Triangle and Parallelogram Questions in Gujarati

(A) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $A(x, -1)$,$B(3, y)$,$C(-2, 3)$ અને $D(-3, -2)$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,એટલે કે વિકર્ણોના મધ્યબિંદુઓ સમાન હોય છે.
વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ $\left( \frac{x - 2}{2}, \frac{-1 + 3}{2} \right) = \left( \frac{x - 2}{2}, 1 \right)$ છે.
વિકર્ણ $BD$ નું મધ્યબિંદુ $\left( \frac{3 - 3}{2}, \frac{y - 2}{2} \right) = \left( 0, \frac{y - 2}{2} \right)$ છે.
મધ્યબિંદુઓને સરખાવતા: $\frac{x - 2}{2} = 0 \Rightarrow x = 2$.
અને $1 = \frac{y - 2}{2}$ $\Rightarrow y - 2 = 2$ $\Rightarrow y = 4$.
આમ,$x = 2$ અને $y = 4$.

(B) ધારો કે $A = (3, -4)$ અને $C = (-6, 5)$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના એક વિકર્ણના અંત્યબિંદુઓ છે. ધારો કે $B = (-2, 1)$ એ ત્રીજો શિરોબિંદુ છે અને $D = (x, y)$ એ ચોથો શિરોબિંદુ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,એટલે કે વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ વિકર્ણ $BD$ ના મધ્યબિંદુ સમાન હોય છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{3 + (-6)}{2}, \frac{-4 + 5}{2} \right) = \left( -\frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right)$.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{-2 + x}{2}, \frac{1 + y}{2} \right)$.
મધ્યબિંદુઓને સરખાવતા:
$\frac{-2 + x}{2} = -\frac{3}{2} \implies -2 + x = -3 \implies x = -1$.
$\frac{1 + y}{2} = \frac{1}{2} \implies 1 + y = 1 \implies y = 0$.
તેથી,ચોથો શિરોબિંદુ $D$ એ $(-1, 0)$ છે.

(D) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને સમાન મધ્યબિંદુ $M$ પર દુભાગે છે.
વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ $M$:
$M = \left( \frac{3+7}{2}, \frac{5+10}{2} \right) = \left( 5, \frac{15}{2} \right)$
ધારો કે ચોથું શિરોબિંદુ $D(x, y)$ છે. $M$ એ વિકર્ણ $BD$ નું પણ મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{-5+x}{2} = 5 \implies -5+x = 10 \implies x = 15$
$\frac{-4+y}{2} = \frac{15}{2} \implies -4+y = 15 \implies y = 19$
આમ,ચોથા શિરોબિંદુ $D$ ના યામ $(15, 19)$ છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0, 1, 2)$,$B(2, -1, 3)$ અને $C(1, -3, 1)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધો.
$AB = \sqrt{(2-0)^2 + (-1-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
$BC = \sqrt{(1-2)^2 + (-3 - (-1))^2 + (1-3)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$AC = \sqrt{(1-0)^2 + (-3-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{1^2 + (-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
અહીં $AB = BC = 3$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.
કાટકોણની શરત તપાસો: $AB^2 + BC^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$,અને $AC^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$.
$AB^2 + BC^2 = AC^2$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
તેથી,આ ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(-1, 3, 2)$,$B(-4, 2, -2)$ અને $C(5, 5, \lambda)$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,રેખાખંડ $AB$ ના દિકગુણોત્તરો એ રેખાખંડ $BC$ ના દિકગુણોત્તરોના પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ.
$AB$ ના દિકગુણોત્તરો $(-4 - (-1), 2 - 3, -2 - 2) = (-3, -1, -4)$ છે.
$BC$ ના દિકગુણોત્તરો $(5 - (-4), 5 - 2, \lambda - (-2)) = (9, 3, \lambda + 2)$ છે.
સમરેખતા માટે,અનુરૂપ દિકગુણોત્તરોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{-3}{9} = \frac{-1}{3} = \frac{-4}{\lambda + 2}$.
$\frac{-1}{3} = \frac{-4}{\lambda + 2}$ પરથી,આપણને મળે છે:
$-1(\lambda + 2) = -4 \times 3$
$-\lambda - 2 = -12$
$-\lambda = -10$
$\lambda = 10$.

(C) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ હોય,તો તેનું મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ શોધવાનું સૂત્ર $G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ છે.
અહીં મધ્યકેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ આપેલું છે,તેથી:
$\frac{a - 2 + 4}{3} = 0 \Rightarrow a + 2 = 0 \Rightarrow a = -2$.
$\frac{1 + b + 7}{3} = 0 \Rightarrow b + 8 = 0 \Rightarrow b = -8$.
$\frac{3 - 5 + c}{3} = 0 \Rightarrow c - 2 = 0 \Rightarrow c = 2$.
આમ,$a, b, c$ ની કિંમતો $a = -2, b = -8, c = 2$ છે.

