Trigonometrical ratios of sum and difference of two and three angles Questions in Hindi

(D) दिया गया है $\cot \alpha = \frac{1}{2}$,चूँकि $\alpha \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$ (तीसरा चतुर्थांश),इसलिए $\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha} = 2$.
दिया गया है $\sec \beta = -\frac{5}{3}$,चूँकि $\beta \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ (दूसरा चतुर्थांश),इसलिए $\tan^2 \beta = \sec^2 \beta - 1 = (-\frac{5}{3})^2 - 1 = \frac{25}{9} - 1 = \frac{16}{9}$.
दूसरे चतुर्थांश में $\tan \beta$ ऋणात्मक होता है,इसलिए $\tan \beta = -\frac{4}{3}$.
सूत्र $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{2 + (-\frac{4}{3})}{1 - (2)(-\frac{4}{3})} = \frac{\frac{6-4}{3}}{1 + \frac{8}{3}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{11}{3}} = \frac{2}{11}$.

(D) सर्वसमिका $\cos^2 A - \sin^2 B = \cos(A+B) \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\cos^2 48^{\circ} - \sin^2 12^{\circ} = \cos(48^{\circ} + 12^{\circ}) \cos(48^{\circ} - 12^{\circ})$
$= \cos 60^{\circ} \cos 36^{\circ}$
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ और $\cos 36^{\circ} = 1 - 2\sin^2 18^{\circ}$:
$= \frac{1}{2} (1 - 2\sin^2 18^{\circ})$
$= \frac{1}{2} \left( 1 - 2 \left( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right)^2 \right)$
$= \frac{1}{2} \left( 1 - 2 \left( \frac{5 + 1 - 2\sqrt{5}}{16} \right) \right)$
$= \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{8} \right)$
$= \frac{1}{2} \left( \frac{8 - 6 + 2\sqrt{5}}{8} \right)$
$= \frac{1}{2} \left( \frac{2 + 2\sqrt{5}}{8} \right) = \frac{1 + \sqrt{5}}{8}$

(C) वर्गों का विस्तार करने पर: $(\cos \alpha+\cos \beta)^2+(\sin \alpha+\sin \beta)^2 = (\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + 2\cos \alpha \cos \beta) + (\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2\sin \alpha \sin \beta)$
पदों को समूहित करने पर: $(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) + 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ और $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर: $1 + 1 + 2\cos(\alpha - \beta)$
सरल करने पर: $2 + 2\cos(\alpha - \beta) = 2(1 + \cos(\alpha - \beta))$
सर्वसमिका $1 + \cos \theta = 2\cos^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर: $2 \times 2\cos^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) = 4\cos^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$

(D) हम विस्तार सूत्रों का उपयोग करते हैं: $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ और $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$.
$\sin \left(\frac{\pi}{3}+x\right) = \sin \frac{\pi}{3} \cos x + \cos \frac{\pi}{3} \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x$.
$\cos \left(\frac{\pi}{6}+x\right) = \cos \frac{\pi}{6} \cos x - \sin \frac{\pi}{6} \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x$.
दोनों व्यंजकों को घटाने पर:
$\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x\right)$
$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x$
$= \sin x$.

(D) दिया गया है $\sin \theta = \frac{-12}{13}$ और $\theta$ तीसरे चतुर्थांश में है,इसलिए $\cos \theta = -\sqrt{1 - \sin^2 \theta} = -\sqrt{1 - (\frac{-12}{13})^2} = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$.
अतः,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-12/13}{-5/13} = \frac{12}{5}$.
दिया गया है $\cos \phi = \frac{-4}{5}$ और $\phi$ तीसरे चतुर्थांश में है,इसलिए $\sin \phi = -\sqrt{1 - \cos^2 \phi} = -\sqrt{1 - (\frac{-4}{5})^2} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$.
अतः,$\tan \phi = \frac{\sin \phi}{\cos \phi} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4}$.
सूत्र $\tan(\theta - \phi) = \frac{\tan \theta - \tan \phi}{1 + \tan \theta \tan \phi}$ का उपयोग करते हुए:
$\tan(\theta - \phi) = \frac{12/5 - 3/4}{1 + (12/5)(3/4)} = \frac{(48 - 15)/20}{1 + 36/20} = \frac{33/20}{56/20} = \frac{33}{56}$.

