 k_{B} T \times N_{A} = 3 RT$ છે (કારણ કે $k_{B} N_{A} = R$).
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
$\Delta W = P \Delta V$ હોવાથી અને ઘન પદાર્થો માટે $\Delta V \approx 0$ હોવાથી, આપણને $\Delta Q = \Delta U$ મળે છે.
ઘન પદાર્થની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C = \frac{\Delta Q}{\Delta T} = \frac{d(3 RT)}{dT} = 3R$ છે.
$R = 8.31 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ મૂકતા, $C = 3 \times 8.31 = 24.93 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ મળે છે.

(A) ઉર્જાના સમવિભાજનના નિયમ મુજબ,દરેક સ્વતંત્રતાના અંશ (degree of freedom) કણની સરેરાશ ઉર્જામાં $1/2 k_BT$ જેટલો ફાળો આપે છે.
ઘન પદાર્થમાં,દરેક પરમાણુ $3D$ હાર્મોનિક ઓસિલેટર તરીકે વર્તે છે.
દરેક પરમાણુ પાસે ગતિ ઉર્જા માટે $3$ અને સ્થિતિ ઉર્જા માટે $3$ એમ કુલ $6$ સ્વતંત્રતાના અંશ હોય છે.
પરમાણુ દીઠ સરેરાશ ઉર્જા $U = 6 \times (1/2 k_BT) = 3k_BT$ છે.
$1 \text{ mole}$ ઘન પદાર્થ માટે,કુલ આંતરિક ઉર્જા $U = 3RT$ થાય છે.
અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = dU/dT = 3R$ મળે છે.

(A) ઉર્જાના સમવિભાજનનો નિયમ આદર્શ વાયુઓ માટે લાગુ પડે છે,જ્યાં આંતરિક ઉર્જા સંપૂર્ણપણે અણુઓની ગતિ ઉર્જાને કારણે હોય છે.
પાણી એક પ્રવાહી છે,અને તેની વિશિષ્ટ ઉષ્મા તેના જટિલ આંતરઆણ્વિય બળો અને હાઇડ્રોજન બોન્ડિંગ દ્વારા નક્કી થાય છે,જે ઉર્જાના સમવિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાતી નથી.
જો કે,પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ક્ષમતાનું પ્રમાણભૂત પ્રાયોગિક મૂલ્ય $1 \text{ cal/g°C}$ અથવા $4186 \text{ J/kg°K}$ છે.
પ્રશ્નમાં પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્માનું મૂલ્ય પૂછવામાં આવ્યું હોવાથી,સાચું પ્રમાણભૂત મૂલ્ય $1 \text{ cal/g°C}$ છે.

(A) વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $C$ ને પદાર્થના એકમ દળનું તાપમાન $1 \ K$ વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ગાણિતિક રીતે,$C = \frac{dQ}{m \ dT}$.
થર્મોડાયનેમિક્સના ત્રીજા નિયમ મુજબ,જેમ તાપમાન $T$ પરમ શૂન્ય $(0 \ K)$ ની નજીક પહોંચે છે,તેમ સંપૂર્ણ સ્ફટિકની એન્ટ્રોપી શૂન્યની નજીક પહોંચે છે.
વધુમાં,જેમ તાપમાન પરમ શૂન્ય $(T \to 0 \ K)$ ની નજીક પહોંચે છે તેમ તમામ પદાર્થોની ઉષ્મા ધારિતા શૂન્ય થઈ જાય છે.
તેથી,પરમ શૂન્ય તાપમાને તમામ પદાર્થોની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $0$ હોય છે.

(A) ડ્યુલોંગ-પેટિટના નિયમ અનુસાર,ઓરડાના તાપમાને ઘન પદાર્થની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ક્ષમતા આશરે અચળ હોય છે અને તે $C_v = 3R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે. કારણ કે $R \approx 2 \text{ cal/mol K}$ છે,તેથી તેનું મૂલ્ય આશરે $3 \times 2 = 6 \text{ cal/mol K}$ થાય છે. જોકે,પ્રશ્નમાં ઉલ્લેખિત $3 \text{ cal/mol K}$ નું મૂલ્ય ખોટું છે; સાચું શાસ્ત્રીય મૂલ્ય $3R \approx 6 \text{ cal/mol K}$ છે.

