Mean and Median Questions in Hindi

(B) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग सूत्र $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
समांतर माध्य को संख्याओं के योग को कुल संख्या $n$ से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
अतः,$\text{Arithmetic Mean} = \frac{S_n}{n} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n} = \frac{n+1}{2}$.

(B) किसी श्रेणी का माध्य पदों के योग को पदों की संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
दी गई श्रेणी: $a, a + nd, a + 2nd$ है।
पदों की संख्या = $3$ है।
माध्य = $\frac{a + (a + nd) + (a + 2nd)}{3}$
माध्य = $\frac{3a + 3nd}{3}$
माध्य = $a + nd$.

(C) प्रेक्षणों का माध्य,प्रेक्षणों के योग को प्रेक्षणों की कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
दिए गए प्रेक्षण $3, 4, x, 7, 10$ हैं और माध्य $6$ है।
प्रेक्षणों की कुल संख्या $n = 5$ है।
प्रेक्षणों का योग $= 3 + 4 + x + 7 + 10 = 24 + x$.
माध्य $= \frac{\text{प्रेक्षणों का योग}}{n} = \frac{24 + x}{5}$.
दिया गया है कि माध्य $6$ है,इसलिए:
$6 = \frac{24 + x}{5}$
$30 = 24 + x$
$x = 30 - 24$
$x = 6$.

(C) मान लीजिए कि संख्याओं का समूह $x_1, x_2, \dots, x_n$ है। माध्य $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $\sum_{i=1}^{n} x_i = n\bar{x}$।
यदि प्रत्येक संख्या को $\lambda$ से गुणा किया जाता है,तो संख्याओं का नया समूह $\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n$ होगा।
नया माध्य $\frac{\sum_{i=1}^{n} \lambda x_i}{n} = \frac{\lambda \sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$ है।
$\sum x_i = n\bar{x}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें नया माध्य $\frac{\lambda (n\bar{x})}{n} = \lambda \bar{x}$ प्राप्त होता है।

(A) $n$ असतत प्रेक्षणों $y_1, y_2, \ldots, y_n$ का माध्य सभी प्रेक्षणों के योग को प्रेक्षणों की कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$\text{माध्य} = \frac{y_1 + y_2 + \ldots + y_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^n y_i}{n}$.

(B) कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके माध्य का सूत्र इस प्रकार है:
${M_g} = a + \frac{1}{{\sum {f_i}}}(\sum {f_i}{d_i})$
जहाँ $a$ कल्पित माध्य है।
दिए गए समीकरण ${M_g} = x + \frac{1}{{\sum {f_i}}}(\sum {f_i}{d_i})$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = a$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$ कल्पित माध्य को दर्शाता है।

(A) दिया गया है कि $27 + x, 31 + x, 89 + x, 107 + x, 156 + x$ का माध्य $82$ है।
$\frac{(27 + x) + (31 + x) + (89 + x) + (107 + x) + (156 + x)}{5} = 82$
$\frac{410 + 5x}{5} = 82$
$82 + x = 82$
$x = 0$
अब,हमें $130 + x, 126 + x, 68 + x, 50 + x, 1 + x$ का माध्य ज्ञात करना है।
माध्य $= \frac{(130 + x) + (126 + x) + (68 + x) + (50 + x) + (1 + x)}{5}$
माध्य $= \frac{375 + 5x}{5} = 75 + x$
चूंकि $x = 0$,इसलिए माध्य $75 + 0 = 75$ है।

(D) दिया गया है कि $x_1, x_2, ..., x_n$ का समांतर माध्य $\bar{x}$ है,इसलिए $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$,जिसका अर्थ है कि $\sum_{i=1}^{n} x_i = n \bar{x}$।
संख्याओं $ax_1 + b, ax_2 + b, ..., ax_n + b$ का आवश्यक माध्य इस प्रकार है:
$\text{माध्य} = \frac{(ax_1 + b) + (ax_2 + b) + ... + (ax_n + b)}{n}$
$= \frac{a(x_1 + x_2 + ... + x_n) + nb}{n}$
$= a \left( \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \right) + \frac{nb}{n}$
$= a \bar{x} + b$

