Basic of Linear Inequalities Questions in Hindi

(A) दी गई असमिका: $|4-x|+1 < 3$
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर: $|4-x| < 2$
यह इसके समतुल्य है: $-2 < 4-x < 2$
सभी भागों से $4$ घटाने पर: $-6 < -x < -2$
$-1$ से गुणा करने पर और असमिका के चिह्नों को पलटने पर: $6 > x > 2$
अतः,हल समुच्चय $x \in (2, 6)$ है।

(A) दी गई असमिका: $\frac{2x+3}{5} - 2 < \frac{3(x-2)}{5}$
हर को हटाने के लिए पूरी असमिका को $5$ से गुणा करने पर:
$(2x + 3) - 10 < 3(x - 2)$
दोनों पक्षों को सरल करने पर:
$2x - 7 < 3x - 6$
दोनों पक्षों से $2x$ घटाने पर:
$-7 < x - 6$
दोनों पक्षों में $6$ जोड़ने पर:
$-1 < x$
अतः,हल $x > -1$ है,जिसे अंतराल संकेतन में $(-1, \infty)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) माना $y = |x-2|$.
तब असमिका $\frac{y-1}{y-2} \leq 0$ हो जाती है।
क्रांतिक बिंदु $y=1$ और $y=2$ हैं।
भिन्न के $\leq 0$ होने के लिए,$y$ को मूलों के बीच होना चाहिए,जिसमें अंश का मूल शामिल है लेकिन हर का मूल शामिल नहीं है: $1 \leq y < 2$.
$y = |x-2|$ वापस रखने पर,हमें $1 \leq |x-2| < 2$ प्राप्त होता है।
यह दो भागों में विभाजित होता है:
$1) |x-2| \geq 1 \implies x-2 \leq -1$ या $x-2 \geq 1 \implies x \leq 1$ या $x \geq 3$.
$2) |x-2| < 2 \implies -2 < x-2 < 2 \implies 0 < x < 4$.
इन शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर:
$(x \leq 1 \text{ या } x \geq 3) \cap (0 < x < 4) = (0, 1] \cup [3, 4)$.
अतः,$x \in (0, 1] \cup [3, 4)$.

(N/A) हमारे पास है,$-5 \leq \frac{2-3x}{4} \leq 9$.
सभी पक्षों को $4$ से गुणा करने पर:
$-20 \leq 2-3x \leq 36$.
सभी पक्षों से $2$ घटाने पर:
$-20-2 \leq -3x \leq 36-2$.
$-22 \leq -3x \leq 34$.
$-3$ से भाग देने पर (असमिका के चिह्न बदल जाएंगे):
$\frac{-22}{-3} \geq x \geq \frac{34}{-3}$.
$\frac{22}{3} \geq x \geq -\frac{34}{3}$.
अतः,$-\frac{34}{3} \leq x \leq \frac{22}{3}$.
अंतराल रूप में,$x \in \left[-\frac{34}{3}, \frac{22}{3}\right]$.

(B) दी गई असमिका $|x+2| \leq 9$ है।
मापांक असमिका के गुणधर्म के अनुसार,$|u| \leq a$ का अर्थ $-a \leq u \leq a$ होता है,जहाँ $a > 0$ है।
इस गुणधर्म को लागू करने पर:
$-9 \leq x+2 \leq 9$
सभी पदों से $2$ घटाने पर:
$-9 - 2 \leq x \leq 9 - 2$
$-11 \leq x \leq 7$
अंतराल संकेतन में,इसे $x \in [-11, 7]$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) संख्या रेखा पर $2$ पर एक खुला वृत्त दर्शाया गया है,जो यह दर्शाता है कि $2$ हल समुच्चय में शामिल नहीं है।
छायांकित भाग $2$ के दाईं ओर फैला हुआ है,जो $2$ से बड़ी सभी मानों को दर्शाता है।
इसलिए,असमिका $x > 2$ है।

(B) रंगा हुआ क्षेत्र कार्तीय तल के द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।
द्वितीय चतुर्थांश में,$x$-निर्देशांक गैर-धनात्मक $(x \leq 0)$ होते हैं और $y$-निर्देशांक गैर-ऋणात्मक $(y \geq 0)$ होते हैं।
चूंकि अक्ष छायांकित क्षेत्र में शामिल हैं,इसलिए असमिकाएं $x \leq 0$ और $y \geq 0$ हैं।

