Mix Examples - Real Numbers Questions in Hindi

(A) दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम हर को $2^n \cdot 5^m$ के रूप में व्यक्त करते हैं।
दी गई संख्या $\frac{33}{2^2 \cdot 5^1}$ है।
$2$ और $5$ के घातों को समान करने के लिए,हम अंश और हर को $5^{(2-1)} = 5^1$ से गुणा करते हैं।
$\frac{33 \cdot 5}{2^2 \cdot 5^1 \cdot 5^1} = \frac{165}{2^2 \cdot 5^2} = \frac{165}{(2 \cdot 5)^2} = \frac{165}{10^2} = \frac{165}{100} = 1.65$.
अतः,दशमलव प्रसार $2$ दशमलव स्थानों के बाद समाप्त हो जाता है।

(B) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान हैं कि $a = bq + r,$ जहाँ शेषफल $r$ शर्त $0 \leq r < b$ को संतुष्ट करता है।
इसका अर्थ है कि शेषफल $r$ शून्य या शून्य से बड़ा हो सकता है,लेकिन यह हमेशा भाजक $b$ से छोटा होना चाहिए।

(C) एक सम पूर्णांक को ऐसे पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया जाता है जो $2$ से पूर्णतः विभाज्य हो।
परिभाषा के अनुसार,प्रत्येक सम पूर्णांक को $2m$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $m$ कोई भी पूर्णांक है $(m \in \mathbb{Z})$।
यदि हम $m$ के मान रखें:
यदि $m = 0$,तो $2m = 0$।
यदि $m = 1$,तो $2m = 2$।
यदि $m = 2$,तो $2m = 4$।
यदि $m = -1$,तो $2m = -2$।
अतः,प्रत्येक सम पूर्णांक $2m$ के रूप का होता है।

(D) परिभाषा के अनुसार,यदि कोई पूर्णांक $2$ से विभाज्य है,तो वह एक सम पूर्णांक है,जिसे किसी पूर्णांक $q$ के लिए $2q$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
विषम पूर्णांक वह पूर्णांक है जो $2$ से विभाज्य नहीं होता है।
जब हम किसी भी विषम पूर्णांक को $2$ से विभाजित करते हैं,तो शेषफल हमेशा $1$ प्राप्त होता है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी पूर्णांक $a$ को $a = bq + r$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $0 \le r < b$ होता है।
$b = 2$ के लिए,हमारे पास $a = 2q + r$ है,जहाँ $r = 0$ या $r = 1$ है।
यदि $r = 0$ है,तो $a = 2q$ (सम पूर्णांक)।
यदि $r = 1$ है,तो $a = 2q + 1$ (विषम पूर्णांक)।
अतः,प्रत्येक विषम पूर्णांक किसी पूर्णांक $q$ के लिए $2q + 1$ के रूप का होता है।

(A) माना $a = n^{2} - 1$.
स्थिति $I$: यदि $n$ एक सम पूर्णांक है,तो माना $n = 2k$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए।
तब $a = (2k)^{2} - 1 = 4k^{2} - 1$. यह हमेशा एक विषम संख्या है,इसलिए यह $8$ से विभाज्य नहीं हो सकती।
स्थिति $II$: यदि $n$ एक विषम पूर्णांक है,तो माना $n = 2k + 1$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए।
तब $a = (2k + 1)^{2} - 1 = (4k^{2} + 4k + 1) - 1 = 4k^{2} + 4k = 4k(k + 1)$.
चूंकि $k$ और $k + 1$ क्रमागत पूर्णांक हैं,इसलिए उनमें से एक सम संख्या होगी। अतः,गुणनफल $k(k + 1)$,$2$ से विभाज्य है।
माना $k(k + 1) = 2m$ किसी पूर्णांक $m$ के लिए।
तब $a = 4(2m) = 8m$.
अतः,चूँकि $a$,$8$ का गुणज है,इसलिए जब भी $n$ एक विषम पूर्णांक होता है,तो $n^{2} - 1$,$8$ से विभाज्य होता है।

(B) यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके $65$ और $117$ का $HCF$ ज्ञात करने पर:
$117 = 65 \times 1 + 52$
$65 = 52 \times 1 + 13$
$52 = 13 \times 4 + 0$
अतः,$HCF(65, 117) = 13$ है।
दिया गया है कि $HCF$ को $65m - 117$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए:
$65m - 117 = 13$
$65m = 13 + 117$
$65m = 130$
$m = \frac{130}{65}$
$m = 2$

(C) चूंकि $70$ और $125$ को किसी संख्या से विभाजित करने पर क्रमशः $5$ और $8$ शेषफल बचते हैं।
इन शेषफलों को दी गई संख्याओं से घटाने पर हमें प्राप्त होता है:
$70 - 5 = 65$
$125 - 8 = 117$
अभीष्ट संख्या $65$ और $117$ का म.स.प. $(HCF)$ है।
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करने पर:
$117 = 65 \times 1 + 52$
$65 = 52 \times 1 + 13$
$52 = 13 \times 4 + 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,इसलिए म.स.प. $13$ है।
अतः,$13$ वह सबसे बड़ी संख्या है जो $70$ और $125$ को विभाजित करने पर क्रमशः $5$ और $8$ शेषफल छोड़ती है।

(D) दिया गया है कि,$a = x^3 y^2 = x \times x \times x \times y \times y$.
और $b = x y^3 = x \times y \times y \times y$.
दो संख्याओं का $HCF$ संख्याओं में शामिल प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है।
यहाँ,उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड $x$ और $y$ हैं।
$x$ की सबसे छोटी घात $x^1$ है और $y$ की सबसे छोटी घात $y^2$ है।
अतः,$HCF(a, b) = x^1 \times y^2 = x y^2$.

(A) दिया गया है कि,$p = a b^{2}$ और $q = a^{3} b$,जहाँ $a$ और $b$ अभाज्य संख्याएँ हैं।
$LCM(p, q)$ ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजकों में मौजूद प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेते हैं।
यहाँ अभाज्य गुणनखंड $a$ और $b$ हैं।
$a$ की उच्चतम घात $a^{3}$ है (जो $q$ में है)।
$b$ की उच्चतम घात $b^{2}$ है (जो $p$ में है)।
अतः,$LCM(p, q) = a^{3} \times b^{2} = a^{3} b^{2}$.

