$2x^2 - 72xy + 23y^2 - 4x - 28y - 48 = 0$ समीकरण द्वारा निरूपित शांकव का केंद्र क्या है?

निम्नलिखित में से कौन सा समीकरण परवलय (parabola) को निरूपित नहीं करता है?

यदि वक्र $y = ax^2 + bx + c$ और $y = px^2 + qx + r$ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करते हैं और $a, b, c, p, q, r \in \{1, 2, 3, 4, \dots, 10\}$ है,तो $(aq - bp)^2 + (c - r)^2$ का अधिकतम मान क्या है?

यदि बिंदु $(2, -3)$ वक्र $kx^2 - 3y^2 + 2x + y - 2 = 0$ पर स्थित है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि समीकरण $x=t^2+t+1$ और $y=t^2-t+1$ प्राचल $t$ के साथ एक वक्र $C$ को निरूपित करते हैं,तो $C$ का कार्तीय समीकरण क्या है?

रेखाओं $L_1$ और $L_2$ पर विचार करें जो $L_1: x \sqrt{2} + y - 1 = 0$ और $L_2: x \sqrt{2} - y + 1 = 0$ द्वारा परिभाषित हैं। एक निश्चित स्थिरांक $\lambda$ के लिए,मान लें कि $C$ एक बिंदु $P$ का बिंदुपथ है ताकि $P$ की $L_1$ से दूरी और $P$ की $L_2$ से दूरी का गुणनफल $\lambda^2$ हो। रेखा $y = 2x + 1$ बिंदु $C$ से दो बिंदुओं $R$ और $S$ पर मिलती है,जहाँ $R$ और $S$ के बीच की दूरी $\sqrt{270}$ है। मान लें कि $RS$ का लंब समद्विभाजक $C$ से दो अलग-अलग बिंदुओं $R^{\prime}$ और $S^{\prime}$ पर मिलता है। मान लें कि $D$,$R^{\prime}$ और $S^{\prime}$ के बीच की दूरी का वर्ग है।
$(1)$ $\lambda^2$ का मान है
$(2)$ $D$ का मान है