Ideal gas equation and Related gas laws Questions in Hindi

(D) बॉयल के नियम के अनुसार,$PV = K$,जहाँ $K$ स्थिर तापमान पर एक स्थिरांक है।
$P$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$P = K \cdot V^{-1}$ प्राप्त होता है।
स्थिर तापमान $T$ पर $V$ के सापेक्ष $P$ का अवकलन करने पर:
$(dP / dV)_T = d(K \cdot V^{-1}) / dV$.
पावर नियम का उपयोग करने पर,$(dP / dV)_T = K \cdot (-1) \cdot V^{-2} = -K / V^2$.

(D) गर्म हवा का गुब्बारा इस सिद्धांत पर काम करता है कि स्थिर दबाव पर गैस का आयतन उसके पूर्ण तापमान के सीधे आनुपातिक होता है,जिसे $Charles's \ Law$ ($V \propto T$ स्थिर $P$ पर) के रूप में जाना जाता है।
जैसे ही गुब्बारे के अंदर की हवा गर्म होती है,उसका आयतन बढ़ जाता है,जिससे हवा आसपास की हवा की तुलना में कम घनी हो जाती है,जिससे गुब्बारा ऊपर उठने लगता है।

(A) बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर,गैस की एक निश्चित मात्रा का दबाव उसके आयतन के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(P \propto 1/V)$।
चूंकि घनत्व $(d)$,द्रव्यमान $(m)$ और आयतन $(V)$ का अनुपात है,और गैस की निश्चित मात्रा के लिए द्रव्यमान स्थिर रहता है,इसलिए $V = m/d$ होता है।
इस मान को बॉयल के नियम में रखने पर,हमें $P \propto d$ प्राप्त होता है।
अतः,समुद्र तल पर दबाव अधिक होने के कारण,अधिक ऊंचाई वाले स्थानों की तुलना में वहां हवा का घनत्व अधिक होता है।

(A) स्थिर दाब पर,चार्ल्स के नियम के अनुसार: $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$
दिया गया है: $V_1 = 1000 \ mL$,$T_1 = 25 + 273 = 298 \ K$,$T_2 = 35 + 273 = 308 \ K$
मान रखने पर: $\frac{1000}{298} = \frac{V_2}{308}$
$V_2 = \frac{1000 \times 308}{298} \approx 1033.56 \ mL$
बाहर निकलने वाली हवा का आयतन = $V_2 - V_1 = 1033.56 - 1000 = 33.56 \ mL \approx 33 \ mL$

(D) बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर गैसों के मिश्रण के लिए परिणामी दाब $P$ का सूत्र है:
$P = \frac{P_1 V_1 + P_2 V_2}{V_1 + V_2}$
दिया गया है:
$P_1 = 100 \, kPa, V_1 = 1 \, L$
$P_2 = 320 \, kPa, V_2 = 3 \, L$
मान रखने पर:
$P = \frac{(100 \times 1) + (320 \times 3)}{1 + 3}$
$P = \frac{100 + 960}{4}$
$P = \frac{1060}{4}$
$P = 265 \, kPa$

(A) दिया गया है:
$T_1 = 75^{\circ}C = 348 \, K$
$V_1 = V$
$V_2 = V - 0.15V = 0.85V$
$P_1 = P$
$P_2 = 2P$
संयुक्त गैस नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$
मान रखने पर:
$\frac{P \times V}{348} = \frac{2P \times 0.85V}{T_2}$
$\frac{1}{348} = \frac{1.7}{T_2}$
$T_2 = 348 \times 1.7 = 591.6 \, K$
सेल्सियस में बदलने पर:
$T_2(^{\circ}C) = 591.6 - 273.15 = 318.45^{\circ}C \approx 319^{\circ}C$

