Mix Examples - Statistics Questions in Hindi

(D) सबसे पहले,प्रत्येक वर्ग के लिए संचयी बारंबारता $(cf)$ की गणना करें:
$1$. वर्ग $10-25$: $cf = 5$
$2$. वर्ग $25-40$: $cf = 5 + 21 = 26$
$3$. वर्ग $40-55$: $cf = 26 + 21 = 47$
$4$. वर्ग $55-70$: $cf = 47 + 8 = 55$
$5$. वर्ग $70-85$: $cf = 55 + 25 = 80$
$6$. वर्ग $85-100$: $cf = 80 + 20 = 100$
कुल बारंबारता $n = 100$ है।
$\frac{n}{2} = \frac{100}{2} = 50$ की गणना करें।
माध्यक वर्ग वह वर्ग है जिसकी संचयी बारंबारता $\frac{n}{2} = 50$ से ठीक बड़ी या उसके बराबर होती है।
संचयी बारंबारताओं को देखने पर: $5, 26, 47, 55, 80, 100$। $50$ से बड़ी पहली संचयी बारंबारता $55$ है,जो वर्ग $55-70$ के संगत है।
अतः,माध्यक वर्ग $55-70$ है।

(A) माध्यक वर्ग ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले कुल बारंबारता $n = \sum f_i = 6 + 10 + 5 + 6 + 4 + 2 + 2 = 35$ ज्ञात करते हैं।
माध्यक वर्ग वह वर्ग अंतराल है जो $\frac{n}{2}$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता के संगत होता है।
यहाँ,$\frac{n}{2} = \frac{35}{2} = 17.5$ है।
आइए संचयी बारंबारता $(cf)$ की गणना करें:
वर्ग $10-20$: $cf = 6$
वर्ग $20-30$: $cf = 6 + 10 = 16$
वर्ग $30-40$: $cf = 16 + 5 = 21$
चूंकि $21$ वह पहली संचयी बारंबारता है जो $17.5$ से बड़ी है,इसलिए संगत वर्ग अंतराल $30-40$ माध्यक वर्ग है।

(B) माध्यक वर्ग ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले प्रत्येक वर्ग के लिए संचयी बारंबारता $(cf)$ की गणना करते हैं:
$1$. वर्ग $0-10$ के लिए,$cf = 4$.
$2$. वर्ग $10-20$ के लिए,$cf = 4 + 5 = 9$.
$3$. वर्ग $20-30$ के लिए,$cf = 9 + 9 = 18$.
$4$. वर्ग $30-40$ के लिए,$cf = 18 + 10 = 28$.
$5$. वर्ग $40-50$ के लिए,$cf = 28 + 14 = 42$.
$6$. वर्ग $50-60$ के लिए,$cf = 42 + 8 = 50$.
अवलोकनों की कुल संख्या $n = 50$ है।
हमें वह वर्ग ज्ञात करना है जिसकी संचयी बारंबारता $\frac{n}{2} = \frac{50}{2} = 25$ से अधिक या उसके बराबर हो।
संचयी बारंबारताओं को देखने पर: $4, 9, 18, 28, 42, 50$.
$25$ से बड़ी पहली संचयी बारंबारता $28$ है,जो वर्ग अंतराल $30-40$ के संगत है।
अतः,माध्यक वर्ग $30-40$ है।

(A) 'से कम' प्रकार का ओजाइव बनाने के लिए,हम संबंधित वर्ग अंतरालों की ऊपरी सीमाओं के विरुद्ध संचयी बारंबारता को आलेखित करते हैं।
इसलिए,वर्गों की ऊपरी सीमाओं को $X$-अक्ष पर और संबंधित संचयी बारंबारता को $Y$-अक्ष पर दर्शाया जाता है।

(B) प्रारंभिक $10$ प्रेक्षणों का योग $\Sigma x_{i} = n \times \bar{x} = 10 \times 15.7 = 157$ है।
जब एक नया प्रेक्षण $19$ जोड़ा जाता है,तो प्रेक्षणों का नया योग $\Sigma x_{i}' = 157 + 19 = 176$ हो जाता है।
अब प्रेक्षणों की कुल संख्या $n' = 10 + 1 = 11$ हो जाती है।
नया माध्य $\bar{x}' = \frac{\Sigma x_{i}'}{n'} = \frac{176}{11} = 16$ प्राप्त होता है।

