Ideal gas equation and Related gas laws Questions in Hindi

(B) यह ग्राफ आयतन $(V)$ और डिग्री सेल्सियस में तापमान $(t)$ के बीच एक रैखिक संबंध दिखाता है।
चार्ल्स के नियम के अनुसार,गैस की एक निश्चित मात्रा का आयतन उसके परम तापमान ($T$ केल्विन में) के सीधे आनुपातिक होता है।
संबंध इस प्रकार है: $V_t = V_0(1 + \frac{t}{273.15})$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $V_t = V_0 + (\frac{V_0}{273.15})t$
इसे रैखिक समीकरण $Y = mx + C$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $Y = V_t$,$x = t$,$m = \frac{V_0}{273.15}$,और $C = V_0$ है।
$V$ बनाम $t$ $(^{\circ}C)$ का यह रैखिक प्लॉट चार्ल्स के नियम की विशेषता है।
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(A) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$ है।
दिया गया है: $V_1 = 2 \ L$,$P_2 = 2P_1$,और $T_2 = 2T_1$।
समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{P_1 \times 2 \ L}{T_1} = \frac{(2P_1) \times V_2}{(2T_1)}$।
$V_2$ के लिए हल करने पर:
$V_2 = \frac{P_1 \times 2 \ L \times 2T_1}{T_1 \times 2P_1} = 2 \ L$।
अतः,आयतन $2 \ L$ ही रहेगा।

(D) बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर $P_1V_1 = P_2V_2$ होता है।
माना प्रत्येक पात्र का आयतन $V$ है। पात्रों को जोड़ने के बाद कुल आयतन $2V$ हो जाता है।
मोल संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,कुल दाब $P_{mix}$ इस प्रकार होगा:
$P_{mix} = \frac{P_1V_1 + P_2V_2}{V_{total}}$
$P_{mix} = \frac{100 \times V + 400 \times V}{V + V} = \frac{500V}{2V} = 250 \ mm$.

(A) बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर गैस की एक निश्चित मात्रा के लिए,$P_1V_1 = P_2V_2$ होता है।
दिया गया है: $P_1 = 10^4 \ Pa$,$V_1 = 100 \ cc$,$P_2 = 10^5 \ Pa$।
मान रखने पर: $10^4 \times 100 = 10^5 \times V_2$।
$V_2 = \frac{10^4 \times 100}{10^5} = \frac{10^6}{10^5} = 10 \ cc$।

(B) आदर्श गैस का घनत्व $(d)$ सूत्र $d = \frac{PM}{RT}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P$ दाब है,$M$ मोलर द्रव्यमान है,$R$ गैस नियतांक है और $T$ तापमान (केल्विन में) है।
नियोन के लिए $M$ और $R$ स्थिर हैं,इसलिए $d \propto \frac{P}{T}$।
घनत्व को अधिकतम करने के लिए,दाब $(P)$ सबसे अधिक और तापमान $(T)$ सबसे कम होना चाहिए।
अतः,$0\,^{\circ}C$ और $2 \ atm$ पर घनत्व सबसे अधिक होगा।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है।
चूंकि $n = \frac{W}{M}$,जहाँ $W$ द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है,इसलिए $PV = \frac{W}{M} RT$ होगा।
घनत्व $d = \frac{W}{V}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$P = \frac{dRT}{M}$ या $d = \frac{PM}{RT}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $P = 5.00\ atm$,$M(N_2) = 28\ g/mol$,$T = 227 + 273 = 500\ K$,और $R = 0.082\ L\ atm\ K^{-1}\ mol^{-1}$।
मान रखने पर: $d = \frac{5.00 \times 28}{0.082 \times 500} = \frac{140}{41} \approx 3.41\ g/L$।

(A) संयुक्त गैस नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$,हम आयतन के अनुपात को $\frac{V_2}{V_1} = \frac{P_1 T_2}{P_2 T_1}$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
दी गई प्रारंभिक स्थितियाँ: $T_1 = 15 + 273 = 288 \ K$ और $P_1 = 1.5 \ bar$.
दी गई अंतिम स्थितियाँ: $T_2 = 25 + 273 = 298 \ K$ और $P_2 = 1.0 \ bar$.
मान रखने पर: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{1.5 \times 298}{1.0 \times 288} = \frac{447}{288} \approx 1.552$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,आयतन $1.6$ के गुणक से बढ़ जाता है।

