Ideal gas equation and Related gas laws Questions in Hindi

(70) किसी दिए गए तापमान $(T)$ और दबाव $(p)$ पर गैस का घनत्व $(d)$ आदर्श गैस समीकरण द्वारा दिया जाता है: $d = \frac{Mp}{RT}$.
ऑक्साइड के लिए,$d_1 = \frac{M_1 p_1}{RT}$.
डाइनाइट्रोजन के लिए,$d_2 = \frac{M_2 p_2}{RT}$.
चूंकि समान तापमान पर $d_1 = d_2$ है,इसलिए:
$\frac{M_1 p_1}{RT} = \frac{M_2 p_2}{RT}$
$M_1 p_1 = M_2 p_2$
दिए गए मान:
$p_1 = 2 \ bar$
$p_2 = 5 \ bar$
$M_2 = 28 \ g/mol$ ($N_2$ के लिए)
मान रखने पर:
$M_1 \times 2 = 28 \times 5$
$M_1 = \frac{140}{2} = 70 \ g/mol$.
अतः,ऑक्साइड का आणविक द्रव्यमान $70 \ g/mol$ है।

(D) आदर्श गैस $A$ के लिए,आदर्श गैस समीकरण $p_{A} V = n_{A} R T$ $(i)$ है।
आदर्श गैस $B$ के लिए,आदर्श गैस समीकरण $p_{B} V = n_{B} R T$ $(ii)$ है।
चूंकि $V$ और $T$ स्थिर हैं,इसलिए $\frac{p_{A} V}{n_{A}} = \frac{p_{B} V}{n_{B}} = R T$ होगा।
$n = \frac{m}{M}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{p_{A} M_{A}}{m_{A}} = \frac{p_{B} M_{B}}{m_{B}}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $m_{A} = 1 \, g$,$p_{A} = 2 \, bar$,$m_{B} = 2 \, g$।
गैस $B$ का आंशिक दाब $p_{B} = p_{total} - p_{A} = 3 \, bar - 2 \, bar = 1 \, bar$ है।
मान रखने पर: $\frac{2 \times M_{A}}{1} = \frac{1 \times M_{B}}{2}$।
अतः,$4 M_{A} = M_{B}$।

(A) कुल दबाव की गणना आदर्श गैस नियम $pV = nRT$ का उपयोग करके की जाती है,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ है।
मीथेन $(CH_4)$ के लिए:
$n_{CH_4} = \frac{3.2 \ g}{16 \ g/mol} = 0.2 \ mol$.
कार्बन डाइऑक्साइड $(CO_2)$ के लिए:
$n_{CO_2} = \frac{4.4 \ g}{44 \ g/mol} = 0.1 \ mol$.
कुल मोल $n_{total} = 0.2 + 0.1 = 0.3 \ mol$.
दिया गया है $V = 9 \ dm^3 = 9 \times 10^{-3} \ m^3$ और $T = 27 + 273 = 300 \ K$.
$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$ का उपयोग करते हुए:
$p = \frac{n_{total}RT}{V} = \frac{0.3 \ mol \times 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1} \times 300 \ K}{9 \times 10^{-3} \ m^3}$.
$p = \frac{748.26}{0.009} \ Pa = 8.314 \times 10^4 \ Pa$.

(A) दिया गया है:
$d_1 = 5.46 \, g / dm^3$
$p_1 = 2 \, bar$
$T_1 = 27^{\circ} C = 300 \, K$
$p_2 = 1 \, bar$ ($STP$ पर)
$T_2 = 273 \, K$ ($STP$ पर)
आदर्श गैस समीकरण $d = \frac{Mp}{RT}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{d_1}{d_2} = \frac{p_1 T_2}{p_2 T_1}$
$d_2$ के लिए सूत्र:
$d_2 = \frac{d_1 p_2 T_1}{p_1 T_2}$
मान रखने पर:
$d_2 = \frac{5.46 \times 1 \times 300}{2 \times 273}$
$d_2 = \frac{1638}{546} = 3 \, g / dm^3$
अतः,$STP$ पर घनत्व $3 \, g / dm^3$ होगा।

(N/A) दिया गया है: $p = 0.1 \, bar$,$V = 34.05 \, mL = 34.05 \times 10^{-3} \, L$,$T = 546 + 273 = 819 \, K$,$m = 0.0625 \, g$.
आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = \frac{m}{M}$:
$M = \frac{mRT}{pV}$
मान रखने पर:
$M = \frac{0.0625 \times 0.08314 \times 819}{0.1 \times 34.05 \times 10^{-3}}$
$M = \frac{4.255}{0.003405} \approx 1249.6 \, g \, mol^{-1}$.
सार्थक अंकों को ध्यान में रखते हुए,मोलर द्रव्यमान लगभग $1250 \, g \, mol^{-1}$ है।

(B) मान लीजिए कि राउंड बॉटम फ्लास्क का आयतन $V$ है।
$T_{1} = 27^{\circ} C = 300 \, K$ पर फ्लास्क के अंदर हवा का प्रारंभिक आयतन $V_{1} = V$ है।
$T_{2} = 477^{\circ} C = 750 \, K$ पर,फ्लास्क में हवा का आयतन $V_{2}$ होगा।
चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दबाव पर,$\frac{V_{1}}{T_{1}} = \frac{V_{2}}{T_{2}}$.
मान रखने पर,$V_{2} = \frac{V \times 750}{300} = 2.5 \, V$.
बाहर निकली हवा का आयतन अंतिम आयतन और प्रारंभिक आयतन के बीच का अंतर है: $V_{expelled} = 2.5 \, V - V = 1.5 \, V$.
बाहर निकली हवा का अंश $\frac{V_{expelled}}{V_{initial}} = \frac{1.5 \, V}{2.5 \, V} = \frac{1.5}{2.5} = \frac{3}{5}$ है।