(D) हम दो कोणों के योग के लिए टेंजेंट के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\tan(A+B) = \frac{\frac{5}{6} + \frac{1}{11}}{1 - (\frac{5}{6} \times \frac{1}{11})}$.
अंश का सरलीकरण: $\frac{5}{6} + \frac{1}{11} = \frac{55 + 6}{66} = \frac{61}{66}$.
हर का सरलीकरण: $1 - \frac{5}{66} = \frac{66 - 5}{66} = \frac{61}{66}$.
अतः,$\tan(A+B) = \frac{61/66}{61/66} = 1$.
चूंकि $\tan(A+B) = 1$,इसलिए $A+B = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(A) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं: $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ और $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$.
$\cos \left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)-\sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right)$
$= \left(\cos \frac{3 \pi}{4} \cos x - \sin \frac{3 \pi}{4} \sin x\right) - \left(\sin \frac{\pi}{4} \cos x - \cos \frac{\pi}{4} \sin x\right)$
चूंकि $\cos \frac{3 \pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,$\sin \frac{3 \pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,और $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$= \left(-\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x\right) - \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x\right)$
$= -\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x$
$= -\frac{2}{\sqrt{2}} \cos x = -\sqrt{2} \cos x$.

(A) सर्वसमिका $\cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y) = \cos(x-y)$ और $\cos(90^{\circ}-\theta) = \sin(\theta)$ का उपयोग करते हुए:
दी गई व्यंजक: $\cos(36^{\circ}-A) \cos(36^{\circ}+A) + \cos(54^{\circ}+A) \cos(54^{\circ}-A)$
चूंकि $54^{\circ}+A = 90^{\circ}-(36^{\circ}-A)$ और $54^{\circ}-A = 90^{\circ}-(36^{\circ}+A)$,इसलिए:
$\cos(54^{\circ}+A) = \sin(36^{\circ}-A)$ और $\cos(54^{\circ}-A) = \sin(36^{\circ}+A)$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\cos(36^{\circ}-A) \cos(36^{\circ}+A) + \sin(36^{\circ}-A) \sin(36^{\circ}+A)$
यह $\cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y)$ के रूप में है जहाँ $x = 36^{\circ}-A$ और $y = 36^{\circ}+A$.
$= \cos((36^{\circ}-A) - (36^{\circ}+A))$
$= \cos(36^{\circ}-A-36^{\circ}-A)$
$= \cos(-2A)$
चूंकि $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$,इसलिए परिणाम $\cos(2A)$ है।

(A) दिया गया है $\sin \theta = \sin 15^{\circ} + \sin 45^{\circ}$.
सूत्र $\sin C + \sin D = 2 \sin \left( \frac{C+D}{2} \right) \cos \left( \frac{C-D}{2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\sin \theta = 2 \sin \left( \frac{15^{\circ} + 45^{\circ}}{2} \right) \cos \left( \frac{15^{\circ} - 45^{\circ}}{2} \right)$
$\sin \theta = 2 \sin 30^{\circ} \cos(-15^{\circ})$
चूंकि $\cos(-x) = \cos x$ और $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ है:
$\sin \theta = 2 \times \frac{1}{2} \times \cos 15^{\circ}$
$\sin \theta = \cos 15^{\circ}$
चूंकि $\cos 15^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 15^{\circ}) = \sin 75^{\circ}$ है:
$\sin \theta = \sin 75^{\circ}$
अतः,$\theta = 75^{\circ}$.

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{\sin A+\sin 7 A+\sin 13 A}{\cos A+\cos 7 A+\cos 13 A}$
$A$ और $13A$ वाले पदों को समूह में लेने पर:
$= \frac{(\sin 13 A+\sin A)+\sin 7 A}{(\cos 13 A+\cos A)+\cos 7 A}$
योग-से-गुणनफल सूत्रों $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ और $\cos C + \cos D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \sin 7 A \cos 6 A + \sin 7 A}{2 \cos 7 A \cos 6 A + \cos 7 A}$
अंश से $\sin 7 A$ और हर से $\cos 7 A$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$= \frac{\sin 7 A(2 \cos 6 A + 1)}{\cos 7 A(2 \cos 6 A + 1)}$
$= \frac{\sin 7 A}{\cos 7 A} = \tan 7 A$

(D) दिया गया समीकरण: $2 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)=\cos \left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)$
विस्तार सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \left(\sin \theta \cdot \frac{1}{2} + \cos \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \cos \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin \theta \cdot \frac{1}{2}$
$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$2 \sin \theta + 2 \sqrt{3} \cos \theta = \sqrt{3} \cos \theta + \sin \theta$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\sin \theta = -\sqrt{3} \cos \theta$
अतः,$\tan \theta = -\sqrt{3}$

(B) सर्वसमिका $\cos(x-y)\cos(x+y) = \cos^2 x - \sin^2 y$ का उपयोग करने पर:
$\cos(18^{\circ}-A)\cos(18^{\circ}+A) = \cos^2 18^{\circ} - \sin^2 A$
$\cos(72^{\circ}-A)\cos(72^{\circ}+A) = \cos^2 72^{\circ} - \sin^2 A$
घटाने पर:
$(\cos^2 18^{\circ} - \sin^2 A) - (\cos^2 72^{\circ} - \sin^2 A) = \cos^2 18^{\circ} - \cos^2 72^{\circ}$
चूँकि $\cos 72^{\circ} = \sin 18^{\circ}$,यह हो जाता है:
$\cos^2 18^{\circ} - \sin^2 18^{\circ} = \cos(2 \times 18^{\circ}) = \cos 36^{\circ}$

