Mean and Median Questions in Hindi

(B) मूल समूह में $19$ प्रेक्षण हैं,इसलिए आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर माध्यिका $10$वाँ प्रेक्षण है।
जब $8$ और $32$ के दो नए प्रेक्षण जोड़े जाते हैं,तो प्रेक्षणों की कुल संख्या $21$ हो जाती है।
नई माध्यिका $\frac{21+1}{2} = 11$वाँ प्रेक्षण होगी।
चूँकि $8 < 30$ और $32 > 30$ है,इसलिए मूल $10$वाँ प्रेक्षण (जो $30$ है) नए समूह की माध्यिका बना रहेगा क्योंकि एक छोटा मान बाईं ओर और एक बड़ा मान दाईं ओर जोड़ा गया है,जिससे माध्यिका का स्थान तो बदलता है लेकिन मान वही रहता है।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या का भार $W$ है।
भारित माध्य का सूत्र इस प्रकार है:
$\text{भारित माध्य} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (i \times W)}{\sum_{i=1}^{n} W}$
$= \frac{W(1 + 2 + 3 + ... + n)}{n \times W}$
$= \frac{\frac{n(n + 1)}{2}}{n}$
$= \frac{n + 1}{2}$

(D) भारित माध्य $(W.M.)$ की गणना करने का सूत्र है:
$W.M. = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) यहाँ $N = \Sigma f_i = 4 + 5 + 6 + 10 + 20 = 45$.
$\Sigma f_i x_i = (5 \times 4) + (8 \times 5) + (11 \times 6) + (14 \times 10) + (17 \times 20)$
$= 20 + 40 + 66 + 140 + 340 = 606$.
$\therefore \bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{N} = \frac{606}{45} = 13.466... \approx 13.47$.

(B) माध्यक ज्ञात करने के लिए,हम पहले संचयी बारंबारता $(c.f.)$ की गणना करते हैं:

वर्ग	$f_i$	$c.f.$
$0 - 10$	$8$	$8$
$10 - 20$	$30$	$38$
$20 - 30$	$40$	$78$
$30 - 40$	$12$	$90$
$40 - 50$	$10$	$100$

यहाँ,$N = 100$,इसलिए $\frac{N}{2} = \frac{100}{2} = 50$.
$50$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $78$ है,जो वर्ग अंतराल $20 - 30$ के संगत है।
अतः,माध्यक वर्ग $20 - 30$ है।
यहाँ,$l = 20$,$f = 40$,$F = 38$,और $h = 10$.
माध्यक $= l + \left( \frac{\frac{N}{2} - F}{f} \right) \times h$
$= 20 + \left( \frac{50 - 38}{40} \right) \times 10$
$= 20 + \left( \frac{12}{40} \right) \times 10$
$= 20 + 3 = 23$.

(B) भारित माध्य का सूत्र $\bar{x}_w = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$ है।
दिए गए भार $(w_i)$ $2, 1, 1, 2$ हैं और अंक $(x_i)$ $60, 70, 70, 80$ हैं।
भारित माध्य $= \frac{(2 \times 60) + (1 \times 70) + (1 \times 70) + (2 \times 80)}{2 + 1 + 1 + 2}$.
$= \frac{120 + 70 + 70 + 160}{6}$.
$= \frac{420}{6} = 70$.

(B) दिया गया है कि $x_1, x_2, \dots, x_{10}$ का माध्य $20$ है,इसलिए:
$\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_{10}}{10} = 20 \implies \sum_{i=1}^{10} x_i = 200$
प्रेक्षणों का नया समूह $(x_1 + 4), (x_2 + 8), \dots, (x_{10} + 40)$ है।
नए समूह का माध्य:
$\text{माध्य} = \frac{(x_1 + 4) + (x_2 + 8) + \dots + (x_{10} + 40)}{10}$
$\text{माध्य} = \frac{(x_1 + x_2 + \dots + x_{10}) + (4 + 8 + \dots + 40)}{10}$
$\text{माध्य} = \frac{\sum x_i}{10} + \frac{4(1 + 2 + \dots + 10)}{10}$
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर,$\sum_{k=1}^{10} k = \frac{10 \times 11}{2} = 55$ प्राप्त होता है।
$\text{माध्य} = 20 + \frac{4 \times 55}{10} = 20 + \frac{220}{10} = 20 + 22 = 42$.