(C) मान लीजिए कि $n$ प्रेक्षण $x_1, x_2, \dots, x_n$ हैं।
इन प्रेक्षणों के व्युत्क्रम $\frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2}, \dots, \frac{1}{x_n}$ हैं।
इन व्युत्क्रमों का माध्य $\frac{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}}{n}$ है।
इस माध्य का व्युत्क्रम $\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}}$ होता है।
यह व्यंजक $n$ प्रेक्षणों के हरात्मक माध्य $(H.M.)$ की परिभाषा है।

(D) माध्य $\bar{x}$ का सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ है।
यहाँ,मान $x_i$ $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{n}$ हैं और उनकी संगत आवृत्तियाँ $f_i$ $1, 2, 3, \dots, n$ हैं।
गुणनफलों का योग $\sum f_i x_i = (1 \times 1) + (2 \times \frac{1}{2}) + (3 \times \frac{1}{3}) + \dots + (n \times \frac{1}{n}) = 1 + 1 + 1 + \dots + 1$ ($n$ बार) $= n$ है।
आवृत्तियों का योग $\sum f_i = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ है।
अतः,माध्य $\bar{x} = \frac{n}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2n}{n(n+1)} = \frac{2}{n+1}$ है।

(B) माना कि पहले $10$ अवलोकनों का योग $S_1$ है और शेष $30$ अवलोकनों का योग $S_2$ है।
दिया गया है कि पहले $10$ अवलोकनों का औसत $4.5$ है,इसलिए:
$S_1 = 10 \times 4.5 = 45$
दिया गया है कि शेष $30$ अवलोकनों का औसत $3.5$ है,इसलिए:
$S_2 = 30 \times 3.5 = 105$
सभी $40$ अवलोकनों का कुल योग $S = S_1 + S_2 = 45 + 105 = 150$ है।
पूरे समूह का औसत $\frac{S}{40} = \frac{150}{40} = \frac{15}{4}$ है।

(A) $3$ विषयों में प्राप्त प्रतिशत का योग $75 + 80 + 85 = 240$ है।
मान लीजिए कि चौथे विषय में प्रतिशत $x$ है,जहाँ $0 \le x \le 100$ है।
$4$ विषयों का औसत $\frac{240 + x}{4} = 60 + \frac{x}{4}$ है।
चूंकि $x$ का न्यूनतम संभव मान $0$ है,इसलिए न्यूनतम औसत $\frac{240 + 0}{4} = 60\%$ है।
अतः,औसत $60\%$ से कम नहीं हो सकता है।

(B) दिया गया है,$\frac{\Sigma x_i}{50} = 38$,इसलिए $\Sigma x_i = 50 \times 38 = 1900$.
दो संख्याओं $55$ और $45$ को हटाने के बाद,शेष $48$ संख्याओं का नया योग $\Sigma x_{new} = 1900 - (55 + 45) = 1900 - 100 = 1800$ है।
अवलोकनों की नई संख्या $n = 50 - 2 = 48$ है।
नया $A.M.$ = $\frac{1800}{48} = 37.5$ है।

(B) माना लड़कियों के औसत अंक $x$ हैं।
कुल छात्रों की संख्या = $100$ है।
लड़कों की संख्या = $70$ है,इसलिए लड़कियों की संख्या = $100 - 70 = 30$ है।
कक्षा के कुल अंक = $100 \times 72 = 7200$ हैं।
लड़कों के कुल अंक = $70 \times 75 = 5250$ हैं।
लड़कियों के कुल अंक = $7200 - 5250 = 1950$ हैं।
लड़कियों के औसत अंक = $\frac{1950}{30} = 65$ हैं।

(B) हम जानते हैं कि माध्य $\bar x = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$,जिसका अर्थ है $\sum_{i=1}^n x_i = n\bar x$.
संख्याओं के नए समूह ${x_i} + 2i$ का माध्य इस प्रकार है:
$\text{Mean} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i + 2i)}{n} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i + 2\sum_{i=1}^n i}{n}$
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{n\bar x + 2 \times \frac{n(n+1)}{2}}{n}$
$= \frac{n\bar x + n(n+1)}{n}$
$= \bar x + (n + 1)$.