(B) किसी भी त्रिभुज $ABC$ में,कोणों का योग $A + B + C = 180^{\circ}$ होता है।
दिया गया है $A = \tan^{-1} 2$ और $B = \tan^{-1} 3$।
हम जानते हैं कि $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$।
मान रखने पर,$\tan(A + B) = \frac{2 + 3}{1 - (2)(3)} = \frac{5}{1 - 6} = \frac{5}{-5} = -1$।
चूंकि $A$ और $B$ त्रिभुज के कोण हैं और $\tan A = 2, \tan B = 3$ (दोनों धनात्मक) हैं,इसलिए $A$ और $B$ न्यून कोण हैं।
अतः,$A + B$ दूसरे चतुर्थांश में होना चाहिए क्योंकि $\tan(A + B) = -1$ है।
इसलिए,$A + B = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$।
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$ है,इसलिए $135^{\circ} + C = 180^{\circ}$।
अतः,$C = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$।

(D) दिया गया व्यंजक $\sin \frac{5 \pi}{12} \sin \frac{\pi}{12}$ है।
हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \sin A \sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B)$ का उपयोग करते हैं।
$2$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{2} [2 \sin \frac{5 \pi}{12} \sin \frac{\pi}{12}]$
$= \frac{1}{2} [\cos(\frac{5 \pi}{12} - \frac{\pi}{12}) - \cos(\frac{5 \pi}{12} + \frac{\pi}{12})]$
$= \frac{1}{2} [\cos(\frac{4 \pi}{12}) - \cos(\frac{6 \pi}{12})]$
$= \frac{1}{2} [\cos(\frac{\pi}{3}) - \cos(\frac{\pi}{2})]$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ और $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,
$= \frac{1}{2} [\frac{1}{2} - 0] = \frac{1}{4}$.

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$\sin x + \sin y = \frac{1}{2} \quad (1)$
$\cos x + \cos y = 1 \quad (2)$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{1}{2} \quad (3)$
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = 1 \quad (4)$
समीकरण $(3)$ को $(4)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)} = \frac{1/2}{1}$
$\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{1}{2}$
डबल एंगल सूत्र $\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $\theta = \frac{x+y}{2}$:
$\tan(x+y) = \frac{2 \tan \left(\frac{x+y}{2}\right)}{1 - \tan^2 \left(\frac{x+y}{2}\right)}$
$\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$\tan(x+y) = \frac{2(1/2)}{1 - (1/2)^2} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$

(B) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $\cos ^{2} A - \sin ^{2} B = \cos(A+B) \cdot \cos(A-B)$.
यहाँ,$A = 45^{\circ}$ और $B = 15^{\circ}$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$\cos ^{2} 45^{\circ} - \sin ^{2} 15^{\circ} = \cos(45^{\circ} + 15^{\circ}) \cdot \cos(45^{\circ} - 15^{\circ})$
$= \cos(60^{\circ}) \cdot \cos(30^{\circ})$
$= \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$= \frac{\sqrt{3}}{4}$.

(C) दिया है $\tan \alpha = \frac{1}{7}$. चूँकि $\alpha$ $3^{\text{rd}}$ चतुर्थांश में है,$\sin 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{2/7}{1 + 1/49} = \frac{14}{50} = \frac{7}{25}$.
$\cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1 - 1/49}{1 + 1/49} = \frac{24}{25}$.
दिया है $\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$. चूँकि $\beta$ $2^{\text{nd}}$ चतुर्थांश में है,$\cos \beta = -\sqrt{1 - \sin^2 \beta} = -\frac{3}{\sqrt{10}}$.
सूत्र $\sin(2\alpha + \beta) = \sin 2\alpha \cos \beta + \cos 2\alpha \sin \beta$ का उपयोग करने पर:
$\sin(2\alpha + \beta) = \left(\frac{7}{25}\right)\left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right) + \left(\frac{24}{25}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = \frac{3}{25\sqrt{10}}$.