(C) બિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,અને $C(x_3, y_3, z_3)$ સમરેખ હોય જો $AB$ ના દિકગુણોત્તર એ $BC$ ના દિકગુણોત્તરના પ્રમાણમાં હોય.
વિકલ્પ $(A)$ માટે: બિંદુઓ $(1, -1, 1), (-1, 1, 1), (0, 0, 1)$. $AB$ ના દિકગુણોત્તર $(-2, 2, 0)$ અને $BC$ ના $(1, -1, 0)$ છે. અહીં $(-2)/1 = 2/(-1)$ હોવાથી,આ બિંદુઓ સમરેખ છે.
વિકલ્પ $(B)$ માટે: બિંદુઓ $(1, 2, 3), (3, 2, 1), (2, 2, 2)$. $AB$ ના દિકગુણોત્તર $(2, 0, -2)$ અને $BC$ ના $(-1, 0, 1)$ છે. અહીં $2/(-1) = -2/1$ હોવાથી,આ બિંદુઓ સમરેખ છે.
વિકલ્પ $(C)$ માટે: બિંદુઓ $A(-2, 4, -3), B(4, -3, -2), C(-3, -2, 4)$. $AB$ ના દિકગુણોત્તર $(6, -7, 1)$ અને $BC$ ના $(-7, 1, 6)$ છે. અહીં $6/(-7) \neq -7/1 \neq 1/6$ હોવાથી,આ બિંદુઓ અસમરેખ છે.
વિકલ્પ $(D)$ માટે: બિંદુઓ $(2, 0, -1), (3, 2, -2), (5, 6, -4)$. $AB$ ના દિકગુણોત્તર $(1, 2, -1)$ અને $BC$ ના $(2, 4, -2)$ છે. અહીં $1/2 = 2/4 = -1/(-2)$ હોવાથી,આ બિંદુઓ સમરેખ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(-2, 4, 7)$,$B(3, -6, -8)$ અને $C(1, -2, -2)$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે રેખાઓ $AB$ અને $BC$ ના દિકગુણોત્તર શોધીએ.
રેખા $AB$ ના દિકગુણોત્તર $(3 - (-2), -6 - 4, -8 - 7) = (5, -10, -15)$ છે.
રેખા $BC$ ના દિકગુણોત્તર $(1 - 3, -2 - (-6), -2 - (-8)) = (-2, 4, 6)$ છે.
આપણે જોઈએ છીએ કે દિકગુણોત્તરનો ગુણોત્તર $\frac{5}{-2} = \frac{-10}{4} = \frac{-15}{6} = -2.5$ છે.
દિકગુણોત્તર પ્રમાણસર હોવાથી,રેખાઓ $AB$ અને $BC$ સમાંતર છે.
તેઓ સામાન્ય બિંદુ $B$ ધરાવતા હોવાથી,બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ સમરેખ છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1, 1, 1)$,$B(-2, 4, 1)$,$C(-1, 5, 5)$,અને $D(2, 2, 5)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(-2-1)^2 + (4-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$BC = \sqrt{(-1-(-2))^2 + (5-4)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{1+1+16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$CD = \sqrt{(2-(-1))^2 + (2-5)^2 + (5-5)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$DA = \sqrt{(1-2)^2 + (1-2)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1+1+16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,આપણે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ તપાસીએ:
$AC = \sqrt{(-1-1)^2 + (5-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4+16+16} = \sqrt{36} = 6$.
$BD = \sqrt{(2-(-2))^2 + (2-4)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{16+4+16} = \sqrt{36} = 6$.
બધી બાજુઓ સમાન $(3\sqrt{2})$ અને બંને વિકર્ણો સમાન $(6)$ હોવાથી,આ આકૃતિ ચોરસ છે.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(0, 7, 10)$,$B(-1, 6, 6)$,અને $C(-4, 9, 6)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(-1-0)^2 + (6-7)^2 + (6-10)^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (9-6)^2 + (6-6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 9 + 0} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$AC = \sqrt{(-4-0)^2 + (9-7)^2 + (6-10)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$
હવે,પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને કાટકોણ ત્રિકોણની શરત તપાસો:
$AB^2 + BC^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 18 + 18 = 36$
$AC^2 = 6^2 = 36$
અહીં $AB^2 + BC^2 = AC^2$ હોવાથી,ત્રિકોણ કાટકોણ છે.
વળી,$AB = BC = 3\sqrt{2}$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.
તેથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(D) ધારો કે આપેલા બિંદુઓ $A(5, -4, 2)$,$B(4, -3, 1)$,$C(7, -6, 4)$ અને $D(8, -7, 5)$ છે.
સદિશોની ગણતરી કરતા:
$\vec{AB} = (4-5, -3-(-4), 1-2) = (-1, 1, -1)$
$\vec{BC} = (7-4, -6-(-3), 4-1) = (3, -3, 3)$
$\vec{CD} = (8-7, -7-(-6), 5-4) = (1, -1, 1)$
$\vec{DA} = (5-8, -4-(-7), 2-5) = (-3, 3, -3)$
અહીં નોંધો કે $\vec{BC} = -3\vec{AB}$ અને $\vec{DA} = 3\vec{AB}$ છે.
સદિશો સમરેખ હોવાથી,બિંદુઓ $A, B, C, D$ એક જ સીધી રેખા પર આવેલા છે.
તેથી,તેઓ કોઈ બહુકોણ (લંબચોરસ,ચોરસ અથવા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ) બનાવતા નથી.
આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(D) રેખા $AB$ ના દિકગુણોત્તર $(2 - (-1), 3 - 3, 5 - 2) = (3, 0, 3)$ છે.
રેખા $AC$ ના દિકગુણોત્તર $(3 - (-1), 5 - 3, -2 - 2) = (4, 2, -4)$ છે.
ધારો કે $AB$ અને $AC$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. બે રેખાઓ જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તેમની વચ્ચેના ખૂણા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\cos A = \frac{|(3)(4) + (0)(2) + (3)(-4)|}{\sqrt{3^2 + 0^2 + 3^2} \sqrt{4^2 + 2^2 + (-4)^2}}$.
$\cos A = \frac{|12 + 0 - 12|}{\sqrt{18} \sqrt{16 + 4 + 16}} = \frac{0}{\sqrt{18} \sqrt{36}} = 0$.
તેથી,$\cos A = 0$ હોવાથી $A = 90^o$ મળે છે.

(C) ધારો કે બિંદુના યામ $P(x, y, z)$ છે.
$xy$-સમતલથી બિંદુ $P(x, y, z)$ નું અંતર $|z|$ છે.
$yz$-સમતલથી બિંદુ $P(x, y, z)$ નું અંતર $|x|$ છે.
$zx$-સમતલથી બિંદુ $P(x, y, z)$ નું અંતર $|y|$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$xy$-સમતલ અને $yz$-સમતલથી તેના અંતરનો સરવાળો $zx$-સમતલથી તેના અંતર જેટલો છે:
$|z| + |x| = |y|$.
ધારો કે બિંદુ પ્રથમ અષ્ટાંશમાં આવેલું છે જ્યાં $x, y, z > 0$,તેથી $z + x = y$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $x - y + z = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના શિરોબિંદુઓ $A(-1, 0), B(3, 1), C(2, 2)$ અને $D(x, y)$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,તેથી $AC$ નું મધ્યબિંદુ અને $BD$ નું મધ્યબિંદુ સમાન હોય.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= (\frac{-1+2}{2}, \frac{0+2}{2}) = (\frac{1}{2}, 1).$
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $= (\frac{3+x}{2}, \frac{1+y}{2}).$
મધ્યબિંદુઓને સરખાવતા: $(\frac{3+x}{2}, \frac{1+y}{2}) = (\frac{1}{2}, 1).$
$x$-યામ માટે: $\frac{3+x}{2} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow 3+x = 1$ $\Rightarrow x = -2.$
$y$-યામ માટે: $\frac{1+y}{2} = 1$ $\Rightarrow 1+y = 2$ $\Rightarrow y = 1.$
આમ,ચોથું શિરોબિંદુ $(-2, 1)$ છે.