(B) मान लीजिए $r$ एक शून्येतर परिमेय संख्या है और $i$ एक अपरिमेय संख्या है।
मान लीजिए कि उनका गुणनफल $p = r \times i$ परिमेय है।
तो $p = \frac{a}{b}$ होगा,जहाँ $a, b$ पूर्णांक हैं और $b \neq 0$ है।
चूंकि $r$ एक शून्येतर परिमेय संख्या है,इसलिए $r = \frac{p}{q}$ लिखा जा सकता है,जहाँ $p, q$ पूर्णांक हैं और $p, q \neq 0$ है।
तब $i = \frac{p}{r} = \frac{p}{q} \times \frac{b}{a} = \frac{pb}{qa}$ होगा।
चूंकि $p, b, q, a$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{pb}{qa}$ एक परिमेय संख्या है।
यह इस तथ्य का खंडन करता है कि $i$ अपरिमेय है।
अतः,एक शून्येतर परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल हमेशा अपरिमेय होता है।
उदाहरण के लिए,$\frac{3}{4} \times \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$,जो एक अपरिमेय संख्या है।

(C) $1$ से $10$ तक की सभी संख्याओं से विभाज्य सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ निकालना होगा।
$1$ से $10$ तक की प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन:
$1 = 1$
$2 = 2^1$
$3 = 3^1$
$4 = 2^2$
$5 = 5^1$
$6 = 2^1 \times 3^1$
$7 = 7^1$
$8 = 2^3$
$9 = 3^2$
$10 = 2^1 \times 5^1$
$LCM$ ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल लेते हैं:
$LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$
$LCM = 8 \times 9 \times 5 \times 7$
$LCM = 72 \times 35 = 2520$
अतः,$1$ से $10$ तक की सभी संख्याओं से विभाज्य सबसे छोटी संख्या $2520$ है।

(D) परिमेय संख्या $\frac{14587}{1250}$ का दशमलव प्रसार कितने दशमलव स्थानों के बाद समाप्त होगा,यह निर्धारित करने के लिए हम हर का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
$1250 = 2^1 \times 5^4$.
किसी परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार $n$ दशमलव स्थानों के बाद समाप्त होता है,जहाँ $n$ हर $q$ के अभाज्य गुणनखंडन में $2$ और $5$ के घातांकों में से अधिकतम घातांक है (जब भिन्न अपने सरलतम रूप में हो)।
यहाँ,घातांक $1$ और $4$ हैं। अधिकतम घातांक $4$ है।
वैकल्पिक रूप से,हम लिख सकते हैं:
$\frac{14587}{1250} = \frac{14587}{2^1 \times 5^4} = \frac{14587 \times 2^3}{2^1 \times 5^4 \times 2^3} = \frac{14587 \times 8}{2^4 \times 5^4} = \frac{116696}{10^4} = \frac{116696}{10000} = 11.6696$.
चूंकि परिणाम $11.6696$ है,इसलिए दशमलव प्रसार चार दशमलव स्थानों के बाद समाप्त होता है।

(B) नहीं।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $a$ और भाजक $b=3$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान होते हैं कि:
$a = 3q + r$,जहाँ $0 \leq r < 3$ है।
चूंकि $r$ को $0 \leq r < 3$ शर्त को पूरा करने वाला एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए शेषफल $r$ के संभावित मान $0, 1$ और $2$ हैं।
अतः,यह कथन कि शेषफल केवल $0$ और $1$ हैं,गलत है।

(NO) नहीं,संख्या $6^{n}$ अंक $5$ पर समाप्त नहीं हो सकती है।
किसी भी संख्या के अंक $5$ पर समाप्त होने के लिए,उसके अभाज्य गुणनखंडन में अभाज्य गुणनखंड $5$ का होना आवश्यक है।
$6^{n}$ का अभाज्य गुणनखंडन $6^{n} = (2 \times 3)^{n} = 2^{n} \times 3^{n}$ है।
चूँकि $6^{n}$ के अभाज्य गुणनखंड केवल $2$ और $3$ हैं,और $5$ एक अभाज्य गुणनखंड नहीं है,इसलिए किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए $6^{n}$ कभी भी अंक $5$ पर समाप्त नहीं हो सकता है।

(B) नहीं,प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $4q + 2$ के रूप का नहीं हो सकता है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $b$ और धनात्मक पूर्णांक $a = 4$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान हैं कि $b = 4q + r$,जहाँ $0 \le r < 4$ है।
इसका अर्थ है कि शेषफल $r$ के संभावित मान $0, 1, 2,$ और $3$ हैं।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $b$ को निम्नलिखित रूपों में से किसी एक में व्यक्त किया जा सकता है: $4q, 4q + 1, 4q + 2,$ या $4q + 3$।
चूँकि एक धनात्मक पूर्णांक $4q, 4q + 1,$ या $4q + 3$ के रूप में भी हो सकता है,इसलिए यह केवल $4q + 2$ के रूप तक सीमित नहीं है।

(A) यह कथन सत्य है।
माना कि दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $n$ और $(n+1)$ हैं।
किन्हीं भी दो क्रमागत पूर्णांकों में,एक संख्या सम (even) होती है और दूसरी विषम (odd) होती है।
एक सम संख्या हमेशा $2$ से विभाज्य होती है।
इसलिए,उनका गुणनफल $n(n+1)$ हमेशा $2$ से विभाज्य होगा क्योंकि उनमें से कम से कम एक गुणनखंड सम संख्या है।

(A) माना कि तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $n, (n + 1)$ और $(n + 2)$ हैं।
किन्हीं भी दो क्रमागत पूर्णांकों के समूह में,एक संख्या सम (अर्थात $2$ से विभाज्य) होती है। इसलिए,किन्हीं भी तीन क्रमागत पूर्णांकों के समूह में,कम से कम एक संख्या $2$ से विभाज्य होगी।
किन्हीं भी तीन क्रमागत पूर्णांकों के समूह में,एक संख्या $3$ का गुणज (अर्थात $3$ से विभाज्य) होती है।
चूंकि गुणनफल $2$ और $3$ दोनों से विभाज्य है,और $2$ तथा $3$ सह-अभाज्य संख्याएँ हैं (उनका महत्तम समापवर्तक $1$ है),इसलिए गुणनफल उनके गुणनफल $2 \times 3 = 6$ से भी विभाज्य होगा।
अतः,यह कथन सत्य है।