(D) किसी भी वास्तविक संख्या का निरपेक्ष मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,अर्थात सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $|x-1| \geq 0$ होता है।
दी गई असमिका $|x-1| \leq -1$ के लिए,हम $x$ के ऐसे मान खोज रहे हैं जिनके लिए निरपेक्ष मान $-1$ से कम या उसके बराबर हो।
चूंकि एक गैर-ऋणात्मक संख्या कभी भी ऋणात्मक संख्या से कम या उसके बराबर नहीं हो सकती,इसलिए $x$ का कोई भी वास्तविक मान इस शर्त को पूरा नहीं करता है।
अतः,हल समुच्चय एक रिक्त समुच्चय है,जिसे $\emptyset$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(C) असमिका $|x| + |x-2| < 2$ को हल करने के लिए,हम क्रांतिक बिंदुओं $x=0$ और $x=2$ पर विचार करते हैं।
स्थिति $1$: $x < 0$
$-x - (x-2) < 2 \implies -2x + 2 < 2 \implies -2x < 0 \implies x > 0$। यह $x < 0$ के साथ विरोधाभास है,इसलिए यहाँ कोई हल नहीं है।
स्थिति $2$: $0 \leq x < 2$
$x - (x-2) < 2 \implies 2 < 2$,जो असत्य है। यहाँ कोई हल नहीं है।
स्थिति $3$: $x \geq 2$
$x + (x-2) < 2 \implies 2x - 2 < 2 \implies 2x < 4 \implies x < 2$। यह $x \geq 2$ के साथ विरोधाभास है,इसलिए यहाँ कोई हल नहीं है।
अतः,दी गई असमिका के लिए कोई वास्तविक हल नहीं है।

(C) हमें असमिका $|x-1| + |x+1| < 2$ दी गई है।
स्थिति $1$: यदि $x < -1$,तो $|x-1| = -(x-1) = -x+1$ और $|x+1| = -(x+1) = -x-1$।
असमिका $(-x+1) + (-x-1) < 2$ हो जाती है,जो सरल होकर $-2x < 2$ या $x > -1$ हो जाती है।
चूंकि यह हमारी धारणा $x < -1$ का खंडन करती है,इसलिए इस अंतराल में कोई हल नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $-1 \le x < 1$,तो $|x-1| = -(x-1) = -x+1$ और $|x+1| = x+1$।
असमिका $(-x+1) + (x+1) < 2$ हो जाती है,जो सरल होकर $2 < 2$ हो जाती है।
यह एक विरोधाभास है,इसलिए इस अंतराल में कोई हल नहीं है।
स्थिति $3$: यदि $x \ge 1$,तो $|x-1| = x-1$ और $|x+1| = x+1$।
असमिका $(x-1) + (x+1) < 2$ हो जाती है,जो सरल होकर $2x < 2$ या $x < 1$ हो जाती है।
चूंकि यह हमारी धारणा $x \ge 1$ का खंडन करती है,इसलिए इस अंतराल में कोई हल नहीं है।
अतः,हल समुच्चय रिक्त समुच्चय है,जिसे $\emptyset$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(A) दी गई असमिका $\frac{1}{x-4} < 0$ है।
चूंकि अंश एक धनात्मक स्थिरांक $(1 > 0)$ है,इसलिए भिन्न ऋणात्मक तभी होगी जब हर ऋणात्मक हो।
अतः,$x - 4 < 0$ होना चाहिए।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x < 4$ प्राप्त होता है।
अंतराल संकेतन में,इसे $x \in (-\infty, 4)$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

(C) दी गई असमिका $5x \geq -10$ है।
दोनों पक्षों को $5$ से विभाजित करने पर,हमें $x \geq -2$ प्राप्त होता है।
हमें दिया गया है कि $x \in N$,जहाँ $N$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय $\{1, 2, 3, \dots\}$ है।
चूँकि सभी प्राकृतिक संख्याएँ $-2$ से बड़ी होती हैं,इसलिए हल समुच्चय प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय $N$ है।

