Triangle and Parallelogram Questions in Gujarati

(D) ધારો કે શિરોબિંદુ $B$ ના યામ $(x_1, y_1, z_1)$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_A, y_A, z_A)$,$B(x_B, y_B, z_B)$ અને $C(x_C, y_C, z_C)$ હોય તો મધ્યકેન્દ્ર $G$ ના યામ $\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3}, \frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)$ થાય.
આપેલ છે કે $A(1,4,2)$,$C(5,-7,1)$ અને $G\left(\frac{4}{3}, 0, \frac{-2}{3}\right)$,તેથી:
$\frac{1+x_1+5}{3} = \frac{4}{3} \Rightarrow 6+x_1 = 4 \Rightarrow x_1 = -2$
$\frac{4+y_1-7}{3} = 0 \Rightarrow y_1-3 = 0 \Rightarrow y_1 = 3$
$\frac{2+z_1+1}{3} = \frac{-2}{3} \Rightarrow 3+z_1 = -2 \Rightarrow z_1 = -5$
આમ,$B = (-2, 3, -5)$.
બાજુ $BC$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{x_B+x_C}{2}, \frac{y_B+y_C}{2}, \frac{z_B+z_C}{2}\right)$ થાય.
મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{-2+5}{2}, \frac{3-7}{2}, \frac{-5+1}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, -2, -2\right)$.

(D) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ હોય તો તેનું મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $A(7, -8, 1)$,$B(p, q, 5)$,$C(q+1, 5p, 0)$ અને $G(3, -5, r)$.
યામોને સરખાવતા:
$x$-યામ: $\frac{7+p+q+1}{3} = 3 \Rightarrow p+q+8 = 9 \Rightarrow p+q = 1$ (સમીકરણ $1$)
$y$-યામ: $\frac{-8+q+5p}{3} = -5 \Rightarrow 5p+q-8 = -15 \Rightarrow 5p+q = -7$ (સમીકરણ $2$)
$z$-યામ: $\frac{1+5+0}{3} = r \Rightarrow r = \frac{6}{3} = 2$
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(5p+q) - (p+q) = -7 - 1 \Rightarrow 4p = -8 \Rightarrow p = -2$.
$p = -2$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $-2 + q = 1 \Rightarrow q = 3$.
આમ,$p = -2, q = 3, r = 2$ મળે છે.

(D) ધારો કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $D$ ના યામ નીચે મુજબ છે:
$D = \left( \frac{\lambda - 1}{2}, \frac{5 + 3}{2}, \frac{\mu + 2}{2} \right) = \left( \frac{\lambda - 1}{2}, 4, \frac{\mu + 2}{2} \right)$.
મધ્યગા $AD$ ના દિકગુણોત્તર $D$ અને $A$ ના યામોના તફાવત દ્વારા મળે છે:
$AD = \left( \frac{\lambda - 1}{2} - 2, 4 - 3, \frac{\mu + 2}{2} - 5 \right) = \left( \frac{\lambda - 5}{2}, 1, \frac{\mu - 8}{2} \right)$.
મધ્યગા $AD$ એ યામ અક્ષો સાથે સમાન નમેલી હોવાથી,તેના દિકગુણોત્તર $(1, 1, 1)$ અથવા $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$ ના પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ.
આમ,આપણને મળે છે:
$\frac{\lambda - 5}{2} = 1 \implies \lambda - 5 = 2 \implies \lambda = 7$.
$\frac{\mu - 8}{2} = 1 \implies \mu - 8 = 2 \implies \mu = 10$.
તેથી,$\lambda = 7$ અને $\mu = 10$ છે.

(D) આપેલ શિરોબિંદુઓ $A \equiv(0,3,0), B \equiv(0,0,4)$,અને $C \equiv(0,3,4)$ છે.
પ્રથમ,બાજુઓની લંબાઈની ગણતરી કરો:
$a = BC = \sqrt{(0-0)^2 + (3-0)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{0+9+0} = 3$
$b = CA = \sqrt{(0-0)^2 + (3-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{0+0+16} = 4$
$c = AB = \sqrt{(0-0)^2 + (0-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{0+9+16} = \sqrt{25} = 5$
હવે,અંતઃકેન્દ્ર $I = \left(\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c}, \frac{az_1+bz_2+cz_3}{a+b+c}\right)$:
$I = \left(\frac{3(0)+4(0)+5(0)}{3+4+5}, \frac{3(3)+4(0)+5(3)}{3+4+5}, \frac{3(0)+4(4)+5(4)}{3+4+5}\right)$
$I = \left(\frac{0}{12}, \frac{9+0+15}{12}, \frac{0+16+20}{12}\right) = \left(0, \frac{24}{12}, \frac{36}{12}\right) = (0, 2, 3)$
મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$:
$G = \left(\frac{0+0+0}{3}, \frac{3+0+3}{3}, \frac{0+4+4}{3}\right) = \left(0, \frac{6}{3}, \frac{8}{3}\right) = \left(0, 2, \frac{8}{3}\right)$
આમ,અંતઃકેન્દ્ર અને મધ્યકેન્દ્ર અનુક્રમે $(0, 2, 3)$ અને $\left(0, 2, \frac{8}{3}\right)$ છે.

(C) $\triangle ABP$ અને $\triangle CDP$ માં,$AB \parallel DC$ અને $AB = DC$ છે. $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AP = PB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} DC$ થાય.
$\triangle APR$ અને $\triangle CPD$ ને ધ્યાનમાં લો:
$\angle PAR = \angle PCD$ (યુગ્મકોણ,કારણ કે $AB \parallel DC$)
$\angle APR = \angle CPD$ (અભિકોણ)
તેથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle APR \sim \triangle CPD$ થાય.
તેથી,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય:
$\frac{AR}{CR} = \frac{AP}{CD} = \frac{\frac{1}{2} AB}{AB} = \frac{1}{2}$.
આમ,$R$ એ $AC$ નું $1: 2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(A) આપેલ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $P(3,2,6), Q(1,4,5)$ અને $R(3,5,3)$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\vec{QP}$ અને $\vec{QR}$ ના દિશા ગુણોત્તર શોધીએ.
સદિશ $\vec{QP} = (3-1, 2-4, 6-5) = (2, -2, 1)$.
સદિશ $\vec{QR} = (3-1, 5-4, 3-5) = (2, 1, -2)$.
હવે,આપણે $\vec{QP}$ અને $\vec{QR}$ નો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શોધીએ:
$\vec{QP} \cdot \vec{QR} = (2)(2) + (-2)(1) + (1)(-2) = 4 - 2 - 2 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સદિશો $\vec{QP}$ અને $\vec{QR}$ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,$m \angle PQR = 90^{\circ}$ થાય.