(A) $5$ प्रेक्षणों का योग $\Sigma x_{i} = n \times \bar{x} = 5 \times 16 = 80$ है।
जब प्रेक्षण $5$ को $-5$ से प्रतिस्थापित किया जाता है,तो प्रेक्षणों का संशोधित योग $\Sigma x_{i}' = 80 - 5 + (-5) = 80 - 10 = 70$ होता है।
नया माध्य $\text{नया माध्य} = \frac{\text{संशोधित } \Sigma x_{i}}{n} = \frac{70}{5} = 14$ प्राप्त होता है।

(D) माना प्रेक्षण $x_1, x_2, ..., x_{15}$ हैं।
माध्य $\frac{\sum x_i}{15} = 16$ दिया गया है,जिसका अर्थ है कि $\sum x_i = 16 \times 15 = 240$ है।
जब प्रत्येक प्रेक्षण में $2$ जोड़ा जाता है,तो नया योग $\sum (x_i + 2) = \sum x_i + (15 \times 2) = 240 + 30 = 270$ हो जाता है।
$2$ जोड़ने के बाद नया माध्य $\frac{270}{15} = 18$ है।
जब प्रत्येक परिणाम को $3$ से विभाजित किया जाता है,तो नया माध्य $\frac{18}{3} = 6$ हो जाता है।

(C) माध्य $(\bar{x})$,माध्यक $(M)$ और बहुलक $(Z)$ के बीच का आनुभविक संबंध इस प्रकार है:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
यहाँ दिए गए मान $Z = 12$ और $M = 16$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$12 = 3(16) - 2\bar{x}$
$12 = 48 - 2\bar{x}$
$\bar{x}$ के लिए समीकरण को हल करने पर:
$2\bar{x} = 48 - 12$
$2\bar{x} = 36$
$\bar{x} = \frac{36}{2}$
$\bar{x} = 18$

(D) माध्य,माध्यिका और बहुलक के बीच का आनुभविक संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
जहाँ $Z$ बहुलक है,$M$ माध्यिका है और $\bar{x}$ माध्य है।
दिया गया है: $Z = 25$ और $\bar{x} = 19$।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$25 = 3M - 2(19)$
$25 = 3M - 38$
$3M = 25 + 38$
$3M = 63$
$M = \frac{63}{3} = 21$
अतः,माध्यिका $21$ है।

(B) माध्य,माध्यक और बहुलक के बीच का आनुभविक संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
यहाँ $M = 72$ और $\bar{x} = 70$ दिया गया है,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$Z = 3(72) - 2(70)$
$Z = 216 - 140$
$Z = 76$
अतः,$Z$ का मान $76$ है।

(A) हम जानते हैं कि माध्य,माध्यिका और बहुलक के बीच का आनुभविक संबंध इस प्रकार है: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
हम इस समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$Z - M = 3M - 2\bar{x} - M$
$Z - M = 2M - 2\bar{x}$
$Z - M = 2(M - \bar{x})$
दिया गया है कि $Z - M = 4$,इसलिए इस मान को समीकरण में रखने पर:
$4 = 2(M - \bar{x})$
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर:
$M - \bar{x} = \frac{4}{2}$
$M - \bar{x} = 2$

(C) माध्य $(\bar{x})$,माध्यिका $(M)$ और बहुलक $(Z)$ के बीच का अनुभवजन्य संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
दिए गए मान $Z = 36.8$ और $M = 33.6$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$36.8 = 3(33.6) - 2\bar{x}$
$3 \times 33.6$ की गणना करने पर:
$36.8 = 100.8 - 2\bar{x}$
$\bar{x}$ के लिए समीकरण को हल करने पर:
$2\bar{x} = 100.8 - 36.8$
$2\bar{x} = 64$
$2$ से विभाजित करने पर:
$\bar{x} = \frac{64}{2} = 32$
अतः,$\bar{x}$ का मान $32$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$Z+M=88$ --- (समीकरण $1$)
$Z-M=2$ --- (समीकरण $2$)
$M$ का मान ज्ञात करने के लिए,समीकरण $1$ में से समीकरण $2$ को घटाने पर:
$(Z+M) - (Z-M) = 88 - 2$
$Z + M - Z + M = 86$
$2M = 86$
$M = \frac{86}{2}$
$M = 43$