(C) आयतन,$V = 0.03 \ m^3$
तापमान,$T = 129 + 273 = 402 \ K$
मीथेन का द्रव्यमान,$w = 6.0 \ g$
मीथेन का मोलर द्रव्यमान,$M = 12.01 + 4 \times 1.01 = 16.05 \ g \ mol^{-1}$
आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = \frac{w}{M}$
$p = \frac{wRT}{MV} = \frac{6.0 \times 8.314 \times 402}{16.05 \times 0.03}$
$p = \frac{20065.392}{0.4815} \approx 41672.67 \ Pa$
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $41648 \ Pa$ है।

(D) साम्यावस्था पर,जल वाष्प अपने संतृप्त वाष्प दाब के बराबर दाब डालती है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $P = 3170 \ Pa$,$V = 1.0 \ dm^3 = 1.0 \times 10^{-3} \ m^3$,$T = 300 \ K$,और $R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$ है।
$n = \frac{PV}{RT} = \frac{3170 \times 1.0 \times 10^{-3}}{8.314 \times 300} \ mol$.
$n = \frac{3.17}{2494.2} \ mol \approx 1.27 \times 10^{-3} \ mol$.

(A) प्रारंभ में,प्रत्येक बल्ब में गैस के मोलों की संख्या $n_1 = \frac{P_i V}{R T_1}$ और $n_2 = \frac{P_i V}{R T_1}$ है।
दूसरे बल्ब का तापमान $T_2$ तक बढ़ाने के बाद,दोनों बल्बों में गैस के मोलों की संख्या $n_1' = \frac{P_f V}{R T_1}$ और $n_2' = \frac{P_f V}{R T_2}$ हो जाती है।
चूंकि गैस के मोलों की कुल संख्या स्थिर रहती है:
$n_1 + n_2 = n_1' + n_2'$
$\frac{P_i V}{R T_1} + \frac{P_i V}{R T_1} = \frac{P_f V}{R T_1} + \frac{P_f V}{R T_2}$
$\frac{2 P_i V}{R T_1} = \frac{P_f V}{R} \left( \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2} \right)$
$\frac{2 P_i}{T_1} = P_f \left( \frac{T_2 + T_1}{T_1 T_2} \right)$
$P_f = \frac{2 P_i T_2}{T_1 + T_2}$

(B) आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $PM = dRT$
दिया गया है: $P = 1 \ atm$,$T = 273 \ K$,$d = 10 \ mg/mL = 10 \ g/L$,$R = 0.0821 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$
मान रखने पर: $1 \times M = 10 \times 0.0821 \times 273$
$M = 224.133 \ g/mol \approx 224 \ g/mol$
चूंकि प्रजाति द्विपरमाणुक $(A_2)$ है,मोलर द्रव्यमान $M = 2 \times (A \text{का परमाणु भार})$
$2 \times A = 224$
$A = 112 \ g/mol$

(C) आदर्श गैस के लिए,समीकरण $PV = nRT$ है।
$A$. $P$ बनाम $\frac{1}{V}$ (स्थिर $T$ और $n$ पर): चूँकि $P = (nRT) \times \frac{1}{V}$,यह $y = mx$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है जो मूल बिंदु से गुजरता है। यह एक सीधी रेखा है।
$B$. $PV$ बनाम $V^2$ (स्थिर $T$ और $n$ पर): चूँकि $PV = nRT$ (एक स्थिरांक),$PV$ बनाम $V^2$ का ग्राफ $V^2$ अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा है। यह एक सीधी रेखा है।
$C$. $P$ बनाम $T^2$ (स्थिर $V$ और $n$ पर): $P = (\frac{nR}{V})T$ से,हम देखते हैं कि $P \propto T$ है। इसलिए,$P$ बनाम $T^2$ एक परवलयाकार वक्र है,सीधी रेखा नहीं।
$D$. $log\ P$ बनाम $log\ (V^2)$ (स्थिर $T$ और $n$ पर): चूँकि $PV = k$,$P = k V^{-1}$। दोनों तरफ लॉग लेने पर,$log\ P = log\ k - log\ V$। चूँकि $log\ (V^2) = 2 log\ V$,हमारे पास $log\ P = log\ k - \frac{1}{2} log\ (V^2)$ है। यह $y = mx + c$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है। यह एक सीधी रेखा है।

(A) $STP$ पर,$P_1 = 750 \, torr$,$V_1 = 127.4 \, mL$,और $T_1 = 273 \, K$ है।
जब जल के ऊपर एकत्र किया जाता है,तो शुष्क गैस का दाब $(P_{dry})$ कुल दाब में से जल का वाष्प दाब घटाने पर प्राप्त होता है: $P_2 = P_{total} - P_{H_2O} = 725 \, torr - 25 \, torr = 700 \, torr$।
तापमान $T_2 = 27 + 273 = 300 \, K$ है।
संयुक्त गैस नियम का उपयोग करने पर: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$।
मान रखने पर: $\frac{750 \times 127.4}{273} = \frac{700 \times V_2}{300}$।
$V_2 = \frac{750 \times 127.4 \times 300}{273 \times 700} \approx 150 \, mL$।