(N/A) दिया गया है:
$n = 4.0 \, mol$
$V = 5 \, dm^{3}$
$p = 3.32 \, bar$
$R = 0.083 \, bar \, dm^{3} \, K^{-1} \, mol^{-1}$
आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करके तापमान $(T)$ की गणना की जा सकती है:
$p V = n R T$
$T$ के लिए सूत्र:
$T = \frac{p V}{n R}$
मान रखने पर:
$T = \frac{3.32 \times 5}{4 \times 0.083}$
$T = \frac{16.6}{0.332}$
$T = 50 \, K$
अतः,गैस का तापमान $50 \, K$ है।

(N/A) दिया गया है,
डाइऑक्सीजन $(O_{2})$ का द्रव्यमान $= 8 \,g$
$O_{2}$ के मोलों की संख्या $= \frac{8 \,g}{32 \,g \,mol^{-1}} = 0.25 \,mol$
डाइहाइड्रोजन $(H_{2})$ का द्रव्यमान $= 4 \,g$
$H_{2}$ के मोलों की संख्या $= \frac{4 \,g}{2 \,g \,mol^{-1}} = 2 \,mol$
कुल मोलों की संख्या $(n) = 0.25 \,mol + 2 \,mol = 2.25 \,mol$
आयतन $(V) = 1 \,dm^{3}$
तापमान $(T) = 27 + 273 = 300 \,K$
गैस नियतांक $(R) = 0.083 \,bar \,dm^{3} \,K^{-1} \,mol^{-1}$
आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ का उपयोग करने पर:
$p = \frac{nRT}{V} = \frac{2.25 \,mol \times 0.083 \,bar \,dm^{3} \,K^{-1} \,mol^{-1} \times 300 \,K}{1 \,dm^{3}}$
$p = 56.025 \,bar$
मिश्रण का कुल दाब $56.025 \,bar$ है।

(N/A) दिया गया है,
गुब्बारे की त्रिज्या,$r = 10 \, m$
$\therefore$ गुब्बारे का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^{3} = \frac{4}{3} \times 3.14159 \times 10^{3} = 4188.79 \, m^{3}$.
अतः,विस्थापित हवा का आयतन $4188.79 \, m^{3}$ है।
दिया गया है,हवा का घनत्व $= 1.2 \, kg \, m^{-3}$।
विस्थापित हवा का द्रव्यमान $= 4188.79 \times 1.2 = 5026.55 \, kg$।
अब,गुब्बारे के अंदर हीलियम का द्रव्यमान $(m)$,$m = \frac{M p V}{R T}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$M = 4 \times 10^{-3} \, kg \, mol^{-1}$,$p = 1.66 \, bar$,$V = 4188.79 \, m^{3} = 4188.79 \times 10^{3} \, dm^{3}$,$R = 0.083 \, bar \, dm^{3} \, K^{-1} \, mol^{-1}$,$T = 300 \, K$।
$m = \frac{4 \times 10^{-3} \times 1.66 \times 4188.79 \times 10^{3}}{0.083 \times 300} = 1117.01 \, kg$।
हीलियम से भरे गुब्बारे का कुल द्रव्यमान $= (100 + 1117.01) \, kg = 1217.01 \, kg$।
पे-लोड $= (5026.55 - 1217.01) \, kg = 3809.54 \, kg$।

(N/A) आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $pV = nRT = \frac{m}{M}RT$
आयतन के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $V = \frac{mRT}{Mp}$
दिए गए मान:
$m = 8.8 \,g$
$M (CO_{2}) = 12 + 2 \times 16 = 44 \,g \,mol^{-1}$
$R = 0.083 \,bar \,L \,K^{-1} \,mol^{-1}$
$T = 31.1 + 273 = 304.1 \,K$
$p = 1 \,bar$
मान रखने पर:
$V = \frac{8.8 \times 0.083 \times 304.1}{44 \times 1}$
$V = 0.2 \times 0.083 \times 304.1$
$V = 5.04806 \,L \approx 5.05 \,L$
अतः,घेरा गया आयतन $5.05 \,L$ है।

(B) आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = \frac{m}{M}$,हमें प्राप्त होता है $V = \frac{mRT}{Mp}$।
चूँकि दोनों गैसों के लिए $V$,$p$,और $R$ समान हैं,हम लिख सकते हैं:
$\frac{m_1 T_1}{M_1} = \frac{m_2 T_2}{M_2}$
दिया गया है:
$m_1 = 2.9 \, g$,$T_1 = 95 + 273 = 368 \, K$,$M_1 = M$ (अज्ञात मोलर द्रव्यमान)
$m_2 = 0.184 \, g$,$T_2 = 17 + 273 = 290 \, K$,$M_2 = 2 \, g \, mol^{-1}$ ($H_2$ के लिए)
मान रखने पर:
$\frac{2.9 \times 368}{M} = \frac{0.184 \times 290}{2}$
$M = \frac{2.9 \times 368 \times 2}{0.184 \times 290}$
$M = \frac{2134.4}{53.36} = 40 \, g \, mol^{-1}$
गैस का मोलर द्रव्यमान $40 \, g \, mol^{-1}$ है।

