समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ कब एक दीर्घवृत्त (ellipse) को दर्शाता है?

समीकरण $2x^2 + 4xy + 5y^2 - 4x - 22y + 29 = 0$ को समघातीय रूप में बदलने के लिए मूल बिंदु को किस बिंदु पर स्थानांतरित किया जाना चाहिए?

रेखाओं $L_1$ और $L_2$ पर विचार करें जो $L_1: x \sqrt{2} + y - 1 = 0$ और $L_2: x \sqrt{2} - y + 1 = 0$ द्वारा परिभाषित हैं। एक निश्चित स्थिरांक $\lambda$ के लिए,मान लें कि $C$ एक बिंदु $P$ का बिंदुपथ है ताकि $P$ की $L_1$ से दूरी और $P$ की $L_2$ से दूरी का गुणनफल $\lambda^2$ हो। रेखा $y = 2x + 1$ बिंदु $C$ से दो बिंदुओं $R$ और $S$ पर मिलती है,जहाँ $R$ और $S$ के बीच की दूरी $\sqrt{270}$ है। मान लें कि $RS$ का लंब समद्विभाजक $C$ से दो अलग-अलग बिंदुओं $R^{\prime}$ और $S^{\prime}$ पर मिलता है। मान लें कि $D$,$R^{\prime}$ और $S^{\prime}$ के बीच की दूरी का वर्ग है।
$(1)$ $\lambda^2$ का मान है
$(2)$ $D$ का मान है

यदि समीकरण $2x^2 + 4xy - py^2 + 4x + qy + 1 = 0$ रेखाओं का एक युग्म निरूपित करता है,तो $[-5, 5]$ के डोमेन में $p$ के पूर्णांक मानों की संख्या क्या है?

समीकरण $14x^2 - 4xy + 11y^2 - 44x - 58y + 71 = 0$ क्या दर्शाता है?

द्विघात समीकरण $5x^2 + 8xy + 5y^2 + 3x + 2y + 5 = 0$ से $xy$ पद को हटाने के लिए,निर्देशांक अक्षों को $\theta$ कोण से घुमाया जाता है। तो $\theta$ का मान क्या होगा: