Ideal gas equation and Related gas laws Questions in Hindi

(B) आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT = \frac{w}{M} RT$ से।
पहले ग्राफ ($V$ स्थिर होने पर $p$ बनाम $T$): $p = (\frac{wR}{MV}) T$। ढाल $m = \frac{wR}{MV}$ है। चूंकि $V$ स्थिर है,$m \propto w$। चूंकि $m_2$ की ढाल $m_1$ से अधिक है,इसलिए $m_2 > m_1$।
दूसरे ग्राफ के लिए भी इसी प्रकार,ढाल $m$ गैस के द्रव्यमान $w$ के समानुपाती है। अतः,$m_2 > m_1$।

(A-D) सही मिलान इस प्रकार हैं:
$(1)$ बॉयल का नियम: $p \propto \frac{1}{V}$ $(C)$
$(2)$ चार्ल्स का नियम: $V \propto T$ या $V = k_2T$ $(E)$
$(3)$ गे-लुसाक का नियम: $p \propto T$ $(A)$
$(4)$ आवोगाद्रो का नियम: $V \propto n$ $(B)$
$(5)$ आदर्श गैस समीकरण: $pV = nRT$ $(D)$
अतः,सही क्रम $(1-C, 2-E, 3-A, 4-B, 5-D)$ है।

(A) स्थिर आयतन पर $p$ बनाम $T$ के आलेख को आइसोकोर (isochore) कहा जाता है।
$(B)$ स्थिर तापमान पर $p$ बनाम $V$ के आलेख को आइसोथर्म (isotherm) कहा जाता है।
$(C)$ स्थिर दाब पर $V$ बनाम $T$ के आलेख को आइसोबार (isobar) कहा जाता है।

(A) बॉयल का नियम: $p \propto \frac{1}{V}$ स्थिर $T$ और $n$ पर।
$(B)$ चार्ल्स का नियम: $V \propto T$ स्थिर $p$ और $n$ पर।
$(C)$ डाल्टन का नियम: $P_{total} = p_1 + p_2 + p_3 + \dots$ स्थिर $T$ और $V$ पर।
$(D)$ आवोगाद्रो का नियम: $V \propto n$ स्थिर $T$ और $p$ पर।

(A-2, B-3, C-1) आदर्श गैस के लिए,$PV = nRT$:
$(A)$ स्थिर $T$ पर $P$ बनाम $V$ एक आयताकार हाइपरबोला देता है। हालाँकि,यदि हम $P$ बनाम $1/V$ आलेखित करते हैं,तो हमें मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा प्राप्त होती है। अतः,$(A-2)$.
$(B)$ स्थिर $P$ पर $V$ बनाम $T$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा देता है $(V \propto T)$। अतः,$(B-3)$.
$(C)$ स्थिर $V$ पर $P$ बनाम $T$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा देता है $(P \propto T)$। अतः,$(C-1)$.
इसलिए,सही मिलान $(A-2, B-3, C-1)$ है।

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है।
चूंकि $n = \frac{m}{M}$,इसलिए $PV = \frac{m}{M}RT$ होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $PM = \frac{m}{V}RT = dRT$ प्राप्त होता है,जहाँ $d$ घनत्व है।
अतः,$d = \frac{PM}{RT}$।
स्थिर दाब $P$ के लिए,$d \propto \frac{1}{T}$।
ग्राफ $(I)$ $d$ बनाम $T$ के बीच व्युत्क्रमानुपाती संबंध दर्शाता है,जो सही है।
ग्राफ $(II)$ $d$ बनाम $T$ के बीच सीधा रैखिक संबंध दर्शाता है,जो गलत है।
ग्राफ $(III)$ $d$ बनाम $\frac{1}{T}$ के बीच सीधा रैखिक संबंध दर्शाता है,जो सही है।
ग्राफ $(IV)$ $d$ बनाम $P$ के बीच सीधा रैखिक संबंध (स्थिर $T$ पर) दर्शाता है,जो सही है।
इसलिए,ग्राफ $(II)$ सही नहीं है।

(C) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT$। चूंकि $n$,$R$ और $T$ स्थिर हैं,इसलिए $PV = \text{constant}$,अतः $P_1V_1 = P_2V_2$।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
दिया गया है $r_1 = 3 \ cm$,$P_1 = 48 \times 10^{-3} \ bar$,$r_2 = 12 \ cm$।
$P_1 \times \frac{4}{3} \pi (r_1)^3 = P_2 \times \frac{4}{3} \pi (r_2)^3$।
$P_2 = P_1 \times (\frac{r_1}{r_2})^3 = 48 \times 10^{-3} \times (\frac{3}{12})^3$।
$P_2 = 48 \times 10^{-3} \times (\frac{1}{4})^3 = 48 \times 10^{-3} \times \frac{1}{64}$।
$P_2 = \frac{48}{64} \times 10^{-3} = 0.75 \times 10^{-3} \ bar$।
$P_2 = 750 \times 10^{-6} \ bar$।