 (A) असमिका $|x-1|+|x-2| < 3$ को हल करने के लिए,हम क्रांतिक बिंदुओं $x=1$ और $x=2$ पर विचार करते हैं।
स्थिति $1$: यदि $x < 1$,तो $-(x-1) - (x-2) < 3 \implies -x+1-x+2 < 3 \implies -2x+3 < 3 \implies -2x < 0 \implies x > 0$. अतः,$0 < x < 1$।
स्थिति $2$: यदि $1 \le x < 2$,तो $(x-1) - (x-2) < 3 \implies x-1-x+2 < 3 \implies 1 < 3$,जो $1 \le x < 2$ के लिए हमेशा सत्य है।
स्थिति $3$: यदि $x \ge 2$,तो $(x-1) + (x-2) < 3 \implies 2x-3 < 3 \implies 2x < 6 \implies x < 3$। अतः,$2 \le x < 3$।
सभी स्थितियों को मिलाने पर,हल समुच्चय $(0, 1) \cup [1, 2) \cup [2, 3) = (0, 3)$ प्राप्त होता है।

(C) हम $x$ के लिए विभिन्न अंतरालों पर विचार करके असमिका $|x-1| + |x+1| < 2$ का विश्लेषण करते हैं:
$1$. यदि $x < -1$ है,तो $|x-1| = -(x-1) = -x+1$ और $|x+1| = -(x+1) = -x-1$ होता है। असमिका $(-x+1) + (-x-1) < 2$ हो जाती है,जो सरल होकर $-2x < 2$ या $x > -1$ बन जाती है। यह हमारी धारणा $x < -1$ का खंडन करती है,इसलिए इस अंतराल में कोई हल नहीं है।
$2$. यदि $-1 \le x < 1$ है,तो $|x-1| = -(x-1) = -x+1$ और $|x+1| = x+1$ होता है। असमिका $(-x+1) + (x+1) < 2$ हो जाती है,जो सरल होकर $2 < 2$ बन जाती है। यह एक असत्य कथन है,इसलिए इस अंतराल में कोई हल नहीं है।
$3$. यदि $x \ge 1$ है,तो $|x-1| = x-1$ और $|x+1| = x+1$ होता है। असमिका $(x-1) + (x+1) < 2$ हो जाती है,जो सरल होकर $2x < 2$ या $x < 1$ बन जाती है। यह हमारी धारणा $x \ge 1$ का खंडन करती है,इसलिए इस अंतराल में कोई हल नहीं है।
चूंकि $x$ का कोई भी मान असमिका को संतुष्ट नहीं करता है,इसलिए हल समुच्चय रिक्त समुच्चय है,जिसे $\phi$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(C) दी गई असमिका $|x-2| \geq 8$ है।
मापांक असमिका के गुणधर्म के अनुसार,$|u| \geq a$ का अर्थ $u \leq -a$ या $u \geq a$ होता है।
इस गुणधर्म को लागू करने पर:
$x - 2 \leq -8$ या $x - 2 \geq 8$.
पहले भाग को हल करने पर: $x \leq -8 + 2 \implies x \leq -6$.
दूसरे भाग को हल करने पर: $x \geq 8 + 2 \implies x \geq 10$.
अतः,$x \in (-\infty, -6] \cup [10, \infty)$.

(A) दी गई असमिका $|x+2| \leq 8$ है।
मापांक असमिका के गुणधर्म के अनुसार,$|u| \leq a$ का अर्थ $-a \leq u \leq a$ होता है।
इस गुणधर्म को लागू करने पर:
$-8 \leq x+2 \leq 8$.
असमिका के सभी भागों से $2$ घटाने पर:
$-8 - 2 \leq x \leq 8 - 2$.
$-10 \leq x \leq 6$.
अतः,$x \in [-10, 6]$.

(C) किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$x^{2} \ge 0$ होता है।
चूंकि $x^{2} \ge 0$,इसलिए $x^{2} + 1 \ge 1 > 0$ होता है।
अतः,हर $x^{2} + 1$ सभी $x \in R$ के लिए हमेशा धनात्मक है।
भिन्न $\frac{x^{2}}{x^{2}+1}$ एक गैर-ऋणात्मक संख्या और एक धनात्मक संख्या का अनुपात है,जिसका अर्थ है कि सभी $x \in R$ के लिए $\frac{x^{2}}{x^{2}+1} \ge 0$ होता है।
इसलिए,$x$ का ऐसा कोई वास्तविक मान नहीं है जिसके लिए $\frac{x^{2}}{x^{2}+1} < 0$ हो।
अतः,हल समुच्चय एक रिक्त समुच्चय है,जिसे $\phi$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(A) मापांक फलन की परिभाषा के अनुसार $|a| = a$ यदि $a \ge 0$ हो।
दिया गया समीकरण $|x-3| = x-3$ तभी सत्य है जब मापांक के अंदर का व्यंजक ऋणेतर (non-negative) हो।
अतः,$x-3 \ge 0$ होना चाहिए।
इस असमिका को हल करने पर,हमें $x \ge 3$ प्राप्त होता है।
अंतराल संकेतन में,इसे $[3, \infty)$ के रूप में लिखा जाता है।