(B) दिया है,$\tan A + \tan B = x$ और $\cot A + \cot B = y$।
चूंकि $\cot A + \cot B = \frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} = \frac{\tan A + \tan B}{\tan A \tan B} = y$।
$\tan A + \tan B = x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x}{\tan A \tan B} = y$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\tan A \tan B = \frac{x}{y}$।
अब,सूत्र $\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए,
$\tan (A + B) = \frac{x}{1 - \frac{x}{y}} = \frac{x}{\frac{y - x}{y}} = \frac{xy}{y - x}$।

(D) दिया गया है,$\sqrt{1+\cos 2 \alpha}=\frac{3}{\sqrt{5}}$ और $\sqrt{\frac{1-\cos 2 \beta}{1+\cos 2 \beta}}=\frac{1}{7}$.
चूंकि $1+\cos 2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha$,हमारे पास $\sqrt{2} \cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{5}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$ है।
तब $\cos 2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 = 2(\frac{9}{10}) - 1 = \frac{18}{10} - 1 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$।
चूंकि $\sin^2 2 \alpha = 1 - \cos^2 2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$,इसलिए $\sin 2 \alpha = \frac{3}{5}$।
अतः,$\tan 2 \alpha = \frac{\sin 2 \alpha}{\cos 2 \alpha} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$।
$\beta$ के लिए,$\sqrt{\frac{1-\cos 2 \beta}{1+\cos 2 \beta}} = \tan \beta = \frac{1}{7}$।
अब,$\tan(2 \alpha + \beta) = \frac{\tan 2 \alpha + \tan \beta}{1 - \tan 2 \alpha \tan \beta} = \frac{3/4 + 1/7}{1 - (3/4)(1/7)} = \frac{25/28}{25/28} = 1$।
इसलिए,$2 \alpha + \beta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$।

(D) हम जानते हैं कि $\cos \theta = \cos(45^{\circ} - 30^{\circ})$ जहाँ $\theta = \frac{\pi}{12} = 15^{\circ}$ है।
$\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\cos(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ} + \sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ}$
$= (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2})$
$= \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

(D) हम सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करते हैं।
$\cos ^4 \frac{\pi}{24} - \sin ^4 \frac{\pi}{24} = \left(\cos ^2 \frac{\pi}{24}\right)^2 - \left(\sin ^2 \frac{\pi}{24}\right)^2$
$= \left(\cos ^2 \frac{\pi}{24} + \sin ^2 \frac{\pi}{24}\right) \left(\cos ^2 \frac{\pi}{24} - \sin ^2 \frac{\pi}{24}\right)$
चूंकि $\cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta = 1$ और $\cos ^2 \theta - \sin ^2 \theta = \cos 2\theta$,इसलिए:
$= (1) \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{24}\right) = \cos \frac{\pi}{12}$
$\frac{\pi}{12} = 15^\circ$ का उपयोग करते हुए,$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$
$= \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(C) हम $\frac{7 \pi}{12}$ को $\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$ के रूप में लिख सकते हैं।
सूत्र $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$\cos \left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right) = \cos \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4}$
$= \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$= \frac{1 - \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

(A) दिया है: $\frac{x}{y} = \frac{\cos A}{\cos B}$
व्यंजक के अंश और हर को $y$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x \tan A - y \tan B}{x + y} = \frac{\frac{x}{y} \tan A - \tan B}{\frac{x}{y} + 1}$
$\frac{x}{y} = \frac{\cos A}{\cos B}$ रखने पर:
$= \frac{\frac{\cos A}{\cos B} \tan A - \tan B}{\frac{\cos A}{\cos B} + 1} = \frac{\sin A - \sin B}{\cos A + \cos B}$
योग-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \sin \left(\frac{A-B}{2}\right) \cos \left(\frac{A+B}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)}$
$= \tan \left(\frac{A-B}{2}\right)$

(C) हम योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करते हैं: $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ और $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$.
इन सूत्रों को लागू करने पर:
$\frac{\sin \theta + \sin 3 \theta}{\cos \theta + \cos 3 \theta} = \frac{2 \sin 2 \theta \cos(-\theta)}{2 \cos 2 \theta \cos(-\theta)}$
चूंकि $\cos(-\theta) = \cos \theta$,हमें प्राप्त होता है:
$= \frac{\sin 2 \theta}{\cos 2 \theta} = \tan 2 \theta$.

(D) हम जानते हैं कि $\sin (x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\sin (x+y) \sec x \sec y = (\sin x \cos y + \cos x \sin y) \cdot \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos y}$
$= \frac{\sin x \cos y}{\cos x \cos y} + \frac{\cos x \sin y}{\cos x \cos y}$
$= \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin y}{\cos y}$
$= \tan x + \tan y$

(D) दिया गया है: $\tan 70^{\circ} - \tan 20^{\circ} = a \cdot \tan 50^{\circ}$
$\Rightarrow \frac{\sin 70^{\circ}}{\cos 70^{\circ}} - \frac{\sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}} = \frac{a \sin 50^{\circ}}{\cos 50^{\circ}}$
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\Rightarrow \frac{\sin(70^{\circ} - 20^{\circ})}{\cos 70^{\circ} \cos 20^{\circ}} = \frac{a \sin 50^{\circ}}{\cos 50^{\circ}}$
$\Rightarrow \frac{\sin 50^{\circ}}{\cos 70^{\circ} \cos 20^{\circ}} = \frac{a \sin 50^{\circ}}{\cos 50^{\circ}}$
चूंकि $\sin 50^{\circ} \neq 0$,दोनों पक्षों को $\sin 50^{\circ}$ से विभाजित करने पर:
$\Rightarrow a = \frac{\cos 50^{\circ}}{\cos 70^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$a = \frac{2 \cos 50^{\circ}}{2 \cos 70^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$a = \frac{2 \cos 50^{\circ}}{\cos 90^{\circ} + \cos 50^{\circ}} = \frac{2 \cos 50^{\circ}}{0 + \cos 50^{\circ}} = 2$