(B) बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर गैस की निश्चित मात्रा के लिए दाब और आयतन का गुणनफल स्थिर रहता है: $P_{1}V_{1} = P_{2}V_{2}$।
दिया गया है:
$P_{1} = 1 \; bar$
$V_{1} = 600 \; dm^{3}$
$V_{2} = 150 \; dm^{3}$
समीकरण में मान रखने पर:
$(1 \; bar) \times (600 \; dm^{3}) = P_{2} \times (150 \; dm^{3})$
$P_{2} = \frac{600 \; bar \cdot dm^{3}}{150 \; dm^{3}}$
$P_{2} = 4 \; bar$.

(D) सबसे पहले,प्रत्येक गैस के मोलों की संख्या की गणना करें:
$n_{CH_4} = \frac{6.4 \ g}{16 \ g \ mol^{-1}} = 0.4 \ mol$
$n_{CO_2} = \frac{8.8 \ g}{44 \ g \ mol^{-1}} = 0.2 \ mol$
कुल मोल,$n = 0.4 + 0.2 = 0.6 \ mol$
आयतन को $m^3$ में बदलें:
$V = 10 \ L = 10 \times 10^{-3} \ m^3 = 0.01 \ m^3$
तापमान को केल्विन में बदलें:
$T = 27 + 273 = 300 \ K$
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए:
$P = \frac{nRT}{V} = \frac{0.6 \ mol \times 8.314 \ J \ mol^{-1} K^{-1} \times 300 \ K}{0.01 \ m^3}$
$P = 149652 \ Pa = 149.652 \ kPa$
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,हमें $150 \ kPa$ प्राप्त होता है।

(D) यह मानते हुए कि टायर का आयतन स्थिर रहता है, गे-लुसाक के नियम के अनुसार, $P \propto T$ (जहाँ $T$ केल्विन में है)।
दिया गया है: $P_1 = 35 \ psi$, $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$, $P_2 = 40 \ psi$.
सूत्र $\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{40}{35} = \frac{T_2}{300}$
$T_2 = \frac{40 \times 300}{35} = \frac{12000}{35} \approx 342.86 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2(^{\circ} C) = 342.86 - 273 = 69.86^{\circ} C$.
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर, हमें $70^{\circ} C$ प्राप्त होता है।

(A) एसिटिलीन $(C_2H_2)$ का मोलर द्रव्यमान $26 \, g \, mol^{-1}$ है।
मोलों की संख्या $(n)$ $= \frac{4.75 \, g}{26 \, g \, mol^{-1}} \approx 0.1827 \, mol$.
तापमान $(T)$ $= 50 + 273 = 323 \, K$.
दाब $(P)$ $= \frac{740}{760} \, atm \approx 0.9737 \, atm$.
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करने पर,$V = \frac{nRT}{P}$ प्राप्त होता है।
$V = \frac{0.1827 \times 0.0826 \times 323}{0.9737} \approx 5.0059 \, L$.
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,हमें $5 \, L$ प्राप्त होता है।

(A) आदर्श गैस के लिए,आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है।
स्थिर तापमान $(T)$ और गैस की निश्चित मात्रा $(n)$ के लिए,$nRT$ का गुणनफल एक स्थिरांक होता है।
इसलिए,$PV = \text{constant}$।
इसका अर्थ है कि दबाव $(P)$ में परिवर्तन के साथ $PV$ का मान नहीं बदलता है।
अतः,$PV$ बनाम $P$ का आलेख $P$-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है।

(D) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT$ है।
गैस की एक निश्चित मात्रा के लिए,$P = \frac{nRT}{V}$ होता है।
स्थिर आयतन $V$ पर,$P \propto T$ होता है।
इसका मतलब है कि दिए गए आयतन के लिए,उच्च तापमान पर दबाव अधिक होता है।
इसलिए,यदि $T_1 > T_2 > T_3$ है,तो स्थिर आयतन पर संबंधित दबाव $P_1 > P_2 > P_3$ होगा।
ग्राफ को देखने पर,उच्चतम तापमान $(600 \ K)$ के लिए वक्र सबसे ऊपर वाला वक्र होना चाहिए,उसके बाद $400 \ K$ और फिर सबसे नीचे $200 \ K$ होना चाहिए।
यह उस निरूपण से मेल खाता है जहाँ $600 \ K$ के लिए वक्र $400 \ K$ के वक्र के ऊपर है,जो $200 \ K$ के वक्र के ऊपर है।

(C) कुल दाब की गणना आदर्श गैस समीकरण $PV = n_{total}RT$ का उपयोग करके की जाती है।
सबसे पहले,प्रत्येक गैस के मोलों की संख्या की गणना करें:
$n_{O_2} = \frac{4 \ g}{32 \ g/mol} = 0.125 \ mol$
$n_{H_2} = \frac{2 \ g}{2 \ g/mol} = 1.0 \ mol$
कुल मोल $n_{total} = 0.125 + 1.0 = 1.125 \ mol$.
$V = 1 \ L$,$R = 0.082 \ L \ atm \ mol^{-1} \ K^{-1}$,और $T = 273 \ K$ के साथ $PV = nRT$ का उपयोग करने पर:
$P \times 1 = 1.125 \times 0.082 \times 273$
$P = 25.18 \ atm$.