(B) गे-लुसाक के नियम के अनुसार,स्थिर आयतन पर गैस की निश्चित मात्रा के लिए,$P \propto T$ या $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$ होता है।
दिया गया है: $P_1 = 12 \ atm$,$T_1 = 27 \ ^oC = 27 + 273 = 300 \ K$।
सिलेंडर द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम दबाव,$P_2 = 15 \ atm$।
मान रखने पर: $\frac{12}{300} = \frac{15}{T_2}$।
$T_2 = \frac{15 \times 300}{12} = 375 \ K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2( ^oC) = 375 - 273 = 102 \ ^oC$।
अतः,सिलेंडर $102 \ ^oC$ तक नहीं फटेगा।

(B) दिया गया है:
$P_1 = 1\, atm$,$V_1 = 100\, cc$,$T_1 = 0\,^{\circ}C = 273\, K$
$P_2 = 1.5\, atm$
$T_2 = T_1 + \frac{T_1}{3} = 273 + \frac{273}{3} = 273 \times \frac{4}{3} = 364\, K$
आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करने पर: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$
$V_2 = \frac{P_1 V_1 T_2}{P_2 T_1} = \frac{1 \times 100 \times (273 \times \frac{4}{3})}{1.5 \times 273}$
$V_2 = \frac{100 \times 4}{1.5 \times 3} = \frac{400}{4.5} = 88.88\, cc \approx 88.9\, cc$

(C) आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $PV = nRT$
दिया गया है: $P = 10 \ atm$,$V = 0.082 \ L$,$T = 400 \ K$,$R = 0.082 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$
$n = \frac{PV}{RT} = \frac{10 \times 0.082}{0.082 \times 400} = \frac{10}{400} = 0.025 \ mol$
अणुओं की संख्या = $n \times N_A = 0.025 \times 6.022 \times 10^{23} \approx 1.5 \times 10^{22}$ अणु।

(A) दिया गया है: $V = 1 \, dm^3 = 1 \, L$,$T = -23 \, ^\circ C = 250 \, K$,$P = 7.6 \times 10^{-5} \, torr = \frac{7.6 \times 10^{-5}}{760} \, atm = 10^{-7} \, atm$.
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,मोल की संख्या $n$ ज्ञात करते हैं:
$n = \frac{PV}{RT} = \frac{10^{-7} \times 1}{0.0821 \times 250} \approx 4.87 \times 10^{-9} \, mol$.
अणुओं की संख्या $N = n \times N_A$:
$N = 4.87 \times 10^{-9} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 2.93 \times 10^{15}$ अणु।

(A) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$ होता है।
यहाँ $V_1 = V_2 = x \ L$ दिया गया है,इसलिए समीकरण $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$ हो जाता है।
प्रारंभिक मान रखने पर,$\frac{y}{z} = \frac{P_2}{T_2}$ प्राप्त होता है।
आयतन $x \ L$ बनाए रखने के लिए,दाब और तापमान का अनुपात समान रहना चाहिए,अर्थात $\frac{P_2}{T_2} = \frac{y}{z}$।
विकल्प $A$ की जाँच करने पर: $\frac{2y}{2z} = \frac{y}{z}$।
अतः,$2y \ atm$ और $2z \ K$ पर आयतन $x \ L$ ही रहेगा।

(D) दिया गया है: $P_1 = P, V_1 = V, T_1 = 27 + 273 = 300 \ K, n_1 = n$
$P_2 = P, T_2 = -173 + 273 = 100 \ K, n_2 = 2n$
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $P$ स्थिर है:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{n_1 T_1}{n_2 T_2}$
$\frac{V}{V_2} = \frac{n \times 300}{2n \times 100}$
$\frac{V}{V_2} = \frac{300}{200} = \frac{3}{2}$
$V_2 = \frac{2V}{3} \ L$

(C) मोलर आयतन $V_m$ की गणना आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करके की जाती है।
$n = 1 \, mol$,$P = 1 \, atm$,$T = 27 + 273 = 300 \, K$,और $R = 0.0821 \, L \cdot atm \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$ लेने पर।
$V_m = \frac{nRT}{P} = \frac{1 \times 0.0821 \times 300}{1} = 24.63 \, L$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $24.6 \, L$ है।

