Heat Capacity, Specific Heat and Molar Specific Heat Questions in Gujarati

(C) પદાર્થની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા એટલે પદાર્થના એકમ દળનું તાપમાન $1 \text{ K}$ વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્માનો જથ્થો.
તે એક આંતરિક ગુણધર્મ છે જે પદાર્થના સ્વભાવ અને તેની અવસ્થા પર આધાર રાખે છે.
પ્રાયોગિક અવલોકનો દર્શાવે છે કે પાણી સહિત મોટાભાગના પદાર્થોની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા તાપમાન સાથે બદલાય છે.
તેથી, પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા તાપમાન સાથે બદલાતી નથી તેવું વિધાન ખોટું છે.
આમ, વિકલ્પ $C$ સાચો જવાબ છે.

(A) પાણીને આપવામાં આવતી ઉષ્મા ઊર્જાનું સૂત્ર $Q = m c \Delta T$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$c$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે,અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
આપેલ છે: $m = 500 \ g = 0.5 \ kg$,$c = 4184 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$,$\Delta T = 90^{\circ}C - 30^{\circ}C = 60 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $Q = 0.5 \times 4184 \times 60$.
$Q = 0.5 \times 251040 = 125520 \ J$.
પ્રવાહી પાણી માટે ગરમ કરતી વખતે કદમાં થતો ફેરફાર નગણ્ય હોવાથી,થયેલ કાર્ય લગભગ શૂન્ય છે,અને આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U \approx Q$ થાય.
તેથી,$\Delta U = 1.2552 \times 10^5 \ J \approx 1.25 \times 10^5 \ J$.

(A) ઘન પદાર્થ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્માનું સૂત્ર: $\Delta Q = m s \Delta T$ છે, જ્યાં $s$ એ ઘન પદાર્થની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે.
આપેલ કિંમતો: દળ $m = 2 \,kg$, શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q = 50 \,kJ = 50,000 \,J$, અને તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 70^{\circ} C - 20^{\circ} C = 50^{\circ} C$.
$s$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $s = \frac{\Delta Q}{m \cdot \Delta T}$.
કિંમતો મૂકતા: $s = \frac{50,000 \,J}{2 \,kg \times 50^{\circ} C} = \frac{50,000}{100} \,J / kg^{\circ} C = 500 \,J / kg^{\circ} C$.
તેથી, ઘન પદાર્થની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $500 \,J / kg^{\circ} C$ છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 10 \ g = 0.01 \ kg$,વેગ $v = 300 \ m/s$,વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s = 150 \ J/kg \cdot ^{\circ}C$.
ગોળીની ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 0.01 \times (300)^2 = 0.005 \times 90000 = 450 \ J$.
ગોળી દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = 50\% \text{ of } KE = 0.5 \times 450 = 225 \ J$.
સૂત્ર $Q = ms\Delta T$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે:
$225 = 0.01 \times 150 \times \Delta T$
$225 = 1.5 \times \Delta T$
$\Delta T = \frac{225}{1.5} = 150^{\circ}C$.
આમ,તાપમાનમાં થતો વધારો $150^{\circ}C$ છે.

(C) પદાર્થનું તાપમાન વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = \int m C \ dT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C = D T^{3}$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,$Q = \int_{20}^{30} m (D T^{3}) \ dT$.
અચળાંકો $m$ અને $D$ ને સંકલનની બહાર લેતા: $Q = m D \int_{20}^{30} T^{3} \ dT$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $Q = m D \left[ \frac{T^{4}}{4} \right]_{20}^{30}$.
$Q = \frac{m D}{4} [ (30)^{4} - (20)^{4} ]$.
$Q = \frac{m D}{4} [ 810000 - 160000 ]$.
$Q = \frac{m D}{4} [ 650000 ]$.
$Q = \frac{650000}{4} m D = \frac{65}{4} \times 10^{4} m D$.

(A) અચળ દરે આપવામાં આવતી ઉષ્મા $\Delta H = mC \Delta \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉષ્મા આપવાનો દર $\frac{dH}{dt}$ અચળ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{dH}{dt} = mC \frac{d\theta}{dt}$.
આ સૂચવે છે કે $\frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{mC} \left( \frac{dH}{dt} \right)$.
અહીં $m$ અને $\frac{dH}{dt}$ અચળ હોવાથી,$\theta-t$ આલેખનો ઢાળ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે (એટલે કે,$\text{slope} \propto \frac{1}{C}$).
આકૃતિ પરથી,રેખા $B$ નો ઢાળ રેખા $A$ ના ઢાળ કરતા વધારે છે (એટલે કે,$\text{slope}_B > \text{slope}_A$).
તેથી,$C_B < C_A$,જેનો અર્થ છે કે $A$ ની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $B$ કરતા વધારે છે.