(C) दिया गया है:
आयतन $V = 4.00 \times 10^{3} \ m^{3} = 4.00 \times 10^{6} \ L$
दबाव $P = 1.0 \ atm$
तापमान $T = 300 \ K$
गैस स्थिरांक $R = 0.083 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = \frac{\text{द्रव्यमान} (m)}{\text{मोलर द्रव्यमान} (M)}$:
$n = \frac{PV}{RT} = \frac{1.0 \times 4.00 \times 10^{6}}{0.083 \times 300} \ mol$
$n = \frac{4.00 \times 10^{6}}{24.9} \ mol \approx 1.6064 \times 10^{5} \ mol$
$CH_{4}$ का मोलर द्रव्यमान $= 16 \ g \ mol^{-1}$
द्रव्यमान $m = n \times M = 1.6064 \times 10^{5} \times 16 \ g$
$m = 25.7024 \times 10^{5} \ g$
$X \times 10^{5} \ g$ के साथ तुलना करने पर,$X = 25.7024$ प्राप्त होता है।
निकटतम पूर्णांक में,$X = 26$.

(C) गे-लुसाक के नियम के अनुसार,गैस के निश्चित आयतन के लिए,दाब तापमान के समानुपाती होता है: $\frac{P_{1}}{T_{1}} = \frac{P_{2}}{T_{2}}$.
दिया गया है: $P_{1} = 300 \ kPa = 300 \times 10^{3} \ Pa$,$T_{1} = 27 + 273 = 300 \ K$,$P_{2} = 1.2 \times 10^{6} \ Pa$.
मान रखने पर: $\frac{300 \times 10^{3}}{300} = \frac{1.2 \times 10^{6}}{T_{2}}$.
$1000 = \frac{1.2 \times 10^{6}}{T_{2}} \Rightarrow T_{2} = \frac{1.2 \times 10^{6}}{1000} = 1200 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T(^{\circ} C) = 1200 - 273 = 927^{\circ} C$.

(C) दिया गया है:
आयतन $V = 10.0 \, L$
$O_2$ का द्रव्यमान $(W)$ = $64 \, g$
$O_2$ का मोलर द्रव्यमान $(M)$ = $32 \, g \, mol^{-1}$
तापमान $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \, K$
गैस स्थिरांक $R = 0.0831 \, L \, bar \, K^{-1} \, mol^{-1}$
चरण $1$: मोल की संख्या $(n)$ की गणना करें:
$n = \frac{W}{M} = \frac{64 \, g}{32 \, g \, mol^{-1}} = 2 \, mol$
चरण $2$: दबाव $(P)$ ज्ञात करने के लिए आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करें:
$P = \frac{nRT}{V}$
$P = \frac{2 \, mol \times 0.0831 \, L \, bar \, K^{-1} \, mol^{-1} \times 300 \, K}{10.0 \, L}$
$P = \frac{49.86}{10} \, bar = 4.986 \, bar \approx 4.9 \, bar$

(D) दिया गया है: आदर्श गैस $A$ और $H_2$ गैस समान दाब $(P)$ और आयतन $(V)$ पर हैं।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,$n = \frac{PV}{RT}$.
चूंकि दोनों गैसों के लिए $P$ और $V$ समान हैं,इसलिए $n_A T_A = n_{H_2} T_{H_2}$.
यहाँ,$n_A = \frac{3.0}{M_A}$ और $n_{H_2} = \frac{0.2}{2.0} = 0.1 \ mol$.
मान रखने पर: $\frac{3.0}{M_A} \times 300 = 0.1 \times 200$.
$\frac{900}{M_A} = 20$.
$M_A = \frac{900}{20} = 45 \ g \ mol^{-1}$.

