Finding unknown using limit Questions in Hindi

(B) मान लीजिए $A = 1 + a$ है।
जब $a \rightarrow 0^{+}$,तब $A \rightarrow 1^{+}$।
दिया गया समीकरण $(A^{\frac{1}{3}}-1) x^2+(A^{\frac{1}{2}}-1) x+(A^{\frac{1}{6}}-1)=0$ है।
समीकरण को $(A-1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{A^{\frac{1}{3}}-1}{A-1} x^2 + \frac{A^{\frac{1}{2}}-1}{A-1} x + \frac{A^{\frac{1}{6}}-1}{A-1} = 0$।
$A \rightarrow 1$ पर सीमा लेने पर,मानक सीमा $\lim _{A \rightarrow 1} \frac{A^n-1}{A-1} = n$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{3} x^2 + \frac{1}{2} x + \frac{1}{6} = 0$।
$6$ से गुणा करने पर:
$2 x^2 + 3 x + 1 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(2x + 1)(x + 1) = 0$।
अतः,मूल $x = -1$ और $x = -\frac{1}{2}$ हैं।
इसलिए,$\lim _{a \rightarrow 0^{+}} \alpha(a) = -1$ और $\lim _{a \rightarrow 0^{+}} \beta(a) = -\frac{1}{2}$।

(A) दिया गया है कि $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-2}{x^{2}-1} = \pi$।
चूंकि सीमा का अस्तित्व है और हर $x^2-1$,$x \rightarrow 1$ होने पर $0$ की ओर अग्रसर है,इसलिए सीमा का मान परिमित होने के लिए अंश $f(x)-2$ को भी $0$ की ओर अग्रसर होना चाहिए।
अतः,$\lim_{x \rightarrow 1} (f(x)-2) = 0$।
इसका अर्थ है कि $\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = 2$।

(A) दिया गया सीमा $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos [x]-\cos (k x-[x])}{x^2}=5$ है।
चूंकि $x \rightarrow 0^{+}$,इसलिए $[x] = 0$ है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos(0) - \cos(kx - 0)}{x^2} = 5$
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1 - \cos(kx)}{x^2} = 5$
सीमा सूत्र $\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^2} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1 - \cos(kx)}{(kx)^2} \cdot k^2 = 5$
$\frac{1}{2} \cdot k^2 = 5$
$k^2 = 10$
$k = \sqrt{10}$.

(B) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} 3ax - 2b, & x > 1 \\ ax + b + 1, & x < 1 \end{cases}$
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 1} f(x)$ का अस्तित्व है,इसलिए वाम-पक्ष सीमा $(LHL)$ और दक्षिण-पक्ष सीमा $(RHL)$ बराबर होनी चाहिए:
$\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)$
दिए गए फलनों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 1^{-}} (ax + b + 1) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} (3ax - 2b)$
$x = 1$ पर सीमा का मूल्यांकन करने पर:
$a(1) + b + 1 = 3a(1) - 2b$
$a + b + 1 = 3a - 2b$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$1 = 3a - a - 2b - b$
$1 = 2a - 3b$
अतः,संबंध $2a - 3b = 1$ है।

(C) चूंकि $\lim_{x \rightarrow 1} f(x)$ का अस्तित्व है,इसलिए $x = 1$ पर बायां सीमा (left-hand limit) और दायां सीमा (right-hand limit) बराबर होनी चाहिए।
$\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)$
$1 + \frac{2(1)}{a} = a(1)$
$1 + \frac{2}{a} = a$
$a$ से गुणा करने पर ($a \neq 0$ मानते हुए):
$a + 2 = a^2$
$a^2 - a - 2 = 0$
$(a - 2)(a + 1) = 0$
अतः,$a$ के संभावित मान $a = 2$ और $a = -1$ हैं।
इन मानों के घनों का योग $(2)^3 + (-1)^3 = 8 - 1 = 7$ है।

(B) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{((a-n) n x-\tan x) \sin n x}{x^2}=0$.
हम सीमा को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\lim _{x \rightarrow 0} \left[ \frac{(a-n) n x-\tan x}{x} \right] \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin n x}{x} = 0$.
चूँकि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin n x}{x} = n$,हमारे पास है:
$n \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \left[ (a-n) n - \frac{\tan x}{x} \right] = 0$.
$n [ (a-n) n - 1 ] = 0$.
चूँकि $n > 0$,इसलिए $(a-n) n - 1 = 0$ होना चाहिए।
$(a-n) n = 1 \implies a-n = \frac{1}{n} \implies a = n + \frac{1}{n}$.
$AM-GM$ असमिका के अनुसार,$n > 0$ के लिए,$n + \frac{1}{n} \ge 2$.
अतः $a$ का न्यूनतम मान $2$ है जब $n = 1$ हो।