(A) हमें असमिका $\left|x+\frac{1}{x}\right| \geq 2$ दी गई है।
स्थिति $1$: यदि $x > 0$ है,तो $x + \frac{1}{x} \geq 2$। $AM-GM$ असमिका के अनुसार,$x > 0$ के लिए,$\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 1$,जो दर्शाता है कि $x + \frac{1}{x} \geq 2$। यह सभी $x > 0$ के लिए सत्य है।
स्थिति $2$: यदि $x < 0$ है,तो मान लीजिए $x = -y$ जहाँ $y > 0$ है। तब $\left|-y - \frac{1}{y}\right| = \left|-(y + \frac{1}{y})\right| = y + \frac{1}{y} \geq 2$। यह भी सभी $y > 0$ के लिए सत्य है,जिसका अर्थ है कि यह सभी $x < 0$ के लिए सत्य है।
चूंकि $x$ का मान $0$ नहीं हो सकता (क्योंकि $\frac{1}{x}$ अपरिभाषित है),इसलिए यह असमिका सभी $x \in R - \{0\}$ के लिए सत्य है।

(B) दी गई असमिका $|x-2| \geq |x-4|$ है।
चूंकि दोनों पक्ष गैर-ऋणात्मक हैं,हम दोनों पक्षों का वर्ग कर सकते हैं:
$(x-2)^2 \geq (x-4)^2$
$x^2 - 4x + 4 \geq x^2 - 8x + 16$
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर:
$-4x + 4 \geq -8x + 16$
दोनों पक्षों में $8x$ जोड़ने पर:
$4x + 4 \geq 16$
दोनों पक्षों से $4$ घटाने पर:
$4x \geq 12$
$4$ से भाग देने पर:
$x \geq 3$
अतः,$x \in [3, \infty)$.

(A) दी गई असमिका $\frac{x^{2}}{x-5} < 0$ है।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^2 \ge 0$ होता है,इसलिए व्यंजक $\frac{x^2}{x-5}$ केवल तभी ऋणात्मक होगा जब हर ऋणात्मक हो और अंश शून्य न हो।
$1$. अंश $x^2 > 0$ का अर्थ है $x \neq 0$।
$2$. हर $x-5 < 0$ का अर्थ है $x < 5$।
इन शर्तों को मिलाने पर,हमें $x < 5$ और $x \neq 0$ प्राप्त होता है।
अतः,हल समुच्चय $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 5)$ है।

(A) दी गई असमिका $\frac{|x-1|}{x-1} \leq 0$ है।
व्यंजक को परिभाषित होने के लिए,हर शून्य नहीं होना चाहिए,इसलिए $x - 1 \neq 0$,जिसका अर्थ है $x \neq 1$.
स्थिति $1$: यदि $x > 1$ है,तो $|x-1| = x-1$. व्यंजक $\frac{x-1}{x-1} = 1$ हो जाता है। चूँकि $1 \not\leq 0$,इस अंतराल में कोई हल नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $x < 1$ है,तो $|x-1| = -(x-1)$. व्यंजक $\frac{-(x-1)}{x-1} = -1$ हो जाता है। चूँकि $-1 \leq 0$ सत्य है,सभी $x < 1$ असमिका को संतुष्ट करते हैं।
अतः,हल समुच्चय $x \in (-\infty, 1)$ है।

(B) छायांकित क्षेत्र कार्तीय तल के द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।
द्वितीय चतुर्थांश में,$x$-निर्देशांक हमेशा शून्य या उससे कम $(x \leq 0)$ होता है और $y$-निर्देशांक हमेशा शून्य या उससे अधिक $(y \geq 0)$ होता है।
अतः,छायांकित क्षेत्र असमिका $x \leq 0, y \geq 0$ को दर्शाता है।