(N/A) चार्ल्स का नियम बताता है कि स्थिर दबाव पर,गैस के एक निश्चित द्रव्यमान का आयतन $(V)$ उसके पूर्ण तापमान $(T)$ के सीधे आनुपातिक होता है: $V \propto T$ या $V = kT$।
यह देखा गया है कि सभी गैसों के लिए,आयतन बनाम तापमान ( $^{\circ} C$ में) का आलेख एक सीधी रेखा है। यदि इस रेखा को शून्य आयतन तक बढ़ाया जाए,तो यह तापमान अक्ष को $-273^{\circ} C$ पर काटती है।
गणितीय रूप से,यदि $V = V_0(1 + \frac{t}{273.15})$ है,तो $t = -273.15^{\circ} C$ पर,आयतन $V$ शून्य हो जाता है।
चूंकि किसी गैस का आयतन शून्य या ऋणात्मक नहीं हो सकता है,इसलिए तापमान $-273.15^{\circ} C$ (जिसे अक्सर $-273^{\circ} C$ के रूप में लिया जाता है) से नीचे नहीं जा सकता है। वास्तव में,सभी गैसें इस तापमान तक पहुँचने से पहले द्रवित या ठोस हो जाती हैं,जिससे यह सैद्धांतिक परम शून्य बन जाता है।

(N/A) $(i)$ बॉयल का नियम: रॉबर्ट बॉयल $(1662)$ ने बताया कि स्थिर तापमान पर,किसी भी गैस की निश्चित मात्रा का आयतन उसके दबाव के व्युत्क्रमानुपाती होता है। $p \propto \frac{1}{V}$ (स्थिर $T$ और $n$ पर)। $\therefore pV = k_1$ (स्थिरांक)।
$(ii)$ चार्ल्स का नियम: जैक्स चार्ल्स ने दिखाया कि स्थिर दबाव पर गैस के निश्चित द्रव्यमान के लिए,गैस का आयतन उसके निरपेक्ष तापमान के सीधे आनुपातिक होता है। $V \propto T$ (स्थिर $n$ और $p$ पर)। $\therefore \frac{V}{T} = k_2$ (स्थिरांक)।
$(iii)$ गे-लुसाक का नियम: जोसेफ गे-लुसाक ने बताया कि स्थिर आयतन पर,गैस की निश्चित मात्रा का दबाव उसके निरपेक्ष तापमान के सीधे आनुपातिक होता है। $p \propto T$ (स्थिर $n$ और $V$ पर)। $\therefore \frac{p}{T} = k_3$ (स्थिरांक)।
$(iv)$ एवोगैड्रो का नियम: एमेडियो एवोगैड्रो $(1811)$ ने बताया कि समान तापमान और दबाव की स्थितियों में सभी गैसों के समान आयतन में अणुओं की संख्या समान होती है। $V \propto n$ (स्थिर $T$ और $p$ पर)। $\therefore V = k_4 n$.

(N/A) बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर,गैस की एक निश्चित मात्रा का दाब $(p)$ उसके आयतन $(V)$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
गणितीय रूप से: $p \propto \frac{1}{V}$ (स्थिर $T$ और $n$ पर)
$p = k_1 \frac{1}{V} \implies pV = k_1$
चूंकि घनत्व $(d)$ द्रव्यमान $(m)$ और आयतन $(V)$ का अनुपात है,इसलिए $d = \frac{m}{V}$,जिसका अर्थ है $V = \frac{m}{d}$।
इस मान को बॉयल के नियम $(pV = k_1)$ में रखने पर:
$p \left( \frac{m}{d} \right) = k_1$
$p = \left( \frac{k_1}{m} \right) d$
स्थिर तापमान पर गैस की निश्चित मात्रा के लिए $k_1$ और $m$ स्थिर हैं,इसलिए हम $\frac{k_1}{m} = k'$ (एक अन्य स्थिरांक) लिख सकते हैं।
अतः,$p = k' d$,जिसका अर्थ है कि $p \propto d$।
यह दर्शाता है कि स्थिर तापमान पर,गैस की निश्चित मात्रा का दाब उसके घनत्व के समानुपाती होता है।

(N/A) बॉयल का नियम बताता है कि स्थिर तापमान $(T)$ पर,गैस की एक निश्चित मात्रा (मोलों की संख्या $n$) का दबाव $(P)$ उसके आयतन $(V)$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
गणितीय व्युत्पत्ति:
$P \propto \frac{1}{V}$ (स्थिर $T$ और $n$ पर)
$P = k \cdot \frac{1}{V}$
$PV = k$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)
गैस की दो अलग-अलग अवस्थाओं के लिए: $P_1V_1 = P_2V_2$।
समतापीय ग्राफ: स्थिर तापमान पर $P$ बनाम $V$ के आलेख को समतापी (isotherm) कहा जाता है और यह एक आयताकार हाइपरबोला (rectangular hyperbola) होता है। ग्राफ दर्शाता है कि जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,वक्र मूल बिंदु से दूर होता जाता है।

(N/A) बॉयल का नियम बताता है कि स्थिर तापमान पर किसी गैस की निश्चित मात्रा के लिए,दबाव $(P)$ और आयतन $(V)$ व्युत्क्रमानुपाती होते हैं,अर्थात $P \propto \frac{1}{V}$ या $PV = k$।
$1$. यदि गैस का दबाव दोगुना कर दिया जाए,तो उसका आयतन मूल आयतन का आधा हो जाता है।
$2$. गैसें अत्यधिक संपीड़ित (compressible) होती हैं क्योंकि दबाव बढ़ने पर गैस के समान अणु कम जगह में आ जाते हैं।
$3$. जैसे-जैसे दबाव बढ़ने के कारण आयतन घटता है,गैस का घनत्व बढ़ जाता है,जिससे गैस अधिक 'गाढ़ी' या सांद्र प्रतीत होती है।