(D) अपघटन अभिक्रिया: $CH_3OH_{(g)} \to CO_{(g)} + 2H_{2(g)}$
प्रारंभिक मोल: $CH_3OH = 0.01 \, mol$,$CO = 0$,$H_2 = 0$
साम्यावस्था पर (पूर्ण अपघटन): $CH_3OH = 0 \, mol$,$CO = 0.01 \, mol$,$H_2 = 0.02 \, mol$
गैस के कुल मोल $n = 0.01 + 0.02 = 0.03 \, mol$
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करने पर:
$P = \frac{nRT}{V}$
यहाँ $R = 0.082 \, L \cdot atm \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$,$T = 600 \, K$,$V = 0.082 \, L$
$P = \frac{0.03 \times 0.082 \times 600}{0.082}$
$P = 0.03 \times 600 = 18 \, atm$

(C) दिया गया है: $P = 1 \ atm$,$T = 273 \ K$,$V = 1 \ L$,$w = 1.786 \ g$.
आदर्श गैस समीकरण के अनुसार: $M = (wRT) / (PV) = (1.786 \times 0.0821 \times 273) / (1 \times 1) \approx 40 \ g/mol$.
$STP$ पर $1 \ mol$ गैस का आयतन $22.4 \ L$ होता है।
अतः,$M = (1.786 \ g / 1 \ L) \times 22.4 \ L/mol \approx 40 \ g/mol$.
आण्विक द्रव्यमान: $\text{प्रोपीन} (C_3H_6) = 42 \ g/mol$ जो $40 \ g/mol$ के सबसे निकट है।

(D) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT = (\frac{W}{M})RT$ है।
चूंकि $P, V, T$ समान हैं,इसलिए $n_1 = n_2$,जिसका अर्थ है $\frac{W_1}{M_1} = \frac{W_2}{M_2}$।
दिया गया है $W_1 = 0.6 \ g$ ($N_2$ के लिए $M_1 = 28 \ g \ mol^{-1}$) और $W_2 = 0.73 \ g$।
मान रखने पर: $\frac{0.6}{28} = \frac{0.73}{M_2}$।
$M_2 = \frac{0.73 \times 28}{0.6} = \frac{20.44}{0.6} \approx 34.06 \ g \ mol^{-1}$।
$PH_3$ का आणविक द्रव्यमान $31 + 3(1) = 34 \ g \ mol^{-1}$ है।
अतः,वह गैस $PH_3$ है।

(C) एक खुले फ्लास्क के लिए,दबाव $(P)$ और आयतन $(V)$ स्थिर रहते हैं।
आदर्श गैस नियम $PV = nRT$ के अनुसार,स्थिर $P$ और $V$ पर $n \propto \frac{1}{T}$ होता है।
दिया गया है: $T_1 = 27^{\circ}C = 300 \, K$।
मान लीजिए कि मोलों की प्रारंभिक संख्या $n_1 = n$ है।
गर्म करने के बाद,हवा का एक-तिहाई हिस्सा बाहर निकल जाता है,इसलिए शेष मोल $n_2 = n - \frac{n}{3} = \frac{2n}{3}$ हैं।
संबंध $\frac{n_1}{n_2} = \frac{T_2}{T_1}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{n}{2n/3} = \frac{T_2}{300}$
$\frac{3}{2} = \frac{T_2}{300}$
$T_2 = \frac{3}{2} \times 300 = 450 \, K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2 = 450 - 273 = 177^{\circ}C$।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,मोल की संख्या $n = \frac{PV}{RT}$ द्वारा दी जाती है।
पात्र $A$ के लिए: $P_A = 2P$,$V_A = 2V$,$T_A = 2T$। अतः,$n_A = \frac{(2P)(2V)}{R(2T)} = 2 \frac{PV}{RT}$।
पात्र $B$ के लिए: $P_B = P$,$V_B = V$,$T_B = T$। अतः,$n_B = \frac{PV}{RT}$।
अणुओं की संख्या का अनुपात (जो मोल की संख्या के समानुपाती होता है) $\frac{n_A}{n_B} = \frac{2(PV/RT)}{(PV/RT)} = 2 : 1$ है।