(B) પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા ખૂબ જ ઊંચી $(4186 \ J/kg \cdot K)$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે પાણી તેના તાપમાનમાં થોડો ફેરફાર કરીને મોટી માત્રામાં ઉષ્મા ઉર્જા શોષી અથવા મુક્ત કરી શકે છે.
આ ગુણધર્મને કારણે,તે એન્જિન અથવા ઔદ્યોગિક મશીનરીમાંથી ગરમી દૂર કરવામાં અત્યંત અસરકારક છે,જે તેને એક આદર્શ કુલન્ટ બનાવે છે.

(A) હા,પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ક્ષમતા રેતીની સરખામણીમાં ઘણી વધારે છે.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ક્ષમતા આશરે $4186 \ J/(kg \cdot K)$ છે,જ્યારે રેતીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ક્ષમતા આશરે $800 \ J/(kg \cdot K)$ છે.
પાણીની આ ઉચ્ચ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ક્ષમતા તેને તાપમાનમાં પ્રમાણમાં નાના ફેરફારો સાથે મોટી માત્રામાં ગરમી શોષવા અથવા મુક્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે,તેથી જ તેનો ઉપયોગ કુલન્ટ તરીકે થાય છે અને તે પૃથ્વીના આબોહવાને નિયંત્રિત કરવામાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે.

(N/A) પદાર્થની ઉષ્માધારિતા $(C)$ મુખ્યત્વે બે પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$1$. પદાર્થનો પ્રકાર (દ્રવ્યના ગુણધર્મો).
$2$. પદાર્થનું દળ $(m)$.
તેને $C = ms$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $s$ એ પદાર્થની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા છે.

(N/A) કોઈ પદાર્થના તાપમાનમાં ફેરફાર કરવા માટે જરૂરી ઉષ્માનો જથ્થો $Q$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Q = mc\Delta T$,જ્યાં:
$1$. $m$ એ પદાર્થનું દળ છે.
$2$. $c$ એ પદાર્થની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે,જે પદાર્થના પ્રકાર પર આધાર રાખે છે.
$3$. $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
આમ,જરૂરી ઉષ્મા પદાર્થના દળ,વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા (પદાર્થનો પ્રકાર) અને તાપમાનમાં થતા ફેરફાર પર આધાર રાખે છે.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ તેની અવસ્થા બદલ્યા વિના ઉષ્માનું શોષણ કરે છે, ત્યારે શોષાયેલી ઉષ્મા $(Q)$, દળ $(m)$, વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $(c)$ અને તાપમાનમાં થતા ફેરફાર $(\Delta T)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Q = mc\Delta T$.
આ સમીકરણ પરથી, તાપમાનનો તફાવત $(\Delta T)$ આ રીતે નક્કી કરી શકાય છે: $\Delta T = \frac{Q}{mc}$.
તેથી, વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $(c)$ એ ગુણધર્મ છે જે જ્યારે અવસ્થામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી ત્યારે શોષાયેલી ઉષ્મા અને તાપમાનના ફેરફાર વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે.

(B) મોટાભાગના અન્ય સામાન્ય પદાર્થોની તુલનામાં પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા ખૂબ જ વધારે $(4186 \ J/kg \cdot K)$ હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે પાણી તાપમાનમાં ખૂબ જ ઓછો ફેરફાર કરીને મોટી માત્રામાં ઉષ્મા ઉર્જાનું શોષણ અથવા ઉત્સર્જન કરી શકે છે.
પરિણામે,ગરમ પાણીની થેલી લાંબા સમય સુધી ગરમ રહે છે,જે ઉપચારાત્મક શેક માટે સતત ઉષ્મા પૂરી પાડે છે.