(B) $Boyle's \ Law$ के अनुसार,स्थिर तापमान पर गैस की एक निश्चित मात्रा के लिए,दबाव उसके आयतन के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(P \propto 1/V)$।
जब गैस का दबाव बढ़ता है,तो आयतन घट जाता है क्योंकि गैस के अणु एक-दूसरे के करीब आ जाते हैं।
गैसें अत्यधिक संपीड़ित होती हैं; इसलिए,दबाव बढ़ाने से अणुओं की समान संख्या कम जगह घेरती है।
जब निश्चित द्रव्यमान के लिए आयतन कम हो जाता है,तो गैस का घनत्व $( ho = m/V)$ बढ़ जाता है।

(N/A) चरण $1$: $O_2$ के मोलों की संख्या की गणना करें।
$O_2$ का दिया गया द्रव्यमान = $1.6 \ g$.
$O_2$ का मोलर द्रव्यमान = $32 \ g/mol$.
मोल $(n)$ = $\frac{1.6 \ g}{32 \ g/mol} = 0.05 \ mol$.
चरण $2$: $STP$ पर प्रारंभिक आयतन $(V_1)$ की गणना करें।
$STP$ पर,$1 \ mol$ गैस $22.4 \ L$ ($1 \ atm$ दाब का उपयोग करके) आयतन घेरती है।
$P_1 = 1 \ atm$ का उपयोग करते हुए,$V_1 = n \times 22.4 \ L/mol = 0.05 \ mol \times 22.4 \ L/mol = 1.12 \ L$.
चरण $3$: नए पात्र के आयतन $(V_2)$ की गणना करें।
चूंकि तापमान स्थिर है,हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
दिया गया है $P_2 = \frac{1}{2} P_1$,इसलिए $P_1 V_1 = (\frac{1}{2} P_1) V_2$.
$V_2 = 2 V_1 = 2 \times 1.12 \ L = 2.24 \ L$.
चरण $4$: अणुओं की संख्या की गणना करें।
अणुओं की संख्या = $n \times N_A$.
$= 0.05 \ mol \times 6.022 \times 10^{23} \ molecules/mol = 3.011 \times 10^{22} \ molecules$.

(B) चूंकि तापमान स्थिर है,हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं: $P_1V_1 = P_2V_2$।
दिया गया है: $P_1 = 1 \, bar$,$V_1 = 20 \, cm^3$,$V_2 = 50 \, cm^3$।
मान रखने पर: $1 \, bar \times 20 \, cm^3 = P_2 \times 50 \, cm^3$।
$P_2 = \frac{20}{50} \, bar = 0.4 \, bar$।

(A) चूंकि तापमान और गैस की मात्रा ($2.5 \ g$ $N_2$) स्थिर है,हम बॉयल के नियम का उपयोग कर सकते हैं: $P_1 V_1 = P_2 V_2$
दिया गया है: $P_1 = 4 \ bar$,$V_1 = 2.5 \ L$,$P_2 = 10 \ bar$
मान रखने पर: $4 \ bar \times 2.5 \ L = 10 \ bar \times V_2$
$10 = 10 \times V_2$
$V_2 = 1 \ L$

(A) बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर $P_1V_1 = P_2V_2$ होता है।
दिया गया है: $P_1 = 1 \ bar$,$V_1 = 10 \ L$,$P_2 = 2 \ bar$।
मान रखने पर: $1 \ bar \times 10 \ L = 2 \ bar \times V_2$।
$V_2 = \frac{10 \ bar \cdot L}{2 \ bar} = 5 \ L$।

(A) बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर $P_1V_1 = P_2V_2$ होता है।
दिया गया है: $P_1 = 740 \ torr$,$V_1 = 800 \ mL$,$V_2 = 540 \ mL$।
मान रखने पर: $740 \ torr \times 800 \ mL = P_2 \times 540 \ mL$।
$P_2 = \frac{740 \times 800}{540} \ torr$।
$P_2 = \frac{592000}{540} \ torr = 1096.3 \ torr$।

(A) बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर गैस की एक निश्चित मात्रा के लिए,$P_1V_1 = P_2V_2$ होता है।
दिया गया है: $P_1 = 1 \ bar$,$V_1 = 175 \ dm^{3}$,$P_2 = 0.8 \ bar$।
मान रखने पर: $1 \ bar \times 175 \ dm^{3} = 0.8 \ bar \times V_2$।
$V_2 = \frac{1 \times 175}{0.8} \ dm^{3} = 218.75 \ dm^{3}$।

(N/A) चार्ल्स का नियम बताता है कि स्थिर दाब पर किसी गैस के निश्चित द्रव्यमान के लिए,गैस का आयतन उसके परम ताप $(T)$ के सीधे समानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$V \propto T$
$V = k_{2}T$
$\frac{V}{T} = k_{2} = \text{स्थिरांक}$
जहाँ $V$ आयतन है,$T$ केल्विन में परम ताप है,और $k_{2}$ एक स्थिरांक है। स्थिर दाब पर एक ही गैस की दो अलग-अलग अवस्थाओं के लिए,संबंध इस प्रकार है:
$\frac{V_{1}}{T_{1}} = \frac{V_{2}}{T_{2}}$