(C) दो श्रेणियों,जिनके माध्य $\bar{X}_1$ और $\bar{X}_2$ हैं और आकार $n_1$ और $n_2$ हैं,का संयुक्त माध्य $\bar{X}$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\bar{X} = \frac{n_1 \bar{X}_1 + n_2 \bar{X}_2}{n_1 + n_2}$
चूँकि $\bar{X}$,$\bar{X}_1$ और $\bar{X}_2$ का भारित औसत है,इसलिए यह इन दोनों मानों के बीच स्थित होगा।
चूँकि $\bar{X}_1 < \bar{X}_2$ दिया गया है,इसलिए $\bar{X}_1 < \bar{X} < \bar{X}_2$ होगा।

(C) माना प्रत्येक छात्र की आयु $x$ वर्ष है। तो शिक्षक की आयु $(x + 20)$ वर्ष होगी।
औसत आयु का सूत्र है:
$\frac{(x + 20) + 3x}{4} = 20$
$x$ के लिए हल करने पर:
$4x + 20 = 80$
$4x = 60$
$x = 15$
अतः,शिक्षक की आयु $x + 20 = 15 + 20 = 35$ वर्ष है।

(B) भारित माध्य $\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} i \cdot i^2}{\sum_{i=1}^{n} i^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यह $\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} i^3}{\sum_{i=1}^{n} i^2}$ में सरल हो जाता है।
मानक योग सूत्रों $\sum i^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ और $\sum i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$\bar{x}_w = \frac{[n(n+1)/2]^2}{n(n+1)(2n+1)/6} = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \cdot \frac{6}{n(n+1)(2n+1)}$.
व्यंजक को सरल करने पर,हमें $\bar{x}_w = \frac{3n(n+1)}{2(2n+1)}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि व्यक्ति प्रत्येक प्रकार के पेन पर $x$ Rs खर्च करता है।
$5$ Rs/पेन की दर से खरीदे गए पेन की संख्या $\frac{x}{5}$ है।
$10$ Rs/पेन की दर से खरीदे गए पेन की संख्या $\frac{x}{10}$ है।
$20$ Rs/पेन की दर से खरीदे गए पेन की संख्या $\frac{x}{20}$ है।
कुल लागत = $x + x + x = 3x$।
पेन की कुल संख्या = $\frac{x}{5} + \frac{x}{10} + \frac{x}{20} = \frac{4x + 2x + x}{20} = \frac{7x}{20}$।
प्रति पेन औसत लागत = $\frac{\text{कुल लागत}}{\text{पेन की कुल संख्या}} = \frac{3x}{\frac{7x}{20}} = 3x \times \frac{20}{7x} = \frac{60}{7}$ Rs/पेन।

(D) मान लीजिए $n$ संख्याओं का समूह $x_1, x_2, ..., x_n$ है।
माध्य $\bar x = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$ द्वारा दिया जाता है।
यदि प्रत्येक संख्या से $\lambda$ घटाया जाता है,तो नया समूह $(x_1 - \lambda), (x_2 - \lambda), ..., (x_n - \lambda)$ बन जाता है।
नया माध्य $\bar x_{new} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \lambda)$ है।
यह $\frac{1}{n} (\sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} \lambda) = \frac{1}{n} (\sum_{i=1}^{n} x_i - n\lambda)$ में सरल हो जाता है।
अतः,$\bar x_{new} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i - \frac{n\lambda}{n} = \bar x - \lambda$.

(D) $n$ सम अवलोकनों वाली श्रृंखला के लिए,डेटा को पहले आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है।
चूंकि $n$ सम है,इसलिए श्रृंखला में दो मध्य पद होते हैं जो $(\frac{n}{2})$-वें स्थान और $(\frac{n}{2}+1)$-वें स्थान पर होते हैं।
माध्यिका की गणना इन दो मध्य पदों के औसत (माध्य) के रूप में की जाती है।
अतः,$\text{माध्यिका} = \frac{(\frac{n}{2}\text{-वां पद}) + ((\frac{n}{2}+1)\text{-वां पद})}{2}$.

