સાબિત કરો કે જો ત્રિકોણની એક બાજુને સમાંતર રેખા દોરવામાં આવે જે બાકીની બે બાજુઓને છેદે,તો તે બે બાજુઓ સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે એક $\triangle ABC$ છે જેમાં $BC$ ને સમાંતર રેખા $DE$ એ $AB$ ને $D$ માં અને $AC$ ને $E$ માં છેદે છે. સાબિત કરવાનું છે કે: $DE$ એ બંને બાજુઓને સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,એટલે કે,$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$.
રચના: $BE$ અને $CD$ ને જોડો અને $EF \perp AB$ તથા $DG \perp AC$ દોરો.
સાબિતી: અહીં,$\frac{\text{ar}(\triangle ADE)}{\text{ar}(\triangle BDE)} = \frac{\frac{1}{2} \times AD \times EF}{\frac{1}{2} \times DB \times EF} = \frac{AD}{DB}$ ......$(i)$ [કારણ કે,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$]
તે જ રીતે,$\frac{\text{ar}(\triangle ADE)}{\text{ar}(\triangle DEC)} = \frac{\frac{1}{2} \times AE \times DG}{\frac{1}{2} \times EC \times DG} = \frac{AE}{EC}$ ......$(ii)$
હવે,$\triangle BDE$ અને $\triangle DEC$ એ એક જ સમાંતર રેખાઓ $DE$ અને $BC$ ની વચ્ચે આવેલા છે અને એક જ પાયા $DE$ પર આવેલા છે,તેથી,$\text{ar}(\triangle BDE) = \text{ar}(\triangle DEC)$ ......$(iii)$
સમીકરણ $(i), (ii)$ અને $(iii)$ પરથી,આપણને મળે છે $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$.
આમ,સાબિત થાય છે.