(N/A) चार्ल्स का नियम बताता है कि स्थिर दबाव पर गैस के एक निश्चित द्रव्यमान के लिए,गैस का आयतन उसके परम तापमान $(T)$ के सीधे आनुपातिक होता है।
गणितीय सूत्र:
नियम के अनुसार,तापमान में प्रत्येक डिग्री की वृद्धि के साथ,गैस का आयतन $0^{\circ} C$ $(V_{0})$ पर उसके आयतन का $\frac{1}{273.15}$ बढ़ जाता है।
$V_{t} = V_{0} (1 + \frac{t}{273.15})$
$V_{t} = V_{0} (\frac{273.15 + t}{273.15})$
परम तापमान $T = 273.15 + t$ को परिभाषित करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$V_{t} = V_{0} (\frac{T}{T_{0}})$
$\frac{V}{T} = \text{स्थिरांक } (k)$
$V = kT$
ग्राफ:
स्थिर दबाव पर आयतन $(V)$ बनाम तापमान $(T)$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा देता है,जो $V \propto T$ की पुष्टि करता है।
परम शून्य तापमान:
परम शून्य वह सैद्धांतिक तापमान है जिस पर गैस का आयतन शून्य हो जाता है। इसे $-273.15^{\circ} C$ या $0 \ K$ के रूप में परिभाषित किया गया है। इस तापमान पर,सैद्धांतिक रूप से सभी आणविक गति रुक जाती है।

चार्ल्स के नियम के अनुसार,गैस का आयतन निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है: $V_{t} = V_{0} \left( \frac{273.15 + t}{273.15} \right)$ ... $(i)$
समीकरण में $t = -273.15 \,^{\circ}C$ रखने पर:
$V_{-273.15} = V_{0} \left( \frac{273.15 - 273.15}{273.15} \right)$
$V_{-273.15} = V_{0} \left( \frac{0}{273.15} \right) = 0$
$-273.15 \,^{\circ}C$ पर,एक काल्पनिक गैस का आयतन शून्य हो जाता है। चूंकि आयतन ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए यह तापमान तापमान की सैद्धांतिक निचली सीमा का प्रतिनिधित्व करता है,जिसे परम शून्य (absolute zero) कहा जाता है। वास्तव में,सभी गैसें इस तापमान तक पहुँचने से पहले द्रवित या ठोस हो जाती हैं।

(N/A) दिया गया समीकरण $V_{t} = V_{0} \left( \frac{273.15 + t}{273.15} \right)$ है।
मान लीजिए $T = 273.15 + t$,जहाँ $T$ केल्विन में तापमान है और $t$ डिग्री सेल्सियस में तापमान है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $V_{t} = V_{0} \left( \frac{T}{273.15} \right)$ प्राप्त होता है।
इसे $V_{t} = \left( \frac{V_{0}}{273.15} \right) T$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
चूँकि $V_{0}$ और $273.15$ स्थिरांक हैं,हम $V_{t} = k T$ लिख सकते हैं,जहाँ $k = \frac{V_{0}}{273.15}$ है।
यह दर्शाता है कि आयतन $(V)$ केल्विन में तापमान $(T)$ के सीधे आनुपातिक है,जो चार्ल्स के नियम की परिभाषा है।
केल्विन में $V$ बनाम $T$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है,जिसका ढलान $\frac{V_{0}}{273.15}$ है।

(A) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दाब पर,$V_1/T_1 = V_2/T_2$।
दिया गया है: $V_1 = 25\, L$,$T_1 = 27 + 273 = 300\, K$,$T_2 = 77 + 273 = 350\, K$।
मान रखने पर: $25/300 = V_2/350$।
$V_2 = (25 \times 350) / 300 = 8750 / 300 = 29.166...\, L \approx 29.17\, L$।

(A) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दबाव पर,$V \propto T$,इसलिए $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$।
मान लीजिए फ्लास्क का आयतन $V$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27 + 273 = 300\,K$।
अंतिम तापमान $T_2 = 277 + 273 = 550\,K$।
$T_2$ पर,फ्लास्क के अंदर गैस का आयतन $V$ है और बाहर निकली गैस का आयतन $0.1\,dm^{3}$ है।
इसलिए,$T_2$ पर गैस का कुल आयतन $(V + 0.1)\,dm^{3}$ होगा।
$\frac{V}{300} = \frac{V + 0.1}{550}$ का उपयोग करते हुए।
$550V = 300V + 30$।
$250V = 30$।
$V = 0.12\,dm^{3}$।
दिए गए विकल्पों के आधार पर,सही उत्तर $0.15\,dm^{3}$ है।

(B) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दाब पर $V \propto T$ या $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$ होता है।
दिया गया है:
$T_1 = 127 \, ^oC = 127 + 273 = 400 \, K$
$V_1 = 3 \, L$
$V_2 = \frac{V_1}{2} = 1.5 \, L$
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{3}{400} = \frac{1.5}{T_2}$
$T_2 = \frac{1.5 \times 400}{3}$
$T_2 = 0.5 \times 400 = 200 \, K$.

(A) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दाब पर $V \propto T$,जिसका अर्थ है $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
यहाँ $T_1 = 273 \, K$ और $V_2 = V_1 + 0.20V_1 = 1.2V_1$ है।
मान रखने पर: $\frac{V_1}{273} = \frac{1.2V_1}{T_2}$.
$T_2 = 273 \times 1.2 = 327.6 \, K$.

(N/A) चार्ल्स के नियम के अनुसार,$V \propto T$ (स्थिर दबाव पर),इसलिए $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$।
दिया गया है: $V_1 = 400\, mL$,$T_1 = 17 + 273 = 290\, K$।
$(i)$ यदि $V_2 = 2 \times V_1 = 800\, mL$ है,तो $T_2 = \frac{V_2 \times T_1}{V_1} = \frac{800 \times 290}{400} = 580\, K = 307\,^{\circ}C$।
$(ii)$ यदि $V_2 = \frac{V_1}{2} = 200\, mL$ है,तो $T_2 = \frac{V_2 \times T_1}{V_1} = \frac{200 \times 290}{400} = 145\, K = -128\,^{\circ}C$।

(A) गे-लुसाक के नियम के अनुसार,स्थिर आयतन के लिए,$P \propto T$ या $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.
दिया गया है: $P_1 = 12 \ bar$,$T_1 = 27 \ ^oC = 300 \ K$,$P_2 = 14.9 \ bar$.
मान रखने पर: $\frac{12}{300} = \frac{14.9}{T_2}$.
$T_2 = \frac{14.9 \times 300}{12} = 372.5 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $372.5 - 273 = 99.5 \ ^oC$.