(C) संख्याओं के समूह का माध्य,संख्याओं के योग को उनकी कुल संख्या से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।
दूसरे समूह के लिए,संख्याओं का योग $130 + 126 + 68 + 50 + 1 = 375$ है।
संख्याओं की कुल संख्या $5$ है।
अतः,माध्य $\frac{375}{5} = 75$ है।

(B) पाँच प्रेक्षणों का माध्य इस प्रकार है:
$\frac{x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) + (x + 8)}{5} = 11$
अंश को सरल करने पर:
$\frac{5x + 20}{5} = 11$
$x + 4 = 11$
$x = 7$
अंतिम तीन प्रेक्षण $(x + 4), (x + 6)$ और $(x + 8)$ हैं।
$x = 7$ रखने पर,ये $11, 13$ और $15$ प्राप्त होते हैं।
अंतिम तीन प्रेक्षणों का माध्य:
$\frac{11 + 13 + 15}{3} = \frac{39}{3} = 13$

(B) किसी बंटन का माध्य विचलन तब न्यूनतम होता है जब इसे बंटन की माध्यिका (median) के सापेक्ष लिया जाता है।
यहाँ प्रेक्षण $x_1 < x_2 < \dots < x_{101}$ दिए गए हैं,जहाँ कुल प्रेक्षणों की संख्या $n = 101$ है।
$n$ प्रेक्षणों की माध्यिका $\left( \frac{n+1}{2} \right)$ वाँ प्रेक्षण होता है।
$n = 101$ के लिए,माध्यिका $\left( \frac{101+1}{2} \right) = 51$ वाँ प्रेक्षण है।
अतः,$k = x_{51}$।

(B) दिया गया है कि $x_1, x_2, ......., x_n$ का माध्य $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$ है।
माना नई श्रेणी $y_i = x_i + 2i$ है,जहाँ $i = 1, 2, ......., n$ है।
नई श्रेणी का माध्य $\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i + 2i)$ होगा।
$\bar{y} = \frac{1}{n} (\sum_{i=1}^{n} x_i + 2 \sum_{i=1}^{n} i)$।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\bar{y} = \frac{\sum x_i}{n} + \frac{2}{n} \times \frac{n(n+1)}{2}$।
$\bar{y} = \bar{x} + (n+1)$।

(A) माध्यिका ज्ञात करने के लिए,हम पहले संचयी आवृत्ति तालिका बनाते हैं:

प्राप्त अंक	आवृत्ति $(f)$	संचयी आवृत्ति $(cf)$
$0-10$	$2$	$2$
$10-20$	$18$	$20$
$20-30$	$30$	$50$
$30-40$	$45$	$95$
$40-50$	$35$	$130$
$50-60$	$20$	$150$
$60-70$	$6$	$156$
$70-80$	$3$	$159$

यहाँ,$N = \sum f = 159$.
हम $\frac{N}{2} = \frac{159}{2} = 79.5$ की गणना करते हैं।
$79.5$ से ठीक बड़ी संचयी आवृत्ति $95$ है,जो वर्ग $30-40$ के अंतर्गत आती है।
अतः,माध्यिका वर्ग $30-40$ है।
यहाँ,$l = 30$,$f = 45$,$cf = 50$,और $h = 10$ है।
माध्यिका का सूत्र: $\text{Median} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{Median} = 30 + \left( \frac{79.5 - 50}{45} \right) \times 10$
$\text{Median} = 30 + \left( \frac{29.5}{45} \right) \times 10 = 30 + \frac{295}{45} = 36.56$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) हम जानते हैं कि माध्य $\mu$ को $\mu = \frac{\sum f_i y_i}{\sum f_i}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका अर्थ है $\sum f_i y_i = \mu \sum f_i$।
अब,व्यंजक $\sum f_i(y_i - \mu)$ पर विचार करें।
योग का विस्तार करने पर,हमें $\sum f_i y_i - \sum f_i \mu$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\mu$ एक स्थिरांक है,यह $\sum f_i y_i - \mu \sum f_i$ हो जाता है।
$\sum f_i y_i = \mu \sum f_i$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\mu \sum f_i - \mu \sum f_i = 0$ प्राप्त होता है।

(C) अनुक्रम में $34$ पद हैं। माध्यिका $17$ वें और $18$ वें पद का औसत है।
दिया गया है कि $x_1 = x_2 = \dots = x_{10} = 150$.
$i \ge 10$ के लिए,अनुक्रम $x_{i+1} = x_i - 2$ का पालन करता है,जो एक समांतर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = x_{10} = 150$ और सार्व अंतर $d = -2$ है।
इस श्रेणी का $n$ वाँ पद ($i=10$ से शुरू होकर) $x_{10+k} = 150 + k(-2)$ है।
$17$ वें पद के लिए,$10+k = 17 \implies k = 7$,इसलिए $x_{17} = 150 + 7(-2) = 136$.
$18$ वें पद के लिए,$10+k = 18 \implies k = 8$,इसलिए $x_{18} = 150 + 8(-2) = 134$.
माध्यिका $\frac{x_{17} + x_{18}}{2} = \frac{136 + 134}{2} = \frac{270}{2} = 135$ है।