(B) दिया गया है: $W_1 = 3.7 \ g$,$T_1 = 25 + 273 = 298 \ K$,$W_2 = 0.184 \ g$,$M_2 = 2 \ g/mol$ $(H_2)$,$T_2 = 17 + 273 = 290 \ K$.
चूंकि दाब $P$ और आयतन $V$ समान हैं,आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,$n_1 T_1 = n_2 T_2$ प्राप्त होता है।
$n = \frac{W}{M}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{W_1}{M_1} T_1 = \frac{W_2}{M_2} T_2$.
$\frac{3.7}{M_1} \times 298 = \frac{0.184}{2} \times 290$.
$M_1 = \frac{3.7 \times 298 \times 2}{0.184 \times 290}$.
$M_1 = \frac{2205.2}{53.36} \approx 41.3 \ g/mol$.

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$PV = \frac{m}{M} RT$ प्राप्त होता है।
घनत्व $(d = \frac{m}{V})$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$d = \frac{PM}{RT}$ मिलता है।
दी गई गैस के लिए,$M$ स्थिर है,इसलिए $d \propto \frac{P}{T}$।
घनत्व $(d)$ को अधिकतम करने के लिए,हमें दबाव $(P)$ को अधिकतम और तापमान $(T)$ को न्यूनतम रखना होगा।
विकल्पों की तुलना करने पर:
$(A)$ $\frac{P}{T} = \frac{1}{100} = 0.01$
$(B)$ $\frac{P}{T} = \frac{2}{100} = 0.02$
$(C)$ $\frac{P}{T} = \frac{1}{200} = 0.005$
$(D)$ $\frac{P}{T} = \frac{3}{200} = 0.015$
मानों की तुलना करने पर,विकल्प $(B)$ में $\frac{P}{T}$ का अनुपात सबसे अधिक है।

(D) आदर्श गैस समीकरण $PM = dRT$ से,स्थिर तापमान $T$ के लिए $P \propto \frac{d}{M}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है:
$G_1$ के लिए: $M_1 = M$,$d_1 = 2d$
$G_2$ के लिए: $M_2 = 3M$,$d_2 = d$
दबाव का अनुपात:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{d_1}{M_1} \times \frac{M_2}{d_2} = \frac{2d}{M} \times \frac{3M}{d} = 6$
अतः,$G_2$ और $G_1$ के दबाव का अनुपात:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{1}{6}$

(C) दिया गया है: $T_1 = 27 + 273 = 300\,K$,$d_1 = d$,$d_2 = 0.75d = \frac{3}{4}d$,$P_1 = P_2 = P$.
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,हम जानते हैं कि $PV = (\frac{m}{M})RT$,जिसे $PM = dRT$ के रूप में लिखा जा सकता है (जहाँ $d = \frac{m}{V}$)।
चूंकि $P$,$M$ और $R$ स्थिर हैं,इसलिए $d_1 T_1 = d_2 T_2$ होगा।
मान रखने पर: $d \times 300 = 0.75d \times T_2$.
$T_2 = \frac{300}{0.75} = \frac{300}{3/4} = 300 \times \frac{4}{3} = 400\,K$.

(C) आदर्श गैस समीकरण $PM = dRT$ है,जहाँ $P$ दाब है,$M$ मोलर द्रव्यमान है,$d$ घनत्व है,$R$ गैस नियतांक है और $T$ तापमान है।
दिया गया है: $P = 2.0\, atm$,$T = 27 + 273 = 300\, K$,$M$ ($CH_4$ के लिए) $= 16\, g\, mol^{-1}$,और $R = 0.0821\, L\, atm\, K^{-1}\, mol^{-1}$.
मान रखने पर: $d = \frac{PM}{RT} = \frac{2.0 \times 16}{0.0821 \times 300}$.
$d = \frac{32}{24.63} \approx 1.30\, g\, L^{-1}$.