(B) दिया गया सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\cos x-1)(\cos x-e^x)}{x^n}$ है।
$x=0$ के निकट टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर:
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots$
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(\cos x - 1) = -\frac{x^2}{2} + O(x^4)$
$(\cos x - e^x) = -x - x^2 + O(x^3)$
अंश $= (-\frac{x^2}{2} + O(x^4))(-x - x^2 + O(x^3)) = \frac{x^3}{2} + O(x^4)$.
सीमा को परिमित और शून्येतर होने के लिए,हर में $x$ की घात $3$ होनी चाहिए।
अतः,$n = 3$।

(D) दिया गया है,$\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^n - 3^n}{x - 3} = 108$.
मानक सीमा सूत्र $\lim _{x \rightarrow a} \frac{x^n - a^n}{x - a} = n \cdot a^{n-1}$ का उपयोग करने पर:
यहाँ,$a = 3$ है,इसलिए $n \cdot 3^{n-1} = 108$.
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर:
$n \cdot 3^n = 108 \times 3 = 324$.
हम $324$ को $4 \times 81 = 4 \times 3^4$ के रूप में लिख सकते हैं।
$n \cdot 3^n = 4 \times 3^4$ की तुलना करने पर,हमें $n = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$n$ का मान $4$ है।

(A) सीमा $\lim_{x \rightarrow 2} f(x)$ के अस्तित्व के लिए,$x = 2$ पर वाम हस्त सीमा $(LHL)$ और दक्षिण हस्त सीमा $(RHL)$ बराबर होनी चाहिए।
$LHL = \lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2} (4x - 5) = 4(2) - 5 = 3$.
$RHL = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2} (x - k) = 2 - k$.
$LHL$ और $RHL$ को बराबर करने पर:
$3 = 2 - k$
$k = 2 - 3$
$k = -1$.
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(D) दिया गया है कि $\lim _{x \rightarrow \infty}\left\{\frac{x^3+1}{x^2+1}-(\alpha x+\beta)\right\}=2$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^3+1-(\alpha x+\beta)(x^2+1)}{x^2+1} = 2$
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^3+1-(\alpha x^3+\alpha x+\beta x^2+\beta)}{x^2+1} = 2$
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(1-\alpha)x^3-\beta x^2-\alpha x+(1-\beta)}{x^2+1} = 2$.
सीमा के अस्तित्व और परिमित होने के लिए,$x^3$ का गुणांक $0$ होना चाहिए:
$1-\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 1$.
अब सीमा इस प्रकार है:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-\beta x^2-x+(1-\beta)}{x^2+1} = 2$.
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-\beta - \frac{1}{x} + \frac{1-\beta}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 2$.
जैसे $x \rightarrow \infty$,$x$ वाले पद $0$ की ओर प्रवृत्त होते हैं:
$-\beta = 2 \Rightarrow \beta = -2$.
अतः,क्रमित युग्म $(\alpha, \beta) = (1, -2)$ है।

(D) माना $L = \lim _{x}$ ${\rightarrow \infty} \frac{(\sqrt{2 x+1}+\sqrt{2 x-1})^8+(\sqrt{2 x+1}-\sqrt{2 x-1})^8(P x^4-16)}{(x+\sqrt{x^2-2})^8+(x-\sqrt{x^2-2})^8} = 1$.
$x \rightarrow \infty$ के लिए,$(\sqrt{2x+1} + \sqrt{2x-1})^8 \approx 256x^4$ और $(x+\sqrt{x^2-2})^8 \approx 256x^8$.
अतः,व्यंजक $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{256x^4 + \frac{1}{16x^4}(Px^4-16)}{256x^8} = 1$ हो जाता है।
गणना करने पर $P = \frac{1}{16}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $f(x) = \sqrt{\frac{x}{1-x}} + \sqrt{\frac{1-x}{x}}$.
मान लीजिए $t = \sqrt{\frac{x}{1-x}}$. तब $f(x) = t + \frac{1}{t}$.
हमें दिया गया है $\lim_{x \rightarrow m} (t + \frac{1}{t}) = 5/2$.
इसका अर्थ है $t + \frac{1}{t} = 5/2$,जो $2t^2 - 5t + 2 = 0$ में सरल हो जाता है।
$t$ के लिए हल करने पर: $(2t - 1)(t - 2) = 0$,अतः $t = 1/2$ या $t = 2$.
स्थिति $1$: $\sqrt{\frac{m}{1-m}} = 1/2$ $\Rightarrow \frac{m}{1-m} = 1/4$ $\Rightarrow 4m = 1 - m$ $\Rightarrow 5m = 1$ $\Rightarrow m = 1/5$.
स्थिति $2$: $\sqrt{\frac{m}{1-m}} = 2$ $\Rightarrow \frac{m}{1-m} = 4$ $\Rightarrow m = 4 - 4m$ $\Rightarrow 5m = 4$ $\Rightarrow m = 4/5$.
अतः,$m$ के संभावित मानों का समुच्चय $\{1/5, 4/5\}$ है।