(N/A) ઓટોમોબાઈલ રેડિયેટરમાં શીતક તરીકે પાણીનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે તેની અસાધારણ રીતે ઊંચી વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારણશક્તિ $(c = 4186 \ J/kg \cdot K)$ ને કારણે થાય છે.
આ ઊંચા મૂલ્યને કારણે,પાણી તેના તાપમાનમાં પ્રમાણમાં ઓછો વધારો કરીને મોટી માત્રામાં ઉષ્મા ઉર્જા શોષી શકે છે.
વધુમાં,પાણી સરળતાથી ઉપલબ્ધ છે,સસ્તું છે,અને તેની ઉષ્મા વાહકતા ઊંચી છે,જે તેને એન્જિન બ્લોકમાંથી રેડિયેટરની પાંખિયાઓ સુધી ગરમીને અસરકારક રીતે સ્થાનાંતરિત કરવામાં મદદ કરે છે,જ્યાં તે વાતાવરણમાં મુક્ત થાય છે.

(B) પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા જમીન (માટી/રેતી) કરતા ઘણી વધારે હોય છે.
આ કારણે,જમીનની સરખામણીમાં પાણીને ગરમ થવામાં અને ઠંડુ થવામાં વધુ સમય લાગે છે.
દિવસ દરમિયાન,જમીન દરિયા કરતા ઝડપથી ગરમ થાય છે.
પરિણામે,જમીન ઉપરની હવા ગરમ થઈને ઉપર જાય છે,જેનાથી ત્યાં ઓછા દબાણનો વિસ્તાર સર્જાય છે.
આ ઓછા દબાણના વિસ્તારને ભરવા માટે દરિયા ઉપરની ઠંડી હવા જમીન તરફ ગતિ કરે છે,જેને કિનારા પર ઠંડા દરિયાઈ પવન તરીકે અનુભવવામાં આવે છે.

(B) રેતી (જે રણની જમીન બનાવે છે) ની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા ખૂબ જ ઓછી હોય છે.
વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા એટલે પદાર્થના એકમ દળનું તાપમાન $1 \ ^\circ C$ વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્માનો જથ્થો.
રેતીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ઓછી હોવાથી,તે દિવસ દરમિયાન ઝડપથી ઉષ્માનું શોષણ કરે છે,જેના પરિણામે તાપમાનમાં ઝડપથી વધારો થાય છે.
તે જ રીતે,તે રાત્રે ઝડપથી ઉષ્મા ગુમાવે છે,જેના પરિણામે તાપમાનમાં ઝડપથી ઘટાડો થાય છે.

(B) પદાર્થનું તાપમાન બદલવા માટે જરૂરી ઉષ્માનું સૂત્ર $\Delta Q = M s \Delta T$ છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે,$s$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
બંને ગોળાઓ તાંબાના બનેલા હોવાથી,વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $s$ બંને માટે સમાન રહેશે.
અહીં તાપમાનનો ફેરફાર $\Delta T = 1 \ K$ બંને માટે સમાન છે,તેથી $\Delta Q \propto M$.
ગોળાનું દળ $M = V \rho = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ કદ છે,$r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
બંને તાંબાના ગોળાઓ માટે ઘનતા $\rho$ સમાન હોવાથી,$M \propto r^3$.
તેથી,જરૂરી ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta Q_1}{\Delta Q_2} = \frac{M_1}{M_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$ થશે.
આપેલ છે કે $r_1 = 1.5 r_2$,તેથી $\frac{r_1}{r_2} = 1.5 = \frac{3}{2}$.
આમ,$\frac{\Delta Q_1}{\Delta Q_2} = \left( \frac{3}{2} \right)^3 = \frac{27}{8}$.

(B) આપેલ છે કે પદાર્થોને સમાન દરે ગરમ કરવામાં આવે છે,તેથી ઉષ્મા આપવાનો દર અચળ છે,એટલે કે $\left(\frac{\Delta Q}{\Delta t}\right)_{A} = \left(\frac{\Delta Q}{\Delta t}\right)_{B}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta Q = mc\Delta T$,તેથી $\frac{\Delta Q}{\Delta t} = mc\left(\frac{\Delta T}{\Delta t}\right)$.
અહીં દળ $m$ સમાન હોવાથી,$c_{A}\left(\frac{\Delta T}{\Delta t}\right)_{A} = c_{B}\left(\frac{\Delta T}{\Delta t}\right)_{B}$ થાય.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતાનો ગુણોત્તર $\frac{c_{A}}{c_{B}} = \frac{(\Delta T / \Delta t)_{B}}{(\Delta T / \Delta t)_{A}}$ થશે.
આલેખ પરથી,પદાર્થ $A$ માટે ઢાળ $(\Delta T / \Delta t) = \frac{120 - 0}{3 - 0} = 40 \ ^{\circ}\text{C/s}$ છે.
પદાર્થ $B$ માટે ઢાળ $(\Delta T / \Delta t) = \frac{90 - 0}{6 - 0} = 15 \ ^{\circ}\text{C/s}$ છે.
આમ,$\frac{c_{A}}{c_{B}} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}$.