(C) दिया है,$\alpha+\beta=\gamma$.
हमें $\cos^2 \alpha+\cos^2 \beta+\cos^2 \gamma$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $2 \cos^2 \theta = 1+\cos 2 \theta$ का उपयोग करते हुए:
$\cos^2 \alpha+\cos^2 \beta+\cos^2 \gamma = \frac{1}{2} [2 \cos^2 \alpha + 2 \cos^2 \beta + 2 \cos^2 \gamma]$
$= \frac{1}{2} [1+\cos 2 \alpha + 1+\cos 2 \beta + 2 \cos^2 \gamma]$
$= \frac{1}{2} [2 + 2 \cos(\alpha+\beta) \cos(\alpha-\beta) + 2 \cos^2 \gamma]$
चूंकि $\alpha+\beta=\gamma$,इसलिए $\alpha+\beta$ के स्थान पर $\gamma$ रखने पर:
$= \frac{1}{2} [2 + 2 \cos \gamma \cos(\alpha-\beta) + 2 \cos^2 \gamma]$
$= 1 + \cos \gamma \cos(\alpha-\beta) + \cos^2 \gamma$
$= 1 + \cos \gamma [\cos(\alpha-\beta) + \cos \gamma]$
$= 1 + \cos \gamma [\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)]$
$\cos(A-B) + \cos(A+B) = 2 \cos A \cos B$ का उपयोग करते हुए:
$= 1 + \cos \gamma [2 \cos \alpha \cos \beta]$
$= 1 + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$.

(D) हम सूत्र $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करते हैं।
$\cos 48^{\circ} \cdot \cos 12^{\circ} = \frac{1}{2} [2 \cos 48^{\circ} \cos 12^{\circ}]$
$= \frac{1}{2} [\cos(48^{\circ}+12^{\circ}) + \cos(48^{\circ}-12^{\circ})]$
$= \frac{1}{2} [\cos 60^{\circ} + \cos 36^{\circ}]$
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ और $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$,
$= \frac{1}{2} [\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}+1}{4}]$
$= \frac{1}{2} [\frac{2 + \sqrt{5} + 1}{4}]$
$= \frac{3+\sqrt{5}}{8}$

(D) दिया गया है,$\cos (A-B)=3/5$ और $\tan A \tan B=2$.
हम जानते हैं कि $\tan A \tan B = \frac{\sin A \sin B}{\cos A \cos B} = 2$.
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos A \cos B + \sin A \sin B}{\cos A \cos B - \sin A \sin B} = \frac{2+1}{2-1}$.
यह $\frac{\cos (A-B)}{\cos (A+B)} = 3$ में सरल होता है।
$\cos (A-B) = 3/5$ रखने पर:
$\frac{3/5}{\cos (A+B)} = 3$.
$\cos (A+B) = -1/5$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \frac{\cos A + \cos 3A + \cos 5A + \cos 7A}{\sin A + \sin 3A + \sin 5A + \sin 7A}$ है।
अंश और हर में पदों को समूहित करने पर:
$I = \frac{(\cos 7A + \cos A) + (\cos 5A + \cos 3A)}{(\sin 7A + \sin A) + (\sin 5A + \sin 3A)}$।
योग-से-गुणनफल सूत्रों $\cos C + \cos D = 2\cos\frac{C+D}{2}\cos\frac{C-D}{2}$ और $\sin C + \sin D = 2\sin\frac{C+D}{2}\cos\frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{2\cos 4A \cos 3A + 2\cos 4A \cos A}{2\sin 4A \cos 3A + 2\sin 4A \cos A}$।
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर:
$I = \frac{2\cos 4A (\cos 3A + \cos A)}{2\sin 4A (\cos 3A + \cos A)}$।
$I = \frac{\cos 4A}{\sin 4A} = \cot 4A$।
दिया गया है $A = \frac{\pi}{24}$,इसलिए $4A = 4 \times \frac{\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$।
$I = \cot\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$।

(A) $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\sin \left(\frac{5 \pi}{24}\right) \cos \left(\frac{\pi}{24}\right) = \frac{1}{2} \left[ \sin \left(\frac{5 \pi}{24} + \frac{\pi}{24}\right) + \sin \left(\frac{5 \pi}{24} - \frac{\pi}{24}\right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ \sin \left(\frac{6 \pi}{24}\right) + \sin \left(\frac{4 \pi}{24}\right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sqrt{2}+1}{2} \right] = \frac{\sqrt{2}+1}{4}$