(A) $A(-1, 2, 3)$,$B(3, -2, 1)$,$C(2, 1, 3)$ અને $D(-1, -2, 4)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4}\right)$
આપેલ યામોની કિંમતો મૂકતા:
$G = \left(\frac{-1+3+2-1}{4}, \frac{2-2+1-2}{4}, \frac{3+1+3+4}{4}\right)$
$G = \left(\frac{3}{4}, \frac{-1}{4}, \frac{11}{4}\right)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર એ મૂળ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર જેટલું જ હોય છે.
ધારો કે મધ્યબિંદુઓ $M_1 = (1, 5, -1)$,$M_2 = (0, 4, -2)$ અને $M_3 = (2, 3, 4)$ છે.
આ મધ્યબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $G(x, y, z)$ તેમના યામોની સરેરાશ દ્વારા મળે છે:
$x = \frac{1 + 0 + 2}{3} = \frac{3}{3} = 1$
$y = \frac{5 + 4 + 3}{3} = \frac{12}{3} = 4$
$z = \frac{-1 - 2 + 4}{3} = \frac{1}{3}$
તેથી,મધ્યકેન્દ્ર $(1, 4, 1/3)$ છે.

(D) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0,0,0)$,$A(3,0,0)$,અને $B(0,4,0)$ છે.
ધારો કે બાજુઓની લંબાઈ $a, b, c$ છે જે અનુક્રમે શિરોબિંદુઓ $A, B, O$ ની સામે છે.
$a = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(0-3)^2 + (4-0)^2 + (0-0)^2} = 5$.
$b = |\overrightarrow{OB}| = 4$.
$c = |\overrightarrow{OA}| = 3$.
અંતઃકેન્દ્ર $I$ ના યામ $\left( \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c}, \frac{az_1 + bz_2 + cz_3}{a+b+c} \right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I = \left( \frac{5(0) + 4(3) + 3(0)}{5+4+3}, \frac{5(0) + 4(0) + 3(4)}{5+4+3}, \frac{5(0) + 4(0) + 3(0)}{5+4+3} \right)$.
$I = \left( \frac{12}{12}, \frac{12}{12}, \frac{0}{12} \right) = (1, 1, 0)$.

(C) $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(a, 1, 3)$,$(-2, b, -5)$ અને $(4, 7, c)$ માટે મધ્યકેન્દ્ર $(0, 0, 0)$ છે:
$\frac{a-2+4}{3} = 0 \Rightarrow a = -2$
$\frac{1+b+7}{3} = 0 \Rightarrow b = -8$
$\frac{3-5+c}{3} = 0 \Rightarrow c = 2$
તેથી,$a^2 + b^2 + c^2 = (-2)^2 + (-8)^2 + (2)^2 = 4 + 64 + 4 = 72$.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓના યામ $O(0, 0, 0)$,$A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,અને $C(x_3, y_3, z_3)$ છે.
ચતુષ્ફલક $OABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{0+x_1+x_2+x_3}{4}, \frac{0+y_1+y_2+y_3}{4}, \frac{0+z_1+z_2+z_3}{4}\right) = (2, -1, 2)$ છે.
આથી $\frac{x_1+x_2+x_3}{4} = 2 \Rightarrow x_1+x_2+x_3 = 8$,$\frac{y_1+y_2+y_3}{4} = -1 \Rightarrow y_1+y_2+y_3 = -4$,અને $\frac{z_1+z_2+z_3}{4} = 2 \Rightarrow z_1+z_2+z_3 = 8$.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G_1 = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$G_1 = \left(\frac{8}{3}, \frac{-4}{3}, \frac{8}{3}\right)$ મળે.
અંતર $\left|\overline{O G_1}\right| = \sqrt{\left(\frac{8}{3}\right)^2 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{8}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{64}{9} + \frac{16}{9} + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{144}{9}} = \sqrt{16} = 4$.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(0,0,0), B(3,0,0)$ અને $C(0,4,0)$ છે.
પ્રથમ,આપણે શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ની સામેની બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ:
$a = BC = \sqrt{(0-3)^2 + (4-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9+16} = 5$
$b = AC = \sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2 + (0-0)^2} = 4$
$c = AB = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2 + (0-0)^2} = 3$
અંતઃકેન્દ્ર $(x, y, z)$ ના યામ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$x = \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, y = \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c}, z = \frac{az_1 + bz_2 + cz_3}{a+b+c}$
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{5(0) + 4(3) + 3(0)}{5+4+3} = \frac{12}{12} = 1$
$y = \frac{5(0) + 4(0) + 3(4)}{5+4+3} = \frac{12}{12} = 1$
$z = \frac{5(0) + 4(0) + 3(0)}{5+4+3} = 0$
આમ,અંતઃકેન્દ્ર $(1, 1, 0)$ છે.

(A) આપેલ બિંદુઓ $P(0, 7, 10)$,$Q(-1, 6, 6)$ અને $R(-4, 9, 6)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$PQ = \sqrt{(-1-0)^2 + (6-7)^2 + (6-10)^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$QR = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (9-6)^2 + (6-6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 9 + 0} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$PR = \sqrt{(-4-0)^2 + (9-7)^2 + (6-10)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
અહીં $PQ = QR = 3\sqrt{2}$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.
વળી,$PQ^2 + QR^2 = 18 + 18 = 36 = PR^2$. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$\triangle PQR$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
તેથી,$\triangle PQR$ એ કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(A) $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{3+4+6}{3}, \frac{2+1+2}{3}, \frac{-1+1+5}{3}\right) = \left(\frac{13}{3}, \frac{5}{3}, \frac{5}{3}\right)$ છે.
કારણ કે $D, E, F$ બાજુઓ $BC, CA, AB$ ને સમાન ગુણોત્તર $k:1$ (જ્યાં $k=2$) માં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\triangle DEF$ નું મધ્યકેન્દ્ર એ $\triangle ABC$ ના મધ્યકેન્દ્ર સમાન જ હોય છે.
તેથી,$\triangle DEF$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{13}{3}, \frac{5}{3}, \frac{5}{3}\right)$ છે.