(C) हम मानक सीमा सूत्र का उपयोग करते हैं: $\lim _{x \rightarrow c} \frac{x^n - c^n}{x - c} = n c^{n-1}$.
दिया गया है $\lim _{x \rightarrow -a} \frac{x^7 - (-a)^7}{x - (-a)} = 7$.
$n = 7$ और $c = -a$ के साथ सूत्र लागू करने पर:
$7(-a)^{7-1} = 7$
$7(-a)^6 = 7$
$(-a)^6 = 1$
चूंकि घात सम है,$a^6 = 1$.
दोनों पक्षों का छठा मूल लेने पर,$a = \pm 1$.

(B) $x=0$ पर सीमा के अस्तित्व के लिए,बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ को दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ के बराबर होना चाहिए।
$RHL = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{2x+1}{x-2} = \frac{2(0)+1}{0-2} = -\frac{1}{2}$.
$LHL = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{\sqrt{1+px} - \sqrt{1-px}}{x}$.
परिमेयकरण का उपयोग करते हुए:
$LHL = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{(\sqrt{1+px} - \sqrt{1-px})(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})}{x(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{(1+px) - (1-px)}{x(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{2px}{x(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})} = \frac{2p}{1+1} = p$.
$LHL = RHL$ को बराबर करने पर,हमें $p = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{((a-n) n x-\tan x) \sin n x}{x^2}=0, n \neq 0$.
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{(a-n) n x - \tan x}{x} \right) \left( \frac{\sin n x}{x} \right) = 0$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \left( (a-n)n - \frac{\tan x}{x} \right) \left( n \cdot \frac{\sin n x}{n x} \right) = 0$.
चूंकि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin n x}{n x} = 1$,इसलिए:
$((a-n)n - 1) \cdot n = 0$.
चूंकि $n \neq 0$,इसलिए $(a-n)n - 1 = 0$,जिसका अर्थ है $an - n^2 = 1$,या $a = n + \frac{1}{n}$.
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका $(AM \geq GM)$ के अनुसार,$n > 0$ के लिए:
$\frac{n + \frac{1}{n}}{2} \geq \sqrt{n \cdot \frac{1}{n}} = 1$.
अतः,$a \geq 2$.
$a$ का न्यूनतम संभव धनात्मक मान $2$ है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ है जिसके मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,अतः $ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta)$ लिखा जा सकता है।
हमें सीमा $L = \lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{1-\cos(a(x-\alpha)(x-\beta))}{(x-\alpha)^2}$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $1-\cos(\theta) = 2\sin^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$L = \lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{2\sin^2(\frac{a(x-\alpha)(x-\beta)}{2})}{(x-\alpha)^2}$.
$(\frac{a(x-\beta)}{2})^2$ से गुणा और भाग करने पर:
$L = \lim_{x}$ ${\rightarrow \alpha} 2 \left[ \frac{\sin(\frac{a(x-\alpha)(x-\beta)}{2})}{\frac{a(x-\alpha)(x-\beta)}{2}} \right]^2 \cdot \frac{a^2(x-\alpha)^2(x-\beta)^2}{4(x-\alpha)^2}$.
चूंकि $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1$,इसलिए:
$L = 2 \cdot 1^2 \cdot \frac{a^2(\alpha-\beta)^2}{4} = \frac{a^2(\alpha-\beta)^2}{2}$.