(C) हम जानते हैं कि माध्य $(\bar{x})$,माध्यिका $(M)$ और बहुलक $(Z)$ के बीच का आनुभविक संबंध इस प्रकार है: $Z = 3M - 2\bar{x}$।
दिए गए समीकरण:
$1) Z + M = 34 \implies Z = 34 - M$
$2) M + \bar{x} = 40 \implies \bar{x} = 40 - M$
इन मानों को आनुभविक सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$34 - M = 3M - 2(40 - M)$
$34 - M = 3M - 80 + 2M$
$34 - M = 5M - 80$
$34 + 80 = 5M + M$
$114 = 6M$
$M = \frac{114}{6} = 19$
अतः,$M$ का मान $19$ है।

(A) बारंबारता वितरण की माध्यिका को 'से कम' प्रकार और 'से अधिक' प्रकार के दोनों ओजाइव खींचकर ग्राफ़ीय रूप से निर्धारित किया जा सकता है।
इन दो ओजाइव का प्रतिच्छेदन बिंदु माध्यिका का मान प्रदान करता है।
इस प्रतिच्छेदन बिंदु का $x$-निर्देशांक आँकड़ों की माध्यिका को दर्शाता है,जबकि $y$-निर्देशांक माध्यिका के संगत संचयी बारंबारता को दर्शाता है।
चूँकि प्रतिच्छेदन बिंदु $(20, 25)$ है,इसलिए $x$-निर्देशांक $20$ है।
अतः,आँकड़ों की माध्यिका $20$ है।

(B) माध्य $(\bar{x})$,माध्यक $(M)$ और बहुलक $(Z)$ के बीच का आनुभविक संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है: $Z = 3M - 2\bar{x}$।
दिया गया है कि $\bar{x} = Z - 3$,इसलिए हम बहुलक को $Z = \bar{x} + 3$ के रूप में लिख सकते हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\bar{x} + 3 = 3(22) - 2\bar{x}$
$\bar{x} + 3 = 66 - 2\bar{x}$
दोनों पक्षों में $2\bar{x}$ जोड़ने पर:
$3\bar{x} + 3 = 66$
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर:
$3\bar{x} = 63$
$3$ से भाग देने पर:
$\bar{x} = 21$।
अतः,माध्य $21$ है।

(A) माध्य $( \bar{x})$,माध्यिका $(M)$ और बहुलक $(Z)$ के बीच का अनुभवजन्य संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है: $Z = 3M - 2\bar{x}$।
दिया गया है कि $M - \bar{x} = 2$,इसलिए हम माध्य को $\bar{x} = M - 2$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$Z = 3M - 2(M - 2)$
$20.5 = 3M - 2M + 4$
$20.5 = M + 4$
$M = 20.5 - 4$
$M = 16.5$
अतः,माध्यिका $M$ का मान $16.5$ है।

(B) $15$ प्रेक्षणों का प्रारंभिक योग $\Sigma x_{i} = n \times \bar{x} = 15 \times 25 = 375$ है।
सही योग की गणना सही मान को जोड़कर और गलत मान को घटाकर की जाती है: $\text{संशोधित } \Sigma x_{i} = 375 + 50 - 20 = 405$ है।
सही माध्य,संशोधित योग को प्रेक्षणों की कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: $\text{सही माध्य} = \frac{405}{15} = 27$।

(A) माध्य $\bar{x}$ का सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ है।
प्रथम दस प्राकृतिक संख्याएँ $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ हैं।
इन संख्याओं का योग $\sum x_i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55$ है।
यहाँ प्रेक्षणों की संख्या $n = 10$ है।
अतः,माध्य $\bar{x} = \frac{55}{10} = 5.5$ है।

(D) अवलोकनों के समूह का माध्य $\bar{x} = \frac{\Sigma x_{i}}{n}$ के रूप में परिभाषित होता है,जहाँ $n$ अवलोकनों की संख्या है।
इसलिए,$\Sigma x_{i} = n\bar{x}$ होता है।
अब,व्यंजक $\Sigma(x_{i} - \bar{x})$ पर विचार करें।
इसे $\Sigma x_{i} - \Sigma \bar{x}$ के रूप में विस्तारित किया जा सकता है।
चूँकि $\bar{x}$ एक स्थिरांक है,इसलिए $\Sigma \bar{x} = n\bar{x}$ होता है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Sigma x_{i} - n\bar{x} = n\bar{x} - n\bar{x} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,अवलोकनों का उनके माध्य से विचलनों का योग हमेशा $0$ होता है।