(D) ધારો કે $A(1, 2, 3), B(3, -1, 5), C(4, 0, -3)$ એ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે. ધારો કે $O(x, y, z)$ એ પરિકેન્દ્ર છે. તેથી $OA = OB = OC$,જેનો અર્થ છે કે $OA^2 = OB^2 = OC^2$.
$OA^2 = OB^2 \Rightarrow (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = (x-3)^2 + (y+1)^2 + (z-5)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + z^2 - 6z + 9 = x^2 - 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 + z^2 - 10z + 25$
$4x - 6y + 4z = 20 \Rightarrow 2x - 3y + 2z = 10 \quad \dots (i)$
$OB^2 = OC^2 \Rightarrow (x-3)^2 + (y+1)^2 + (z-5)^2 = (x-4)^2 + y^2 + (z+3)^2$
$x^2 - 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 + z^2 - 10z + 25 = x^2 - 8x + 16 + y^2 + z^2 + 6z + 9$
$2x + 2y - 16z = -10 \Rightarrow x + y - 8z = -5 \quad \dots (ii)$
$OA^2 = OC^2 \Rightarrow (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = (x-4)^2 + y^2 + (z+3)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + z^2 - 6z + 9 = x^2 - 8x + 16 + y^2 + z^2 + 6z + 9$
$6x - 4y - 12z = 11 \quad \dots (iii)$
સમીકરણો $(i), (ii),$ અને $(iii)$ ઉકેલતા,આપણને $x = \frac{7}{2}, y = -\frac{1}{2}, z = 1$ મળે છે.
આમ,પરિકેન્દ્ર $\left(\frac{7}{2}, -\frac{1}{2}, 1\right)$ છે.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$,અને $(x_3, y_3, z_3)$ માટે મધ્યકેન્દ્ર $G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ છે.
શિરોબિંદુઓ $(2, 3, -1)$,$(5, 6, 3)$,$(2, -3, 1)$ માટે:
$G = (\frac{2+5+2}{3}, \frac{3+6-3}{3}, \frac{-1+3+1}{3}) = (\frac{9}{3}, \frac{6}{3}, \frac{3}{3}) = (3, 2, 1)$. તેથી,$A-s$.
$(B)$ સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,પરિકેન્દ્ર એ મધ્યકેન્દ્ર સમાન હોય છે.
શિરોબિંદુઓ $(1, 2, 3)$,$(2, 3, 1)$,$(3, 1, 2)$ માટે:
$C = (\frac{1+2+3}{3}, \frac{2+3+1}{3}, \frac{3+1+2}{3}) = (\frac{6}{3}, \frac{6}{3}, \frac{6}{3}) = (2, 2, 2)$. તેથી,$B-p$.
$(C)$ સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,લંબકેન્દ્ર એ મધ્યકેન્દ્ર સમાન હોય છે.
શિરોબિંદુઓ $(2, 1, 5)$,$(3, 2, 3)$,$(4, 0, 4)$ માટે:
$O = (\frac{2+3+4}{3}, \frac{1+2+0}{3}, \frac{5+3+4}{3}) = (\frac{9}{3}, \frac{3}{3}, \frac{12}{3}) = (3, 1, 4)$. તેથી,$C-q$.
$(D)$ કાટકોણ ત્રિકોણ માટે જેના શિરોબિંદુઓ $(0, 0, 0)$,$(a, 0, 0)$,અને $(0, b, 0)$ હોય,તેનું અંતઃકેન્દ્ર $(\frac{ab}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}, \frac{ab}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}, 0)$ છે.
અહીં,શિરોબિંદુઓ $(0, 0, 0)$,$(3, 0, 0)$,$(0, 4, 0)$ છે. તેથી,$a=3, b=4$. કર્ણ $c = \sqrt{3^2+4^2} = 5$.
$I = (\frac{3 \times 4}{3+4+5}, \frac{3 \times 4}{3+4+5}, 0) = (\frac{12}{12}, \frac{12}{12}, 0) = (1, 1, 0)$. તેથી,$D-r$.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ માટે મધ્યકેન્દ્ર $G$ નું સૂત્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ છે.
આપેલ $G = \left(5, -1, \frac{2}{3}\right)$ પરથી:
$\frac{1+h-4}{3} = 5$ $\Rightarrow h-3 = 15$ $\Rightarrow h = 18$.
$\frac{2-3+k}{3} = -1$ $\Rightarrow k-1 = -3$ $\Rightarrow k = -2$.
આમ,શિરોબિંદુઓ $A(1, 2, 3)$,$B(18, -3, 0)$ અને $C(-4, -2, -1)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈના વર્ગની ગણતરી કરતા:
$AB^2 = (18-1)^2 + (-3-2)^2 + (0-3)^2 = 17^2 + (-5)^2 + (-3)^2 = 289 + 25 + 9 = 323$.
$BC^2 = (-4-18)^2 + (-2-(-3))^2 + (-1-0)^2 = (-22)^2 + 1^2 + (-1)^2 = 484 + 1 + 1 = 486$.
$CA^2 = (-4-1)^2 + (-2-2)^2 + (-1-3)^2 = (-5)^2 + (-4)^2 + (-4)^2 = 25 + 16 + 16 = 57$.
અહીં $BC^2 = 486$ અને $AB^2 + CA^2 = 323 + 57 = 380$ હોવાથી,$BC^2 > AB^2 + CA^2$ મળે છે.
તેથી,ત્રિકોણ $ABC$ એ ગુરુકોણ ત્રિકોણ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(2, 3, 4)$,$B(-1, -2, 1)$ અને $C(5, 8, 7)$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપણે ચકાસીએ કે બિંદુઓ સમરેખ છે કે નહીં.
$AB = \sqrt{(-1-2)^2 + (-2-3)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{9 + 25 + 9} = \sqrt{43}$.
$BC = \sqrt{(5-(-1))^2 + (8-(-2))^2 + (7-1)^2} = \sqrt{36 + 100 + 36} = \sqrt{172} = 2\sqrt{43}$.
$AC = \sqrt{(5-2)^2 + (8-3)^2 + (7-4)^2} = \sqrt{9 + 25 + 9} = \sqrt{43}$.
અહીં $AB + AC = \sqrt{43} + \sqrt{43} = 2\sqrt{43} = BC$ હોવાથી,બિંદુઓ $A, B, C$ સમરેખ છે.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના આપેલા શિરોબિંદુઓ $P(1, 2)$,$Q(4, 6)$,$R(5, 7)$ અને $S(a, b)$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,એટલે કે તેઓ સમાન મધ્યબિંદુ ધરાવે છે.
ધારો કે $A$ એ વિકર્ણો $PR$ અને $QS$ નું મધ્યબિંદુ છે.
વિકર્ણ $PR$ નું મધ્યબિંદુ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \left( \frac{1 + 5}{2}, \frac{2 + 7}{2} \right) = \left( \frac{6}{2}, \frac{9}{2} \right) = \left( 3, 4.5 \right)$.
વિકર્ણ $QS$ નું મધ્યબિંદુ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \left( \frac{4 + a}{2}, \frac{6 + b}{2} \right)$.
મધ્યબિંદુઓના યામોને સરખાવતા:
$\frac{4 + a}{2} = 3 \implies 4 + a = 6 \implies a = 2$.
$\frac{6 + b}{2} = 4.5 \implies 6 + b = 9 \implies b = 3$.
તેથી,$a = 2$ અને $b = 3$ મળે છે.

(A) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $A(2,4,-1)$,$B(3,6,-1)$ અને $C(4,5,1)$ છે.
ધારો કે ચોથું શિરોબિંદુ $D(x, y, z)$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,જેનો અર્થ છે કે વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ વિકર્ણ $BD$ ના મધ્યબિંદુ સમાન છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{2+4}{2}, \frac{4+5}{2}, \frac{-1+1}{2} \right) = \left( 3, \frac{9}{2}, 0 \right)$.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{3+x}{2}, \frac{6+y}{2}, \frac{-1+z}{2} \right)$.
મધ્યબિંદુઓને સરખાવતા:
$\frac{3+x}{2} = 3 \Rightarrow 3+x = 6 \Rightarrow x = 3$.
$\frac{6+y}{2} = \frac{9}{2} \Rightarrow 6+y = 9 \Rightarrow y = 3$.
$\frac{-1+z}{2} = 0 \Rightarrow -1+z = 0 \Rightarrow z = 1$.
આમ,ચોથું શિરોબિંદુ $D$ એ $(3,3,1)$ છે.