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ के अनुसार,इसे $V = (\frac{nR}{P})T$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक सीधी रेखा का समीकरण $y = mx$ है,जहाँ ढाल $m = \frac{nR}{P}$ है।
चूँकि ढाल दाब के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(m \propto \frac{1}{P})$,इसलिए छोटी ढाल उच्च दाब को दर्शाती है।
दिए गए ग्राफ से,$P_1$ रेखा की ढाल सबसे कम है,उसके बाद $P_3$ और फिर $P_2$ (जिसकी ढाल सबसे अधिक है)।
अतः,दाब का सही क्रम $P_1 > P_3 > P_2$ है।

(B) संयुक्त गैस नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$
दिया गया है:
$P_1 = P$
$V_1 = 100\, \text{cc}$
$T_1 = 0\, ^\circ C = 273\, \text{K}$
नई शर्तें:
$P_2 = 1.5 P = \frac{3}{2} P$
$T_2 = T_1 + \frac{1}{3} T_1 = \frac{4}{3} T_1 = \frac{4}{3} \times 273\, \text{K}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V_2 = \frac{P_1 V_1 T_2}{P_2 T_1} = \frac{P \times 100 \times (\frac{4}{3} \times 273)}{(\frac{3}{2} P) \times 273}$
$V_2 = 100 \times \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{800}{9} \approx 88.88\, \text{cc}$
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,$V_2 = 88.9\, \text{cc}$.

(A) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT = \frac{w}{M}RT$,इसलिए $P = \frac{dRT}{M}$,जहाँ $d$ घनत्व है,$R$ गैस स्थिरांक है,$T$ तापमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
समान गैस के लिए,$M$ स्थिर है,इसलिए $P \propto dT$।
अतः,दबाव का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{d_1}{d_2} \times \frac{T_1}{T_2}$ होगा।
दिया गया है कि $\frac{d_1}{d_2} = \frac{1}{2}$ और $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2}{1}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{P_1}{P_2} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{1} = \frac{1}{1}$।
इस प्रकार,उनके संबंधित दबाव का अनुपात $1:1$ है।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $n = \frac{w}{M}$ है।
दिया गया है:
मीथेन का द्रव्यमान $(w)$ = $6.0 \ g$
मीथेन $(CH_4)$ का मोलर द्रव्यमान $(M)$ = $12.01 + 4 \times 1.01 = 16.05 \ g/mol$
आयतन $(V)$ = $0.03 \ m^3$
तापमान $(T)$ = $129 + 273.15 = 402.15 \ K$
गैस नियतांक $(R)$ = $8.314 \ J K^{-1} mol^{-1}$
समीकरण में मान रखने पर:
$P \times 0.03 = \frac{6.0}{16.05} \times 8.314 \times 402.15$
$P \times 0.03 = 1249.53$
$P = \frac{1249.53}{0.03} \approx 41651 \ Pa$
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $41648 \ Pa$ है।

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = (\frac{m}{M})RT$ से।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$P(\frac{m}{V}) = \frac{PRT}{M}$,जो $Pd = \frac{PM}{RT}$ देता है।
दिए गए तापमान $T$ के लिए,$Pd$ बनाम $P$ ग्राफ का ढाल $\frac{M}{RT}$ है,जो गैस के मोलर द्रव्यमान $M$ के सीधे आनुपातिक है।
मोलर द्रव्यमान इस प्रकार हैं: $CO_2 = 44\,g/mol$,$N_2 = 28\,g/mol$,$He = 4\,g/mol$,$H_2 = 2\,g/mol$।
चूंकि मोलर द्रव्यमान बढ़ने पर ढाल बढ़ता है,इसलिए ढाल का क्रम $CO_2 > N_2 > He > H_2$ है।
ग्राफ को देखने पर,ढाल का क्रम $1 > 2 > 3 > 4$ है।
इसलिए,$1-CO_2, 2-N_2, 3-He, 4-H_2$।
दिए गए विकल्पों के साथ मिलान करने पर,विकल्प $D$ सही है: $2-N_2, 3-He, 1-CO_2, 4-H_2$।