(B) ધારો કે ઉષ્માનો કોઈ વ્યય થતો નથી,તો કેલરીમીટરમાં પ્રવાહી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા એ હીટર દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
$Q = m S \Delta T = P t$
જ્યાં $m$ એ પ્રવાહીનું દળ છે,$S$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા છે,અને $T_f - T_i = \Delta T$ છે.
$\Rightarrow m S (T_f - T_i) = P t$
$\Rightarrow T_f = \left( \frac{P}{m S} \right) t + T_i$
આ સમીકરણની સરખામણી સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે કરતા,આપણને મળે છે:
ઢાળ $= \frac{P}{m S} = \frac{P}{C}$,જ્યાં $C = m S$ એ પ્રવાહીની ઉષ્માધારિતા છે.
કારણ કે ઢાળ $\frac{P}{C}$ છે,તેથી ઉષ્માધારિતા $C$ એ આલેખના ઢાળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(C \propto \frac{1}{\text{slope}})$.
તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(B) કોઈપણ પદાર્થની ઉષ્મીય ક્ષમતા તેના દળ $(m)$ અને તેની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(c)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સૂત્ર: $\text{ઉષ્મીય ક્ષમતા} = m \times c$
આપેલ છે:
દળ $(m)$ = $100 \,g$
વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(c)$ = $0.2 \,cal / g ^{\circ} C$
ગણતરી:
$\text{ઉષ્મીય ક્ષમતા} = 100 \,g \times 0.2 \,cal / g ^{\circ} C = 20 \,cal / ^{\circ} C$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.
એન્જિનમાં પાણીનો ઉપયોગ કુલન્ટ તરીકે મુખ્યત્વે એટલા માટે થાય છે કારણ કે તેની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $(c \approx 4186 \ J/kg \cdot K)$ ખૂબ જ ઊંચી છે.
વિશિષ્ટ ઉષ્મા એટલે પદાર્થના એકમ દળનું તાપમાન $1 \ ^\circ C$ વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા.
તેની ઊંચી વિશિષ્ટ ઉષ્માને કારણે,પાણી એન્જિનમાંથી મોટી માત્રામાં ઉષ્મા ઉર્જા શોષી શકે છે અને તેના પોતાના તાપમાનમાં પ્રમાણમાં ઓછો વધારો થાય છે.
આ તેને એન્જિનના ભાગોમાંથી ગરમી દૂર કરવા માટે અત્યંત કાર્યક્ષમ માધ્યમ બનાવે છે,જે તેમને વધુ ગરમ થતા અટકાવે છે.

(B) અચળ દરે આપવામાં આવતી ઉષ્મા ઊર્જા $H$ ને $H = \frac{dQ}{dt} = mc \frac{dT}{dt}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $c$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે.
$H$ અચળ હોવાથી,આપણને $c = \frac{H}{m (dT/dt)}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c$ એ $T-t$ આલેખના ઢાળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $c \propto \frac{1}{\text{slope}}$.
આકૃતિ પરથી,પદાર્થ $P$ માટે આલેખનો ઢાળ પદાર્થ $Q$ ના આલેખના ઢાળ કરતા વધારે છે (એટલે કે $\text{slope}_P > \text{slope}_Q$).
તેથી,$Q$ ની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $P$ ની વિશિષ્ટ ઉષ્મા કરતા વધારે હોવી જોઈએ $(c_Q > c_P)$.
આમ,સાચું વિધાન એ છે કે $Q$ ની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $P$ કરતા વધારે છે.