(B) कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके माध्य का सूत्र है: $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{n}$।
दिए गए मान $n = 100$,$A = 15$ और $\bar{x} = 15$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$15 = 15 + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{100}$।
दोनों पक्षों से $15$ घटाने पर:
$15 - 15 = \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{100}$।
$0 = \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{100}$।
दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Sigma f_{i} d_{i} = 0$।

(A) पद-विचलन विधि का उपयोग करके माध्य ज्ञात करने का सूत्र है: $\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{n} \right) \times c$
दिए गए मान हैं: $\bar{x} = 20$,$\Sigma f_{i} u_{i} = -50$,$n = 100$,और $c = 10$.
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$20 = A + \left( \frac{-50}{100} \right) \times 10$
व्यंजक को सरल करने पर:
$20 = A + (-0.5) \times 10$
$20 = A - 5$
$A$ के लिए हल करने पर:
$A = 20 + 5$
$A = 25$
अतः,कल्पित माध्य $A$ का मान $25$ है।

(A) पद-विचलन विधि का उपयोग करके माध्य ज्ञात करने का सूत्र है: $\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{n} \right) \times c$
दिए गए मान हैं: $\bar{x} = 54.3$,$\Sigma f_{i} u_{i} = 2$,$n = 25$ और $c = 10$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$54.3 = A + \left( \frac{2}{25} \right) \times 10$
व्यंजक को सरल करने पर:
$54.3 = A + \left( \frac{20}{25} \right)$
$54.3 = A + 0.8$
$A$ का मान ज्ञात करने पर:
$A = 54.3 - 0.8$
$A = 53.5$

(B) कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके माध्य का सूत्र $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$ है,जहाँ $\Sigma f_{i} = n$ है।
यहाँ दिया गया है कि $\bar{x} = 20, A = 20$ और $n = 100$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $20 = 20 + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{100}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $20$ घटाने पर,हमें $0 = \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{100}$ मिलता है।
अतः,$\Sigma f_{i} d_{i} = 0 \times 100 = 0$।

(B) बारंबारता बंटन के माध्य $(\bar{x})$ का सूत्र $\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{n}$ होता है।
यहाँ $\Sigma f_{i} x_{i} = 245$ और $n = 100$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\bar{x} = \frac{245}{100} = 2.45$.

(A) बारंबारता वितरण के माध्य का सूत्र $\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{N}$ है,जहाँ $N$ कुल बारंबारता है।
यहाँ दिया गया है कि $\Sigma f_{i} x_{i} = 120$ और $N = 25$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\bar{x} = \frac{120}{25} = 4.8$.
अतः,माध्य $4.8$ है।

(D) कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके माध्य ज्ञात करने का सूत्र $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$ है।
यहाँ दिया गया है कि $n = \Sigma f_{i} = 200$,$\Sigma f_{i} d_{i} = 0$ और $A = 25$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\bar{x} = 25 + \frac{0}{200}$
$\bar{x} = 25 + 0$
$\bar{x} = 25$.
अतः,माध्य $25$ है।

(D) प्रेक्षणों का उनके माध्य से विचलनों का योग हमेशा शून्य होता है।
गणितीय रूप से,$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = \sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} \bar{x}$।
चूंकि $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$,इसलिए $\sum_{i=1}^{n} x_i = n \bar{x}$ होता है।
इसका मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = n \bar{x} - n \bar{x} = 0$।
यहाँ $n = 10$ के लिए,$\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x}) = 0$ होगा।

(C) दिया गया सूत्र $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \times c$ वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य ज्ञात करने के लिए पद-विचलन विधि है।
इस सूत्र में:
- $\bar{x}$ माध्य है।
- $A$ कल्पित माध्य है।
- $f_{i}$ $i$-वें वर्ग की बारंबारता है।
- $u_{i} = \frac{x_{i} - A}{c}$,जहाँ $x_{i}$ वर्ग चिह्न है।
- $c$ वर्ग माप (या वर्ग की लंबाई) को दर्शाता है,जो वर्ग अंतराल की ऊपरी सीमा और निचली सीमा के बीच का अंतर है।

(D) $n$ प्रेक्षणों के माध्य का सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ होता है।
यहाँ दिए गए प्रेक्षण $12, 13, x, 17, 18, 20$ हैं और प्रेक्षणों की संख्या $n = 6$ है।
माध्य $16$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$16 = \frac{12 + 13 + x + 17 + 18 + 20}{6}$
$16 = \frac{80 + x}{6}$
दोनों पक्षों को $6$ से गुणा करने पर:
$96 = 80 + x$
$x = 96 - 80$
$x = 16$