(N/A) नहीं,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग $3m + 2$ के रूप का नहीं हो सकता है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $b$ को $b = 3q + r$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $0 \leq r < 3$ है। अतः,कोई भी धनात्मक पूर्णांक $3k, 3k + 1$ या $3k + 2$ के रूप का होता है।
स्थिति $1$: यदि $b = 3k$ है,तो $b^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2) = 3m$,जहाँ $m = 3k^2$ है।
स्थिति $2$: यदि $b = 3k + 1$ है,तो $b^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1 = 3m + 1$,जहाँ $m = 3k^2 + 2k$ है।
स्थिति $3$: यदि $b = 3k + 2$ है,तो $b^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1 = 3m + 1$,जहाँ $m = 3k^2 + 4k + 1$ है।
सभी स्थितियों में,एक धनात्मक पूर्णांक का वर्ग या तो $3m$ या $3m + 1$ के रूप में प्राप्त होता है। इसलिए,यह $3m + 2$ के रूप का नहीं हो सकता है।

(B) नहीं। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक को किसी पूर्णांक $q$ के लिए $3q, 3q + 1$ या $3q + 2$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
आइए इन रूपों के वर्गों की जाँच करें:
$1.$ यदि पूर्णांक $3q$ है,तो इसका वर्ग $(3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2) = 3m$ होता है,जहाँ $m = 3q^2$ है।
$2.$ यदि पूर्णांक $3q + 1$ है,तो इसका वर्ग $(3q + 1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1 = 3m + 1$ होता है,जहाँ $m = 3q^2 + 2q$ है।
$3.$ यदि पूर्णांक $3q + 2$ है,तो इसका वर्ग $(3q + 2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^2 + 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1 = 3m + 1$ होता है,जहाँ $m = 3q^2 + 4q + 1$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग हमेशा $3m$ या $3m + 1$ के रूप में होता है। यह कभी भी $3m + 2$ के रूप में नहीं हो सकता है।

(A) $HCF$ (महत्तम समापवर्तक) वह सबसे बड़ी संख्या है जो दी गई दोनों संख्याओं को विभाजित करती है।
यह दिया गया है कि $525$ और $3000$ संख्याएँ $3, 5, 15, 25$ और $75$ से विभाज्य हैं,इसलिए इनमें सबसे बड़ी संख्या $75$ है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का उपयोग करके औचित्य:
$3000 = 525 \times 5 + 375$
$525 = 375 \times 1 + 150$
$375 = 150 \times 2 + 75$
$150 = 75 \times 2 + 0$
चूँकि जब भाजक $75$ है तो शेषफल $0$ प्राप्त होता है,इसलिए $HCF(525, 3000) = 75$ है।

(N/A) हमारे पास है,$3 \times 5 \times 7 + 7 = 105 + 7 = 112$.
अब,हम $112$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$112 = 2 \times 56 = 2 \times 2 \times 28 = 2 \times 2 \times 2 \times 14 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7 = 2^4 \times 7$.
चूंकि $112$ को अभाज्य गुणनखंडों $2$ और $7$ के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए इसके दो से अधिक गुणनखंड हैं (जैसे,$1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 56, 112$)।
परिभाषा के अनुसार,जिस संख्या के दो से अधिक गुणनखंड होते हैं,वह एक भाज्य संख्या होती है। अतः,$3 \times 5 \times 7 + 7$ एक भाज्य संख्या है।

(B) नहीं,दो संख्याओं का $HCF$ $18$ और $LCM$ $380$ नहीं हो सकता है।
इसका कारण यह है कि किन्हीं भी दो संख्याओं का $HCF$ हमेशा उनके $LCM$ का एक गुणनखंड (factor) होना चाहिए।
इस मामले में,हम जाँचते हैं कि क्या $380$,$18$ से विभाज्य है:
$380 / 18 = 21.11...$
चूंकि $18$,$380$ का गुणनखंड नहीं है,इसलिए ऐसी संख्याएँ मौजूद नहीं हो सकतीं।

(A) सबसे पहले,भिन्न $\frac{987}{10500}$ को उनके महत्तम समापवर्तक $21$ से विभाजित करके सरल करें।
$\frac{987 \div 21}{10500 \div 21} = \frac{47}{500}$.
अब,हर $500$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:
$500 = 5 \times 100 = 5 \times 10^2 = 5 \times (2 \times 5)^2 = 5 \times 2^2 \times 5^2 = 2^2 \times 5^3$.
प्रमेय के अनुसार,एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि हर $q$ के अभाज्य गुणनखंड $2^m \times 5^n$ के रूप में हों,जहाँ $m$ और $n$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं।
चूँकि हर $500 = 2^2 \times 5^3$ का रूप $2^m \times 5^n$ है (जहाँ $m=2$ और $n=3$),इसलिए $\frac{987}{10500}$ का दशमलव प्रसार सांत है।
दशमलव मान ज्ञात करने के लिए: $\frac{47}{500} = \frac{47 \times 2}{500 \times 2} = \frac{94}{1000} = 0.094$.