(A) વિકલ્પ $A$ માટે: વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{-2+4}{2}, \frac{-1+3}{2}) = (1, 1)$ છે. વિકર્ણ $BD$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{1+1}{2}, \frac{0+2}{2}) = (1, 1)$ છે. વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,તેથી $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: બાજુઓની લંબાઈ ગણતા,$AB = \sqrt{13}$ અને $BC = \sqrt{52}$. $AB \neq BC$ હોવાથી,તે ચોરસ નથી.
વિકલ્પ $C$ માટે: બધી બાજુઓ સમાન છે $(AB=BC=CD=DA=\sqrt{8})$,પરંતુ વિકર્ણો પણ સમાન છે $(AC=BD=4)$,તેથી તે ચોરસ છે,સમબાજુ ચતુષ્કોણ નથી.
આમ,માત્ર વિધાન $A$ સાચું છે.

(B) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $A(1, 3)$,$B(2, 0)$,$C(5, 1)$ અને $D(x, y)$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,તેથી વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ વિકર્ણ $BD$ ના મધ્યબિંદુ સમાન હોય છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= (\frac{1+5}{2}, \frac{3+1}{2}) = (3, 2)$.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $= (\frac{2+x}{2}, \frac{0+y}{2})$.
મધ્યબિંદુઓને સરખાવતા:
$\frac{2+x}{2} = 3$ $\Rightarrow 2+x = 6$ $\Rightarrow x = 4$.
$\frac{0+y}{2} = 2 \Rightarrow y = 4$.
આમ,ચોથું શિરોબિંદુ $(4, 4)$ છે.

(C) ધારો કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $D$ ના યામ નીચે મુજબ છે:
$D = \left( \frac{\lambda - 1}{2}, \frac{5 + 3}{2}, \frac{\mu + 2}{2} \right) = \left( \frac{\lambda - 1}{2}, 4, \frac{\mu + 2}{2} \right)$
મધ્યગા $AD$ ના દિકગુણોત્તરો:
$AD = \left( \frac{\lambda - 1}{2} - 2, 4 - 3, \frac{\mu + 2}{2} - 5 \right) = \left( \frac{\lambda - 5}{2}, 1, \frac{\mu - 8}{2} \right)$
મધ્યગા $AD$ યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણો બનાવતી હોવાથી,તેના દિકગુણોત્તરોનું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ:
$\left| \frac{\lambda - 5}{2} \right| = |1| = \left| \frac{\mu - 8}{2} \right|$
આનો અર્થ એ છે કે:
$\frac{\lambda - 5}{2} = \pm 1 \Rightarrow \lambda - 5 = \pm 2 \Rightarrow \lambda = 7 \text{ અથવા } 3$
$\frac{\mu - 8}{2} = \pm 1 \Rightarrow \mu - 8 = \pm 2 \Rightarrow \mu = 10 \text{ અથવા } 6$
મધ્યગા સમાન ખૂણો બનાવે તે માટે દિકગુણોત્તરો સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $\frac{\lambda - 5}{2} = 1 = \frac{\mu - 8}{2}$.
તેથી,$\lambda = 7$ અને $\mu = 10$.
વિકલ્પો તપાસતા,$\lambda = 7$ અને $\mu = 10$ માટે:
$10\lambda - 7\mu = 10(7) - 7(10) = 70 - 70 = 0$.
તેથી,સાચો સંબંધ $10\lambda - 7\mu = 0$ છે.

(B) અંતર સૂત્ર $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે બાજુઓના વર્ગની ગણતરી કરીએ છીએ:
$AB^2 = (10 - 3)^2 + (20 - 6)^2 + (30 - 9)^2 = 7^2 + 14^2 + 21^2 = 49 + 196 + 441 = 686$
$BC^2 = (25 - 10)^2 + (-41 - 20)^2 + (5 - 30)^2 = 15^2 + (-61)^2 + (-25)^2 = 225 + 3721 + 625 = 4571$
$CA^2 = (3 - 25)^2 + (6 - (-41))^2 + (9 - 5)^2 = (-22)^2 + 47^2 + 4^2 = 484 + 2209 + 16 = 2709$
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,બે બાજુઓના વર્ગનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના વર્ગ જેટલો હોવો જોઈએ (પાયથાગોરસનો પ્રમેય).
સરવાળો તપાસતા:
$AB^2 + CA^2 = 686 + 2709 = 3395 \neq 4571 (BC^2)$
$AB^2 + BC^2 = 686 + 4571 = 5257 \neq 2709 (CA^2)$
$BC^2 + CA^2 = 4571 + 2709 = 7280 \neq 686 (AB^2)$
કોઈપણ સંયોજન $a^2 + b^2 = c^2$ ની શરત સંતોષતું ન હોવાથી,બિંદુઓ $A, B, C$ કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવતા નથી.

ધારો કે બિંદુઓ $A(0, 7, -10)$,$B(1, 6, -6)$ અને $C(4, 9, -6)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (6 - 7)^2 + (-6 - (-10))^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$BC = \sqrt{(4 - 1)^2 + (9 - 6)^2 + (-6 - (-6))^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$CA = \sqrt{(0 - 4)^2 + (7 - 9)^2 + (-10 - (-6))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
અહીં $AB = BC = 3\sqrt{2}$ અને $AB \neq CA$ હોવાથી,ત્રિકોણની બે બાજુઓ સમાન છે.
તેથી,આપેલા બિંદુઓ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે.