(A) दी गई असमिकाएँ:
$a + b < c + d \quad (i)$
$b + c < d + e \quad (ii)$
$c + d < e + a \quad (iii)$
$d + e < a + b \quad (iv)$
$(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर:
$(a + b) + (c + d) < (c + d) + (e + a)$
$a + b + c + d < a + c + d + e$
$b < e \quad (v)$
$(ii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर:
$(b + c) + (d + e) < (d + e) + (a + b)$
$b + c + d + e < a + b + d + e$
$c < a \quad (vi)$
$(i)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर:
$(a + b) + (d + e) < (c + d) + (a + b)$
$a + b + d + e < a + b + c + d$
$e < c \quad (vii)$
$(v), (vi), (vii)$ को मिलाने पर:
$b < e < c < a$
अतः,सबसे बड़ा मान $a$ है और सबसे छोटा मान $b$ है।

(B) दिए गए वक्रों के समीकरण:
$y = 2x^3 + ax + b$ $(i)$
$y = 2x^3 + cx + d$ $(ii)$
वक्रों का कोई उभयनिष्ठ बिंदु न होने के लिए,समीकरण $2x^3 + ax + b = 2x^3 + cx + d$ का $x$ के लिए कोई वास्तविक हल नहीं होना चाहिए।
यह समीकरण $(a - c)x = d - b$ में सरल हो जाता है।
यदि $a - c \neq 0$ है,तो $x = \frac{d - b}{a - c}$ हमेशा एक वास्तविक हल होगा,जो शर्त का खंडन करता है।
इसलिए,$a - c = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $a = c$।
समीकरण में $a = c$ रखने पर,हमें $0 = d - b$ प्राप्त होता है,अर्थात $b = d$।
हालाँकि,वक्रों का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है,जिसका अर्थ है कि $(a - c)x = d - b$ असंगत होना चाहिए।
यदि $a = c$ है,तो $0 = d - b$। इस समीकरण का कोई हल न होने के लिए,$d - b \neq 0$ होना चाहिए।
हमें $(a - c)^2 + b - d$ को अधिकतम करना है। चूँकि $a = c$ है,यह व्यंजक $0 + b - d = b - d$ बन जाता है।
जहाँ $b, d \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ और $b \neq d$ है,$b - d$ को अधिकतम करने के लिए,हम $b = 6$ और $d = 1$ चुनते हैं।
अतः,अधिकतम मान $6 - 1 = 5$ है।

(D) दी गई असमिका $\frac{\sqrt{x+5}}{1-x} > 1$ है।
परिभाषित होने के लिए,$x+5 \ge 0 \Rightarrow x \ge -5$ और $x \neq 1$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: यदि $1-x > 0$,अर्थात $x < 1$,तो $\sqrt{x+5} > 1-x$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x+5 > (1-x)^2 = 1 - 2x + x^2$।
$x^2 - 3x - 4 < 0 \Rightarrow (x-4)(x+1) < 0$।
इससे $-1 < x < 4$ प्राप्त होता है।
$x < 1$ के साथ संयोजित करने पर,हमें $-1 < x < 1$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: यदि $1-x < 0$,अर्थात $x > 1$,तो $\sqrt{x+5} < 1-x$ जो असंभव है क्योंकि बायां पक्ष धनात्मक और दायां पक्ष ऋणात्मक है।
अतः,हल $-1 < x < 1$ है।

(A) दी गई असमिका $|3x - 2| \leq \frac{1}{2}$ है।
मापांक के गुणधर्म के अनुसार,यदि $|u| \leq a$ है,तो $-a \leq u \leq a$ होता है।
अतः,$-\frac{1}{2} \leq 3x - 2 \leq \frac{1}{2}$.
असमिका के सभी भागों में $2$ जोड़ने पर:
$-\frac{1}{2} + 2 \leq 3x \leq \frac{1}{2} + 2$.
$\frac{3}{2} \leq 3x \leq \frac{5}{2}$.
$3$ से भाग देने पर:
$\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{5}{6}$.
अतः,$x \in [\frac{1}{2}, \frac{5}{6}]$।

(D) दिया है,$a < b$।
चूंकि $x < 0$,असमिका के दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है।
अतः,$\frac{a}{x} > \frac{b}{x}$।

(A) दी गई असमिका $|3x - 5| \leq 2$ है।
निरपेक्ष मान असमिकाओं के गुणधर्म के अनुसार,$|f(x)| \leq a \iff -a \leq f(x) \leq a$ होता है।
अतः,$-2 \leq 3x - 5 \leq 2$।
असमिका के सभी भागों में $5$ जोड़ने पर:
$-2 + 5 \leq 3x \leq 2 + 5$
$3 \leq 3x \leq 7$।
$3$ से भाग देने पर:
$1 \leq x \leq \frac{7}{3}$।