(A) दी गई संख्या $327.7081$ एक सांत दशमलव संख्या है।
चूंकि यह एक सांत दशमलव है,यह एक परिमेय संख्या को दर्शाती है जिसका हर $q$,जब इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में (जहाँ $p$ और $q$ सह-अभाज्य हैं) व्यक्त किया जाता है,तो इसके अभाज्य गुणनखंड $2^{m} \times 5^{n}$ के रूप में होने चाहिए,जहाँ $m$ और $n$ ऋणत्तर पूर्णांक हैं।
हम लिख सकते हैं:
$327.7081 = \frac{3277081}{10000} = \frac{p}{q}$
यहाँ,हर $q = 10000 = 10^{4}$ है।
$q$ के अभाज्य गुणनखंडों का विस्तार करने पर:
$q = (2 \times 5)^{4} = 2^{4} \times 5^{4}$.
अतः,$q$ के अभाज्य गुणनखंड केवल $2$ और $5$ हैं।

(B) यह जाँचने के लिए कि क्या दो संख्याएँ सह-अभाज्य हैं,उनका म.स.प. $(HCF)$ $1$ होना चाहिए। हम यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं:
$396 = 231 \times 1 + 165$
$231 = 165 \times 1 + 66$
$165 = 66 \times 2 + 33$
$66 = 33 \times 2 + 0$
चूँकि म.स.प. $33$ है (जो $1$ नहीं है),इसलिए संख्याएँ $231$ और $396$ सह-अभाज्य नहीं हैं।

(B) $847$ और $2160$ का $HCF$ यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिदम का उपयोग करके ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित चरण अपनाते हैं:
$2160 = 847 \times 2 + 466$
$847 = 466 \times 1 + 381$
$466 = 381 \times 1 + 85$
$381 = 85 \times 4 + 41$
$85 = 41 \times 2 + 3$
$41 = 3 \times 13 + 2$
$3 = 2 \times 1 + 1$
$2 = 1 \times 2 + 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,इसलिए इस चरण पर भाजक $1$ ही $HCF$ है।
यदि दो संख्याओं का $HCF$ $1$ होता है,तो उन्हें सह-अभाज्य संख्याएँ कहा जाता है। अतः,$847$ और $2160$ का $HCF$ $1$ है,इसलिए वे सह-अभाज्य हैं।

(N/A) किसी भी विषम धनात्मक पूर्णांक को $2q+1$ के रूप में दर्शाया जा सकता है,जहाँ $q$ एक पूर्ण संख्या है।
इस पूर्णांक का वर्ग करने पर:
$(2q+1)^2 = 4q^2 + 4q + 1$
$(2q+1)^2 = 4q(q+1) + 1$ $...(1)$
चूँकि $q$ और $q+1$ क्रमागत पूर्णांक हैं,इसलिए उनका गुणनफल $q(q+1)$ सदैव सम होता है। अतः,हम $q(q+1) = 2m$ लिख सकते हैं,जहाँ $m$ एक पूर्ण संख्या है।
इस मान को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2q+1)^2 = 4(2m) + 1 = 8m + 1$.
अतः,किसी भी विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्ण संख्या $m$ के लिए $8m+1$ के रूप का होता है।

मान लीजिए कि $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है। मान लीजिए $\sqrt{2}+\sqrt{3} = a$,जहाँ $a$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,$\sqrt{2} = a - \sqrt{3}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\sqrt{2})^2 = (a - \sqrt{3})^2$
$2 = a^2 + 3 - 2a\sqrt{3}$
$\sqrt{3}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2a\sqrt{3} = a^2 + 3 - 2$
$2a\sqrt{3} = a^2 + 1$
$\sqrt{3} = \frac{a^2 + 1}{2a}$
चूँकि $a$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए $\frac{a^2 + 1}{2a}$ भी एक परिमेय संख्या होगी। इसका अर्थ है कि $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
परंतु,यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है। यह विरोधाभास हमारी प्रारंभिक धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) माना $a$ एक स्वैच्छिक धनात्मक पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,पूर्णांकों $a$ और $4$ के लिए,ऐसे अऋणात्मक पूर्णांक $m$ और $r$ विद्यमान हैं कि $a = 4m + r$,जहाँ $0 \leq r < 4$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (4m + r)^2 = 16m^2 + 8mr + r^2 = 4(4m^2 + 2mr) + r^2$ प्राप्त होता है।
स्थिति $I$: यदि $r = 0$ है,तो $a^2 = 4(4m^2) = 4q$,जहाँ $q = 4m^2$ है।
स्थिति $II$: यदि $r = 1$ है,तो $a^2 = 4(4m^2 + 2m) + 1 = 4q + 1$,जहाँ $q = 4m^2 + 2m$ है।
स्थिति $III$: यदि $r = 2$ है,तो $a^2 = 16m^2 + 16m + 4 = 4(4m^2 + 4m + 1) = 4q$,जहाँ $q = 4m^2 + 4m + 1$ है।
स्थिति $IV$: यदि $r = 3$ है,तो $a^2 = 16m^2 + 24m + 9 = 16m^2 + 24m + 8 + 1 = 4(4m^2 + 6m + 2) + 1 = 4q + 1$,जहाँ $q = 4m^2 + 6m + 2$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग $4q$ या $4q + 1$ के रूप का होता है।

(N/A) माना $a$ कोई धनात्मक पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,$a$ और $b=4$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान हैं कि $a = 4q + r$,जहाँ $0 \leq r < 4$ है।
दोनों पक्षों का घन करने पर:
$a^3 = (4q + r)^3 = 64q^3 + 3(4q)^2r + 3(4q)r^2 + r^3$
$a^3 = 64q^3 + 48q^2r + 12qr^2 + r^3$
$a^3 = 4(16q^3 + 12q^2r + 3qr^2) + r^3$ ... $(i)$
स्थिति $I$: यदि $r = 0$,तो $a^3 = 4(16q^3) = 4m$,जहाँ $m = 16q^3$ है।
स्थिति $II$: यदि $r = 1$,तो $a^3 = 4(16q^3 + 12q^2 + 3q) + 1^3 = 4m + 1$,जहाँ $m = 16q^3 + 12q^2 + 3q$ है।
स्थिति $III$: यदि $r = 2$,तो $a^3 = 4(16q^3 + 12q^2(2) + 3q(2^2)) + 2^3 = 4(16q^3 + 24q^2 + 12q) + 8 = 4(16q^3 + 24q^2 + 12q + 2) = 4m$,जहाँ $m = 16q^3 + 24q^2 + 12q + 2$ है।
स्थिति $IV$: यदि $r = 3$,तो $a^3 = 4(16q^3 + 12q^2(3) + 3q(3^2)) + 3^3 = 4(16q^3 + 36q^2 + 27q) + 27 = 4(16q^3 + 36q^2 + 27q + 6) + 3 = 4m + 3$,जहाँ $m = 16q^3 + 36q^2 + 27q + 6$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का घन $4m, 4m+1$ या $4m+3$ के रूप का होता है।