(N/A) ધારો કે બિંદુઓ $A(0, 7, 10)$,$B(-1, 6, 6)$ અને $C(-4, 9, 6)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(-1-0)^2 + (6-7)^2 + (6-10)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (9-6)^2 + (6-6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (3)^2 + (0)^2} = \sqrt{9 + 9 + 0} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$CA = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (7-9)^2 + (10-6)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-2)^2 + (4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$
હવે,પાયથાગોરસના પ્રમેયની શરત $AB^2 + BC^2 = AC^2$ ચકાસો:
$AB^2 + BC^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 18 + 18 = 36$
$AC^2 = (6)^2 = 36$
આમ,$AB^2 + BC^2 = AC^2$ હોવાથી,બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.

(N/A) ધારો કે આપેલા બિંદુઓ $A(-1, 2, 1)$,$B(1, -2, 5)$,$C(4, -7, 8)$,અને $D(2, -3, 4)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ:
$AB = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-2 - 2)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$
$BC = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-7 - (-2))^2 + (8 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 25 + 9} = \sqrt{43}$
$CD = \sqrt{(2 - 4)^2 + (-3 - (-7))^2 + (4 - 8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$
$DA = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (2 - (-3))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 25 + 9} = \sqrt{43}$
અહીં $AB = CD = 6$ અને $BC = DA = \sqrt{43}$ હોવાથી,સામસામેની બાજુઓ સમાન છે.
તેથી,ચતુષ્કોણ $ABCD$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

$ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે તે દર્શાવવા માટે,આપણે સાબિત કરવું પડશે કે સામસામેની બાજુઓ સમાન છે.
$AB = \sqrt{(-1-1)^{2} + (-2-2)^{2} + (-1-3)^{2}} = \sqrt{4 + 16 + 16} = 6$
$BC = \sqrt{(2 - (-1))^{2} + (3 - (-2))^{2} + (2 - (-1))^{2}} = \sqrt{9 + 25 + 9} = \sqrt{43}$
$CD = \sqrt{(4-2)^{2} + (7-3)^{2} + (6-2)^{2}} = \sqrt{4 + 16 + 16} = 6$
$DA = \sqrt{(1-4)^{2} + (2-7)^{2} + (3-6)^{2}} = \sqrt{9 + 25 + 9} = \sqrt{43}$
અહીં $AB = CD$ અને $BC = DA$ હોવાથી,$ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,$ABCD$ લંબચોરસ નથી તે સાબિત કરવા માટે,આપણે દર્શાવીશું કે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ અસમાન છે.
$AC = \sqrt{(2-1)^{2} + (3-2)^{2} + (2-3)^{2}} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$
$BD = \sqrt{(4 - (-1))^{2} + (7 - (-2))^{2} + (6 - (-1))^{2}} = \sqrt{25 + 81 + 49} = \sqrt{155}$
અહીં $AC \neq BD$ હોવાથી,$ABCD$ લંબચોરસ નથી.

(A) ધારો કે $C$ ના યામ $(x, y, z)$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર $G(1,1,1)$ છે અને શિરોબિંદુઓ $A(3,-5,7)$ અને $B(-1,7,-6)$ છે.
ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રનું સૂત્ર $G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x+3-1}{3} = 1 \implies x+2 = 3 \implies x = 1$.
$\frac{y-5+7}{3} = 1 \implies y+2 = 3 \implies y = 1$.
$\frac{z+7-6}{3} = 1 \implies z+1 = 3 \implies z = 2$.
આમ,બિંદુ $C$ ના યામ $(1,1,2)$ છે.

(A) ધારો કે ચોથા શિરોબિંદુ $D$ ના યામ $(x, y, z)$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને સમાન મધ્યબિંદુ પર દુભાગે છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{3 + (-1)}{2}, \frac{-1 + 1}{2}, \frac{2 + 2}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{0}{2}, \frac{4}{2}\right) = (1, 0, 2)$.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{x + 1}{2}, \frac{y + 2}{2}, \frac{z - 4}{2}\right)$.
મધ્યબિંદુઓને સરખાવતા:
$\frac{x + 1}{2} = 1$ $\Rightarrow x + 1 = 2$ $\Rightarrow x = 1$.
$\frac{y + 2}{2} = 0$ $\Rightarrow y + 2 = 0$ $\Rightarrow y = -2$.
$\frac{z - 4}{2} = 2$ $\Rightarrow z - 4 = 4$ $\Rightarrow z = 8$.
આમ,ચોથા શિરોબિંદુ $D$ ના યામ $(1, -2, 8)$ છે.

(A) ધારો કે $AD, BE,$ અને $CF$ એ આપેલ ત્રિકોણ $ABC$ ની મધ્યગાઓ છે,જ્યાં શિરોબિંદુઓ $A(0,0,6)$,$B(0,4,0)$,અને $C(6,0,0)$ છે.
$AD$ મધ્યગા હોવાથી,$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
બિંદુ $D$ ના યામ $= \left(\frac{0+6}{2}, \frac{4+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (3,2,0)$.
$AD = \sqrt{(0-3)^{2} + (0-2)^{2} + (6-0)^{2}} = \sqrt{9+4+36} = \sqrt{49} = 7$.
$BE$ મધ્યગા હોવાથી,$E$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
બિંદુ $E$ ના યામ $= \left(\frac{0+6}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{6+0}{2}\right) = (3,0,3)$.
$BE = \sqrt{(3-0)^{2} + (0-4)^{2} + (3-0)^{2}} = \sqrt{9+16+9} = \sqrt{34}$.
$CF$ મધ્યગા હોવાથી,$F$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
બિંદુ $F$ ના યામ $= \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+4}{2}, \frac{6+0}{2}\right) = (0,2,3)$.
$CF = \sqrt{(6-0)^{2} + (0-2)^{2} + (0-3)^{2}} = \sqrt{36+4+9} = \sqrt{49} = 7$.
આમ,$\Delta ABC$ ની મધ્યગાઓની લંબાઈ $7, \sqrt{34},$ અને $7$ છે.