(D) कुल छात्रों की संख्या = $40 + 35 + 45 + 42 = 162$.
प्राप्त कुल अंक = $(40 \times 50) + (35 \times 60) + (45 \times 55) + (42 \times 45)$.
$= 2000 + 2100 + 2475 + 1890 = 8465$.
प्रति छात्र अंकों का कुल औसत = $\frac{8465}{162} = 52.25$.

(C) $7$ छात्रों का औसत वजन $55 \ kg$ है।
$7$ छात्रों का कुल वजन $= 55 \times 7 = 385 \ kg$.
$6$ छात्रों के वजन का योग $= 52 + 58 + 55 + 53 + 56 + 54 = 328 \ kg$.
सातवें छात्र का वजन $= 385 - 328 = 57 \ kg$.

(B) छात्रों के अंकों के आधार पर उनकी बुद्धिमत्ता का मूल्यांकन करने के लिए $Arithmetic \ mean$ (अंकगणितीय माध्य) केंद्रीय प्रवृत्ति का सबसे उपयुक्त माप है क्योंकि यह डेटा सेट में प्रत्येक व्यक्तिगत स्कोर को ध्यान में रखता है,जो समूह के समग्र प्रदर्शन को दर्शाने वाला एक व्यापक औसत प्रदान करता है।

(B) $Median$ (माध्यिका) ज्ञात करने के लिए,अवलोकनों को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें और मध्य मान की पहचान करें।
यदि अवलोकनों की संख्या विषम है,तो मध्य मान ही $Median$ होता है।
यदि अवलोकनों की संख्या सम है,तो $Median$ दो मध्य मानों का औसत होता है।
अतः,डेटा सेट के केंद्रीय मान को $Median$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।

(D) माध्यिका डेटा सेट को दो बराबर भागों में विभाजित करती है।
सांख्यिकीय रूप से:
$1$. $50^{th}$ प्रतिशतक $(P_{50})$ उस मान को दर्शाता है जिसके नीचे $50\%$ डेटा आता है,जो माध्यिका है।
$2$. $5^{th}$ दशमक $(D_5)$ $50^{th}$ प्रतिशतक को दर्शाता है,जो माध्यिका है।
$3$. $2^{nd}$ चतुर्थक $(Q_2)$ $50^{th}$ प्रतिशतक को दर्शाता है,जो माध्यिका है।
$4$. निम्न चतुर्थक $(Q_1)$ $25^{th}$ प्रतिशतक को दर्शाता है,जो माध्यिका के बराबर नहीं है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) चरण $1$: दिए गए आंकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: $6, 8, 9, 10, 11, 12, 14$.
चरण $2$: प्रेक्षणों की संख्या $(n)$ गिनें। यहाँ,$n = 7$,जो एक विषम संख्या है।
चरण $3$: जब $n$ विषम होता है,तो माध्यिका का सूत्र ${\left( \frac{n+1}{2} \right)}^{th}$ पद होता है।
चरण $4$: सूत्र में $n = 7$ रखने पर: माध्यिका = ${\left( \frac{7+1}{2} \right)}^{th}$ पद = ${\left( \frac{8}{2} \right)}^{th}$ पद = $4$ था पद।
चरण $5$: व्यवस्थित क्रम में $4$ था पद $10$ है। अतः,माध्यिका $10$ है।

(A) माध्यिका डेटा सेट को दो बराबर भागों में विभाजित करती है,जो $50^{th}$ शतमक का प्रतिनिधित्व करती है।
इसी प्रकार,द्वितीय चतुर्थक ${Q_2}$ डेटा को दो हिस्सों में बांटता है,पांचवां दशमक ${D_5}$ डेटा के $50\%$ भाग को दर्शाता है और $50^{th}$ शतमक ${P_{50}}$ परिभाषा के अनुसार वह मान है जिसके नीचे $50\%$ अवलोकन आते हैं।
इसलिए,ये सभी माप समान हैं: $M = {Q_2} = {D_5} = {P_{50}}$.