(A) माना कि $a$ एक स्वैच्छिक धनात्मक पूर्णांक है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,पूर्णांकों $a$ और $5$ के लिए,ऐसे गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $m$ और $r$ मौजूद हैं कि $a = 5m + r$,जहाँ $0 \leq r < 5$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $a^2 = (5m + r)^2 = 25m^2 + 10mr + r^2 = 5(5m^2 + 2mr) + r^2$।
माना $q' = 5m^2 + 2mr$,तो $a^2 = 5q' + r^2$।
हम $r \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ के सभी संभावित मानों की जाँच करते हैं:
स्थिति $I$: यदि $r=0$,तो $a^2 = 5(5m^2) = 5q$,जो $5q$ के रूप में है।
स्थिति $II$: यदि $r=1$,तो $a^2 = 5(5m^2 + 2m) + 1 = 5q + 1$,जो $5q+1$ के रूप में है।
स्थिति $III$: यदि $r=2$,तो $a^2 = 5(5m^2 + 4m) + 4 = 5q + 4$,जो $5q+4$ के रूप में है।
स्थिति $IV$: यदि $r=3$,तो $a^2 = 5(5m^2 + 6m) + 9 = 5(5m^2 + 6m + 1) + 4 = 5q + 4$,जो $5q+4$ के रूप में है।
स्थिति $V$: यदि $r=4$,तो $a^2 = 5(5m^2 + 8m) + 16 = 5(5m^2 + 8m + 3) + 1 = 5q + 1$,जो $5q+1$ के रूप में है।
अतः,सभी स्थितियों में $a^2$ का मान $5q, 5q+1,$ या $5q+4$ के रूप में होता है। इसलिए,यह $5q+2$ या $5q+3$ के रूप का नहीं हो सकता है।

(N/A) माना $a$ एक स्वेच्छ धनात्मक पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $6$ के लिए,ऐसे ऋणोत्तर पूर्णांक $q$ और $r$ विद्यमान हैं कि $a = 6q + r$,जहाँ $0 \leq r < 6$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (6q + r)^2 = 36q^2 + 12qr + r^2 = 6(6q^2 + 2qr) + r^2$ प्राप्त होता है। इसे समीकरण $(i)$ मानिए।
स्थिति $I$: यदि $r = 0$,तो $a^2 = 6(6q^2) = 6m$,जहाँ $m = 6q^2$ है।
स्थिति $II$: यदि $r = 1$,तो $a^2 = 6(6q^2 + 2q) + 1 = 6m + 1$,जहाँ $m = 6q^2 + 2q$ है।
स्थिति $III$: यदि $r = 2$,तो $a^2 = 6(6q^2 + 4q) + 4 = 6m + 4$,जहाँ $m = 6q^2 + 4q$ है।
स्थिति $IV$: यदि $r = 3$,तो $a^2 = 6(6q^2 + 6q) + 9 = 6(6q^2 + 6q + 1) + 3 = 6m + 3$,जहाँ $m = 6q^2 + 6q + 1$ है।
स्थिति $V$: यदि $r = 4$,तो $a^2 = 6(6q^2 + 8q) + 16 = 6(6q^2 + 8q + 2) + 4 = 6m + 4$,जहाँ $m = 6q^2 + 8q + 2$ है।
स्थिति $VI$: यदि $r = 5$,तो $a^2 = 6(6q^2 + 10q) + 25 = 6(6q^2 + 10q + 4) + 1 = 6m + 1$,जहाँ $m = 6q^2 + 10q + 4$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग केवल $6m, 6m+1, 6m+3,$ या $6m+4$ के रूप का ही हो सकता है। इसलिए,यह $6m+2$ या $6m+5$ के रूप का नहीं हो सकता है।

(N/A) माना $a$ एक विषम पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी धनात्मक पूर्णांक $b=4$ के लिए,$a = 4k + r$ होता है,जहाँ $0 \leq r < 4$ है।
चूँकि $a$ विषम है,इसलिए $r$ का मान केवल $1$ या $3$ हो सकता है।
स्थिति $1$: यदि $r = 1$ है,तो $a = 4k + 1$ होगा।
$a^2 = (4k + 1)^2 = 16k^2 + 8k + 1 = 4(4k^2 + 2k) + 1$।
माना $q = 4k^2 + 2k$,जो एक पूर्णांक है। अतः,$a^2 = 4q + 1$।
स्थिति $2$: यदि $r = 3$ है,तो $a = 4k + 3$ होगा।
$a^2 = (4k + 3)^2 = 16k^2 + 24k + 9 = 16k^2 + 24k + 8 + 1 = 4(4k^2 + 6k + 2) + 1$।
माना $q = 4k^2 + 6k + 2$,जो एक पूर्णांक है। अतः,$a^2 = 4q + 1$।
दोनों स्थितियों में,किसी विषम पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक $q$ के लिए $4q + 1$ के रूप का होता है।

(N/A) माना $n$ एक विषम पूर्णांक है। किसी भी विषम पूर्णांक को किसी पूर्णांक $k$ के लिए $n = 2k + 1$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
इस मान को व्यंजक $n^{2} - 1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$n^{2} - 1 = (2k + 1)^{2} - 1$
$= (4k^{2} + 4k + 1) - 1$
$= 4k^{2} + 4k$
$= 4k(k + 1)$
चूंकि $k$ और $k + 1$ क्रमागत पूर्णांक हैं,इसलिए उनमें से एक संख्या सम होगी। अतः,उनका गुणनफल $k(k + 1)$,$2$ से विभाज्य है।
माना $k(k + 1) = 2m$,जहाँ $m$ एक पूर्णांक है।
अतः,$n^{2} - 1 = 4(2m) = 8m$.
चूंकि $n^{2} - 1$,$8$ का एक गुणज है,इसलिए यह किसी भी विषम पूर्णांक $n$ के लिए $8$ से विभाज्य है।