(B) $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(2, -1, 1)$,$B(1, -3, -5)$,અને $C(3, -4, -4)$ છે.
પ્રથમ,આપણે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ:
$AB = \sqrt{(1-2)^2 + (-3 - (-1))^2 + (-5-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 4 + 36} = \sqrt{41}$.
$BC = \sqrt{(3-1)^2 + (-4 - (-3))^2 + (-4 - (-5))^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
$CA = \sqrt{(2-3)^2 + (-1 - (-4))^2 + (1 - (-4))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35}$.
હવે,પાયથાગોરસના પ્રમેય માટે તપાસીએ:
$BC^2 + CA^2 = 6 + 35 = 41 = AB^2$.
કારણ કે $AB^2 = BC^2 + CA^2$,તેથી આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણની શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,$\triangle ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(D) ધારો કે $C$ ના યામ $(x, y, z)$ છે.
$G(1,0,1)$ એ $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર હોવાથી:
$\frac{1+3+x}{3} = 1 \implies 4+x = 3 \implies x = -1$
$\frac{-4+1+y}{3} = 0 \implies -3+y = 0 \implies y = 3$
$\frac{2+0+z}{3} = 1 \implies 2+z = 3 \implies z = 1$
તેથી,$C = (-1, 3, 1)$.
હવે,$AG^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$AG^2 = (1-1)^2 + (0-(-4))^2 + (1-2)^2 = 0^2 + 4^2 + (-1)^2 = 16 + 1 = 17$.
$CG^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$CG^2 = (-1-1)^2 + (3-0)^2 + (1-1)^2 = (-2)^2 + 3^2 + 0^2 = 4 + 9 = 13$.
આમ,$AG^2 + CG^2 = 17 + 13 = 30$.
$BG^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$BG^2 = (3-1)^2 + (1-0)^2 + (0-1)^2 = 2^2 + 1^2 + (-1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$AG^2 + CG^2 = 30 = 5 \times 6 = 5 BG^2$.

(D) બિંદુઓ $A(-1, 2, 3)$,$B(2, -3, 1)$ અને $C(3, 1, -2)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ છીએ.
$1$. $AB$ ની લંબાઈ:
$AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-3 - 2)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 25 + 4} = \sqrt{38}$.
$2$. $BC$ ની લંબાઈ:
$BC = \sqrt{(3 - 2)^2 + (1 - (-3))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26}$.
$3$. $AC$ ની લંબાઈ:
$AC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 2)^2 + (-2 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 1 + 25} = \sqrt{42}$.
અહીં બધી બાજુઓ $AB = \sqrt{38}$,$BC = \sqrt{26}$ અને $AC = \sqrt{42}$ અસમાન હોવાથી,આ ત્રિકોણ વિષમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(2, -1, 1)$,$B(1, -3, -5)$ અને $C(3, -4, -4)$ છે.
પ્રથમ,બાજુઓની લંબાઈ ગણો:
$AB = \sqrt{(1-2)^2 + (-3-(-1))^2 + (-5-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 4 + 36} = \sqrt{41}$.
$BC = \sqrt{(3-1)^2 + (-4-(-3))^2 + (-4-(-5))^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
$AC = \sqrt{(3-2)^2 + (-4-(-1))^2 + (-4-1)^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35}$.
અહીં $AB^2 = 41$ અને $BC^2 + AC^2 = 6 + 35 = 41$ છે.
તેથી $AB^2 = BC^2 + AC^2$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં ખૂણો $C$ કાટખૂણો છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,પરિત્રિજ્યા $R$ એ કર્ણની લંબાઈથી અડધી હોય છે.
અહીં કર્ણ $AB = \sqrt{41}$ છે.
તેથી,$R = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{41}}{2}$.

(C) ધારો કે $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,અને $C(x_3, y_3, z_3)$ છે.
આપેલ છે કે $AB, BC, CA$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $(l, 0, 0), (0, m, 0), (0, 0, n)$ છે.
$AB$ ના મધ્યબિંદુ માટે: $\frac{x_1+x_2}{2}=l, \frac{y_1+y_2}{2}=0, \frac{z_1+z_2}{2}=0 \Rightarrow x_1+x_2=2l, y_1+y_2=0, z_1+z_2=0$ ... $(i)$
$BC$ ના મધ્યબિંદુ માટે: $\frac{x_2+x_3}{2}=0, \frac{y_2+y_3}{2}=m, \frac{z_2+z_3}{2}=0 \Rightarrow x_2+x_3=0, y_2+y_3=2m, z_2+z_3=0$ ... (ii)
$CA$ ના મધ્યબિંદુ માટે: $\frac{x_3+x_1}{2}=0, \frac{y_3+y_1}{2}=0, \frac{z_3+z_1}{2}=n \Rightarrow x_3+x_1=0, y_3+y_1=0, z_3+z_1=2n$ ... (iii)
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
સમીકરણો $(i)$,(ii) અને (iii) ને ઉકેલતા આપણને મળે છે: $x_1=l, y_1=m, z_1=-n$,$x_2=l, y_2=-m, z_2=n$,$x_3=-l, y_3=m, z_3=n$.
આમ,$A(l, m, -n), B(l, -m, n), C(-l, m, n)$.
$AB^2 = (l-l)^2 + (m-(-m))^2 + (-n-n)^2 = 4m^2 + 4n^2$.
$BC^2 = (l-(-l))^2 + (-m-m)^2 + (n-n)^2 = 4l^2 + 4m^2$.
$CA^2 = (-l-l)^2 + (m-m)^2 + (n-(-n))^2 = 4l^2 + 4n^2$.
$AB^2+BC^2+CA^2 = 8(l^2+m^2+n^2)$.
તેથી,$\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{l^2+m^2+n^2} = \frac{8(l^2+m^2+n^2)}{l^2+m^2+n^2} = 8$.

(C) શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ અને $C(x_3, y_3, z_3)$ ધરાવતા ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $G$ ના યામ $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $A(4, x, 1)$,$B(y, -5, 2)$,$C(7, 8, 3)$ અને $G(3, 5, 2)$,તેથી:
$G = \left(\frac{4+y+7}{3}, \frac{x-5+8}{3}, \frac{1+2+3}{3}\right) = (3, 5, 2)$
યામોને સરખાવતા:
$\frac{11+y}{3} = 3 \Rightarrow 11+y = 9 \Rightarrow y = -2$
$\frac{x+3}{3} = 5 \Rightarrow x+3 = 15 \Rightarrow x = 12$
કારણ કે $CG$ એ મધ્યગા છે,$F$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. $F$ ના યામ:
$F = \left(\frac{4+y}{2}, \frac{x-5}{2}, \frac{1+2}{2}\right)$
$x=12$ અને $y=-2$ મૂકતા:
$F = \left(\frac{4-2}{2}, \frac{12-5}{2}, \frac{3}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{7}{2}, \frac{3}{2}\right) = \left(1, \frac{7}{2}, \frac{3}{2}\right)$.