(C) एक सममित वितरण के लिए,माध्यिका प्रथम और तृतीय चतुर्थक का औसत होती है।
${Median} = \frac{{Q_1 + Q_3}}{2}$
दिया गया है कि ${Q_1} = 25$ और ${Q_3} = 45$ है।
${Median} = \frac{{25 + 45}}{2} = \frac{{70}}{2} = 35$.

(D) सबसे पहले,दिए गए $8$ मानों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें:
$\alpha - 4, \alpha - 3.5, \alpha - 3, \alpha - 2.5, \alpha - 2, \alpha - 0.5, \alpha + 0.5, \alpha + 5$
चूंकि अवलोकनों की संख्या $n = 8$ (जो एक सम संख्या है),माध्यिका $4$ थे और $5$ वें पद का औसत होगी।
$4$ था पद $= \alpha - 2.5 = \alpha - \frac{5}{2}$
$5$ वां पद $= \alpha - 2$
$\text{माध्यिका} = \frac{(\alpha - \frac{5}{2}) + (\alpha - 2)}{2}$
$\text{माध्यिका} = \frac{2\alpha - 4.5}{2} = \alpha - 2.25 = \alpha - \frac{9}{4}$

(C) असतत वितरण के लिए ऊपरी चतुर्थक $(Q_3)$ का मान $\left[ 3\frac{(n + 1)}{4} \right]^{th}$ आइटम के आकार द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,कुल आवृत्ति $(n = \Sigma f)$ की गणना करें:
$n = 2 + 4 + 5 + 8 + 7 + 3 + 2 = 31$.
सूत्र में $n = 31$ रखने पर:
$Q_3 = \left[ 3\left( \frac{31 + 1}{4} \right) \right]^{th}$ आइटम का आकार।

(D) दिया गया है कि अवलोकनों की संख्या $n = 9$ है।
$9$ अवलोकनों की माध्यिका $\left( \frac{9+1}{2} \right)^{th} = 5^{th}$ अवलोकन है।
मान लीजिए कि क्रमित अवलोकन $x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5 < x_6 < x_7 < x_8 < x_9$ हैं।
माध्यिका $x_5 = 20.5$ है।
यदि सबसे बड़े $4$ अवलोकनों $(x_6, x_7, x_8, x_9)$ को $2$ से बढ़ाया जाता है,तो नए अवलोकन $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, (x_6+2), (x_7+2), (x_8+2), (x_9+2)$ होंगे।
चूंकि $x_5$ का मान $x_6$ से छोटा है,और $x_6 < x_6+2$,इसलिए पहले $5$ अवलोकनों का क्रम अपरिवर्तित रहता है।
अतः,$5^{th}$ अवलोकन $x_5$ ही रहता है,जो $20.5$ है।
इस प्रकार,माध्यिका मूल समूह की माध्यिका के समान ही रहती है।

(A) माध्य को केंद्रीय प्रवृत्ति का सबसे स्थिर माप माना जाता है क्योंकि यह किसी दिए गए वितरण में प्रत्येक अवलोकन का उपयोग करता है,जिससे यह माध्यिका या बहुलक की तुलना में नमूना उतार-चढ़ाव के प्रति कम संवेदनशील होता है।

(C) अंकगणितीय माध्य की गणना सभी अवलोकनों को जोड़कर और कुल अवलोकनों की संख्या से विभाजित करके की जाती है।
चूंकि इसमें प्रत्येक डेटा बिंदु का मान शामिल होता है,इसलिए एक चरम मान (आउटलायर) को शामिल करने से योग में काफी बदलाव आता है,जिससे माध्य बदल जाता है।
इसके विपरीत,माध्यिका और बहुलक स्थिति-आधारित या आवृत्ति-आधारित माप हैं जो चरम मानों के प्रति अधिक स्थिर होते हैं।
इसलिए,अंकगणितीय माध्य चरम अवलोकनों से सबसे अधिक प्रभावित होता है।

(B) अवलोकनों के समूह का एक बिंदु $k$ के सापेक्ष माध्य विचलन तब न्यूनतम होता है जब $k$ अवलोकनों की माध्यिका (median) हो।
आरोही क्रम में व्यवस्थित $n$ अवलोकनों के लिए,माध्यिका मध्य पद होती है।
यहाँ,$n = 101$,जो एक विषम संख्या है।
माध्यिका का स्थान $\frac{n + 1}{2} = \frac{101 + 1}{2} = 51$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,माध्यिका $51$ वाँ अवलोकन है,जो ${x_{51}}$ है।