(N/A) मान लीजिए कि $x = 2m + 1$ और $y = 2n + 1$ कोई भी दो विषम धनात्मक पूर्णांक हैं,जहाँ $m$ और $n$ अऋणात्मक पूर्णांक हैं।
तब,$x^{2} + y^{2} = (2m + 1)^{2} + (2n + 1)^{2}$.
सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^{2} + y^{2} = (4m^{2} + 4m + 1) + (4n^{2} + 4n + 1)$.
$x^{2} + y^{2} = 4m^{2} + 4m + 4n^{2} + 4n + 2$.
$x^{2} + y^{2} = 4(m^{2} + m + n^{2} + n) + 2$.
चूंकि $x^{2} + y^{2} = 2[2(m^{2} + m + n^{2} + n) + 1]$,इसलिए यह स्पष्ट रूप से एक सम संख्या है।
हालाँकि,जब इसे $4$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $2$ बचता है। इसलिए,$x^{2} + y^{2}$ संख्या $4$ से विभाज्य नहीं है।

(D) माना $a = 693$,$b = 567$,और $c = 441$ है।
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार,$a = bq + r$,जहाँ $0 \le r < b$ है।
सबसे पहले,हम $693$ और $567$ का $HCF$ ज्ञात करते हैं:
$693 = 567 \times 1 + 126$
$567 = 126 \times 4 + 63$
$126 = 63 \times 2 + 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,इसलिए $HCF(693, 567) = 63$ है।
अब,हम प्राप्त परिणाम $(63)$ और शेष संख्या $(441)$ का $HCF$ ज्ञात करते हैं:
$441 = 63 \times 7 + 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,इसलिए $HCF(63, 441) = 63$ है।
अतः,$441, 567, 693$ का $HCF$ $63$ है।

(A) चूंकि $1251, 9377$ और $15628$ को विभाजित करने पर क्रमशः $1, 2$ और $3$ शेषफल प्राप्त होते हैं,इसलिए इन शेषफलों को संख्याओं में से घटाने पर हमें ऐसी संख्याएँ प्राप्त होती हैं जो अभीष्ट संख्या से पूर्णतः विभाज्य हैं।
$1251 - 1 = 1250$
$9377 - 2 = 9375$
$15628 - 3 = 15625$
अभीष्ट संख्या $1250, 9375$ और $15625$ का $HCF$ है।
यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथम $a = bq + r$ का उपयोग करते हुए:
सबसे पहले,$15625$ और $9375$ का $HCF$ ज्ञात करें:
$15625 = 9375 \times 1 + 6250$
$9375 = 6250 \times 1 + 3125$
$6250 = 3125 \times 2 + 0$
अतः,$HCF(15625, 9375) = 3125$.
अब,$3125$ और $1250$ का $HCF$ ज्ञात करें:
$3125 = 1250 \times 2 + 625$
$1250 = 625 \times 2 + 0$
अतः,$HCF(3125, 1250) = 625$.
इस प्रकार,$625$ वह सबसे बड़ी संख्या है जो $1251, 9377$ और $15628$ को विभाजित करने पर क्रमशः $1, 2$ और $3$ शेषफल देती है।

(N/A) मान लीजिए कि $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
मान लीजिए $\sqrt{3}+\sqrt{5} = a$,जहाँ $a$ एक परिमेय संख्या है।
तब,$\sqrt{3} = a - \sqrt{5}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\sqrt{3})^2 = (a - \sqrt{5})^2$
$3 = a^2 + 5 - 2a\sqrt{5}$ (सर्वसमिका $(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$ का उपयोग करते हुए)।
$\sqrt{5}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2a\sqrt{5} = a^2 + 5 - 3$
$2a\sqrt{5} = a^2 + 2$
$\sqrt{5} = \frac{a^2 + 2}{2a}$.
चूँकि $a$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए $\frac{a^2 + 2}{2a}$ भी एक परिमेय संख्या होगी।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है,जो इस तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी प्रारंभिक धारणा गलत है और $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) यदि कोई संख्या $0$ या $5$ अंक पर समाप्त होती है,तो वह हमेशा $5$ से विभाज्य होती है।
यदि $12^{n}$ का अंतिम अंक $0$ या $5$ है,तो इसे $5$ से विभाज्य होना चाहिए।
यह केवल तभी संभव है जब $12^{n}$ के अभाज्य गुणनखंडन में अभाज्य संख्या $5$ शामिल हो।
अब,$12$ का अभाज्य गुणनखंडन $12 = 2^{2} \times 3$ है।
इसलिए,$12^{n} = (2^{2} \times 3)^{n} = 2^{2n} \times 3^{n}$ होता है।
अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,$12^{n}$ का अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय है और इसमें केवल $2$ और $3$ अभाज्य गुणनखंड ही हैं।
चूंकि $5$,$12^{n}$ का अभाज्य गुणनखंड नहीं है,इसलिए किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए $12^{n}$,$5$ से विभाज्य नहीं हो सकता है।
अतः,किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए $12^{n}$ का अंतिम अंक $0$ या $5$ नहीं हो सकता है।

(D) न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए ताकि प्रत्येक व्यक्ति पूर्ण कदमों में समान दूरी तय कर सके,हमें कदमों की माप $40\, cm$,$42\, cm$ और $45\, cm$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ निकालना होगा।
सबसे पहले,हम प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$40 = 2^3 \times 5$
$42 = 2 \times 3 \times 7$
$45 = 3^2 \times 5$
$LCM$ ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेंगे:
$LCM(40, 42, 45) = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$
$LCM = 8 \times 9 \times 5 \times 7$
$LCM = 72 \times 35$
$LCM = 2520$
अतः,प्रत्येक व्यक्ति को न्यूनतम $2520\, cm$ की दूरी चलनी चाहिए।