(A) $\text{चूंकि टैंक कठोर है, इसलिए आयतन } V \text{ स्थिर रहता है। गे-लुसाक के नियम के अनुसार, स्थिर आयतन पर गैस का दबाव उसके परम तापमान के सीधे आनुपातिक होता है: } \frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}.
\text{दिया गया है:}
P_1 = 30 \ atm
T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K
T_2 = 45^{\circ} C = 318 \ K
\text{समीकरण में मान रखने पर:}
\frac{30}{300} = \frac{P_2}{318}
0.1 = \frac{P_2}{318}
P_2 = 31.8 \ atm.
\text{निकटतम पूर्णांक में } P_2 = 32 \ atm \text{ प्राप्त होता है。}$

(D) तरल का द्रव्यमान $= 135.0 - 40.0 = 95.0 \ g$
पात्र का आयतन $= \frac{\text{तरल का द्रव्यमान}}{\text{तरल का घनत्व}} = \frac{95.0 \ g}{0.95 \ g \ mL^{-1}} = 100 \ mL = 0.1 \ L$
आदर्श गैस का द्रव्यमान $= 40.5 - 40.0 = 0.5 \ g$
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = \frac{w}{M}$:
$PV = \frac{w}{M} RT$
$0.82 \ atm \times 0.1 \ L = \frac{0.5 \ g}{M} \times 0.082 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1} \times 250 \ K$
$0.082 = \frac{0.5 \times 0.082 \times 250}{M}$
$M = \frac{0.5 \times 0.082 \times 250}{0.082} = 0.5 \times 250 = 125 \ g \ mol^{-1}$

(B) आदर्श गैस के लिए,आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ है।
चूंकि $n = \frac{m}{M}$,जहां $m$ द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है,हमारे पास $pV = \frac{m}{M} RT$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $p = \left( \frac{RT}{M} \right) \left( \frac{m}{V} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि घनत्व $d = \frac{m}{V}$ है,समीकरण $p = \left( \frac{RT}{M} \right) d$ हो जाता है।
यह एक सीधी रेखा $y = mx$ के रूप में है,जहां ढाल (slope) $\frac{RT}{M}$ है।
चूंकि ढाल तापमान $(T)$ के सीधे आनुपातिक है,उच्च तापमान के परिणामस्वरूप अधिक ढाल होगी।
$T_3 > T_2 > T_1$ दिया गया है,इसलिए ढाल का क्रम $T_3 > T_2 > T_1$ होगा।
अतः,$T_3$ के लिए सबसे अधिक ढाल और $T_1$ के लिए सबसे कम ढाल वाला आलेख सही है।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ है।
दिया गया है: $P = 1.5 \, bar$,$V = 416 \, L$,$m = 100 \, g$,$T = 27 + 273 = 300 \, K$,और $R = 0.083 \, L \, bar \, K^{-1} \, mol^{-1}$।
मान रखने पर: $1.5 \times 416 = \frac{100}{M} \times 0.083 \times 300$.
$624 = \frac{2490}{M}$.
$M = \frac{2490}{624} \approx 3.99 \, g \, mol^{-1}$.
निकटतम पूर्णांक में,$M = 4 \, g \, mol^{-1}$ प्राप्त होता है।

(D) जल के मोलों की संख्या $(n)$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $n = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} = \frac{0.90 \ g}{18 \ g \ mol^{-1}} = 0.05 \ mol$.
तापमान $(T)$ $27 + 273 = 300 \ K$ है।
$atm$ में दाब $(P)$ $\frac{32.0 \ Torr}{760 \ Torr \ atm^{-1}} = \frac{32}{760} \ atm$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करके,हम आयतन $(V)$ ज्ञात करते हैं:
$V = \frac{nRT}{P} = \frac{0.05 \times 0.082 \times 300}{32 / 760} = \frac{0.05 \times 0.082 \times 300 \times 760}{32} = 29.21 \ L$.
निकटतम पूर्णांक $29$ है।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ और $d = \frac{m}{V}$,हमें $P = \frac{dRT}{M}$ प्राप्त होता है।
मोलर द्रव्यमान के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $M = \frac{dRT}{P}$.
दिए गए मान:
$d = 0.46 \, g \, L^{-1}$
$R = 0.082 \, L \, atm \, K^{-1} \, mol^{-1}$
$T = 257 + 273 = 530 \, K$
$P = \frac{100}{760} \, atm$
इन मानों को रखने पर:
$M = \frac{0.46 \times 0.082 \times 530 \times 760}{100}$
$M = 151.93 \, g \, mol^{-1}$.
निकटतम पूर्णांक में बदलने पर,हमें $152$ प्राप्त होता है।