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ है जिसके मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,हम $ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta)$ लिख सकते हैं।
माना $f(x) = ax^2+bx+c$ है। जैसे $x \rightarrow \alpha$,$f(x) \rightarrow 0$ होता है।
सीमा सूत्र $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1-\cos \theta}{\theta^2} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:
$\lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{1-\cos(a(x-\alpha)(x-\beta))}{(x-\alpha)^2} = \lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{1-\cos(a(x-\alpha)(x-\beta))}{(a(x-\alpha)(x-\beta))^2} \times \frac{a^2(x-\alpha)^2(x-\beta)^2}{(x-\alpha)^2}$
$= \frac{1}{2} \times \lim_{x \rightarrow \alpha} a^2(x-\beta)^2$
$= \frac{1}{2} a^2(\alpha-\beta)^2$.

(D) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-a-\log (1+x)}{\sin x}=0$।
सीमा के अस्तित्व के लिए और परिमित होने के लिए,अंश को $0$ होना चाहिए जब $x \rightarrow 0$ हो क्योंकि हर $\sin x \rightarrow 0$ होता है।
अंश में $x=0$ रखने पर: $e^0 - a - \log(1+0) = 0$।
$1 - a - 0 = 0$।
अतः,$a = 1$।
$a=1$ के साथ जाँच करने पर: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1-\log (1+x)}{\sin x}$।
एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करने पर: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x - \frac{1}{1+x}}{\cos x} = \frac{1-1}{1} = 0$।
इस प्रकार,$a=1$ के लिए शर्त संतुष्ट होती है।

(A) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0}\left\{1+x \log \left(1+a^2\right)\right\}^{1 / x} = 2 a \sin ^2 \theta$.
मानक सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} (1+f(x))^{1/x} = e^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$e^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \log(1+a^2)}{x}} = e^{\log(1+a^2)} = 1+a^2$.
इसे दिए गए व्यंजक के बराबर रखने पर:
$1+a^2 = 2a \sin^2 \theta$.
$a$ में द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$a^2 - (2 \sin^2 \theta)a + 1 = 0$.
$a$ के वास्तविक संख्या होने के लिए,विविक्तकर $D \ge 0$:
$D = (2 \sin^2 \theta)^2 - 4(1)(1) \ge 0$
$\Rightarrow 4 \sin^4 \theta - 4 \ge 0$
$\Rightarrow \sin^4 \theta \ge 1$.
चूंकि सभी $\theta$ के लिए $\sin^4 \theta \le 1$ होता है,इसलिए एकमात्र संभावना $\sin^4 \theta = 1$ है।
$\Rightarrow \sin^2 \theta = 1 = \sin^2 \frac{\pi}{2}$.
$\Rightarrow \theta = n\pi \pm \frac{\pi}{2}, (n \in Z)$.

(D) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{3 x^2-a x+5 b}{x-2}=17$.
चूंकि सीमा मौजूद है और हर $x \rightarrow 2$ पर $0$ हो जाता है,इसलिए अंश को भी $x=2$ पर $0$ होना चाहिए।
$3(2)^2 - a(2) + 5b = 0$ $\Rightarrow 12 - 2a + 5b = 0$ $\Rightarrow 2a - 5b = 12$.
एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{d}{dx}(3x^2 - ax + 5b) / \frac{d}{dx}(x-2) = 17$.
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 2} (6x - a) = 17$ $\Rightarrow 6(2) - a = 17$ $\Rightarrow 12 - a = 17$ $\Rightarrow a = -5$.
$a = -5$ को $2a - 5b = 12$ में रखने पर:
$2(-5) - 5b = 12$ $\Rightarrow -10 - 5b = 12$ $\Rightarrow -5b = 22$ $\Rightarrow b = -\frac{22}{5}$.
अतः,$ab = (-5) \times (-\frac{22}{5}) = 22$.

(D) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 4} \frac{2 x^2+(3+2 a) x+3 a}{x^3-2 x^2-23 x+60} = \frac{11}{9}$.
चूंकि सीमा मौजूद है,इसलिए $x=4$ पर अंश $0$ होना चाहिए: $2(16) + (3+2a)(4) + 3a = 0$.
$32 + 12 + 8a + 3a = 0 \Rightarrow 11a = -44 \Rightarrow a = -4$.
वैकल्पिक रूप से,$L$'Hospital नियम का उपयोग करते हुए: $\lim _{x \rightarrow 4} \frac{4x + 3 + 2a}{3x^2 - 4x - 23} = \frac{16 + 3 + 2a}{48 - 16 - 23} = \frac{19 + 2a}{9} = \frac{11}{9}$.
$19 + 2a = 11 \Rightarrow 2a = -8 \Rightarrow a = -4$.
अब,$\lim _{x \rightarrow -4} \frac{x^2+9x+20}{x^2-x-20} = \lim _{x \rightarrow -4} \frac{(x+4)(x+5)}{(x+4)(x-5)} = \lim _{x \rightarrow -4} \frac{x+5}{x-5}$ का मान ज्ञात करें.
$x = -4$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{-4+5}{-4-5} = \frac{1}{-9} = -\frac{1}{9}$.