(C) दिया गया संबंध $3 \bar{x} = 2 M = 60$ है।
इससे,हम माध्य $(\bar{x})$ और माध्यिका $(M)$ के मान ज्ञात कर सकते हैं:
$\bar{x} = \frac{60}{3} = 20$
$M = \frac{60}{2} = 30$
माध्य,माध्यिका और बहुलक $(Z)$ के बीच का अनुभवजन्य संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$Z = 3 M - 2 \bar{x}$
सूत्र में $M$ और $\bar{x}$ के मान रखने पर:
$Z = 3(30) - 2(20)$
$Z = 90 - 40$
$Z = 50$

(B) माध्य,माध्यिका और बहुलक के बीच का आनुभविक संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{बहुलक }= 3 \times \text{माध्यिका} - 2 \times \text{माध्य}$.
दिया गया है:
माध्य $(\bar{x})$ = $72.5$
माध्यिका $(M)$ = $73.9$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{बहुलक }= 3(73.9) - 2(72.5)$
$\text{बहुलक }= 221.7 - 145.0$
$\text{बहुलक }= 76.7$
अतः,आंकड़ों का बहुलक $76.7$ है।

(D) माध्य $( \bar{x})$,माध्यक $(M)$ और बहुलक $(Z)$ के बीच का आनुभविक संबंध इस प्रकार है: $Z = 3M - 2 \bar{x}$।
$Z - M = \ldots \times (M - \bar{x})$ में लुप्त मान ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$Z = 3M - 2 \bar{x}$
दोनों पक्षों से $M$ घटाने पर:
$Z - M = 3M - 2 \bar{x} - M$
$Z - M = 2M - 2 \bar{x}$
$2$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$Z - M = 2(M - \bar{x})$
अतः,दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर,लुप्त मान $2$ है।

(C) हम जानते हैं कि माध्य,माध्यिका और बहुलक के बीच का आनुभविक संबंध इस प्रकार है: $Z = 3M - 2\bar{x}$।
समीकरण के दोनों पक्षों से $M$ घटाने पर:
$Z - M = 3M - 2\bar{x} - M$
$Z - M = 2M - 2\bar{x}$
दाहिनी ओर से $2$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$Z - M = 2(M - \bar{x})$
दोनों पक्षों को $(M - \bar{x})$ से विभाजित करने पर:
$\frac{Z - M}{M - \bar{x}} = 2$।

(B) हम जानते हैं कि माध्य,माध्यिका और बहुलक के बीच का आनुभविक संबंध इस प्रकार है: $Z = 3M - 2\bar{x}$।
रिक्त स्थान में मान ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$Z - \bar{x} = 3M - 2\bar{x} - \bar{x}$
$Z - \bar{x} = 3M - 3\bar{x}$
$Z - \bar{x} = 3(M - \bar{x})$
दिए गए व्यंजक के साथ तुलना करने पर,लुप्त मान $3$ है।

(B) संचयी बारंबारता बंटन एक सांख्यिकीय उपकरण है जिसका उपयोग डेटा की माध्यिका (median) निर्धारित करने के लिए किया जाता है।
माध्यिका की गणना करने के लिए,हम सबसे पहले दिए गए डेटा की संचयी बारंबारता ज्ञात करते हैं।
फिर,हम $N/2$ का मान ज्ञात करके माध्यिका वर्ग की पहचान करते हैं,जहाँ $N$ कुल बारंबारता है।
इसके बाद माध्यिका की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: $\text{Median} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$,जहाँ $cf$ माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) केंद्रीय प्रवृत्ति का माप एक सारांश सांख्यिकी है जो डेटा सेट के केंद्र बिंदु या विशिष्ट मान का प्रतिनिधित्व करता है। केंद्रीय प्रवृत्ति के तीन सबसे सामान्य माप माध्य, माध्यिका और बहुलक हैं।
परिसर (Range) प्रकीर्णन (या परिवर्तनशीलता) का एक माप है, न कि केंद्रीय प्रवृत्ति का। इसकी गणना डेटा सेट में अधिकतम और न्यूनतम मानों के बीच के अंतर के रूप में की जाती है $( \text{परिसर} = \text{अधिकतम मान} - \text{न्यूनतम मान} )$।
इसलिए, परिसर केंद्रीय प्रवृत्ति का माप नहीं है।