(A) ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રના યામ,જેના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ હોય,તે $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $P(2a, 2, 6)$,$Q(-4, 3b, -10)$ અને $R(8, 14, 2c)$ માટે,મધ્યકેન્દ્ર:
$\left(\frac{2a - 4 + 8}{3}, \frac{2 + 3b + 14}{3}, \frac{6 - 10 + 2c}{3}\right) = \left(\frac{2a + 4}{3}, \frac{3b + 16}{3}, \frac{2c - 4}{3}\right)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ એ મધ્યકેન્દ્ર હોવાથી,આપણે યામોને સરખાવીએ:
$\frac{2a + 4}{3} = 0$ $\Rightarrow 2a = -4$ $\Rightarrow a = -2$.
$\frac{3b + 16}{3} = 0$ $\Rightarrow 3b = -16$ $\Rightarrow b = -\frac{16}{3}$.
$\frac{2c - 4}{3} = 0$ $\Rightarrow 2c = 4$ $\Rightarrow c = 2$.
આમ,$a, b$ અને $c$ ની કિંમતો $a = -2, b = -\frac{16}{3}, c = 2$ છે.

(N/A) ધારો કે ચોથા શિરોબિંદુ $D$ ના યામ $(x, y, z)$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,એટલે કે તેઓ સમાન મધ્યબિંદુ $P$ ધરાવે છે.
વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ $P\left(\frac{6-2}{2}, \frac{-2+2}{2}, \frac{4+4}{2}\right) = P(2, 0, 4)$ છે.
વિકર્ણ $BD$ નું મધ્યબિંદુ $P\left(\frac{x+2}{2}, \frac{y+4}{2}, \frac{z-8}{2}\right)$ છે.
મધ્યબિંદુઓને સરખાવતા:
$\frac{x+2}{2} = 2$ $\Rightarrow x+2 = 4$ $\Rightarrow x = 2$
$\frac{y+4}{2} = 0$ $\Rightarrow y+4 = 0$ $\Rightarrow y = -4$
$\frac{z-8}{2} = 4$ $\Rightarrow z-8 = 8$ $\Rightarrow z = 16$
આમ,ચોથા શિરોબિંદુ $D$ ના યામ $(2, -4, 16)$ છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણનું ત્રીજું શિરોબિંદુ $A(x, y, z)$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $B(2, 4, 6)$ અને $C(0, -2, -5)$ છે.
ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $G$ નું સૂત્ર $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ આપેલ હોવાથી:
$(0, 0, 0) = \left(\frac{2+0+x}{3}, \frac{4-2+y}{3}, \frac{6-5+z}{3}\right)$.
યામોને સરખાવતા:
$\frac{2+x}{3} = 0 \implies x = -2$.
$\frac{2+y}{3} = 0 \implies y = -2$.
$\frac{1+z}{3} = 0 \implies z = -1$.
આમ,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(-2, -2, -1)$ છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ અને $C(x_3, y_3, z_3)$ છે.
બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ $D(1, 2, -3)$,$E(3, 0, 1)$ અને $F(-1, 1, -4)$ આપેલા છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર એ મૂળ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર સમાન જ હોય છે.
$\Delta DEF$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G(x, y, z)$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$x = \frac{1 + 3 + (-1)}{3} = \frac{3}{3} = 1$
$y = \frac{2 + 0 + 1}{3} = \frac{3}{3} = 1$
$z = \frac{-3 + 1 + (-4)}{3} = \frac{-6}{3} = -2$
તેથી,ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $G(1, 1, -2)$ છે.

(N/A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ અને $C(x_3, y_3, z_3)$ છે.
આપેલ મધ્યબિંદુઓ $D(5,7,11)$ એ $BC$ પર,$E(0,8,5)$ એ $AC$ પર અને $F(2,3,-1)$ એ $AB$ પર છે.
મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$1) \frac{x_2+x_3}{2} = 5, \frac{y_2+y_3}{2} = 7, \frac{z_2+z_3}{2} = 11 \Rightarrow x_2+x_3=10, y_2+y_3=14, z_2+z_3=22$
$2) \frac{x_1+x_3}{2} = 0, \frac{y_1+y_3}{2} = 8, \frac{z_1+z_3}{2} = 5 \Rightarrow x_1+x_3=0, y_1+y_3=16, z_1+z_3=10$
$3) \frac{x_1+x_2}{2} = 2, \frac{y_1+y_2}{2} = 3, \frac{z_1+z_2}{2} = -1 \Rightarrow x_1+x_2=4, y_1+y_2=6, z_1+z_2=-2$
$x$ માટેના તમામ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(x_2+x_3) + (x_1+x_3) + (x_1+x_2) = 10+0+4 = 14$ $\Rightarrow 2(x_1+x_2+x_3) = 14$ $\Rightarrow x_1+x_2+x_3 = 7$
$x_1 = (x_1+x_2+x_3) - (x_2+x_3) = 7-10 = -3$
$x_2 = (x_1+x_2+x_3) - (x_1+x_3) = 7-0 = 7$
$x_3 = (x_1+x_2+x_3) - (x_1+x_2) = 7-4 = 3$
તે જ રીતે $y$ માટે:
$y_1+y_2+y_3 = (14+16+6)/2 = 18$
$y_1 = 18-14 = 4, y_2 = 18-16 = 2, y_3 = 18-6 = 12$
તે જ રીતે $z$ માટે:
$z_1+z_2+z_3 = (22+10-2)/2 = 15$
$z_1 = 15-22 = -7, z_2 = 15-10 = 5, z_3 = 15-(-2) = 17$
આમ,શિરોબિંદુઓ $A(-3, 4, -7)$,$B(7, 2, 5)$ અને $C(3, 12, 17)$ છે.