(A) આપેલ પાવર $P = \frac{dQ}{dt}$.
ઉષ્માધારિતા $S = \frac{dQ}{dT} = \frac{dQ/dt}{dT/dt} = \frac{P}{dT/dt}$.
આપેલ છે $T(t) = T_0(1 + \beta t^{1/4})$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dT}{dt} = T_0 \cdot \beta \cdot \frac{1}{4} t^{-3/4} = \frac{\beta T_0}{4} t^{-3/4}$.
આ કિંમત $S$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$S = \frac{P}{(\beta T_0 / 4) t^{-3/4}} = \frac{4P}{\beta T_0} t^{3/4}$.
આપેલ સમીકરણ પરથી,$\beta t^{1/4} = \frac{T(t) - T_0}{T_0}$.
તેથી,$t^{1/4} = \frac{T(t) - T_0}{\beta T_0}$.
બંને બાજુ $3$ ઘાત લેતા:
$t^{3/4} = \left( \frac{T(t) - T_0}{\beta T_0} \right)^3$.
$t^{3/4}$ ની કિંમત $S$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$S = \frac{4P}{\beta T_0} \cdot \frac{(T(t) - T_0)^3}{\beta^3 T_0^3} = \frac{4P(T(t) - T_0)^3}{\beta^4 T_0^4}$.

(D) ઉષ્મા શોષણનો દર $R = \frac{dq}{dt} = m C \frac{dT}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તાપમાન અચળ દરે વધતું હોવાથી,$\frac{dT}{dt} = k$ (અચળ). તેથી,$R \propto C$.
$(A)$ $0-100 \ K$ ની રેન્જમાં,$C$ વિરુદ્ધ $T$ નો આલેખ અરેખીય (વક્ર) છે,તેથી ઉષ્મા શોષણનો દર $R$ એ $T$ સાથે રેખીય રીતે બદલાતો નથી. વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
$(B)$ શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q = \int m C dT$ છે,જે $C-T$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં છે. $0-100 \ K$ માટે આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ $400-500 \ K$ (જ્યાં $C$ તેના મહત્તમ મૂલ્ય પર લગભગ અચળ છે) માટેના ક્ષેત્રફળ કરતા સ્પષ્ટપણે ઓછું છે. વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$(C)$ $400-500 \ K$ ની રેન્જમાં,$C$ વિરુદ્ધ $T$ નો આલેખ આડી રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે $C$ અચળ છે. $R \propto C$ હોવાથી,ઉષ્મા શોષણનો દર અચળ રહે છે. વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$(D)$ $200-300 \ K$ ની રેન્જમાં,$C$ વિરુદ્ધ $T$ ના આલેખનો ઢાળ ધન છે,જેનો અર્થ છે કે $C$ વધી રહ્યો છે. $R \propto C$ હોવાથી,ઉષ્મા શોષણનો દર વધે છે. વિધાન $(D)$ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $(B, C, D)$ સાચા છે.

(D) પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = -73^{\circ} C = (-73 + 273) \ K = 200 \ K$ છે.
અંતિમ તાપમાન $T_f = 27^{\circ} C = (27 + 273) \ K = 300 \ K$ છે.
જરૂરી ઉષ્મા $Q$ એ સંકલન $Q = \int_{T_i}^{T_f} m C dT$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $m = 1 \ kg$ અને $C = kT$ આપેલ છે,તેથી $Q = \int_{200}^{300} (1) (kT) dT$.
$Q = k \int_{200}^{300} T dT = k \left[ \frac{T^2}{2} \right]_{200}^{300}$.
$Q = \frac{k}{2} [300^2 - 200^2] = \frac{k}{2} [90000 - 40000] = \frac{k}{2} [50000]$.
$Q = 25000 k$.
આને $nk$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 25000$ મળે છે.

(A) કોઈ પદાર્થનું તાપમાન વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = mc\Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$c$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
બંને ગોળાઓ સમાન પદાર્થ (તાંબુ) ના બનેલા હોવાથી,$c$ અચળ છે. આપેલ $\Delta T = 1 \ K$ માટે,$Q \propto m$ થાય.
ગોળાનું દળ $m = \rho V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે અને $V$ એ કદ છે.
$V = \frac{4}{3}\pi r^3$ હોવાથી,$m \propto r^3$ થાય.
તેથી,$Q \propto r^3$ મળે.
જરૂરી ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$ થશે.
આપેલ છે કે $r_1 = 1.5 r_2$,તેથી $\frac{r_1}{r_2} = 1.5 = \frac{3}{2}$ થાય.
આમ,$\frac{Q_1}{Q_2} = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8}$ મળે.