(B) प्रारंभिक औसत $M$,$M = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n}{n}$ द्वारा दिया गया है।
इसका अर्थ है कि $n$ संख्याओं का योग $nM = x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n$ है।
जब $x_n$ को $x'$ से प्रतिस्थापित किया जाता है,तो संख्याओं का नया योग $S' = (x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_{n-1} + x_n) - x_n + x'$ हो जाता है।
मूल संख्याओं के लिए योग $nM$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $S' = nM - x_n + x'$ प्राप्त होता है।
नया औसत नए योग को $n$ से विभाजित करने पर प्राप्त होता है,जो $\frac{nM - x_n + x'}{n}$ है।

(B) डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:

ऊँचाई ($cm$ में)	$150$	$152$	$154$	$155$	$156$	$160$	$161$
छात्रों की संख्या	$8$	$4$	$3$	$7$	$3$	$12$	$4$
संचयी आवृत्ति	$8$	$12$	$15$	$22$	$25$	$37$	$41$

यहाँ,कुल अवलोकनों की संख्या $N = 41$ है,जो एक विषम संख्या है।
अतः,माध्यक = $\left(\frac{N + 1}{2}\right)^{th}$ पद।
माध्यक = $\left(\frac{41 + 1}{2}\right)^{th} = 21^{st}$ पद।
संचयी आवृत्ति तालिका से,हम देखते हैं कि $21^{st}$ पद $155$ $cm$ है।
अतः,माध्यक $155$ $cm$ है।

(C) माना $n$ अवलोकनों का समूह $x_1, x_2, \dots, x_n$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ है।
जब प्रत्येक अवलोकन $x_i$ को $\alpha$ से विभाजित किया जाता है और $10$ जोड़ा जाता है,तो नए अवलोकन $y_i = \frac{x_i}{\alpha} + 10$ प्राप्त होते हैं।
नया माध्य $\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{\sum (\frac{x_i}{\alpha} + 10)}{n}$
$= \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{\sum x_i}{n} + \frac{\sum 10}{n}$
$= \frac{\bar{x}}{\alpha} + 10 = \frac{\bar{x} + 10\alpha}{\alpha}$.

(A) माध्यिका एक व्यवस्थित डेटा सेट का मध्य मान है। $21$ प्रेक्षणों के लिए,आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर $11$ वां पद माध्यिका होता है।
चूंकि केवल माध्यिका से बड़े प्रेक्षणों को बढ़ाया जाता है,इसलिए $11$ वां पद (स्वयं माध्यिका) अपरिवर्तित रहता है।
अतः,नई माध्यिका $40$ ही रहेगी।

(D) प्रथम तीन पदों का योग $3 \times 14 = 42$ है।
अगले दो पदों का योग $2 \times 18 = 36$ है।
सभी पाँच पदों का कुल योग $42 + 36 = 78$ है।
सभी पाँच पदों का माध्य $\frac{78}{5} = 15.6$ है।
अतः,अभीष्ट माध्य $15.6$ है।

(C) $n$ प्रेक्षणों का योग $= n\bar{x}$ है।
$n - 4$ प्रेक्षणों का योग $K$ दिया गया है।
शेष $4$ प्रेक्षणों का योग $= n\bar{x} - K$ होगा।
अतः,शेष $4$ प्रेक्षणों का माध्य $= \frac{n\bar{x} - K}{4}$ होगा।

(B) सबसे पहले,दी गई संख्याओं को आरोही क्रम (ascending order) में व्यवस्थित करें:
$6, 8, 9, 10, 11, 12, 14$
यहाँ पदों की संख्या $n = 7$ है,जो कि विषम (odd) है।
विषम संख्या के लिए माध्यिका का सूत्र $\left(\frac{n+1}{2}\right)$ वाँ पद है।
माध्यिका $= \left(\frac{7+1}{2}\right)$ वाँ पद $= 4$ था पद।
आरोही क्रम में $4$ था पद $10$ है।

(A) आवृत्ति वितरण का माध्य $\bar{x}$ ज्ञात करने का सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ है।
सबसे पहले,$\sum f_i x_i$ की गणना करें:
$\sum f_i x_i = (3 \times 1) + (6 \times 2) + (9 \times 3) + (12 \times 4)$
$= 3 + 12 + 27 + 48 = 90$.
इसके बाद,$\sum f_i$ की गणना करें:
$\sum f_i = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$.
अंत में,माध्य ज्ञात करें:
$\bar{x} = \frac{90}{10} = 9$.