(N/A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. તેથી,વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ વિકર્ણ $BD$ ના મધ્યબિંદુ સમાન હોય છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{1+2}{2}, \frac{2+3}{2}, \frac{3+2}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right)$
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{x-1}{2}, \frac{y-2}{2}, \frac{z-1}{2}\right)$
મધ્યબિંદુઓને સરખાવતા:
$\frac{x-1}{2} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow x-1 = 3$ $\Rightarrow x = 4$
$\frac{y-2}{2} = \frac{5}{2}$ $\Rightarrow y-2 = 5$ $\Rightarrow y = 7$
$\frac{z-1}{2} = \frac{5}{2}$ $\Rightarrow z-1 = 5$ $\Rightarrow z = 6$
આમ,ચોથા શિરોબિંદુ $D$ ના યામ $(4, 7, 6)$ છે.

(A) ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(a, 1, 3)$,$B(-2, b, -5)$ અને $C(4, 7, c)$ છે.
ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $G$ શોધવાનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ છે.
અહીં મધ્યકેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $G(0, 0, 0)$ આપેલું છે,તેથી:
$G(0, 0, 0) = \left(\frac{a-2+4}{3}, \frac{1+b+7}{3}, \frac{3-5+c}{3}\right)$.
યામોને સરખાવતા:
$0 = \frac{a+2}{3} \implies a+2 = 0 \implies a = -2$.
$0 = \frac{b+8}{3} \implies b+8 = 0 \implies b = -8$.
$0 = \frac{c-2}{3} \implies c-2 = 0 \implies c = 2$.
આમ,$a = -2, b = -8, c = 2$ મળે છે.

(N/A) ધારો કે $D$ ના યામ $(x, y, z)$ છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈની ગણતરી કરો:
$AB = \sqrt{(5-2)^2 + (6-2)^2 + (9 - (-3))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$
$AC = \sqrt{(2-2)^2 + (7-2)^2 + (9 - (-3))^2} = \sqrt{0^2 + 5^2 + 12^2} = \sqrt{0 + 25 + 144} = \sqrt{169} = 13$
અહીં $AB = AC = 13$ હોવાથી,$\triangle ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં,શિરોબિંદુના ખૂણાનો દ્વિભાજક એ પાયા પરની મધ્યગા પણ હોય છે.
તેથી,$AD$ એ $BC$ પરની મધ્યગા છે,જેનો અર્થ છે કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$D$ ના યામ મધ્યબિંદુના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$D = \left(\frac{5+2}{2}, \frac{6+7}{2}, \frac{9+9}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{13}{2}, 9\right)$

(N/A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2)$ અને $C(x_3, y_3, z_3)$ છે.
મધ્યબિંદુઓ $D(1, 5, -1)$ એ $BC$ પર,$E(0, 4, -2)$ એ $AC$ પર,અને $F(2, 3, 4)$ એ $AB$ પર છે.
મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x_1+x_2}{2} = 2, \frac{y_1+y_2}{2} = 3, \frac{z_1+z_2}{2} = 4 \implies x_1+x_2 = 4, y_1+y_2 = 6, z_1+z_2 = 8$ $(i)$
$\frac{x_1+x_3}{2} = 0, \frac{y_1+y_3}{2} = 4, \frac{z_1+z_3}{2} = -2 \implies x_1+x_3 = 0, y_1+y_3 = 8, z_1+z_3 = -4$ (ii)
$\frac{x_2+x_3}{2} = 1, \frac{y_2+y_3}{2} = 5, \frac{z_2+z_3}{2} = -1 \implies x_2+x_3 = 2, y_2+y_3 = 10, z_2+z_3 = -2$ (iii)
$(i)$,(ii),અને (iii) નો સરવાળો કરતા: $2(x_1+x_2+x_3) = 6 \implies x_1+x_2+x_3 = 3$. તેવી જ રીતે,$y_1+y_2+y_3 = 12$ અને $z_1+z_2+z_3 = 1$.
સરવાળામાંથી (iii) બાદ કરતા: $x_1 = 3-2 = 1, y_1 = 12-10 = 2, z_1 = 1-(-2) = 3$. તેથી,$A = (1, 2, 3)$.
સરવાળામાંથી (ii) બાદ કરતા: $x_2 = 3-0 = 3, y_2 = 12-8 = 4, z_2 = 1-(-4) = 5$. તેથી,$B = (3, 4, 5)$.
સરવાળામાંથી $(i)$ બાદ કરતા: $x_3 = 3-4 = -1, y_3 = 12-6 = 6, z_3 = 1-8 = -7$. તેથી,$C = (-1, 6, -7)$.
મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right) = \left(\frac{3}{3}, \frac{12}{3}, \frac{1}{3}\right) = (1, 4, 1/3)$.

(A) ધારો કે આપેલા બિંદુઓ $A(-1, -1, 2), B(2, m, 5)$ અને $C(3, 11, 6)$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,સદિશો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{BC}$ સમાંતર હોવા જોઈએ.
$\overrightarrow{AB} = (2 - (-1))\hat{i} + (m - (-1))\hat{j} + (5 - 2)\hat{k} = 3\hat{i} + (m + 1)\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\overrightarrow{BC} = (3 - 2)\hat{i} + (11 - m)\hat{j} + (6 - 5)\hat{k} = 1\hat{i} + (11 - m)\hat{j} + 1\hat{k}$.
$\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{BC}$ હોવાથી:
$3 = k(1) \Rightarrow k = 3$.
$\hat{j}$ ઘટકોને સરખાવતા: $m + 1 = k(11 - m)$.
$k = 3$ મૂકતા: $m + 1 = 3(11 - m)$.
$m + 1 = 33 - 3m$.
$4m = 32$.
$m = 8$.

(C) ધારો કે ચોરસ આધારની બાજુની લંબાઈ $x$ છે અને લંબઘનની ઊંચાઈ $y$ છે,જ્યાં $x, y \in \mathbb{Z}^+$.
લંબઘનની બધી ધારનો સરવાળો $4x + 4x + 4y = 8x + 4y$ છે.
બધી છ સપાટીઓના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો $2x^2 + 4xy$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ધારનો સરવાળો = ક્ષેત્રફળનો સરવાળો:
$8x + 4y = 2x^2 + 4xy$
$2$ વડે ભાગતા:
$4x + 2y = x^2 + 2xy$
$y$ માટે ઉકેલતા:
$2y - 2xy = x^2 - 4x$
$2y(1 - x) = x(x - 4)$
$y = \frac{x(4 - x)}{2(x - 1)}$
$y > 0$ હોવાથી,$1 < x < 4$ હોવું જોઈએ. તેથી,$x$ ની કિંમત $2$ અથવા $3$ હોઈ શકે.
જો $x = 2$,તો $y = \frac{2(4 - 2)}{2(2 - 1)} = 2$.
ધારનો સરવાળો $= 8(2) + 4(2) = 24$.
જો $x = 3$,તો $y = \frac{3}{4}$,જે પૂર્ણાંક નથી.
આમ,એકમાત્ર પૂર્ણાંક ઉકેલ $x = 2, y = 2$ છે અને ધારનો સરવાળો $24$ છે.