(N/A) वाहनों के अच्छी तरह से फूले हुए टायरों में दबाव लगभग स्थिर रहता है,लेकिन गर्मी के दिनों में यदि दबाव को ठीक से समायोजित नहीं किया गया तो टायर फट सकता है। सर्दियों में एक ठंडी सुबह,कोई भी देख सकता है कि वाहन के टायरों में दबाव काफी कम हो गया है।
नियम: स्थिर आयतन पर,गैस की एक निश्चित मात्रा का दबाव तापमान के सीधे आनुपातिक होता है।
गणितीय रूप से:
$p \propto T$ (स्थिर $V$ पर) $\dots (Eq.-I)$
$p = K_{3} T$ (स्थिर $V$ पर) $\dots (Eq.-II)$
अतः,$\frac{p}{T} = K_{3} =$ स्थिरांक $\dots (Eq.-III)$
नियम: "स्थिर आयतन पर गैस के दबाव और निरपेक्ष तापमान का अनुपात स्थिर रहता है।"
स्थिर आयतन पर तापमान और दबाव में परिवर्तन के लिए सूत्र: मान लीजिए,स्थिर आयतन पर प्रारंभिक दबाव $p_{1}$ और प्रारंभिक तापमान $T_{1}$ है और अंतिम दबाव $p_{2}$ और अंतिम तापमान $T_{2}$ है।
गे-लुसाक के नियम के अनुसार,$\frac{p_{1}}{T_{1}} = k_{3} = \frac{p_{2}}{T_{2}}$
इस प्रकार,$\frac{p_{1}}{T_{1}} = \frac{p_{2}}{T_{2}}$ $\dots (Eq.-IV)$
$\frac{p_{1}}{p_{2}} = \frac{T_{1}}{T_{2}}$ $\dots (Eq.-V)$
$p_{1} T_{2} = p_{2} T_{1}$ $\dots (Eq.-VI)$
आइसोकोर ग्राफ: स्थिर मोलर आयतन पर दबाव $vs$ तापमान (केल्विन) का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है।

(N/A) ऑटोमोबाइल के अच्छी तरह से फुलाए गए टायरों में दबाव लगभग स्थिर रहता है,लेकिन गर्मी के दिनों में यदि दबाव ठीक से समायोजित न किया जाए तो टायर फट सकता है। सर्दियों में ठंडी सुबह के दौरान,कोई भी वाहन के टायरों में दबाव काफी कम पा सकता है।
नियम: स्थिर आयतन पर,गैस की एक निश्चित मात्रा का दबाव उसके निरपेक्ष तापमान के सीधे आनुपातिक होता है।
गणितीय रूप से:
$p \propto T$ (स्थिर $V$ पर) .... (Eq.-$i$)
$p = K_3 T$ (स्थिर $V$ पर) .... (Eq.-$ii$)
अतः,$\frac{p}{T} = K_3 =$ स्थिर .... (Eq.-$iii$)
नियम का कथन: "स्थिर आयतन पर,गैस के दबाव और निरपेक्ष तापमान का अनुपात स्थिर रहता है।"
स्थिर आयतन पर तापमान और दबाव में परिवर्तन के लिए सूत्र: मान लीजिए,स्थिर आयतन पर प्रारंभिक दबाव $p_1$ और प्रारंभिक तापमान $T_1$ है,और अंतिम दबाव $p_2$ और अंतिम तापमान $T_2$ है।
गे-लुसाक के नियम के अनुसार:
$\frac{p_1}{T_1} = k_3 = \frac{p_2}{T_2}$
इस प्रकार:
$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$ .... (Eq.-$iv$)
$\frac{p_1}{p_2} = \frac{T_1}{T_2}$ .... (Eq.-$v$)
$p_1 T_2 = p_2 T_1$ .... (Eq.-$vi$)
आइसोकोर ग्राफ: स्थिर मोलर आयतन पर दबाव $vs$ तापमान (केल्विन) का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है।

(N/A) $1811$ में,इतालवी वैज्ञानिक एमेडियो अवोगाद्रो ने डाल्टन के परमाणु सिद्धांत और गे-लुसाक के आयतन संयोजन के नियम के निष्कर्षों को जोड़ा,जिसे अब अवोगाद्रो के नियम के रूप में जाना जाता है।
अवोगाद्रो का नियम: यह बताता है कि समान तापमान और दबाव की स्थिति में सभी गैसों के समान आयतन में अणुओं की संख्या समान होती है।
गणितीय सूत्र: अवोगाद्रो के नियम के अनुसार,जब तापमान और दबाव स्थिर रहते हैं,तो आयतन $(V)$ गैस की मात्रा ($n$ मोल में) के सीधे आनुपातिक होता है।
$V \propto n$ (स्थिर $T$ और $p$ पर) .....(Eq.-$i$)
जहाँ,$n$ गैस के मोलों की संख्या है।
$V = k_{4} n$ (Eq.-$ii$)
चूंकि मोलों की संख्या $n = \frac{m}{M}$,जहाँ $m$ गैस का द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$V = k_{4} \left( \frac{m}{M} \right)$ .....(Eq.-$iii$)
मोलर द्रव्यमान $M$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$M = k_{4} \left( \frac{m}{V} \right)$ .....(Eq.-$iv$)
चूंकि घनत्व $d = \frac{m}{V}$,इसलिए:
$M = k_{4} d$ .....(Eq.-$v$)
निष्कर्ष: स्थिर तापमान और दबाव पर गैस का घनत्व उसके आणविक द्रव्यमान के सीधे आनुपातिक होता है।