(A) आदर्श गैस समीकरण $PM = dRT$ से,$d = \frac{PM}{RT}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$d \propto \frac{P}{T}$।
अतः,$\frac{d_2}{d_1} = \frac{P_2 / T_2}{P_1 / T_1} = \frac{P_2 T_1}{P_1 T_2}$।
परिणामस्वरूप,$d_2 = d_1 [T_1 P_2 / T_2 P_1]$।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,हम जानते हैं कि $PV = (m/M)RT$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
घनत्व $d = m/V$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $d = PM/RT$ प्राप्त होता है।
अतः,$P = dRT/M$.
दिया गया है कि $d_x = 2d_y$ और $M_y = 3M_x$.
दबाव का अनुपात $\frac{P_x}{P_y} = \frac{d_x R T / M_x}{d_y R T / M_y} = \frac{d_x}{d_y} \times \frac{M_y}{M_x}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{P_x}{P_y} = (2) \times (3) = 6$.

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ है।
$n$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$PV = \frac{m}{M}RT$ प्राप्त होता है।
घनत्व $(d = \frac{m}{V})$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$P = \frac{dRT}{M}$ प्राप्त होता है।
चूँकि मोलर द्रव्यमान $(M)$ समान हैं,संबंध $P \propto d \times T$ है।
घनत्व का अनुपात $\frac{d_1}{d_2} = \frac{1}{2}$ और तापमान का अनुपात $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2}{1}$ दिया गया है।
दबाव का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{d_1}{d_2} \times \frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{1} = \frac{1}{1}$ है।
अतः,उनके दबाव का अनुपात $1 : 1$ है।

(A) गैस का घनत्व $(d)$ आदर्श गैस समीकरण द्वारा दिया जाता है: $d = \frac{PM}{RT}$.
यहाँ,$P = 3\, atm$,$M$ ($NH_3$ का मोलर द्रव्यमान) = $17\, g\, mol^{-1}$,$R = 0.0821\, L\, atm\, K^{-1}\, mol^{-1}$,और $T = 27 + 273 = 300\, K$.
मान रखने पर:
$d = \frac{3 \times 17}{0.0821 \times 300} = \frac{51}{24.63} \approx 2.07\, g\, L^{-1}$.

(A) $1$. प्रत्येक गैस के लिए मोल की संख्या की गणना करें:
$n(O_2) = \frac{4 \ g}{32 \ g/mol} = 0.125 \ mol$
$n(H_2) = \frac{2 \ g}{2 \ g/mol} = 1.0 \ mol$
$2$. कुल मोल $(n_{total})$ = $0.125 + 1.0 = 1.125 \ mol$
$3$. आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करें:
$P = \frac{n_{total} \times R \times T}{V}$
$P = \frac{1.125 \ mol \times 0.0821 \ L \cdot atm \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1} \times 273 \ K}{1 \ L}$
$P = 1.125 \times 22.4133 = 25.215 \ atm$

(B) आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{3}{2} nRT$ है।
यहाँ $He$ की गतिज ऊर्जा और $Ar$ की गतिज ऊर्जा समान है:
$KE_{He} = KE_{Ar}$
$\frac{3}{2} n_{He} R T_{He} = \frac{3}{2} n_{Ar} R T_{Ar}$
$n_{He} \times T_{He} = n_{Ar} \times T_{Ar}$
मान रखने पर:
$0.3 \times T_{He} = 0.4 \times 400$
$0.3 \times T_{He} = 160$
$T_{He} = \frac{160}{0.3} = 533.33 \ K$.

(B) संपीड्यता गुणांक $Z$ को समान तापमान और दबाव पर वास्तविक गैस के मोलर आयतन $(V_{real})$ और आदर्श गैस के मोलर आयतन $(V_{ideal})$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$Z = \frac{PV}{nRT}$
आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ होता है।
इसलिए,आदर्श गैस के लिए,$Z = \frac{nRT}{nRT} = 1$।
अतः,आदर्श गैस के लिए संपीड्यता गुणांक का मान $1$ होता है।