(B) वाल्व खोलने पर $H_2$ गैस के मोलों की कुल संख्या स्थिर रहती है।
$n_{total} = n_A + n_B$
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करने पर,$n = \frac{PV}{RT}$.
$n_A = \frac{4 \ atm \times 2 \ L}{R \times 400 \ K} = \frac{0.02}{R}$
$n_B = \frac{8 \ atm \times 4 \ L}{R \times 800 \ K} = \frac{0.04}{R}$
$n_{total} = \frac{0.06}{R}$
वाल्व खोलने के बाद,गैस दोनों कम्पार्टमेंट में फैल जाती है। चूंकि पात्र थर्मल रूप से इंसुलेटेड हैं,इसलिए प्रत्येक कम्पार्टमेंट का तापमान अपने प्रारंभिक मान ($400 \ K$ और $800 \ K$) पर ही रहता है।
$n_{total} = \frac{P_f V_A}{R T_A} + \frac{P_f V_B}{R T_B}$
$\frac{0.06}{R} = P_f \left[ \frac{2}{400R} + \frac{4}{800R} \right]$
$0.06 = P_f \times 0.01$
$P_f = 6 \ atm$

(A) पात्र $X$ के लिए,प्रारंभिक स्थिति $P_1 V = n_1 RT$ है। $\Delta P$ दबाव परिवर्तन के साथ $2V$ तक विस्तार के बाद,अंतिम स्थिति $(P_1 - \Delta P) 2V = n_1 RT$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $P_1 V = 2P_1 V - 2\Delta P V$,जिससे $P_1 V = 2\Delta P V$ प्राप्त होता है।
अतः,$n_1 = \frac{2\Delta P V}{RT}$।
पात्र $Y$ के लिए,प्रारंभिक स्थिति $P_2 V = n_2 RT$ है। $0.2 \Delta P$ दबाव परिवर्तन के साथ $2V$ तक विस्तार के बाद,अंतिम स्थिति $(P_2 - 0.2 \Delta P) 2V = n_2 RT$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $P_2 V = 2P_2 V - 0.4 \Delta P V$,जिससे $P_2 V = 0.4 \Delta P V$ प्राप्त होता है।
अतः,$n_2 = \frac{0.4 \Delta P V}{RT}$।
द्रव्यमान का अनुपात मोल के अनुपात के बराबर है: $\frac{w_X}{w_Y} = \frac{n_1}{n_2} = \frac{2\Delta P V / RT}{0.4 \Delta P V / RT} = \frac{2}{0.4} = 5$।

(B) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दबाव पर $V \propto T$ होता है। चूँकि घनत्व $d = \frac{m}{V}$,इसलिए $d \propto \frac{1}{T}$,जिसका अर्थ है $d_1 T_1 = d_2 T_2$।
मान लीजिए कि परम शून्य तापमान $x\,^o C$ है। तब $T_1 = (25 - x) \text{ K}$ और $T_2 = (100 - x) \text{ K}$ होगा।
दिया गया है $d_1 = 1.2\ gL^{-1}$ और $d_2 = 0.9\ gL^{-1}$।
मान रखने पर: $1.2 \times (25 - x) = 0.9 \times (100 - x)$।
$30 - 1.2x = 90 - 0.9x$।
$30 - 90 = 1.2x - 0.9x$।
$-60 = 0.3x$।
$x = \frac{-60}{0.3} = -200\,^o C$।

(C) रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के लिए, $TV^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$.
दोनों तरफ $log$ लेने पर: $log \, T + (\gamma-1) log \, V = \text{स्थिरांक}$.
यह एक सीधी रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है, जहाँ $y = log \, T$, $x = log \, V$, और ढाल $m = -(\gamma-1)$ है।
ग्राफ से, ढाल $m = \frac{1.40 - 1.60}{1.60 - 1.10} = \frac{-0.20}{0.50} = -0.4$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $-(\gamma-1) = -0.4$, इसलिए $\gamma-1 = 0.4$, जिससे $\gamma = 1.4$ प्राप्त होता है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए, $\gamma = 1.4$ होता है (जैसे, $C_p/C_v = 7/5 = 1.4$)।
अतः, गैस द्विपरमाणुक है और रुद्धोष्म परिवर्तन से गुजर रही है।

(D) $1$. वायुकोष का आयतन $(V)$ ज्ञात करें: $V = \frac{4}{3} \pi r^3 = 5.236 \times 10^{-10} \ L$.
$2$. आदर्श गैस समीकरण $(PV = nRT)$ का उपयोग करके हवा के कुल मोल $(n_{air})$ ज्ञात करें: $n_{air} = 2.057 \times 10^{-11} \ mol$.
$3$. ऑक्सीजन के मोल $(n_{O_2})$ ज्ञात करें: $n_{O_2} = 0.14 \times n_{air} = 2.88 \times 10^{-12} \ mol$.
$4$. ऑक्सीजन के अणुओं की संख्या $(N)$ ज्ञात करें: $N = n_{O_2} \times N_A \approx 1.73 \times 10^{12}$ अणु।