(B) हम जानते हैं कि $\tan A - \tan B = \frac{\sin(A - B)}{\cos A \cos B}$.
अंश में इसे लागू करने पर: $\tan 52^{\circ} - \tan 38^{\circ} = \frac{\sin(52^{\circ} - 38^{\circ})}{\cos 52^{\circ} \cos 38^{\circ}} = \frac{\sin 14^{\circ}}{\cos 52^{\circ} \cos 38^{\circ}}$.
अब,व्यंजक $\frac{\sin 14^{\circ}}{\cos 52^{\circ} \cos 38^{\circ} \tan 14^{\circ}} = \frac{\sin 14^{\circ}}{\cos 52^{\circ} \cos 38^{\circ} \frac{\sin 14^{\circ}}{\cos 14^{\circ}}} = \frac{\cos 14^{\circ}}{\cos 52^{\circ} \cos 38^{\circ}}$ हो जाता है।
$2 \cos A \cos B = \cos(A + B) + \cos(A - B)$ का उपयोग करते हुए,$2 \cos 52^{\circ} \cos 38^{\circ} = \cos(52^{\circ} + 38^{\circ}) + \cos(52^{\circ} - 38^{\circ}) = \cos 90^{\circ} + \cos 14^{\circ} = 0 + \cos 14^{\circ} = \cos 14^{\circ}$.
अतः,व्यंजक $\frac{\cos 14^{\circ}}{\frac{1}{2} \cos 14^{\circ}} = 2$ है।

(D) दिया गया है $\tan \theta = \frac{\cos 25^{\circ} + \sin 25^{\circ}}{\cos 25^{\circ} - \sin 25^{\circ}}$.
अंश और हर को $\cos 25^{\circ}$ से विभाजित करने पर,हमें $\tan \theta = \frac{1 + \tan 25^{\circ}}{1 - \tan 25^{\circ}}$ प्राप्त होता है।
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = 45^{\circ}$ और $B = 25^{\circ}$,हमें $\tan \theta = \tan(45^{\circ} + 25^{\circ}) = \tan 70^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\theta$ तीसरे चतुर्थांश में है,हम $\tan(180^{\circ} + \alpha) = \tan \alpha$ गुणधर्म का उपयोग करते हैं।
अतः,$\tan \theta = \tan(180^{\circ} + 70^{\circ}) = \tan 250^{\circ}$।
इसलिए,$\theta = 250^{\circ}$।

(C) हमारे पास व्यंजक $\cos 20^{\circ} + \cos 30^{\circ} + \cos 40^{\circ}$ है।
पहले और तीसरे पद के लिए योग-से-गुणन सूत्र $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\cos 40^{\circ} + \cos 20^{\circ} = 2 \cos 30^{\circ} \cos 10^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अब व्यंजक $2 \cos 30^{\circ} \cos 10^{\circ} + \cos 30^{\circ}$ हो जाता है।
$\cos 30^{\circ}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $\cos 30^{\circ} (2 \cos 10^{\circ} + 1)$ प्राप्त होता है।
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $4 \cos 10^{\circ} \cos 15^{\circ} \cos 20^{\circ}$ सही उत्तर है।

(B) हमारे पास है,
$1+\cos 10^{\circ}+\cos 20^{\circ}+\cos 30^{\circ} = (1+\cos 10^{\circ}) + (\cos 20^{\circ}+\cos 30^{\circ})$
$= 2\cos^2 5^{\circ} + 2\cos 25^{\circ} \cos 5^{\circ}$
$= 2\cos 5^{\circ} (\cos 5^{\circ} + \cos 25^{\circ})$
$= 2\cos 5^{\circ} (2\cos \frac{25^{\circ}+5^{\circ}}{2} \cos \frac{25^{\circ}-5^{\circ}}{2})$
$= 2\cos 5^{\circ} (2\cos 15^{\circ} \cos 10^{\circ})$
$= 4\cos 5^{\circ} \cos 10^{\circ} \cos 15^{\circ}$

(D) हम जानते हैं कि $\sin \theta = \cos(90^{\circ} - \theta)$.
अतः,$\sin 84^{\circ} = \cos(90^{\circ} - 84^{\circ}) = \cos 6^{\circ}$.
अब,$\cos 66^{\circ} + \sin 84^{\circ} = \cos 66^{\circ} + \cos 6^{\circ}$.
सूत्र $\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \cos \frac{66^{\circ} + 6^{\circ}}{2} \cos \frac{66^{\circ} - 6^{\circ}}{2}$
$= 2 \cos 36^{\circ} \cos 30^{\circ}$.
चूंकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$,इसलिए:
$= 2 \times \left(\frac{\sqrt{5} + 1}{4}\right) \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$= \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5} + 1)}{4}$.
अतः,विकल्प $D$ सही है.