(D) परिमेय संख्या $\frac{257}{5000}$ का हर $5000$ है।
सबसे पहले,हम $5000$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$5000 = 5 \times 1000 = 5 \times 10^3 = 5 \times (2 \times 5)^3 = 5 \times 2^3 \times 5^3 = 2^3 \times 5^4$.
यह $2^m \times 5^n$ के रूप में है,जहाँ $m = 3$ और $n = 4$ ऋणेतर पूर्णांक हैं।
बिना वास्तविक विभाजन के दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम $2$ और $5$ के घातांकों को समान करते हैं:
$\frac{257}{5000} = \frac{257}{2^3 \times 5^4}$.
घातांक को $4$ बनाने के लिए,हम अंश और हर को $2^1$ से गुणा करते हैं:
$\frac{257 \times 2}{2^3 \times 5^4 \times 2^1} = \frac{514}{2^4 \times 5^4} = \frac{514}{(2 \times 5)^4} = \frac{514}{10^4}$.
$\frac{514}{10000} = 0.0514$.
अतः,इसका दशमलव प्रसार $0.0514$ है।

(N/A) मान लीजिए कि $\sqrt{p}+\sqrt{q}$ एक परिमेय संख्या है।
माना $\sqrt{p}+\sqrt{q} = a$,जहाँ $a$ एक शून्येतर परिमेय संख्या है।
तब,$\sqrt{q} = a - \sqrt{p}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\sqrt{q})^2 = (a - \sqrt{p})^2$
$q = a^2 + p - 2a\sqrt{p}$.
$\sqrt{p}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2a\sqrt{p} = a^2 + p - q$
$\sqrt{p} = \frac{a^2 + p - q}{2a}$.
चूंकि $a$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए व्यंजक $\frac{a^2 + p - q}{2a}$ भी एक परिमेय संख्या होगी।
हालाँकि,हम जानते हैं कि $\sqrt{p}$ एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि $p$ एक अभाज्य संख्या है।
यह एक विरोधाभास उत्पन्न करता है क्योंकि एक अपरिमेय संख्या कभी भी परिमेय संख्या के बराबर नहीं हो सकती।
अतः,हमारी प्रारंभिक धारणा गलत है और $\sqrt{p} + \sqrt{q}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) हम जानते हैं कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक को किसी पूर्णांक $m$ के लिए $6m, 6m + 1, 6m + 2, 6m + 3, 6m + 4$ या $6m + 5$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
एक विषम धनात्मक पूर्णांक $6m + 1, 6m + 3$ या $6m + 5$ के रूप में होता है।
अब,हम इन रूपों का वर्ग करते हैं:
$1.$ $(6m + 1)^2 = 36m^2 + 12m + 1 = 6(6m^2 + 2m) + 1 = 6q + 1$,जहाँ $q = 6m^2 + 2m$ एक पूर्णांक है।
$2.$ $(6m + 3)^2 = 36m^2 + 36m + 9 = 36m^2 + 36m + 6 + 3 = 6(6m^2 + 6m + 1) + 3 = 6q + 3$,जहाँ $q = 6m^2 + 6m + 1$ एक पूर्णांक है।
$3.$ $(6m + 5)^2 = 36m^2 + 60m + 25 = 36m^2 + 60m + 24 + 1 = 6(6m^2 + 10m + 4) + 1 = 6q + 1$,जहाँ $q = 6m^2 + 10m + 4$ एक पूर्णांक है।
अतः,किसी भी विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग हमेशा $6q + 1$ या $6q + 3$ के रूप का होता है।

(N/A) माना $a$ कोई धनात्मक पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $a$ और $6$ के लिए,ऐसे अऋणात्मक पूर्णांक $q$ और $r$ विद्यमान हैं कि $a = 6q + r$,जहाँ $0 \leq r < 6$ है।
दोनों पक्षों का घन करने पर:
$a^3 = (6q + r)^3 = 216q^3 + r^3 + 3(6q)(r)(6q + r)$
$a^3 = (216q^3 + 108q^2r + 18qr^2) + r^3 \quad \dots(i)$
स्थिति $I$: यदि $r = 0$ है,तो $a^3 = 216q^3 = 6(36q^3) = 6m$,जहाँ $m = 36q^3$ है।
स्थिति $II$: यदि $r = 1$ है,तो $a^3 = (216q^3 + 108q^2 + 18q) + 1 = 6(36q^3 + 18q^2 + 3q) + 1 = 6m + 1$ है।
स्थिति $III$: यदि $r = 2$ है,तो $a^3 = (216q^3 + 216q^2 + 72q) + 8 = (216q^3 + 216q^2 + 72q + 6) + 2 = 6(36q^3 + 36q^2 + 12q + 1) + 2 = 6m + 2$ है।
स्थिति $IV$: यदि $r = 3$ है,तो $a^3 = (216q^3 + 324q^2 + 162q) + 27 = (216q^3 + 324q^2 + 162q + 24) + 3 = 6(36q^3 + 54q^2 + 27q + 4) + 3 = 6m + 3$ है।
स्थिति $V$: यदि $r = 4$ है,तो $a^3 = (216q^3 + 432q^2 + 288q) + 64 = (216q^3 + 432q^2 + 288q + 60) + 4 = 6(36q^3 + 72q^2 + 48q + 10) + 4 = 6m + 4$ है।
स्थिति $VI$: यदि $r = 5$ है,तो $a^3 = (216q^3 + 540q^2 + 450q) + 125 = (216q^3 + 540q^2 + 450q + 120) + 5 = 6(36q^3 + 90q^2 + 75q + 20) + 5 = 6m + 5$ है।
अतः,$6q + r$ के रूप के किसी भी धनात्मक पूर्णांक का घन $6m + r$ के रूप का होता है।

(N/A) माना कि $n$ कोई धनात्मक पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,$n$ को किसी पूर्णांक $q \ge 0$ के लिए $3q, 3q+1,$ या $3q+2$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
स्थिति $1$: यदि $n = 3q$ है,तो $n, 3$ से विभाज्य है। इस स्थिति में,$n+2 = 3q+2$ और $n+4 = 3q+4 = 3(q+1)+1$ है,जिनमें से कोई भी $3$ से विभाज्य नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $n = 3q+1$ है,तो $n+2 = 3q+1+2 = 3q+3 = 3(q+1)$ है,जो $3$ से विभाज्य है। इस स्थिति में,$n = 3q+1$ और $n+4 = 3q+1+4 = 3q+5 = 3(q+1)+2$ है,जिनमें से कोई भी $3$ से विभाज्य नहीं है।
स्थिति $3$: यदि $n = 3q+2$ है,तो $n+4 = 3q+2+4 = 3q+6 = 3(q+2)$ है,जो $3$ से विभाज्य है। इस स्थिति में,$n = 3q+2$ और $n+2 = 3q+2+2 = 3q+4 = 3(q+1)+1$ है,जिनमें से कोई भी $3$ से विभाज्य नहीं है।
अतः,सभी संभावित स्थितियों में,$n, n+2$ या $n+4$ में से ठीक एक ही $3$ से विभाज्य है।