(B) भारित $A.M.$ का सूत्र $\frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$ है।
यहाँ,भार $(w_i)$ $2, 1, 1, 2$ हैं और अंक $(x_i)$ $60, 70, 70, 80$ हैं।
भारित $A.M. = \frac{(2 \times 60) + (1 \times 70) + (1 \times 70) + (2 \times 80)}{2 + 1 + 1 + 2}$
$= \frac{120 + 70 + 70 + 160}{6}$
$= \frac{420}{6} = 70$.

(B) सबसे पहले,डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और संचयी आवृत्ति $(cf)$ की गणना करें:

ऊंचाई ($cm$ में)	$150$	$152$	$154$	$155$	$156$	$160$	$161$
छात्रों की संख्या $(f)$	$8$	$4$	$3$	$7$	$3$	$12$	$4$
संचयी आवृत्ति $(cf)$	$8$	$12$	$15$	$22$	$25$	$37$	$41$

यहाँ,अवलोकनों की कुल संख्या $N = 41$ है,जो एक विषम संख्या है।
माध्यक $\left(\frac{N+1}{2}\right)$ वें अवलोकन का मान है।
माध्यक $= \left(\frac{41+1}{2}\right) = 21$ वां अवलोकन।
संचयी आवृत्ति तालिका से,हम देख सकते हैं कि $21$ वां अवलोकन उस श्रेणी में आता है जहाँ ऊंचाई $155$ है (क्योंकि $154$ के लिए $cf$ $15$ है और $155$ के लिए $cf$ $22$ है)।
अतः,माध्यक $155$ है।

(D) $13$ प्रेक्षणों के एक समूह के लिए जो घटते क्रम में व्यवस्थित हैं,माध्यिका $7^{th}$ प्रेक्षण है।
मान लीजिए प्रेक्षण $x_1 \ge x_2 \ge \dots \ge x_7 \ge \dots \ge x_{13}$ हैं।
माध्यिका $x_7 = 18.6$ है।
जब पहले दो प्रेक्षणों $(x_1, x_2)$ में वृद्धि की जाती है और अंतिम तीन प्रेक्षणों $(x_{11}, x_{12}, x_{13})$ में कमी की जाती है,तो $7^{th}$ प्रेक्षण का सापेक्ष क्रम अप्रभावित रहता है क्योंकि परिवर्तन क्रमबद्ध सूची के अंतिम सिरों पर होते हैं।
चूंकि $7^{th}$ प्रेक्षण समान रहता है,इसलिए माध्यिका अपरिवर्तित रहती है।

(C) मान लीजिए $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ $n$ अवलोकन हैं,तो मूल माध्य $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}$ है।
मान लीजिए नए अवलोकन $y_{i} = \frac{x_{i}}{\alpha} + 10$ हैं।
नया माध्य $\bar{Y}$ इस प्रकार है:
$\bar{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{i} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{x_{i}}{\alpha} + 10 \right)$
$\bar{Y} = \frac{1}{\alpha} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \right) + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} 10$
$\bar{Y} = \frac{1}{\alpha} \bar{X} + \frac{10n}{n} = \frac{\bar{X}}{\alpha} + 10$
पदों को संयोजित करने पर,हमें $\bar{Y} = \frac{\bar{X} + 10\alpha}{\alpha}$ प्राप्त होता है।

(D) सबसे पहले,हम संचयी बारंबारता $(c.f.)$ की गणना करते हैं:

वर्ग	$f$	$c.f.$
$10-20$	$180$	$180$
$20-30$	$82$	$262$
$30-40$	$34$	$296$
$40-50$	$180$	$476$
$50-60$	$136$	$612$
$60-70$	$23$	$635$
$70-80$	$50$	$685$

कुल बारंबारता $N = 685$.
$\frac{N}{2} = \frac{685}{2} = 342.5$.
$342.5$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $476$ है,जो वर्ग अंतराल $40-50$ के संगत है।
यहाँ,$l = 40$,$f = 180$,$cf = 296$,और $h = 10$.
माध्यिका $= l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
माध्यिका $= 40 + \left( \frac{342.5 - 296}{180} \right) \times 10$
माध्यिका $= 40 + \left( \frac{46.5}{180} \right) \times 10 = 40 + \frac{46.5}{18} = 40 + 2.5833... \approx 42.58$.