(D) $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(4, p, -3)$,$(-1, -1, 2)$ અને $(3, 5, -8)$ માટે,મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{4-1+3}{3}, \frac{p-1+5}{3}, \frac{-3+2-8}{3}\right) = \left(2, \frac{p+4}{3}, -3\right)$ છે.
$(1, 4, -2)$ અને $(q, 2, -4)$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{1+q}{2}, \frac{4+2}{2}, \frac{-2-4}{2}\right) = \left(\frac{1+q}{2}, 3, -3\right)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર અને મધ્યબિંદુના યામોને સરખાવતા:
$2 = \frac{1+q}{2} \Rightarrow 4 = 1+q \Rightarrow q = 3$.
$\frac{p+4}{3} = 3 \Rightarrow p+4 = 9 \Rightarrow p = 5$.
આમ,$p^2 + q^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34$.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x, y, z)$,$B(-2, 3, 4)$ અને $C(3, -1, 5)$ છે.
ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $G$ નું સૂત્ર $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ શિરોબિંદુઓ માટે $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ છે,તેથી:
$\frac{x-2+3}{3} = 0 \Rightarrow x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$
$\frac{y+3-1}{3} = 0 \Rightarrow y+2 = 0 \Rightarrow y = -2$
$\frac{z+4+5}{3} = 0 \Rightarrow z+9 = 0 \Rightarrow z = -9$
તેથી,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(-1, -2, -9)$ છે.

(C) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ હોય તો મધ્યકેન્દ્ર $(x, y, z)$ નીચે મુજબ મળે:
$x = \frac{x_1+x_2+x_3}{3}$,$y = \frac{y_1+y_2+y_3}{3}$,$z = \frac{z_1+z_2+z_3}{3}$
અહીં ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ મધ્યકેન્દ્ર છે,તેથી:
$0 = \frac{2a - 4 + 8}{3} \Rightarrow 2a + 4 = 0 \Rightarrow a = -2$
$0 = \frac{2 + 3b + 14}{3} \Rightarrow 3b + 16 = 0 \Rightarrow b = -\frac{16}{3}$
$0 = \frac{6 - 10 + 2c}{3} \Rightarrow 2c - 4 = 0 \Rightarrow c = 2$
આમ,$a = -2, b = -\frac{16}{3}, c = 2$ મળે છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(5, -4, 5)$,$B(-3, -3, 2)$ અને $C(-1, -6, 8)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ.
$AB = \sqrt{(-3-5)^2 + (-3-(-4))^2 + (2-5)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{64 + 1 + 9} = \sqrt{74}$.
$BC = \sqrt{(-1-(-3))^2 + (-6-(-3))^2 + (8-2)^2} = \sqrt{(2)^2 + (-3)^2 + (6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$CA = \sqrt{(5-(-1))^2 + (-4-(-6))^2 + (5-8)^2} = \sqrt{(6)^2 + (2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
અહીં $BC = CA = 7$ હોવાથી,ત્રિકોણની બે બાજુઓ સમાન છે.
તેથી,આ બિંદુઓ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.

(D) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $A(2, 4, -1)$,$B(3, 6, -1)$,$C(4, 5, 1)$ અને $D(x, y, z)$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,તેથી વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ વિકર્ણ $BD$ ના મધ્યબિંદુ સમાન હોય છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{2+4}{2}, \frac{4+5}{2}, \frac{-1+1}{2} \right) = \left( 3, \frac{9}{2}, 0 \right)$.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{3+x}{2}, \frac{6+y}{2}, \frac{-1+z}{2} \right)$.
મધ્યબિંદુઓને સરખાવતા:
$\frac{3+x}{2} = 3 \implies 3+x = 6 \implies x = 3$.
$\frac{6+y}{2} = \frac{9}{2} \implies 6+y = 9 \implies y = 3$.
$\frac{-1+z}{2} = 0 \implies -1+z = 0 \implies z = 1$.
આમ,ચોથું શિરોબિંદુ $D(3, 3, 1)$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(D) આપેલ બિંદુઓ $A(2, -1, 4)$,$B(1, 0, -1)$,$C(1, 2, 3)$ અને $D(2, 1, 8)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ.
$AB = \sqrt{(1-2)^2 + (0-(-1))^2 + (-1-4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-5)^2} = \sqrt{1+1+25} = \sqrt{27}$.
$BC = \sqrt{(1-1)^2 + (2-0)^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{0^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{0+4+16} = \sqrt{20}$.
$CD = \sqrt{(2-1)^2 + (1-2)^2 + (8-3)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{1+1+25} = \sqrt{27}$.
$DA = \sqrt{(2-2)^2 + (-1-1)^2 + (4-8)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{0+4+16} = \sqrt{20}$.
અહીં $AB = CD = \sqrt{27}$ અને $BC = DA = \sqrt{20}$ હોવાથી,સામસામેની બાજુઓ સમાન છે.
હવે,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ ની લંબાઈ ચકાસીએ.
$AC = \sqrt{(1-2)^2 + (2-(-1))^2 + (3-4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+9+1} = \sqrt{11}$.
$BD = \sqrt{(2-1)^2 + (1-0)^2 + (8-(-1))^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 9^2} = \sqrt{1+1+81} = \sqrt{83}$.
$AC \neq BD$ હોવાથી,વિકર્ણો સમાન નથી.
તેથી,બિંદુઓ $A, B, C$ અને $D$ સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ બનાવે છે.