(B) બિંદુ $A(x, y, z)$ એ $xy$-સમતલમાં હોવાથી,$z = 0$ થાય. તેથી,$A = (x, y, 0)$.
આપેલ છે કે $AP^2 = AQ^2 = AR^2$.
$AR^2 = x^2 + y^2 + (0 - 1)^2 = x^2 + y^2 + 1$.
$AP^2 = x^2 + (y - 3)^2 + (0 - 2)^2 = x^2 + y^2 - 6y + 9 + 4 = x^2 + y^2 - 6y + 13$.
$AQ^2 = (x - 2)^2 + y^2 + (0 - 3)^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2 + 9 = x^2 + y^2 - 4x + 13$.
$AP^2 = AR^2$ ને સરખાવતા: $x^2 + y^2 - 6y + 13 = x^2 + y^2 + 1 \implies 6y = 12 \implies y = 2$.
$AQ^2 = AR^2$ ને સરખાવતા: $x^2 + y^2 - 4x + 13 = x^2 + y^2 + 1 \implies 4x = 12 \implies x = 3$.
તેથી,$A = (3, 2, 0)$.
હવે,$A(3, 2, 0)$,$B(1, 4, -1)$ અને $C(2, 0, -2)$ સાથે $\triangle ABC$ ની બાજુઓની લંબાઈ શોધો:
$AB^2 = (3 - 1)^2 + (2 - 4)^2 + (0 - (-1))^2 = 2^2 + (-2)^2 + 1^2 = 4 + 4 + 1 = 9 \implies AB = 3$.
$AC^2 = (3 - 2)^2 + (2 - 0)^2 + (0 - (-2))^2 = 1^2 + 2^2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9 \implies AC = 3$.
$BC^2 = (1 - 2)^2 + (4 - 0)^2 + (-1 - (-2))^2 = (-1)^2 + 4^2 + 1^2 = 1 + 16 + 1 = 18 \implies BC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
અહીં $AB = AC = 3$ અને $AB^2 + AC^2 = 9 + 9 = 18 = BC^2$ હોવાથી,$\triangle ABC$ એ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે. તેથી,$(S1)$ સાચું છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2}$.
અહીં $\frac{9}{2} \neq \frac{9\sqrt{2}}{2}$ હોવાથી,$(S2)$ ખોટું છે.
તેથી,માત્ર $(S1)$ સાચું છે.

(D) $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ નિશ્ચાયક સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} |4(1 - (-3)) + 1(-3 - (-2)) + 9(-2 - 1)|$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} |4(4) + 1(-1) + 9(-3)| = \frac{1}{2} |16 - 1 - 27| = \frac{1}{2} |-12| = 6$ ચોરસ એકમ.
ત્રિકોણ $ABC$ માં અંતર્ગત સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $AFDE$ માટે,જ્યાં $D$ એ $BC$ પર,$E$ એ $CA$ પર અને $F$ એ $AB$ પર છે,તેનું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણ $ABC$ ના ક્ષેત્રફળના અડધા જેટલું હોય છે.
$\text{Maximum Area} = \frac{1}{2} \times \text{Area}(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \times 6 = 3$ ચોરસ એકમ.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ હોય તો તેનું મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$G = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3})$
આપેલ શિરોબિંદુઓ $P(1, -2, 1)$,$Q(2, 3, -1)$ અને $R(1, -1, -1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x$-યામ $= \frac{1 + 2 + 1}{3} = \frac{4}{3}$
$y$-યામ $= \frac{-2 + 3 - 1}{3} = \frac{0}{3} = 0$
$z$-યામ $= \frac{1 - 1 - 1}{3} = -\frac{1}{3}$
આમ,મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{4}{3}, 0, -\frac{1}{3})$ છે.

(C) ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $G$ નું સૂત્ર $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ અને $C(x_3, y_3, z_3)$ માટે નીચે મુજબ છે:
$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} \right)$.
અહીં $G = (0,0,0)$,$A = (1,1,1)$ અને $B = (2,1,2)$ આપેલ છે:
$\frac{1 + 2 + x}{3} = 0 \implies 3 + x = 0 \implies x = -3$.
$\frac{1 + 1 + y}{3} = 0 \implies 2 + y = 0 \implies y = -2$.
$\frac{1 + 2 + z}{3} = 0 \implies 3 + z = 0 \implies z = -3$.
તેથી,$(x, y, z) = (-3, -2, -3)$.

(A) બિંદુઓ $A(1, 1, 2), B(2, 1, 2)$ અને $C(2, 2, 1)$ સમરેખ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
$\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (1-1)\hat{j} + (2-2)\hat{k} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = \hat{i}$.
$\vec{BC} = (2-2)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (1-2)\hat{k} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k} = \hat{j} - \hat{k}$.
કારણ કે $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ સમાંતર નથી (તેઓ એકબીજાના અદિશ ગુણાંક નથી),તેથી બિંદુઓ સમરેખ નથી.
અવકાશમાં ત્રણ અસમરેખ બિંદુઓ હંમેશા ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ બનાવે છે.
તેથી,$A, B, C$ એ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે.