(C) कुल छात्रों की संख्या $N = 100$ है।
सभी छात्रों के औसत अंक $\bar{X} = 72$ हैं।
सभी छात्रों के कुल अंक $= 100 \times 72 = 7200$ हैं।
लड़कों की संख्या $n_1 = 70$ है।
लड़कों के औसत अंक $\bar{X}_1 = 75$ हैं।
लड़कों के कुल अंक $= 70 \times 75 = 5250$ हैं।
लड़कियों की संख्या $n_2 = 100 - 70 = 30$ है।
लड़कियों के कुल अंक $= 7200 - 5250 = 1950$ हैं।
लड़कियों के औसत अंक $\bar{X}_2 = \frac{1950}{30} = 65$ हैं।

(A) दिए गए मानों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:
$\alpha - \frac{7}{2}, \alpha - 3, \alpha - \frac{5}{2}, \alpha - 2, \alpha - \frac{1}{2}, \alpha + \frac{1}{2}, \alpha + 4, \alpha + 5$
यहाँ प्रेक्षणों की संख्या $n = 8$ (सम) है।
माध्यिका $= \frac{1}{2} [(\alpha - 2) + (\alpha - \frac{1}{2})] = \frac{1}{2} [2\alpha - \frac{5}{2}] = \alpha - \frac{5}{4}$.

(A) प्रथम $n$ वर्गों का माध्य $\frac{\sum_{i=1}^{n} i^2}{n} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि माध्य $\frac{46n}{11}$ है,इसलिए:
$\frac{(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{46n}{11}$
$11(2n^2 + 3n + 1) = 276n$
$22n^2 + 33n + 11 = 276n$
$22n^2 - 243n + 11 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(n - 11)(22n - 1) = 0$
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 11$.

(C) सबसे पहले,अवलोकनों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और संचयी आवृत्ति $(c.f.)$ की गणना करें:

$x_i$	$3$	$6$	$7$	$10$	$12$	$15$
$f_i$	$3$	$4$	$13$	$2$	$8$	$10$
$c.f.$	$3$	$7$	$20$	$22$	$30$	$40$

यहाँ,$N = 40$,जो सम है।
माध्यक $= \frac{(\frac{N}{2})^{th} \text{ पद} + (\frac{N}{2} + 1)^{th} \text{ पद}}{2}$.
माध्यक $= \frac{20^{th} \text{ पद} + 21^{st} \text{ पद}}{2}$.
तालिका से,$20^{th}$ पद $7$ है और $21^{st}$ पद $10$ है।
माध्यक $= \frac{7 + 10}{2} = \frac{17}{2} = 8.5$.

(B) $50$ प्रेक्षणों का योग $= 36 \times 50 = 1800$।
दो प्रेक्षणों $30$ और $42$ को हटाने के बाद,शेष $48$ प्रेक्षणों का योग है:
योग $= 1800 - (30 + 42) = 1800 - 72 = 1728$।
अभीष्ट माध्य $= \frac{1728}{48} = 36$।

(B) दिए गए प्रेक्षण $29, 32, 48, 50, x, x + 2, 72, 78, 84, 95$ हैं।
प्रेक्षणों की कुल संख्या $n = 10$ है,जो एक सम संख्या है।
सम संख्या के लिए,माध्यिका $\left(\frac{n}{2}\right)$ वें और $\left(\frac{n}{2} + 1\right)$ वें पद का औसत होती है।
यहाँ,$5$ वां पद $x$ है और $6$ ठां पद $x + 2$ है।
माध्यिका $= \frac{x + (x + 2)}{2} = 63$.
$\frac{2x + 2}{2} = 63$.
$x + 1 = 63$.
$x = 62$.