(A) कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके माध्य का सूत्र इस प्रकार है: $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{n}$.
दिए गए मान $\bar{x} = 19.7$,$A = 20$ और $n = 50$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$19.7 = 20 + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{50}$.
दोनों पक्षों से $20$ घटाने पर:
$19.7 - 20 = \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{50}$.
$-0.3 = \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{50}$.
दोनों पक्षों को $50$ से गुणा करने पर:
$\Sigma f_{i} d_{i} = -0.3 \times 50$.
$\Sigma f_{i} d_{i} = -15$.

(C) $15$ लड़कियों का औसत स्कोर $10$ है। इसलिए,लड़कियों के स्कोर का योग = $15 \times 10 = 150$ है।
$20$ लड़कों का औसत स्कोर $10$ है। इसलिए,लड़कों के स्कोर का योग = $20 \times 10 = 200$ है।
सभी $35$ छात्रों के स्कोर का कुल योग = $150 + 200 = 350$ है।
चूंकि हमारे पास केवल औसत मान हैं,इसलिए हम व्यक्तिगत स्कोर निर्धारित नहीं कर सकते हैं,जैसे कि उच्चतम या निम्नतम स्कोर।
अतः,केवल पूरी कक्षा के स्कोर के योग की गणना की जा सकती है।

(C) $6$ परीक्षाओं का प्रारंभिक औसत स्कोर $45$ है।
अतः,$6$ परीक्षाओं के अंकों का कुल योग $45 \times 6 = 270$ है।
सबसे कम स्कोर $30$ को हटाने के बाद,अंकों का नया योग $270 - 30 = 240$ हो जाता है।
शेष परीक्षाओं की संख्या $6 - 1 = 5$ है।
नया औसत स्कोर निकालने के लिए नए योग को शेष परीक्षाओं की संख्या से विभाजित किया जाता है: $\frac{240}{5} = 48$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही व्यंजक $\frac{(45 \times 6 - 30)}{5}$ है।

(D) सबसे पहले,कुल बारंबारता $\Sigma f_{i} = 10 + 12 + 13 + 16 + 9 = 60$ की गणना करें।
अतः,विकल्प $D$ असत्य है क्योंकि $\Sigma f_{i} = 60$ है,$50$ नहीं।
अब,अन्य विकल्पों की जाँच करें:
$1$. संचयी बारंबारताएँ: $10, 22, 35, 51, 60$ हैं।
$2$. माध्यक वर्ग: $N/2 = 60/2 = 30$ है। $30$ से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता $35$ है,जो वर्ग $20-30$ के संगत है। अतः,विकल्प $A$ सत्य है।
$3$. बहुलक वर्ग: अधिकतम बारंबारता $16$ है,जो वर्ग $30-40$ के संगत है। अतः,विकल्प $B$ सत्य है।
$4$. वर्ग $20-30$ की संचयी बारंबारता $10 + 12 + 13 = 35$ है। अतः,विकल्प $C$ सत्य है।

(B) किसी समूह का औसत स्कोर कुल अंकों के योग को छात्रों की कुल संख्या से विभाजित करके निकाला जाता है।
$30$ लड़कों का कुल स्कोर = $30 \times 16 = 480$.
$10$ लड़कियों का कुल स्कोर = $10 \times 12 = 120$.
पूरी कक्षा का कुल स्कोर = $480 + 120 = 600$.
छात्रों की कुल संख्या = $30 + 10 = 40$.
पूरी कक्षा का औसत स्कोर = $\frac{\text{कुल स्कोर}}{\text{कुल छात्र}} = \frac{480 + 120}{40} = \frac{(30 \times 16) + (10 \times 12)}{30 + 10}$.
अतः,सही व्यंजक $\frac{(30 \times 16) + (10 \times 12)}{30 + 10}$ है।

(B) केंद्रीय प्रवृत्ति के तीन मापों (माध्य,माध्यक और बहुलक) के बीच अनुभवजन्य संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{बहुलक }= 3 \times \text{माध्यक }- 2 \times \text{माध्य}$
सांकेतिक रूप में,इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
जहाँ:
$Z$ = बहुलक
$M$ = माध्यक
$\bar{x}$ = माध्य
अतः,सही विकल्प $B$ है।