(C) दी गई असमिका $|x+5| \geq 10$ है।
निरपेक्ष मान असमिका के गुणधर्म के अनुसार,$|u| \geq a$ का अर्थ है $u \leq -a$ या $u \geq a$।
अतः,$x+5 \leq -10$ या $x+5 \geq 10$।
पहले भाग को हल करने पर: $x \leq -10 - 5 \Rightarrow x \leq -15$।
दूसरे भाग को हल करने पर: $x \geq 10 - 5 \Rightarrow x \geq 5$।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $x \in (-\infty, -15] \cup [5, \infty)$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई असमिका $|x-2| \leq 1$ है।
हम जानते हैं कि गुणधर्म $|x| \leq a$ का अर्थ $-a \leq x \leq a$ होता है।
इस गुणधर्म को दी गई असमिका पर लागू करने पर,हमें $-1 \leq x-2 \leq 1$ प्राप्त होता है।
असमिका के सभी भागों में $2$ जोड़ने पर,हमें $-1 + 2 \leq x \leq 1 + 2$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $1 \leq x \leq 3$ प्राप्त होता है।
अतः,हल समुच्चय $x \in [1, 3]$ है।

(C) दिया गया समुच्चय $A = \{x : |2x + 3| < 7\}$ है।
हम जानते हैं कि असमिका $|f(x)| < a$ का अर्थ $-a < f(x) < a$ होता है।
दी गई असमिका पर इसे लागू करने पर:
$-7 < 2x + 3 < 7$
सभी पदों में से $3$ घटाने पर:
$-7 - 3 < 2x < 7 - 3$
$-10 < 2x < 4$
$2$ से भाग देने पर:
$-5 < x < 2$
अब,समुच्चय $D = \{x : 0 < x + 5 < 7\}$ के लिए शर्त की जाँच करते हैं:
$0 < x + 5 < 7$
सभी पदों में से $5$ घटाने पर:
$0 - 5 < x < 7 - 5$
$-5 < x < 2$
चूंकि समुच्चय $A$ और समुच्चय $D$ के लिए $x$ का परिसर समान है,इसलिए समुच्चय $A$,समुच्चय $D$ के बराबर है।

(A) दी गई असमिका: $16(2^x) > 16^{-1/x}$ \\
चूंकि $16 = 2^4$,हम लिख सकते हैं: $2^4 \cdot 2^x > (2^4)^{-1/x}$ \\
$2^{x+4} > 2^{-4/x}$ \\
आधार $2 > 1$ है,इसलिए घातांकों के लिए असमिका सत्य है: $x + 4 > -4/x$ \\
$x + 4 + 4/x > 0$ \\
$\frac{x^2 + 4x + 4}{x} > 0$ \\
$\frac{(x+2)^2}{x} > 0$ \\
चूंकि $x \neq -2$ के लिए $(x+2)^2 > 0$ है,इसलिए असमिका तब सत्य है जब $x > 0$ हो। \\
अतः,हल समुच्चय $\{x \in R: x > 0\}$ है.

(C) माना $f(x) = x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$.
हम पदों को समूहित करके व्यंजक का विश्लेषण करते हैं:
$f(x) = x^9(x^3 - 1) + x(x^3 - 1) + 1$.
वैकल्पिक रूप से,$f(x) = x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$ पर विचार करें।
यदि $x \ge 1$ है,तो $x^9(x^3 - 1) \ge 0$ और $x(x^3 - 1) \ge 0$,इसलिए $f(x) \ge 1 > 0$।
यदि $x \le 0$ है,तो $f(x) = x^{12} + x^4 + (-x^9 - x) + 1$। चूंकि $x \le 0$,$-x^9 \ge 0$ और $-x \ge 0$,इसलिए $f(x) > 0$।
यदि $0 < x < 1$ है,तो हम $f(x) = x^{12} + x^4(1 - x^5) + (1 - x)$ लिख सकते हैं। चूंकि $x^5 < 1$ और $x < 1$,सभी पद धनात्मक हैं,इसलिए $f(x) > 0$।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $f(x) > 0$ है,इसलिए सबसे बड़ा अंतराल $(-\infty, \infty)$ है।