(B) हम योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करते हैं: $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ और $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$.
दिया गया व्यंजक: $E = (\cos \alpha + \cos \beta) - (\cos \gamma + \cos (\alpha + \beta + \gamma))$.
सूत्रों को लागू करने पर:
$E = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} - 2 \cos \frac{\alpha+\beta+2\gamma}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$.
$2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$E = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} [\cos \frac{\alpha-\beta}{2} - \cos \frac{\alpha+\beta+2\gamma}{2}]$.
$\cos C - \cos D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{D-C}{2}$ का उपयोग करने पर:
$E = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} [2 \sin \frac{\alpha+\gamma}{2} \sin \frac{\beta+\gamma}{2}]$.
अतः,$E = 4 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\beta+\gamma}{2} \sin \frac{\gamma+\alpha}{2}$.

(C) दिया गया है $A+B = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $A = \frac{\pi}{4} - B$.
अंश और हर को $\cos B$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\cos B - \sin B}{\cos B + \sin B} = \frac{1 - \tan B}{1 + \tan B}$.
हम जानते हैं कि $\tan(\frac{\pi}{4} - B) = \frac{\tan(\frac{\pi}{4}) - \tan B}{1 + \tan(\frac{\pi}{4})\tan B}$.
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$,यह $\frac{1 - \tan B}{1 + \tan B} = \tan(\frac{\pi}{4} - B)$ हो जाता है।
$A = \frac{\pi}{4} - B$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\tan A$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $\cos \alpha + \cos \beta = \frac{1}{3} \dots (i)$ और $\sin \alpha + \sin \beta = \frac{1}{4} \dots (ii)$.
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{1}{3} \dots (iii)$
$2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{1}{4} \dots (iv)$
$(iv)$ को $(iii)$ से विभाजित करने पर,$\tan \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अब,$\cos (\alpha+\beta) = \frac{1 - \tan^2 \frac{\alpha+\beta}{2}}{1 + \tan^2 \frac{\alpha+\beta}{2}} = \frac{1 - (3/4)^2}{1 + (3/4)^2} = \frac{7/16}{25/16} = \frac{7}{25}$.

(B) माना $\frac{x}{\cos \alpha} = \frac{y}{\cos \left(\frac{2 \pi}{3} - \alpha\right)} = \frac{z}{\cos \left(\frac{2 \pi}{3} + \alpha\right)} = k$.
अतः,$x = k \cos \alpha$,$y = k \cos \left(\frac{2 \pi}{3} - \alpha\right)$,और $z = k \cos \left(\frac{2 \pi}{3} + \alpha\right)$.
अब,$x + y + z = k \left[ \cos \alpha + \cos \left(\frac{2 \pi}{3} - \alpha\right) + \cos \left(\frac{2 \pi}{3} + \alpha\right) \right]$.
सूत्र $\cos(A - B) + \cos(A + B) = 2 \cos A \cos B$ का उपयोग करने पर:
$x + y + z = k \left[ \cos \alpha + 2 \cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right) \cos \alpha \right]$.
चूंकि $\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$,इसलिए:
$x + y + z = k \left[ \cos \alpha + 2 \left(-\frac{1}{2}\right) \cos \alpha \right] = k [\cos \alpha - \cos \alpha] = 0$.

(A) दिया गया है कि $(1+\tan \alpha)(1+\tan 4 \alpha)=2$ जहाँ $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{16}\right)$ है।
व्यंजक का विस्तार करने पर: $1 + \tan \alpha + \tan 4 \alpha + \tan \alpha \tan 4 \alpha = 2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\tan \alpha + \tan 4 \alpha = 1 - \tan \alpha \tan 4 \alpha$.
दोनों पक्षों को $(1 - \tan \alpha \tan 4 \alpha)$ से विभाजित करने पर: $\frac{\tan \alpha + \tan 4 \alpha}{1 - \tan \alpha \tan 4 \alpha} = 1$.
सर्वसमिका $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर: $\tan(\alpha + 4 \alpha) = 1$.
यह सरल होकर: $\tan(5 \alpha) = 1$ हो जाता है।
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$,इसलिए $5 \alpha = \frac{\pi}{4} + n\pi$ है।
$\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{16}\right)$ के लिए,$n=0$ लेने पर,$5 \alpha = \frac{\pi}{4}$,जिससे $\alpha = \frac{\pi}{20}$ प्राप्त होता है।