(C) चूंकि गैस के मोलों की संख्या स्थिर रहती है,हम संयुक्त गैस नियम का उपयोग करते हैं: $\frac{P_i V_i}{T_i} = \frac{P_f V_f}{T_f}$.
दिया गया है:
$P_i = 3.21 \times 10^5 \ Pa$
$T_i = -5.0 \ ^\circ C = 268.15 \ K$
$T_f = 28 \ ^\circ C = 301.15 \ K$
$V_f = V_i + 0.03 V_i = 1.03 V_i$
$P_f$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$P_f = P_i \times \frac{V_i}{V_f} \times \frac{T_f}{T_i}$
मान रखने पर:
$P_f = 3.21 \times 10^5 \ Pa \times \frac{1}{1.03} \times \frac{301.15}{268.15}$
$P_f \approx 3.50 \times 10^5 \ Pa$.

(C) गैसों के गतिज आणविक सिद्धांत के अनुसार,यह धारणा कि गैस के अणुओं का आयतन गैस के कुल आयतन की तुलना में नगण्य है और उनके बीच कोई आकर्षण बल नहीं है,एक आदर्श गैस के लिए मान्य है।
ये स्थितियाँ वास्तविक गैसों के लिए $high \ temperature$ (उच्च तापमान) और $low \ pressure$ (कम दबाव) पर सबसे सटीक होती हैं।
$high \ temperature$ पर,अणुओं की गतिज ऊर्जा अधिक होती है,जो आकर्षण बलों को दूर कर देती है।
$low \ pressure$ पर,अणु एक-दूसरे से दूर होते हैं,जिससे अणुओं द्वारा घेरा गया आयतन पात्र के कुल आयतन की तुलना में नगण्य हो जाता है।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ के अनुसार,इसे $P = (nRT) \cdot (1/V)$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।
गैस की निश्चित मात्रा के लिए ($n$ स्थिर है),$PV$ का गुणनफल तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक होता है।
$P$ बनाम $V$ ग्राफ (समतापी) में,दिए गए आयतन $V$ के लिए,उच्च तापमान पर दबाव $P$ अधिक होता है।
ग्राफ को देखने पर,किसी भी स्थिर आयतन $V$ पर,दबाव के मान $T_1, T_2, T_3$ के वक्रों के लिए $P_1 > P_2 > P_3$ के क्रम में हैं।
इसलिए,तापमान के बीच का संबंध $T_1 > T_2 > T_3$ है।

(A) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दाब पर गैस के निश्चित द्रव्यमान के लिए,$V \propto T$ (जहाँ $T$ केल्विन में है)।
प्रारंभिक स्थितियाँ: $V_1 = 0.4 \, L$,$T_1 = 0 + 273 = 273 \, K$.
अंतिम स्थितियाँ: $V_2 = ?$,$T_2 = 273 + 273 = 546 \, K$.
सूत्र $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{0.4}{273} = \frac{V_2}{546}$
$V_2 = 0.4 \times \frac{546}{273} = 0.4 \times 2 = 0.8 \, L$.

(C) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दबाव पर,$V \propto T$.
अतः,$\frac{V_{1}}{T_{1}} = \frac{V_{2}}{T_{2}}$.
दिया गया है: $V_{1} = 200 \, cm^{3}$,$T_{1} = 17 + 273 = 290 \, K$,$T_{2} = 47 + 273 = 320 \, K$.
मान रखने पर: $\frac{200}{290} = \frac{V_{2}}{320}$.
$V_{2} = \frac{200 \times 320}{290} = 220.68 \, cm^{3} \approx 220.6 \, cm^{3}$.

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जिसे $P = \frac{dRT}{M}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $d$ घनत्व है और $M$ आणविक द्रव्यमान है।
दिया गया है: $d = 0.00356 \ g/mL = 3.56 \ g/L$,$P = 1 \ atm$,$R = 0.0821 \ L \cdot atm \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$,और $T = 273 \ K$.
$M$ के लिए सूत्र: $M = \frac{dRT}{P}$.
मान रखने पर: $M = \frac{3.56 \times 0.0821 \times 273}{1} \approx 79.75 \approx 80 \ g/mol$.