(A) ધારો કે $A = (1,2,3)$,$B = (3,-1,5)$,અને $C = (4,0,-3)$.
સૌ પ્રથમ,આપણે બાજુઓના દિશા ગુણોત્તર શોધીએ:
$\overline{AB}$ ના દિશા ગુણોત્તર $= (3-1, -1-2, 5-3) = (2, -3, 2)$.
$\overline{AC}$ ના દિશા ગુણોત્તર $= (4-1, 0-2, -3-3) = (3, -2, -6)$.
લંબપણા માટે ચકાસણી: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (2)(3) + (-3)(-2) + (2)(-6) = 6 + 6 - 12 = 0$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,$\overline{AB} \perp \overline{AC}$,જેનો અર્થ છે કે $\angle A = 90^{\circ}$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર $H$ એ શિરોબિંદુ છે જ્યાં કાટખૂણો બને છે. તેથી,$H = A = (1, 2, 3)$.
કાટકોણ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર $S$ એ કર્ણ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$S = \left( \frac{3+4}{2}, \frac{-1+0}{2}, \frac{5-3}{2} \right) = \left( \frac{7}{2}, -\frac{1}{2}, 1 \right)$.
અંતર સૂત્ર દ્વારા $HS$ નું અંતર:
$HS = \sqrt{\left( \frac{7}{2} - 1 \right)^2 + \left( -\frac{1}{2} - 2 \right)^2 + (1 - 3)^2}$
$HS = \sqrt{\left( \frac{5}{2} \right)^2 + \left( -\frac{5}{2} \right)^2 + (-2)^2}$
$HS = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{4} + 4} = \sqrt{\frac{50}{4} + \frac{16}{4}} = \sqrt{\frac{66}{4}} = \sqrt{\frac{33}{2}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,અને $C(x_3, y_3, z_3)$ છે.
બાજુઓ $AB, BC, CA$ ના મધ્યબિંદુઓ $D(1, 5, -1)$,$E(0, 4, -2)$,અને $F(2, 3, 4)$ આપેલા છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્ર મુજબ:
$AB$ માટે: $\frac{x_1+x_2}{2} = 1, \frac{y_1+y_2}{2} = 5, \frac{z_1+z_2}{2} = -1 \Rightarrow x_1+x_2 = 2, y_1+y_2 = 10, z_1+z_2 = -2$.
$BC$ માટે: $\frac{x_2+x_3}{2} = 0, \frac{y_2+y_3}{2} = 4, \frac{z_2+z_3}{2} = -2 \Rightarrow x_2+x_3 = 0, y_2+y_3 = 8, z_2+z_3 = -4$.
$CA$ માટે: $\frac{x_3+x_1}{2} = 2, \frac{y_3+y_1}{2} = 3, \frac{z_3+z_1}{2} = 4 \Rightarrow x_3+x_1 = 4, y_3+y_1 = 6, z_3+z_1 = 8$.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2(x_1+x_2+x_3) = 2+0+4 = 6 \Rightarrow x_1+x_2+x_3 = 3$.
$2(y_1+y_2+y_3) = 10+8+6 = 24 \Rightarrow y_1+y_2+y_3 = 12$.
$2(z_1+z_2+z_3) = -2-4+8 = 2 \Rightarrow z_1+z_2+z_3 = 1$.
હવે,$C(x_3, y_3, z_3)$ શોધવા માટે,$AB$ ના સમીકરણોને સરવાળામાંથી બાદ કરતા:
$x_3 = (x_1+x_2+x_3) - (x_1+x_2) = 3 - 2 = 1$.
$y_3 = (y_1+y_2+y_3) - (y_1+y_2) = 12 - 10 = 2$.
$z_3 = (z_1+z_2+z_3) - (z_1+z_2) = 1 - (-2) = 3$.
તેથી,$C = (1, 2, 3)$.
$C$ માંથી $AB$ પરની મધ્યગા એ રેખાખંડ $CD$ છે,જ્યાં $D$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ $D(1, 5, -1)$ છે.
લંબાઈ $CD = \sqrt{(1-1)^2 + (5-2)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{0 + 9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(2, 3, 5)$,$B(-1, 5, -1)$ અને $C(4, -3, 2)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$ નો ઉપયોગ કરીને બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરના વર્ગની ગણતરી કરો:
$AB^2 = (-1 - 2)^2 + (5 - 3)^2 + (-1 - 5)^2 = (-3)^2 + (2)^2 + (-6)^2 = 9 + 4 + 36 = 49$.
$BC^2 = (4 - (-1))^2 + (-3 - 5)^2 + (2 - (-1))^2 = (5)^2 + (-8)^2 + (3)^2 = 25 + 64 + 9 = 98$.
$AC^2 = (4 - 2)^2 + (-3 - 3)^2 + (2 - 5)^2 = (2)^2 + (-6)^2 + (-3)^2 = 4 + 36 + 9 = 49$.
અહીં $AB^2 = AC^2 = 49$ હોવાથી,$AB = AC = 7$ મળે છે,તેથી ત્રિકોણ સમદ્રીબાજુ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણની શરત તપાસો: $AB^2 + AC^2 = 49 + 49 = 98 = BC^2$.
બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના વર્ગ જેટલો હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
આમ,આ ત્રિકોણ સમદ્રીબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(C) ધારો કે પરિકેન્દ્ર $P(x, y, z)$ છે. પરિકેન્દ્ર એ શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ થી સમાન અંતરે હોય છે. તેથી,$PA^2 = PB^2 = PC^2$.
$PA^2 = (x-3)^2 + (y-4)^2 + (z-5)^2$
$PB^2 = (x-2)^2 + (y-3)^2 + (z-1)^2$
$PC^2 = (x+1)^2 + (y-6)^2 + (z-1)^2$
$PB^2 = PC^2$ સરખાવતા:
$(x-2)^2 + (y-3)^2 + (z-1)^2 = (x+1)^2 + (y-6)^2 + (z-1)^2$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 12y + 36$
$-6x + 6y = 24 \implies -x + y = 4 \implies y = x + 4$.
$PA^2 = PB^2$ સરખાવતા:
$(x-3)^2 + (y-4)^2 + (z-5)^2 = (x-2)^2 + (y-3)^2 + (z-1)^2$
$y = x+4$ મૂકતા:
$(x-3)^2 + (x+4-4)^2 + (z-5)^2 = (x-2)^2 + (x+4-3)^2 + (z-1)^2$
$(x-3)^2 + x^2 + (z-5)^2 = (x-2)^2 + (x+1)^2 + (z-1)^2$
$x^2 - 6x + 9 + x^2 + z^2 - 10z + 25 = x^2 - 4x + 4 + x^2 + 2x + 1 + z^2 - 2z + 1$
$-6x - 10z + 34 = -2x - 2z + 6$
$-4x - 8z = -28 \implies x + 2z = 7 \implies z = \frac{7-x}{2}$.
વિકલ્પ $C(1, 5, 3)$ માટે ચકાસતા:
$y = 1+4 = 5$ (સાચું).
$z = (7-1)/2 = 3$ (સાચું).
તેથી,પરિકેન્દ્ર $(1, 5, 3)$ છે.