(A) $\sin (A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ सूत्र का उपयोग करके व्यंजक का विस्तार करें:
$\cos \alpha (\sin \beta \cos \gamma - \cos \beta \sin \gamma) + \cos \beta (\sin \gamma \cos \alpha - \cos \gamma \sin \alpha) + \cos \gamma (\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta)$
पदों का विस्तार करने पर:
$\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma - \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma + \cos \beta \sin \gamma \cos \alpha - \cos \beta \cos \gamma \sin \alpha + \cos \gamma \sin \alpha \cos \beta - \cos \gamma \cos \alpha \sin \beta$
सभी पद एक-दूसरे से कट जाते हैं,अतः परिणाम $0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $\cos (\alpha+\beta) = \frac{4}{5}$। चूँकि $0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $0 < \alpha+\beta < \frac{\pi}{2}$,अतः $\tan (\alpha+\beta) = \frac{3}{4}$।
दिया गया है कि $\sin (\alpha-\beta) = \frac{5}{13}$। चूँकि $0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $-\frac{\pi}{4} < \alpha-\beta < \frac{\pi}{4}$,अतः $\tan (\alpha-\beta) = \frac{5}{12}$।
अब,$\tan 2\alpha = \tan [(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)]$।
सूत्र $\tan (A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan 2\alpha = \frac{\frac{3}{4} + \frac{5}{12}}{1 - (\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{12})}$
$\tan 2\alpha = \frac{\frac{9+5}{12}}{1 - \frac{15}{48}} = \frac{\frac{14}{12}}{\frac{48-15}{48}} = \frac{14}{12} \cdot \frac{48}{33} = \frac{14 \cdot 4}{33} = \frac{56}{33}$.

(B) माना शीर्ष $A, B, C$ हैं ताकि $\angle A = 90^{\circ}$ और $AB = AC = a$ हो। माना $D, AC$ का मध्य बिंदु है। तब $AD = DC = \frac{a}{2}$ होगा।
$\triangle ADB$ में,$\angle DAB = 90^{\circ}$ है। माना $\angle ABD = \alpha$ है। तब $\cot \alpha = \frac{AB}{AD} = \frac{a}{a/2} = 2$ होगा।
माना $\angle DBC = \beta$ है। चूंकि $\angle ABC = 45^{\circ}$ है,इसलिए $\alpha + \beta = 45^{\circ}$ होगा।
सूत्र $\cot(\alpha + \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta - 1}{\cot \alpha + \cot \beta}$ का उपयोग करने पर,हमें $\cot 45^{\circ} = 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{2 \cot \beta - 1}{2 + \cot \beta} = 1$ $\Rightarrow 2 \cot \beta - 1 = 2 + \cot \beta$ $\Rightarrow \cot \beta = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,दो कोणों के कोटैंजेंट $2$ और $3$ हैं।

(C) दिया गया है: $\sin \theta_1+\sin \theta_2=-\frac{21}{65}$ और $\cos \theta_1+\cos \theta_2=-\frac{27}{65}$.
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\sin \theta_1+\sin \theta_2)^2 + (\cos \theta_1+\cos \theta_2)^2 = \left(-\frac{21}{65}\right)^2 + \left(-\frac{27}{65}\right)^2$
$1 + 1 + 2 \cos(\theta_1 - \theta_2) = \frac{1170}{4225}$
$2(1 + \cos(\theta_1 - \theta_2)) = \frac{18}{65}$
$4 \cos^2 \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = \frac{18}{65}$
$\cos^2 \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = \frac{9}{130}$
$\cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = -\frac{3}{\sqrt{130}}$.

(B) दिया है,$\frac{\sin(x+y)}{\sin(x-y)} = \frac{a+b}{a-b}$
योगान्तरानुपात (Componendo and Dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin(x+y) + \sin(x-y)}{\sin(x+y) - \sin(x-y)} = \frac{(a+b) + (a-b)}{(a+b) - (a-b)}$
विस्तार सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\frac{2 \sin x \cos y}{2 \cos x \sin y} = \frac{2a}{2b}$
$\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos y}{\sin y} = \frac{a}{b}$
$\frac{\tan x}{\tan y} = \frac{a}{b}$

(D) दिया है,$\sin A = \frac{11}{61}$. चूंकि $A$ प्रथम चतुर्थांश में नहीं है और $\sin A > 0$ है,इसलिए $A$ द्वितीय चतुर्थांश में है। अतः,$\cos A = -\frac{60}{61}$.
दिया है,$\cos B = \frac{-7}{25}$. चूंकि $B$ द्वितीय चतुर्थांश में नहीं है और $\cos B < 0$ है,इसलिए $B$ तृतीय चतुर्थांश में है। अतः,$\sin B = -\frac{24}{25}$.
$A-B$ के लिए:
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B = \frac{-1517}{1525} < 0$.
$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B = \frac{156}{1525} > 0$.
अतः $A-B$ चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है।
$A+B$ के लिए:
$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B = \frac{1363}{1525} > 0$.
$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B = \frac{684}{1525} > 0$.
अतः $A+B$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।