(B) વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા એટલે પદાર્થના $1 \ kg$ દળના તાપમાનમાં $1 \ K$ જેટલો વધારો કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જા.
આપણે જાણીએ છીએ કે $Q = m \cdot c \cdot \Delta T$,જ્યાં $Q$ એ ઉષ્મા ઉર્જા $(J)$,$m$ એ દળ $(kg)$,$c$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $(K)$ છે.
સૂત્રને $c$ માટે ગોઠવતા,$c = \frac{Q}{m \cdot \Delta T}$ મળે છે.
એકમો મૂકતા,વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતાનો $S.I.$ એકમ $\frac{J}{kg \cdot K}$ થાય છે,જેને $J \ kg^{-1} \ K^{-1}$ તરીકે લખવામાં આવે છે.

(C) આપેલ છે:
કોપર માટે: દળ $m_1 = 50 \text{ g} = 0.05 \text{ kg}$,તાપમાનમાં વધારો $\Delta t_1 = 10^{\circ} \text{C}$,વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s_1 = 420 \text{ J kg}^{-1} {}^{\circ} \text{C}^{-1}$.
પાણી માટે: દળ $m_2 = 10 \text{ g} = 0.01 \text{ kg}$,વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s_2 = 4200 \text{ J kg}^{-1} {}^{\circ} \text{C}^{-1}$,ધારો કે તાપમાનમાં થતો વધારો $\Delta t_2$ છે.
બંનેને સમાન પ્રમાણમાં ઉષ્મા $Q$ આપવામાં આવતી હોવાથી,$Q_1 = Q_2$ થાય.
સૂત્ર $Q = m s \Delta t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$m_1 s_1 \Delta t_1 = m_2 s_2 \Delta t_2$
કિંમતો મૂકતા:
$0.05 \times 420 \times 10 = 0.01 \times 4200 \times \Delta t_2$
$210 = 42 \times \Delta t_2$
$\Delta t_2 = \frac{210}{42} = 5^{\circ} \text{C}$.
આમ,પાણીના તાપમાનમાં થતો વધારો $5^{\circ} \text{C}$ છે.

(B) આપેલ છે: મોલની સંખ્યા $n = 5$, પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 100^{\circ} C$, અંતિમ તાપમાન $T_2 = 120^{\circ} C$, આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 80 \,J$.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 120^{\circ} C - 100^{\circ} C = 20 \,K$ (કારણ કે તાપમાનનો તફાવત સેલ્સિયસ અને કેલ્વિન બંનેમાં સમાન હોય છે).
અચળ કદ પર વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = C_V \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $C_V$ એ અચળ કદ પર કુલ ઉષ્મા ધારિતા છે.
તેથી, $C_V = \frac{\Delta U}{\Delta T} = \frac{80 \,J}{20 \,K} = 4 \,J/K$.

(D) જ્યારે પદાર્થને ગરમ કરવામાં આવે ત્યારે તેની આંતરિક ઊર્જામાં થતો વધારો $(\Delta U)$ તે પદાર્થ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા ઊર્જા $(Q)$ જેટલો હોય છે, જો અવસ્થામાં કોઈ ફેરફાર ન થાય અને કોઈ બાહ્ય કાર્ય ન કરવામાં આવે.
શોષાયેલી ઉષ્મા માટેનું સૂત્ર: $Q = m \cdot c \cdot \Delta T$
આપેલ છે:
દળ $(m)$ = $5 \ kg$
વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા $(c)$ = $4200 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$
તાપમાનમાં ફેરફાર $(\Delta T)$ = $30^{\circ} C - 20^{\circ} C = 10^{\circ} C = 10 \ K$
કિંમતો મૂકતા:
$Q = 5 \ kg \times 4200 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1} \times 10 \ K$
$Q = 210000 \ J$
$Q = 210 \ kJ$
તેથી, આંતરિક ઊર્જામાં થતો વધારો $210 \ kJ$ છે.