(D) माना $f(x) = px^2 + qx + r$ है। चूँकि $a$ और $b$ मूल हैं,इसलिए $f(x) = p(x - a)(x - b)$ होगा।
हमें $L = \lim_{x \rightarrow b} \frac{1 - \cos 2(f(x))}{2(px - pb)^2}$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर,$1 - \cos 2(f(x)) = 2 \sin^2(f(x))$ प्राप्त होता है।
अतः,$L = \lim_{x \rightarrow b} \frac{2 \sin^2(f(x))}{2 p^2(x - b)^2} = \frac{1}{p^2} \lim_{x \rightarrow b} \left( \frac{\sin(f(x))}{x - b} \right)^2$ होगा।
चूँकि $f(x) = p(x - a)(x - b)$ है,इसलिए $\frac{f(x)}{x - b} = p(x - a)$ होगा।
जैसे ही $x \rightarrow b$,$p(x - a) \rightarrow p(b - a)$ होगा।
इस प्रकार,$L = \frac{1}{p^2} \lim_{x \rightarrow b} \left( \frac{\sin(p(x - a)(x - b))}{p(x - a)(x - b)} \cdot p(x - a) \right)^2$ होगा।
चूँकि $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$,इसलिए $L = \frac{1}{p^2} \cdot (p(b - a))^2 = \frac{p^2(b - a)^2}{p^2} = (b - a)^2$ प्राप्त होता है।
नोट: दिए गए विकल्पों में त्रुटि प्रतीत होती है। $(b - a)^2$ का मान $a^2 - 2ab + b^2$ के बराबर है,जो विकल्प $D$ है।

(C) माना $f(x) = \cos 4x + a \cos 2x + b$ है। सीमा के परिमित होने के लिए,अंश को $x \rightarrow 0$ पर $0$ होना चाहिए।
टेलर श्रेणी का उपयोग करते हुए: $\cos \theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \dots$
$\cos 4x = 1 - 8x^2 + \frac{32}{3}x^4 - \dots$
$a \cos 2x = a - 2ax^2 + \frac{2a}{3}x^4 - \dots$
$f(x) = (1 + a + b) - (8 + 2a)x^2 + (\frac{32}{3} + \frac{2a}{3})x^4 + \dots$
सीमा के परिमित होने के लिए,$x^0$ और $x^2$ के गुणांक शून्य होने चाहिए।
$1 + a + b = 0$ और $8 + 2a = 0$।
$8 + 2a = 0$ से $a = -4$ प्राप्त होता है।
$1 - 4 + b = 0$ से $b = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = -4$ और $b = 3$ है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ है जिसके मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,इसलिए हम $ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ लिख सकते हैं।
हमें सीमा $L = \lim_{x \rightarrow \beta} \frac{1 - \cos(a(x - \alpha)(x - \beta))}{(x - \beta)^2}$ का मूल्यांकन करना है।
सर्वसमिका $1 - \cos(\theta) = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$L = \lim_{x \rightarrow \beta} \frac{2 \sin^2(\frac{a(x - \alpha)(x - \beta)}{2})}{(x - \beta)^2}$.
$(\frac{a(x - \alpha)}{2})^2$ से गुणा और भाग करने पर:
$L = \lim_{x}$ ${\rightarrow \beta} 2 \left[ \frac{\sin(\frac{a(x - \alpha)(x - \beta)}{2})}{\frac{a(x - \alpha)(x - \beta)}{2}} \right]^2 \times \frac{a^2(x - \alpha)^2}{4}$.
जैसे $x \rightarrow \beta$,कोष्ठक में पद $1$ की ओर अग्रसर होता है।
अतः,$L = 2 \times 1^2 \times \frac{a^2(\beta - \alpha)^2}{4} = \frac{a^2(\alpha - \beta)^2}{2}$.

(B) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x^2+1}{x+1}-ax-b\right) = 0$.
उभयनिष्ठ हर लेने पर:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+1-ax(x+1)-b(x+1)}{x+1} = 0$
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+1-ax^2-ax-bx-b}{x+1} = 0$
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(1-a)x^2 - (a+b)x + (1-b)}{x+1} = 0$
सीमा का मान $0$ होने के लिए,अंश में $x$ की उच्चतम घात का गुणांक $0$ होना चाहिए।
अतः,$1-a = 0 \implies a = 1$.
$a=1$ रखने पर: $-(a+b) = 0 \implies -(1+b) = 0 \implies b = -1$.
अतः,$a=1$ और $b=-1$.