(A) दी गई $10$ संख्याएँ: $10, 22, 26, 29, 34, x, 42, 67, 70, y$ बढ़ते क्रम में हैं।
$1$. माध्य की गणना:
$\text{माध्य} = \frac{10 + 22 + 26 + 29 + 34 + x + 42 + 67 + 70 + y}{10} = 42$
$300 + x + y = 420$
$x + y = 120 \quad \dots (i)$
$2$. माध्यिका की गणना:
$10$ अवलोकनों के लिए,माध्यिका $5$ वें और $6$ वें पद का औसत है।
$\text{माध्यिका} = \frac{34 + x}{2} = 35$
$34 + x = 70$
$x = 36$
$3$. $y$ का मान:
समीकरण $(i)$ में $x = 36$ रखने पर:
$36 + y = 120$
$y = 84$
$4$. अंतिम अनुपात:
$\frac{y}{x} = \frac{84}{36} = \frac{7}{3}$

(A) बारंबारताओं का योग $\sum f_i = (x+1)^2 + (2x-5) + (x^2-3x) + x = 20$ है।
सरल करने पर,$2x^2 + 2x - 4 = 20 \Rightarrow x^2 + x - 12 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर,$(x+4)(x-3) = 0$।
चूंकि बारंबारता ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 3$ लेने पर।
बारंबारताएँ: $16, 1, 0, 3$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i} = \frac{(2 \times 16) + (3 \times 1) + (5 \times 0) + (7 \times 3)}{20} = \frac{56}{20} = 2.8$।

(C) मान लीजिए कि $11$ भिन्न धनात्मक पूर्णांक बढ़ते क्रम में हैं: $x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5 < x_6 < x_7 < x_8 < x_9 < x_{10} < x_{11}$.
इन $11$ पूर्णांकों की माध्यिका $x_6$ है।
शेष $10$ पूर्णांक $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_{10}$ हैं।
इन $10$ पूर्णांकों की माध्यिका $m = \frac{x_5 + x_6}{2}$ है।
चूंकि $x_5 < x_6$,इसलिए $x_5 < \frac{x_5 + x_6}{2} < x_6$,अर्थात $x_5 < m < x_6$.
सबसे बड़े पूर्णांक $x_{11}$ को $m$ से बदलने पर,नए $11$ पूर्णांकों का बढ़ता क्रम $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, m, x_6, x_7, x_8, x_9, x_{10}$ होगा।
नई माध्यिका $6^{th}$ पद है,जो $m$ है।
चूंकि $m < x_6$,इसलिए माध्यिका घटती है।

(D) कुल आवृत्ति $N = 3 + 9 + 10 + 8 + 6 = 36$ है।

वर्ग	आवृत्ति	संचयी आवृत्ति
$0-4$	$3$	$3$
$4-8$	$9$	$12$
$8-12$	$10$	$22$
$12-16$	$8$	$30$
$16-20$	$6$	$36$

चूंकि $\frac{N}{2} = \frac{36}{2} = 18$,माध्यक वर्ग $8-12$ है।
माध्यक का सूत्र $M = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - C}{f} \right) \times h$ है,जहाँ $l = 8$,$C = 12$,$f = 10$,और $h = 4$ है।
$M = 8 + \left( \frac{18 - 12}{10} \right) \times 4 = 8 + \left( \frac{6}{10} \right) \times 4 = 8 + 2.4 = 10.4$.
अतः,$20M = 20 \times 10.4 = 208$.