(C) $1$. प्रोपेन $(C_{3}H_{8})$ के मोलों की संख्या की गणना करें:
$C_{3}H_{8}$ का मोलर द्रव्यमान = $(3 \times 12) + (8 \times 1) = 44 \, g \, mol^{-1}$.
मोल $(n)$ = $\frac{11 \, g}{44 \, g \, mol^{-1}} = 0.25 \, mol$.
$2$. आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करें:
दिया गया है $P = 2 \, MPa = 2 \times 10^{6} \, Pa$,$V = 2 \, dm^{3} = 2 \times 10^{-3} \, m^{3}$,$n = 0.25 \, mol$,$R = 8.3 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$.
$2 \times 10^{6} \times 2 \times 10^{-3} = 0.25 \times 8.3 \times T$.
$4000 = 2.075 \times T$.
$T = \frac{4000}{2.075} \approx 1927.71 \, K$.
$3$. तापमान को सेल्सियस में बदलें:
$T(^{\circ}C) = T(K) - 273.15 = 1927.71 - 273.15 = 1654.56 \, ^{\circ}C$.
निकटतम पूर्णांक में बदलने पर,हमें $1655 \, ^{\circ}C$ प्राप्त होता है।

(A) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$pV = nRT$।
$1 \ mole$ गैस के लिए,$n = 1$,अतः $pV = RT$ या $p = \frac{RT}{V}$।
$R = 0.0821 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$ लेने पर।
बिंदु $X$ के लिए: $V = 50 \ L, T = 200 \ K$।
$p_X = \frac{0.0821 \times 200}{50} = 0.3284 \ atm \approx 0.328 \ atm$।
बिंदु $Y$ के लिए: $V = 50 \ L, T = 500 \ K$।
$p_Y = \frac{0.0821 \times 500}{50} = 0.821 \ atm \approx 0.820 \ atm$।
बिंदु $Z$ के लिए: $V = 20 \ L, T = 200 \ K$।
$p_Z = \frac{0.0821 \times 200}{20} = 0.821 \ atm \approx 0.820 \ atm$।
अतः,$X, Y, Z$ पर दाब क्रमशः $0.328 \ atm, 0.820 \ atm, 0.820 \ atm$ है।

(B) गैस का घनत्व $\rho = 5 \ mg \ cm^{-3} = 5 \ g \ L^{-1}$ है।
आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = \frac{w}{M}$,हमें प्राप्त होता है $p = \frac{wRT}{MV} = \frac{\rho RT}{M}$।
वाष्प क्लस्टर के मोलर द्रव्यमान $M$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $M = \frac{\rho RT}{p}$।
यहाँ $\rho = 5 \ g \ L^{-1}$,$R = 0.0821 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$,$T = 300 \ K$,और $p = 1 \ atm$ है:
$M = \frac{5 \times 0.0821 \times 300}{1} = 123.15 \ g \ mol^{-1}$।
एसिटिक एसिड $(CH_3COOH)$ के एक अणु का मोलर द्रव्यमान $60 \ g \ mol^{-1}$ है।
क्लस्टर में अणुओं की संख्या $n = \frac{M_{cluster}}{M_{monomer}} = \frac{123.15}{60} \approx 2.05$ है।
अतः,अणुओं की संख्या $2$ के निकटतम है।

(D) आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $p = 2 \, atm$,$V = 2.24 \, L$,$R = 0.0821 \, L \cdot atm \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$,और $T = 298 \, K$ है।
$n = \frac{pV}{RT} = \frac{2 \times 2.24}{0.0821 \times 298} \approx 0.183 \, mol$.
$N_2$ का मोलर द्रव्यमान $28 \, g/mol$ है।
$N_2$ का अधिकतम द्रव्यमान $m = n \times M = 0.183 \times 28 \approx 5.124 \, g$ है।
चूंकि पात्र $2 \, atm$ पर फट जाता है,इसलिए सुरक्षित मात्रा $5.124 \, g$ से थोड़ी कम होनी चाहिए। दिए गए विकल्पों में से,$4.2 \, g$ सबसे निकटतम मान है जो सुरक्षा सुनिश्चित करता है।

(B) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$p V = n R T$ है।
तापमान के फलन के रूप में आयतन के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $V = (\frac{n R}{p}) T$ प्राप्त होता है।
$V$ बनाम $T$ के आलेख की ढाल $\text{slope} = \frac{n R}{p}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $\text{slope} = 0.328 \, L \, K^{-1}$,$n = 2 \, mol$,और $R = 0.0821 \, L \, atm \, mol^{-1} \, K^{-1}$।
मान रखने पर: $0.328 = \frac{2 \times 0.0821}{p}$।
$p$ के लिए हल करने पर: $p = \frac{2 \times 0.0821}{0.328} = \frac{0.1642}{0.328} = 0.5 \, atm$।

(C) आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ के अनुसार।
चूंकि पात्र बंद है,इसलिए आयतन $(V)$ और मोलों की संख्या $(n)$ स्थिर रहती है।
अतः,$p \propto T$,जिसका अर्थ है $\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$।
दिया गया है: $p_1 = 1 \, atm$,$T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \, K$,और $T_2 = 327^{\circ} C = 327 + 273 = 600 \, K$।
मान रखने पर: $\frac{1}{300} = \frac{p_2}{600}$।
$p_2 = \frac{600}{300} = 2 \, atm$।