(N/A) किन्हीं तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों को $n, (n+1),$ और $(n+2)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है,जहाँ $n$ कोई धनात्मक पूर्णांक है $(n \in \mathbb{N})$।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी पूर्णांक $n$ को $3q, 3q+1,$ या $3q+2$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $q$ एक ऋणेतर पूर्णांक है।
स्थिति $1$: यदि $n = 3q$ है,तो $n$,$3$ से विभाज्य है।
स्थिति $2$: यदि $n = 3q + 1$ है,तो $n + 2 = (3q + 1) + 2 = 3q + 3 = 3(q + 1)$,जो $3$ से विभाज्य है।
स्थिति $3$: यदि $n = 3q + 2$ है,तो $n + 1 = (3q + 2) + 1 = 3q + 3 = 3(q + 1)$,जो $3$ से विभाज्य है।
अतः,सभी संभावित स्थितियों में,तीन क्रमागत पूर्णांकों $n, n+1,$ या $n+2$ में से एक संख्या $3$ से विभाज्य होती है।

(N/A) माना $a = n^{3} - n.$
व्यंजक का गुणनखंड करने पर,हमें प्राप्त होता है $a = n(n^{2} - 1).$
सर्वसमिका $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $a = (n - 1)n(n + 1).$
यह व्यंजक तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल दर्शाता है।
किन्हीं भी तीन क्रमागत पूर्णांकों के समूह में,कम से कम एक संख्या सम (अर्थात $2$ से विभाज्य) होती है और ठीक एक संख्या $3$ से विभाज्य होती है।
चूंकि $2$ और $3$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए उनका गुणनफल $2 \times 3 = 6$ इन तीन क्रमागत पूर्णांकों के गुणनफल को पूर्णतः विभाजित करेगा।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $(n - 1)n(n + 1)$ हमेशा $6$ से विभाज्य है।
इस प्रकार,$n^{3} - n$,$6$ से विभाज्य है।

(N/A) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ को $5q, 5q+1, 5q+2, 5q+3,$ या $5q+4$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $q$ एक ऋणेतर पूर्णांक है।
प्रत्येक स्थिति के लिए हम ${n, n+4, n+8, n+12, n+16}$ के समुच्चय की विभाज्यता की जाँच करते हैं:
$1$. यदि $n = 5q$ है,तो $n$,$5$ से विभाज्य है।
$2$. यदि $n = 5q+1$ है,तो $n+4 = 5q+1+4 = 5q+5 = 5(q+1)$,जो $5$ से विभाज्य है।
$3$. यदि $n = 5q+2$ है,तो $n+8 = 5q+2+8 = 5q+10 = 5(q+2)$,जो $5$ से विभाज्य है।
$4$. यदि $n = 5q+3$ है,तो $n+12 = 5q+3+12 = 5q+15 = 5(q+3)$,जो $5$ से विभाज्य है।
$5$. यदि $n = 5q+4$ है,तो $n+16 = 5q+4+16 = 5q+20 = 5(q+4)$,जो $5$ से विभाज्य है।
प्रत्येक स्थिति में,पाँच व्यंजकों में से केवल एक ही $5$ से विभाज्य है।

(N/A) माना कि तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $n$,$n+1$ और $n+2$ हैं।
हम जानते हैं कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ को $3m$,$3m+1$ या $3m+2$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $m$ एक ऋणेतर पूर्णांक है।
स्थिति $1$: यदि $n = 3m$ है,तो $n$,$3$ से विभाज्य है। यहाँ,$n+1 = 3m+1$ और $n+2 = 3m+2$ हैं,जिन्हें $3$ से भाग देने पर क्रमशः $1$ और $2$ शेषफल प्राप्त होते हैं। अतः,केवल $n$,$3$ से विभाज्य है।
स्थिति $2$: यदि $n = 3m+1$ है,तो $n+1 = 3m+2$ और $n+2 = 3m+3 = 3(m+1)$ होता है। यहाँ,केवल $n+2$,$3$ से विभाज्य है।
स्थिति $3$: यदि $n = 3m+2$ है,तो $n+1 = 3m+3 = 3(m+1)$ और $n+2 = 3m+4 = 3(m+1)+1$ होता है। यहाँ,केवल $n+1$,$3$ से विभाज्य है।
निष्कर्ष: सभी संभावित स्थितियों में,तीन क्रमागत पूर्णांकों $n$,$n+1$ और $n+2$ में से ठीक एक ही संख्या $3$ से विभाज्य है।

हम जानते हैं कि कोई भी धनात्मक पूर्णांक $n$,$2m$ या $2m+1$ के रूप में होता है,जहाँ $m$ एक ऋणेतर पूर्णांक है।
स्थिति $1$: यदि $n = 2m$ है,तो
$n^{2} - n = (2m)^{2} - (2m) = 4m^{2} - 2m = 2(2m^{2} - m)$.
चूँकि $2(2m^{2} - m)$,$2$ का एक गुणज है,इसलिए $n^{2} - n$,$2$ से विभाज्य है।
स्थिति $2$: यदि $n = 2m + 1$ है,तो
$n^{2} - n = (2m + 1)^{2} - (2m + 1) = (4m^{2} + 4m + 1) - 2m - 1 = 4m^{2} + 2m = 2(2m^{2} + m)$.
चूँकि $2(2m^{2} + m)$,$2$ का एक गुणज है,इसलिए $n^{2} - n$,$2$ से विभाज्य है।
अतः,दोनों स्थितियों में,प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $n^{2} - n$,$2$ से विभाज्य है।