(B) चरण $1$: प्रत्येक गैस के मोल की गणना करें।
$N_2$ के मोल = $\frac{3.01 \times 10^{24}}{6.02 \times 10^{23}} = 5 \ mol$.
$O_2$ के मोल = $\frac{32 \ g}{32 \ g/mol} = 1 \ mol$.
कुल मोल $(n)$ = $5 + 1 = 6 \ mol$.
चरण $2$: आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करके मिश्रण का कुल आयतन ज्ञात करें।
$V = \frac{nRT}{P} = \frac{6 \times (1/12) \times 860}{3}$.
$V = \frac{0.5 \times 860}{3} = \frac{430}{3} \approx 143.33 \ L$.
चरण $3$: मिश्रण का कुल द्रव्यमान ज्ञात करें।
$N_2$ का द्रव्यमान = $5 \ mol \times 28 \ g/mol = 140 \ g$.
$O_2$ का द्रव्यमान = $32 \ g$.
कुल द्रव्यमान = $140 + 32 = 172 \ g$.
चरण $4$: घनत्व $(d = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आयतन}})$ की गणना करें।
$d = \frac{172}{143.33} \approx 1.2 \ g/L$.

(B) आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $PV = \frac{m}{M}RT$,जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है और $d = \frac{m}{V}$ घनत्व है।
मोलर द्रव्यमान का सूत्र $M = \frac{dRT}{P}$ है।
दिया गया है: $d = 3.84 \ g/L$,$R = 0.0821 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$,$T = 210 + 273 = 483 \ K$,और $P = 1 \ atm$.
मान रखने पर: $M = \frac{3.84 \times 0.0821 \times 483}{1} \approx 152.2 \ g/mol$.
विकल्पों के लिए मोलर द्रव्यमान की गणना:
$A: C_{10}H_{14}O = 150 \ g/mol$
$B: C_{10}H_{16}O = 152 \ g/mol$
$C: C_{10}H_{16}O_2 = 168 \ g/mol$
$D: C_{10}H_{18}O = 154 \ g/mol$
चूंकि गणना किया गया मोलर द्रव्यमान $152 \ g/mol$ है,इसलिए सही सूत्र $C_{10}H_{16}O$ है।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से।
चूंकि $n = \frac{m}{M}$,इसलिए $PV = \frac{mRT}{M}$।
घनत्व $(d = \frac{m}{V})$ के लिए व्यवस्थित करने पर,$P = \frac{dRT}{M}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $d = \frac{PM}{RT}$।
स्थिर तापमान और दबाव पर,$d \propto M$।
अतः,घनत्व का अनुपात $\frac{d_{NH_3}}{d_{HCl}} = \frac{M_{NH_3}}{M_{HCl}}$ होगा।
$NH_3$ का आणविक द्रव्यमान $= 14 + 3(1) = 17 \ g/mol$।
$HCl$ का आणविक द्रव्यमान $= 1 + 35.5 = 36.5 \ g/mol$।
अनुपात $= \frac{17}{36.5} \approx 0.46$।

(C) गैस का घनत्व $(\rho)$ सूत्र $\rho = \frac{PM}{RT}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P$ दाब है,$M$ मोलर द्रव्यमान है,$R$ गैस स्थिरांक है और $T$ तापमान है।
दोनों गैसों के लिए तापमान $T$ समान है।
$N_2$ गैस के लिए: $\rho_{N_2} = \frac{P_{N_2} \times M_{N_2}}{RT} = \frac{4 \times 28}{RT}$.
अज्ञात गैस के लिए: $\rho_{gas} = \frac{P_{gas} \times M_{gas}}{RT} = \frac{2 \times M_{gas}}{RT}$.
प्रश्न के अनुसार,$\rho_{gas} = 2 \times \rho_{N_2}$.
मान रखने पर: $\frac{2 \times M_{gas}}{RT} = 2 \times \left( \frac{4 \times 28}{RT} \right)$.
दोनों तरफ से $RT$ को हटाने पर: $2 \times M_{gas} = 8 \times 28$.
$M_{gas} = 4 \times 28 = 112\, g\, mol^{-1}$.

(A) बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर गैस की निश्चित मात्रा के लिए,$P_1V_1 = P_2V_2$ होता है।
दिया गया है: $V_1 = 750.0 \ mL$,$P_1 = 840.0 \ mm \ Hg$,$P_2 = 360.0 \ mm \ Hg$।
मान रखने पर: $840.0 \ mm \ Hg \times 750.0 \ mL = 360.0 \ mm \ Hg \times V_2$।
$V_2 = \frac{840.0 \times 750.0}{360.0} \ mL = 1750 \ mL$।
लीटर में बदलने पर: $1750 \ mL = 1.750 \ L$।