(D) आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ है।
$(A)$ नियत $T$ पर,$p = \frac{nRT}{V}$,इसलिए $p \propto \frac{1}{V}$। यह एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) है,जो आदर्श गैस के लिए सही है।
$(B)$ नियत $p$ पर $p$ बनाम $1/V$ का ग्राफ गलत है क्योंकि आदर्श गैस समीकरण में $1/V$ के बदलने पर $p$ स्थिर नहीं रह सकता,जब तक कि $T$ भी आनुपातिक रूप से न बदले। इसके अलावा,नियत $T$ पर आदर्श गैस के लिए $p$,$1/V$ के सीधे समानुपाती होता है,स्थिर नहीं।
$(C)$ $pV$ बनाम $T$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होनी चाहिए जिसका ढाल $nR$ हो,न कि एक स्थिर क्षैतिज रेखा। अतः,यह ग्राफ भी गलत है।
इसलिए,$B$ और $C$ दोनों ग्राफ आदर्श गैस के व्यवहार को प्रदर्शित नहीं करते हैं।

(C) बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर एक आदर्श गैस के दिए गए द्रव्यमान का दबाव $(p)$ उसके आयतन $(V)$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
$\therefore p \propto \frac{1}{V}$ या $pV = \text{स्थिरांक}$.
यह संबंध एक आयताकार हाइपरबोला का प्रतिनिधित्व करता है जब $p$ को $V$ के विरुद्ध आलेखित किया जाता है।
इसलिए,$p$ और $V$ के बीच व्युत्क्रमानुपाती संबंध दिखाने वाला ग्राफ बॉयल के नियम का सही निरूपण है।

(D) आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान का फलन है,अर्थात $U = f(T)$।
चूंकि प्रक्रिया समतापीय है,इसलिए तापमान स्थिर रहता है $(T_2 = T_1 = 300 \ K)$।
अतः,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = nC_v(T_2 - T_1) = 0$।

(A) डाइऑक्सीजन गैस $(O_2)$ के मोल $= \frac{3.2 \ g}{32 \ g \ mol^{-1}} = 0.1 \ mol$.
$STP$ पर डाइऑक्सीजन गैस का आयतन $(V_1)$ $= 0.1 \ mol \times 22.4 \ L \ mol^{-1} = 2.24 \ L$.
बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर,$P_1V_1 = P_2V_2$.
दिया गया है $P_2 = \frac{1}{3}P_1$,इसलिए $P_1 \times 2.24 = (\frac{1}{3}P_1) \times V_2$.
$V_2 = 2.24 \times 3 = 6.72 \ L$.

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,चूंकि $T$ स्थिर है,इसलिए $n = \frac{PV}{RT}$.
$CH_4$ के लिए: $n_1 = \frac{2 \times 2}{RT} = \frac{4}{RT}$.
$CO_2$ के लिए: $n_2 = \frac{4 \times 3}{RT} = \frac{12}{RT}$.
$Ne$ के लिए: $n_3 = \frac{3 \times 4}{RT} = \frac{12}{RT}$.
कुल मोल $n_T = n_1 + n_2 + n_3 = \frac{4 + 12 + 12}{RT} = \frac{28}{RT}$.
कुल आयतन $V_T = 2 + 3 + 4 = 9 \ L$.
अंतिम दबाव $P_T = \frac{n_T RT}{V_T} = \frac{28}{RT} \times \frac{RT}{9} = \frac{28}{9} \approx 3.11 \ atm$.
निकटतम पूर्णांक $3$ है।

(B) बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर,$P_1 V_1 = P_2 V_2$ होता है।
माना प्रारंभिक आयतन $V_1 = 100 \, units$ है।
चूंकि आयतन $40 \%$ कम हो जाता है,इसलिए अंतिम आयतन $V_2 = 100 - 40 = 60 \, units$ होगा।
दिया गया है $P_1 = 940.3 \, mm \, Hg$।
मान रखने पर: $940.3 \times 100 = P_2 \times 60$।
$P_2 = \frac{94030}{60} = 1567.16 \, mm \, Hg$।
निकटतम पूर्णांक $1567 \, mm \, Hg$ है।

(C) बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर गैस की एक निश्चित मात्रा के लिए,दबाव आयतन के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(P \propto \frac{1}{V})$।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करके,हम इसे इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:
$P = (nRT) \times (\frac{1}{V})$
यह समीकरण $y = mx$ के रूप में है,जहाँ $y = P$,$x = \frac{1}{V}$,और ढलान $m = nRT$ है।
चूंकि ढलान $(nRT)$ तापमान $(T)$ के सीधे आनुपातिक है,इसलिए $P$ बनाम $\frac{1}{V}$ का ग्राफ प्रत्येक तापमान के लिए मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा देगा। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,ढलान $(nRT)$ भी बढ़ती है। इसलिए,$T_3 > T_2 > T_1$ के लिए,$T_3$ के लिए रेखा की ढलान सबसे अधिक होगी,उसके बाद $T_2$ और फिर $T_1$ होगी।