(B) अनुक्रम $^{2n}C_0, ^{2n}C_1, ^{2n}C_2, \dots, ^{2n}C_n$ है।
अनुक्रम में पदों की संख्या $n + 1$ है।
चूंकि $n$ सम है,इसलिए $n + 1$ विषम है।
विषम संख्या वाले अनुक्रम की माध्यिका $\frac{N+1}{2}$ वें स्थान पर स्थित पद होता है।
यहाँ,$N = n + 1$,इसलिए माध्यिका $\frac{(n+1)+1}{2} = \frac{n+2}{2} = \frac{n}{2} + 1$ वें स्थान पर स्थित पद है।
अनुक्रम $^{2n}C_0, ^{2n}C_1, \dots, ^{2n}C_n$ में $\frac{n}{2} + 1$ वें स्थान पर स्थित पद $^{2n}C_{n/2}$ है।

(A) तीन विषयों में प्राप्त कुल अंक $300$ में से $= 75 + 80 + 85 = 240$ हैं।
यदि चौथे विषय के अंक जोड़ दिए जाएं,तो कुल अंक $400$ में से होंगे।
न्यूनतम संभावित औसत ज्ञात करने के लिए,हम मानते हैं कि छात्र चौथे विषय में $0$ अंक प्राप्त करता है।
न्यूनतम औसत प्रतिशत $= \frac{240 + 0}{400} \times 100 = \frac{240}{400} \times 100 = 60\%$.

(A) चरण-$1$: माध्यिका की स्थिति ज्ञात करना।
$n = 9$ अवलोकनों के लिए (जहाँ $n$ विषम है),माध्यिका $\frac{n+1}{2}$ वाँ पद है।
माध्यिका $= \frac{9+1}{2} = 5$ वाँ पद।
चरण-$2$: परिवर्तन के प्रभाव का विश्लेषण करना।
चार सबसे बड़े अवलोकन $6$ठा,$7$वाँ,$8$वाँ और $9$वाँ पद हैं।
चूंकि ये पद $5$वें पद से बड़े हैं,इसलिए इनमें $2$ की वृद्धि करने से $5$वें पद के मान या स्थिति में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
चरण-$3$: निष्कर्ष।
चूंकि $5$वाँ पद अपरिवर्तित रहता है,इसलिए नए सेट की माध्यिका मूल माध्यिका $20.5$ के समान ही रहेगी।

(A) माध्य $\bar{x}$ की गणना $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ सूत्र का उपयोग करके की जाती है।
सबसे पहले,$\sum f_i = 12 + 18 + 27 + 20 + 17 + 6 = 100$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$\sum f_i x_i = (12 \times 5) + (18 \times 15) + (27 \times 25) + (20 \times 35) + (17 \times 45) + (6 \times 55)$ ज्ञात करें।
$\sum f_i x_i = 60 + 270 + 675 + 700 + 765 + 330 = 2800$.
अतः,$\bar{x} = \frac{2800}{100} = 28$.

(B) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का माध्य $\frac{n + 1}{2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि माध्य $\frac{n + 7}{3}$ है,इसलिए:
$\frac{n + 1}{2} = \frac{n + 7}{3}$
वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$3(n + 1) = 2(n + 7)$
$3n + 3 = 2n + 14$
$3n - 2n = 14 - 3$
$n = 11$

(D) माध्य की गणना सूत्र $\text{Mean} = \frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i}$ का उपयोग करके की जाती है।
दिए गए मान $x_i = \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{n}\}$ और आवृत्तियाँ $f_i = \{1, 2, 3, \dots, n\}$ हैं।
गुणनफलों का योग $\sum x_i f_i = (1 \times 1) + (\frac{1}{2} \times 2) + (\frac{1}{3} \times 3) + \dots + (\frac{1}{n} \times n) = 1 + 1 + 1 + \dots + 1$ ($n$ बार) $= n$.
आवृत्तियों का योग $\sum f_i = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$.
अतः,$\text{Mean} = \frac{n}{\frac{n(n + 1)}{2}} = \frac{2n}{n(n + 1)} = \frac{2}{n + 1}$.