(B) ધારો કે $A \equiv (x_1, y_1, z_1)$,$B \equiv (x_2, y_2, z_2)$ અને $C \equiv (x_3, y_3, z_3)$ છે.
$F(0, 1, 0)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$x_1 + x_2 = 0, y_1 + y_2 = 2, z_1 + z_2 = 0$ $(1)$
$D(2, 1, 0)$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$x_2 + x_3 = 4, y_2 + y_3 = 2, z_2 + z_3 = 0$ $(2)$
$E(2, 0, 0)$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$x_3 + x_1 = 4, y_3 + y_1 = 0, z_3 + z_1 = 0$ $(3)$
$(1)$,$(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$2(x_1 + x_2 + x_3) = 8 \implies x_1 + x_2 + x_3 = 4$
$2(y_1 + y_2 + y_3) = 4 \implies y_1 + y_2 + y_3 = 2$
$2(z_1 + z_2 + z_3) = 0 \implies z_1 + z_2 + z_3 = 0$
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}, 0\right)$ મળે છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,અને $C(x_3, y_3, z_3)$ છે.
આપેલ છે કે $AB, BC, CA$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $(l, 0, 0), (0, m, 0), (0, 0, n)$ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x_1+x_2=2l, y_1+y_2=0, z_1+z_2=0$
$x_2+x_3=0, y_2+y_3=2m, z_2+z_3=0$
$x_1+x_3=0, y_1+y_3=0, z_1+z_3=2n$
આ સમીકરણોને ઉકેલતા:
$x$ માટે: $x_1+x_2=2l, x_2+x_3=0, x_1+x_3=0 \implies x_1=l, x_2=l, x_3=-l$
$y$ માટે: $y_1+y_2=0, y_2+y_3=2m, y_1+y_3=0 \implies y_1=-m, y_2=m, y_3=m$
$z$ માટે: $z_1+z_2=0, z_2+z_3=0, z_1+z_3=2n \implies z_1=n, z_2=-n, z_3=n$
આમ,શિરોબિંદુઓ $A(l, -m, n), B(l, m, -n), C(-l, m, n)$ મળે છે.
બાજુઓની લંબાઈનો વર્ગ શોધતા:
$AB^2 = (l-l)^2 + (m-(-m))^2 + (-n-n)^2 = 0 + (2m)^2 + (-2n)^2 = 4m^2 + 4n^2$
$BC^2 = (-l-l)^2 + (m-m)^2 + (n-(-n))^2 = (-2l)^2 + 0 + (2n)^2 = 4l^2 + 4n^2$
$CA^2 = (l-(-l))^2 + (-m-m)^2 + (n-n)^2 = (2l)^2 + (-2m)^2 + 0 = 4l^2 + 4m^2$
તેમનો સરવાળો કરતા:
$AB^2+BC^2+CA^2 = (4m^2+4n^2) + (4l^2+4n^2) + (4l^2+4m^2) = 8(l^2+m^2+n^2)$
તેથી,$\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{l^2+m^2+n^2} = \frac{8(l^2+m^2+n^2)}{l^2+m^2+n^2} = 8$.

(A) ધારો કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $D$ ના યામ $\left(\frac{\alpha+7}{2}, \frac{3+5}{2}, \frac{3+\beta}{2}\right) = \left(\frac{\alpha+7}{2}, 4, \frac{3+\beta}{2}\right)$ છે.
મધ્યગા $AD$ ના દિક ગુણોત્તર $D$ અને $A$ ના યામોના તફાવત દ્વારા મળે છે:
$\left(\frac{\alpha+7}{2} - 2, 4 - 3, \frac{3+\beta}{2} - 5\right) = \left(\frac{\alpha+3}{2}, 1, \frac{\beta-7}{2}\right)$.
મધ્યગા $AD$ યામ અક્ષો સાથે સમાન નમેલી હોવાથી,તેના દિક કોસાઇન સમાન હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેના દિક ગુણોત્તર $(1, 1, 1)$ ના પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ.
તેથી,$\frac{\alpha+3}{2} = 1$ અને $\frac{\beta-7}{2} = 1$.
$\alpha$ માટે ઉકેલતા: $\alpha+3 = 2 \Rightarrow \alpha = -1$.
$\beta$ માટે ઉકેલતા: $\beta-7 = 2 \Rightarrow \beta = 9$.
તેથી,$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{9}{-1} = -9$.

(D) ધારો કે $A=(2,3,-4), B=(-3,3,-2), C=(-1,4,2), D=(3,5,1)$.
$G_1$ એ બાજુ $ABD$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે: $G_1 = \left(\frac{2-3+3}{3}, \frac{3+3+5}{3}, \frac{-4-2+1}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{11}{3}, -\frac{5}{3}\right)$.
$G_2$ એ બાજુ $BCD$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે: $G_2 = \left(\frac{-3-1+3}{3}, \frac{3+4+5}{3}, \frac{-2+2+1}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}, 4, \frac{1}{3}\right)$.
$G_3$ એ બાજુ $ACD$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે: $G_3 = \left(\frac{2-1+3}{3}, \frac{3+4+5}{3}, \frac{-4+2+1}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}, 4, -\frac{1}{3}\right)$.
ધારો કે $G$ એ $\Delta G_1 G_2 G_3$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે:
$G = \left(\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{3} + \frac{4}{3}}{3}, \frac{\frac{11}{3} + 4 + 4}{3}, \frac{-\frac{5}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}}{3}\right)$
$G = \left(\frac{\frac{5}{3}}{3}, \frac{\frac{11+24}{3}}{3}, \frac{-\frac{5}{3}}{3}\right) = \left(\frac{5}{9}, \frac{35}{9}, -\frac{5}{9}\right)$.

(D) ધારો કે ચતુષ્ફલકના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,$C(x_3, y_3, z_3)$ અને $D(x_4, y_4, z_4)$ છે.
દરેક શિરોબિંદુના યામ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$y_i = x_i + d$ અને $z_i = x_i + 2d$ મળે.
મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{\sum x_i}{4}, \frac{\sum y_i}{4}, \frac{\sum z_i}{4}\right) = (2, 3, k)$.
$x$-યામ પરથી: $\frac{\sum x_i}{4} = 2 \implies \sum x_i = 8$.
$y$-યામ પરથી: $\frac{\sum x_i + 4d}{4} = 3 \implies \frac{8 + 4d}{4} = 3 \implies d = 1$.
$z$-યામ પરથી: $k = \frac{\sum x_i + 8d}{4} = \frac{8 + 8(1)}{4} = 4$.
તેથી,$G = (2, 3, 4)$.
ઉગમબિંદુથી અંતર $= \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{29}$.