(C) चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कार्य $P-V$ आरेख में चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$V$ बनाम $P$ ग्राफ के लिए,घेरा गया क्षेत्रफल त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $Area = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$.
यहाँ,$P$-अक्ष पर आधार $(30 - 10) \ kPa = 20 \ kPa = 20 \times 10^3 \ Pa$ है।
$V$-अक्ष पर ऊँचाई $(30 - 10) \ dm^3 = 20 \ dm^3 = 20 \times 10^{-3} \ m^3$ है।
चूंकि $V$ बनाम $P$ ग्राफ में चक्र $A$ $\rightarrow B$ $\rightarrow C$ $\rightarrow A$ दक्षिणावर्त (clockwise) है,इसलिए किया गया कार्य धनात्मक है।
$W = \frac{1}{2} \times (20 \times 10^3 \ Pa) \times (20 \times 10^{-3} \ m^3) = \frac{1}{2} \times 20 \times 20 \ J = 200 \ J$.

(B) उत्क्रमणीय समतापीय प्रसार के लिए,निकाय द्वारा किया गया कार्य: $\omega = -nRT \ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
$n = 1 \ mol$
$T = 18 + 273.15 = 291.15 \ K$
$V_1 = 10 \ L$
$V_2 = 10 + 90 = 100 \ L$
$R = 0.08206 \ L \ atm \ mol^{-1} \ K^{-1}$
मान रखने पर:
$\omega = -1 \times 0.08206 \times 291.15 \times \ln \left(\frac{100}{10}\right)$
$\omega = -23.887 \times \ln(10)$
$\omega = -23.887 \times 2.303$
$\omega \approx -55.01 \ L \ atm$
निकाय द्वारा किए गए कार्य का परिमाण $55 \ L \ atm$ है।

(B) बर्तन के अंदर का कुल दबाव बाहरी दबाव के बराबर होता है,जो $P_{total} = 1 \ atm$ है।
अज्ञात यौगिक का वाष्प दबाव $0.68 \ atm$ है। इसलिए,अज्ञात यौगिक का आंशिक दबाव $P_{unknown} = 0.68 \ atm$ है।
$He$ का आंशिक दबाव $P_{He} = P_{total} - P_{unknown} = 1 \ atm - 0.68 \ atm = 0.32 \ atm$ है।
$He$ के लिए आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए:
$0.32 \ atm \times V = 0.1 \ mol \times 0.0821 \ L \cdot atm \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1} \times 273 \ K$.
$0.32 \times V = 2.24133$.
$V = \frac{2.24133}{0.32} \approx 7.004 \ L$.
अतः,कुल आयतन $7 \ L$ के करीब है।

(A) डिब्बे $A$ में प्रारंभिक मोल $(n_A)$: $n_A = \frac{P_A V_A}{R T_A} = \frac{5 \times 1}{R \times 400} = \frac{1}{80R}$
डिब्बे $B$ में प्रारंभिक मोल $(n_B)$: $n_B = \frac{P_B V_B}{R T_B} = \frac{1 \times 3}{R \times 300} = \frac{1}{100R}$
कुल मोल $(n_{total})$ = $n_A + n_B = \frac{1}{80R} + \frac{1}{100R} = \frac{5+4}{400R} = \frac{9}{400R}$
संतुलन पर,दीवार ऊष्मा चालक और गतिशील है,इसलिए दोनों डिब्बों में दबाव $(P)$ और तापमान $(T)$ समान होगा।
मान लीजिए $V_A'$ और $V_B'$ नए आयतन हैं। $V_A' + V_B' = 1 + 3 = 4 \ m^3$.
कुल सिस्टम के लिए आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $P(V_A' + V_B') = n_{total} R T$
$P(4) = (\frac{9}{400R}) R T \implies P = \frac{9T}{1600}$
डिब्बे $A$ के लिए: $P V_A' = n_A R T \implies (\frac{9T}{1600}) V_A' = (\frac{1}{80R}) R T$
$V_A' = \frac{1}{80} \times \frac{1600}{9} = \frac{20}{9} \approx 2.22 \ m^3$.