(B) बॉयल के नियम के अनुसार,$PV = \text{स्थिरांक}$।
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
$\log \ P + \log \ V = \log \ (\text{स्थिरांक})$
$\log \ P = - \log \ V + \log \ (\text{स्थिरांक})$
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = \log \ P$,$x = \log \ V$,और ढाल $m = -1$ है।
अतः,$\log \ P$ बनाम $\log \ V$ का आलेख ऋणात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा है।

(C) मान लीजिए बर्तन का आयतन $V$ है। प्रारंभ में,$T_1 = 300 \ K$ पर हवा का आयतन $V$ है।
चूंकि $2/5$ हवा बाहर निकल जाती है,इसलिए $300 \ K$ पर बची हुई हवा का आयतन $V - (2/5)V = (3/5)V$ है।
जब बर्तन को नए तापमान $T_2$ तक गर्म किया जाता है,तो यह बची हुई हवा बर्तन के पूरे आयतन $V$ को भर देती है।
चूंकि खुले बर्तन में दबाव स्थिर रहता है,हम चार्ल्स के नियम का उपयोग करते हैं: $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
मान रखने पर: $\frac{(3/5)V}{300} = \frac{V}{T_2}$.
$T_2$ के लिए हल करने पर: $T_2 = 300 \times \frac{5}{3} = 500 \ K$.

(D) आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $PV = nRT$
दिया गया है: $P = 200 \, Pa$,$V = 10 \, m^3$,$T = 1000 \, K$,$n = (0.5 + x) \, mol$.
मान रखने पर: $200 \times 10 = (0.5 + x) \times R \times 1000$
$2000 = (0.5 + x) \times 1000R$
$2 = (0.5 + x)R$
$\frac{2}{R} = 0.5 + x$
$x = \frac{2}{R} - 0.5$
$x = \frac{2 - 0.5R}{R} = \frac{4 - R}{2R}$

(C) एक खुले पात्र के लिए,दबाव $P$ और आयतन $V$ स्थिर रहते हैं। आदर्श गैस नियम के अनुसार,$PV = nRT$,जिसका अर्थ है $n_1T_1 = n_2T_2$.
मान लीजिए कि मोल की प्रारंभिक संख्या $n_1 = n$ है और प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27 + 273 = 300\,K$ है।
चूंकि हवा का दो-पाँचवाँ भाग बाहर निकल जाता है,इसलिए शेष मोल $n_2 = n - \frac{2}{5}n = \frac{3}{5}n$ हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $n \times 300 = \frac{3}{5}n \times T_2$.
$T_2$ के लिए हल करने पर: $T_2 = 300 \times \frac{5}{3} = 500\,K$.

(A) गैस का घनत्व $d$ ज्ञात करने का सूत्र $d = \frac{PM}{RT}$ है।
यहाँ,$P = \frac{800}{760}\, atm$,$M = 44\, g/mol$ ($CO_2$ का मोलर द्रव्यमान),$R = 0.0821\, L\, atm\, K^{-1} mol^{-1}$,और $T = 100 + 273 = 373\, K$ है।
मान रखने पर: $d = \frac{(\frac{800}{760}) \times 44}{0.0821 \times 373} \approx 1.51\, g/L$.

(A) स्थिर दाब पर एक आदर्श गैस के लिए,किया गया कार्य $W$ सूत्र $W = P \Delta V$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ के अनुसार,स्थिर दाब पर $P \Delta V = nR \Delta T$ होता है।
दिया गया है:
$n = 1 \, mol$
$\Delta T = 2 \, ^oC = 2 \, K$ (क्योंकि तापमान में परिवर्तन सेल्सियस और केल्विन पैमाने पर समान होता है)।
मान रखने पर:
$W = nR \Delta T = 1 \, mol \times R \times 2 \, K = 2R$।
अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = \frac{w}{M} RT$ है।
घनत्व,$\rho = \frac{w}{V} = \frac{PM}{RT}$।
अतः,आदर्श गैस का घनत्व दाब $(P)$ के सीधे आनुपातिक और तापमान $(T)$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
घनत्व को अधिकतम करने के लिए,हमें उच्चतम दाब और न्यूनतम तापमान की आवश्यकता होती है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $B$ में उच्चतम दाब $(2 \, atm)$ और न्यूनतम तापमान $(273 \, K)$ है,जिसके परिणामस्वरूप घनत्व अधिकतम होगा।

(A) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,घनत्व $d = \frac{PM_w}{RT}$,जहाँ $P$ दबाव है,$M_w$ मोलर द्रव्यमान है,$R$ गैस स्थिरांक है और $T$ तापमान है।
यह मानते हुए कि गैसों का मोलर द्रव्यमान $(M_w)$ समान है,संबंध $d \propto \frac{P}{T}$ या $P \propto d \times T$ है।
घनत्व का दिया गया अनुपात $\frac{d_1}{d_2} = \frac{1}{2}$ और तापमान का अनुपात $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2}{1}$ है।
दबाव का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{d_1}{d_2} \times \frac{T_1}{T_2}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{P_1}{P_2} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{1} = \frac{1}{1}$।
अतः,उनके दबाव का अनुपात $1:1$ है।