(A) આપેલ છે કે $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને $E$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$AB \parallel CD$ હોવાથી,$AE \parallel CD$ થાય.
$\triangle PAE$ અને $\triangle PCD$ માં,
$\angle PAE = \angle PCD$ (યુગ્મકોણ)
$\angle APE = \angle CPD$ (અભિકોણ)
તેથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle PAE \sim \triangle PCD$ થાય.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ:
$\frac{PA}{PC} = \frac{PE}{PD} = \frac{AE}{CD}$.
$E$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AE = \frac{1}{2} AB$. વળી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં $AB = CD$ હોવાથી,$AE = \frac{1}{2} CD$ થાય.
આમ,$\frac{PA}{PC} = \frac{PE}{PD} = \frac{1}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{PA}{PC} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{PD}{PE} = 2$.
તેથી,$\frac{DP}{PE} + \frac{AP}{PC} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

(C) આપેલ છે કે,$ABCD$ એ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેના શિરોબિંદુઓ $A(4,4,-1)$,$B(5,6,-1)$,$C(6,5,1)$ અને $D(x, y, z)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે.
તેથી,$AC$ નું મધ્યબિંદુ = $BD$ નું મધ્યબિંદુ.
$\left(\frac{4+6}{2}, \frac{4+5}{2}, \frac{-1+1}{2}\right) = \left(\frac{x+5}{2}, \frac{y+6}{2}, \frac{z-1}{2}\right)$
$\left(\frac{10}{2}, \frac{9}{2}, 0\right) = \left(\frac{x+5}{2}, \frac{y+6}{2}, \frac{z-1}{2}\right)$
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x+5}{2} = \frac{10}{2}$ $\Rightarrow x+5 = 10$ $\Rightarrow x = 5$
$\frac{y+6}{2} = \frac{9}{2}$ $\Rightarrow y+6 = 9$ $\Rightarrow y = 3$
$\frac{z-1}{2} = 0$ $\Rightarrow z-1 = 0$ $\Rightarrow z = 1$
આમ,શિરોબિંદુ $D(x, y, z)$ એ $(5, 3, 1)$ છે.

(B) પ્રથમ,$\triangle ABC$ ની બાજુઓની લંબાઈ શોધો:
$c = AB = \sqrt{(2-1)^2 + (3-2)^2 + (-1 - (-3))^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$
$a = BC = \sqrt{(3-2)^2 + (1-3)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$
$b = AC = \sqrt{(3-1)^2 + (1-2)^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{21}$
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{21 + 6 - 9}{2 \times \sqrt{21} \times \sqrt{6}} = \frac{18}{2 \sqrt{126}} = \frac{9}{3 \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{9 + 6 - 21}{2 \times 3 \times \sqrt{6}} = \frac{-6}{6 \sqrt{6}} = -\frac{1}{\sqrt{6}}$
તેથી,$\left|\frac{\cos A}{\cos B}\right| = \left|\frac{3}{\sqrt{14}} \div \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)\right| = \left| -\frac{3 \sqrt{6}}{\sqrt{14}} \right| = \frac{3 \sqrt{3 \times 2}}{\sqrt{7 \times 2}} = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{7}}$.

(B) ધારો કે આપેલા બિંદુઓ $A(2,-1,3), B(4,-2,1), C(4,5,-7)$ અને $D(2,6,-5)$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ ના મધ્યબિંદુઓ શોધીએ:
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{2+4}{2}, \frac{-1+5}{2}, \frac{3-7}{2}\right) = (3, 2, -2)$.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{4+2}{2}, \frac{-2+6}{2}, \frac{1-5}{2}\right) = (3, 2, -2)$.
વિકર્ણોના મધ્યબિંદુઓ સમાન હોવાથી,ચતુષ્કોણ $ABCD$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,બાજુઓની લંબાઈ તપાસીએ:
$AB = \sqrt{(4-2)^2 + (-2 - (-1))^2 + (1-3)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$.
$BC = \sqrt{(4-4)^2 + (5 - (-2))^2 + (-7-1)^2} = \sqrt{0^2 + 7^2 + (-8)^2} = \sqrt{0+49+64} = \sqrt{113}$.
$AB \neq BC$ હોવાથી,તે ચોરસ કે સમબાજુ ચતુષ્કોણ નથી.
હવે,પાસપાસેની બાજુઓનો ડોટ ગુણાકાર કરીને તે લંબચોરસ છે કે નહીં તે તપાસીએ:
$\vec{AB} = 2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{BC} = 0\hat{i} + 7\hat{j} - 8\hat{k}$.
$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (2)(0) + (-1)(7) + (-2)(-8) = 0 - 7 + 16 = 9 \neq 0$.
ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય નથી,તેથી બાજુઓ પરસ્પર લંબ નથી.
તેથી,$ABCD$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(B) આપેલ છે કે $AB = AC$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$AB^2 = AC^2$.
$AB^2 = (2 - (-1))^2 + (3 - k)^2 + (k - (-1))^2 = 3^2 + (3 - k)^2 + (k + 1)^2 = 9 + 9 - 6k + k^2 + k^2 + 2k + 1 = 2k^2 - 4k + 19$.
$AC^2 = (2 - 4)^2 + (3 - (-3))^2 + (k - 2)^2 = (-2)^2 + 6^2 + (k - 2)^2 = 4 + 36 + k^2 - 4k + 4 = k^2 - 4k + 44$.
$AB^2 = AC^2$ ને સરખાવતા:
$2k^2 - 4k + 19 = k^2 - 4k + 44$.
$k^2 = 25$.
$k > 0$ હોવાથી,$k = 5$ મળે.
હવે,બાજુઓની લંબાઈ ગણતા:
$AB^2 = 2(5)^2 - 4(5) + 19 = 50 - 20 + 19 = 49 \Rightarrow AB = 7$.
$AC^2 = 49 \Rightarrow AC = 7$.
$BC^2 = (-1 - 4)^2 + (5 - (-3))^2 + (-1 - 2)^2 = (-5)^2 + 8^2 + (-3)^2 = 25 + 64 + 9 = 98$.
$AB^2 + AC^2 = 49 + 49 = 98 = BC^2$ હોવાથી,ત્રિકોણ પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન કરે છે.
તેથી,$\triangle ABC$ એ કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,અને $C(x_3, y_3, z_3)$ છે.
આપેલ છે કે $AB, BC, CA$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $M_1(3,0,0)$,$M_2(0,4,0)$,અને $M_3(0,0,5)$ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x_1+x_2=6, x_2+x_3=0, x_3+x_1=0$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $x_1=3, x_2=3, x_3=-3$ મળે છે.
તે જ રીતે $y$ યામ માટે:
$y_1+y_2=0, y_2+y_3=8, y_3+y_1=0$
આ ઉકેલતા,આપણને $y_1=-4, y_2=4, y_3=4$ મળે છે.
તે જ રીતે $z$ યામ માટે:
$z_1+z_2=0, z_2+z_3=0, z_3+z_1=10$
આ ઉકેલતા,આપણને $z_1=5, z_2=-5, z_3=5$ મળે છે.
આમ,શિરોબિંદુઓ $A(3, -4, 5)$,$B(3, 4, -5)$,અને $C(-3, 4, 5)$ છે.
હવે,બાજુઓની લંબાઈના વર્ગોની ગણતરી કરીએ:
$AB^2 = (3-3)^2 + (4-(-4))^2 + (-5-5)^2 = 0^2 + 8^2 + (-10)^2 = 64 + 100 = 164$.
$BC^2 = (-3-3)^2 + (4-4)^2 + (5-(-5))^2 = (-6)^2 + 0^2 + 10^2 = 36 + 100 = 136$.
$CA^2 = (3-(-3))^2 + (-4-4)^2 + (5-5)^2 = 6^2 + (-8)^2 + 0^2 = 36 + 64 = 100$.
અંતે,$AB^2+BC^2+CA^2 = 164 + 136 + 100 = 400$.