(N/A) गैस के मोल $(n)$ की संख्या इस सूत्र द्वारा दी जाती है:
$n = \frac{m}{M}$....(Eq.-$i$)
जहाँ $m$ गैस का द्रव्यमान (ग्राम में) है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ के अनुसार:
$V = \frac{nRT}{P}$....(Eq.-$ii$)
समीकरण में $n = \frac{m}{M}$ रखने पर:
$V = \frac{mRT}{MP}$....(Eq.-$iii$)
घनत्व $(d = \frac{m}{V})$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$\frac{m}{V} = \frac{MP}{RT}$
चूंकि $d = \frac{m}{V}$,हमें प्राप्त होता है:
$d = \frac{MP}{RT}$
अतः,गैस का घनत्व उसके मोलर द्रव्यमान $(M)$ और दबाव $(P)$ के सीधे आनुपातिक होता है,और तापमान $(T)$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

(N/A) गैस के मोल की गणना:
$n = \frac{m}{M}$....(Eq.-$i$)
जहाँ $m$ गैस का द्रव्यमान है और $M$ आणविक द्रव्यमान है।
एवोगेड्रो के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान और दबाव पर आयतन $V$,मोल की संख्या $n$ के सीधे आनुपातिक होता है:
$V = k n$....(Eq.-$ii$)
Eq.-$i$ को Eq.-$ii$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$V = k \frac{m}{M}$....(Eq.-$iii$)
$M$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$M = k \left( \frac{m}{V} \right)$....(Eq.-$iv$)
चूंकि घनत्व $d = \frac{m}{V}$,इसे Eq.-$iv$ में रखने पर:
$M = k d$
अतः,स्थिर तापमान और दबाव पर गैस का आणविक द्रव्यमान उसके घनत्व के सीधे आनुपातिक होता है।

(N/A) वह गैस जो तापमान और दबाव की सभी स्थितियों में बॉयल के नियम,चार्ल्स के नियम और एवोगैड्रो के नियम का सख्ती से पालन करती है,उसे आदर्श गैस कहा जाता है।
ऐसी गैस काल्पनिक होती है। यह माना जाता है कि आदर्श गैस के अणुओं के बीच कोई अंतर-आणविक आकर्षण या प्रतिकर्षण बल नहीं होता है,और अणुओं द्वारा घेरा गया आयतन गैस के कुल आयतन की तुलना में नगण्य होता है।
वास्तव में,कोई भी गैस पूर्णतः आदर्श नहीं होती है। हालाँकि,वास्तविक गैसें कम दबाव और उच्च तापमान पर आदर्श गैसों की तरह व्यवहार करती हैं,जहाँ अंतर-आणविक बल नगण्य हो जाते हैं।

(N/A) आदर्श गैस समीकरण: बॉयल के नियम,चार्ल्स के नियम और आवोगाद्रो के नियम के संयोजन से प्राप्त समीकरण को "आदर्श गैस समीकरण" कहा जाता है।
आदर्श गैस समीकरण: $pV = nRT$ (समीकरण-$i$)
आदर्श गैस समीकरण चार चरों $(p, V, n, T)$ के बीच का संबंध है। यह किसी भी गैस की अवस्था का वर्णन करता है,इसलिए इसे अवस्था समीकरण कहा जाता है।
आदर्श गैस समीकरण की व्युत्पत्ति:
$(i)$ बॉयल का नियम: $V \propto \frac{1}{p}$ ($T$ और $n$ स्थिर)
$(ii)$ चार्ल्स का नियम: $V \propto T$ ($p$ और $n$ स्थिर)
$(iii)$ आवोगाद्रो का नियम: $V \propto n$ ($p$ और $T$ स्थिर)
अतः,$V \propto \frac{nT}{p}$
यदि समानुपातिक स्थिरांक $= R$ है,तो:
$V = R \left(\frac{nT}{p}\right)$
इस प्रकार,$pV = nRT$
गैस स्थिरांक $R$ की विशेषताएं और मान:
- $R$ को सार्वत्रिक गैस स्थिरांक के रूप में जाना जाता है।
- $R$ का मान सभी गैसों के लिए समान होता है।
- $R$ का मान $p, V$ और $T$ के मापन की इकाइयों पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए,$SI$ इकाइयों में $R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$ है।

(N/A) $n$ मोल गैस का आयतन: आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$pV = nRT$।
इसलिए,$V = \frac{nRT}{p}$।
यदि तापमान $(T)$,दबाव $(p)$ और गैस की मात्रा $(n)$ को स्थिर रखा जाए,तो आयतन $(V)$ इन मापदंडों द्वारा निर्धारित होता है।
संयुक्त गैस नियम:
आदर्श गैस समीकरण से शुरू करते हुए: $pV = nRT$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है: $\frac{pV}{T} = nR$।
चूंकि $n$ (मोलों की संख्या) और $R$ (सार्वभौमिक गैस स्थिरांक) गैस की एक निश्चित मात्रा के लिए स्थिर हैं,इसलिए हम लिख सकते हैं: $\frac{pV}{T} = \text{constant}$।
यदि गैस की एक निश्चित मात्रा की अवस्था $(p_1, V_1, T_1)$ से बदलकर $(p_2, V_2, T_2)$ हो जाती है,तो:
$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$।
इस समीकरण को संयुक्त गैस नियम के रूप में जाना जाता है।

(A) आदर्श गैस समीकरण $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$ का उपयोग करने पर।
दिया गया है:
$P_1 = 4\, bar$,$V_1 = 2\, L$,$T_1 = 27 + 273 = 300\, K$.
$V_2 = 4\, L$,$T_2 = 77 + 273 = 350\, K$.
मान रखने पर:
$\frac{4 \times 2}{300} = \frac{P_2 \times 4}{350}$.
$P_2 = \frac{4 \times 2 \times 350}{300 \times 4} = \frac{700}{300} = 2.33\, bar$.