(D) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$d = \frac{PM}{RT}$।
स्थिर दाब पर,$d \propto \frac{1}{T}$।
$T_1 = 27 + 273 = 300\, K$ और $d_1 = d$।
$d_2 = 0.75\, d$ के लिए,$\frac{d_2}{d_1} = \frac{T_1}{T_2}$।
$\frac{0.75\, d}{d} = \frac{300}{T_2}$।
$T_2 = \frac{300}{0.75} = 400\, K$।

(D) गैस का घनत्व सूत्र $d = \frac{PM_w}{RT}$ द्वारा दिया जाता है।
समान गैस के लिए,दो अलग-अलग स्थितियों में घनत्व का अनुपात $\frac{d_2}{d_1} = \frac{P_2}{P_1} \times \frac{T_1}{T_2}$ होता है।
दिया गया है: $d_1 = 5.46\, g/L$,$P_1 = 2\, atm$,$T_1 = 27 + 273 = 300\, K$.
$STP$ पर: $P_2 = 1\, atm$,$T_2 = 273\, K$.
मान रखने पर: $\frac{d_2}{5.46} = \frac{1}{2} \times \frac{300}{273}$.
$d_2 = 5.46 \times 0.5 \times 1.0989 \approx 3\, g/L$.

(D) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दाब पर,$V \propto T$ होता है।
अतः,$\frac{V_2}{V_1} = \frac{T_2}{T_1}$।
दिया गया है कि आयतन में $10 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $V_2 = 1.10 V_1$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{T_2}{T_1} = \frac{1.10 V_1}{V_1} = 1.10$।
तापमान में प्रतिशत वृद्धि $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100 = (\frac{T_2}{T_1} - 1) \times 100$ द्वारा प्राप्त होती है।
$= (1.10 - 1) \times 100 = 0.10 \times 100 = 10 \%$।

(A) चार्ल्स के नियम के अनुसार,$t\,^{\circ}C$ तापमान पर गैस का आयतन $V_t$ इस प्रकार दिया जाता है:
$V_t = V_0 + \frac{V_0}{273}t$
यह समीकरण एक सीधी रेखा $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = V_t$,$x = t$,$c = V_0$ और ढाल $m = \frac{V_0}{273}$ है।
अतः,ग्राफ का ढाल $\frac{V_0}{273}$ होगा।

(C) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दाब पर,$V \propto T$ या $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$ होता है।
दिया गया है: $T_1 = 0\,^\circ C = 273\, K$,$V_1 = V$,$V_2 = 2V$.
मान रखने पर: $\frac{V}{273} = \frac{2V}{T_2}$.
$T_2 = 273 \times 2 = 546\, K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T(^{\circ}C) = 546 - 273 = 273\,^{\circ}C$.

(B) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दाब पर $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$ होता है।
दिया गया है: $V_1 = 20 \ L$,$T_1 = 100 \ K$,$T_2 = 300 \ K$.
मान रखने पर: $\frac{20}{100} = \frac{V_2}{300}$.
$V_2 = \frac{20 \times 300}{100} = 60 \ L$.
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_2 - V_1 = 60 \ L - 20 \ L = 40 \ L$.

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = \frac{W R T}{M}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $V, M$ और $R$ समान पात्र और समान गैस के लिए स्थिर हैं:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{W_1 T_1}{W_2 T_2}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{10} = \frac{3.2 \times 200}{W_2 \times 500}$
$W_2 = \frac{3.2 \times 200 \times 10}{500}$
$W_2 = \frac{3.2 \times 20}{5} = 3.2 \times 4 = 12.8 \, g$

(D) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दाब पर गैस के निश्चित द्रव्यमान के लिए,$V \propto T$,जिसे $V = (nR/P)T$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = V$ और $x = T$,ढाल $m = nR/P$ प्राप्त होता है।
चूंकि ढाल दाब के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(m \propto 1/P)$,सबसे कम ढाल वाली रेखा सबसे अधिक दाब को दर्शाती है।
दिए गए ग्राफ से,$P_3$ के लिए रेखा की ढाल सबसे कम है,उसके बाद $P_2$ है,और $P_1$ की ढाल सबसे अधिक है।
इसलिए,दाब के बीच का संबंध $P_3 > P_2 > P_1$ है।