(B) दिया गया सीमा: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 a \sin x-\sin 2 x}{\tan ^{3} x} = 1$.
$\sin x$ और $\sin 2x$ के टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 a(x - \frac{x^3}{6}) - (2x - \frac{8x^3}{6})}{x^3} = 1$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2a - 2)x + (\frac{8}{6} - \frac{2a}{6})x^3}{x^3} = 1$.
सीमा के अस्तित्व के लिए,$x$ का गुणांक $0$ होना चाहिए,इसलिए $2a - 2 = 0$,जिससे $a = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a$ का मान $1$ है।

(C) $x \rightarrow 0$ के लिए टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर:
अंश में $x^0$ और $x^1$ के गुणांक $0$ होने चाहिए।
अचर पद: $1 + 2 + c - 2 = c + 1 = 0 \Rightarrow c = -1$
$x$ का गुणांक: $(a-1) - (c-2) = a - c + 1 = 0 \Rightarrow a = -2$
$x^2$ का गुणांक: $\frac{(a-1)^2}{2} - b^2 + \frac{c-2}{2} = 1$
$\frac{9}{2} - b^2 - \frac{3}{2} = 1 \Rightarrow b^2 = 2$
अतः,$a^2 + b^2 + c^2 = (-2)^2 + 2 + (-1)^2 = 7$.

(C) माना $L = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(\alpha x) \cos((\alpha+1)x) \cos((\alpha+2)x)}{\sin^2((\alpha+1)x)}$.
जब $x \to 0$ हो,तब $\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$ और $\sin \theta \approx \theta$ के सन्निकटन का उपयोग करने पर:
$L = \lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 - \frac{\alpha^2 x^2}{2})(1 - \frac{(\alpha+1)^2 x^2}{2})(1 - \frac{(\alpha+2)^2 x^2}{2})}{((\alpha+1)x)^2}$.
$x^4$ और उससे उच्च घात वाले पदों को उपेक्षित करने पर,अंश इस प्रकार होगा:
$1 - (1 - \frac{x^2}{2}(\alpha^2 + (\alpha+1)^2 + (\alpha+2)^2)) = \frac{x^2}{2}(3\alpha^2 + 6\alpha + 5)$.
अतः,$L = \frac{3\alpha^2 + 6\alpha + 5}{2(\alpha+1)^2} = 2$.
$3\alpha^2 + 6\alpha + 5 = 4(\alpha^2 + 2\alpha + 1) = 4\alpha^2 + 8\alpha + 4$.
सरल करने पर $\alpha^2 + 2\alpha - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
इस द्विघात समीकरण के मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1$ है।

(B) सीमा के अस्तित्व के लिए,जब $x \to 2$ हो तो अंश को $0$ की ओर अग्रसर होना चाहिए। अतः,$8 - 20 + 2a + b = 0 \Rightarrow 2a + b = 12$।
माना $t = x-2$,इसलिए $x = t+2$। जैसे $x \to 2$,$t \to 0$।
हर $(\sqrt{t+1}-1)\log_e(t+1) \approx (t/2)(t) = t^2/2$ हो जाता है।
अंश $\sin((t+2)^3 - 5(t+2)^2 + a(t+2) + b) = \sin(t^3 + 6t^2 + 12t + 8 - 5t^2 - 20t - 20 + at + 2a + b) = \sin(t^3 + t^2 + (a-8)t + (2a+b-12))$ हो जाता है।
चूंकि $2a+b=12$,व्यंजक $\sin(t^3 + t^2 + (a-8)t)$ में सरल हो जाता है।
सीमा के अस्तित्व और परिमित होने के लिए,$t$ का गुणांक $0$ होना चाहिए,इसलिए $a-8=0 \Rightarrow a=8$।
$a=8$ को $2a+b=12$ में रखने पर,$16+b=12 \Rightarrow b=-4$ प्राप्त होता है।
अब अंश $\sin(t^3+t^2) \approx t^2$ है जब $t \to 0$।
सीमा $\lim_{t \to 0} \frac{t^2}{t^2/2} = 2$ है,इसलिए $m=2$।
अंततः,$a+b+m = 8 - 4 + 2 = 6$।