(C) आदर्श गैस के लिए समीकरण $PV = nRT$ है। $STP$ पर $P = 1 \ atm$ और $T = 273.15 \ K$ होता है। $STP$ पर $2 \ mol$ आदर्श गैस का आयतन $V = n \times 22.4 \ L/mol = 2 \times 22.4 = 44.8 \ L$ होता है। यहाँ दिया गया आयतन $50 \ L$ है,जो $44.8 \ L$ से अधिक है। इन परिस्थितियों (कम दबाव और अधिक आयतन) में,गैस आदर्श गैस के समान व्यवहार प्रदर्शित करती है।

(D) संपीड्यता गुणांक $Z$ को $Z = \frac{PV}{nRT}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
बहुत कम दबाव पर,वास्तविक गैसें आदर्श गैसों की तरह व्यवहार करती हैं।
आदर्श गैस के लिए,संपीड्यता गुणांक $Z$ का मान $1$ होता है।
इसलिए,बहुत कम दबाव पर $CO_2$ गैस का संपीड्यता गुणांक $1$ के बराबर हो जाता है।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,हम जानते हैं कि $P = \frac{dRT}{M}$,जहाँ $d$ घनत्व है और $M$ आणविक भार है।
दिया गया है: $d_A = 2d_B$ और $M_B = 2M_A$,समान तापमान $T$ पर।
दबाव का अनुपात लेने पर: $\frac{P_A}{P_B} = \frac{d_A}{M_A} \times \frac{M_B}{d_B}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{P_A}{P_B} = \frac{2d_B}{M_A} \times \frac{2M_A}{d_B} = 2 \times 2 = 4$।
अतः,अनुपात $\frac{P_A}{P_B} = 4:1$ होगा।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ और $d = \frac{m}{V}$ है।
अतः,$P = \frac{dRT}{M}$ प्राप्त होता है।
समान तापमान $T$ पर गैसों $A$ और $B$ के लिए,दाब का अनुपात:
$\frac{P_A}{P_B} = \frac{d_A}{d_B} \times \frac{M_B}{M_A}$.
दिया गया है: $d_A = 4 d_B$ और $M_A = 0.5 M_B$ (या $M_B = 2 M_A$)।
इन मानों को रखने पर:
$\frac{P_A}{P_B} = \frac{4 d_B}{d_B} \times \frac{2 M_A}{M_A} = 4 \times 2 = 8$.

(A) बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर $P_1 V_1 = P_2 V_2$ होता है।
झील की तली में,कुल दबाव $P_1 = P_{atm} + P_{water} = \rho g \ell + \rho g h = \rho g(h + \ell)$ है।
बुलबुले का आयतन $V_1 = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
सतह पर,दबाव $P_2 = P_{atm} = \rho g \ell$ है।
त्रिज्या $3r$ हो जाती है,इसलिए आयतन $V_2 = \frac{4}{3} \pi (3r)^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $\rho g(h + \ell) \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \rho g \ell \times 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$h + \ell = 27 \ell$ मिलता है।
अतः,$h = 26 \ell$।

(B) आदर्श गैस के लिए,अवस्था समीकरण $PV = nRT$ है।
$1 \text{ mole}$ गैस के लिए,$P = RT/V$।
स्थिर तापमान $T$ पर $V$ के सापेक्ष $P$ का अवकलन करने पर:
$[\partial P/\partial V]_T = \partial(RT/V)/\partial V = RT \times (\partial(V^{-1})/\partial V) = RT \times (-V^{-2}) = -RT/V^2$।

(B) संयुक्त गैस नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$
दिया गया है:
$P_1 = 620 \, mm$,$V_1 = 300 \, cc$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$
$P_2 = 640 \, mm$,$T_2 = 47 + 273 = 320 \, K$
मान रखने पर:
$\frac{620 \times 300}{300} = \frac{640 \times V_2}{320}$
$620 = 2 \times V_2$
$V_2 = \frac{620}{2} = 310 \, cc$

(C) संपीड्यता गुणांक $(Z)$ वास्तविक गैसों के आदर्श व्यवहार से विचलन को दर्शाने का एक सुविधाजनक तरीका है।
$Z = \frac{PV}{nRT}$
एक आदर्श गैस के लिए,अवस्था समीकरण $PV = nRT$ होता है।
इसे $Z$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$Z = \frac{nRT}{nRT} = 1$
अतः,एक आदर्श गैस के लिए संपीड्यता गुणांक $1$ होता है।