(A) આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(-4, 5, p)$,$B(3, 1, 4)$ અને $C(-2, 0, q)$ છે.
ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $G(r, q, 1)$ એ $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
યામ સરખાવતા:
$r = \frac{-4+3-2}{3} = -1$
$q = \frac{5+1+0}{3} = 2$
$1 = \frac{p+4+q}{3} \Rightarrow p+4+q = 3$
$q=2$ મુકતા: $p+4+2 = 3 \Rightarrow p = -3$.
હવે,$2p + q - r$ ની કિંમત:
$2(-3) + 2 - (-1) = -6 + 2 + 1 = -3$.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,અને $C(x_3, y_3, z_3)$ માટે મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ થાય.
અહીં $A(x, 4, -1)$,$B(3, x, -5)$,$C(2, -2, 3)$,અને $G(2, 1, -1)$ આપેલ છે.
$x$-યામ સરખાવતા: $\frac{x+3+2}{3} = 2$.
$x + 5 = 6$.
$x = 1$.
$y$-યામ માટે ચકાસતા: $\frac{4+x-2}{3} = 1$ $\Rightarrow 2+x = 3$ $\Rightarrow x = 1$.
આમ,$x$ ની કિંમત $1$ છે.

(D) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ માટે મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ થાય.
આપેલ $G = (r, -\frac{4}{3}, \frac{1}{3})$ ને સરખાવતા:
$r = \frac{5+1+1}{3} = \frac{7}{3}$
$-\frac{4}{3} = \frac{1+q-2}{3}$ $\Rightarrow -4 = q-1$ $\Rightarrow q = -3$
$\frac{1}{3} = \frac{p+p+3}{3}$ $\Rightarrow 1 = 2p+3$ $\Rightarrow 2p = -2$ $\Rightarrow p = -1$
આમ,$p = -1, q = -3, r = \frac{7}{3}$ મળે છે.

(D) ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $G(x, y, z)$ નું સૂત્ર $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ છે.
આપેલ છે કે $G(4, 3, 3)$,$A(a, 3, 1)$,$B(4, 5, b)$ અને $C(6, c, 5)$ છે.
$\frac{a+4+6}{3} = 4$ $\Rightarrow a+10 = 12$ $\Rightarrow a = 2$.
$\frac{3+5+c}{3} = 3$ $\Rightarrow 8+c = 9$ $\Rightarrow c = 1$.
$\frac{1+b+5}{3} = 3$ $\Rightarrow 6+b = 9$ $\Rightarrow b = 3$.
આમ,$a=2, b=3, c=1$.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$,અને $(x_3, y_3, z_3)$ માટે મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $A(7, -8, 1)$,$B(p, q, 5)$,$C(q+1, 5p, 0)$,અને $G(3, -5, r)$.
યામોને સરખાવતા:
$3 = \frac{7 + p + q + 1}{3} \implies 9 = 8 + p + q \implies p + q = 1 \quad (1)$
$-5 = \frac{-8 + q + 5p}{3} \implies -15 = -8 + q + 5p \implies 5p + q = -7 \quad (2)$
$r = \frac{1 + 5 + 0}{3} = \frac{6}{3} = 2$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(5p + q) - (p + q) = -7 - 1$
$4p = -8 \implies p = -2$
$p = -2$ ને $(1)$ માં મુકતા:
$-2 + q = 1 \implies q = 3$
આમ,$p = -2, q = 3, r = 2$.

(C) શિરોબિંદુઓ $A(0,4,0)$,$B(0,0,3)$ અને $C(0,4,3)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈની ગણતરી:
$a = BC = \sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2 + (3-3)^2} = 4$.
$b = AC = \sqrt{(0-0)^2 + (4-4)^2 + (3-0)^2} = 3$.
$c = AB = \sqrt{(0-0)^2 + (0-4)^2 + (3-0)^2} = 5$.
અંતઃકેન્દ્ર $I(x, y, z)$ નું સૂત્ર:
$I = \left( \frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}, \frac{ay_A + by_B + cy_C}{a+b+c}, \frac{az_A + bz_B + cz_C}{a+b+c} \right)$.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{4(0) + 3(0) + 5(0)}{12} = 0$.
$y = \frac{4(4) + 3(0) + 5(4)}{12} = \frac{36}{12} = 3$.
$z = \frac{4(0) + 3(3) + 5(3)}{12} = \frac{24}{12} = 2$.
આમ,અંતઃકેન્દ્ર $(0,3,2)$ છે.

(D) $A(2, p, -3)$,$B(q, -2, 5)$ અને $C(-5, 1, r)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ એ મધ્યકેન્દ્ર છે:
$x$-યામ માટે: $\frac{2+q-5}{3} = 0$ $\Rightarrow q-3 = 0$ $\Rightarrow q = 3$.
$y$-યામ માટે: $\frac{p-2+1}{3} = 0$ $\Rightarrow p-1 = 0$ $\Rightarrow p = 1$.
$z$-યામ માટે: $\frac{-3+5+r}{3} = 0$ $\Rightarrow r+2 = 0$ $\Rightarrow r = -2$.
આમ,$p=1, q=3, r=-2$.

(B) $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$,$(x_3, y_3, z_3)$,અને $(x_4, y_4, z_4)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું મધ્યકેન્દ્ર $G$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$G = \left( \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4} \right)$
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(3, -5, x)$,$B(5, 4, 2)$,$C(7, -7, y)$,$D(1, 0, z)$ અને મધ્યકેન્દ્ર $G(4, -2, 2)$ માટે,આપણે યામોને સરખાવીએ:
$z$-યામ માટે:
$\frac{x + 2 + y + z}{4} = 2$
$x + y + z + 2 = 8$
$x + y + z = 8 - 2$
$x + y + z = 6$

(B) ધારો કે ત્રીજા શિરોબિંદુ $C$ ના યામ $(x, y, z)$ છે.
$G$ એ $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર હોવાથી,$G$ ના યામ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \right)$
અહીં $A(3, 1, 4)$,$B(-4, 5, -3)$ અને $G(-1, 2, 1)$ આપેલ છે:
$-1 = \frac{3 - 4 + x}{3} \implies -3 = -1 + x \implies x = -2$
$2 = \frac{1 + 5 + y}{3} \implies 6 = 6 + y \implies y = 0$
$1 = \frac{4 - 3 + z}{3} \implies 3 = 1 + z \implies z = 2$
તેથી,ત્રીજું શિરોબિંદુ $C$ એ $(-2, 0, 2)$ છે.