(B) કોઈ પદાર્થને આપેલી ઉષ્માનું સૂત્ર $Q = mc\Delta T$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$c$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
ધાતુ માટે: $Q = m_m c_m \Delta T_m = 100 \times c_m \times 20 = 2000 c_m$.
પાણી માટે: $Q = m_w c_w \Delta T_w = 20 \times c_w \times \Delta T_w$.
આપેલી ઉષ્મા સમાન હોવાથી,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ: $2000 c_m = 20 c_w \Delta T_w$.
વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતાનો ગુણોત્તર $\frac{c_m}{c_w} = \frac{1}{10}$ આપેલ છે,તેથી $c_w = 10 c_m$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $2000 c_m = 20 \times (10 c_m) \times \Delta T_w$.
$2000 c_m = 200 c_m \times \Delta T_w$.
બંને બાજુ $200 c_m$ વડે ભાગતા: $\Delta T_w = \frac{2000}{200} = 10^{\circ} C$.

(C) વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા એ પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે,જેનો અર્થ છે કે તે ફક્ત પદાર્થના પ્રકાર પર આધાર રાખે છે,પદાર્થના જથ્થા કે દળ પર નહીં.
અહીં પદાર્થ કોપર જ રહે છે,તેથી દળમાં ફેરફાર કરવા છતાં તેની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા અચળ રહેશે.
તેથી,જો દળ બમણું કરવામાં આવે,તો પણ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $s$ જ રહેશે.

(D) આપેલ છે: પાણીનું દળ,$m = 2 \,kg$
તાપમાનમાં ફેરફાર,$\Delta T = 10^{\circ} C$
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા,$c = 4200 \,J \,kg^{-1} \,K^{-1}$
મુક્ત થતી ઉષ્મા ઊર્જા $Q$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:
$Q = m c \Delta T$
કિંમતો મૂકતા:
$Q = 2 \,kg \times 4200 \,J \,kg^{-1} \,K^{-1} \times 10 \,K$
$Q = 84000 \,J$

(D)
આપેલ છે: પાણીનું દળ $m = 200 \,g = 0.2 \,kg$, સમય $t = 200 \,s$, વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s = 4200 \,J \,kg^{-1} \,K^{-1}$, અને તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = 100^\circ C - 40^\circ C = 60 \,K$।
પાણીનું તાપમાન વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જા:
$Q = m \cdot s \cdot \Delta T$
હીટર દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો પાવર:
$P = \frac{Q}{t} = \frac{m \cdot s \cdot \Delta T}{t}$
કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{0.2 \,kg \times 4200 \,J \,kg^{-1} \,K^{-1} \times 60 \,K}{200 \,s}$
$P = \frac{50400}{200} \,W = 252 \,W$

(A) પદાર્થ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્માનું સૂત્ર: $H = m s \Delta T$,જ્યાં $H$ એ ઉષ્મા છે,$m$ એ દળ છે,$s$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
આપેલ કિંમતો: $H = 2100.0 \ J$,$s = 900 \ J \ kg^{-1} K^{-1}$,અને $\Delta T = 2^{\circ} C = 2 \ K$.
દળ $m$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $m = \frac{H}{s \Delta T}$.
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{2100}{900 \times 2} = \frac{2100}{1800} = 1.166... \ kg$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $m \approx 1.16 \ kg$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,દળ $m = 5 \,kg = 5000 \,g$.
વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $c = 4.2 \,J / g^{\circ} C$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 20^{\circ} C$.
પાણીનું ઉત્કલન બિંદુ $T_2 = 100^{\circ} C$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 100^{\circ} C - 20^{\circ} C = 80^{\circ} C$.
આપવામાં આવતી ઉષ્મા ઉર્જાનું સૂત્ર $\Delta Q = m c \Delta T$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta Q = 5000 \,g \times 4.2 \,J / g^{\circ} C \times 80^{\circ} C$.
$\Delta Q = 5000 \times 4.2 \times 80 = 1680000 \,J$.
કિલોજૂલમાં રૂપાંતર કરતા: $\Delta Q = 1680 \,kJ$.