(B) गे-लुसाक के नियम के अनुसार,गैस के निश्चित आयतन के लिए,$\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$ होता है।
दिया गया है: $P_1 = 12 \text{ atm}$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \text{ K}$,$P_2 = 14.9 \text{ atm}$.
मान रखने पर: $\frac{12}{300} = \frac{14.9}{T_2}$.
$T_2 = \frac{14.9 \times 300}{12} = 372.5 \text{ K}$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2 = 372.5 - 273 = 99.5 \,^oC$.

(A) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT = (m/M)RT$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P = (m/V) \times (RT/M)$ प्राप्त होता है।
चूंकि घनत्व $\rho = m/V$ है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं: $P = \rho \times (RT/M)$।
स्थिर तापमान $T$ पर,$R$ और $M$ स्थिरांक हैं,इसलिए $P \propto \rho$।

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ के अनुसार,इसे $V = (\frac{nR}{P})T$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $y = mx$ प्रकार का एक रैखिक समीकरण है,जहाँ ढाल $m = \frac{nR}{P}$ है।
चूँकि ढाल दाब के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(m \propto \frac{1}{P})$,इसलिए सबसे कम ढाल वाली रेखा सबसे अधिक दाब को दर्शाती है।
ग्राफ को देखने पर,$p_1$ रेखा की ढाल सबसे कम है,उसके बाद $p_3$ और फिर $p_2$ है।
अतः,दाब का सही क्रम $p_1 > p_3 > p_2$ है।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ है।
दिया गया है:
$P = 2 \, atm$
$V = 100 \, L$
$T = 20 + 273 = 293 \, K$
$R = 0.0821 \, L \cdot atm \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$
$M$ ($H_2S$ का मोलर द्रव्यमान) $= 2(1) + 32 = 34 \, g/mol$.
मान रखने पर:
$m = \frac{MPV}{RT} = \frac{34 \times 2 \times 100}{0.0821 \times 293} \approx 282.68 \, g$.

(D) आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $PV = nRT$
सबसे पहले,जल वाष्प के मोल $(n)$ की गणना करें:
$n = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} = \frac{1.8 \; g}{18 \; g \; mol^{-1}} = 0.1 \; mol$
तापमान $(T)$ को सेल्सियस से केल्विन में बदलें:
$T = 374 + 273 = 647 \; K$
दिया गया दाब $(P)$ $1 \; bar$ है और गैस स्थिरांक $(R)$ $0.083 \; bar \; L \; K^{-1} \; mol^{-1}$ है।
अब,आयतन $(V)$ की गणना करें:
$V = \frac{nRT}{P} = \frac{0.1 \; mol \times 0.083 \; bar \; L \; K^{-1} \; mol^{-1} \times 647 \; K}{1 \; bar} = 5.37 \; L$

(11.35 L) बॉयल के नियम के अनुसार,$p_{1} V_{1} = p_{2} V_{2}$।
दिया गया है: $p_{1} = 1 \ bar$,$V_{1} = 2.27 \ L$,और $p_{2} = 0.2 \ bar$।
समीकरण में मान रखने पर:
$V_{2} = \frac{p_{1} V_{1}}{p_{2}}$
$V_{2} = \frac{1 \ bar \times 2.27 \ L}{0.2 \ bar} = 11.35 \ L$।
चूंकि यदि दबाव $0.2 \ bar$ से अधिक हो जाता है तो गुब्बारा फट जाता है,इसलिए गुब्बारे के आयतन को $11.35 \ L$ तक फैलाया जा सकता है।

(A) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दाब पर,गैस की एक निश्चित मात्रा का आयतन उसके परम तापमान के सीधे आनुपातिक होता है: $\frac{V_{1}}{T_{1}} = \frac{V_{2}}{T_{2}}$।
दिया गया है:
$V_{1} = 2 \ L$
$T_{1} = 23.4 + 273.15 = 296.55 \ K$
$T_{2} = 26.1 + 273.15 = 299.25 \ K$
$V_{2}$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$V_{2} = \frac{V_{1} \times T_{2}}{T_{1}}$
मान रखने पर:
$V_{2} = \frac{2 \ L \times 299.25 \ K}{296.55 \ K}$
$V_{2} \approx 2.018 \ L$