(A) दिया गया है: $P_1 = 1.5 \, bar$,$V_1 = 200 \, mL$,$T_1 = 400 \, K$.
$STP$ (मानक तापमान और दाब) पर,$P_2 = 1 \, bar$ और $T_2 = 273.15 \, K$.
संयुक्त गैस नियम का उपयोग करने पर: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
मान रखने पर: $\frac{1.5 \times 200}{400} = \frac{1 \times V_2}{273.15}$.
$0.75 = \frac{V_2}{273.15}$.
$V_2 = 0.75 \times 273.15 = 204.86 \, mL$ (लगभग $204.75 \, mL$)।

(B) $1$. मोल की संख्या $(n)$ की गणना करें: $n = \frac{6.022 \times 10^{22}}{6.022 \times 10^{23}} = 0.1 \ mol$.
$2$. तापमान को केल्विन में बदलें: $T = 27 + 273 = 300 \ K$.
$3$. आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करें,जहाँ $R = 0.08314 \ L \cdot bar \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$.
$4$. $P = \frac{nRT}{V} = \frac{0.1 \times 0.08314 \times 300}{2} = \frac{2.4942}{2} = 1.247 \ bar$.
$5$. दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $1.231 \ bar$ है।

(A) आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करने पर: $PV = nRT$
दिया गया है: $n = 5 \ mol$,$V = 2 \ L$,$T = 27 + 273 = 300 \ K$,$R = 0.08314 \ L \cdot bar \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$
$P = \frac{nRT}{V} = \frac{5 \times 0.08314 \times 300}{2} = \frac{124.71}{2} = 62.355 \ bar$

(5.01) आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $PV = nRT$
मोल के लिए सूत्र: $n = \frac{PV}{RT}$
दिए गए मान:
$P = 250 \ bar$
$V = 500 \ mL = 0.5 \ L$
$T = 300 \ K$
$R = 8.314 \times 10^{-2} \ bar \ L \ K^{-1} \ mol^{-1}$
गणना:
$n = \frac{250 \times 0.5}{8.314 \times 10^{-2} \times 300}$
$n = \frac{125}{24.942}$
$n \approx 5.01 \ mol$
अतः,$O_2$ के मोलों की संख्या $5.01 \ mol$ है।

(A) दिया गया है: $O_2$ का द्रव्यमान $(w)$ = $6.4 \ g$,$O_2$ का मोलर द्रव्यमान $(M)$ = $32 \ g/mol$,दबाव $(P)$ = $50 \ bar$,आयतन $(V)$ = $200 \ mL = 0.2 \ L$,गैस स्थिरांक $(R)$ = $8.314 \times 10^{-2} \ bar \ L \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
मोलों की संख्या $(n)$ = $w / M = 6.4 / 32 = 0.2 \ mol$.
आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $PV = nRT$.
$T = PV / (nR) = (50 \times 0.2) / (0.2 \times 8.314 \times 10^{-2}) = 50 / 0.08314 \approx 601.39 \ K$.
$^\circ C$ में तापमान = $T(K) - 273.15 = 601.39 - 273.15 = 328.24 \ ^\circ C \approx 328.4 \ ^\circ C$.

(A) दिया गया है: अणुओं की संख्या $N = 6.022 \times 10^{21}$.
मोलों की संख्या $n = \frac{N}{N_A} = \frac{6.022 \times 10^{21}}{6.022 \times 10^{23}} = 0.01 \ mol$.
तापमान $T = 300 \ K$,दाब $P = 2 \ bar$,$R = 8.314 \times 10^{-2} \ bar \ L \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करने पर:
$V = \frac{nRT}{P} = \frac{0.01 \times 8.314 \times 10^{-2} \times 300}{2}$.
$V = \frac{0.24942}{2} = 0.12471 \ L$.
$mL$ में बदलने पर: $0.12471 \times 1000 = 124.71 \ mL$.

(N/A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए:
$n = \frac{PV}{RT} = \frac{10^3 \, Pa \times 4 \times 10^{-3} \, m^3}{8.3144 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1} \times 350 \, K} \approx 1.374 \times 10^{-4} \, mol$.
अणुओं की संख्या $= n \times N_A = 1.374 \times 10^{-4} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 8.275 \times 10^{19} \, {\text{अणु}}$.
चूंकि प्रत्येक $SO_2$ अणु में $3$ परमाणु होते हैं,कुल परमाणु $= 3 \times 8.275 \times 10^{19} \approx 2.483 \times 10^{20} \, {\text{परमाणु}}$.

(A) $1$. मोल की संख्या $(n)$ की गणना करें: $n = \frac{\text{अणुओं की संख्या}}{N_A} = \frac{2 \times 10^6}{6.022 \times 10^{23}} \approx 3.321 \times 10^{-18} \, mol$.
$2$. आयतन को लीटर में बदलें: $V = 400 \, mL = 0.4 \, L$.
$3$. आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करें: $P = \frac{nRT}{V}$.
$4$. $atm$ में दाब की गणना करें: $P = \frac{3.321 \times 10^{-18} \times 0.082 \times 400}{0.4} = 2.723 \times 10^{-16} \, atm$.
$5$. दाब को $bar$ में बदलें: $P_{bar} = 2.723 \times 10^{-16} \times 1.013 = 2.758 \times 10^{-16} \, bar$.