(C) कुल छात्रों की संख्या $20$ है,इसलिए बारंबारताओं का योग $20$ होगा:
$(x+1)^2 + (2x-5) + (x^2-3x) + x = 20$
$(x^2+2x+1) + 2x - 5 + x^2 - 3x + x = 20$
$2x^2 + 2x - 4 = 20$
$2x^2 + 2x - 24 = 0$
$x^2 + x - 12 = 0$
$(x+4)(x-3) = 0$
चूंकि $x > 0$,इसलिए $x = 3$ है।
अब,$x=3$ को बारंबारता वितरण में रखने पर:
अंक $(x_i)$: $2, 3, 5, 7$
बारंबारता $(f_i)$: $16, 1, 0, 3$
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{2(16) + 3(1) + 5(0) + 7(3)}{20}$
$= \frac{32 + 3 + 0 + 21}{20} = \frac{56}{20} = 2.8$

(A) दिए गए मान $\sin^2 10^{\circ}, \sin^2 20^{\circ}, \sin^2 30^{\circ}, \dots, \sin^2 90^{\circ}$ हैं।
कुल $9$ पद हैं।
योग $= \sin^2 10^{\circ} + \sin^2 20^{\circ} + \sin^2 30^{\circ} + \sin^2 40^{\circ} + \sin^2 50^{\circ} + \sin^2 60^{\circ} + \sin^2 70^{\circ} + \sin^2 80^{\circ} + \sin^2 90^{\circ}$.
$\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ का उपयोग करते हुए,$\sin^2 80^{\circ} = \cos^2 10^{\circ}$,$\sin^2 70^{\circ} = \cos^2 20^{\circ}$,$\sin^2 60^{\circ} = \cos^2 30^{\circ}$,और $\sin^2 50^{\circ} = \cos^2 40^{\circ}$ प्राप्त होता है।
योग $= (\sin^2 10^{\circ} + \cos^2 10^{\circ}) + (\sin^2 20^{\circ} + \cos^2 20^{\circ}) + (\sin^2 30^{\circ} + \cos^2 30^{\circ}) + (\sin^2 40^{\circ} + \cos^2 40^{\circ}) + \sin^2 90^{\circ}$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ और $\sin 90^{\circ} = 1$ है,
योग $= 1 + 1 + 1 + 1 + (1)^2 = 5$.
माध्य $= \frac{\text{कुल योग}}{\text{पदों की संख्या}} = \frac{5}{9}$.

(D) माना अवलोकन $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = 10$ है।
जब प्रत्येक अवलोकन को $2$ से गुणा किया जाता है,तो नए अवलोकन $2x_1, 2x_2, 2x_3, \ldots, 2x_n$ हो जाते हैं।
नया माध्य $\bar{x}_{new} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (2x_i)}{n} = 2 \times \left( \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \right)$ है।
मूल माध्य का मान रखने पर,$\bar{x}_{new} = 2 \times 10 = 20$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि $n$ संख्याएँ $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ हैं।
इन संख्याओं का माध्य $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$ है।
जब प्रत्येक संख्या को $5$ से विभाजित किया जाता है,तो नई संख्याएँ $\frac{x_1}{5}, \frac{x_2}{5}, \ldots, \frac{x_n}{5}$ हो जाती हैं।
इस नए समूह का माध्य $\frac{X}{5}$ दिया गया है।
अतः,$\frac{\frac{x_1}{5} + \frac{x_2}{5} + \ldots + \frac{x_n}{5}}{n} = \frac{X}{5}$।
$\frac{1}{5} \left( \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \right) = \frac{X}{5}$।
दोनों पक्षों को $5$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = X$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $n$ संख्याओं का माध्य $X$ है।

(C) दिए गए आंकड़े: $12, 14, 20, 23, 25, 32$
समांतर माध्य $\bar{x}$ की गणना इस प्रकार है:
$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{12 + 14 + 20 + 23 + 25 + 32}{6}$
$\bar{x} = \frac{126}{6} = 21$
अतः,समांतर माध्य $21$ है।

(B) $n$ प्रेक्षणों के माध्य का सूत्र $\text{Mean} = \frac{\sum x_i}{n}$ है।
यहाँ प्रेक्षण $8, 6, 7, 5, x, 4$ हैं और माध्य $7$ है।
प्रेक्षणों की संख्या $n = 6$ है।
$\frac{8 + 6 + 7 + 5 + x + 4}{6} = 7$
$\frac{30 + x}{6} = 7$
$30 + x = 42$
$x = 42 - 30$
$x = 12$
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) दिया गया है कि संख्या $i$,$i = 1, 2, \ldots, n$ के लिए $i$ बार दोहराई जाती है।
अवलोकनों का योग $\sum_{i=1}^{n} i \times i = \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ है।
कुल अवलोकनों की संख्या $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ है।
माध्य $\bar{X}$ अवलोकनों के योग और कुल अवलोकनों की संख्या का अनुपात है:
$\bar{X} = \frac{\sum i^2}{\sum i} = \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2n+1}{3}$.