(A) दिया गया है:
$p_{1} = 760 \,mm \,Hg$,$V_{1} = 600 \,mL$,$T_{1} = 25 + 273 = 298 \,K$
$V_{2} = 640 \,mL$,$T_{2} = 10 + 273 = 283 \,K$
संयुक्त गैस नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{p_{1} V_{1}}{T_{1}} = \frac{p_{2} V_{2}}{T_{2}}$
$p_{2}$ के लिए सूत्र:
$p_{2} = \frac{p_{1} V_{1} T_{2}}{T_{1} V_{2}}$
मान रखने पर:
$p_{2} = \frac{760 \times 600 \times 283}{298 \times 640}$
$p_{2} = \frac{129048000}{190720} \approx 676.6 \,mm \,Hg$

(B) दिया गया है:
प्रारंभिक दाब,$p_{1} = 1 \, bar$
प्रारंभिक आयतन,$V_{1} = 500 \, dm^{3}$
अंतिम आयतन,$V_{2} = 200 \, dm^{3}$
चूंकि तापमान स्थिर रहता है,इसलिए अंतिम दाब $(p_{2})$ की गणना बॉयल के नियम का उपयोग करके की जा सकती है।
बॉयल के नियम के अनुसार,
$p_{1} V_{1} = p_{2} V_{2}$
$\Rightarrow p_{2} = \frac{p_{1} V_{1}}{V_{2}}$
$= \frac{1 \times 500}{200} \, bar$
$= 2.5 \, bar$
अतः,आवश्यक न्यूनतम दाब $2.5 \, bar$ है।

(0.8 BAR) दिया गया है:
प्रारंभिक दाब,$p_{1} = 1.2 \, bar$
प्रारंभिक आयतन,$V_{1} = 120 \, mL$
अंतिम आयतन,$V_{2} = 180 \, mL$
चूंकि तापमान स्थिर रहता है,इसलिए अंतिम दाब $(p_{2})$ की गणना बॉयल के नियम का उपयोग करके की जा सकती है।
बॉयल के नियम के अनुसार,$p_{1} V_{1} = p_{2} V_{2}$।
$p_{2} = \frac{p_{1} V_{1}}{V_{2}}$
$p_{2} = \frac{1.2 \times 120}{180} \, bar$
$p_{2} = 0.8 \, bar$
अतः,गैस का अंतिम दाब $0.8 \, bar$ होगा।

(N/A) अवस्था समीकरण इस प्रकार है,
$pV = nRT$ .......... $(i)$
जहाँ,
$p \rightarrow$ गैस का दबाव
$V \rightarrow$ गैस का आयतन
$n \rightarrow$ गैस के मोलों की संख्या
$R \rightarrow$ गैस स्थिरांक
$T \rightarrow$ गैस का तापमान
समीकरण $(i)$ से,
$\frac{n}{V} = \frac{p}{RT}$
$n$ को $\frac{m}{M}$ से प्रतिस्थापित करने पर,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है,
$\frac{m}{MV} = \frac{p}{RT}$ .......... $(ii)$
चूंकि घनत्व $d = \frac{m}{V}$ है,समीकरण $(ii)$ में मान रखने पर,
$\frac{d}{M} = \frac{p}{RT}$
$\Rightarrow d = \left(\frac{M}{RT}\right) p$
चूंकि मोलर द्रव्यमान $M$ और गैस स्थिरांक $R$ स्थिर हैं,एक स्थिर तापमान $T$ पर,पद $\left(\frac{M}{RT}\right)$ स्थिर रहता है।
इसलिए,$d = (\text{स्थिरांक}) \times p$
$\Rightarrow d \propto p$
अतः,एक निश्चित तापमान पर,गैस का घनत्व $d$ उसके दबाव $p$ के सीधे समानुपाती होता है।