(C) एक कठोर पात्र में,गैस का आयतन स्थिर रहता है,जिसका अर्थ है $\Delta V = 0$।
चूंकि किया गया कार्य $W = -P_{ext} \Delta V$ है,इसलिए $W = 0$ होता है।
इस प्रकार की प्रक्रिया को समआयतनिक (isochoric) प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta U = q + W$। चूंकि $W = 0$ है,इसलिए $\Delta U = q$,जिसका अर्थ है कि अवशोषित ऊष्मा प्रणाली की आंतरिक ऊर्जा को बढ़ाती है।
समदाबी प्रक्रिया वह है जहाँ दबाव स्थिर रहता है,जो यहाँ नहीं है।
इसलिए,यह कथन कि यह एक समदाबी प्रक्रिया है,गलत है।

(B) एवोगैड्रो के नियम के अनुसार,तापमान और दबाव की समान स्थितियों में,गैसों के समान आयतन में मोलों की संख्या समान होती है। चूंकि पात्र समान हैं,इसलिए आयतन समान है,अतः $n_A = n_B$।
मोलों की संख्या $n = \frac{w}{Mw}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $w$ द्रव्यमान है और $Mw$ मोलर द्रव्यमान है।
इसलिए,$\frac{w_A}{40} = \frac{w_B}{x}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $\frac{w_A}{w_B} = \frac{40}{x}$।
द्रव्यमान अनुपात $\frac{w_A}{w_B} = \frac{5}{8}$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{5}{8} = \frac{40}{x}$।
$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{40 \times 8}{5} = 8 \times 8 = 64$।

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ के अनुसार,$P = \frac{nRT}{V}$ होता है।
चूंकि $n$,$R$,$T$ और $V$ सभी गैसों के लिए समान हैं,इसलिए आदर्श गैसों के लिए दाब समान होगा।
वास्तविक गैसों के लिए,वान डर वाल्स समीकरण के अनुसार,कम आकर्षण बलों के कारण $H_2$ गैस आदर्श व्यवहार के सबसे करीब होती है और अधिकतम दाब प्रदर्शित करती है।

(C) गे-लुसैक का नियम बताता है कि किसी गैस के निश्चित द्रव्यमान का दबाव उसके पूर्ण तापमान के सीधे आनुपातिक होता है,यदि आयतन स्थिर रहे।
गणितीय रूप से,इसे $P \propto T$ या स्थिर आयतन $(V)$ और निश्चित द्रव्यमान $(n)$ के लिए $\frac{P}{T} = \text{स्थिरांक}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

(C) $CO_2$ का दिया गया द्रव्यमान $= 8.8 \times 10^{-2} \ kg = 88 \ g$ है।
$CO_2$ का मोलर द्रव्यमान $44 \ g \ mol^{-1}$ है।
मोलों की संख्या $n = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} = \frac{88 \ g}{44 \ g \ mol^{-1}} = 2 \ mol$ है।
आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT$ होता है।
$n = 2$ रखने पर,हमें $PV = 2 \ RT$ प्राप्त होता है।

(B) आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $PV = nRT$
$n$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $n = \frac{PV}{RT}$
दिए गए मान: $P = 3.18 \times 10^5 \ N \ m^{-2}$,$V = 8.314 \times 10^{-3} \ m^3$,$T = 318 \ K$,$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$
मान रखने पर: $n = \frac{(3.18 \times 10^5) \times (8.314 \times 10^{-3})}{8.314 \times 318}$
$n = \frac{3.18 \times 10^2}{318} = \frac{318}{318} = 1 \ mole$

(B) बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर एक आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए,दबाव $P$,आयतन $V$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $P \propto \frac{1}{V}$।
इसका तात्पर्य है कि $PV = k$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
इसलिए,यदि हम $y$-अक्ष पर $PV$ और $x$-अक्ष पर $P$ का ग्राफ खींचते हैं,तो दबाव $P$ में परिवर्तन के बावजूद $PV$ का मान स्थिर रहता है।
इसके परिणामस्वरूप दबाव अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज सीधी रेखा प्राप्त होती है।

(B) बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान और गैस की मात्रा पर:
$P_1 V_1 = P_2 V_2$
दिया गया है:
$P_1 = 1 \ atm$,$V_1 = 25 \ mL$
$P_2 = 1.25 \ atm$,$V_2 = ?$
मान रखने पर:
$1 \ atm \times 25 \ mL = 1.25 \ atm \times V_2$
$V_2 = \frac{1 \ atm \times 25 \ mL}{1.25 \ atm} = 20 \ mL$

(A) बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर दाब और आयतन का गुणनफल स्थिर रहता है।
$P_1 V_1 = P_2 V_2$
दिया गया है:
$P_1 = 105 \ kPa$,$V_1 = 11.2 \ dm^3$
$P_2 = 210 \ kPa$,$V_2 = ?$
मान रखने पर:
$V_2 = \frac{P_1 V_1}{P_2} = \frac{105 \ kPa \times 11.2 \ dm^3}{210 \ kPa} = 5.6 \ dm^3$